A essência do método de coordenadas para resolver problemas geométricos
A essência de resolver problemas usando o método de coordenadas é introduzir um sistema de coordenadas que seja conveniente para nós em um caso ou outro e reescrever todos os dados usando-o. Depois disso, todas as incógnitas ou provas são realizadas usando este sistema. Como inserir as coordenadas dos pontos em qualquer sistema de coordenadas foi discutido por nós em outro artigo - não vamos nos debruçar sobre isso aqui.
Vamos apresentar as principais asserções que são usadas no método de coordenadas.
Declaração 1: As coordenadas do vetor serão determinadas pela diferença entre as coordenadas correspondentes do final deste vetor e seu início.
Declaração 2: As coordenadas do ponto médio do segmento serão definidas como metade da soma das coordenadas correspondentes de seus limites.
Declaração 3: O comprimento de qualquer vetor $\overline(δ)$ com as coordenadas fornecidas $(δ_1,δ_2,δ_3)$ será determinado pela fórmula
$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$
Declaração 4: A distância entre quaisquer dois pontos dados pelas coordenadas $(δ_1,δ_2,δ_3)$ e $(β_1,β_2,β_3)$ será determinada pela fórmula
$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$
Esquema para resolver problemas geométricos usando o método de coordenadas
Para resolver problemas geométricos usando o método de coordenadas, é melhor usar este esquema:
- Defina o sistema de coordenadas mais adequado para a tarefa;
- Matematicamente, escreve-se a condição do problema, a questão do problema, constrói-se um desenho para este problema.
Anote todos os dados do problema nas coordenadas do sistema de coordenadas selecionado.
- Componha as relações necessárias a partir da condição do problema, e também conecte essas relações com o que precisa ser encontrado (comprovado no problema).
- O resultado obtido é traduzido para a linguagem da geometria.
Analise o que é dado no problema:
Exemplos de problemas resolvidos pelo método de coordenadas
As seguintes tarefas podem ser destacadas como as principais tarefas que levam ao método de coordenadas (suas soluções não serão dadas aqui):
- Tarefas para encontrar as coordenadas de um vetor em seu final e início.
- Tarefas relacionadas à divisão de um segmento em qualquer aspecto.
- Prova de que três pontos estão na mesma linha ou que quatro pontos estão no mesmo plano.
- Tarefas para encontrar a distância entre dois pontos dados.
- Problemas para encontrar volumes e áreas de formas geométricas.
Os resultados da resolução do primeiro e quarto problemas são apresentados por nós como as principais declarações acima e são frequentemente usados para resolver outros problemas usando o método de coordenadas.
Exemplos de tarefas para aplicar o método de coordenadas
Exemplo 1
Encontre o lado de uma pirâmide regular cuja altura é $ 3$ cm se o lado da base for $ 4$ cm.
Vamos nos dar uma pirâmide regular $ABCDS$, cuja altura é $SO$. Vamos introduzir um sistema de coordenadas, como na Figura 1.
Como o ponto $A$ é o centro do sistema de coordenadas que construímos, então
Como os pontos $B$ e $D$ pertencem aos eixos $Ox$ e $Oy$, respectivamente, então
$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$
Como o ponto $C$ pertence ao plano $Oxy$, então
Como a pirâmide é regular, então $O$ é o ponto médio do segmento $$. De acordo com a afirmação 2, temos:
$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$
Já que a altura $SO$
Teste de aula de geometria no 11º ano
Sujeito: " Método de coordenadas no espaço”.
Alvo: Verificar os conhecimentos teóricos dos alunos, as suas competências e capacidades para aplicar esses conhecimentos na resolução de problemas de forma vectorial, coordenada por vectores.
Tarefas:
1 .Criar condições de controlo (autocontrolo, controlo mútuo) da assimilação de conhecimentos e competências.
2. Desenvolver o pensamento matemático, fala, atenção.
3. Promover a atividade, a mobilidade, a capacidade de comunicação, a cultura geral dos alunos.
Formulário de conduta: trabalho em grupos.
Equipamentos e fontes de informação: tela, projetor multimídia, planilha, cartões de crédito, testes.
Durante as aulas
1. Momento mobilizador.
Lição usando CSR; os alunos são divididos em 3 grupos dinâmicos, nos quais os alunos apresentam um nível aceitável, ótimo e avançado. Cada grupo tem um coordenador que gerencia o trabalho de todo o grupo.
2 . Autodeterminação dos alunos com base na antecipação.
Tarefa:estabelecimento de metas de acordo com o esquema: lembrar-aprender-ser capaz.
Teste de entrada - Preencha os espaços em branco (nas impressões)
teste de admissão
Preencher as lacunas…
1. Três linhas perpendiculares aos pares são desenhadas através de um ponto no espaço
nós, em cada um deles, a direção e a unidade de medida dos segmentos são selecionadas,
então eles dizem que está definido …………. no espaço.
2. Linhas retas com direções escolhidas nelas são chamadas ……………..,
e seu ponto comum é …………. .
3. Em um sistema de coordenadas retangulares, cada ponto M do espaço está associado a um triplo de números que o chamam ………………..
4. As coordenadas de um ponto no espaço são chamadas ………………..
5. Um vetor cujo comprimento é igual a um é chamado …………..
6. Vetores euyksão chamados………….
7. Probabilidades xyz em decomposição uma= xeu + yj + zk chamado
……………vetor uma .
8. Cada coordenada da soma de dois ou mais vetores é igual a ……………..
9. Cada coordenada da diferença de dois vetores é igual a ……………….
10. Cada coordenada do produto de um vetor e um número é igual a………………..
11.Cada coordenada do vetor é igual a…………….
12. Cada coordenada do meio do segmento é igual a……………….
13. Comprimento do vetor uma { xyz) é calculado pela fórmula ………………………
14. Distância entre os pontos M 1(x 1 ; y 1; z 1) e M 2 (x 2; y 2 ; z2) é calculado pela fórmula …………………
15. O produto escalar de dois vetores é chamado……………..
16. O produto escalar de vetores diferentes de zero é igual a zero………………..
17. Produto escalar de vetoresuma{ x 1; y 1; z 1} b { x 2 ; y 2 ; z 2) em expresso pela fórmula…………………
Verificação mútua do teste de admissão. Respostas para as tarefas do teste na tela.
Critério de avaliação:
1-2 erros - "5"
3-4 erros - "4"
5-6 erros - "3"
Em outros casos - "2"
3. Fazendo o trabalho. (para cartões).
Cada cartão contém duas tarefas: No. 1 - teórica com prova, No. 2 inclui tarefas.
Explique o nível de dificuldade das tarefas incluídas no trabalho. O grupo realiza uma tarefa, mas com 2 partes. O coordenador do grupo gerencia o trabalho de todo o grupo. A discussão da mesma informação com vários parceiros aumenta a responsabilidade não só pelo próprio sucesso, mas também pelos resultados do trabalho coletivo, o que tem um efeito positivo no microclima da equipe.
CARTÃO #1
1. Deduza fórmulas que expressem as coordenadas do meio do segmento em função das coordenadas de suas extremidades.
2. Tarefa: 1) Pontos A (-3; 1; 2) e B (1; -1; 2) são dados
Encontrar:
a) as coordenadas do ponto médio do segmento AB
b) coordenadas e comprimento do vetor AB
2) O cubo ABCDA1 B1 C1 D1 é dado. Usando o método das coordenadas, encontre o ângulo
entre as linhas AB1 e A1 D.
CARTÃO#2
Deduza uma fórmula para calcular o comprimento de um vetor a partir de suas coordenadas.
Tarefa: 1) Dados os pontos M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Encontre a distância da origem das coordenadas ao meio do segmento MN.
→ → → → →
2) Dados vetoriais uma e b. Encontrar b(a+b), E se a(-2;3;6),b=6i-8k
CARTÃO #3
Deduza uma fórmula para calcular a distância entre pontos com as coordenadas dadas.
Tarefa: 1) Pontos A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4) são dados.
Prove que ∆ABC é isósceles e encontre o comprimento da linha média do triângulo que liga os pontos médios dos lados.
2) Calcule o ângulo entre as retas AB e SD se A(1;1;0),
B(3;-1;2), D(0;1;0).
CARTÃO#4
Derivar fórmulas para o cosseno do ângulo entre vetores diferentes de zero com coordenadas dadas.
Tarefa: 1) As coordenadas de três vértices do paralelogramo ABCD são dadas:
A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Encontre as coordenadas do ponto D.
2) Encontre o ângulo entre as linhas AB e CD, se A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .
CARTÃO#5
Diga-nos como calcular o ângulo entre duas linhas no espaço usando os vetores de direção dessas linhas. →→
Tarefa: 1) Encontre o produto escalar de vetoresuma e b, E se:
→ → → ^ →
a) | uma| =4; | b| =√3 (umab)=30◦
b) uma {2 ;-3; 1}, b = 3 eu +2 k
2) Pontos A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) e D(2;4;4) são dados. Prove que ABCD é um losango.
4. Verificando o trabalho dos grupos dinâmicos nos cartões.
Ouvimos os discursos dos representantes dos grupos. O trabalho dos grupos é avaliado pelo professor com a participação dos alunos.
5. Reflexão. Notas para crédito.
Teste final com escolha de respostas (em impressos).
1) Os vetores são dados uma {2 ;-4 ;3} b(-3; ─ ; 1). Encontrar coordenadas vetoriais
→ 2
c = uma+ b
a) (-5; 3 −; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 −; 2) d) (-1; 3,5; -4)
2) Vetores são dados uma(4; -3; 5) e b(-3; 1; 2). Encontrar coordenadas vetoriais
C=2 uma – 3 b
a) (7;-2;3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).
→ → → → → →
3) Calcule o produto escalar de vetoresm e n, E se m = uma + 2 b- c
→ → → → →^ → → → → →
n= 2 uma - b se | uma|=2 , | b |=3, (umab)=60°, c ┴ uma , c ┴ b.
a)-1; b) -27; em 1; e) 35.
4) Comprimento do vetor uma { xyz) é igual a 5. Encontre as coordenadas do vetor a sex=2, z=-√5
a) 16; b) 4 ou -4; às 9; d) 3 ou -3.
5) Encontre a área ∆ABC se A(1;-1;3); B(3;-1;1) e C(-1;1;-3).
a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.
Teste de validação cruzada. Códigos de resposta para tarefas de teste na tela: 1(b); 2(c);
3(a); 4(b); 5(c).
Critério de avaliação:
Tudo está correto - "5"
1 erro - "4"
2 erros - "3"
Em outros casos - "2"
Tabela de conhecimento do aluno
Trabalho em
cartas
final
teste
Pontuação de crédito
Tarefas
teoria
prática
1 grupo
2 grupo
3 grupo
Avaliação da preparação dos alunos para a prova.
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Legendas dos slides:
Sistema de coordenadas retangulares no espaço. Coordenadas vetoriais.
Sistema de coordenadas retangulares
Se três linhas perpendiculares aos pares são desenhadas através de um ponto no espaço, uma direção é escolhida em cada uma delas e uma unidade de medida de segmentos é escolhida, então eles dizem que um sistema de coordenadas retangulares é definido no espaço
Linhas retas, com direções escolhidas nelas, são chamadas de eixos coordenados, e seu ponto comum é chamado de origem das coordenadas. Geralmente é denotado pela letra O. Os eixos coordenados são indicados da seguinte forma: Ox, Oy, O z - e têm nomes: o eixo das abcissas, o eixo y, o eixo aplicado.
Todo o sistema de coordenadas é denotado Oxy z . Os planos que passam pelos eixos coordenados Ox e Oy, Oy e O z , O z e Ox, respectivamente, são chamados de planos coordenados e são denotados Oxy, Oy z , O z x.
O ponto O divide cada um dos eixos coordenados em dois feixes. O raio cuja direção coincide com a direção do eixo é chamado de semieixo positivo, e o outro raio é o semieixo negativo.
Em um sistema de coordenadas retangulares, cada ponto M do espaço está associado a um triplo de números, que são chamados de suas coordenadas.
A figura mostra seis pontos A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F(0; 0; -3).
Coordenadas vetoriais
Qualquer vetor pode ser decomposto em vetores de coordenadas, ou seja, representados na forma em que os coeficientes de expansão x, y, z são determinados exclusivamente.
Os coeficientes x, yez na expansão de um vetor em termos de vetores de coordenadas são chamados de coordenadas do vetor no sistema de coordenadas dado.
Considere as regras que nos permitem encontrar as coordenadas de sua soma e diferença, bem como as coordenadas do produto de um determinado vetor por um determinado número, usando as coordenadas desses vetores.
dez. Cada coordenada da soma de dois ou mais vetores é igual à soma das coordenadas correspondentes desses vetores. Em outras palavras, se a (x 1, y 1, z 1) e b (x 2, y 2, z 2 ) são vetores dados, então o vetor a + b tem coordenadas (x 1 + x 2, y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ).
20. Cada coordenada da diferença de dois vetores é igual à diferença das coordenadas correspondentes desses vetores. Em outras palavras, se a (x 1, y 1, z 1) e b (x 2 y 2; z 2) são vetores dados, então o vetor a - b tem coordenadas (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2 ).
trinta . Cada coordenada do produto de um vetor por um número é igual ao produto da coordenada correspondente do vetor por esse número. Em outras palavras, se a (x; y; x) é um dado vetor, α é um dado número, então o vetor α a tem coordenadas (αx; αy; α z).
Sobre o tema: desenvolvimentos metodológicos, apresentações e notas
Apostila didática "Um conjunto de notas para os alunos sobre o tema "Método de coordenadas no espaço" para a realização de aulas na forma de palestras. Geometria 10-11....
O objetivo da lição: Testar os conhecimentos, habilidades e habilidades dos alunos sobre o tópico "Usando o método de coordenadas no espaço para resolver tarefas C2 USE".
O método de coordenadas é uma maneira muito eficiente e versátil de encontrar quaisquer ângulos ou distâncias entre objetos estereométricos no espaço. Se o seu professor de matemática é altamente qualificado, ele deve saber disso. Caso contrário, eu aconselharia a parte "C" a mudar o tutor. Minha preparação para o exame de matemática C1-C6 geralmente inclui uma análise dos algoritmos e fórmulas básicos descritos abaixo.
Ângulo entre as linhas a e b
O ângulo entre as linhas no espaço é o ângulo entre quaisquer linhas de interseção paralelas a elas. Esse ângulo é igual ao ângulo entre os vetores de direção dessas linhas (ou o complementa em 180 graus).
Qual algoritmo o professor de matemática usa para encontrar o ângulo?
1) Escolha quaisquer vetores 
e tendo direções das linhas a e b (paralelas a elas).
2) Determinamos as coordenadas dos vetores e pelas coordenadas correspondentes de seus inícios e finais (as coordenadas do início devem ser subtraídas das coordenadas do final do vetor).
3) Substituímos as coordenadas encontradas na fórmula:
. Para encontrar o ângulo em si, você precisa encontrar o arco cosseno do resultado.
Normal ao plano
Uma normal a um plano é qualquer vetor perpendicular a esse plano.
Como encontrar o normal? Para encontrar as coordenadas da normal, basta conhecer as coordenadas de quaisquer três pontos M, N e K situados no plano dado. Usando essas coordenadas, encontramos as coordenadas dos vetores e e exigimos que as condições e sejam satisfeitas. Igualando o produto escalar de vetores a zero, compomos um sistema de equações com três variáveis, a partir das quais podemos encontrar as coordenadas da normal.
Nota do professor de matemática : Não é necessário resolver o sistema completamente, pois basta escolher pelo menos uma normal. Para fazer isso, você pode substituir qualquer número (por exemplo, um) em vez de qualquer uma de suas coordenadas desconhecidas e resolver um sistema de duas equações com as duas incógnitas restantes. Se não tiver soluções, isso significa que na família de normais não há ninguém que tenha uma unidade para a variável selecionada. Em seguida, substitua uma variável por outra (outra coordenada) e resolva um novo sistema. Se você errar novamente, seu normal terá uma unidade na última coordenada e ficará paralelo a algum plano de coordenadas (neste caso, é fácil encontrá-lo sem um sistema).
Digamos que recebemos uma reta e um plano com as coordenadas do vetor de direção e da normal
O ângulo entre uma linha reta e um plano é calculado usando a seguinte fórmula:
Sejam e sejam quaisquer duas normais aos planos dados. 
Então o cosseno do ângulo entre os planos é igual ao módulo do cosseno do ângulo entre as normais:
Equação de um plano no espaço
Pontos que satisfazem a igualdade formam um plano com a normal. O coeficiente é responsável pela quantidade de desvio (deslocamento paralelo) entre dois planos com a mesma normal dada. Para escrever a equação de um plano, você deve primeiro encontrar sua normal (como descrito acima), e então substituir as coordenadas de qualquer ponto no plano, juntamente com as coordenadas da normal encontrada, na equação e encontrar o coeficiente .
Para usar o método de coordenadas, você precisa conhecer bem as fórmulas. Há três deles:
À primeira vista, parece ameaçador, mas apenas um pouco de prática - e tudo funcionará muito bem.
Tarefa. Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores a = (4; 3; 0) eb = (0; 12; 5).
Decisão. Como recebemos as coordenadas dos vetores, as substituímos na primeira fórmula:
Tarefa. Escreva uma equação para o plano que passa pelos pontos M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) e K = (2; 1; 0), se for conhecido que ele não passa a origem.
Decisão. A equação geral do plano: Ax + By + Cz + D = 0, mas como o plano desejado não passa pela origem - o ponto (0; 0; 0) - então definimos D = 1. Como esse plano passa através dos pontos M, N e K, então as coordenadas desses pontos devem transformar a equação em uma verdadeira igualdade numérica.
Vamos substituir as coordenadas do ponto M = (2; 0; 1) em vez de x, y e z. Nós temos:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
Da mesma forma, para os pontos N = (0; 1; 1) e K = (2; 1; 0) obtemos as equações:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;
Então temos três equações e três incógnitas. Compomos e resolvemos o sistema de equações:
Temos que a equação do plano tem a forma: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.
Tarefa. O plano é dado pela equação 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Encontre as coordenadas do vetor perpendicular ao plano dado.
Decisão. Usando a terceira fórmula, obtemos n = (7; − 2; 4) - isso é tudo!
Cálculo de coordenadas de vetores
Mas e se não houver vetores no problema - existem apenas pontos em linhas retas e é necessário calcular o ângulo entre essas linhas retas? É simples: conhecendo as coordenadas dos pontos - início e fim do vetor - você pode calcular as coordenadas do próprio vetor.
Para encontrar as coordenadas de um vetor, é necessário subtrair as coordenadas do início das coordenadas do seu final.
Este teorema funciona igualmente no plano e no espaço. A expressão “subtrair coordenadas” significa que a coordenada x de outro ponto é subtraída da coordenada x de um ponto, então o mesmo deve ser feito com as coordenadas y e z. aqui estão alguns exemplos:
Tarefa. Existem três pontos no espaço, dados por suas coordenadas: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) e C = (− 4; 3; − 2). Encontre as coordenadas dos vetores AB, AC e BC.
Considere o vetor AB: seu início está no ponto A e seu fim está no ponto B. Portanto, para encontrar suas coordenadas, é necessário subtrair as coordenadas do ponto A das coordenadas do ponto B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).
Da mesma forma, o início do vetor AC ainda é o mesmo ponto A, mas o final é o ponto C. Portanto, temos:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).
Finalmente, para encontrar as coordenadas do vetor BC, é necessário subtrair as coordenadas do ponto B das coordenadas do ponto C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).
Resposta: AB = (2; − 7; 4); AC = (−5;−3;−5); BC = (−7; 4; − 9)
Preste atenção no cálculo das coordenadas do último vetor BC: muita gente erra quando trabalha com números negativos. Isso se aplica à variável y: o ponto B tem a coordenada y = − 1 e o ponto C tem y = 3. Obtemos exatamente 3 − (− 1) = 4, e não 3 − 1, como muitos pensam. Não cometa erros tão estúpidos!
Calculando vetores de direção para linhas retas
Se você ler atentamente o problema C2, ficará surpreso ao descobrir que não há vetores ali. Existem apenas linhas retas e planos.
Vamos começar com linhas retas. Tudo aqui é simples: em qualquer linha existem pelo menos dois pontos diferentes e, inversamente, quaisquer dois pontos diferentes definem uma única linha...
Alguém entende o que está escrito no parágrafo anterior? Eu mesmo não entendi, então vou explicar de forma mais simples: no problema C2, as linhas são sempre dadas por um par de pontos. Se introduzirmos um sistema de coordenadas e considerarmos um vetor com início e fim nesses pontos, obtemos o chamado vetor direcionador de uma linha reta:
Por que esse vetor é necessário? O ponto é que o ângulo entre duas linhas retas é o ângulo entre seus vetores de direção. Assim, estamos passando de linhas retas incompreensíveis para vetores específicos, cujas coordenadas são facilmente calculadas. Quão fácil? Dê uma olhada nos exemplos:
Tarefa. As linhas AC e BD 1 são desenhadas no cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Encontre as coordenadas dos vetores de direção dessas linhas.
Como o comprimento das arestas do cubo não é especificado na condição, definimos AB = 1. Vamos introduzir um sistema de coordenadas com a origem no ponto A e eixos x, y, z direcionados ao longo das linhas AB, AD e AA 1, respectivamente. O segmento unitário é igual a AB = 1.
Agora vamos encontrar as coordenadas do vetor de direção para a reta AC. Precisamos de dois pontos: A = (0; 0; 0) e C = (1; 1; 0). A partir daqui, obtemos as coordenadas do vetor AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - este é o vetor de direção.
Agora vamos lidar com a linha reta BD 1 . Também possui dois pontos: B = (1; 0; 0) e D 1 = (0; 1; 1). Obtemos o vetor de direção BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).
Resposta: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)
Tarefa. Em um prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1 , com todas as arestas iguais a 1, são desenhadas as retas AB 1 e AC 1. Encontre as coordenadas dos vetores de direção dessas linhas.
Vamos introduzir um sistema de coordenadas: a origem está no ponto A, o eixo x coincide com AB, o eixo z coincide com AA 1 , o eixo y forma o plano OXY com o eixo x, que coincide com o ABC plano.
Primeiro, vamos lidar com a linha reta AB 1 . Tudo é simples aqui: temos os pontos A = (0; 0; 0) e B 1 = (1; 0; 1). Obtemos o vetor de direção AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).
Agora vamos encontrar o vetor de direção para AC 1 . Tudo é o mesmo - a única diferença é que o ponto C 1 tem coordenadas irracionais. Então, A = (0; 0; 0), então temos:
Resposta: AB 1 = (1; 0; 1);
Uma pequena, mas muito importante observação sobre o último exemplo. Se o início do vetor coincide com a origem, os cálculos são bastante simplificados: as coordenadas do vetor são simplesmente iguais às do final. Infelizmente, isso só é verdade para vetores. Por exemplo, ao trabalhar com planos, a presença da origem das coordenadas neles apenas complica os cálculos.
Cálculo de vetores normais para planos
Vetores normais não são vetores que estão indo bem, ou que se sentem bem. Por definição, um vetor normal (normal) a um plano é um vetor perpendicular ao plano dado.
Em outras palavras, uma normal é um vetor perpendicular a qualquer vetor em um determinado plano. Certamente você já se deparou com essa definição - no entanto, em vez de vetores, tratava-se de linhas retas. No entanto, logo acima foi mostrado que no problema C2 pode-se operar com qualquer objeto conveniente - até mesmo uma linha reta, até mesmo um vetor.
Deixe-me lembrá-lo mais uma vez que qualquer plano é definido no espaço pela equação Ax + By + Cz + D = 0, onde A, B, C e D são alguns coeficientes. Sem diminuir a generalidade da solução, podemos assumir D = 1 se o plano não passar pela origem, ou D = 0 se passar. Em qualquer caso, as coordenadas do vetor normal a este plano são n = (A; B; C).
Assim, o plano também pode ser substituído com sucesso por um vetor - o mesmo normal. Qualquer plano é definido no espaço por três pontos. Como encontrar a equação do plano (e, portanto, a normal), já discutimos no início do artigo. No entanto, esse processo causa problemas para muitos, então darei mais alguns exemplos:
Tarefa. A seção A 1 BC 1 é desenhada no cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Encontre o vetor normal para o plano desta seção se a origem estiver no ponto A e os eixos x, y e z coincidirem com as arestas AB, AD e AA 1, respectivamente.
Como o plano não passa pela origem, sua equação fica assim: Ax + By + Cz + 1 = 0, ou seja. coeficiente D \u003d 1. Como este plano passa pelos pontos A 1, B e C 1, as coordenadas desses pontos transformam a equação do plano na igualdade numérica correta.
A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;
Da mesma forma, para os pontos B = (1; 0; 0) e C 1 = (1; 1; 1) obtemos as equações:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;
Mas os coeficientes A = − 1 e C = − 1 já são conhecidos por nós, então resta encontrar o coeficiente B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.
Obtemos a equação do plano: - A + B - C + 1 = 0, Portanto, as coordenadas do vetor normal são n = (- 1; 1; - 1).
Tarefa. Uma seção AA 1 C 1 C é desenhada no cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Encontre o vetor normal para o plano desta seção se a origem está no ponto A, e os eixos x, y e z coincidem com o arestas AB, AD e AA 1 respectivamente.
Nesse caso, o plano passa pela origem, então o coeficiente D \u003d 0, e a equação do plano se parece com isso: Ax + By + Cz \u003d 0. Como o plano passa pelos pontos A 1 e C, o as coordenadas desses pontos transformam a equação do plano na igualdade numérica correta.
Vamos substituir as coordenadas do ponto A 1 = (0; 0; 1) em vez de x, y e z. Nós temos:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;
Da mesma forma, para o ponto C = (1; 1; 0) obtemos a equação:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;
Seja B = 1. Então A = − B = − 1, e a equação do plano inteiro é: − A + B = 0. Portanto, as coordenadas do vetor normal são n = (− 1; 1; 0).
De um modo geral, nos problemas acima é necessário compor um sistema de equações e resolvê-lo. Haverá três equações e três variáveis, mas no segundo caso uma delas será livre, ou seja, assumir valores arbitrários. É por isso que temos o direito de colocar B = 1 - sem prejuízo da generalidade da solução e da correção da resposta.
Muitas vezes no problema C2 é necessário trabalhar com pontos que dividem o segmento ao meio. As coordenadas de tais pontos são facilmente calculadas se as coordenadas das extremidades do segmento forem conhecidas.
Portanto, seja o segmento dado por suas extremidades - pontos A \u003d (x a; y a; z a) e B \u003d (x b; y b; z b). Então as coordenadas do meio do segmento - vamos denotar pelo ponto H - podem ser encontradas pela fórmula:
Em outras palavras, as coordenadas do meio de um segmento são a média aritmética das coordenadas de suas extremidades.
Tarefa. O cubo unitário ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 é colocado no sistema de coordenadas de modo que os eixos x, yez sejam direcionados ao longo das arestas AB, AD e AA 1 respectivamente, e a origem coincida com o ponto A. O ponto K é o ponto médio da aresta A 1 B um . Encontre as coordenadas deste ponto.
Como o ponto K é o meio do segmento A 1 B 1 , suas coordenadas são iguais à média aritmética das coordenadas das extremidades. Vamos anotar as coordenadas das pontas: A 1 = (0; 0; 1) e B 1 = (1; 0; 1). Agora vamos encontrar as coordenadas do ponto K:
Tarefa. O cubo unitário ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 é colocado no sistema de coordenadas de modo que os eixos x, yez sejam direcionados ao longo das arestas AB, AD e AA 1 respectivamente, e a origem coincida com o ponto A. Encontre as coordenadas do ponto L onde eles interceptam as diagonais do quadrado A 1 B 1 C 1 D 1 .
Do curso da planimetria sabe-se que o ponto de intersecção das diagonais de um quadrado é equidistante de todos os seus vértices. Em particular, A 1 L = C 1 L, i.e. o ponto L é o ponto médio do segmento A 1 C 1 . Mas A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), então temos:
Resposta: L = (0,5; 0,5; 1)
