Responda: a série diverge.

Exemplo #3

Encontre a soma da série $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Como o limite inferior de soma é 1, o termo comum da série é escrito sob o sinal de soma: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Componha a enésima soma parcial da série, ou seja, soma os primeiros $n$ membros da série numérica dada:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Por que escrevo exatamente $\frac(2)(3\cdot 5)$, e não $\frac(2)(15)$, ficará claro na narração posterior. No entanto, registrar uma soma parcial não nos aproximou nem um pouco do objetivo. Afinal, precisamos encontrar $\lim_(n\to\infty)S_n$, mas se apenas escrevermos:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

então este registro, completamente correto na forma, não nos dará nada em essência. Para encontrar o limite, a expressão de soma parcial deve primeiro ser simplificada.

Existe uma transformação padrão para isso, que consiste em decompor a fração $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, que representa o termo comum da série, em frações elementares. Um tópico separado é dedicado à questão da decomposição de frações racionais em frações elementares (veja, por exemplo, o exemplo nº 3 nesta página). Expandindo a fração $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ em frações elementares, temos:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Igualamos os numeradores das frações nos lados esquerdo e direito da igualdade resultante:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Existem duas formas de encontrar os valores de $A$ e $B$. Você pode abrir os colchetes e reorganizar os termos, ou pode simplesmente substituir alguns valores adequados ao invés de $n$. Só para variar, neste exemplo, seguiremos o primeiro caminho e o próximo - substituiremos os valores privados de $n$. Expandindo os colchetes e reorganizando os termos, temos:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

No lado esquerdo da equação, $n$ é precedido por zero. Se desejar, o lado esquerdo da igualdade pode ser representado para maior clareza como $0\cdot n+ 2$. Como no lado esquerdo da igualdade $n$ é precedido por zero, e no lado direito da igualdade $2A+2B$ precede $n$, temos a primeira equação: $2A+2B=0$. Imediatamente dividimos ambas as partes desta equação por 2, após o que obtemos $A+B=0$.

Como o termo livre no lado esquerdo da igualdade é igual a 2, e no lado direito da igualdade o termo livre é igual a $3A+B$, então $3A+B=2$. Então temos um sistema:

$$ \esquerda\(\begin(alinhado) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(alinhado)\direita. $$

A prova será realizada pelo método de indução matemática. Na primeira etapa, precisamos verificar se a igualdade exigida $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ vale para $n=1$. Sabemos que $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, mas a expressão $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ dará o valor $\frac( 2 )(15)$ se $n=1$ for substituído nele? Vamos checar:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Assim, para $n=1$ a igualdade $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ é satisfeita. Isto completa o primeiro passo do método de indução matemática.

Suponha que para $n=k$ a igualdade seja válida, ou seja. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Vamos provar que a mesma igualdade vale para $n=k+1$. Para fazer isso, considere $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Como $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, então $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. De acordo com a suposição acima $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, então a fórmula $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ leva a forma:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Conclusão: a fórmula $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ é verdadeira para $n=k+1$. Portanto, de acordo com o método de indução matemática, a fórmula $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ é verdadeira para qualquer $n\in N$. A igualdade foi comprovada.

Em um curso padrão de matemática superior, geralmente se contenta em "apagar" os termos cancelados, sem exigir nenhuma prova. Então, temos a expressão para a enésima soma parcial: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Encontre o valor de $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Conclusão: a série dada converge e sua soma é $S=\frac(1)(3)$.

A segunda maneira é simplificar a fórmula para a soma parcial.

Para ser honesto, eu prefiro esse método :) Vamos escrever a soma parcial de forma abreviada:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Temos anteriormente que $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, então:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

A soma $S_n$ contém um número finito de termos, então podemos reorganizá-los como quisermos. Eu quero primeiro adicionar todos os termos da forma $\frac(1)(2k+1)$, e só então ir para os termos da forma $\frac(1)(2k+3)$. Isso significa que representaremos a soma parcial desta forma:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Claro, a notação expandida é extremamente inconveniente, então a igualdade acima pode ser escrita de forma mais compacta:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Agora transformamos as expressões $\frac(1)(2k+1)$ e $\frac(1)(2k+3)$ para a mesma forma. Acho conveniente fazer com que pareça uma fração maior (embora você possa usar uma menor, é uma questão de gosto). Como $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (quanto maior o denominador, menor a fração), reduziremos a fração $\frac(1)(2k+ 3) $ na forma $\frac(1)(2k+1)$.

Vou apresentar a expressão no denominador da fração $\frac(1)(2k+3)$ da seguinte forma:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

E a soma $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ agora pode ser escrita assim:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\soma\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Se a igualdade $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ não levanta dúvidas, então vamos mais longe. Se houver dúvidas, por favor, expanda a nota.

Como obtivemos o valor convertido? aparecer esconder

Tínhamos a série $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Vamos introduzir uma nova variável em vez de $k+1$ - por exemplo, $t$. Então $t=k+1$.

Como a antiga variável $k$ mudou? E mudou de 1 para $n$. Vamos descobrir como a nova variável $t$ mudará. Se $k=1$, então $t=1+1=2$. Se $k=n$, então $t=n+1$. Portanto, a expressão $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ agora é: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Temos a soma $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Pergunta: importa qual letra usar nesta soma? :) Escrevendo a letra $k$ em vez de $t$, temos o seguinte:

$$ \soma\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

É assim que a igualdade $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) é obtido \frac(1)(2k+1)$.

Assim, a soma parcial pode ser representada da seguinte forma:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\soma\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Observe que as somas $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ e $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ diferem apenas nos limites de soma. Vamos tornar esses limites iguais. "Pegando" o primeiro elemento da soma $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ temos:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Pegando" o último elemento da soma $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, obtemos:

$$\soma\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\soma\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Então a expressão para a soma parcial terá a forma:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Se você pular todas as explicações, o processo de encontrar uma fórmula abreviada para a n-ésima soma parcial terá a seguinte forma:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\soma\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Deixe-me lembrá-lo de que reduzimos a fração $\frac(1)(2k+3)$ para a forma $\frac(1)(2k+1)$. Claro, você pode fazer o oposto, ou seja, represente a fração $\frac(1)(2k+1)$ como $\frac(1)(2k+3)$. A expressão final para a soma parcial não será alterada. Nesse caso, ocultarei o processo de encontrar uma soma parcial sob uma nota.

Como encontrar $S_n$, se você trouxer para a forma de uma fração diferente? aparecer esconder

$$ S_n =\soma\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\soma\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Então $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Encontre o limite $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

A série dada converge e sua soma é $S=\frac(1)(3)$.

Responda: $S=\frac(1)(3)$.

A continuação do tópico de encontrar a soma de uma série será considerada na segunda e terceira partes.

Seja uma sequência infinita de números u1, u2, u3…

A expressão u1+ u2+ u3…+ un (1) é chamada de série numérica, e os números de seus componentes são membros da série.

A soma de um número finito n dos primeiros termos da série é chamada de n-ésima soma parcial da série: Sn = u1+..+un

Se substantivo. limite finito: então se chama soma da série e dizem que a série converge, se tal limite não existe, então dizem que a série diverge e não tem soma.

2 Série geométrica e aritmética

Uma série que consiste em membros de uma progressão geométrica infinita chamada. geométrico:
ou

a+ aq +…+aq n -1

a  0 o primeiro termo de q é o denominador. Soma da linha:

portanto, o limite finito da sequência de somas parciais da série depende da quantidade q

Casos possíveis:

1 |q|<1

ou seja, um número de skhd-sya e sua soma
2 |q|>1
e o limite da soma também é igual ao infinito

ou seja, a série diverge.

3 com q = 1, obtém-se uma série: a+a+…+a… Sn = na
série diverge

4 para q1, a série se parece com: a-a+a ... (-1) n -1 a Sn=0 para n par, Sn=a para n ímpar, não há limite de somas parciais. a linha diverge.

Considere uma série de membros infinitos de uma progressão aritmética:
u é o primeiro termo, d é a diferença. Soma da linha

para qualquer u1 e d ambos  0 e a série sempre diverge.

3 séries convergentes C-va

Sejam dadas duas séries: u1+u2+…un = (1) e v1+v2+…vn = (2)

O produto da série (1) pelo número   R e a série: u1+u2+…un = (3)

A soma das linhas (1) e (2) linha de trás:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =
(para a diferença, há apenas uma aparência)

T1 Sobre o multiplicador comum

Se a série (1) converge e sua soma = S, então para qualquer número  a série = também converge e sua soma S’ = S Se a série (1) diverge e   0, então a série também diverge. Ou seja, o fator comum não afeta as divergências da série.

T2 Se as séries (1) e (2) convergem, e suas somas = respectivamente S e S', então a série:
também converge e se  é sua soma, então  = S+S’. Ou seja, séries convergentes podem ser somadas e subtraídas termo a termo. Se a série (1) converge e a série (2) diverge, então sua soma (ou diferença) também diverge. Mas se ambas as linhas divergem. então sua soma (ou diferença) pode divergir (se un=vn) ou convergir (se un=vn)

Para linha (1) linha
é chamado de n-ésimo resto da série. Se este resto da série convergir, então sua soma será denotada: r n =

T3 Se a série converge, então qualquer um dos seus restos converge, se algum resto da série converge, então a própria série converge. Além disso, a soma total = soma parcial da série Sn + r n

Alterar, assim como descartar ou adicionar um número finito de termos, não afeta a convergência (divergência) da série.

4 Um critério necessário para a convergência de séries

Se a série converge, então o limite de seu termo comum é igual a zero:

Doc-in:

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, então:

Este sinal é apenas necessário, mas não suficiente, ou seja, se o limite do termo comum e for igual a zero, não é de todo necessário que a série convirja neste caso. Consequentemente, esta condição, se não for cumprida, é, por outro lado, uma condição suficiente para a divergência da série.

5 Sinal integral de convergência em série. Linha Dirichlet

T1 Deixa para lá (1), cujos termos são não negativos e não aumentam: u1>=u2>=u3…>=un

Se existe uma função f(x) que é não-negativa, contínua e não cresce de tal forma que f(n) = Un,  n  N, então para a série (1) convergir, é necessário que und é suficiente para a integral imprópria convergir:
, e para a divergência é suficiente e necessário que essa integral, ao contrário, divirja (UAU!).

Vamos aplicar esse recurso para estudar a série de Dirichlet: Aqui está: ,  R Esta série é chamada de série harmônica generalizada, quando  >0 o termo comum desta série é un=1/n  0 e decresce, então você pode usar o recurso integral, a função aqui será a função f(x)=1/x  ( x>=1) esta função satisfaz as condições do Teorema 1; portanto, a convergência (divergência) da série de Dirichlet é equivalente à convergência da divergência da integral:

Três casos são possíveis:

1  >1,

A integral e, portanto, a série converge.

A integral e a série divergem

A integral e a série divergem

Definições básicas.

Definição. A soma dos termos de uma sequência numérica infinita é chamada série numérica.

Ao mesmo tempo, os números
serão chamados os membros da série, e você né um membro comum da série.

Definição. Somas
,n = 1, 2, … chamado montantes privados (parciais) fileira.

Assim, é possível considerar sequências de somas parciais da série S 1 , S 2 , …, S n , …

Definição. Linha
chamado convergente se a sequência de suas somas parciais converge. A soma da série convergenteé o limite da sequência de suas somas parciais.

Definição. Se a sequência de somas parciais da série diverge, ou seja, não tem limite, ou tem um limite infinito, então a série é chamada divergente e nenhuma quantia é atribuída a ele.

propriedades da linha.

1) A convergência ou divergência da série não será violada se você alterar, descartar ou adicionar um número finito de termos na série.

2) Considere duas linhas
e
, onde C é um número constante.

Teorema. Se a linha
converge e sua soma éS, então a linha
também converge, e sua soma é CS. (C  0)

3) Considere duas linhas
e
.soma ou diferença essas linhas serão chamadas de linha
, onde os elementos são obtidos como resultado da adição (subtração) dos elementos originais com os mesmos números.

Teorema. Se as linhas
e
convergem e suas somas são iguais, respectivamente.Se , então a linha
também converge e sua soma é igual aS +  .

A diferença de duas séries convergentes também será uma série convergente.

A soma de uma série convergente e divergente será uma série divergente.

É impossível fazer uma afirmação geral sobre a soma de duas séries divergentes.

Ao estudar séries, dois problemas são resolvidos principalmente: o estudo da convergência e encontrar a soma das séries.

Critério de Cauchy.

(condições necessárias e suficientes para a convergência da série)

Para a sequência
foi convergente, é necessário e suficiente que para qualquer
havia um númeroN, que emn > Ne qualquerp> 0, onde p é um número inteiro, a seguinte desigualdade seria válida:

.

Prova. (necessidade)

Deixe ser
, então para qualquer número
existe um número N tal que a desigualdade

é realizado para n>N. Para n>N e qualquer inteiro p>0, a desigualdade também vale
. Considerando ambas as desigualdades, temos:

A necessidade foi comprovada. Não consideraremos a prova de suficiência.

Vamos formular o critério de Cauchy para a série.

Para um número
era convergente necessário e suficiente para que para qualquer
havia um númeroNtal que emn> Ne qualquerp>0 satisfaria a desigualdade

.

No entanto, na prática, não é muito conveniente usar o critério de Cauchy diretamente. Portanto, como regra, são usados ​​critérios de convergência mais simples:

1) Se a linha
converge, é necessário que o termo comum você n gravitou em direção a zero. No entanto, esta condição não é suficiente. Só podemos dizer que se o termo comum não tende a zero, então a série diverge exatamente. Por exemplo, a chamada série harmônica é divergente, embora seu termo comum tenda a zero.

Exemplo. Investigue a convergência de uma série

Vamos encontrar
- o critério necessário de convergência não é satisfeito, então a série diverge.

2) Se a série converge, então a sequência de suas somas parciais é limitada.

No entanto, esse recurso também não é suficiente.

Por exemplo, a série 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… diverge porque a sequência de suas somas parciais diverge devido ao fato de que

No entanto, neste caso, a sequência de somas parciais é limitada, porque
para qualquer n.

Série com termos não negativos.

Ao estudarmos séries com sinal constante, limitamo-nos a considerar séries com termos não negativos, pois quando simplesmente multiplicado por -1, essas séries podem ser usadas para obter séries com termos negativos.

Teorema. Para a convergência da série
com termos não negativos é necessário e suficiente que as somas parciais da série sejam limitadas.

Sinal de comparação de séries com membros não negativos.

Sejam duas linhas
e
no você n , v n  0 .

Teorema. Se um você n  v n para qualquer n, então da convergência da série
segue a convergência da série
, e da divergência da série
segue a divergência da série
.

Prova. Denotado por S n e  n somas parciais de séries
e
. Porque de acordo com o teorema, a série
converge, então suas somas parciais são limitadas, ou seja, para todos n n  M, onde M é algum número. Mas desde você n  v n, então S n   n então as somas parciais da série
também são limitados, e isso é suficiente para a convergência.

Exemplo. Investigar para séries de convergência

Porque
, e a série harmônica diverge, então a série diverge
.

Exemplo.

Porque
, e a linha
converge (como uma progressão geométrica decrescente), então a série
converge também.

O seguinte critério de convergência também é usado:

Teorema. Se um
e há um limite
, Ondehé um número diferente de zero, então a série
e
se comportam da mesma maneira em termos de convergência.

Sinal de d'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - matemático francês)

Se para uma série
com termos positivos, existe um númeroq<1, что для всех достаточно больших na desigualdade

então a série
converge se para todo suficientemente grandena condição

então a série
diverge.

Sinal limitante de d'Alembert.

O teste d'Alembert limitante é uma consequência do teste d'Alembert acima.

Se houver um limite
, então em < 1 ряд сходится, а при  > 1 - diverge. Se um = 1, então a questão da convergência não pode ser respondida.

Exemplo. Determinar a convergência de uma série .

Conclusão: a série converge.

Exemplo. Determinar a convergência de uma série

Conclusão: a série converge.

Sinal de Cauchy. (sinal radical)

Se para uma série
com termos não negativos, existe um númeroq<1, что для всех достаточно больших na desigualdade

,

então a série
converge se para todo suficientemente grandena desigualdade

então a série
diverge.

Consequência. Se houver um limite
, então em <1 ряд сходится, а при >1 linha diverge.

Exemplo. Determinar a convergência de uma série
.

Conclusão: a série converge.

Exemplo. Determinar a convergência de uma série
.

Aqueles. O critério de Cauchy não responde à questão sobre a convergência da série. Vamos verificar o cumprimento das condições de convergência necessárias. Como mencionado acima, se a série converge, então o termo comum da série tende a zero.

,

assim, a condição necessária para a convergência não é satisfeita, o que significa que a série diverge.

Teste Integral de Cauchy.

Se um (x) é uma função positiva contínua decrescente no intervalo e
então as integrais
e
se comportam da mesma forma em termos de convergência.

Linhas variáveis.

Linhas alternadas.

Uma série alternada pode ser escrita como:

Onde

Sinal de Leibniz.

Se uma série alternada valores absolutosvocê eu diminuir
e o termo comum tende a zero
, então a série converge.

Convergência absoluta e condicional de séries.

Considere algumas séries alternadas (com termos de sinais arbitrários).

(1)

e uma série composta pelos valores absolutos dos termos da série (1):

(2)

Teorema. A convergência da série (2) implica a convergência da série (1).

Prova. A série (2) está próxima aos termos não negativos. Se a série (2) converge, então pelo critério de Cauchy para qualquer >0 existe um número N tal que para n>N e qualquer inteiro p>0 a seguinte desigualdade é verdadeira:

Pela propriedade dos valores absolutos:

Ou seja, segundo o critério de Cauchy, a convergência da série (2) implica a convergência da série (1).

Definição. Linha
chamado absolutamente convergente se a série converge
.

Obviamente, para séries de sinal constante, os conceitos de convergência e convergência absoluta coincidem.

Definição. Linha
chamado condicionalmente convergente, se converge, e a série
diverge.

testes de d'Alembert e Cauchy para séries alternadas.

Deixe ser
- série alternada.

Sinal de d'Alembert. Se houver um limite
, então em <1 ряд
será absolutamente convergente, e quando >

Sinal de Cauchy. Se houver um limite
, então em <1 ряд
será absolutamente convergente, e quando >1 a série será divergente. Quando =1, o sinal não dá uma resposta sobre a convergência da série.

Propriedades de séries absolutamente convergentes.

1) Teorema. Para a convergência absoluta da série
é necessário e suficiente que possa ser representado como a diferença de duas séries convergentes com termos não negativos.

Consequência. Uma série condicionalmente convergente é a diferença de duas séries divergentes com termos não negativos tendendo a zero.

2) Em uma série convergente, qualquer agrupamento dos termos da série que não mude sua ordem preserva a convergência e a magnitude da série.

3) Se uma série converge absolutamente, então a série obtida dela por qualquer permutação de termos também converge absolutamente e tem a mesma soma.

Ao rearranjar os termos de uma série condicionalmente convergente, pode-se obter uma série condicionalmente convergente com qualquer soma predeterminada, e até mesmo uma série divergente.

4) Teorema. Com qualquer agrupamento de membros de uma série absolutamente convergente (neste caso, o número de grupos pode ser finito ou infinito, e o número de membros de um grupo pode ser finito ou infinito), obtém-se uma série convergente, a soma dos quais é igual à soma da série original.

5) Se as linhas e convergem absolutamente e suas somas são iguais, respectivamente. S e , então uma série composta por todos os produtos da forma
tomada em qualquer ordem, também converge absolutamente e sua soma é igual a S - o produto das somas das séries multiplicadas.

Se, no entanto, multiplicar séries condicionalmente convergentes, então o resultado pode ser uma série divergente.

Sequências funcionais.

Definição. Se os membros da série não são números, mas funções de X, então a série é chamada funcional.

O estudo da convergência de séries funcionais é mais difícil do que o estudo de séries numéricas. A mesma série funcional pode, para os mesmos valores da variável X convergem e, em outros, divergem. Portanto, a questão da convergência de séries funcionais é reduzida à determinação desses valores da variável X para a qual a série converge.

O conjunto de tais valores é chamado região de convergência.

Como o limite de cada função incluída na região de convergência da série é um determinado número, então o limite da sequência funcional será uma determinada função:

Definição. Subsequência ( f n (x) } converge funcionar f(x) no segmento , se para qualquer número >0 e qualquer ponto X do segmento considerado existe um número N = N(, x) tal que a desigualdade

é realizado para n>N.

Com o valor escolhido >0, cada ponto do segmento corresponde ao seu próprio número e, portanto, haverá um número infinito de números correspondentes a todos os pontos do segmento. Se você escolher o maior de todos esses números, esse número será adequado para todos os pontos do segmento, ou seja, será comum a todos os pontos.

Definição. Subsequência ( f n (x) } converge uniformemente funcionar f(x) no intervalo se para qualquer número >0 existe um número N = N() tal que a desigualdade

é realizado para n>N para todos os pontos do segmento .

Exemplo. Considere a sequência

Esta sequência converge em todo o eixo real para a função f(x)=0 , Porque

Vamos traçar esta sequência:

sinx

Como se vê, à medida que o número aumenta n o gráfico de sequência se aproxima do eixo X.

linhas funcionais.

Definição. Somas privadas (parciais) faixa funcional
funções são chamadas

Definição. Faixa funcional
chamado convergente no ponto ( x=x 0 ) se a sequência de suas somas parciais converge neste ponto. Limite de sequência
chamado soma fileira
no ponto X 0 .

Definição. O conjunto de todos os valores X, para o qual a série converge
chamado região de convergência fileira.

Definição. Linha
chamado uniformemente convergente em um segmento se a sequência de somas parciais desta série converge uniformemente neste segmento.

Teorema. (Critério de Cauchy para convergência uniforme de uma série)

Para convergência uniforme da série
necessário e suficiente que para qualquer número >0 havia esse númeroN( ), que emn> Ne qualquer inteirop>0 desigualdade

valeria para todo x no segmento [uma, b].

Teorema. (Teste de convergência uniforme de Weierstrass)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - matemático alemão)

Linha
converge uniforme e absolutamente no segmento [uma, b], se os módulos de seus membros no mesmo segmento não excederem os membros correspondentes da série numérica convergente com membros positivos:

Essa. existe uma desigualdade:

.

Eles também dizem que neste caso a série funcional
majorado série numérica
.

Exemplo. Investigar para séries de convergência
.

Como
sempre, é óbvio que
.

Sabe-se que a série harmônica geral converge quando =3>1, então, de acordo com o teste de Weierstrass, a série em estudo converge uniformemente e, além disso, em qualquer intervalo.

Exemplo. Investigar para séries de convergência .

No segmento [-1,1] a desigualdade
Essa. de acordo com o teste de Weierstrass, a série em estudo converge neste segmento e diverge nos intervalos (-, -1)  (1, ).

Propriedades de séries uniformemente convergentes.

1) O teorema da continuidade da soma de uma série.

Se os membros da série
- contínuo no intervalo [uma, b] e a série converge uniformemente, então sua somaS(x) é uma função contínua no intervalo [uma, b].

2) O teorema da integração termo a termo de uma série.

Uniformemente convergente no segmento [uma, b] séries com termos contínuos podem ser integradas termo a termo neste segmento, ou seja, uma série composta de integrais de seus termos no intervalo [uma, b] , converge para a integral da soma da série sobre este segmento.

3) O teorema da diferenciação termo a termo de uma série.

Se os membros da série
convergindo no segmento [uma, b] são funções contínuas com derivadas contínuas, e as séries compostas por essas derivadas
converge uniformemente nesse intervalo, então a série dada também converge uniformemente e pode ser diferenciada termo a termo.

Baseado no fato de que a soma da série é alguma função da variável X, você pode realizar a operação de representar uma função como uma série (expandindo uma função em uma série), que é amplamente utilizada em integração, diferenciação e outras operações com funções.

Na prática, a expansão de funções em uma série de potências é frequentemente usada.

Série de potência.

Definição. poder próximoé chamado de série

.

Para estudar a convergência de séries de potências, é conveniente usar o teste de d'Alembert.

Exemplo. Investigar para séries de convergência

Aplicamos o sinal de d'Alembert:

.

Descobrimos que esta série converge em
e diverge em
.

Agora vamos definir a convergência nos pontos de fronteira 1 e –1.

Para x = 1:
A série converge de acordo com o teste de Leibniz (ver Fig. Sinal de Leibniz.).

Para x = -1:
série diverge (série harmônica).

teoremas de Abel.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - matemático norueguês)

Teorema. Se a série de potências
converge emx = x 1 , então converge e, além disso, absolutamente para todo
.

Prova. Pela condição do teorema, como os termos da série são limitados, então

Onde ké algum número constante. A seguinte desigualdade é verdadeira:

Pode-se ver nesta desigualdade que x< x 1 os valores numéricos dos membros de nossa série serão menores (em qualquer caso, não mais) que os membros correspondentes da série do lado direito da desigualdade escrita acima, que formam uma progressão geométrica. O denominador dessa progressão pela condição do teorema é menor que um, portanto, esta progressão é uma série convergente.

Portanto, com base no teste de comparação, concluímos que a série
converge, o que significa que a série
converge absolutamente.

Assim, se a série de potências
converge em um ponto X 1 , então converge absolutamente em qualquer ponto do intervalo de comprimento 2 centrado em um ponto X = 0.

Consequência. Se em x = x 1 série diverge, então ela diverge para todos
.

Assim, para cada série de potências existe um número positivo R tal que, para todas as X de tal modo que
série converge absolutamente, e para todo
a linha diverge. Neste caso, o número R é chamado raio de convergência. O intervalo (-R, R) é chamado intervalo de convergência.

Observe que esse intervalo pode ser fechado em um ou dois lados e não fechado.

O raio de convergência pode ser encontrado usando a fórmula:

Exemplo. Encontre a área de convergência de uma série

Encontrando o raio de convergência
.

Portanto, esta série converge para qualquer valor X. O termo comum desta série tende a zero.

Teorema. Se a série de potências
converge para um valor positivo x=x 1 , então converge uniformemente em qualquer intervalo dentro de
.

Ações com séries de potências.

1. Séries numéricas: conceitos básicos, condições necessárias para a convergência de uma série. O resto da fila.

2. Séries com termos positivos e sinais de convergência: sinais de comparação, d'Alembert, Cauchy.

3. Linhas alternadas, teste de Leibniz.

1. Definição de uma série numérica. Convergência

Em aplicações matemáticas, assim como na resolução de alguns problemas de economia, estatística e outras áreas, são consideradas somas com um número infinito de termos. Aqui definimos o que se entende por tais quantidades.

Seja uma sequência numérica infinita

Definição 1.1. Série numérica ou simplesmente aproximaré chamado uma expressão (soma) da forma

. (1.1)

Números chamado membros de um número, –em geral ou enésimo um membro da fila.

Para definir a série (1.1) é suficiente definir a função do argumento natural de calcular o º membro da série pelo seu número

Exemplo 1.1. Deixe ser . Linha

(1.2)

chamado série harmônica.

Exemplo 1.2. Deixar remar

(1.3)

chamado série harmônica generalizada. Em um caso particular, em , uma série harmônica é obtida.

Exemplo 1.3. Deixe =. Linha

chamado ao lado de uma progressão geométrica.

A partir dos termos da série (1.1) formamos um sequência de parcial quantidades Onde - a soma dos primeiros termos da série, que é chamada n-e soma parcial, ou seja

…………………………….

…………………………….

Sequência numérica com um aumento ilimitado no número, pode:

1) ter um limite finito;

2) não ter limite finito (o limite não existe ou é igual ao infinito).

Definição 1.2. A série (1.1) é chamada convergindo, se a sequência de suas somas parciais (1,5) tiver um limite finito, ou seja,

Neste caso, o número é chamado soma série (1.1) e é escrito

Definição 1.3. A série (1.1) é chamada divergente, se a sequência de suas somas parciais não tem limite finito.

Nenhuma soma é atribuída à série divergente.

Assim, o problema de encontrar a soma da série convergente (1.1) equivale a calcular o limite da sequência de suas somas parciais.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.4. Prove que a série

converge e encontre sua soma.

Vamos encontrar a n-ésima soma parcial da série dada.

Membro comum representamos a série na forma .

Daí temos: . Portanto, esta série converge e sua soma é igual a 1:

Exemplo 1.5. Investigar para séries de convergência

Para esta linha

. Portanto, esta série diverge.

Comente. Para , a série (1.6) é a soma de um número infinito de zeros e é obviamente convergente.

2. Propriedades básicas da série numérica

As propriedades de uma soma de um número finito de termos diferem das propriedades de uma série, ou seja, a soma de um número infinito de termos. Então, no caso de um número finito de termos, eles podem ser agrupados em qualquer ordem, isso não altera a soma. Existem séries convergentes (condicionalmente convergentes, que serão consideradas na Seção 5) para as quais, como Riemann mostrou * , alterando adequadamente a ordem de seus membros, pode-se tornar a soma das séries igual a qualquer número, e até mesmo uma série divergente.

Exemplo 2.1. Considere uma série divergente da forma (1.7)

Agrupando seus membros em pares, obtemos uma série de números convergentes com soma igual a zero:

Por outro lado, agrupando seus membros em pares, a partir do segundo membro, obtemos também uma série convergente, mas com soma igual a um:

As séries convergentes possuem certas propriedades que nos permitem tratá-las como se fossem somas finitas. Assim, eles podem ser multiplicados por números, somados e subtraídos termo a termo. Eles podem combinar em grupos quaisquer termos adjacentes.

Teorema 2.1.(Um critério necessário para a convergência de uma série).

Se a série (1.1) converge, então seu termo geral tende a zero à medida que n aumenta indefinidamente, ou seja,

A prova do teorema decorre do fato de que , e se

S é a soma da série (1.1), então

A condição (2.1) é uma condição necessária, mas não suficiente para a convergência da série. Ou seja, se o termo comum da série tende a zero em , isso não significa que a série converge. Por exemplo, para a série harmônica (1.2) no entanto, como será mostrado abaixo, ele diverge.