Considere uma viga que está em flexão direta plana sob a ação de cargas transversais arbitrárias no plano principal Ohu(Fig. 7.31, uma). Cortamos a viga a uma distância x de sua extremidade esquerda e consideramos o equilíbrio do lado esquerdo. A influência do lado direito neste caso deve ser substituída pela ação do momento fletor A/ e da força transversal Q y na seção desenhada (Fig. 7.31, b). O momento fletor L7 no caso geral não é constante em magnitude, como no caso da flexão pura, mas varia ao longo do comprimento da viga. Desde o momento fletor M

de acordo com (7.14) está associado a tensões normais o = a x, então as tensões normais nas fibras longitudinais também mudarão ao longo do comprimento da viga. Portanto, no caso de flexão transversal, as tensões normais são funções das variáveis ​​x e y: a x = a x (x, y).

Com flexão transversal na seção da viga, não apenas tensões normais, mas também tangenciais t atuam (Fig. 7.31, dentro), cuja resultante é a força transversal Qy:

Presença de tensões de cisalhamento x uau acompanhada pelo aparecimento de deformações angulares y. As tensões de cisalhamento, como as tensões normais, são distribuídas de forma desigual sobre a seção transversal. Consequentemente, as deformações angulares associadas a eles pela lei de Hooke no cisalhamento também serão distribuídas de forma desigual. Isso significa que na flexão transversal, ao contrário da flexão pura, as seções da viga não permanecem planas (a hipótese de J. Bernoulli é violada).

A curvatura das seções transversais pode ser claramente demonstrada pelo exemplo da flexão de uma viga retangular de borracha em balanço causada por uma força concentrada aplicada na extremidade (Fig. 7.32). Se você primeiro desenhar linhas retas perpendiculares ao eixo da viga nas faces laterais, depois de dobrar essas linhas não permanecerão retas. Neste caso, eles são dobrados para que o maior deslocamento ocorra no nível da camada neutra.

Estudos mais precisos estabeleceram que o efeito da distorção da seção transversal sobre o valor das tensões normais é insignificante. Depende da relação entre a altura da seção h ao comprimento da viga / e em h/ / o x na flexão transversal, geralmente é usada a fórmula (7.14), derivada para o caso de flexão pura.

A segunda característica da flexão transversal é a presença de tensões normais cerca de y, atuando nas seções longitudinais da viga e caracterizando a pressão mútua entre as camadas longitudinais. Essas tensões ocorrem em áreas onde há uma carga distribuída q, e locais de aplicação de forças concentradas. Normalmente, essas tensões são muito pequenas em comparação com as tensões normais. um x. Um caso especial é a ação de uma força concentrada, na área de aplicação da qual podem surgir tensões locais significativas. e você.

Assim, um elemento infinitesimal no plano Ohu no caso de flexão transversal, está em estado de tensão biaxial (Fig. 7.33).

As tensões m e o, assim como a tensão o Y , são geralmente funções das coordenadas* e y. Eles devem satisfazer as equações de equilíbrio diferencial, que para um estado de tensão biaxial ( az = Tyz = = 0) na ausência

as forças de volume têm a seguinte forma:

Essas equações podem ser usadas para determinar tensões de cisalhamento = t e tensões normais UO. A maneira mais fácil de fazer isso é para uma viga de seção transversal retangular. Neste caso, ao determinar m, é feita a suposição sobre sua distribuição uniforme ao longo da largura da seção (Fig. 7.34). Essa suposição foi feita pelo famoso construtor de pontes russo D.I. Zhuravsky. Estudos mostram que esta suposição corresponde quase exatamente à natureza real da distribuição das tensões de cisalhamento na flexão para vigas bastante estreitas e altas. (b « E).

Usando a primeira das equações diferenciais (7.26) e fórmula (7.14) para tensões normais um x, Nós temos

Integrando esta equação em relação à variável sim, achar

Onde f(x)- uma função arbitrária, para a definição da qual usamos a condição de ausência de tensões de cisalhamento na face inferior da viga:

Levando em conta esta condição de contorno, de (7.28) encontramos

Finalmente, a expressão para as tensões de cisalhamento atuantes nas seções transversais da viga tem a seguinte forma:

Em virtude da lei de emparelhamento de tensões tangenciais, tensões tangenciais t, = t também surgem nas seções longitudinais

uh uh

feixes paralelos à camada neutra.

Da fórmula (7.29) pode-se ver que as tensões de cisalhamento mudam ao longo da altura da seção transversal da viga de acordo com a lei de uma parábola quadrada. As tensões de cisalhamento têm o maior valor em pontos ao nível do eixo neutro em y= 0, e nas fibras extremas da viga em y = ±h/2 são iguais a zero. Usando a fórmula (7.23) para o momento de inércia de uma seção retangular, obtemos

Onde F=bh-área da seção transversal da viga.

O gráfico t é mostrado na fig. 7.34.

No caso de vigas com seção transversal não retangular (Fig. 7.35), é difícil determinar as tensões de cisalhamento m a partir da equação de equilíbrio (7.27), pois a condição de contorno para m não é conhecida em todos os pontos da cruz contorno da seção. Isso se deve ao fato de que, neste caso, as tensões de cisalhamento m atuam na seção transversal, que não são paralelas à força transversal Q. De fato, pode-se mostrar que em pontos próximos ao contorno da seção transversal, a tensão de cisalhamento total m é direcionada tangencialmente ao contorno. Considere, nas proximidades de um ponto arbitrário do contorno (veja a Fig. 7.35), uma área infinitamente pequena dF no plano da seção transversal e uma plataforma perpendicular a ela dF" na lateral da viga. Se a tensão total m no ponto de contorno não é direcionada tangencialmente, então ela pode ser decomposta em duas componentes: xvx na direção da normal v ao contorno e X na direção da tangente t ao contorno. Portanto, de acordo com a lei de emparelhamento de tensões de cisalhamento no site dF" deve-

mas age tensão de cisalhamento x igual a x vv . Se a superfície lateral está livre de cargas tangenciais, então o componente x vv = zvx = 0, ou seja, a tensão de cisalhamento total x deve ser direcionada tangencialmente ao contorno da seção transversal, como mostrado, por exemplo, nos pontos L e NO contorno.

Consequentemente, a tensão de cisalhamento x nos pontos do contorno e em qualquer ponto da seção transversal pode ser decomposta em seus componentes x.

Para determinar os componentes x da tensão de cisalhamento em vigas de seção transversal não retangular (Fig. 7.36, b) suponha que a seção tenha um eixo vertical de simetria e que a componente x da tensão de cisalhamento total x, como no caso de uma seção transversal retangular, seja uniformemente distribuída em sua largura.

Usando uma seção longitudinal paralela ao plano Oxz e passando à distância no dele, e duas seções transversais xx + dx mentalmente recortado do fundo da viga um elemento infinitesimal de comprimento dx(Fig. 7.36, dentro).

Suponhamos que o momento fletor M varia no comprimento dx elemento considerado da viga, e a força transversal Q constante. Em seguida, em seções transversais x e x + dx as vigas atuarão com as mesmas tensões de cisalhamento x, e as tensões normais decorrentes dos momentos fletores MzmMz+ dM, serão iguais respectivamente uma e uma + da. Ao longo da face horizontal do elemento selecionado (na Fig. 7.36, dentroé mostrado na axonometria) de acordo com a lei de emparelhamento de tensões de cisalhamento, as tensões x v „ \u003d x atuarão.

uh uh

resultante R e R+dR tensões normais o e o + d aplicados nas extremidades do elemento, levando em consideração a fórmula (7.14) são iguais a

Onde

momento estático de corte F(na Fig. 7.36, b sombreado) em relação ao eixo neutro Oz y, - variável auxiliar, mudando dentro no

A tensão de cisalhamento resultante t aplicada

hu

à aresta horizontal do elemento, tendo em conta a hipótese introduzida sobre a distribuição uniforme destas tensões ao longo da largura por) pode ser encontrado pela fórmula

A condição de equilíbrio para um elemento? X=0 dá

Substituindo os valores das forças resultantes, obtemos

A partir daqui, levando em conta (7.6), obtemos uma fórmula para determinar as tensões de cisalhamento:

Esta fórmula na literatura nacional é chamada fórmula D.I. Zhuravsky.

De acordo com a fórmula (7.32), a distribuição das tensões de cisalhamento m ao longo da altura da seção depende da mudança na largura da seção b(y) e o momento estático da parte de corte da seção S OTC (y).

Usando a fórmula (7.32), as tensões de cisalhamento são determinadas de forma mais simples para a viga retangular considerada acima (Fig. 7.37).

O momento estático da área da seção transversal de corte F qtc é igual a

Substituindo 5° TC em (7.32), obtemos a fórmula derivada anteriormente (7.29).

A fórmula (7.32) pode ser usada para determinar as tensões de cisalhamento em vigas com largura de seção constante passo a passo. Dentro de cada seção com largura constante, as tensões de cisalhamento mudam ao longo da altura da seção de acordo com a lei de uma parábola quadrada. Em locais de mudança abrupta na largura da seção, as tensões de cisalhamento também apresentam saltos ou descontinuidades. A natureza do diagrama m para tal seção é mostrada na Fig. 7.38.

Arroz. 7,37

Arroz. 7,38

Considere a distribuição de tensões de cisalhamento em uma seção I (Fig. 7.39, a) ao dobrar em um plano Ah. Uma seção I pode ser representada como uma conjugação de três retângulos estreitos: duas prateleiras horizontais e uma parede vertical.

Ao calcular m na parede na fórmula (7.32), deve-se tomar b(y) - d. Como resultado, obtemos

Onde S° 1C calculado como a soma dos momentos estáticos em torno do eixo Ozárea de prateleira F n e partes da parede F, sombreado na Fig. 7.39, uma:

As tensões de cisalhamento t têm o maior valor no nível da linha neutra em y= 0:

onde é o momento estático da área da meia seção em relação ao eixo neutro:

Para vigas I rolantes e canais, o valor do momento estático de metade da seção é fornecido no sortimento.

Arroz. 7,39

No nível em que a parede se une aos flanges, as tensões de cisalhamento 1 ? igual

Onde S"- momento estático da área seccional do flange em relação ao eixo neutro:

As tensões de cisalhamento verticais t nos banzos de uma viga I não podem ser encontradas pela fórmula (7.32), devido ao fato de que b :» t, a suposição de sua distribuição uniforme ao longo da largura da prateleira torna-se inaceitável. Nas faces superior e inferior da prateleira, essas tensões devem ser iguais a zero. Portanto, t em

uau

as prateleiras são muito pequenas e não têm interesse prático. De muito maior interesse são as tensões de cisalhamento horizontais nas prateleiras m, para determinar qual consideramos o equilíbrio de um elemento infinitesimal selecionado da prateleira inferior (Fig. 7.39 , b).

De acordo com a lei do pareamento das tensões de cisalhamento na face longitudinal deste elemento, paralela ao plano Ohu tensão está agindo xx, igual em magnitude à tensão t atuando na seção transversal. Devido à pequena espessura do banzo da viga I, essas tensões podem ser consideradas uniformemente distribuídas sobre a espessura do banzo. Com isso em mente, da equação de equilíbrio para o elemento 5^=0 teremos

A partir daqui encontramos

Substituindo nesta fórmula a expressão para um x de (7.14) e levando em conta que obtemos

Dado que

Onde S° TC - momento estático da área de corte da prateleira (na Fig. 7. 39, uma sombreado duas vezes) em relação ao eixo Oz, nós finalmente conseguimos

De acordo com a fig. 7,39 , uma

Onde z- variável baseada em eixo UO.

Com isso em mente, a fórmula (7.34) pode ser representada como

Isso mostra que as tensões de cisalhamento horizontais mudam linearmente ao longo do eixo Oz e tomar o maior valor em z = d/2:

Na fig. 7.40 mostra diagramas de tensões tangenciais t e t^, bem como a direção dessas tensões nas prateleiras e na parede da viga sob a ação de uma força transversal positiva na seção da viga Q. As tensões de cisalhamento, figurativamente falando, formam um fluxo contínuo na seção da viga I, direcionado em cada ponto paralelo ao contorno da seção.

Vamos passar para a definição de tensões normais e em nas seções longitudinais da viga. Considere uma seção de viga com uma carga uniformemente distribuída ao longo da face superior (Fig. 7.41). A seção transversal da viga é considerada retangular.

Usamos para determinar a segunda das equações de equilíbrio diferencial (7.26). Substituindo nesta fórmula de equação (7.32) as tensões de cisalhamento uh, levando em conta (7.6), obtemos

Integrando sobre a variável sim, achar

Aqui f(x) - uma função arbitrária que é definida usando uma condição de contorno. De acordo com as condições do problema, a viga é carregada com uma carga uniformemente distribuída q ao longo da face superior e a face inferior está livre de cargas. Então as condições de contorno correspondentes são escritas como

Usando a segunda dessas condições, obtemos

Com isso em mente, a fórmula para tensões e em terá a seguinte forma:

Pode-se ver a partir desta expressão que as tensões o mudam ao longo da altura da seção de acordo com a lei de uma parábola cúbica. Neste caso, ambas as condições de contorno (7.35) são satisfeitas. Tensão de valor mais alto assume a superfície superior do feixe em y=-h/2:

A natureza do enredo e em mostrado na fig. 7.41.

Para estimar a magnitude das maiores tensões o. a, e m e as relações entre eles, considere, por exemplo, a flexão de uma viga em balanço de seção transversal retangular com dimensões bxh, sob a ação de uma carga uniformemente distribuída aplicada na face superior da viga (Fig. 7.42). As maiores tensões absolutas ocorrem na terminação. De acordo com as fórmulas (7.22), (7.30) e (7.37), essas tensões são iguais a

Como de costume para vigas l/h» 1, então segue das expressões obtidas que as tensões com x em valor absoluto excedem as tensões m e, especialmente, e você. Assim, por exemplo, quando 1/eu == 10 obtemos a x / m xy \u003d 20 ', o x / c y \u003d 300.

Assim, o maior interesse prático no cálculo de vigas para flexão são as tensões um x, vigas atuando em seções transversais. Tensão com y, caracterizando a pressão mútua das camadas longitudinais da viga, são desprezíveis em relação a o v .

Os resultados obtidos neste exemplo mostram que as hipóteses introduzidas no § 7.5 são bem fundamentadas.

No caso de flexão transversal nas seções da viga, não ocorre apenas um momento fletor, mas também uma força transversal. Consequentemente, neste caso, não apenas tensões normais, mas também tensões tangenciais surgem nas seções transversais da viga.

Como as tensões tangenciais são geralmente distribuídas de forma desigual sobre a seção transversal, então, estritamente falando, as seções transversais da viga não permanecem planas durante a flexão transversal. No entanto, em (onde h- altura da seção transversal, eu- o comprimento da viga) verifica-se que essas distorções não afetam visivelmente o trabalho da viga na flexão. Neste caso, a hipótese de seções planas também é aceitável com suficiente precisão no caso de flexão pura. Portanto, a mesma fórmula (5) é usada para calcular as tensões normais.

Considere a derivação de fórmulas de cálculo para tensões de cisalhamento. Vamos destacar de uma barra que sofre flexão transversal um elemento com um comprimento (Fig. 6.28, uma).

Arroz. 6,28

Com uma seção horizontal longitudinal desenhada a uma distância y do eixo neutro, dividimos o elemento em duas partes (Fig. 6.28, dentro) e considere o equilíbrio da parte superior, que tem uma base de largura b. Ao mesmo tempo, levando em conta a lei de emparelhamento de tensões tangenciais, obtemos que as tensões tangenciais na seção transversal são iguais às tensões tangenciais que surgem nas seções longitudinais (Fig. 6.28, b). Levando em conta esta circunstância e assumindo que as tensões de cisalhamento são uniformemente distribuídas na área, usando a condição , obtemos:

onde é a resultante das forças normais na seção transversal esquerda do elemento dentro da área sombreada:

Levando em conta (5), a última expressão pode ser representada como

onde é o momento estático da parte da seção transversal localizada acima da coordenada y (na Fig. 6.28, b esta área está sombreada). Portanto, (15) pode ser reescrita como

Como resultado da consideração conjunta de (13) e (16), obtemos

ou finalmente

A fórmula resultante (17) recebeu o nome do cientista russo DI. Zhuravsky.

Condição de resistência para tensões de cisalhamento:

onde é o valor máximo da força transversal na seção; - tensão de cisalhamento admissível, geralmente igual à metade.

Para estudar o estado de tensão em um ponto arbitrário de uma viga que sofre flexão transversal, selecionamos um prisma elementar da composição da viga ao redor do ponto em estudo (Fig. 6.28, G), de modo que a plataforma vertical faça parte da seção transversal da viga e a plataforma inclinada seja um ângulo arbitrário em relação ao horizonte. Aceitamos que o elemento selecionado tenha as seguintes dimensões ao longo dos eixos de coordenadas: ao longo do eixo longitudinal - dz, ou seja ao longo do eixo z; ao longo do eixo vertical - dy, ou seja ao longo do eixo no; ao longo do eixo X- igual à largura da viga.

Como a área vertical do elemento selecionado pertence à seção transversal da viga que sofre flexão transversal, as tensões normais nessa área são determinadas pela fórmula (5) e as tensões de cisalhamento são determinadas pelo D.I. Zhuravsky (17). Levando em conta a lei do pareamento das tensões de cisalhamento, é fácil estabelecer que as tensões de cisalhamento em uma plataforma horizontal também são iguais. As tensões normais neste local são iguais a zero, de acordo com a hipótese da teoria da flexão já conhecida por nós de que as camadas longitudinais não exercem pressão umas sobre as outras.

Vamos denotar os valores das tensões normal e tangencial na área inclinada por e , respectivamente. Tomando a área da plataforma inclinada , para as plataformas vertical e horizontal teremos e , respectivamente.

Compondo as equações de equilíbrio para um prisma de corte elementar (Fig. 6.28, G), Nós temos:

de onde teremos:

Consequentemente, as expressões finais para tensões em uma plataforma inclinada assumem a forma:

Vamos determinar a orientação do site, ou seja, o valor no qual a tensão atinge seu valor extremo. De acordo com a regra para determinar os extremos de funções da análise matemática, tomamos a derivada da função e a igualamos a zero:

Supondo que obtemos:

De onde finalmente teremos:

De acordo com a última expressão, tensões extremas surgem em duas áreas mutuamente perpendiculares, chamadas a Principal , e as próprias tensões - tensões principais.

Comparando as expressões e , temos:

de onde se segue que as tensões tangenciais nas áreas principais são sempre iguais a zero.

Em conclusão, tendo em conta as conhecidas identidades trigonométricas:

e fórmulas,

determinamos as tensões principais, expressando por e:

Na seção anterior, vimos que apenas tensões normais surgem na flexão pura. Assim, as forças internas são reduzidas a um momento fletor na seção.

Com a flexão transversal na seção transversal da viga, surge não apenas um momento fletor, mas também uma força de cisalhamento. Essa força é a resultante das forças elementares que se encontram no plano da seção (Fig. 5.8).

Assim, durante a flexão transversal, surgem não apenas tensões normais, mas também tensões tangenciais. A ocorrência de tensões tangenciais é acompanhada pelo aparecimento de deformações angulares. Portanto, a hipótese de seções planas é violada. A Figura 5.9 mostra um padrão típico de curvatura transversal.

Foi comprovado teórica e experimentalmente que a distorção do plano das seções transversais não afeta visivelmente a magnitude das tensões normais. Assim, as tensões normais na flexão transversal são calculadas usando as mesmas fórmulas que na flexão pura

Assim, a hipótese de seções planas é estendida para flexão transversal.

Agora vamos determinar aproximadamente a magnitude das tensões de cisalhamento durante a flexão transversal. Vamos selecionar um elemento de comprimento da viga (Fig. 5.10).

No caso de flexão transversal, os momentos que surgem nas seções esquerda e direita do elemento não são iguais e diferem em .

Com um corte longitudinal horizontal desenhado a uma distância da camada neutra (Fig. 5.10, b), dividimos este elemento em duas partes e consideramos a condição de equilíbrio da parte superior. No lado direito, a tensão em cada ponto é maior do que no lado esquerdo, porque. o momento fletor à direita é maior que à esquerda (Fig. 5.10, b).

A resultante das forças normais na seção esquerda dentro da área sombreada é igual a

ou de acordo com a fórmula (5.8)

,

onde é a ordenada atual do site (Fig. 5.10, b),

Momento estático em torno do eixo da parte da área localizada acima da seção longitudinal.

Na seção direita, a força normal será diferente

.

A diferença entre essas forças nas seções direita e esquerda é igual a

.

Esta diferença deve ser compensada pelas forças tangenciais que surgem na seção longitudinal do elemento (Fig. 5.10, b e c).

Como aproximação, assumimos que as tensões de cisalhamento são uniformemente distribuídas ao longo da largura da seção.

Então .

De (5.11)

Esta fórmula permite calcular as tensões nas seções longitudinais da viga. As tensões nas seções transversais são iguais a elas de acordo com a lei do pareamento.

Assim, a fórmula permite calcular as tensões de cisalhamento em quaisquer pontos ao longo da altura da seção transversal.

Considere a distribuição de tensões de cisalhamento para alguns tipos de seções transversais.

Seção retangular (Fig. 5.11).

Vamos tomar um ponto arbitrário , espaçado do eixo neutro a uma distância . Desenhe um corte através deste ponto paralelo ao eixo; a largura desta seção é .

O momento estático da parte cortada (sombreada) é igual a

; ,

Consequentemente,

.

Como se sabe,

Substituindo os valores obtidos na fórmula (5.11), temos

(5.12)

A fórmula (5.12) mostra que as tensões de cisalhamento ao longo da altura da seção mudam de acordo com a lei de uma parábola quadrada. Para obter , e para temos .

Seção I (Fig. 5.12). Uma característica desta seção é uma mudança acentuada na largura da seção na transição da parede da viga I para seu flange. Basicamente, a força transversal é percebida pela parede, e uma pequena quantidade recai sobre o compartilhamento das prateleiras.

Considere um ponto arbitrário (Figura 5.12). Desenhe uma linha paralela ao eixo através deste ponto. O momento estático da área da parte de corte superior (sombreado na Fig. 5.12) pode ser encontrado como a soma dos momentos estáticos das áreas e:

.

Esta fórmula é válida quando o ponto está dentro da parede vertical, ou seja, desde que o valor esteja dentro de . O diagrama de tensões de cisalhamento para uma parede vertical tem a forma mostrada na fig. 5.12.

.

.

Curva oblíqua pura

Uma curva é chamada de oblíqua se o plano das forças atuantes passa pelo eixo da viga, mas não coincide com nenhum dos eixos principais da seção.

É mais conveniente considerá-lo como uma flexão simultânea da viga em dois planos principais e (Fig. 5.13).

Para isso, o momento fletor é decomposto em componentes relativos aos eixos e:

, .

Assim, uma curva oblíqua é reduzida a duas curvas planas em torno dos eixos, e . Os momentos fletores são considerados positivos se causarem tensão no primeiro quadrante.

As tensões normais em um ponto com coordenadas e serão iguais à soma das tensões de , ou seja, ,

A inclinação da linha neutra é

.

Porque no caso geral, então a condição de perpendicularidade das linhas, conhecida da geometria analítica, não é observada, pois

Portanto, a linha neutra não é perpendicular ao plano do momento, mas está um pouco voltada para o momento mínimo de inércia. A viga "prefere" flexão não no plano do momento fletor, mas em algum outro plano, onde o plano de flexão será menor.

Porque diagrama de tensões normais na seção transversal da régua, então as tensões máximas ocorrem no ponto mais distante da linha neutra. Sejam as coordenadas deste ponto então:

. (5.15)

A condição de força pode ser escrita como:

. (5.16)

Se a seção tiver uma forma simples, os pontos mais distantes são encontrados imediatamente, se for complexo, desenhando a seção em uma escala (Fig. 5.14), a posição da linha neutra é plotada e o ponto mais distante está localizado graficamente (Fig. 5.14).

No caso de flexão transversal plana, quando o momento fletor também atua nas seções da viga M e força de cisalhamento Q, não só normal
, mas também tensões de cisalhamento .

As tensões normais na flexão transversal são calculadas usando as mesmas fórmulas da flexão pura:

;
.(6.24)

P

Fig.6.11. curva plana

Ao derivar a fórmula, faremos algumas suposições:

Tensões de cisalhamento atuando na mesma distância no do eixo neutro, constante ao longo da largura da viga;

As tensões tangenciais são em todos os lugares paralelas à força Q.

Consideremos uma viga em balanço sob condições de flexão transversal sob a ação de uma força R. Vamos construir diagramas de forças internas O y, e M z .

Na distância x da extremidade livre da viga, selecionamos uma seção elementar da viga com comprimento dx e uma largura igual à largura da viga b. Vamos mostrar as forças internas que atuam nas faces do elemento: nas faces cd existe uma força transversal Q y e momento fletor M z, mas à beira ab- também força transversal Q y e momento fletor M z +dM z(Porque Q y permanece constante ao longo do comprimento da viga, e o momento M z mudanças, Fig. 6.12). Na distância no cortar parte do elemento do eixo neutro abcd, mostraremos as tensões que atuam nas faces do elemento obtido mbcn, e considere seu equilíbrio. Não há tensões nas faces que fazem parte da superfície externa da viga. Nas faces laterais do elemento pela ação do momento fletor M z, surgem tensões normais:

; (6.25)

. (6.26)

Além disso, nessas faces, a partir da ação de uma força transversal Q y, surgem tensões de cisalhamento , as mesmas tensões surgem de acordo com a lei de emparelhamento de tensões tangenciais na face superior do elemento.

Vamos compor a equação de equilíbrio do elemento mbcn, projetando as tensões resultantes em consideração no eixo x:

. (6.29)

A expressão sob o sinal de integral é o momento estático da face lateral do elemento mbcn sobre o eixo x, para que possamos escrever

. (6.30)

Dado que, de acordo com as dependências diferenciais de D. I. Zhuravsky, ao dobrar,

, (6.31)

expressão para tangentes tensões durante a flexão transversal podem ser reescritas como segue ( A fórmula de Zhuravsky)

. (6.32)

Vamos analisar a fórmula de Zhuravsky.

Q yé a força transversal na seção considerada;

J z - momento de inércia axial da seção em torno do eixo z;

b- largura da seção no local onde são determinadas as tensões de cisalhamento;

é o momento estático em torno do eixo z da parte da seção localizada acima (ou abaixo) da fibra onde a tensão de cisalhamento é determinada:

, (6.33)

Onde e F" - a coordenada do centro de gravidade e a área da parte considerada da seção, respectivamente.

6.6 Teste de resistência completo. Seções perigosas e pontos perigosos

Para verificar a resistência à flexão, de acordo com as cargas externas que atuam na viga, são construídos gráficos de mudanças nas forças internas ao longo de seu comprimento e são determinadas as seções perigosas da viga, para cada uma das quais é necessário realizar um teste de resistência .

Com um teste de força total, haverá pelo menos três dessas seções (às vezes coincidem):

A seção na qual o momento fletor M z atinge seu valor máximo de módulo;

A seção na qual a força transversal Q y, atinge seu valor máximo de módulo;

A seção em que e o momento fletor M z e força de cisalhamento Q y atingir valores suficientemente grandes em módulo.

Em cada uma das seções perigosas, é necessário, tendo construído diagramas de tensões normais e de cisalhamento, encontrar os pontos perigosos da seção (a verificação de resistência é realizada para cada um deles), que também serão pelo menos três:

O ponto em que as tensões normais , atingem seu valor máximo, - ou seja, o ponto na superfície externa da viga é o mais distante do eixo neutro da seção;

O ponto em que as tensões de cisalhamento atingir seu valor máximo, - um ponto situado no eixo neutro da seção;

O ponto em que tanto as tensões normais quanto as tensões de cisalhamento atingem valores suficientemente grandes (esta verificação faz sentido para seções como uma viga em T ou I, onde a largura da seção não é constante em altura).

Como foi estabelecido anteriormente, nas seções transversais da viga durante a flexão transversal, surgem não apenas tensões normais, mas também tangenciais, causando deformações de cisalhamento. Em virtude da lei de emparelhamento, as mesmas tensões tangenciais também ocorrerão em seções longitudinais paralelas à camada neutra. A presença de tensões de cisalhamento em seções longitudinais é confirmada pelo aparecimento de fissuras longitudinais em vigas de madeira durante a flexão transversal.

Passemos à derivação de uma fórmula para calcular as tensões de cisalhamento durante a flexão transversal de vigas retangulares. Esta fórmula foi derivada em 1855 por D.I. Zhuravsky. A necessidade de tal fórmula foi causada pelo fato de que, no século passado, as estruturas de madeira eram amplamente utilizadas na construção de pontes, e as vigas de madeira geralmente têm seção transversal retangular e não funcionam bem para lascar ao longo das fibras.

Considere uma viga retangular bxh (Fig. 6.19). Deixe na seção transversal 1 há um momento fletor Mk, e na seção 2, espaçada da primeira por uma distância infinitamente próxima d z - momento fletor M e + dM". Na distância no do eixo neutro desenhamos uma seção longitudinal ás e considere o equilíbrio do paralelepípedo elementar atps , que tem medidas

A resultante das forças internas normais que atuam na face sou , denotar N u mas agindo no limite cn - N 2; denotamos as tensões normais variáveis ​​nestas faces por cTi e 02, respectivamente.Na seção transversal da viga, selecionamos uma faixa infinitamente estreita cL4 localizada a uma distância variável no do eixo neutro. Então

Vamos supor que as tensões de cisalhamento na seção transversal de uma viga retangular são paralelas à força transversal Q e são distribuídos uniformemente sobre a largura da seção. Assumindo que as tensões tangenciais m também estão distribuídas uniformemente na seção longitudinal, determinamos a força tangencial d F, operando no limite ás: d F-xbdz.

Vamos compor a equação de equilíbrio do paralelepípedo atps :IZ = 0; N x + dF-N 2 = 0, de onde dF \u003d N 2 - N x, ou

Arroz. 6.19

Expressão J dA há um momento estático sombreado

praça hovannaya E em seções relativas ao eixo neutro; vamos denotar por S. Então

Onde

Uma vez que, de acordo com o teorema de Zhuravsky,

Essa igualdade é chamada A fórmula de Zhuravsky.

A fórmula de Zhuravsky é assim: as tensões de cisalhamento na seção transversal da viga são iguais ao produto da força transversal Q e o momento estático S em relação à linha neutra da parte da seção, situada acima da camada de fibras em consideração, dividido pelo momento de inércia I de toda a seção em torno do eixo neutro e pela largura b da camada de fibras considerada.

A fórmula derivada dá o valor das tensões de cisalhamento em seções longitudinais, mas de acordo com a lei do pareamento, nos pontos da seção transversal que se encontram na linha de interseção dos planos longitudinal e transversal, atuarão tensões de cisalhamento de mesmo módulo.

Vamos definir a lei de distribuição de tensões tangenciais para uma viga retangular (Fig. 6.20, uma). Para camada de fibra de Anúncios:

no no= ±I/ 2t = 0;

no no= 0 t = t max = 2T/(2bh)= 3T/2A= Zx mídia /2.

Assim, nas camadas superior e inferior das fibras, as tensões de cisalhamento são iguais a zero, e nas fibras da camada neutra, atingem um valor máximo. As leis de distribuição das tensões de cisalhamento na largura e na altura de uma seção retangular são mostradas na fig. 6,20 uma.

Com alguma aproximação, a fórmula de Zhuravsky pode ser usada para calcular as tensões de cisalhamento em vigas com seções transversais de forma diferente. Consideremos uma viga em balanço de um perfil de calha, cuja seção é mostrada na fig. 6,20 b, dobrado pela força Y 7 no final.

avião 1-1 corte uma parte da prateleira com uma área MAS. Como a flexão da viga é transversal, então no plano 1-1 forças e tensões tangenciais longitudinais atuarão xz(por analogia, veja a Figura 6.19). De acordo com a lei do emparelhamento, as tensões tangenciais surgirão na seção transversal da prateleira x x do mesmo valor e pode ser calculado usando a fórmula de Zhuravsky

Onde Q- força transversal na seção da viga; Sx- momento estático de corte MAS sobre o eixo x (eixo neutro), S x = AhJ2 ; / - o momento de inércia de toda a seção em relação ao eixo neutro; t- espessura da prateleira.

Arroz. 6,20

Se a espessura do flange for constante, então as tensões de cisalhamento x x mudar de acordo com uma lei linear; então

Resultante Rx tensões tangenciais na prateleira superior é igual a

A mesma força atua na prateleira inferior R, mas dirigido na direção oposta. Duas forças Ri formar um par com o momento M para = Rhx. Portanto, na seção, juntamente com a força transversal vertical Q = Ri há também um torque Mk, que torce o feixe. R2- resultante das tensões de cisalhamento na alma da viga.

Para evitar a deformação por torção, uma força externa F deve ser aplicado em algum momento NO na distância uma do meio da parede e observe a condição Fa \u003d M k. Daqui a = M K / F. Tal ponto NO chamado centro de curvatura. Se a seção da viga tiver dois eixos de simetria, o centro de flexão coincide com o centro de gravidade da seção.

Sem derivação, damos uma fórmula para determinar as tensões de cisalhamento máximas no vigas redondas:

As tensões de cisalhamento nas vigas correspondem à deformação por cisalhamento, pelo que as seções transversais planas durante a flexão transversal não permanecem planas, como na flexão pura, mas são dobradas (Fig. 6.21).

Arroz. 6.21

A maioria das vigas é projetada apenas para tensões normais; mas três tipos de vigas também devem ser verificados para tensões de cisalhamento, a saber:

• 1) vigas de madeira, pois a madeira não funciona bem para lascamento;
• 2) vigas estreitas (por exemplo, vigas I), pois as tensões de cisalhamento máximas são inversamente proporcionais à largura da camada neutra;
• 3) vigas curtas, pois com momento fletor relativamente pequeno e tensões normais, tais vigas podem sofrer esforços transversais e tensões de cisalhamento significativas.

A tensão de cisalhamento máxima em uma seção I é determinada pela fórmula de Zhuravsky. As tabelas de gama de produtos mostram os valores do momento estático da área de meia seção para vigas I e canais.

Exemplo 6.7

A viga cantilever, fixada rigidamente em uma extremidade do embutimento, consiste em duas vigas de madeira de seção quadrada conectadas na outra extremidade com um parafuso (Fig. 6.22). Uma força é aplicada à extremidade livre da viga R= 15kN. Comprimento da viga / = 4 m. Determine o diâmetro do eixo do parafuso se a tensão de cisalhamento admissível [t cf ] = 120 MPa. O tamanho da seção transversal das barras a = 20 cm

Arroz. 6.22

Solução. Em todas as seções transversais da viga, além do momento fletor, surge uma força transversal Q=R= 15 kN e as tensões tangenciais correspondentes calculadas de acordo com a fórmula de Zhuravsky, e as tensões máximas m max ocorrem no eixo neutro, ou seja, no ponto de contato das barras. De acordo com a lei de pareamento, as mesmas tensões de cisalhamento também ocorrem nas seções longitudinais da viga. Então

Onde Q - força transversal: Q = 15-103N; S - momento estático da área de meia seção da viga em relação ao eixo neutro: S= a 2 -a / 2= a r /2 ; EU- momento de inércia de toda a seção em torno do eixo neutro: EU - a(2a) 3/2-2a 4/3 ; b - largura da secção: b= uma.

Substituindo essas expressões na fórmula de Zhuravsky, temos m max \u003d 3 () / (4n 2), e substituindo valores numéricos e levando em consideração as dimensões, obtemos

Força de cisalhamento F= x máx. E sd, onde é a área de cisalhamento A sd = al. Consequentemente F== Htah umaEU= 0,282 10 6 0,2 4 = 226 10 3 N. Força F, atuando na junção das vigas, tende a cortar o parafuso. Encontre o diâmetro necessário d eixo do parafuso com base em seu cisalhamento: F/A Cf) A cf - área de corte igual à área da seção transversal da haste do parafuso: D. p \u003d lx / 2/4

Substituindo esta expressão na fórmula de cálculo, temos,