Considere as projeções de pontos em dois planos, para os quais tomamos dois planos perpendiculares (Fig. 4), que chamaremos de planos horizontais e frontais. A linha de interseção desses planos é chamada de eixo de projeção. Projetamos um ponto A nos planos considerados usando uma projeção plana. Para fazer isso, é necessário abaixar as perpendiculares Aa e A do ponto dado para os planos considerados.

A projeção em um plano horizontal é chamada de vista do plano pontos MAS, e a projeção uma? no plano frontal é chamado projeção frontal.

Os pontos que devem ser projetados em geometria descritiva são geralmente indicados com letras latinas maiúsculas. A, B, C. Letras minúsculas são usadas para designar projeções horizontais de pontos. a, b, c... As projeções frontais são indicadas em letras pequenas com um traço na parte superior a?, b?, c?…

A designação de pontos com algarismos romanos I, II, ... também é usada, e para suas projeções - com algarismos arábicos 1, 2 ... e 1?, 2? ...

Quando o plano horizontal é girado em 90°, pode-se obter um desenho em que ambos os planos estão no mesmo plano (Fig. 5). Esta imagem chama-se plotagem de pontos.

Por linhas perpendiculares Ah e ah? desenhe um plano (Fig. 4). O plano resultante é perpendicular aos planos frontal e horizontal porque contém perpendiculares a esses planos. Portanto, este plano é perpendicular à linha de interseção dos planos. A linha reta resultante intercepta o plano horizontal em uma linha reta aa x, e o plano frontal - em linha reta Hã? X. Direto aah e Hã? x são perpendiculares ao eixo de intersecção dos planos. Ou seja Aaaah?é um retângulo.

Ao combinar os planos de projeção horizontal e frontal uma e uma? ficará em uma perpendicular ao eixo de interseção dos planos, pois quando o plano horizontal gira, a perpendicularidade dos segmentos aa x e Hã? x não está quebrado.

Temos isso no diagrama de projeção uma e uma? algum ponto MAS sempre na mesma perpendicular ao eixo de interseção dos planos.

Duas projeções a e uma? de algum ponto A pode determinar exclusivamente sua posição no espaço (Fig. 4). Isso é confirmado pelo fato de que ao construir uma perpendicular da projeção a ao plano horizontal, ela passará pelo ponto A. Da mesma forma, a perpendicular da projeção uma? ao plano frontal passará pelo ponto MAS, ou seja, ponto MAS encontra-se em duas linhas definidas ao mesmo tempo. O ponto A é seu ponto de interseção, ou seja, é definido.

Considere um retângulo Aaa X uma?(Fig. 5), para os quais as seguintes afirmações são verdadeiras:

1) Distância do ponto MAS do plano frontal é igual à distância de sua projeção horizontal a do eixo de interseção dos planos, ou seja,

ah? = aa X;

2) distância do ponto MAS do plano horizontal de projeções é igual à distância de sua projeção frontal uma? a partir do eixo de intersecção dos planos, ou seja,

Ah = Hã? X.

Ou seja, mesmo sem o próprio ponto no gráfico, usando apenas suas duas projeções, você pode descobrir a que distância de cada um dos planos de projeção esse ponto está localizado.

A interseção de dois planos de projeção divide o espaço em quatro partes, que são chamadas de quartos(Fig. 6).

O eixo de interseção dos planos divide o plano horizontal em dois quartos - a frente e o verso e o plano frontal - nos quartos superiores e inferiores. A parte superior do plano frontal e a parte anterior do plano horizontal são consideradas como limites do primeiro quarto.

Ao receber o diagrama, o plano horizontal gira e coincide com o plano frontal (Fig. 7). Nesse caso, a frente do plano horizontal coincidirá com a parte inferior do plano frontal e a parte traseira do plano horizontal com a parte superior do plano frontal.

As Figuras 8-11 mostram os pontos A, B, C, D, localizados em diferentes quadrantes do espaço. O ponto A está no primeiro trimestre, o ponto B está no segundo, o ponto C está no terceiro e o ponto D está no quarto.

Quando os pontos estiverem localizados no primeiro ou quarto trimestres de sua projeções horizontais localizado na frente do plano horizontal e no diagrama eles ficarão abaixo do eixo de interseção dos planos. Quando um ponto estiver localizado no segundo ou terceiro trimestre, sua projeção horizontal ficará na parte de trás do plano horizontal e, na plotagem, estará acima do eixo de interseção dos planos.

Projeções frontais os pontos localizados no primeiro ou segundo trimestres ficarão na parte superior do plano frontal e, no diagrama, estarão localizados acima do eixo de interseção dos planos. Quando um ponto está localizado no terceiro ou quarto quarto, sua projeção frontal fica abaixo do eixo de intersecção dos planos.

Na maioria das vezes, em construções reais, a figura é colocada no primeiro quarto do espaço.

Em alguns casos particulares, o ponto ( E) pode estar em um plano horizontal (Fig. 12). Nesse caso, sua projeção horizontal e e o próprio ponto coincidirão. A projeção frontal de tal ponto estará no eixo da interseção dos planos.

No caso em que o ponto Para encontra-se no plano frontal (Fig. 13), sua projeção horizontal k situa-se no eixo de intersecção dos planos, e o frontal k? mostra a localização real desse ponto.

Para tais pontos, o sinal de que está em um dos planos de projeção é que uma de suas projeções está no eixo de interseção dos planos.

Se um ponto está no eixo de interseção dos planos de projeção, ele e ambas as projeções coincidem.

Quando um ponto não está nos planos de projeção, ele é chamado ponto de posição geral. No que segue, se não houver marcas especiais, o ponto em consideração é um ponto em posição geral.

2. Falta de eixo de projeção

Para explicar como obter no modelo projeções de um ponto sobre planos de projeção perpendiculares (Fig. 4), é necessário pegar um pedaço de papel grosso na forma de um retângulo alongado. Ele precisa ser dobrado entre as projeções. A linha de dobra representará o eixo da interseção dos planos. Se depois disso o pedaço de papel dobrado for endireitado novamente, obtemos um diagrama semelhante ao mostrado na figura.

Combinando dois planos de projeção com o plano de desenho, você não pode mostrar a linha de dobra, ou seja, não desenhar o eixo de interseção dos planos no diagrama.

Ao construir em um diagrama, você deve sempre colocar projeções uma e uma? ponto A em uma linha vertical (Fig. 14), que é perpendicular ao eixo de intersecção dos planos. Portanto, mesmo que a posição do eixo de interseção dos planos permaneça indefinida, mas sua direção seja determinada, o eixo de interseção dos planos só pode ser perpendicular à reta do diagrama ah?.

Se não houver eixo de projeção no diagrama de pontos, como na primeira figura 14a, você pode imaginar a posição desse ponto no espaço. Para fazer isso, desenhe em qualquer lugar perpendicular à linha ah? eixo de projeção, como na segunda figura (Fig. 14) e dobre o desenho ao longo deste eixo. Se restaurarmos as perpendiculares nos pontos uma e uma? antes que eles se cruzem, você pode ganhar um ponto MAS. Ao mudar a posição do eixo de projeção, obtêm-se diferentes posições do ponto em relação aos planos de projeção, mas a incerteza da posição do eixo de projeção não afeta a posição relativa de vários pontos ou figuras no espaço.

3. Projeções de um ponto em três planos de projeção

Considere o plano de perfil das projeções. As projeções em dois planos perpendiculares geralmente determinam a posição da figura e permitem descobrir suas dimensões e forma reais. Mas há momentos em que duas projeções não são suficientes. Em seguida, aplique a construção da terceira projeção.

O terceiro plano de projeção é realizado de forma perpendicular a ambos os planos de projeção ao mesmo tempo (Fig. 15). O terceiro plano é chamado perfil.

Em tais construções, a linha comum dos planos horizontal e frontal é chamada de eixo X , a linha comum dos planos horizontal e de perfil - eixo no , e a reta comum dos planos frontal e de perfil - eixo z . Ponto O, que pertence a todos os três planos, é chamado de ponto de origem.

A Figura 15a mostra o ponto MAS e três de suas projeções. Projeção no plano do perfil ( uma??) são chamados projeção de perfil e denotar uma??.

Para obter um diagrama do ponto A, que consiste em três projeções um, um, é necessário recortar o triedro formado por todos os planos ao longo do eixo y (Fig. 15b) e combinar todos esses planos com o plano da projeção frontal. O plano horizontal deve ser girado em torno do eixo X, e o plano do perfil está próximo ao eixo z na direção indicada pela seta na Figura 15.

A Figura 16 mostra a posição das projeções ai, hein? e uma?? pontos MAS, obtido como resultado da combinação dos três planos com o plano de desenho.

Como resultado do corte, o eixo y ocorre no diagrama em dois lugares diferentes. Em um plano horizontal (Fig. 16), assume uma posição vertical (perpendicular ao eixo X), e no plano do perfil - horizontal (perpendicular ao eixo z).

A Figura 16 mostra três projeções ai, hein? e uma?? os pontos A têm uma posição estritamente definida no diagrama e estão sujeitos a condições inequívocas:

uma e uma? deve estar sempre localizado em uma linha reta vertical perpendicular ao eixo X;

uma? e uma?? deve estar sempre localizado na mesma linha horizontal perpendicular ao eixo z;

3) quando desenhado através de uma projeção horizontal e uma linha horizontal, mas através de uma projeção de perfil uma??- uma linha reta vertical, as linhas construídas se cruzarão necessariamente na bissetriz do ângulo entre os eixos de projeção, uma vez que a figura Oa no uma 0 uma n é um quadrado.

Ao construir três projeções de um ponto, é necessário verificar o cumprimento de todas as três condições para cada ponto.

4. Coordenadas do ponto

A posição de um ponto no espaço pode ser determinada usando três números chamados seu coordenadas. Cada coordenada corresponde à distância de um ponto de algum plano de projeção.

Distância do ponto MAS para o plano de perfil é a coordenada X, em que X = Hã?(Fig. 15), a distância ao plano frontal - pela coordenada y, e y = Hã?, e a distância ao plano horizontal é a coordenada z, em que z = aA.

Na Figura 15, o ponto A ocupa a largura de uma caixa retangular, e as medidas desta caixa correspondem às coordenadas deste ponto, ou seja, cada uma das coordenadas é apresentada na Figura 15 quatro vezes, ou seja:

x \u003d a?A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a e a?.

No diagrama (Fig. 16), as coordenadas xez ocorrem três vezes:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Todos os segmentos que correspondem à coordenada X(ou z) são paralelas entre si. Coordenada no representado duas vezes pelo eixo vertical:

y \u003d Oa y \u003d a x a

e duas vezes - localizado horizontalmente:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Essa diferença surgiu devido ao fato de o eixo y estar presente no diagrama em duas posições diferentes.

Deve-se notar que a posição de cada projeção é determinada no diagrama por apenas duas coordenadas, a saber:

1) horizontal - coordenadas X e no,

2) frontal - coordenadas x e z,

3) perfil - coordenadas no e z.

Usando coordenadas x, y e z, você pode construir projeções de um ponto no diagrama.

Se o ponto A é dado por coordenadas, seu registro é definido da seguinte forma: A ( X; y; z).

Ao construir projeções de pontos MAS as seguintes condições devem ser verificadas:

1) projeções horizontais e frontais uma e uma? X X;

2) projeções frontais e de perfil uma? e uma? deve estar localizado na mesma perpendicular ao eixo z, uma vez que têm uma coordenada comum z;

3) projeção horizontal e também retirada do eixo X, como a projeção do perfil uma longe do eixo z, desde a projeção ah? e hein? tem uma coordenada comum no.

Se o ponto está em qualquer um dos planos de projeção, então uma de suas coordenadas é igual a zero.

Quando um ponto está no eixo de projeção, suas duas coordenadas são zero.

Se um ponto está na origem, todas as suas três coordenadas são zero.

PROJEÇÕES DE PONTOS.

SISTEMA ORTOGONAL DE DOIS PLANOS DE PROJEÇÕES.

A essência do método de projeção ortogonal reside no fato de que o objeto é projetado em dois planos mutuamente perpendiculares por raios ortogonais (perpendiculares) a esses planos.

Um dos planos de projeção H é colocado horizontalmente e o outro V é colocado verticalmente. O plano H é chamado de plano horizontal de projeções, V - frontal. Os planos H e V são infinitos e opacos. A linha de interseção dos planos de projeção é chamada de eixo de coordenadas e é denotada BOI. Os planos de projeção dividem o espaço em quatro ângulos diedros - quartos.

Considerando as projeções ortogonais, assume-se que o observador está no primeiro quarto a uma distância infinitamente grande dos planos de projeção. Como esses planos são opacos, apenas os pontos, linhas e figuras que estão localizados dentro do mesmo primeiro trimestre serão visíveis ao observador.

Ao construir projeções, é necessário lembrar que projeção ortogonal do pontoem um plano é chamado de base da perpendicular baixada de um ponto dadoa este plano.

A figura mostra o ponto MAS e suas projeções ortogonais um 1 e um 2.

Apontar um 1 chamado vista do plano pontos MAS, apontar um 2- sua projeção frontal. Cada um deles é a base da perpendicular baixada do ponto MAS respectivamente no avião H e V.

Pode-se provar que projeção pontualsempre localizados em linhas retas, perpendiculareseixo cularOH e cruzando este eixono mesmo ponto. De fato, projetando raios MASum 1 e MASum 2 definir um plano perpendicular aos planos de projeções e as linhas de sua interseção - eixos OH. Este plano cruza H e V em linhas retas um 1 umx e um 1 umx, que se formam com o eixo BOI e entre si ângulos retos com vértice em um ponto umax.

O contrário também é verdadeiro, ou seja, se pontos são dados nos planos de projeçãouma 1 e uma 2 , localizados em linhas retas que se cruzam eixo BOIneste ponto em um ângulo reto,então são projeções de algunspontos A Este ponto é determinado pela intersecção das perpendiculares construídas a partir dos pontos uma 1 e uma 2 para aviões H e V.

Observe que a posição dos planos de projeção no espaço pode ser diferente. Por exemplo, ambos os planos, sendo mutuamente perpendiculares, podem ser verticais, mas neste caso, a suposição acima sobre a orientação de projeções opostas de pontos em relação ao eixo permanece válida.

Para obter um desenho plano consistindo das projeções acima, o plano H alinhado por rotação em torno de um eixo BOI com avião V conforme indicado pelas setas na figura. Como resultado, o semiplano frontal H será alinhado com o semiplano inferior V, e o semiplano traseiro H- com semiplano superior V.

Um desenho de projeção, no qual os planos de projeção com tudo o que está representado neles, são combinados de uma certa maneira entre si, é chamado diagrama(do francês epure - desenho). A figura mostra um diagrama de um ponto MAS.

Com este método de combinar aviões H e V projeções uma 1 e uma 2 estará localizado na mesma perpendicular ao eixo BOI. Ao mesmo tempo, a distância uma 1 um x — da projeção horizontal do ponto ao eixo BOI MAS até o avião V, e a distância uma 2 um x — da projeção frontal do ponto ao eixo BOI igual à distância do ponto MAS até o avião H.

Linhas retas conectando projeções opostas de um ponto no diagrama, concordamos em chamar linhas de comunicação de projeção.

A posição das projeções dos pontos no diagrama depende do trimestre em que o ponto dado está localizado. Então se o ponto NO está localizado no segundo trimestre, então após o alinhamento dos planos, ambas as projeções ficarão acima do eixo BOI.

Se ponto Com estiver no terceiro trimestre, então sua projeção horizontal, após combinar os planos, ficará acima do eixo, e a projeção frontal ficará abaixo do eixo BOI. Finalmente, se o ponto D localizado no quarto trimestre, então ambas as suas projeções estarão sob o eixo BOI. A figura mostra os pontos M e N deitado nos planos de projeção. Nesta posição, o ponto coincide com uma de suas projeções, enquanto sua outra projeção fica no eixo BOI. Essa característica também se reflete na designação: perto da projeção com a qual o próprio ponto coincide, é escrita uma letra maiúscula sem índice.

Deve-se notar também que o caso em que ambas as projeções do ponto coincidem. Isso acontecerá se o ponto estiver no segundo ou quarto quarto na mesma distância dos planos de projeção. Ambas as projeções são combinadas com o próprio ponto, se este estiver localizado no eixo BOI.

SISTEMA ORTOGONAL DE TRÊS PLANOS DE PROJEÇÕES.

Foi mostrado acima que duas projeções de um ponto determinam sua posição no espaço. Como cada figura ou corpo é uma coleção de pontos, pode-se argumentar que duas projeções ortogonais de um objeto (na presença de designações de letras) determinam completamente sua forma.

No entanto, na prática de representar estruturas de edifícios, máquinas e várias estruturas de engenharia, torna-se necessário criar projeções adicionais. Eles fazem isso com o único propósito de tornar o desenho de projeção mais claro, mais legível.

O modelo de três planos de projeção é mostrado na figura. O terceiro plano, perpendicular e H e V, indicado pela letra C e chamou perfil.

As projeções de pontos neste plano também serão chamadas de perfil, e são denotadas por letras maiúsculas ou números com índice 3 (umah,bh,ch,...1h, 2h, 3 3 ...).

Os planos de projeção, que se cruzam aos pares, definem três eixos: OX, OS e OZ, que pode ser considerado como um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço com a origem no ponto O. O sistema de signos indicado na figura corresponde ao “sistema certo” de coordenadas.

Três planos de projeção dividem o espaço em oito ângulos triédricos - estes são os chamados octantes. A numeração dos octantes é dada na figura.

Para obter um gráfico de um avião H e C gire como mostrado na figura até ficar alinhado com o plano V. Como resultado da rotação, o semiplano frontal H acaba por estar alinhado com o semiplano inferior V, e o semiplano traseiro H- com semiplano superior V. Quando girado 90° em torno do eixo OZ meio plano frontal C coincide com o semiplano direito V, e o semiplano traseiro C- com o semiplano esquerdo V.

A vista final de todos os planos de projeção combinados é dada na figura. Neste desenho, os eixos OX e OZ, deitado em um plano fixo V, são mostrados apenas uma vez, e o eixo OS mostrado duas vezes. Isso se explica pelo fato de que, girando com o plano H, eixo OS no diagrama está alinhado com o eixo OZ, enquanto gira com o avião C, o mesmo eixo está alinhado com o eixo OX.

No futuro, ao designar os eixos no diagrama, os semieixos negativos (- OX, — OS, — OZ) não será indicado.

TRÊS COORDENADAS E TRÊS PROJEÇÕES DE UM PONTO E SEU RAIO-VETOR.

Coordenadas são números quecolocar em correspondência com um ponto para determinarniya de sua posição no espaço ou emsuperfícies.

No espaço tridimensional, a posição de um ponto é definida usando coordenadas cartesianas retangulares x, y e z.

Coordenada X chamado abscissa, no— ordenado e z — aplique. Abscissa X define a distância de um determinado ponto a um plano C, ordenado s- até o avião V e aplique z - até o avião H. Tendo adotado o sistema mostrado na figura para contar as coordenadas de um ponto, vamos compilar uma tabela de sinais de coordenadas em todos os oito octantes. Qualquer ponto no espaço MAS, dado por coordenadas, será denotado da seguinte forma: UMA(x, y,z).

Se x = 5, y = 4 e z = 6, então a entrada terá a seguinte forma MAS(5, 4, 6). Este ponto MAS, todas as coordenadas das quais são positivas, está no primeiro octante

Coordenadas do ponto MAS são, ao mesmo tempo, as coordenadas de seu raio-vetor

OA em relação à origem das coordenadas. Se um eu, j, k são vetores unitários direcionados respectivamente ao longo dos eixos coordenados x, y,z(foto), então

OA =OA x i+OAyj + OAzk , Onde OA X, OA U, OA g - coordenadas vetoriais OA

Recomenda-se que a construção da imagem do próprio ponto e suas projeções em um modelo espacial (figura) seja realizada utilizando um paralelepípedo retangular de coordenadas. Em primeiro lugar, nos eixos coordenados do ponto O adiar segmentos, respectivamente iguais 5, 4 e 6 unidades de comprimento. Nesses segmentos (Oum x , Oay , Oaz ), como nas bordas, construa um paralelepípedo retangular. Seu vértice, oposto à origem, determinará o ponto dado MAS.É fácil ver que para determinar o ponto MAS basta construir apenas três arestas do paralelepípedo, por exemplo Oum x , a x a 1 e uma 1 MAS ou Oay , ay a 1 e uma 1 UMA e assim por diante Essas arestas formam uma polilinha de coordenadas, cujo comprimento de cada ligação é determinado pela coordenada correspondente do ponto.

No entanto, a construção de um paralelepípedo permite determinar não só o ponto MAS, mas também todas as suas três projeções ortogonais.

Raios projetando um ponto em um plano H, V, C são as três arestas do paralelepípedo que se cruzam no ponto MAS.

Cada uma das projeções ortogonais do ponto MAS, estando localizado em um plano, é determinado por apenas duas coordenadas.

Sim, a projeção horizontal uma 1 determinado por coordenadas X e sim, projeção frontal uma 2 - coordenadas x ez, projeção de perfil uma 3 — coordenadas no e z. Mas quaisquer duas projeções são determinadas por três coordenadas. É por isso que especificar um ponto com duas projeções equivale a especificar um ponto com três coordenadas.

No diagrama (figura), onde todos os planos de projeção são combinados, as projeções uma 1 e uma 2 estará na mesma perpendicular ao eixo OX, e projeções uma 2 e uma 3 — um perpendicular ao eixo oz.

Quanto às projeções uma 1 e uma 3 , então eles são conectados por linhas retas uma 1 ay e uma 3 ay , perpendicular ao eixo OS. Mas como esse eixo ocupa duas posições no diagrama, o segmento uma 1 ay não pode ser uma continuação de um segmento uma 3 ay .

Construção de projeções pontuais A (5, 4, 6) no diagrama nas coordenadas dadas, eles são executados na seguinte sequência: primeiro, no eixo das abcissas da origem, um segmento é colocado Oum x = x(no nosso caso x =5), então através do ponto um x desenhar perpendicularmente ao eixo OX, em que, tendo em conta os sinais, adiamos os segmentos a x a 1 = y(Nós temos uma 1 ) e a x a 2 = z(Nós temos uma 2 ). Resta construir a projeção do perfil do ponto uma 3 . Uma vez que o perfil e as projeções frontais do ponto devem estar localizados na mesma perpendicular ao eixo oz , então através uma 3 direto uma 2 az ^ oz.

Por fim, surge a última questão: a que distância do eixo OZ deve ser 3?

Considerando a caixa de coordenadas (ver figura), cujas arestas az a 3 = O ay = a x a 1 = y concluímos que a distância desejada az a 3 é igual a sim Segmento de linha az a 3 à direita do eixo OZ se y>0, e à esquerda se y

Vamos ver quais mudanças ocorrerão no diagrama quando o ponto começar a mudar sua posição no espaço.

Seja, por exemplo, um ponto A (5, 4, 6) se moverá em uma linha reta perpendicular ao plano V. Com tal movimento, apenas uma coordenada mudará sim, mostrando a distância de um ponto a um plano V. As coordenadas permanecerão constantes. x ez , e a projeção do ponto definido por essas coordenadas, ou seja. uma 2 não mudará sua posição.

Quanto às projeções uma 1 e uma 3 , então o primeiro começará a se aproximar do eixo OX, o segundo - para o eixo OZ. Nas figuras, a nova posição do ponto corresponde às designações uma 1 (uma 1 1 uma 2 1 uma 3 1 ). Quando o ponto está no plano V(y = 0), duas das três projeções ( uma 1 2 e uma 3 2 ) ficará nos eixos.

Tendo se mudado de EU octante em II, o ponto começará a se afastar do plano V, coordenar no torna-se negativo, seu valor absoluto aumentará. A projeção horizontal deste ponto, estando localizado no semiplano posterior H, no gráfico estará acima do eixo OX, e a projeção do perfil, ficando no semiplano posterior C, no diagrama estará à esquerda do eixo OZ. Como sempre, corte azuma 3 3 = e.

Nos diagramas subsequentes, não denotaremos por letras os pontos de interseção dos eixos coordenados com as linhas da conexão de projeção. Isso simplificará o desenho até certo ponto.

No futuro, haverá diagramas sem eixos de coordenadas. Isso é feito na prática ao retratar objetos, quando apenas a imagem em si é essencialobjeto, não sua posição em relação aoplanos de projeção.

Os planos de projeção neste caso são determinados com precisão somente até a translação paralela (figura). Eles geralmente são movidos paralelamente a si mesmos de tal forma que todos os pontos do objeto estão acima do plano. H e na frente do avião V. Como a posição do eixo X 12 é indefinida, a formação do diagrama neste caso não precisa estar associada à rotação dos planos em torno do eixo de coordenadas. Ao mudar para um gráfico plano H e V são combinados de modo que projeções opostas de pontos estejam localizadas em linhas verticais.

Gráfico sem eixo dos pontos A e B(foto) nãodetermina sua posição no espaço,mas nos permite julgar sua orientação relativa. Assim, o segmento △x caracteriza o deslocamento do ponto MAS em relação ao ponto NO em uma direção paralela aos planos H e V. Em outras palavras, △x indica o quanto o ponto MAS localizado à esquerda do ponto NO. O deslocamento relativo do ponto na direção perpendicular ao plano V é determinado pelo segmento △y, ou seja, o ponto E em no nosso exemplo, mais próximo do observador do que o ponto NO, uma distância igual a △y.

Por fim, o segmento △z mostra o excesso do ponto MAS sobre o ponto NO.

Os defensores do estudo sem eixos do curso de geometria descritiva apontam com razão que, na resolução de muitos problemas, é possível prescindir dos eixos coordenados. No entanto, uma rejeição completa deles não pode ser considerada conveniente. A geometria descritiva é projetada para preparar o futuro engenheiro não apenas para a execução competente de desenhos, mas também para a solução de vários problemas técnicos, entre os quais os problemas de estática e mecânica espacial não ocupam o último lugar. E para isso é preciso cultivar a capacidade de orientar este ou aquele objeto em relação aos eixos coordenados cartesianos. Essas habilidades também serão necessárias ao estudar seções de geometria descritiva como perspectiva e axonometria. Portanto, em vários diagramas deste livro, salvamos imagens dos eixos coordenados. Tais desenhos determinam não apenas a forma do objeto, mas também sua localização em relação aos planos de projeção.

Para construir imagens de vários detalhes, é necessário ser capaz de encontrar as projeções de pontos individuais. Por exemplo, é difícil desenhar uma vista superior da peça mostrada na Fig. 139 sem construir projeções horizontais dos pontos A, B, C, D, E, F, etc.

O problema de encontrar as projeções de pontos por um dado na superfície do objeto é resolvido da seguinte forma. Primeiro, são encontradas as projeções da superfície na qual o ponto está localizado. Em seguida, traçando uma linha de conexão à projeção, onde a superfície é representada por uma linha, encontra-se a segunda projeção do ponto. A terceira projeção encontra-se na interseção das linhas de comunicação.

Considere um exemplo.

Três projeções da peça são dadas (Fig. 140, a). A projeção horizontal a do ponto A sobre a superfície visível é dada. Precisamos encontrar as outras projeções deste ponto.

Primeiro de tudo, você precisa desenhar uma linha auxiliar. Se forem fornecidas duas vistas, o local da linha auxiliar no desenho é escolhido arbitrariamente, à direita da vista superior, de modo que a vista à esquerda fique à distância necessária da vista principal (Fig. 141).

Se três vistas já foram construídas (Fig. 142, a), o local da linha auxiliar não pode ser escolhido arbitrariamente; você precisa encontrar o ponto através do qual ele vai passar. Para fazer isso, basta continuar até a interseção mútua das projeções horizontais e de perfil do eixo de simetria e através do ponto resultante k (Fig. 142, b) desenhar um segmento de reta em um ângulo de 45 °, que será uma reta auxiliar.

Se não houver eixos de simetria, continue até a interseção no ponto k 1 projeções horizontais e de perfil de qualquer face projetada na forma de segmentos de linha reta (Fig. 142, b).

Tendo traçado uma linha reta auxiliar, eles começam a construir as projeções do ponto (ver Fig. 140, b).

As projeções frontais a" e perfil a" do ponto A devem estar localizadas nas projeções correspondentes da superfície à qual pertence o ponto A. Essas projeções são encontradas. Na fig. 140, b são destacados em cores. Desenhe linhas de comunicação conforme indicado pelas setas. Nas interseções das linhas de comunicação com as projeções da superfície, encontram-se as projeções desejadas a" e a".

A construção das projeções dos pontos B, C, D é mostrada na fig. 140, em linhas de comunicação com setas. As projeções de pontos dadas são coloridas. As linhas de comunicação são desenhadas para a projeção na qual a superfície é representada como uma linha, e não como uma figura. Assim, encontra-se primeiramente a projeção frontal do ponto C. A projeção do perfil a partir do ponto C é determinada pela interseção das linhas de comunicação.

Se a superfície não for representada por uma linha em nenhuma projeção, um plano auxiliar deve ser usado para construir as projeções dos pontos. Por exemplo, uma projeção frontal d do ponto A é dada, sobre a superfície de um cone (Fig. 143, a). Um plano auxiliar é traçado por um ponto paralelo à base, que interceptará o cone em um círculo; sua projeção frontal é um segmento de reta e sua projeção horizontal é um círculo com diâmetro igual ao comprimento desse segmento (Fig. 143, b). Traçando uma linha de comunicação para este círculo a partir do ponto a, obtém-se uma projeção horizontal do ponto A.

A projeção do perfil a" do ponto A é encontrada da maneira usual na interseção das linhas de comunicação.

Da mesma forma, pode-se encontrar as projeções de um ponto deitado, por exemplo, na superfície de uma pirâmide ou de uma bola. Quando uma pirâmide é interceptada por um plano paralelo à base e passando por um determinado ponto, forma-se uma figura semelhante à base. As projeções do ponto dado estão nas projeções desta figura.

Responda às perguntas

1. Em que ângulo é traçada a linha auxiliar?

2. Onde a linha auxiliar é desenhada se as vistas frontal e superior são fornecidas, mas você precisa construir uma vista da esquerda?

3. Como determinar o local da linha auxiliar na presença de três tipos?

4. Qual é o método de construir projeções de um ponto de acordo com um dado, se uma das superfícies do objeto é representada por uma linha?

5. Para quais corpos geométricos e em que casos as projeções de um ponto dado em sua superfície são encontradas usando um plano auxiliar?

Atribuições ao § 20

Exercício 68

Anote no caderno quais projeções dos pontos indicados por números nas vistas correspondem aos pontos indicados por letras na imagem visual no exemplo indicado a você pelo professor (Fig. 144, a-d).

Exercício 69

Na fig. 145, letras a-b indicam apenas uma projeção de alguns dos vértices. Encontre no exemplo dado a você pelo professor, as projeções restantes desses vértices e designe-os com letras. Construa em um dos exemplos as projeções faltantes de pontos dados nas bordas do objeto (Fig. 145, d e e). Realce com cores as projeções das bordas nas quais os pontos estão localizados. Complete a tarefa em papel transparente, sobrepondo-o na página do livro didático. Não há necessidade de redesenhar a Fig. 145.

Exercício 70

Encontre as projeções faltantes de pontos dados por uma projeção nas superfícies visíveis do objeto (Fig. 146). Rotule-os com letras. Realce as projeções de pontos dadas com cores. Uma imagem visual irá ajudá-lo a resolver o problema. A tarefa pode ser concluída tanto em uma pasta de trabalho quanto em papel transparente, sobrepondo-a na página do livro didático. Neste último caso, redesenhe a Fig. 146 não é necessário.

Exercício 71

No exemplo dado a você pelo professor, desenhe três tipos (Fig. 147). Construa as projeções que faltam dos pontos dados nas superfícies visíveis do objeto. Realce as projeções de pontos dadas com cores. Rotule todas as projeções de pontos. Para construir projeções de pontos, use uma linha reta auxiliar. Faça um desenho técnico e marque nele os pontos indicados.

Um pequeno curso de geometria descritiva

As aulas teóricas destinam-se a estudantes de engenharia e especialidades técnicas

Método Monge

Se a informação sobre a distância de um ponto em relação ao plano de projeção for fornecida não com a ajuda de uma marca numérica, mas com a ajuda da segunda projeção do ponto, construída no segundo plano de projeção, o desenho é chamado de dois imagem ou complexo. Os princípios básicos para a construção de tais desenhos são apresentados por G. Monge.
O método proposto por Monge - o método de projeção ortogonal, e duas projeções são feitas em dois planos de projeção mutuamente perpendiculares - proporcionando expressividade, precisão e legibilidade de imagens de objetos em um plano, foi e continua sendo o principal método para a elaboração de desenhos técnicos

Figura 1.1 Ponto no sistema de três planos de projeção

O modelo de três planos de projeção é mostrado na Figura 1.1. O terceiro plano, perpendicular a P1 e P2, é indicado pela letra P3 e é chamado de plano de perfil. As projeções dos pontos neste plano são denotadas por letras maiúsculas ou números com índice 3. Os planos de projeção, que se cruzam aos pares, definem três eixos 0x, 0y e 0z, que podem ser considerados como um sistema de coordenadas cartesianas no espaço com origem no ponto 0. Três planos de projeção dividem o espaço em oito ângulos triédricos - octantes. Como antes, vamos supor que o observador que vê o objeto está no primeiro octante. Para obter um diagrama, os pontos no sistema de três planos de projeção dos planos P1 e P3 são girados até coincidirem com o plano P2. Ao designar eixos em um diagrama, os semieixos negativos geralmente não são indicados. Se apenas a imagem do próprio objeto for significativa, e não sua posição em relação aos planos de projeção, os eixos no diagrama não serão mostrados. Coordenadas são números que correspondem a um ponto para determinar sua posição no espaço ou em uma superfície. No espaço tridimensional, a posição de um ponto é definida usando coordenadas cartesianas retangulares x, y e z (abcissas, ordenadas e aplicadas).

Para determinar a posição de uma linha reta no espaço, existem os seguintes métodos: 1. Dois pontos (A e B). Considere dois pontos no espaço A e B (Fig. 2.1). Através desses pontos podemos traçar uma linha reta, obtemos um segmento. Para encontrar as projeções deste segmento no plano de projeção, é necessário encontrar as projeções dos pontos A e B e conectá-los com uma linha reta. Cada uma das projeções de segmento no plano de projeção é menor que o próprio segmento:<; <; <.

Figura 2.1 Determinando a posição de uma linha reta a partir de dois pontos

2. Dois planos (a; b). Este método de ajuste é determinado pelo fato de que dois planos não paralelos se cruzam no espaço em uma linha reta (este método é discutido em detalhes no curso de geometria elementar).

3. Ponto e ângulos de inclinação aos planos de projeção. Conhecendo as coordenadas de um ponto pertencente à linha e seu ângulo de inclinação aos planos de projeção, você pode encontrar a posição da linha no espaço.

Dependendo da posição da reta em relação aos planos de projeção, ela pode ocupar tanto posições gerais como particulares. 1. Uma linha reta que não é paralela a nenhum plano de projeção é chamada de linha reta em posição geral (Fig. 3.1).

2. Linhas retas paralelas aos planos de projeção ocupam uma posição particular no espaço e são chamadas de linhas de nível. Dependendo de qual plano de projeção a linha dada é paralela, existem:

2.1. As projeções diretas paralelas ao plano horizontal são chamadas de linhas horizontais ou de contorno (Fig. 3.2).

Figura 3.2 Linha reta horizontal

2.2. As projeções diretas paralelas ao plano frontal são chamadas de frontais ou frontais (Fig. 3.3).

Figura 3.3 Frontal reta

2.3. As projeções diretas paralelas ao plano de perfil são chamadas de projeções de perfil (Fig. 3.4).

Figura 3.4 Perfil reto

3. As linhas retas perpendiculares aos planos de projeção são chamadas de projeção. Uma linha perpendicular a um plano de projeção é paralela aos outros dois. Dependendo de qual plano de projeção a linha investigada é perpendicular, existem:

3.1. Linha reta projetada frontalmente - AB (Fig. 3.5).

Figura 3.5 Linha de projeção frontal

3.2. Perfil projetando linha reta - AB (Fig. 3.6).

Figura 3.6 Linha de projeção de perfil

3.3. Linha reta projetada horizontalmente - AB (Fig. 3.7).

Figura 3.7 Linha de projeção horizontal

O plano é um dos conceitos básicos da geometria. Em uma exposição sistemática de geometria, o conceito de plano é geralmente tomado como um dos conceitos iniciais, que só indiretamente é determinado pelos axiomas da geometria. Algumas propriedades características de um plano: 1. Um plano é uma superfície que contém completamente todas as linhas que ligam qualquer um de seus pontos; 2. Um plano é um conjunto de pontos equidistantes de dois pontos dados.

Formas de definição gráfica de planos A posição de um plano no espaço pode ser determinada:

1. Três pontos que não se encontram em uma linha reta (Fig. 4.1).

Figura 4.1 Plano definido por três pontos que não se encontram em uma linha reta

2. Uma reta e um ponto que não pertence a esta reta (Fig. 4.2).

Figura 4.2 Plano definido por uma linha reta e um ponto não pertencente a esta linha

3. Duas linhas retas que se cruzam (Fig. 4.3).

Figura 4.3 Plano definido por duas linhas retas que se cruzam

4. Duas linhas paralelas (Fig. 4.4).

Figura 4.4 Plano definido por duas retas paralelas

Posição diferente do plano em relação aos planos de projeção

Dependendo da posição do plano em relação aos planos de projeção, ele pode ocupar tanto posições gerais como particulares.

1. Um plano não perpendicular a nenhum plano de projeção é chamado de plano em posição geral. Tal plano cruza todos os planos de projeção (possui três traços: - horizontal S 1; - frontal S 2; - perfil S 3). Os traços do plano genérico cruzam-se aos pares nos eixos nos pontos ax,ay,az. Esses pontos são chamados de pontos de fuga, eles podem ser considerados como os vértices dos ângulos triédricos formados pelo plano dado com dois dos três planos de projeção. Cada um dos traços do plano coincide com sua projeção de mesmo nome, e as outras duas projeções de nomes opostos estão nos eixos (Fig. 5.1).

2. Planos perpendiculares aos planos de projeções - ocupam uma determinada posição no espaço e são chamados de projeção. Dependendo de qual plano de projeção o plano dado é perpendicular, existem:

2.1. O plano perpendicular ao plano de projeção horizontal (S ^ П1) é chamado de plano de projeção horizontal. A projeção horizontal de tal plano é uma linha reta, que também é sua trilha horizontal. As projeções horizontais de todos os pontos de quaisquer figuras neste plano coincidem com o traço horizontal (Fig. 5.2).

Figura 5.2 Plano de projeção horizontal

2.2. O plano perpendicular ao plano frontal de projeções (S ^ P2) é o plano de projeção frontal. A projeção frontal do plano S é uma linha reta que coincide com o traço S 2 (Fig. 5.3).

Figura 5.3 Plano de projeção frontal

2.3. O plano perpendicular ao plano do perfil (S ^ П3) é o plano de projeção do perfil. Um caso especial de tal plano é o plano bissetriz (Fig. 5.4).

Figura 5.4 Plano de projeção do perfil

3. Planos paralelos aos planos de projeções - ocupam uma determinada posição no espaço e são chamados de planos de nível. Dependendo de qual plano o plano em estudo é paralelo, existem:

3.1. Plano horizontal - um plano paralelo ao plano de projeção horizontal (S //P1) - (S ^P2, S ^P3). Qualquer figura neste plano é projetada no plano P1 sem distorção, e no plano P2 e P3 em linhas retas - traços do plano S 2 e S 3 (Fig. 5.5).

Figura 5.5 Plano horizontal

3.2. Plano frontal - um plano paralelo ao plano de projeção frontal (S //P2), (S ^P1, S ^P3). Qualquer figura neste plano é projetada no plano P2 sem distorção, e no plano P1 e P3 em linhas retas - traços do plano S 1 e S 3 (Fig. 5.6).

Figura 5.6 Plano frontal

3.3. Plano de perfil - um plano paralelo ao plano de perfil de projeções (S //P3), (S ^P1, S ^P2). Qualquer figura neste plano é projetada no plano P3 sem distorção, e no plano P1 e P2 em linhas retas - traços do plano S 1 e S 2 (Fig. 5.7).

Figura 5.7 Plano de perfil

Traços de avião

O traço do plano é a linha de interseção do plano com os planos de projeção. Dependendo de qual dos planos de projeção o dado cruza, eles distinguem: traços horizontais, frontais e de perfil do plano.

Cada traço do plano é uma linha reta, para cuja construção é necessário conhecer dois pontos, ou um ponto e a direção da linha reta (como para a construção de qualquer linha reta). A Figura 5.8 mostra a localização de traços do plano S (ABC). O traço frontal do plano S 2 é construído como uma linha que liga dois pontos 12 e 22, que são os traços frontais das linhas correspondentes pertencentes ao plano S . O traço horizontal S 1 é uma linha reta que passa pelo traço horizontal da linha reta AB e S x. Traço de perfil S 3 - uma linha reta que liga os pontos (S y e S z) da interseção dos traços horizontal e frontal com os eixos.

Figura 5.8 Construção de traços planos

Determinar a posição relativa de uma linha reta e um plano é um problema posicional, para a solução do qual é usado o método de planos de corte auxiliares. A essência do método é a seguinte: desenhe um plano secante auxiliar Q através da linha e defina a posição relativa de duas linhas a e b, a última das quais é a linha de interseção do plano secante auxiliar Q e este plano T ( Fig. 6.1).

Figura 6.1 Método do plano de corte auxiliar

Cada um dos três casos possíveis de posição relativa dessas linhas corresponde a um caso semelhante de posição mútua da linha e do plano. Então, se ambas as linhas coincidem, então a linha a está no plano T, o paralelismo das linhas indica o paralelismo da linha e do plano e, finalmente, a interseção das linhas corresponde ao caso em que a linha a intercepta o plano T. Assim, há três casos de posição relativa da linha e do plano: pertence ao plano; A linha é paralela ao plano; Uma linha reta cruza um plano, um caso especial - uma linha reta é perpendicular ao plano. Vamos considerar cada caso.

Linha reta pertencente ao plano

Axioma 1. Uma reta pertence a um plano se dois de seus pontos pertencem ao mesmo plano (fig.6.2).

Tarefa. Dado um plano (n,k) e uma projeção da linha m2. É necessário encontrar as projeções faltantes da linha m se se sabe que ela pertence ao plano dado pelas linhas que se cruzam n e k. A projeção da linha m2 intercepta as linhas n e k nos pontos B2 e C2, para encontrar as projeções faltantes da linha, é necessário encontrar as projeções faltantes dos pontos B e C como pontos situados nas linhas n e k , respectivamente. Assim, os pontos B e C pertencem ao plano dado pelas retas que se cruzam n e k, e a reta m passa por esses pontos, o que significa que, segundo o axioma, a reta pertence a este plano.

Axioma 2. Uma reta pertence a um plano se tem um ponto comum com o plano e é paralela a qualquer reta localizada neste plano (Fig. 6.3).

Tarefa. Desenhe uma linha m passando pelo ponto B se souber que ela pertence ao plano dado pela intersecção das linhas n e k. Seja B a reta n situada no plano dado pelas retas que se cruzam n e k. Através da projeção B2, traçamos a projeção da linha m2 paralela à linha k2, para encontrar as projeções faltantes da linha, é necessário construir a projeção do ponto B1 como um ponto situado na projeção da linha n1 e desenhe a projeção da linha m1 através dela paralela à projeção k1. Assim, os pontos B pertencem ao plano dado pelas linhas que se cruzam n e k, e a linha m passa por este ponto e é paralela à linha k, o que significa que, de acordo com o axioma, a linha pertence a este plano.

Figura 6.3 Uma linha reta tem um ponto comum com um plano e é paralela a uma linha reta localizada neste plano

Linhas principais no avião

Entre as linhas retas pertencentes ao plano, um lugar especial é ocupado por linhas retas que ocupam uma posição particular no espaço:

1. Horizontais h - linhas retas situadas em um determinado plano e paralelas ao plano horizontal de projeções (h / / P1) (Fig. 6.4).

Figura 6.4 Horizontal

2. Frontais f - linhas retas localizadas no plano e paralelas ao plano frontal das projeções (f//P2) (Fig. 6.5).

Figura 6.5 Frontal

3. Retas de perfil p - retas que se encontram em um determinado plano e paralelas ao plano de perfil das projeções (p//P3) (Fig. 6.6). Deve-se notar que os traços do plano também podem ser atribuídos às linhas principais. O traço horizontal é a horizontal do plano, o frontal é a frente e o perfil é a linha de perfil do plano.

Figura 6.6 Perfil reto

4. A linha de maior inclinação e sua projeção horizontal formam um ângulo linear j, que mede o ângulo diedro formado por este plano e o plano horizontal de projeções (Fig. 6.7). Obviamente, se uma reta não tem dois pontos comuns com um plano, então ela é paralela ao plano ou o intercepta.

Figura 6.7 A linha da maior inclinação

Posição mútua de um ponto e um plano

Existem duas opções para o arranjo mútuo de um ponto e um plano: ou o ponto pertence ao plano ou não. Se o ponto pertence ao plano, apenas uma das três projeções que determinam a posição do ponto no espaço pode ser definida arbitrariamente. Consideremos um exemplo (fig.6.8): Construção de uma projeção de um ponto A pertencente a um plano de posição geral dado por duas retas paralelas a(a//b).

Tarefa. Dados: o plano T(a,b) e a projeção do ponto A2. É necessário construir a projeção A1 se se sabe que o ponto A está no plano c,a. Pelo ponto A2 traçamos a projeção da reta m2, que intercepta as projeções das retas a2 e b2 nos pontos C2 e B2. Tendo construído as projeções dos pontos C1 e B1, que determinam a posição de m1, encontramos a projeção horizontal do ponto A.

Figura 6.8. Ponto pertencente ao plano

Dois planos no espaço podem ser mutuamente paralelos, em um caso particular coincidindo um com o outro, ou se cruzar. Planos mutuamente perpendiculares são um caso especial de planos de interseção.

1. Planos paralelos. Os planos são paralelos se duas linhas de interseção de um plano são respectivamente paralelas a duas linhas de interseção de outro plano. Esta definição é bem ilustrada pela tarefa, através do ponto B, de traçar um plano paralelo ao plano dado por duas retas que se cruzam ab (Fig. 7.1). Tarefa. Dado: um plano em posição geral dado por duas linhas de interseção ab e ponto B. É necessário traçar um plano através do ponto B paralelo ao plano ab e defini-lo por duas linhas de interseção ce d. De acordo com a definição, se duas linhas de interseção de um plano são respectivamente paralelas a duas linhas de interseção de outro plano, então esses planos são paralelos entre si. Para desenhar linhas paralelas no diagrama, é necessário usar a propriedade de projeção paralela - as projeções de linhas paralelas são paralelas entre si d||a, c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Figura 7.1. Planos paralelos

2. Planos de interseção, um caso especial - planos mutuamente perpendiculares. A linha de interseção de dois planos é uma linha reta, para a construção da qual basta determinar seus dois pontos comuns a ambos os planos, ou um ponto e a direção da linha de interseção dos planos. Considere a construção da linha de interseção de dois planos, quando um deles está se projetando (Fig. 7.2).

Tarefa. Dado: um plano em posição geral é dado por um triângulo ABC, e o segundo plano é um T que se projeta horizontalmente. É necessário construir uma linha de interseção dos planos. A solução do problema é encontrar dois pontos comuns a esses planos através dos quais se possa traçar uma linha reta. O plano definido pelo triângulo ABC pode ser representado como linhas retas (AB), (AC), (BC). O ponto de intersecção da linha (AB) com o plano T - ponto D, a linha (AC) -F. O segmento define a linha de interseção dos planos. Como T é um plano que se projeta horizontalmente, a projeção D1F1 coincide com o traço do plano T1, então resta apenas construir as projeções que faltam em P2 e P3.

Figura 7.2. Intersecção de um plano genérico com um plano de projeção horizontal

Passemos ao caso geral. Sejam dois planos genéricos a(m,n) eb(ABC) dados no espaço (Fig. 7.3).

Figura 7.3. Intersecção de planos em posição geral

Considere a sequência de construção da linha de interseção dos planos a(m//n) eb(ABC). Por analogia com o problema anterior, para encontrar a linha de interseção desses planos, desenhamos planos secantes auxiliares g e d. Vamos encontrar as linhas de intersecção desses planos com os planos considerados. O plano g intercepta o plano a ao longo de uma linha reta (12), e o plano b - ao longo de uma linha reta (34). Ponto K - o ponto de intersecção destas linhas pertence simultaneamente a três planos a, b e g, sendo assim um ponto pertencente à linha de intersecção dos planos a e b. O plano d intercepta os planos a e b ao longo das linhas (56) e (7C), respectivamente, seu ponto de interseção M está localizado simultaneamente em três planos a, b, d e pertence à linha reta de interseção dos planos a e b. Assim, encontram-se dois pontos pertencentes à linha de intersecção dos planos aeb - uma linha reta (KM).

Alguma simplificação na construção da linha de intersecção dos planos pode ser alcançada se os planos auxiliares secantes forem desenhados através das linhas retas que definem o plano.

Planos mutuamente perpendiculares. Sabe-se da estereometria que dois planos são mutuamente perpendiculares se um deles passa por uma perpendicular ao outro. Através do ponto A, você pode desenhar um conjunto de planos perpendiculares ao plano dado a (f, h). Esses planos formam um feixe de planos no espaço, cujo eixo é a perpendicular baixada do ponto A ao plano a. Para traçar um plano perpendicular ao plano dado por duas linhas de interseção hf do ponto A, é necessário traçar uma linha reta n perpendicular ao plano hf do ponto A (a projeção horizontal n é perpendicular à projeção horizontal do horizontal h, a projeção frontal n é perpendicular à projeção frontal da frontal f). Qualquer plano que passe pela linha n será perpendicular ao plano hf, portanto, para definir o plano pelos pontos A, desenhamos uma linha arbitrária m. O plano dado por duas retas que se cruzam mn será perpendicular ao plano hf (Fig. 7.4).

Figura 7.4. Planos mutuamente perpendiculares

Método de movimento plano-paralelo

A alteração da posição relativa do objeto projetado e dos planos de projeção pelo método de movimento plano-paralelo é realizada alterando a posição do objeto geométrico de modo que a trajetória de seus pontos esteja em planos paralelos. Os planos transportadores das trajetórias dos pontos móveis são paralelos a qualquer plano de projeção (Fig. 8.1). A trajetória é uma linha arbitrária. Com a transferência paralela de um objeto geométrico em relação aos planos de projeção, a projeção da figura, embora mude de posição, permanece congruente com a projeção da figura em sua posição original.

Figura 8.1 Determinação do tamanho natural do segmento pelo método do movimento plano-paralelo

Propriedades do movimento plano-paralelo:

1. Com qualquer movimento de pontos em um plano paralelo ao plano P1, sua projeção frontal se move ao longo de uma linha reta paralela ao eixo x.

2. No caso de um movimento arbitrário de um ponto em um plano paralelo a P2, sua projeção horizontal se move ao longo de uma linha reta paralela ao eixo x.

Método de rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano de projeção

Os planos transportadores das trajetórias de movimento dos pontos são paralelos ao plano de projeção. Trajetória - um arco de um círculo, cujo centro está localizado no eixo perpendicular ao plano de projeções. Para determinar o tamanho natural de um segmento de reta na posição geral AB (Fig. 8.2), escolhemos o eixo de rotação (i) perpendicular ao plano de projeção horizontal e passando por B1. Vamos girar o segmento para que fique paralelo ao plano de projeção frontal (a projeção horizontal do segmento é paralela ao eixo x). Neste caso, o ponto A1 se moverá para A "1, e o ponto B não mudará sua posição. A posição do ponto A" 2 está na interseção da projeção frontal da trajetória de movimento do ponto A (uma linha reta paralela ao eixo x) e a linha de comunicação traçada de A "1. A projeção resultante B2 A "2 determina o tamanho real do próprio segmento.

Figura 8.2 Determinando o tamanho natural de um segmento girando em torno de um eixo perpendicular ao plano horizontal de projeções

Método de rotação em torno de um eixo paralelo ao plano de projeção

Considere este método usando o exemplo de determinação do ângulo entre as linhas de interseção (Fig. 8.3). Considere duas projeções de linhas que se cruzam a e que se cruzam no ponto K. Para determinar o valor natural do ângulo entre essas linhas, é necessário transformar as projeções ortogonais de modo que as linhas se tornem paralelas ao plano de projeção. Vamos usar o método de rotação em torno da linha de nível - horizontal. Façamos uma projeção frontal arbitrária da horizontal h2 paralela ao eixo Ox, que intercepta as linhas nos pontos 12 e 22 . Tendo definido as projeções 11 e 11, construímos uma projeção horizontal da horizontal h1. A trajetória de movimento de todos os pontos durante a rotação em torno da horizontal é um círculo que é projetado no plano P1 na forma de uma linha reta perpendicular à projeção horizontal da horizontal.

Figura 8.3 Determinação do ângulo entre linhas de interseção, rotação em torno de um eixo paralelo ao plano de projeção horizontal

Assim, a trajetória do ponto K1 é determinada pela linha reta K1O1, o ponto O é o centro do círculo - a trajetória do ponto K. Para encontrar o raio deste círculo, encontramos o valor natural do segmento KO pelo método do triângulo. O ponto K "1 corresponde ao ponto K, quando as linhas a e b estão em um plano paralelo a P1 e traçadas na horizontal - o eixo de rotação. Com isso em mente, traçamos linhas retas através do ponto K "1 e pontos 11 e 21, que agora estão em um plano paralelo a P1 e, portanto, o ângulo phi é o valor natural do ângulo entre as linhas a e b.

Método para substituir planos de projeção

A alteração da posição relativa da figura projetada e dos planos de projeção alterando os planos de projeção é obtida substituindo os planos P1 e P2 por novos planos P4 (Fig. 8.4). Novos planos são selecionados perpendicularmente aos antigos. Algumas transformações de projeção requerem uma dupla substituição dos planos de projeção (Figura 8.5). Uma transição sucessiva de um sistema de planos de projeção para outro deve ser realizada seguindo a seguinte regra: a distância da projeção do novo ponto ao novo eixo deve ser igual à distância da projeção do ponto substituído ao eixo substituído.

Tarefa 1: Determinar o tamanho real do segmento AB de uma reta em posição geral (Fig. 8.4). Pela propriedade da projeção paralela, sabe-se que um segmento é projetado em um plano em tamanho real se for paralelo a este plano. Escolhemos um novo plano de projeção P4, paralelo ao segmento AB e perpendicular ao plano P1. Ao introduzir um novo plano, passamos do sistema de planos P1P2 para o sistema P1P4, e no novo sistema de planos a projeção do segmento A4B4 será o valor natural do segmento AB.

Figura 8.4. Determinação do tamanho natural de um segmento de reta substituindo os planos de projeção

Tarefa 2: Determine a distância do ponto C a uma reta em posição geral dada pelo segmento AB (Fig. 8.5).

Figura 8.5. Determinação do tamanho natural de um segmento de reta substituindo os planos de projeção

A posição de um ponto no espaço pode ser especificada por suas duas projeções ortogonais, por exemplo, horizontal e frontal, frontal e perfil. A combinação de quaisquer duas projeções ortogonais permite descobrir o valor de todas as coordenadas de um ponto, construir uma terceira projeção, determinar o octante em que está localizado. Vamos considerar algumas tarefas típicas do curso de geometria descritiva.

De acordo com o desenho complexo dado dos pontos A e B, é necessário:

Vamos primeiro determinar as coordenadas do ponto A, que podem ser escritas na forma A (x, y, z). A projeção horizontal do ponto A é o ponto A ", tendo as coordenadas x, y. Trace do ponto A" perpendiculares aos eixos x, y e encontre, respectivamente, A x, A y. A coordenada x para o ponto A é igual ao comprimento do segmento A x O com um sinal de mais, pois A x está na região dos valores positivos do eixo x. Levando em conta a escala do desenho, encontramos x \u003d 10. A coordenada y é igual ao comprimento do segmento A y O com um sinal de menos, pois t. A y está na região de valores negativos do eixo y . Dada a escala do desenho, y = -30. A projeção frontal do ponto A - ponto A"" tem coordenadas xez. Vamos soltar a perpendicular de A"" ao eixo z e encontrar A z . A coordenada z do ponto A é igual ao comprimento do segmento A z O com sinal negativo, pois A z está na região de valores negativos do eixo z. Dada a escala do desenho, z = -10. Assim, as coordenadas do ponto A são (10, -30, -10).

As coordenadas do ponto B podem ser escritas como B (x, y, z). Considere a projeção horizontal do ponto B - ponto B. "Como está no eixo x, então B x \u003d B" e a coordenada B y \u003d 0. A abscissa x do ponto B é igual ao comprimento do segmento B x O com um sinal de mais. Levando em conta a escala do desenho, x = 30. A projeção frontal do ponto B - ponto B˝ tem as coordenadas x, z. Desenhe uma perpendicular de B"" ao eixo z, encontrando assim B z . O z aplicado do ponto B é igual ao comprimento do segmento B z O com sinal negativo, pois B z está na região de valores negativos do eixo z. Levando em conta a escala do desenho, determinamos o valor z = -20. Então as coordenadas B são (30, 0, -20). Todas as construções necessárias são mostradas na figura abaixo.

Construção de projeções de pontos

Os pontos A e B no plano P 3 têm as seguintes coordenadas: A""" (y,z); B""" (y,z). Neste caso, A"" e A""" estão na mesma perpendicular ao eixo z, pois têm uma coordenada z comum. Da mesma forma, B"" e B""" estão em uma perpendicular comum ao eixo z. Para encontrar a projeção do perfil de t. A, separamos ao longo do eixo y o valor da coordenada correspondente encontrada anteriormente. Na figura, isso é feito usando um arco de círculo de raio A y O. Em seguida, traçamos uma perpendicular de A y até a interseção com a perpendicular restaurada do ponto A "" ao eixo z. O ponto de intersecção destas duas perpendiculares determina a posição de A""".

O ponto B""" está no eixo z, pois a ordenada y deste ponto é zero. Para encontrar a projeção do perfil do ponto B neste problema, é necessário apenas traçar uma perpendicular de B"" ao z -eixo. O ponto de intersecção desta perpendicular com o eixo z é B """.

Determinando a posição dos pontos no espaço

Imaginando visualmente um layout espacial composto pelos planos de projeção P 1, P 2 e P 3, a localização dos octantes, bem como a ordem de transformação do layout em diagramas, você pode determinar diretamente que t. A está localizado no octante III, e t. B está no plano P 2 .

Outra opção para resolver esse problema é o método de exceções. Por exemplo, as coordenadas do ponto A são (10, -30, -10). A abscissa positiva x permite julgar que o ponto está localizado nos primeiros quatro octantes. Uma ordenada y negativa indica que o ponto está no segundo ou terceiro octante. Finalmente, a aplicação negativa de z indica que o ponto A está no terceiro octante. O raciocínio dado é claramente ilustrado pela tabela a seguir.

Octantes	Sinais de coordenadas
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Coordenadas do ponto B (30, 0, -20). Como a ordenada de t.B é igual a zero, este ponto está localizado no plano de projeção П 2 . A abcissa positiva e a aplicação negativa do ponto B indicam que está localizada na borda do terceiro e quarto octantes.

Construção de uma imagem visual de pontos no sistema de planos P 1, P 2, P 3

Utilizando a projeção isométrica frontal, construímos um layout espacial do terceiro oitante. É um triedro retangular, cujas faces são os planos P 1, P 2, P 3, e o ângulo (-y0x) é de 45º. Neste sistema, os segmentos ao longo dos eixos x, y, z serão plotados em tamanho real sem distorção.

A construção de uma imagem visual do ponto A (10, -30, -10) começará com sua projeção horizontal A". A interseção das perpendiculares restauradas de A x e A y respectivamente aos eixos x e y determina a posição do ponto A". Colocando de A" paralelo ao eixo z em direção aos seus valores negativos o segmento AA", cujo comprimento é igual a 10, encontramos a posição do ponto A.

Uma imagem visual do ponto B (30, 0, -20) é construída de maneira semelhante - no plano P 2, as coordenadas correspondentes devem ser colocadas ao longo dos eixos x e z. A interseção das perpendiculares reconstruídas a partir de B x e B z determinará a posição do ponto B.