Olá! Neste artigo, consideraremos problemas com bolas. Em vez disso, haverá uma combinação de corpos aqui: uma bola ou, em outras palavras, um cilindro descrito perto da bola (o que é a mesma coisa) e um cubo inscrito na bola.

O blog já considerou um grupo de tarefas com bolas, . Nas tarefas apresentadas, falaremos sobre encontrar o volume e a área de superfície dos corpos indicados.você precisa saber!

Fórmula do volume da esfera:

A fórmula para a área da superfície de uma esfera é:

A fórmula do volume de um cilindro é:

A fórmula para a área da superfície de um cilindro é:

Mais sobre a área de superfície lateral do cilindro:

É um retângulo "torcido" em um cilindro, um lado do qual é igual à circunferência da base - isso é 2ПiR, o outro lado é igual à altura do cilindro - isso é N.

O que deve ser observado em relação às tarefas apresentadas?

1. Se uma bola está inscrita em um cilindro, então eles têm um raio comum.

2. A altura de um cilindro circunscrito a uma esfera é igual a dois de seus raios (ou diâmetro).

3. Se um cubo está inscrito em uma esfera, então a diagonal desse cubo é igual ao diâmetro da esfera.

245348. O cilindro é descrito perto da esfera. O volume do cilindro é 33. Encontre o volume da esfera.

Fórmula do volume da esfera:

Precisamos encontrar o raio da esfera.

Uma esfera e um cilindro têm um raio comum. A base do cilindro é um círculo com raio R, a altura do cilindro é igual a dois raios. Assim, o volume do cilindro é calculado pela fórmula:

Substitua o volume dado na condição na fórmula e expresse o raio:

Vamos deixar a expressão desta forma, não é necessário expressar o raio (extrair a raiz do terceiro grau), pois precisamos exatamente de R 3 .

Assim, o volume da esfera será igual a:

Resposta: 22

245349. O cilindro é descrito próximo à esfera. O volume da esfera é 24. Encontre o volume do cilindro.

Esta tarefa é o inverso da anterior.

Fórmula do volume da esfera:

O volume de um cilindro é calculado pela fórmula:

Como o volume da esfera é conhecido, podemos expressar o raio e, em seguida, encontrar o volume do cilindro:

Nesse caminho:

Resposta: 36

316557. A bola está inscrita em um cilindro. A área da superfície da esfera é 111. Encontre a área total da superfície do cilindro.

Fórmula da superfície da esfera:

Fórmula da superfície do cilindro:

Vamos simplificar:

Como a área da superfície da bola nos é dada, podemos expressar o raio:

Resposta: 166,5

UMA BOLA SOBRE UM CILINDRO E UM CONE é chamada de (a) se o topo do cone estiver na superfície da bola e a base do cone for a seção da bola. Uma bola sempre pode ser circunscrita perto de um cone circular reto.O centro de uma bola circunscrita perto de um cone está na altura do cone. O centro da bola descrito próximo ao cone pode estar dentro e fora do cone e também coincidir com o centro da base.

é chamado) se as bases do cilindro são seções de uma esfera. (a Um cilindro circular reto pode ser circunscrito. O centro de uma esfera circunscrita ao redor de um cilindro está na altura do cilindro.

O centro do circumcircle de um triângulo é o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo. O centro do circumcircle de um triângulo pode estar fora do triângulo. Para um triângulo retângulo: R = O centro do circumcircle de um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa. Para um quadrilátero regular: R= um lado; R é o raio do círculo inscrito

Nº 645. Um cilindro está inscrito em uma esfera. Encontre a razão entre a área da superfície total do cilindro e a área da esfera se a altura do cilindro for igual ao diâmetro da base. R R Dado: uma esfera com centro O, um cilindro está inscrito, h=2 R Encontre: R Análise das condições: O R

Uma bola pode ser circunscrita perto de uma pirâmide se e somente se um círculo pode ser circunscrito perto de sua base.

Para construir o centro O desta bola, você precisa:

1. Encontre o centro O, o círculo circunscrito próximo à base.

2. Pelo ponto O, trace uma linha reta perpendicular ao plano da base.

3. Pelo meio de qualquer borda lateral da pirâmide, desenhe um plano perpendicular a essa borda.

4. Encontre o ponto O da interseção da linha construída e do plano.

Caso especial: as arestas laterais da pirâmide são iguais. Então:

a bola pode ser descrita;

o centro O da bola está na altura da pirâmide;

Onde é o raio da esfera circunscrita; - costela lateral; H é a altura da pirâmide.

5.2. bola e prisma

Uma esfera pode ser circunscrita perto de um prisma se e somente se o prisma for reto e um círculo puder ser circunscrito perto de sua base.

O centro da bola é o meio do segmento que liga os centros dos círculos descritos perto das bases.

onde é o raio da esfera circunscrita; é o raio do círculo circunscrito próximo à base; H é a altura do prisma.

5.3. bola e cilindro

Uma esfera sempre pode ser descrita perto de um cilindro. O centro da esfera é o centro de simetria da seção axial do cilindro.

5.4. bola e cone

Uma esfera sempre pode ser descrita perto de um cone. o centro da bola; serve como o centro de um círculo circunscrito à seção axial do cone.

O mundo ao nosso redor, apesar da variedade de objetos e fenômenos que ocorrem com eles, é repleto de harmonia devido à ação clara das leis da natureza. Por trás da aparente liberdade com que a natureza desenha os contornos e cria as formas das coisas, existem regras e leis claras que involuntariamente sugerem a presença de algum poder superior no processo de criação. À beira da ciência pragmática, que fornece uma descrição dos fenômenos que ocorrem a partir da posição de fórmulas matemáticas e visões de mundo teosóficas, há um mundo que nos dá um monte de emoções e impressões das coisas que o preenchem e dos eventos que ocorrem com eles. eles.

Uma bola como é a forma mais comum encontrada na natureza para corpos físicos. A maioria dos corpos do macrocosmo e do microcosmo tem a forma de uma bola ou tende a se aproximar de uma. Na verdade, a bola é um exemplo de forma ideal. A definição geralmente aceita para uma bola é considerada a seguinte: é um corpo geométrico, um conjunto (conjunto) de todos os pontos no espaço que estão localizados a uma distância do centro que não excede um determinado. Em geometria, essa distância é chamada de raio e, em relação a uma determinada figura, é chamada de raio da bola. Em outras palavras, o volume da esfera contém todos os pontos localizados a uma distância do centro que não excede o comprimento do raio.

A bola também é considerada como resultado da rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro, que ao mesmo tempo permanece imóvel. Ao mesmo tempo, a elementos e características como o raio e o volume da bola, adiciona-se o eixo da bola (diâmetro fixo) e suas extremidades são chamadas de pólos da bola. A superfície de uma esfera é chamada de esfera. Se estivermos lidando com uma bola fechada, ela inclui essa esfera, se estiver com uma esfera aberta, ela a exclui.

Considerando definições adicionais relacionadas à bola, deve-se dizer sobre planos de corte. O plano secante que passa pelo centro da bola é chamado de grande círculo. Para outras seções planas da bola, costuma-se usar o nome "pequenos círculos". Ao calcular as áreas dessas seções, é utilizada a fórmula πR².

Calculando o volume de uma bola, os matemáticos encontraram alguns padrões e peculiaridades bastante fascinantes. Descobriu-se que esse valor se repete completamente, ou está muito próximo em termos do método de determinação, do volume de uma pirâmide ou cilindro descrito em torno de uma bola. Acontece que o volume da bola é igual se sua base tiver a mesma área que a superfície da bola e a altura for igual ao raio da bola. Se considerarmos um cilindro descrito ao redor da bola, podemos calcular o padrão segundo o qual o volume da bola é uma vez e meia menor que o volume desse cilindro.

Atraente e original é o método de retirar a bola usando o princípio Cavalieri. Consiste em encontrar o volume de qualquer figura somando as áreas obtidas por sua seção por um número infinito. Para concluir, tomemos um hemisfério de raio R e um cilindro de altura R com circunferência da base de raio R as bases do hemisfério e o cilindro estão localizados no mesmo plano). Neste cilindro entramos em um cone com um vértice no centro de sua base inferior. Tendo provado que o volume do hemisfério e as partes do cilindro que estão fora do cone são iguais, podemos calcular facilmente o volume da bola. Sua fórmula toma a seguinte forma: quatro terços do produto do cubo de raio e π (V= 4/3R^3×π). Isso é fácil de provar desenhando um plano de corte comum através de um hemisfério e um cilindro. As áreas de um pequeno círculo e de um anel limitados externamente pelos lados de um cilindro e de um cone são iguais. E, usando o princípio de Cavalieri, é fácil chegar à prova da fórmula principal, com a ajuda da qual determinamos o volume da bola.

Mas não apenas o problema de estudar os corpos naturais está relacionado com encontrar maneiras de determinar suas várias características e propriedades. Tal figura de estereometria como uma bola é amplamente utilizada em atividades humanas práticas. A massa de dispositivos técnicos tem em seus desenhos detalhes não apenas de forma esférica, mas também compostos por elementos de uma bola. É a cópia de soluções naturais ideais no processo de atividade humana que dá resultados da mais alta qualidade.

Quando uma pirâmide inscrita em uma bola é dada no problema, as seguintes informações teóricas serão úteis para resolvê-lo.

Se a pirâmide está inscrita em uma bola, todos os seus vértices estão na superfície dessa bola (na esfera), respectivamente, as distâncias do centro da bola aos vértices são iguais ao raio da bola.

Cada face de uma pirâmide inscrita em uma bola é um polígono inscrito em algum círculo. As bases das perpendiculares lançadas do centro da bola no plano das faces são os centros desses círculos circunscritos. Assim, o centro da esfera descrita perto da pirâmide é o ponto de intersecção das perpendiculares às faces da pirâmide, traçadas pelos centros dos círculos descritos perto das faces.

Mais frequentemente, o centro da bola descrito perto da pirâmide é considerado como o ponto de interseção da perpendicular traçada à base através do centro do círculo circunscrito perto da base, e a mediatriz da borda lateral (a mediatriz fica no plano que passa por esta aresta lateral e a primeira perpendicular (desenhada à base). Se um círculo não pode ser inscrito perto da base de uma pirâmide, então esta pirâmide não pode ser inscrita em uma bola. Segue-se que uma bola sempre pode ser inscrito próximo a uma pirâmide triangular, e uma pirâmide quadrangular inscrita em uma bola com um paralelogramo na base pode ter uma base retangular ou quadrada.

O centro da esfera descrita perto da pirâmide pode estar dentro da pirâmide, na superfície da pirâmide (na face lateral, na base) e fora da pirâmide. Se a condição do problema não diz exatamente onde está o centro da bola descrita, é aconselhável considerar como várias opções para sua localização podem afetar a solução.

Perto de qualquer pirâmide regular, uma esfera pode ser descrita. Seu centro é o ponto de interseção da linha que contém a altura da pirâmide e a mediatriz à aresta lateral.

Ao resolver problemas em uma pirâmide inscrita em uma bola, alguns triângulos são mais frequentemente considerados.

Vamos começar com o triângulo SO1C. É isósceles, pois seus dois lados são iguais aos raios da bola: SO1=O1С=R. Portanto, O1F é sua altura, mediana e bissetriz.

Os triângulos retângulos SOC e SFO1 são semelhantes no ângulo agudo S. Portanto

SO=H é a altura da pirâmide, SC=b é o comprimento da aresta lateral, SF=b/2, SO1=R, OC=r é o raio do círculo circunscrito próximo à base da pirâmide.

Em um triângulo retângulo OO1C, a hipotenusa é O1C=R, os catetos são OC=r, OO1=H-R. De acordo com o teorema de Pitágoras:

Se continuarmos a altura SO, obtemos o diâmetro SM. O triângulo SCM é em ângulo reto (porque o ângulo inscrito SCM repousa sobre o diâmetro). Nele, OC é a altura traçada para a hipotenusa, SO e OM são as projeções dos catetos SC e CM sobre a hipotenusa. De acordo com as propriedades de um triângulo retângulo,