Ações de uma unidade e é representado como \frac(a)(b).

Numerador de fração (a)- o número acima da linha da fração e indicando o número de ações em que a unidade foi dividida.

Denominador de fração (b)- o número abaixo da linha da fração e mostrando quantas ações a unidade foi dividida.

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Propriedade básica de uma fração

Se ad=bc , então duas frações \frac(a)(b) e \frac(c)(d) são considerados iguais. Por exemplo, frações serão iguais \frac35 e \frac(9)(15), já que 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) e \frac(24)(14), pois 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Da definição da igualdade das frações segue-se que as frações serão iguais \frac(a)(b) e \frac(am)(bm), já que a(bm)=b(am) é um exemplo claro do uso das propriedades associativas e comutativas da multiplicação de números naturais em ação.

Significa \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- se parece com isso propriedade básica de uma fração.

Em outras palavras, obtemos uma fração igual à dada multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador da fração original pelo mesmo número natural.

Redução de fraçãoé o processo de substituição de uma fração, em que a nova fração é igual à original, mas com numerador e denominador menores.

É costume reduzir frações com base na propriedade principal de uma fração.

Por exemplo, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(o numerador e o denominador são divisíveis pelo número 3); a fração resultante pode ser novamente reduzida dividindo-se por 5, ou seja, \frac(15)(20)=\frac 34.

fração irredutívelé uma fração da forma \frac 34, onde o numerador e o denominador são números relativamente primos. O principal objetivo da redução de fração é tornar a fração irredutível.

Trazendo frações para um denominador comum

Tomemos duas frações como exemplo: \frac(2)(3) e \frac(5)(8) com denominadores diferentes 3 e 8 . Para trazer essas frações a um denominador comum e primeiro multiplique o numerador e o denominador da fração \frac(2)(3) por 8. Obtemos o seguinte resultado: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Em seguida, multiplique o numerador e o denominador da fração \frac(5)(8) por 3. Obtemos como resultado: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Assim, as frações originais são reduzidas a um denominador comum 24.

Operações aritméticas sobre frações ordinárias

Adição de frações ordinárias

a) Com os mesmos denominadores, o numerador da primeira fração é somado ao numerador da segunda fração, deixando o denominador igual. Como visto no exemplo:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Com denominadores diferentes, as frações são primeiro reduzidas a um denominador comum e, em seguida, os numeradores são adicionados de acordo com a regra a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Subtração de frações ordinárias

a) Com os mesmos denominadores, subtraia o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração, deixando o denominador igual:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Se os denominadores das frações forem diferentes, primeiro as frações são reduzidas a um denominador comum e, em seguida, repetir os passos como na alínea a).

Multiplicação de frações ordinárias

A multiplicação de frações obedece à seguinte regra:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

isto é, multiplique os numeradores e denominadores separadamente.

Por exemplo:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Divisão de frações ordinárias

As frações são divididas da seguinte maneira:

\frac(a)(b): \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

isso é uma fração \frac(a)(b) multiplicado por uma fração \frac(d)(c).

Exemplo: \frac(7)(2): \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Números recíprocos

Se ab=1, então o número b é número reverso para o número A.

Exemplo: para o número 9, o inverso é \frac(1)(9), Porque 9 \cdot \frac(1)(9)=1, para o número 5 - \frac(1)(5), Porque 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Decimais

Decimalé uma fração própria cujo denominador é 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Por exemplo: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

Da mesma forma, números incorretos com denominador 10 ^ n ou números mistos são escritos.

Por exemplo: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Na forma de uma fração decimal, é representada qualquer fração ordinária com um denominador que seja um divisor de uma certa potência do número 10.

Exemplo: 5 é um divisor de 100, então a fração \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

Operações aritméticas em frações decimais

Adicionando decimais

Para adicionar duas frações decimais, você precisa organizá-los para que os mesmos dígitos e uma vírgula apareçam um abaixo do outro e, em seguida, adicione as frações como números comuns.

Subtração de decimais

Funciona da mesma forma que a adição.

Multiplicação decimal

Ao multiplicar números decimais, basta multiplicar os números dados, ignorando as vírgulas (como números naturais), e na resposta recebida, a vírgula à direita separa quantos dígitos houver após o ponto decimal em ambos os fatores no total .

Vamos fazer a multiplicação de 2,7 por 1,3. Temos 27 \cdot 13=351 . Separamos dois dígitos da direita com uma vírgula (o primeiro e o segundo números têm um dígito após o ponto decimal; 1+1=2). Como resultado, obtemos 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Se o resultado for menos dígitos do que é necessário separar com uma vírgula, os zeros ausentes serão escritos na frente, por exemplo:

Para multiplicar por 10, 100, 1000, em uma fração decimal, mova a vírgula 1, 2, 3 dígitos para a direita (se necessário, um certo número de zeros é atribuído à direita).

Por exemplo: 1,47 \cdot 10\,000 = 14,700 .

Divisão decimal

A divisão de uma fração decimal por um número natural é feita da mesma forma que a divisão de um número natural por um número natural. Uma vírgula no privado é colocada após a divisão da parte inteira ser concluída.

Se a parte inteira do dividendo for menor que o divisor, a resposta será zero inteiros, por exemplo:

Considere dividir um decimal por um decimal. Digamos que precisamos dividir 2,576 por 1,12. Primeiramente, multiplicamos o dividendo e o divisor da fração por 100, ou seja, movemos a vírgula para a direita no dividendo e no divisor por quantos caracteres houver no divisor após a vírgula (neste exemplo , dois). Então você precisa dividir a fração 257,6 pelo número natural 112, ou seja, o problema é reduzido ao caso já considerado:

Acontece que a fração decimal final nem sempre é obtida ao dividir um número por outro. O resultado é um decimal infinito. Nesses casos, vá para frações ordinárias.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

Possuir propriedade básica de uma fração:

Observação 1

Se o numerador e o denominador de uma fração são multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, como resultado, obtemos uma fração igual à original:

$\frac(a\cdot n)(b\cdot n)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div n)(b\div n)=\frac(a)(b)$

Exemplo 1

Seja dado um quadrado dividido em $4$ partes iguais. Se $2$ de $4$ partes estiverem sombreadas, obtemos o $\frac(2)(4)$ sombreado de todo o quadrado. Se você olhar para este quadrado, é óbvio que exatamente metade dele está sombreado, ou seja, $(1)(2)$. Assim, obtemos $\frac(2)(4)=\frac(1)(2)$. Vamos fatorar os números $2$ e $4$:

Substituindo essas expansões em igualdade:

$\frac(1)(2)=\frac(2)(4)$,

$\frac(1)(2)=\frac(1\cdot 2)(2\cdot 2)$,

$\frac(1)(2)=\frac(2\div 2)(4\div 2)$.

Exemplo 2

É possível obter uma fração igual se o numerador e o denominador da fração dada forem multiplicados por $ 18 $ e depois divididos por $ 3 $?

Solução.

Seja dada alguma fração ordinária $\frac(a)(b)$. Por condição, o numerador e o denominador desta fração foram multiplicados por $ 18 $, temos:

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)$

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div 3)(b\div 3)$

De acordo com a propriedade básica de uma fração:

$\frac(a\div 3)(b\div 3)=\frac(a)(b)$

Assim, a fração resultante é igual à original.

Responda: Você pode obter uma fração igual ao original.

Aplicação da propriedade básica de uma fração

A propriedade principal de uma fração é mais frequentemente usada para:

• convertendo frações para um novo denominador:
• abreviaturas de frações.

Trazendo uma fração para um novo denominador- substituição de uma dada fração por uma fração que será igual a ela, mas com numerador maior e denominador maior. Para fazer isso, o numerador e o denominador da fração são multiplicados pelo mesmo número natural, como resultado, de acordo com a propriedade principal da fração, obtém-se uma fração igual à original, mas com maior numerador e denominador.

Redução de fração- substituição de uma dada fração por uma fração que será igual a ela, mas com numerador e denominador menores. Para fazer isso, o numerador e o denominador da fração são divididos por um divisor comum positivo do numerador e do denominador, que é diferente de zero, como resultado, de acordo com a propriedade principal da fração, é obtida uma fração que é igual ao original, mas com numerador e denominador menores.

Se dividirmos (reduzirmos) o numerador e o denominador por seu MDC, o resultado será forma irredutível da fração original.

Redução de fração

Como você sabe, frações ordinárias são divisíveis por contrátil e irredutível.

Para reduzir uma fração, você precisa dividir o numerador e o denominador da fração pelo seu divisor comum positivo, que não é igual a zero. Ao reduzir a fração, obtém-se uma nova fração com numerador e denominador menores, que, de acordo com a propriedade principal da fração, é igual à original.

Exemplo 3

Reduza a fração $\frac(15)(25)$.

Solução.

Reduza a fração em $ 5$ (divida seu numerador e denominador por $ 5$):

$\frac(15)(25)=\frac(15\div 5)(25\div 5)=\frac(3)(5)$

Responda: $\frac(15)(25)=\frac(3)(5)$.

Obtendo uma fração irredutível

Na maioria das vezes, uma fração é reduzida para obter uma fração irredutível igual à fração redutível original. Esse resultado pode ser obtido dividindo-se o numerador e o denominador da fração original por seu MDC.

$\frac(a\div gcd (a,b))(b\div gcd (a,b))$ é uma fração irredutível, porque de acordo com as propriedades de GCD, o numerador e denominador de uma dada fração são números coprimos.

MDC(a,b) é o maior número pelo qual tanto o numerador quanto o denominador da fração $\frac(a)(b)$ podem ser divididos. Assim, para reduzir uma fração a uma forma irredutível, é necessário dividir seu numerador e denominador por seus mdc.

Observação 2

Regra de redução de fração: 1. Encontre o MDC de dois números que estão no numerador e no denominador da fração. 2. Faça a divisão do numerador e denominador da fração pelo MDC encontrado.

Exemplo 4

Reduza a fração $6/36$ a uma forma irredutível.

Solução.

Vamos reduzir esta fração por GCD$(6,36)=6$, porque $36\div 6=6$. Nós temos:

$\frac(6)(36)=\frac(6\div 6)(36\div 6)=\frac(1)(6)$

Responda: $\frac(6)(36)=\frac(1)(6)$.

Na prática, a frase "reduzir uma fração" implica que você precisa reduzir a fração a uma forma irredutível.

Ao estudar frações ordinárias, encontramos os conceitos da propriedade básica de uma fração. Uma forma simplificada é necessária para resolver exemplos com frações ordinárias. Este artigo envolve a consideração de frações algébricas e a aplicação a elas da propriedade principal, que será formulada com exemplos de sua aplicação.

Formulação e justificativa

A principal propriedade de uma fração tem uma formulação da forma:

Definição 1

Ao multiplicar ou dividir simultaneamente o numerador e o denominador pelo mesmo número, o valor da fração permanece inalterado.

Ou seja, temos que a · m b · m = a b e a: m b: m = a b são equivalentes, onde a b = a · m b · me a b = a: m b: m são considerados válidos. Os valores a , b , m são alguns números naturais.

A divisão do numerador e denominador por um número pode ser representada como a · m b · m = a b . Isso é semelhante a resolver o exemplo 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 . Ao dividir, é usada uma igualdade da forma a: m b: m \u003d a b, depois 8 12 \u003d 2 4 2 4 \u003d 2 3. Também pode ser representado como um m b m \u003d a b, ou seja, 8 12 \u003d 2 4 3 4 \u003d 2 3.

Ou seja, a propriedade principal da fração a · m b · m = a b e a b = a · m b · m será considerada em detalhes em contraste com a: m b: m = a b e a b = a: m b: m .

Se o numerador e o denominador contiverem números reais, a propriedade se aplicará. Devemos primeiro provar a validade da desigualdade escrita para todos os números. Ou seja, prove a existência de a · m b · m = a b para todo real a , b , m , onde b e m são valores diferentes de zero para evitar a divisão por zero.

Prova 1

Seja uma fração da forma a b considerada parte do registro z, ou seja, a b = z, então é necessário provar que a · m b · m corresponde a z, ou seja, provar a · m b · m = z. Então isso nos permitirá provar a existência da igualdade a · m b · m = a b .

A barra de fração significa o sinal de divisão. Aplicando a relação com multiplicação e divisão, obtemos que de a b = z após a transformação obtemos a = b · z . De acordo com as propriedades das desigualdades numéricas, ambas as partes da desigualdade devem ser multiplicadas por um número diferente de zero. Então multiplicamos pelo número m, obtemos que a · m = (b · z) · m . Por propriedade, temos o direito de escrever a expressão na forma a · m = (b · m) · z . Portanto, segue-se da definição que a b = z . Essa é toda a prova da expressão a · m b · m = a b .

As igualdades da forma a · m b · m = a b e a b = a · m b · m fazem sentido quando em vez de a , b , m existem polinômios e em vez de b e m são diferentes de zero.

A principal propriedade de uma fração algébrica: quando multiplicamos simultaneamente o numerador e o denominador pelo mesmo número, obtemos um identicamente igual à expressão original.

A propriedade é considerada justa, pois operações com polinômios correspondem a operações com números.

Exemplo 1

Considere o exemplo da fração 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 . É possível converter para a forma 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 - x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y).

A multiplicação pelo polinômio x 2 + 2 · x · y foi realizada. Da mesma forma, a propriedade principal ajuda a se livrar de x 2, que está presente na fração da forma 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) dada pela condição, para a forma 5 x + 5 x 3 + 3. Isso se chama simplificação.

A propriedade principal pode ser escrita como expressões a · m b · m = a b e a b = a · m b · m , quando a , b , m são polinômios ou variáveis ​​ordinárias, e b e m devem ser diferentes de zero.

Âmbito de aplicação da propriedade principal de uma fração algébrica

A utilização da propriedade principal é relevante para a redução a um novo denominador ou para a redução de uma fração.

Definição 2

A redução a um denominador comum é a multiplicação do numerador e denominador por um polinômio semelhante para obter um novo. A fração resultante é igual à original.

Ou seja, uma fração da forma x + y x 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1 quando multiplicada por x 2 + 1 e reduzida a um denominador comum (x + 1) (x 2 + 1) obterá o forma x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

Após realizar operações com polinômios, obtemos que a fração algébrica é convertida em x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1.

A redução a um denominador comum também é realizada ao adicionar ou subtrair frações. Se forem dados coeficientes fracionários, primeiro é necessário fazer uma simplificação, o que simplificará a forma e a própria descoberta do denominador comum. Por exemplo, 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

A aplicação da propriedade ao reduzir frações é realizada em 2 etapas: decompondo o numerador e denominador em fatores para encontrar o m comum, fazendo então a transição para a forma da fração a b , com base na igualdade da forma a · m b · m = ab.

Se uma fração da forma 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 após a decomposição é convertida em x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, é óbvio que o multiplicador geral é o polinômio 4 · x 2 − y . Então será possível reduzir a fração de acordo com sua propriedade principal. Nós entendemos isso

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. A fração é simplificada, então ao substituir os valores, será necessário realizar muito menos ações do que ao substituir no original.

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Do curso de álgebra do currículo escolar, nos voltamos para as especificidades. Neste artigo, estudaremos em detalhes um tipo especial de expressões racionais - frações racionais, e também analisar qual característica idêntica transformações de frações racionais tomar lugar.

Observamos imediatamente que as frações racionais no sentido em que as definimos abaixo são chamadas de frações algébricas em alguns livros de álgebra. Ou seja, neste artigo vamos entender a mesma coisa sob frações racionais e algébricas.

Como de costume, começamos com uma definição e exemplos. A seguir, vamos falar sobre trazer uma fração racional para um novo denominador e sobre como mudar os sinais dos membros da fração. Depois disso, analisaremos como é realizada a redução de frações. Por fim, detenhamo-nos na representação de uma fração racional como a soma de várias frações. Todas as informações serão fornecidas com exemplos com descrições detalhadas das soluções.

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Definição e exemplos de frações racionais

As frações racionais são estudadas nas aulas de álgebra na 8ª série. Usaremos a definição de fração racional, que é dada no livro de álgebra para 8 aulas por Yu. N. Makarychev e outros.

Esta definição não especifica se os polinômios no numerador e denominador de uma fração racional devem ser polinômios de forma padrão ou não. Portanto, vamos supor que frações racionais podem conter polinômios padrão e não padrão.

Aqui estão alguns exemplos de frações racionais. Então, x/8 e - frações racionais. E frações e não se encaixam na definição de fração racional, pois na primeira delas o numerador não é um polinômio, e na segunda tanto o numerador quanto o denominador contêm expressões que não são polinômios.

Convertendo o numerador e o denominador de uma fração racional

O numerador e o denominador de qualquer fração são expressões matemáticas autossuficientes, no caso de frações racionais são polinômios, em um caso particular são monômios e números. Portanto, com o numerador e o denominador de uma fração racional, como em qualquer expressão, podem ser realizadas transformações idênticas. Em outras palavras, a expressão no numerador de uma fração racional pode ser substituída por uma expressão que seja identicamente igual a ela, assim como o denominador.

No numerador e denominador de uma fração racional, transformações idênticas podem ser realizadas. Por exemplo, no numerador, você pode agrupar e reduzir termos semelhantes, e no denominador, o produto de vários números pode ser substituído pelo seu valor. E como o numerador e o denominador de uma fração racional são polinômios, é possível realizar com eles transformações características de polinômios, por exemplo, redução a uma forma padrão ou representação como produto.

Para maior clareza, considere as soluções de vários exemplos.

Exemplo.

Converter Fração Racional de modo que o numerador é um polinômio da forma padrão, e o denominador é o produto de polinômios.

Solução.

Reduzir frações racionais a um novo denominador é usado principalmente ao adicionar e subtrair frações racionais.

Alterar sinais na frente de uma fração, bem como em seu numerador e denominador

A propriedade básica de uma fração pode ser usada para alterar os sinais dos termos da fração. De fato, multiplicar o numerador e o denominador de uma fração racional por -1 equivale a mudar seus sinais, e o resultado é uma fração identicamente igual à dada. Essa transformação deve ser usada com bastante frequência ao trabalhar com frações racionais.

Assim, se você alterar simultaneamente os sinais do numerador e do denominador de uma fração, obterá uma fração igual à original. Esta afirmação corresponde à igualdade.

Vamos dar um exemplo. Uma fração racional pode ser substituída por uma fração identicamente igual com sinais invertidos do numerador e denominador da forma.

Com frações, mais uma transformação idêntica pode ser realizada, na qual o sinal é alterado no numerador ou no denominador. Vamos rever a regra apropriada. Se você substituir o sinal de uma fração pelo sinal do numerador ou denominador, obterá uma fração idêntica à original. A declaração escrita corresponde às igualdades e .

Não é difícil provar essas igualdades. A prova é baseada nas propriedades da multiplicação de números. Vamos provar a primeira delas: . Com a ajuda de transformações semelhantes, a igualdade também é provada.

Por exemplo, uma fração pode ser substituída por uma expressão ou .

Para concluir esta subseção, apresentamos mais duas igualdades úteis e . Ou seja, se você alterar o sinal apenas do numerador ou apenas do denominador, a fração mudará seu sinal. Por exemplo, e .

As transformações consideradas, que permitem alterar o sinal dos termos de uma fração, são frequentemente utilizadas na transformação de expressões fracionárias racionais.

Redução de frações racionais

A seguinte transformação de frações racionais, chamada de redução de frações racionais, é baseada na mesma propriedade básica de uma fração. Essa transformação corresponde à igualdade , onde a , b e c são alguns polinômios, e b e c são diferentes de zero.

Da igualdade acima, fica claro que a redução de uma fração racional implica livrar-se do fator comum em seu numerador e denominador.

Exemplo.

Reduza a fração racional.

Solução.

O fator comum 2 é imediatamente visível, vamos reduzi-lo (ao escrever, é conveniente riscar os fatores comuns pelos quais a redução é feita). Nós temos . Como x 2 \u003d x x e y 7 \u003d y 3 y 4 (veja se necessário), fica claro que x é um fator comum do numerador e denominador da fração resultante, como y 3 . Vamos reduzir por esses fatores: . Isso completa a redução.

Acima, realizamos a redução de uma fração racional sequencialmente. E foi possível realizar a redução em uma etapa, reduzindo imediatamente a fração em 2·x·y 3 . Nesse caso, a solução ficaria assim: .

Responda:

.

Ao reduzir frações racionais, o principal problema é que o fator comum do numerador e denominador nem sempre é visível. Além disso, nem sempre existe. Para encontrar um fator comum ou certificar-se de que ele não existe, você precisa fatorar o numerador e o denominador de uma fração racional. Se não houver fator comum, a fração racional original não precisa ser reduzida, caso contrário, a redução é realizada.

No processo de redução de frações racionais, várias nuances podem surgir. As principais sutilezas com exemplos e detalhes são discutidas no artigo redução de frações algébricas.

Concluindo a conversa sobre a redução de frações racionais, notamos que essa transformação é idêntica, e a principal dificuldade em sua implementação está na fatoração de polinômios no numerador e denominador.

Representação de uma fração racional como uma soma de frações

Bastante específico, mas em alguns casos muito útil, é a transformação de uma fração racional, que consiste em sua representação como a soma de várias frações, ou a soma de uma expressão inteira e uma fração.

Uma fração racional, em cujo numerador existe um polinômio, que é a soma de vários monômios, sempre pode ser escrita como a soma de frações com os mesmos denominadores, em cujos numeradores estão os monômios correspondentes. Por exemplo, . Essa representação é explicada pela regra de adição e subtração de frações algébricas com os mesmos denominadores.

Em geral, qualquer fração racional pode ser representada como uma soma de frações de muitas maneiras diferentes. Por exemplo, a fração a/b pode ser representada como a soma de duas frações - uma fração arbitrária c/d e uma fração igual à diferença entre as frações a/bec/d. Esta afirmação é verdadeira, pois a igualdade . Por exemplo, uma fração racional pode ser representada como uma soma de frações de várias maneiras: Representamos a fração original como a soma de uma expressão inteira e uma fração. Depois de dividir o numerador pelo denominador por uma coluna, obtemos a igualdade . O valor da expressão n 3 +4 para qualquer inteiro n é um inteiro. E o valor de uma fração é um inteiro se e somente se seu denominador for 1, −1, 3 ou −3. Esses valores correspondem aos valores n=3 , n=1 , n=5 e n=−1 respectivamente.

Responda:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografia.

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• Mordkovitch A. G.Álgebra. 8 ª série. Às 14h Parte 1. Um livro didático para estudantes de instituições educacionais / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., apagada. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., ll.

Falando de matemática, não se pode deixar de lembrar frações. Seu estudo é dado muita atenção e tempo. Lembre-se de quantos exemplos você teve que resolver para aprender certas regras para trabalhar com frações, como você memorizou e aplicou a propriedade principal de uma fração. Quantos nervos foram gastos para encontrar um denominador comum, especialmente se houvesse mais de dois termos nos exemplos!

Vamos lembrar o que é e refrescar um pouco a memória sobre as informações básicas e as regras para trabalhar com frações.

Definição de frações

Vamos começar com a coisa mais importante - definições. Uma fração é um número que consiste em uma ou mais partes unitárias. Um número fracionário é escrito como dois números separados por uma barra ou horizontal. Nesse caso, o superior (ou primeiro) é chamado de numerador e o inferior (segundo) é chamado de denominador.

Vale ressaltar que o denominador mostra em quantas partes a unidade está dividida e o numerador mostra o número de ações ou partes tomadas. Muitas vezes as frações, se estiverem corretas, são menores que um.

Agora vamos ver as propriedades desses números e as regras básicas que são usadas ao trabalhar com eles. Mas antes de analisarmos um conceito como "a principal propriedade de uma fração racional", vamos falar sobre os tipos de frações e suas características.

O que são frações

Existem vários tipos de tais números. Em primeiro lugar, estes são ordinários e decimais. Os primeiros são o tipo de registro já indicado por nós usando uma barra horizontal ou barra. O segundo tipo de frações é indicado usando a chamada notação posicional, quando a parte inteira do número é indicada primeiro e, em seguida, após o ponto decimal, a parte fracionária é indicada.

Vale a pena notar aqui que em matemática tanto frações decimais quanto ordinárias são usadas igualmente. A propriedade principal da fração é válida apenas para a segunda opção. Além disso, nas frações ordinárias, os números certos e errados são distinguidos. Para o primeiro, o numerador é sempre menor que o denominador. Observe também que tal fração é menor que a unidade. Em uma fração imprópria, ao contrário, o numerador é maior que o denominador, e ele mesmo é maior que um. Nesse caso, um inteiro pode ser extraído dele. Neste artigo, consideraremos apenas frações ordinárias.

Propriedades da fração

Qualquer fenômeno, químico, físico ou matemático, tem características e propriedades próprias. Os números fracionários não são exceção. Eles têm uma característica importante, com a qual é possível realizar certas operações neles. Qual é a principal propriedade de uma fração? A regra diz que se seu numerador e denominador forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número racional, obteremos uma nova fração, cujo valor será igual ao valor original. Ou seja, multiplicando as duas partes do número fracionário 3/6 por 2, obtemos uma nova fração 6/12, enquanto elas serão iguais.

Com base nessa propriedade, você pode reduzir frações, bem como selecionar denominadores comuns para um determinado par de números.

Operações

Embora as frações pareçam mais complexas para nós, elas também podem realizar operações matemáticas básicas, como adição e subtração, multiplicação e divisão. Além disso, existe uma ação tão específica quanto a redução de frações. Naturalmente, cada uma dessas ações é realizada de acordo com certas regras. Conhecer essas leis facilita o trabalho com frações, tornando-o mais fácil e interessante. É por isso que consideraremos as regras básicas e o algoritmo de ações ao trabalhar com esses números.

Mas antes de falarmos sobre operações matemáticas como adição e subtração, analisaremos tal operação como redução a um denominador comum. É aqui que o conhecimento de qual propriedade básica de uma fração existe será útil.

Denominador comum

Para reduzir um número a um denominador comum, primeiro você precisa encontrar o mínimo múltiplo comum dos dois denominadores. Ou seja, o menor número que é divisível simultaneamente por ambos os denominadores sem deixar resto. A maneira mais fácil de encontrar o MMC (mínimo múltiplo comum) é escrever em uma linha para um denominador, depois para o segundo e encontrar um número correspondente entre eles. Caso o LCM não seja encontrado, ou seja, esses números não possuem um múltiplo comum, eles devem ser multiplicados, e o valor resultante deve ser considerado como o LCM.

Então, encontramos o LCM, agora precisamos encontrar um multiplicador adicional. Para fazer isso, você precisa dividir alternadamente o MMC em denominadores de frações e escrever o número resultante sobre cada um deles. Em seguida, multiplique o numerador e o denominador pelo fator adicional resultante e escreva os resultados como uma nova fração. Se você duvida que o número recebido seja igual ao anterior, lembre-se da propriedade principal da fração.

Adição

Agora vamos direto para as operações matemáticas em números fracionários. Vamos começar com o mais simples. Existem várias opções para adicionar frações. No primeiro caso, ambos os números têm o mesmo denominador. Nesse caso, resta apenas somar os numeradores. Mas o denominador não muda. Por exemplo, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Se as frações tiverem denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas a um comum e somente então a adição deve ser realizada. Como fazer isso, discutimos com você um pouco mais alto. Nesta situação, a propriedade principal da fração será útil. A regra permitirá que você leve os números a um denominador comum. O valor não será alterado de forma alguma.

Alternativamente, pode acontecer que a fração seja misturada. Então você deve primeiro somar as partes inteiras e depois as fracionárias.

Multiplicação

Não requer nenhum truque e, para realizar essa ação, não é necessário conhecer a propriedade básica da fração. É suficiente primeiro multiplicar os numeradores e denominadores juntos. Nesse caso, o produto dos numeradores se tornará o novo numerador e o produto dos denominadores se tornará o novo denominador. Como você pode ver, nada complicado.

A única coisa que é exigida de você é o conhecimento da tabuada, bem como a atenção. Além disso, após receber o resultado, você deve verificar definitivamente se esse número pode ser reduzido ou não. Falaremos sobre como reduzir frações um pouco mais tarde.

Subtração

A execução deve ser guiada pelas mesmas regras da adição. Assim, em números com o mesmo denominador, basta subtrair o numerador do subtraendo do numerador do minuendo. Caso as frações tenham denominadores diferentes, você deve trazê-las para um comum e depois realizar esta operação. Assim como no caso de adição análoga, você precisará usar a propriedade básica de uma fração algébrica, bem como habilidades para encontrar o MMC e fatores comuns para frações.

Divisão

E a última e mais interessante operação ao trabalhar com esses números é a divisão. É bastante simples e não causa nenhuma dificuldade particular mesmo para quem não entende como trabalhar com frações, principalmente para realizar operações de adição e subtração. Ao dividir, essa regra se aplica como multiplicação por uma fração recíproca. A propriedade principal de uma fração, como no caso da multiplicação, não será utilizada para esta operação. Vamos olhar mais de perto.

Ao dividir números, o dividendo permanece inalterado. O divisor é invertido, ou seja, o numerador e o denominador são invertidos. Depois disso, os números são multiplicados entre si.

Redução

Portanto, já examinamos a definição e a estrutura das frações, seus tipos, as regras de operações em números dados e descobrimos a principal propriedade de uma fração algébrica. Agora vamos falar sobre tal operação como redução. Reduzir uma fração é o processo de convertê-la - dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número. Assim, a fração é reduzida sem alterar suas propriedades.

Normalmente, ao realizar uma operação matemática, você deve observar atentamente o resultado obtido no final e descobrir se é possível reduzir ou não a fração resultante. Lembre-se que o resultado final é sempre escrito como um número fracionário que não requer redução.

Outras operações

Por fim, notamos que listamos longe de todas as operações com números fracionários, mencionando apenas as mais famosas e necessárias. As frações também podem ser comparadas, convertidas em decimais e vice-versa. Mas neste artigo não consideramos essas operações, pois em matemática elas são realizadas com muito menos frequência do que as que demos acima.

conclusões

Conversamos sobre números fracionários e operações com eles. Também analisamos a propriedade principal, mas notamos que todas essas questões foram consideradas por nós de passagem. Demos apenas as regras mais conhecidas e usadas, demos os conselhos mais importantes, em nossa opinião.

Este artigo pretende atualizar as informações que você esqueceu sobre frações, em vez de fornecer novas informações e "martelar" sua cabeça com infinitas regras e fórmulas, que, muito provavelmente, não serão úteis para você.

Esperamos que o material apresentado no artigo de forma simples e concisa tenha se tornado útil para você.