Antes do advento das calculadoras, alunos e professores calculavam raízes quadradas manualmente. Existem várias maneiras de calcular manualmente a raiz quadrada de um número. Alguns deles oferecem apenas uma solução aproximada, outros dão uma resposta exata.

Passos

Fatoração primária

Fatore o número raiz em fatores que são números quadrados. Dependendo do número da raiz, você obterá uma resposta aproximada ou exata. Números quadrados são números dos quais a raiz quadrada inteira pode ser extraída. Fatores são números que, quando multiplicados, dão o número original. Por exemplo, os fatores do número 8 são 2 e 4, pois 2 x 4 = 8, os números 25, 36, 49 são números quadrados, pois √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Fatores quadrados são fatores , que são números quadrados. Primeiro, tente fatorar o número raiz em fatores quadrados.

• Por exemplo, calcule a raiz quadrada de 400 (manualmente). Primeiro tente fatorar 400 em fatores quadrados. 400 é um múltiplo de 100, ou seja, divisível por 25 - este é um número quadrado. Dividir 400 por 25 dá 16. O número 16 também é um número quadrado. Assim, 400 pode ser fatorado em fatores quadrados de 25 e 16, ou seja, 25 x 16 = 400.
• Isso pode ser escrito da seguinte forma: √400 = √(25 x 16).

1. A raiz quadrada do produto de alguns termos é igual ao produto das raízes quadradas de cada termo, ou seja, √(a x b) = √a x √b. Use esta regra e tire a raiz quadrada de cada fator quadrado e multiplique os resultados para encontrar a resposta.

   • Em nosso exemplo, tire a raiz quadrada de 25 e 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Se o número radical não for fatorar em dois fatores quadrados (e isso acontece na maioria dos casos), você não poderá encontrar a resposta exata como um número inteiro. Mas você pode simplificar o problema decompondo o número raiz em um fator quadrado e um fator comum (um número do qual a raiz quadrada inteira não pode ser extraída). Então você vai tirar a raiz quadrada do fator quadrado e você vai tirar a raiz do fator comum.

   • Por exemplo, calcule a raiz quadrada do número 147. O número 147 não pode ser fatorado em dois fatores quadrados, mas pode ser fatorado nos seguintes fatores: 49 e 3. Resolva o problema da seguinte forma:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Se necessário, avalie o valor da raiz. Agora você pode avaliar o valor da raiz (encontrar um valor aproximado) comparando-o com os valores das raízes dos números quadrados que estão mais próximos (em ambos os lados da reta numérica) do número raiz. Você obterá o valor da raiz como uma fração decimal, que deve ser multiplicada pelo número atrás do sinal da raiz.

   • Vamos voltar ao nosso exemplo. O número raiz é 3. Os números quadrados mais próximos são os números 1 (√1 = 1) e 4 (√4 = 2). Assim, o valor de √3 fica entre 1 e 2. Como o valor de √3 provavelmente está mais próximo de 2 do que de 1, nossa estimativa é: √3 = 1,7. Multiplicamos esse valor pelo número no sinal da raiz: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Se você fizer os cálculos em uma calculadora, obterá 12,13, que é bem próximo da nossa resposta.
     • Este método também funciona com números grandes. Por exemplo, considere √35. O número raiz é 35. Os números quadrados mais próximos são os números 25 (√25 = 5) e 36 (√36 = 6). Assim, o valor de √35 fica entre 5 e 6. Como o valor de √35 está muito mais próximo de 6 do que de 5 (porque 35 é apenas 1 a menos que 36), podemos afirmar que √35 é um pouco menor que 6. A verificação com uma calculadora nos dá a resposta 5,92 - estávamos certos.

4. Outra maneira é decompor o número raiz em fatores primos. Fatores primos são números que são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. Escreva os fatores primos em uma linha e encontre pares de fatores idênticos. Tais fatores podem ser retirados do sinal da raiz.

   • Por exemplo, calcule a raiz quadrada de 45. Decompomos o número raiz em fatores primos: 45 \u003d 9 x 5 e 9 \u003d 3 x 3. Assim, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 pode ser retirado do sinal da raiz: √45 = 3√5. Agora podemos estimar √5.
   • Considere outro exemplo: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Você tem três multiplicadores de 2; pegue um par deles e tire-os do sinal da raiz.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Agora podemos calcular √2 e √11 e encontrar uma resposta aproximada.

   Calculando a raiz quadrada manualmente

   Usando a divisão de colunas

   1. Este método envolve um processo semelhante à divisão longa e fornece uma resposta precisa. Primeiro, desenhe uma linha vertical dividindo a folha em duas metades e, em seguida, desenhe uma linha horizontal à direita e ligeiramente abaixo da borda superior da folha até a linha vertical. Agora divida o número raiz em pares de números, começando com a parte fracionária após o ponto decimal. Assim, o número 79520789182.47897 é escrito como "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Por exemplo, vamos calcular a raiz quadrada do número 780,14. Desenhe duas linhas (como mostrado na imagem) e escreva o número no canto superior esquerdo como "7 80, 14". É normal que o primeiro dígito da esquerda seja um dígito não pareado. A resposta (a raiz do número dado) será escrita no canto superior direito.

   2. Dado o primeiro par de números (ou um número) da esquerda, encontre o maior inteiro n cujo quadrado é menor ou igual ao par de números (ou um número) em questão. Em outras palavras, encontre o número quadrado mais próximo, mas menor que, o primeiro par de números (ou número único) da esquerda e tire a raiz quadrada desse número quadrado; você obterá o número n. Escreva o n encontrado no canto superior direito e o quadrado n no canto inferior direito.

      • No nosso caso, o primeiro número à esquerda será o número 7. Em seguida, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Subtraia o quadrado do número n que você acabou de encontrar do primeiro par de números (ou um número) da esquerda. Escreva o resultado do cálculo sob o subtraendo (o quadrado do número n).

      • No nosso exemplo, subtraia 4 de 7 para obter 3.

   4. Anote o segundo par de números e anote-o ao lado do valor obtido na etapa anterior. Em seguida, dobre o número no canto superior direito e escreva o resultado no canto inferior direito com "_×_=" anexado.

      • Em nosso exemplo, o segundo par de números é "80". Escreva "80" após o 3. Então, dobrando o número do canto superior direito dá 4. Escreva "4_×_=" do canto inferior direito.

   5. Preencha os espaços à direita.

      • No nosso caso, se colocarmos o número 8 em vez de traços, então 48 x 8 \u003d 384, que é mais que 380. Portanto, 8 é um número muito grande, mas 7 é bom. Escreva 7 em vez de traços e obtenha: 47 x 7 \u003d 329. Escreva 7 do canto superior direito - este é o segundo dígito na raiz quadrada desejada do número 780,14.

   6. Subtraia o número resultante do número atual à esquerda. Escreva o resultado da etapa anterior abaixo do número atual à esquerda, encontre a diferença e escreva-o abaixo do subtraído.

      • Em nosso exemplo, subtraia 329 de 380, que é igual a 51.

   7. Repita o passo 4. Se o par de números demolido for a parte fracionária do número original, coloque o separador (vírgula) das partes inteiras e fracionárias na raiz quadrada desejada do canto superior direito. À esquerda, carregue o próximo par de números. Dobre o número no canto superior direito e escreva o resultado no canto inferior direito com "_×_=" anexado.

      • Em nosso exemplo, o próximo par de números a ser demolido será a parte fracionária do número 780.14, então coloque o separador das partes inteiras e fracionárias na raiz quadrada necessária do canto superior direito. Demolir 14 e anotar no canto inferior esquerdo. O dobro do canto superior direito (27) é 54, então escreva "54_×_=" no canto inferior direito.

   8. Repita os passos 5 e 6. Encontre o maior número no lugar dos traços à direita (em vez dos traços, você precisa substituir o mesmo número) para que o resultado da multiplicação seja menor ou igual ao número atual à esquerda.

      • Em nosso exemplo, 549 x 9 = 4941, que é menor que o número atual à esquerda (5114). Escreva 9 no canto superior direito e subtraia o resultado da multiplicação do número atual à esquerda: 5114 - 4941 = 173.

   9. Se você precisar encontrar mais casas decimais para a raiz quadrada, escreva um par de zeros ao lado do número atual à esquerda e repita as etapas 4, 5 e 6. Repita as etapas até obter a precisão da resposta necessária (número de casas decimais).

      Entendendo o processo

      1. Para dominar esse método, imagine o número cuja raiz quadrada você precisa encontrar como a área do quadrado S. Nesse caso, você procurará o comprimento do lado L desse quadrado. Calcule o valor de L para o qual L² = S.

         Digite uma letra para cada dígito em sua resposta. Denote por A o primeiro dígito no valor de L (a raiz quadrada desejada). B será o segundo dígito, C o terceiro e assim por diante.

         Especifique uma letra para cada par de dígitos iniciais. Denote por S a o primeiro par de dígitos no valor S, por S b o segundo par de dígitos e assim por diante.

         Explique a conexão deste método com a divisão longa. Como na operação de divisão, onde cada vez que estamos interessados ​​apenas em um próximo dígito do número divisível, ao calcular a raiz quadrada, trabalhamos com um par de dígitos em sequência (para obter o próximo dígito no valor da raiz quadrada) .

      2. Considere o primeiro par de dígitos Sa do número S (Sa = 7 em nosso exemplo) e encontre sua raiz quadrada. Nesse caso, o primeiro dígito A do valor procurado da raiz quadrada será esse dígito, cujo quadrado é menor ou igual a S a (ou seja, estamos procurando um A que satisfaça a desigualdade A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Digamos que precisamos dividir 88962 por 7; aqui o primeiro passo será semelhante: consideramos o primeiro dígito do número divisível 88962 (8) e selecionamos o maior número que, quando multiplicado por 7, dá um valor menor ou igual a 8. Ou seja, estamos procurando um número d para o qual a desigualdade é verdadeira: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Imagine mentalmente o quadrado cuja área você precisa calcular. Você está procurando por L, ou seja, o comprimento do lado de um quadrado cuja área é S. A, B, C são números no número L. Você pode escrever de maneira diferente: 10A + B \u003d L (para dois -número de dígitos) ou 100A + 10B + C \u003d L (para número de três dígitos) e assim por diante.

         • Deixe ser (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Lembre-se de que 10A+B é um número cujo B representa unidades e A representa dezenas. Por exemplo, se A=1 e B=2, então 10A+B é igual ao número 12. (10A+B)²é a área de todo o quadrado, 100A²é a área do grande quadrado interno, B²é a área do pequeno quadrado interno, 10A×Bé a área de cada um dos dois retângulos. Somando as áreas das figuras descritas, você encontrará a área do quadrado original.

Fórmulas de raiz. propriedades das raízes quadradas.

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Na lição anterior, descobrimos o que é uma raiz quadrada. É hora de descobrir quais são fórmulas para raízes, o que são propriedades da raiz e o que pode ser feito sobre tudo isso.

Fórmulas raiz, propriedades raiz e regras para ações com raízes- é essencialmente a mesma coisa. Existem surpreendentemente poucas fórmulas para raízes quadradas. O que, claro, agrada! Em vez disso, você pode escrever muitos tipos de fórmulas, mas apenas três são suficientes para um trabalho prático e confiante com raízes. Todo o resto flui desses três. Embora muitos se desviem nas três fórmulas das raízes, sim...

Vamos começar com o mais simples. Aqui está ela:

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Entre os muitos saberes que são sinal de alfabetização, o alfabeto está em primeiro lugar. O próximo, o mesmo elemento "sinal", são as habilidades de adição-multiplicação e, adjacentes a elas, mas de sentido inverso, operações aritméticas de subtração-divisão. As habilidades aprendidas na infância escolar distante servem fielmente dia e noite: TV, jornal, SMS, E em todos os lugares que lemos, escrevemos, contamos, somamos, subtraímos, multiplicamos. E, diga-me, você muitas vezes teve que criar raízes na vida, exceto no campo? Por exemplo, um problema tão divertido, como a raiz quadrada do número 12345... Ainda há pólvora nos frascos de pólvora? Nós podemos fazer isso? Sim, não há nada mais fácil! Onde está minha calculadora... E sem ela, corpo a corpo, fraca?

Primeiro, vamos esclarecer o que é - a raiz quadrada de um número. De um modo geral, "extrair a raiz de um número" significa realizar a operação aritmética oposta a elevar a uma potência - aqui você tem a unidade dos opostos na aplicação da vida. digamos que um quadrado é uma multiplicação de um número por ele mesmo, ou seja, como ensinavam na escola, X * X = A ou em outra notação X2 = A, e em palavras - “X ao quadrado é igual a A”. Então o problema inverso soa assim: a raiz quadrada do número A, é o número X, que, ao quadrado, é igual a A.

Extraindo a raiz quadrada

Do curso escolar de aritmética, são conhecidos métodos de cálculos "em uma coluna", que ajudam a realizar quaisquer cálculos usando as quatro primeiras operações aritméticas. Infelizmente ... Para quadrados, e não apenas quadrados, não existem raízes de tais algoritmos. E neste caso, como extrair a raiz quadrada sem calculadora? Com base na definição da raiz quadrada, há apenas uma conclusão - é necessário selecionar o valor do resultado por enumeração sequencial de números, cujo quadrado se aproxima do valor da expressão da raiz. Só e tudo! Uma ou duas horas não terão tempo para passar, pois você pode calcular usando o conhecido método de multiplicar em uma "coluna", qualquer raiz quadrada. Se você tiver as habilidades, alguns minutos são suficientes para isso. Mesmo uma calculadora não muito avançada ou usuário de PC faz isso de uma só vez - progresso.

Mas falando sério, o cálculo da raiz quadrada é muitas vezes realizado usando a técnica do “garfo de artilharia”: primeiro, eles pegam um número cujo quadrado corresponde aproximadamente à expressão da raiz. É melhor se "nosso quadrado" for um pouco menor que essa expressão. Então eles corrigem o número de acordo com sua própria compreensão da habilidade, por exemplo, multiplicam por dois e... elevam ao quadrado novamente. Se o resultado for maior que o número sob a raiz, ajustando sucessivamente o número original, aproximando-se gradualmente de seu "colega" sob a raiz. Como você pode ver - sem calculadora, apenas a capacidade de contar "em uma coluna". Claro, existem muitos algoritmos cientificamente fundamentados e otimizados para calcular a raiz quadrada, mas para "uso doméstico" a técnica acima dá 100% de confiança no resultado.

Sim, quase esqueci, para confirmar nosso aumento da alfabetização, calculamos a raiz quadrada do número 12345 indicado anteriormente. Fazemos isso passo a passo:

1. Tome, puramente intuitivamente, X=100. Vamos calcular: X * X = 10.000. A intuição está no topo - o resultado é menor que 12.345.

2. Vamos tentar, também de forma puramente intuitiva, X = 120. Então: X * X = 14400. E novamente, com intuição, a ordem - o resultado é mais do que 12345.

3. Acima, é obtido um “fork” de 100 e 120. Vamos escolher novos números - 110 e 115. Obtemos, respectivamente, 12100 e 13225 - o garfo se estreita.

4. Tentamos "talvez" X = 111. Obtemos X * X = 12321. Este número já está bem próximo de 12345. De acordo com a precisão necessária, o “ajuste” pode ser continuado ou interrompido no resultado obtido. Isso é tudo. Como prometido - tudo é muito simples e sem calculadora.

Bastante história...

Até os pitagóricos, alunos da escola e seguidores de Pitágoras, pensavam em usar raízes quadradas, 800 aC. e ali mesmo, "encontrou" novas descobertas no campo dos números. E de onde veio?

1. A solução do problema com a extração da raiz, dá o resultado na forma de números de uma nova classe. Eles foram chamados de irracionais, em outras palavras, "irracionais", porque. eles não são escritos como um número completo. O exemplo mais clássico desse tipo é a raiz quadrada de 2. Este caso corresponde ao cálculo da diagonal de um quadrado de lado igual a 1 - aqui está, influência da escola pitagórica. Descobriu-se que em um triângulo com um tamanho de unidade muito específico dos lados, a hipotenusa tem um tamanho que é expresso por um número que "não tem fim". Então na matemática apareceu

2. Sabe-se que Descobriu-se que esta operação matemática contém mais um truque - extraindo a raiz, não sabemos qual quadrado de qual número, positivo ou negativo, é a expressão da raiz. Essa incerteza, o duplo resultado de uma operação, é anotada.

O estudo dos problemas associados a esse fenômeno tornou-se uma direção em matemática chamada teoria de uma variável complexa, que é de grande importância prática na física matemática.

É curioso que a designação da raiz - radical - tenha sido usada em sua "Aritmética Universal" pelo mesmo onipresente I. Newton, e exatamente a forma moderna de escrever a raiz é conhecida desde 1690 a partir do livro "Manual de Álgebra" do francês Roll ".

Neste artigo, vamos apresentar o conceito de raiz de um número. Vamos agir sequencialmente: começaremos com a raiz quadrada, a partir dela passaremos para a descrição da raiz cúbica, depois generalizaremos o conceito de raiz definindo a raiz do enésimo grau. Ao mesmo tempo, introduziremos definições, notações, daremos exemplos de raízes e daremos as explicações e comentários necessários.

Raiz quadrada, raiz quadrada aritmética

Para entender a definição da raiz de um número, e a raiz quadrada em particular, é preciso ter . Neste ponto, muitas vezes encontraremos a segunda potência de um número - o quadrado de um número.

Vamos começar com definições de raiz quadrada.

Definição

A raiz quadrada de umé o número cujo quadrado é um .

Para trazer exemplos de raiz quadrada, pegue vários números, por exemplo, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , e eleve-os ao quadrado, obtemos os números 25 , 0.09 , 0.09 e 0 respectivamente (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 e 0 2 =0 0=0). Então, pela definição acima, 5 é a raiz quadrada de 25, -0,3 e 0,3 são as raízes quadradas de 0,09 e 0 é a raiz quadrada de zero.

Deve-se notar que não existe para qualquer número a , cujo quadrado é igual a a . Ou seja, para qualquer número negativo a, não há número real b cujo quadrado seja igual a a. De fato, a igualdade a=b 2 é impossível para qualquer a negativo, pois b 2 é um número não negativo para qualquer b. Por isso, no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de um número negativo. Em outras palavras, no conjunto dos números reais, a raiz quadrada de um número negativo não é definida e não tem significado.

Isso leva a uma pergunta lógica: “Existe uma raiz quadrada de a para qualquer a não negativo”? A resposta é sim. A justificativa para este fato pode ser considerada um método construtivo utilizado para encontrar o valor da raiz quadrada.

Então surge a seguinte questão lógica: "Qual é o número de todas as raízes quadradas de um dado número não negativo a - um, dois, três ou até mais"? Aqui está a resposta para isso: se a é zero, então a única raiz quadrada de zero é zero; se a é algum número positivo, então o número de raízes quadradas do número a é igual a dois, e as raízes são . Vamos fundamentar isso.

Vamos começar com o caso a=0 . Vamos primeiro mostrar que zero é de fato a raiz quadrada de zero. Isso decorre da óbvia igualdade 0 2 =0·0=0 e da definição da raiz quadrada.

Agora vamos provar que 0 é a única raiz quadrada de zero. Vamos usar o método oposto. Vamos supor que existe algum número diferente de zero b que é a raiz quadrada de zero. Então a condição b 2 =0 deve ser satisfeita, o que é impossível, pois para qualquer b diferente de zero o valor da expressão b 2 é positivo. Chegamos a uma contradição. Isso prova que 0 é a única raiz quadrada de zero.

Vamos passar para os casos em que a é um número positivo. Acima dissemos que sempre existe uma raiz quadrada de qualquer número não negativo, seja b a raiz quadrada de a. Digamos que existe um número c , que também é a raiz quadrada de a . Então, pela definição da raiz quadrada, as igualdades b 2 =a e c 2 =a são válidas, das quais se segue que b 2 −c 2 =a−a=0, mas como b 2 −c 2 =( b−c) (b+c) , então (b−c) (b+c)=0 . A igualdade resultante em vigor propriedades de ações com números reais só é possível quando b−c=0 ou b+c=0 . Assim, os números b e c são iguais ou opostos.

Se assumirmos que existe um número d, que é outra raiz quadrada do número a, então, por raciocínios semelhantes aos já dados, fica provado que d é igual ao número b ou ao número c. Então, o número de raízes quadradas de um número positivo é dois, e as raízes quadradas são números opostos.

Para a conveniência de trabalhar com raízes quadradas, a raiz negativa é "separada" da positiva. Para isso, apresenta definição de raiz quadrada aritmética.

Definição

Raiz quadrada aritmética de um número não negativo aé um número não negativo cujo quadrado é igual a .

Para a raiz quadrada aritmética do número a, a notação é aceita. O sinal é chamado de sinal de raiz quadrada aritmética. Também é chamado de sinal do radical. Portanto, você pode ouvir parcialmente "raiz" e "radical", o que significa o mesmo objeto.

O número sob o sinal da raiz quadrada aritmética é chamado número raiz, e a expressão sob o sinal de raiz - expressão radical, enquanto o termo "número radical" é frequentemente substituído por "expressão radical". Por exemplo, na notação, o número 151 é um número radical e, na notação, a expressão a é uma expressão radical.

Ao ler, a palavra "aritmética" é frequentemente omitida, por exemplo, a entrada é lida como "a raiz quadrada de sete vírgula vinte e nove centésimos". A palavra "aritmética" é pronunciada apenas quando querem enfatizar que estamos falando da raiz quadrada positiva de um número.

À luz da notação introduzida, segue-se da definição da raiz quadrada aritmética que para qualquer número não negativo a .

As raízes quadradas de um número positivo a são escritas usando o sinal de raiz quadrada aritmética como e . Por exemplo, as raízes quadradas de 13 são e . A raiz quadrada aritmética de zero é zero, ou seja, . Para números negativos a, não daremos significado às entradas até estudarmos números complexos. Por exemplo, as expressões e não têm sentido.

Com base na definição de uma raiz quadrada, são provadas as propriedades das raízes quadradas, que são frequentemente usadas na prática.

Para concluir esta subseção, notamos que as raízes quadradas de um número são soluções da forma x 2 =a em relação à variável x .

raiz cúbica de

Definição da raiz cúbica do número a é dado de forma semelhante à definição da raiz quadrada. Só que se baseia no conceito de um cubo de um número, não de um quadrado.

Definição

A raiz cúbica de um um número cujo cubo é igual a a é chamado.

Vamos trazer exemplos de raiz cúbica. Para fazer isso, pegue vários números, por exemplo, 7 , 0 , −2/3 , e cube-os: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Então, com base na definição da raiz cúbica, podemos dizer que o número 7 é a raiz cúbica de 343, 0 é a raiz cúbica de zero e −2/3 é a raiz cúbica de −8/27.

Pode-se mostrar que a raiz cúbica do número a, ao contrário da raiz quadrada, sempre existe, e não apenas para a não negativo, mas também para qualquer número real a. Para fazer isso, você pode usar o mesmo método que mencionamos ao estudar a raiz quadrada.

Além disso, existe apenas uma raiz cúbica de um determinado número a. Vamos provar a última afirmação. Para fazer isso, considere três casos separadamente: a é um número positivo, a=0 e a é um número negativo.

É fácil mostrar que para a positivo, a raiz cúbica de a não pode ser nem negativa nem zero. De fato, seja b a raiz cúbica de a , então por definição podemos escrever a igualdade b 3 =a . É claro que esta igualdade não pode ser verdadeira para b negativo e para b=0, pois nestes casos b 3 =b·b·b será um número negativo ou zero, respectivamente. Portanto, a raiz cúbica de um número positivo a é um número positivo.

Agora suponha que além do número b haja mais uma raiz cúbica do número a, vamos denotar c. Então c 3 = a. Portanto, b 3 −c 3 =a−a=0 , mas b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(esta é a fórmula de multiplicação abreviada diferença de cubos), de onde (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . A igualdade resultante só é possível quando b−c=0 ou b 2 +b c+c 2 =0 . Da primeira igualdade temos b=c, e a segunda igualdade não tem soluções, pois seu lado esquerdo é um número positivo para quaisquer números positivos b e c como a soma de três termos positivos b 2 , b c e c 2 . Isso prova a unicidade da raiz cúbica de um número positivo a.

Para a=0, a única raiz cúbica de a é zero. De fato, se assumirmos que existe um número b , que é uma raiz cúbica diferente de zero de zero, então a igualdade b 3 =0 deve ser mantida, o que só é possível quando b=0 .

Para a negativo, pode-se argumentar semelhante ao caso para a positivo. Primeiro, mostramos que a raiz cúbica de um número negativo não pode ser igual a um número positivo ou a zero. Em segundo lugar, assumimos que existe uma segunda raiz cúbica de um número negativo e mostramos que ela necessariamente coincidirá com a primeira.

Portanto, há sempre uma raiz cúbica de qualquer número real a, e apenas um.

Vamos dar definição de raiz cúbica aritmética.

Definição

Raiz cúbica aritmética de um número não negativo a um número não negativo cujo cubo é igual a a é chamado.

A raiz cúbica aritmética de um número não negativo a é denotada como , o sinal é chamado de sinal da raiz cúbica aritmética, o número 3 nesta notação é chamado indicador de raiz. O número sob o sinal da raiz é número raiz, a expressão sob o sinal da raiz é expressão radical.

Embora a raiz cúbica aritmética seja definida apenas para números não negativos a, também é conveniente usar entradas nas quais os números negativos estejam sob o sinal da raiz cúbica aritmética. Vamos entendê-los da seguinte forma: , onde a é um número positivo. Por exemplo, .

Falaremos sobre as propriedades das raízes cúbicas nas propriedades gerais do artigo das raízes.

Calcular o valor de uma raiz cúbica é chamado de extrair uma raiz cúbica, esta ação é discutida no artigo extraindo raízes: métodos, exemplos, soluções.

Para concluir esta subseção, dizemos que a raiz cúbica de a é uma solução da forma x 3 =a.

Raiz enésima, raiz aritmética de n

Generalizamos o conceito de raiz de um número - introduzimos determinação da raiz n para n.

Definição

raiz n de aé um número cuja enésima potência é igual a a.

A partir dessa definição, fica claro que a raiz do primeiro grau do número a é o próprio número a, pois ao estudar o grau com um indicador natural, tomamos a 1 = a.

Acima, consideramos casos especiais da raiz do grau n para n=2 e n=3 - a raiz quadrada e a raiz cúbica. Ou seja, a raiz quadrada é a raiz do segundo grau e a raiz cúbica é a raiz do terceiro grau. Para estudar as raízes de grau n para n=4, 5, 6, ..., é conveniente dividi-las em dois grupos: o primeiro grupo - as raízes de graus pares (ou seja, para n=4, 6 , 8, ...), o segundo grupo - as raízes graus ímpares (ou seja, para n=5, 7, 9, ... ). Isso se deve ao fato de que as raízes de graus pares são semelhantes à raiz quadrada e as raízes de graus ímpares são semelhantes à raiz cúbica. Vamos lidar com eles por sua vez.

Comecemos pelas raízes, cujas potências são os números pares 4, 6, 8, ... Como já dissemos, são semelhantes à raiz quadrada do número a. Ou seja, a raiz de qualquer grau par do número a existe apenas para a não negativo. Além disso, se a = 0, então a raiz de a é única e igual a zero, e se a > 0, então existem duas raízes de grau par do número a, e são números opostos.

Justifiquemos a última afirmação. Seja b uma raiz de grau par (nós a denotamos como 2·m, onde m é algum número natural) de a. Suponha que haja um número c - outra raiz de 2 m de a . Então b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Mas conhecemos a forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), então (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Desta igualdade segue-se que b−c=0 , ou b+c=0 , ou b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. As duas primeiras igualdades significam que os números b e c são iguais ou b e c são opostos. E a última igualdade é válida apenas para b=c=0 , pois seu lado esquerdo contém uma expressão que é não negativa para quaisquer b e c como a soma de números não negativos.

Quanto às raízes do enésimo grau para n ímpar, elas são semelhantes à raiz cúbica. Ou seja, a raiz de qualquer grau ímpar do número a existe para qualquer número real a, e para um dado número a é único.

A unicidade da raiz de grau ímpar 2·m+1 do número a é provada por analogia com a prova da unicidade da raiz cúbica de a . Só aqui em vez de igualdade a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) uma igualdade da forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). A expressão no último parêntese pode ser reescrita como b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c))))). Por exemplo, para m=2 temos b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Quando a e b são ambos positivos ou ambos negativos, seu produto é um número positivo, então a expressão b 2 +c 2 +b·c , que está entre parênteses do mais alto grau de aninhamento, é positiva como a soma de positivos números. Agora, movendo sucessivamente para as expressões entre colchetes dos graus anteriores de aninhamento, garantimos que elas também sejam positivas como somas de números positivos. Como resultado, obtemos que a igualdade b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 só é possível quando b−c=0 , ou seja, quando o número b é igual ao número c .

É hora de lidar com a notação das raízes do enésimo grau. Para isso, é dado determinação da raiz aritmética do grau n.

Definição

A raiz aritmética do grau n de um número não negativo a um número não negativo é chamado, cuja enésima potência é igual a a.

A área de um terreno quadrado é de 81 dm². Encontre o lado dele. Suponha que o comprimento do lado do quadrado seja X decímetros. Então a área do terreno é X² decímetros quadrados. Como, de acordo com a condição, essa área é de 81 dm², então X² = 81. O comprimento do lado de um quadrado é um número positivo. Um número positivo cujo quadrado é 81 é o número 9. Ao resolver o problema, foi necessário encontrar o número x, cujo quadrado é 81, ou seja, resolver a equação X² = 81. Esta equação tem duas raízes: x 1 = 9 e x 2 \u003d - 9, desde 9² \u003d 81 e (- 9)² \u003d 81. Ambos os números 9 e - 9 são chamados de raízes quadradas do número 81.

Observe que uma das raízes quadradas X= 9 é um número positivo. É chamado de raiz quadrada aritmética de 81 e é denotado √81, então √81 = 9.

Raiz quadrada aritmética de um número umaé um número não negativo cujo quadrado é igual a uma.

Por exemplo, os números 6 e -6 são as raízes quadradas de 36. O número 6 é a raiz quadrada aritmética de 36, pois 6 é um número não negativo e 6² = 36. O número -6 não é uma raiz aritmética.

Raiz quadrada aritmética de um número uma denotado da seguinte forma: √ uma.

O sinal é chamado de sinal de raiz quadrada aritmética; umaé chamada de expressão raiz. Expressão √ uma leitura assim: a raiz quadrada aritmética de um número uma. Por exemplo, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Nos casos em que fica claro que estamos falando de uma raiz aritmética, eles dizem brevemente: "a raiz quadrada de uma«.

O ato de encontrar a raiz quadrada de um número é chamado de tirar a raiz quadrada. Esta ação é o inverso da quadratura.

Qualquer número pode ser elevado ao quadrado, mas nem todo número pode ser raiz quadrada. Por exemplo, é impossível extrair a raiz quadrada do número - 4. Se essa raiz existisse, denotando-a com a letra X, obteríamos a igualdade errada x² \u003d - 4, pois há um número não negativo à esquerda e um número negativo à direita.

Expressão √ uma só faz sentido quando a ≥ 0. A definição da raiz quadrada pode ser escrita resumidamente como: √ a ≥ 0, (√uma)² = uma. Igualdade (√ uma)² = uma valido para a ≥ 0. Assim, para garantir que a raiz quadrada de um número não negativo umaé igual a b, ou seja, que √ uma =b, você precisa verificar se as duas condições a seguir são atendidas: b ≥ 0, b² = uma.

A raiz quadrada de uma fração

Vamos calcular. Observe que √25 = 5, √36 = 6 e verifique se a igualdade é válida.

Como e , então a igualdade é verdadeira. Então, .

Teorema: Se um uma≥ 0 e b> 0, ou seja, a raiz da fração é igual à raiz do numerador dividida pela raiz do denominador. É necessário provar que: e .

Desde √ uma≥0 e √ b> 0, então .

Pela propriedade de elevar uma fração a uma potência e determinar a raiz quadrada o teorema está provado. Vejamos alguns exemplos.

Calcule , de acordo com o teorema provado .

Segundo exemplo: Prove que , E se uma ≤ 0, b < 0. .

Outro exemplo: Calcule .

.

Transformação de raiz quadrada

Tirando o multiplicador sob o sinal da raiz. Seja dada uma expressão. Se um uma≥ 0 e b≥ 0, então pelo teorema da raiz do produto, podemos escrever:

Essa transformação é chamada de fatoração do sinal da raiz. Considere um exemplo;

Calcular em X= 2. Substituição direta X= 2 na expressão radical leva a cálculos complicados. Esses cálculos podem ser simplificados se primeiro removermos os fatores sob o sinal da raiz: . Agora substituindo x = 2, temos:.

Assim, ao retirar o fator sob o sinal da raiz, a expressão radical é representada como um produto em que um ou mais fatores são os quadrados de números não negativos. O teorema do produto raiz é então aplicado e a raiz de cada fator é obtida. Considere um exemplo: Simplifique a expressão A = √8 + √18 - 4√2 retirando os fatores sob o sinal da raiz nos dois primeiros termos, obtemos:. Ressaltamos que a igualdade válido apenas quando uma≥ 0 e b≥ 0. se uma < 0, то .