Uma figura é um conjunto arbitrário de pontos em um plano. Um ponto, uma linha, um segmento de linha, um raio, um triângulo, um círculo, um quadrado e assim por diante são exemplos de formas geométricas.

As principais figuras geométricas no plano são o ponto e a linha. Estas figuras não são definidas na geometria.

As figuras geométricas indefiníveis no plano são um ponto e uma linha.

É costume designar pontos em letras maiúsculas latinas: A, B, C, D .... As linhas retas são indicadas por letras latinas minúsculas: a, b, c, d ....

Figuras estudadas por planimetria:

3. Paralelogramo (casos especiais: quadrado, retângulo, losango)

4. Trapézio

5. Círculo

6. Triângulo

7. Polígono

Em geometria, topologia e ramos relacionados da matemática, um ponto é um objeto abstrato no espaço que não tem volume, nem área, nem comprimento, nem quaisquer outras características semelhantes de grandes dimensões. Assim, um objeto de dimensão zero é chamado de ponto. O ponto é um dos conceitos fundamentais em matemática.

Um ponto é um dos conceitos fundamentais da geometria, então "ponto" não tem definição. Euclides definiu um ponto como algo que não pode ser dividido.

Também em geometria não há definição de "linha reta" (ou seja, uma linha reta).

A linha reta é um dos conceitos básicos da geometria.

Uma linha reta geométrica (linha reta) é um objeto geométrico não fechado em ambos os lados, estendido e não curvo, cuja seção transversal tende a zero e a projeção longitudinal no plano dá um ponto.

Em uma exposição sistemática de geometria, uma linha reta é geralmente tomada como um dos conceitos iniciais, o que é apenas indiretamente determinado pelos axiomas da geometria.

Se a base para a construção da geometria é o conceito da distância entre dois pontos no espaço, então uma linha reta pode ser definida como uma linha ao longo da qual o caminho é igual à distância entre dois pontos.

3) Paralelogramo

Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares, ou seja, eles estão em linhas paralelas. Casos especiais de um paralelogramo são um retângulo, um quadrado e um losango.

Casos especiais:

Um quadrado é um quadrilátero regular ou losango, no qual todos os ângulos são retos, ou um paralelogramo, no qual todos os lados e ângulos são iguais.

Um quadrado pode ser definido como:

um retângulo com dois lados adjacentes iguais

§ Um losango com todos os ângulos retos (qualquer quadrado é um losango, mas nem todo losango é um quadrado).

Um retângulo é um paralelogramo em que todos os ângulos são retos (iguais a 90 graus).

Um losango é um paralelogramo com todos os lados iguais. Um losango com ângulos retos é chamado de quadrado.

4) Trapézio

Um trapézio é um quadrilátero com exatamente um par de lados opostos paralelos.

Às vezes, um trapézio é definido como um quadrilátero no qual um par de lados opostos é paralelo (o outro não é especificado), caso em que um paralelogramo é um caso especial de um trapézio. Em particular, existe um conceito como um trapézio curvilíneo.

trapézio retangular

5) Círculo

Um círculo é um lugar geométrico de pontos em um plano que são equidistantes de um dado ponto, chamado centro, a uma dada distância não nula, chamada raio.

6) Triângulo

Um triângulo é o polígono mais simples com 3 vértices (ângulos) e 3 lados; uma parte de um plano limitada por três pontos e três segmentos de linha conectando esses pontos em pares.

Se todos os três pontos de um triângulo estão na mesma linha reta, ele é chamado de degenerado.

7) Polígono

Um polígono é uma figura geométrica, definida como uma linha quebrada fechada. Existem três definições diferentes:

§ Linhas tracejadas fechadas planas;

§ Linhas tracejadas fechadas planas sem auto-interseções;

§ Partes do plano delimitadas por linhas tracejadas.

Os vértices da polilinha são chamados de vértices do polígono e os segmentos são chamados de lados do polígono.

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§1. perguntas do teste
Pergunta 1. Dê exemplos de formas geométricas.
Responda. Exemplos de formas geométricas: triângulo, quadrado, círculo.

Questão 2. Nomeie as formas geométricas básicas no plano.
Responda. As principais figuras geométricas no plano são o ponto e a linha.

Questão 3. Como são definidos os pontos e as linhas?
Responda. Os pontos são indicados por letras latinas maiúsculas: A, B, C, D, .... As linhas retas são indicadas por letras latinas minúsculas: a, b, c, d, ....
Uma linha pode ser denotada por dois pontos sobre ela. Por exemplo, a linha a na figura 4 pode ser rotulada como AC e a linha b pode ser rotulada como BC.

Pergunta 4. Formule as propriedades básicas de pertinência de pontos e linhas.
Responda. Qualquer que seja a linha, existem pontos que pertencem a essa linha e pontos que não pertencem a ela.
Através de quaisquer dois pontos você pode desenhar uma linha, e apenas uma.
Pergunta 5. Explique o que é um segmento com extremidades em determinados pontos.
Responda. Um segmento é uma parte de uma linha reta que consiste em todos os pontos dessa linha reta que se encontram entre dois pontos dados dela. Esses pontos são chamados de extremidades do segmento. Um segmento é indicado indicando suas extremidades. Quando dizem ou escrevem: "segmento AB", significam um segmento com extremidades nos pontos A e B.

Pergunta 6. Formule a propriedade principal da localização de pontos em uma linha reta.
Responda. Dos três pontos em uma linha, um e apenas um está entre os outros dois.
Pergunta 7. Formule as principais propriedades dos segmentos de medição.
Responda. Cada segmento tem um certo comprimento maior que zero. O comprimento de um segmento é igual à soma dos comprimentos das partes em que é dividido por qualquer um de seus pontos.
Pergunta 8. Qual é a distância entre dois pontos dados?
Responda. O comprimento do segmento AB é chamado de distância entre os pontos A e B.
Pergunta 9. Quais são as propriedades de dividir um plano em dois semiplanos?
Responda. A partição de um plano em dois semiplanos tem a seguinte propriedade. Se as extremidades de qualquer segmento pertencem ao mesmo semiplano, então o segmento não intercepta a linha. Se as extremidades de um segmento pertencem a diferentes semiplanos, então o segmento intercepta a linha.

Figuras geométricas são um complexo de pontos, linhas, sólidos ou superfícies. Esses elementos podem estar localizados tanto no plano quanto no espaço, formando um número finito de linhas.

O termo "figura" significa vários conjuntos de pontos. Eles devem estar localizados em um ou mais planos e simultaneamente limitados a um número específico de linhas concluídas.

As principais figuras geométricas são o ponto e a linha. Eles são planos. Além deles, entre figuras simples, distinguem-se um raio, uma linha quebrada e um segmento.

Ponto

Esta é uma das principais figuras da geometria. É muito pequeno, mas sempre é usado para construir várias formas em um avião. O ponto é a figura principal para absolutamente todas as construções, mesmo as de maior complexidade. Na geometria, geralmente é denotado por uma letra do alfabeto latino, por exemplo, A, B, K, L.

Do ponto de vista da matemática, um ponto é um objeto espacial abstrato que não possui características como área, volume, mas ao mesmo tempo continua sendo um conceito fundamental na geometria. Este objeto de dimensão zero simplesmente não tem definição.

Em linha reta

Esta figura é completamente colocada em um plano. A linha reta não possui uma definição matemática específica, pois consiste em um grande número de pontos localizados em uma linha infinita, que não possui limites e fronteiras.

Há também um corte. Esta também é uma linha reta, mas começa e termina com um ponto, o que significa que tem restrições geométricas.

Além disso, a linha pode se transformar em um feixe direcional. Isso acontece quando a linha começa a partir de um ponto, mas não tem um final claro. Se você colocar um ponto no meio da linha, ele será dividido em dois raios (adicionais), além disso, direcionados de forma oposta um para o outro.

Vários segmentos que são sequencialmente conectados uns aos outros por extremidades em um ponto comum e não estão localizados na mesma linha reta são comumente chamados de linha quebrada.

Injeção

As formas geométricas, cujos nomes discutimos acima, são consideradas elementos-chave utilizados na construção de modelos mais complexos.

Ângulo é uma construção que consiste em um vértice e dois raios que dele saem. Ou seja, os lados desta figura estão conectados em um ponto.

Plano

Considere outro conceito primário. Um plano é uma figura que não tem fim nem começo, assim como uma linha reta e um ponto. Durante a consideração deste elemento geométrico, apenas uma parte dele, limitada pelos contornos de uma linha fechada quebrada, é levada em consideração.

Qualquer superfície lisa e limitada pode ser considerada um plano. Pode ser uma tábua de passar roupa, uma folha de papel ou até mesmo uma porta.

Quadrângulos

Um paralelogramo é uma figura geométrica cujos lados opostos são paralelos entre si em pares. Entre os tipos privados deste design, destacam-se um losango, um retângulo e um quadrado.

Um retângulo é um paralelogramo em que todos os lados se tocam em ângulos retos.

Um quadrado é um quadrilátero com lados e ângulos iguais.

Um losango é uma figura em que todas as faces são iguais. Neste caso, os ângulos podem ser completamente diferentes, mas em pares. Cada quadrado é considerado um losango. Mas na direção oposta, essa regra nem sempre funciona. Nem todo losango é um quadrado.

Trapézio

As formas geométricas são completamente diferentes e bizarras. Cada um deles tem uma forma e propriedades únicas.

Um trapézio é uma figura que é um pouco semelhante a um quadrilátero. Tem dois lados opostos paralelos e é considerado curvilíneo.

Um círculo

Esta figura geométrica implica a localização no mesmo plano de pontos equidistantes do seu centro. Nesse caso, um determinado segmento diferente de zero é geralmente chamado de raio.

Triângulo

Esta é uma figura geométrica simples que é frequentemente encontrada e estudada.

Um triângulo é considerado uma subespécie de um polígono, localizado no mesmo plano e limitado por três faces e três pontos de contato. Esses elementos são conectados em pares.

Polígono

Os vértices dos polígonos são os pontos que ligam os segmentos. E estes últimos, por sua vez, são considerados partidos.

Formas geométricas volumétricas

• prisma;
• esfera;
• cone;
• cilindro;
• pirâmide;

Esses corpos têm algo em comum. Todos eles estão limitados a uma superfície fechada, dentro da qual existem muitos pontos.

Corpos volumétricos são estudados não apenas em geometria, mas também em cristalografia.

Fatos curiosos

Certamente você estará interessado em ler as informações fornecidas abaixo.

• A geometria foi formada como uma ciência nos tempos antigos. Esse fenômeno geralmente está associado ao desenvolvimento da arte e de vários ofícios. E os nomes das formas geométricas indicam o uso dos princípios de determinação de semelhança e semelhança.
• Traduzido do grego antigo, o termo "trapézio" significa uma mesa para uma refeição.
• Se você pegar figuras diferentes cujo perímetro é o mesmo, o círculo terá a maior área.
• Traduzido do grego, o termo "cone" significa uma pinha.
• Há uma famosa pintura de Kazemir Malevich, que atraiu a atenção de muitos pintores desde o século passado. A obra "Quadrado Negro" sempre foi mística e misteriosa. A figura geométrica em uma tela branca encanta e surpreende ao mesmo tempo.

Há um grande número de formas geométricas. Todos eles diferem em parâmetros e às vezes até surpreendem com formas.

1. O conceito de figura geométrica.

3. Linhas paralelas e perpendiculares.

4. Triângulos.

5. Quadrângulos.

6. Polígonos.

7. Círculo e círculo.

8. Construção de figuras geométricas no plano.

9. Transformações de figuras geométricas. Conceito de transformação

Literatura principal;

literatura adicional

O conceito de uma figura geométrica

Figura geométrica definido como qualquer conjunto de pontos.

Segmento, linha reta, círculo, bola- figuras geométricas.

Se todos os pontos de uma figura geométrica pertencem ao mesmo plano, ela é chamada plano .

Por exemplo, um segmento, um retângulo são figuras planas. Há figuras que não são planas. Este é, por exemplo, um cubo, uma bola, uma pirâmide.

Como o conceito de figura geométrica é definido através do conceito de conjunto, podemos dizer que uma figura está incluída em outra (ou está contida em outra), podemos considerar a união, interseção e diferença de figuras.

Por exemplo, união de dois feixes AB e MK(Fig. 1) é uma linha reta KV, e sua interseção é um segmento SOU.

K A M V

As figuras convexas são um plano, uma linha, uma semi-reta, um segmento, um ponto. É fácil verificar que uma figura convexa é um círculo (Fig. 3). Se continuarmos o segmento XY até a interseção com o círculo, obtemos uma corda AB. Como a corda está contida no círculo, o segmento XY também está contido no círculo e, portanto, o círculo é uma figura convexa.

Para polígonos, outra definição é conhecida: Um polígono é chamado convexo se estiver em um lado de cada linha que contém seu lado. .

Uma vez que a equivalência desta definição e a dada acima para um polígono foi provada, ambas podem ser usadas.

Com base nesses conceitos, consideraremos outras formas geométricas estudadas no curso de planimetria escolar. Consideremos suas definições e propriedades básicas, aceitando-as sem provas. O conhecimento deste material e a capacidade de aplicá-lo à solução de problemas geométricos simples é a base sobre a qual se pode construir uma metodologia para o ensino de geometria elementar a alunos mais novos.

cantos

Lembre-se que Um ângulo é uma figura geométrica que consiste em um ponto e dois raios que emanam desse ponto.

Os raios são chamados os lados do ângulo, e seu início comum é o seu vértice.

O ângulo é denotado de diferentes maneiras: indique seu vértice, ou seus lados, ou três pontos: o vértice e dois pontos nos lados do ângulo: Ð A, Ð (k, l), Ð ABC.

O ângulo é chamado implantado , se seus lados estiverem na mesma linha reta.

Um ângulo que é metade de um ângulo reto é chamado direto. Um ângulo menor que um ângulo reto é chamado focado. Um ângulo maior que um ângulo reto, mas menor que um ângulo reto é chamado estúpido .

Além do conceito de ângulo dado acima, o conceito de ângulo plano é considerado na geometria.

Um ângulo plano é uma parte de um plano limitada por dois raios diferentes que emanam do mesmo ponto.

Os ângulos considerados na planimetria não excedem o ângulo desenvolvido.

Os dois cantos são chamados adjacente, se eles têm um lado em comum, e os outros lados desses ângulos são meias-linhas complementares.

A soma dos ângulos adjacentes é 180°. A validade desta propriedade decorre da definição de ângulos adjacentes.

Os dois cantos são chamados vertical, se os lados de um ângulo são as meias-linhas complementares dos lados do outro. Os ângulos AOB e SOV, assim como os ângulos AOC e D0B, são verticais (Fig. 4).

2.1. Figuras geométricas no avião

Nos últimos anos, tem havido uma tendência de incluir uma quantidade significativa de material geométrico no curso inicial de matemática. Mas, para poder apresentar aos alunos várias formas geométricas, ensiná-los a descrevê-las corretamente, ele precisa de treinamento matemático adequado. O professor deve estar familiarizado com as ideias principais do curso de geometria, conhecer as propriedades básicas das formas geométricas e ser capaz de construí-las.

Ao representar uma figura plana, não há problemas geométricos. O desenho serve como uma cópia exata do original ou representa uma figura semelhante a ele. Considerando a imagem de um círculo no desenho, temos a mesma impressão visual como se estivéssemos considerando o círculo original.

Portanto, o estudo da geometria começa com a planimetria.

A planimetria é um ramo da geometria que estuda as figuras em um plano.

Uma figura geométrica é definida como qualquer conjunto de pontos.

Segmento, linha, círculo - formas geométricas.

Se todos os pontos de uma figura geométrica pertencem ao mesmo plano, ela é chamada de plana.

Por exemplo, um segmento, um retângulo são figuras planas.

Há figuras que não são planas. Este é, por exemplo, um cubo, uma bola, uma pirâmide.

Como o conceito de figura geométrica é definido através do conceito de conjunto, podemos dizer que uma figura está incluída em outra, podemos considerar a união, interseção e diferença de figuras.

Por exemplo, a união de dois raios AB e MK é a reta KB, e sua interseção é o segmento AM.

Existem figuras convexas e não convexas. Uma figura é chamada convexa se, juntamente com quaisquer dois de seus pontos, também contém um segmento que os conecta.

A Figura F 1 é convexa e a Figura F 2 é não convexa.

As figuras convexas são um plano, uma linha, uma semi-reta, um segmento, um ponto. é fácil verificar que uma figura convexa é um círculo.

Se continuarmos o segmento XY até a interseção com o círculo, obtemos a corda AB. Como a corda está contida no círculo, o segmento XY também está contido no círculo e, portanto, o círculo é uma figura convexa.

As principais propriedades das figuras mais simples no plano são expressas nos seguintes axiomas:

1. Qualquer que seja a linha, existem pontos pertencentes a esta linha e não pertencentes a ela.

Através de quaisquer dois pontos você pode desenhar uma linha, e apenas uma.

Este axioma expressa a propriedade principal da pertença de pontos e linhas no plano.

2. Dos três pontos de uma linha, um e apenas um está entre os outros dois.

Este axioma expressa a propriedade principal da localização de pontos em uma linha.

3. Cada segmento tem um determinado comprimento maior que zero. O comprimento de um segmento é igual à soma dos comprimentos das partes em que é dividido por qualquer um de seus pontos.

Obviamente, o axioma 3 expressa a principal propriedade da medida de segmentos.

Esta frase expressa a propriedade principal da localização de pontos em relação a uma linha reta em um plano.

5. Cada ângulo tem uma medida de certo grau, maior que zero. O ângulo expandido é de 180 o. A medida em graus de um ângulo é igual à soma das medidas em graus dos ângulos em que é dividido por qualquer raio que passa entre seus lados.

Este axioma expressa a propriedade básica de medir ângulos.

6. Em qualquer meia linha de seu ponto de partida, um segmento de um determinado comprimento pode ser desenhado, e apenas um.

7. De qualquer meia linha em um determinado semiplano, você pode separar um ângulo com uma determinada medida de grau menor que 180 O, e apenas um.

Esses axiomas refletem as propriedades básicas da disposição de ângulos e segmentos.

As principais propriedades das figuras mais simples incluem a existência de um triângulo igual ao dado.

8. Qualquer que seja o triângulo, há um triângulo igual em um determinado local em relação a uma determinada meia linha.

As principais propriedades das linhas paralelas são expressas pelo seguinte axioma.

9. Por um ponto que não pertence a uma linha dada, no máximo uma linha reta paralela à linha dada pode ser traçada no plano.

Considere algumas formas geométricas que são estudadas na escola primária.

Um ângulo é uma figura geométrica que consiste em um ponto e dois raios que emanam deste ponto. Os raios são chamados os lados do ângulo, e seu início comum é o seu vértice.

Um ângulo é chamado reto se seus lados estão na mesma linha reta.

Um ângulo que é metade de um ângulo reto é chamado de ângulo reto. Um ângulo menor que um ângulo reto é chamado de ângulo agudo. Um ângulo maior que um ângulo reto, mas menor que um ângulo reto é chamado de ângulo obtuso.

Além do conceito de ângulo dado acima, o conceito de ângulo plano é considerado na geometria.

Um canto plano é uma parte de um plano limitado por dois raios diferentes que emanam do mesmo ponto.

Existem dois ângulos planos formados por dois raios com origem comum. Eles são chamados de extras. A figura mostra dois cantos planos com lados OA e OB, um deles sombreado.

Os cantos são adjacentes e verticais.

Dois ângulos são chamados adjacentes se eles têm um lado em comum e os outros lados desses ângulos são semi-retas complementares.

A soma dos ângulos adjacentes é 180 graus.

Dois ângulos são chamados de verticais se os lados de um ângulo são as meias-linhas complementares dos lados do outro.

Os ângulos AOD e SOV, assim como os ângulos AOS e DOV, são verticais.

Os ângulos verticais são iguais.

Linhas paralelas e perpendiculares.

Duas retas em um plano são chamadas paralelas se não se cruzam.

Se a reta a é paralela à reta b, escreva a II c.

Duas retas são ditas perpendiculares se elas se cruzam em um ângulo reto.

Se a linha a é perpendicular à linha b, escreva a.

Triângulos.

Um triângulo é uma figura geométrica que consiste em três pontos que não se encontram na mesma linha reta e três segmentos pares que os conectam.

Qualquer triângulo divide o plano em duas partes: interna e externa.

Em qualquer triângulo, os seguintes elementos são distinguidos: lados, ângulos, alturas, bissetrizes, medianas, linhas médias.

A altura de um triângulo caído de um determinado vértice é a perpendicular traçada desse vértice à linha que contém o lado oposto.

A bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz do ângulo de um triângulo que liga um vértice a um ponto do lado oposto.

A mediana de um triângulo desenhado a partir de um determinado vértice é o segmento que liga esse vértice ao ponto médio do lado oposto.

A linha média de um triângulo é o segmento de linha que liga os pontos médios de seus dois lados.

Quadrângulos.

Um quadrilátero é uma figura que consiste em quatro pontos e quatro segmentos conectando-os em série, e três desses pontos não devem estar na mesma linha reta, e os segmentos que os conectam não devem se cruzar. Esses pontos são chamados de vértices do triângulo e os segmentos de conexão são chamados de lados.

Os lados de um quadrilátero que se originam do mesmo vértice são chamados de lados opostos.

No quadrilátero ABCD, os vértices A e B são adjacentes e os vértices A e C são opostos; os lados AB e BC são adjacentes, BC e AD são opostos; os segmentos AC e BD são as diagonais desse quadrilátero.

Existem quadriláteros convexos e não convexos. Assim, o quadrilátero ABCD é convexo, enquanto o quadrilátero KRMT é não convexo.

Entre os quadriláteros convexos, destacam-se os paralelogramos e os trapézios.

Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.

Um trapézio é um quadrilátero em que apenas dois lados opostos são paralelos. Esses lados paralelos são chamados de bases do trapézio. Os outros dois lados são chamados laterais. O segmento que liga os pontos médios dos lados é chamado de linha média do trapézio.

BC e AD são as bases do trapézio; AB e SD - laterais; KM - a linha média do trapézio.

Dos muitos paralelogramos, são distinguidos retângulos e losangos.

Um retângulo é um paralelogramo com todos os ângulos retos.

Um losango é um paralelogramo em que todos os lados são iguais.

Do conjunto de retângulos, os quadrados são selecionados.

Um quadrado é um retângulo em que todos os lados são iguais.

Círculo.

Um círculo é uma figura que consiste em todos os pontos do plano equidistantes de um ponto dado, que é chamado de centro.

A distância dos pontos ao seu centro é chamada de raio. Um segmento de linha que liga dois pontos em um círculo é chamado de corda. A corda que passa pelo centro é chamada de diâmetro. OA é o raio, SD é a corda, AB é o diâmetro.

Um ângulo central em um círculo é um ângulo plano com um vértice em seu centro. A parte do círculo localizada dentro do ângulo plano é chamada de arco do círculo correspondente a esse ângulo central.

De acordo com novos livros didáticos em novos programas M.I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, S.I. Volkova, S. V. Stepanova na 4ª série recebe tarefas de construção, de modo que não havia antes no programa de matemática no ensino fundamental. São tarefas como:

Construir uma perpendicular à linha;

Divida o segmento ao meio;

Construir um triângulo em três lados;

Construir um triângulo regular, um triângulo isósceles;

Construir um hexágono;

Construir um quadrado usando as propriedades das diagonais de um quadrado;

Construa um retângulo usando a propriedade das diagonais do retângulo.

Considere a construção de figuras geométricas no plano.

A seção da geometria que estuda as construções geométricas é chamada de geometria construtiva. O conceito básico da geometria construtiva é o conceito de "construir uma figura". As principais propostas são formadas na forma de axiomas e são reduzidas ao seguinte.

1. Cada figura dada é construída.

2. Se duas (ou mais) figuras são construídas, então a união dessas figuras também é construída.

3. Se duas figuras são construídas, então é possível determinar se sua interseção será um conjunto vazio ou não.

4. Se a interseção de duas figuras construídas não for vazia, então ela é construída.

5. Se duas figuras são construídas, então é possível determinar se sua diferença será um conjunto vazio ou não.

6. Se a diferença das duas figuras construídas não for um conjunto vazio, então ele é construído.

7. Você pode desenhar um ponto pertencente à figura desenhada.

8. Você pode construir um ponto que não pertença à figura construída.

Para construir figuras geométricas que tenham algumas das propriedades especificadas, várias ferramentas de desenho são usadas. Os mais simples deles são: uma régua de um lado (doravante simplesmente uma régua), uma régua de dois lados, um esquadro, um compasso, etc.

Várias ferramentas de desenho permitem que você execute várias construções. As propriedades das ferramentas de desenho usadas para construções geométricas também são expressas na forma de axiomas.

Como a construção de figuras geométricas com auxílio de compasso e régua é considerada no curso de geometria escolar, também nos deteremos nas construções básicas realizadas por esses desenhos particulares com ferramentas.

Assim, com a ajuda de uma régua, você pode realizar as seguintes construções geométricas.

1. construir um segmento ligando dois pontos construídos;

2. construir uma linha reta passando por dois pontos construídos;

3. Construir uma semirreta que parte do ponto construído e passa pelo ponto construído.

A bússola permite realizar as seguintes construções geométricas:

1. construir um círculo se for construído seu centro e um segmento igual ao raio do círculo;

2. Construa qualquer um dos dois arcos de círculo adicionais, se o centro do círculo e as extremidades desses arcos forem construídos.

Tarefas elementares para a construção.

As tarefas de construção são talvez os problemas matemáticos mais antigos, ajudam a entender melhor as propriedades das formas geométricas, contribuem para o desenvolvimento de habilidades gráficas.

O problema de construção é considerado resolvido se o método de construção da figura for especificado e for provado que, como resultado das construções especificadas, uma figura com as propriedades necessárias é realmente obtida.

Considere algumas tarefas elementares de construção.

1. Construa um segmento SD em uma dada reta, igual a um dado segmento AB.

A possibilidade de apenas construção decorre do axioma do adiamento de um segmento. Com a ajuda de uma bússola e uma régua, é realizado da seguinte forma. Sejam dados uma reta a e um segmento AB. Marcamos o ponto C na reta e construímos um círculo com a reta a centrada no ponto C e denotamos D. Obtemos o segmento SD igual a AB.

2. Por um ponto dado, desenhe uma linha perpendicular à linha dada.

Sejam dados os pontos O e uma reta a. Dois casos são possíveis:

1. O ponto O está na linha a;

2. O ponto O não está na linha a.

No primeiro caso de denotamos um ponto C que não está na linha a. Do ponto C como do centro, escrevemos um círculo de raio arbitrário. Sejam A e B os pontos de sua interseção. Dos pontos A e B descrevemos um círculo de um raio. Seja o ponto O o ponto de interseção deles, diferente de C. Então a meia reta CO é a bissetriz do ângulo desenvolvido, assim como a perpendicular à reta a.

No segundo caso, do ponto O a partir do centro traçamos um círculo que intercepta a reta a, e depois dos pontos A e B com o mesmo raio traçamos mais dois círculos. Seja O o ponto de sua interseção situado em um semiplano diferente daquele em que se encontra o ponto O. A reta OO/ é a perpendicular à reta dada a. Vamos provar isso.

Denote por C o ponto de intersecção das linhas AB e OO/. Os triângulos AOB e AO/B têm três lados iguais. Portanto, o ângulo OAC é igual ao ângulo O/AC são iguais em dois lados e o ângulo entre eles. Portanto, dos ângulos ACO e ACO/ são iguais. E como os ângulos são adjacentes, eles são ângulos retos. Assim, OS é uma perpendicular à linha a.

3. Por um ponto dado, desenhe uma linha paralela ao ponto dado.

Sejam dados uma reta a e um ponto A fora dessa reta. Vamos pegar um ponto B na linha a e conectá-lo com o ponto A. Desenhe uma linha C através do ponto A, formando com AB o mesmo ângulo que AB forma com a linha dada a, mas no lado oposto de AB. A reta construída será paralela à reta a., que decorre da igualdade dos ângulos cruzados formados na interseção das retas a e com a secante AB.

4. Construa uma tangente ao círculo que passa por um ponto dado nele.

Dado: 1) círculo X (O, h)

2) ponto A x

Construção: tangente AB.

Construção.

2. circule X (A, h), onde h é um raio arbitrário (axioma 1 da bússola)

3. pontos M e N de interseção do círculo x 1, e a linha reta AO, ou seja, (M, N) = x 1 AO (axioma 4 é geral)

4. circule x (M, r 2), onde r 2 é um raio arbitrário, tal que r 2 r 1 (axioma 1 da bússola)

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