A abordagem da adição de inteiros não negativos permite fundamentar as conhecidas leis da adição: comutativa e associativa.

Vamos primeiro provar a lei comutativa, ou seja, provaremos que para quaisquer inteiros não negativos a e b a igualdade a + b = b + a é verdadeira.

Seja a o número de elementos do conjunto A, b o número de elementos do conjunto B e A B=0. Então, por definição da soma dos inteiros não negativos, a + b é o número de elementos da união dos conjuntos A e B: a + b = n (A//B). Mas o conjunto A B é igual ao conjunto B A de acordo com a propriedade comutativa da união de conjuntos e, portanto, n(AU B) = n(B U A). Pela definição da soma n(BuA) = b + a, portanto a + b = b + a para quaisquer inteiros não negativos a e b.

Agora provamos a lei da combinação, ou seja, provamos que para quaisquer inteiros não negativos a, b, c, a igualdade (a + b) + c = a + (b + c) vale.

Seja a = n(A), b = n(B), c = n(C), onde AUB=0, BUC=0 Então, pela definição da soma de dois números, podemos escrever (a + b) + c = n(A/ /)B) + n(C) = n((AUBUC).

Como a união de conjuntos obedece à lei da combinação, então n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). Daí, por definição da soma de dois números, temos n (A J (BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c). Portanto, (a + b) + c -- a + (b + c) para quaisquer inteiros não negativos a, b e c.

Qual é o propósito da lei associativa da adição? Ele explica como encontrar a soma de três termos: para isso, basta somar o primeiro termo ao segundo e somar o terceiro termo ao número resultante, ou somar o primeiro termo à soma do segundo e do terceiro. Observe que a lei associativa não implica uma permutação dos termos.

Ambas as leis comutativas e associativas da adição podem ser generalizadas para qualquer número de termos. Nesse caso, a lei comutativa significará que a soma não muda com qualquer rearranjo dos termos, e a lei associativa significará que a soma não muda com nenhum agrupamento dos termos (sem alterar sua ordem).

Segue-se das leis comutativas e associativas da adição que a soma de vários termos não mudará se eles forem rearranjados de alguma forma e se algum de seus grupos estiver entre colchetes.

Vamos calcular, usando as leis da adição, o valor da expressão 109 + 36+ 191 +64 + 27.

Com base na lei comutativa, reorganizamos os termos 36 e 191. Então 109 + 36 + 191 + 64 + 27 = 109 + 191 + 36 + 64 + 27.

Vamos usar a lei da combinação agrupando os termos e depois encontrar as somas entre parênteses: 109 + 191 + 36 + 64 + 27 == (109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

Vamos aplicar a lei da combinação novamente, colocando a soma dos números 300 e 100 entre parênteses: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27.

Vamos fazer os cálculos: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.

Os alunos do ensino fundamental se familiarizam com a propriedade comutativa da adição ao estudar os números da primeira dezena. Primeiro, é usado ao compilar uma tabela para adicionar números de um dígito e, em seguida, para racionalizar vários cálculos.

A lei associativa da adição não é explicitamente estudada no curso elementar de matemática, mas é constantemente usada. Portanto, é a base para somar um número por partes: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1) + 1 =4+ 1 =5. Além disso, nos casos em que é necessário adicionar um número a uma soma, uma quantia a um número, uma quantia a uma soma, a lei associativa é usada em combinação com a comutativa. Por exemplo, adicionar a soma 2 + 1 ao número 4 é proposto das seguintes maneiras:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Vamos analisar esses métodos. No caso 1, os cálculos são realizados de acordo com a ordem especificada de operações. No caso 2, aplica-se a propriedade associativa da adição. Os cálculos no último caso são baseados nas leis comutativas e associativas da adição, e as transformações intermediárias são omitidas. Eles são. Primeiro, com base na lei do deslocamento, os termos 1 e 2 foram trocados: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Em seguida, usaram a lei da combinação: 4 + (1 + 2) = (4 + 1) + 2. E, por fim, realizaram cálculos de acordo com a ordem das ações (4 + 1) + 2 = 5 + 2 = 7.

Regras para subtrair um número de uma soma e uma soma de um número

Justifiquemos as regras conhecidas para subtrair um número de uma soma e uma soma de um número.

A regra para subtrair um número de uma soma. Para subtrair um número da soma, basta subtrair esse número de um dos termos da soma e adicionar outro termo ao resultado obtido.

Escrevemos esta regra usando os símbolos: Se a, b, c são inteiros não negativos, então:

a) para a > c temos que (a + b) - c = (a - c) + b;

b) para b>c temos que (a+b) -- c==a + (b -- c);

c) para a>c e b>c, qualquer uma dessas fórmulas pode ser usada.

Seja a > c, então a diferença a -- c existe. Vamos denotá-lo por p: a - c = p. Daí a = p + c. Substitua a soma p + -c em vez de a na expressão (a + b) - c e transforme-a: (a + 6) - c \u003d (p + c + b) - c \u003d p + b + -c - c = p+b

Mas a letra p denota a diferença a - c, o que significa que temos (a + b) - - c \u003d (a - c) + b, que era o que precisava ser provado.

Raciocínio semelhante é feito para outros casos. Damos agora uma ilustração desta regra (caso "a") usando círculos de Euler. Tome três conjuntos finitos A, B e C tais que n(A) = a, n(B) = b, n(C) = ce AUB=0, CUA. Então (a + b) - c é o número de elementos do conjunto (AUB)C, e o número (a - c) + b é o número de elementos do conjunto (AC)UB. Nos círculos de Euler, o conjunto (AUB)C é representado pela área sombreada mostrada na figura.

É fácil ver que o conjunto (AC)U² é representado exatamente pela mesma área. Portanto, (AUB)C = (AC)UB para dados

conjuntos A, B e C. Portanto, n((AUB)C) = n((AC)UB) e (a + b) - c - (a - c) + b.

O caso "b" pode ser ilustrado de maneira semelhante.

A regra para subtrair de uma soma. Para subtrair a soma de números de um número, basta subtrair desse número sucessivamente cada termo um após o outro, ou seja, se a, b, c são inteiros não negativos, então para a > b + c temos a - ( b + c ) = (a - b) - c.

A justificação desta regra e sua ilustração da teoria dos conjuntos são realizadas da mesma forma que para a regra de subtração de um número de uma soma.

As regras acima são consideradas no ensino fundamental com exemplos específicos, imagens visuais são usadas para justificativa. Essas regras permitem que você execute cálculos racionalmente. Por exemplo, a regra para subtrair uma soma de um número fundamenta o método de subtrair um número por partes:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

O significado das regras acima é bem revelado ao resolver problemas aritméticos de várias maneiras. Por exemplo, a tarefa “De manhã, 20 pequenos e 8 grandes barcos de pesca foram para o mar. 6 barcos retornaram. Quantos barcos com pescadores ainda terão de regressar? pode ser resolvido de três maneiras:

/ caminho. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22

// caminho. 1. 20 -- 6=14 2. 14 + 8 = 22

III via. 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22

Leis da multiplicação

Vamos provar as leis da multiplicação com base na definição de um produto em termos do produto cartesiano de conjuntos.

1. Lei comutativa: para quaisquer inteiros não negativos aeb, a igualdade a*b = b*a é verdadeira.

Seja a = n(A), b = n(B). Então, por definição do produto a*b = n(A*B). Mas os conjuntos A*B e B*A são equivalentes: cada par (a, b) do conjunto AXB pode ser associado a um único par (b, a) do conjunto BxA, e vice-versa. Portanto, n(AXB) = n(BxA) e, portanto, a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a.

2. Lei associativa: para quaisquer inteiros não negativos a, b, c, a igualdade (a * b) * c = a * (b * c) é verdadeira.

Seja a = n(A), b = n(B), c = n(C). Então, pela definição do produto (a-b)-c = n((AXB)XQ, a a-(b-c) = n (AX(BXQ). Os conjuntos (AxB)XC e A X (BX Q são diferentes: o primeiro consiste em pares da forma ((a, b), c), e o segundo de pares da forma (a, (b, c)), onde aJA, bJB, cJC. Mas os conjuntos (AXB)XC e AX(BXC) são equivalentes, pois há um mapeamento um-para-um de um conjunto para outro, então n((AXB)*C) = n(A*(B*C)), e assim (a*b )*c = a*(b*c).

3. A lei distributiva da multiplicação com relação à adição: para quaisquer inteiros não negativos a, b, c, a igualdade (a + b) x c = ac + be é verdadeira.

Seja a - n (A), b = n (B), c = n (C) e AUB \u003d 0. Então, pela definição do produto, temos (a + b) x c \u003d n ((AUB ) * C. Daí, com base nas igualdades (*) obtemos n ((A UB) * C) = n ((A * C)U(B * C)), e então por definição da soma e produto n ( (A * C)U (B * C) ) -- = n(A*C) + n(B*C) = ac + bc.

4. A lei distributiva da multiplicação em relação à subtração: para quaisquer inteiros não negativos a, b e c e a^b a igualdade (a - b)c = ac - bc é verdadeira.

Esta lei é derivada da igualdade (AB) * C = (A * C) (B * C) e é provada de forma semelhante à anterior.

As leis comutativas e associativas da multiplicação podem ser estendidas a qualquer número de fatores. Assim como na adição, essas leis são freqüentemente usadas em conjunto, ou seja, o produto de vários fatores não mudará se eles forem rearranjados de alguma forma e se algum de seus grupos estiver entre colchetes.

As leis distributivas estabelecem uma conexão entre multiplicação e adição e subtração. Com base nessas leis, os colchetes são expandidos em expressões como (a + b) c e (a - b) c, assim como o fator é retirado dos colchetes se a expressão tiver a forma ac - be ou

No curso inicial da matemática, a propriedade comutativa da multiplicação é estudada, é formulada da seguinte forma: “O produto não mudará de uma permutação de fatores” - e é amplamente utilizado na compilação da tabuada de números de um dígito. A lei associativa não é considerada explicitamente no ensino fundamental, mas é usada junto com a lei comutativa na multiplicação de um número por um produto. Isso acontece da seguinte forma: os alunos são convidados a considerar diferentes maneiras de encontrar o valor da expressão 3 * (5 * 2) e comparar os resultados.

Os casos são dados:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

O primeiro deles é baseado na regra da ordem das operações, o segundo - na lei associativa da multiplicação, o terceiro - nas leis comutativas e associativas da multiplicação.

A lei distributiva da multiplicação em relação à adição é considerada na escola com exemplos específicos e é chamada de regras para multiplicar um número por uma soma e uma soma por um número. A consideração dessas duas regras é ditada por considerações metodológicas.

Regras para dividir uma soma por um número e um número por um produto

Vamos nos familiarizar com algumas propriedades da divisão dos números naturais. A escolha dessas regras é determinada pelo conteúdo do curso inicial de matemática.

A regra para dividir uma soma por um número. Se os números a e b são divisíveis pelo número c, então sua soma a + b também é divisível por c; o quociente obtido dividindo a soma a + b pelo número c é igual à soma dos quocientes obtidos dividindo a por c e b por c, ou seja

(a + b): c = a: c + b: c.

Prova. Como a é divisível por c, existe um número natural m = a:c tal que a = c-m. Da mesma forma, existe um número natural n -- b:c tal que b = c-n. Então a + b = c-m + c-/2 = c-(m + n). Daí segue que a + b é divisível por c e o quociente obtido pela divisão de a + b pelo número c é igual a m + n, ou seja, a: c + b: c.

A regra provada pode ser interpretada a partir das posições da teoria dos conjuntos.

Seja a = n(A), b = n(B) e AGW=0. Se cada um dos conjuntos A e B pode ser dividido em subconjuntos iguais, então a união desses conjuntos admite a mesma partição.

Além disso, se cada subconjunto da partição do conjunto A contém elementos a:c, e cada subconjunto do conjunto B contém elementos b:c, então cada subconjunto do conjunto A[)B contém elementos a:c + b:c. Isso significa que (a + b): c = a: c + b: c.

A regra para dividir um número por um produto. Se um número natural a é divisível pelos números naturais b e c, então, para dividir a pelo produto dos números b e c, basta dividir o número a por b (c) e dividir o quociente resultante por c (b): a: (b * c) --(a: b): c = (a: c): b Prova. Vamos colocar (a:b):c = x. Então, pela definição do quociente, a:b = c-x, portanto, analogamente a - b-(cx). Com base na lei associativa da multiplicação a = (bc)-x. A igualdade resultante significa que a:(bc) = x. Assim, a:(bc) = (a:b):c.

Regra para multiplicar um número por um quociente de dois números. Para multiplicar um número pelo quociente de dois números, basta multiplicar esse número pelo dividendo e dividir o produto resultante pelo divisor, ou seja,

a-(b:c) = (a-b):c.

A aplicação das regras formuladas permite simplificar os cálculos.

Por exemplo, para encontrar o valor da expressão (720+ 600): 24, basta dividir os termos 720 e 600 por 24 e somar os quocientes resultantes:

(720+600)

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Essas regras são consideradas no curso inicial de matemática em exemplos específicos. No primeiro contato com a regra de divisão da soma 6 + 4 pelo número 2, material ilustrativo está envolvido. A seguir, essa regra é usada para racionalizar os cálculos. A regra de dividir um número por um produto é amplamente utilizada ao dividir números que terminam em zeros.

Tópico número 1.

Números reais, expressões numéricas. Convertendo Expressões Numéricas

I. Material teórico

Conceitos Básicos

· Inteiros

Notação de número decimal

números opostos

· Números inteiros

・Fração ordinária

Números racionais

decimal infinito

Período de um número, fração periódica

números irracionais

· Numeros reais

· Operaçoes aritimeticas

expressão numérica

Valor da expressão

Convertendo um decimal em uma fração comum

Convertendo uma fração comum em um decimal

Convertendo uma fração periódica em uma fração comum

Leis das operações aritméticas

Sinais de divisibilidade

Os números usados ​​para contar objetos ou para indicar o número de série de um objeto entre objetos homogêneos são chamados natural. Qualquer número natural pode ser escrito usando dez números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Esta notação é chamada decimal.

Por exemplo: 24; 3711; 40125.

O conjunto dos números naturais é normalmente denotado N.

Dois números que diferem apenas no sinal são chamados oposto números.

Por exemplo, números 7 e - 7.

Os números naturais, seus opostos e o número zero formam o conjunto todo Z.

Por exemplo: – 37; 0; 2541.

Número do formulário , onde m- inteiro, n- um número natural é chamado de número ordinário tomada. Observe que qualquer número natural pode ser representado como uma fração com denominador 1.

Por exemplo: , .

A união dos conjuntos de números inteiros e fracionários (positivos e negativos) compõe o conjunto racional números. É comumente referido Q.

Por exemplo: ; – 17,55; .

Seja dada a fração decimal. Seu valor não mudará se qualquer número de zeros for atribuído à direita.

Por exemplo: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Tal decimal é chamada de decimal infinita.

Qualquer fração comum pode ser representada como uma fração decimal infinita.

Um grupo de dígitos repetidos consecutivamente após um ponto decimal em um número é chamado período, e uma fração decimal infinita que possui tal período em sua notação é chamada periódico. Por brevidade, costuma-se escrever o ponto uma vez, colocando-o entre parênteses.

Por exemplo: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

As frações decimais infinitas não recorrentes são chamadas irracional números.

A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais é o conjunto válido números. É comumente referido R.

Por exemplo: ; 0,(23); 41,3574…

Número é irracional.

Para todos os números, as ações de três etapas são definidas:

Ações do Passo I: adição e subtração;

Ações do Passo II: multiplicação e divisão;

Ações do passo III: exponenciação e extração de raízes.

Uma expressão composta de números, sinais aritméticos e colchetes é chamada numérico.

Por exemplo: ; .

O número obtido como resultado da execução de ações é chamado valor da expressão.

expressão numérica não faz sentido se contém divisão por zero.

Quando o valor da expressão é encontrado, as ações do estágio III, do estágio II e ao final da ação do estágio I são executadas sequencialmente. Nesse caso, é preciso levar em consideração a colocação dos parênteses na expressão numérica.

A transformação de uma expressão numérica consiste na execução sequencial de operações aritméticas sobre os números incluídos nela usando as regras apropriadas (a regra para adicionar frações ordinárias com denominadores diferentes, multiplicar frações decimais, etc.). Tarefas para converter expressões numéricas em tutoriais são encontradas nas seguintes formulações: “Encontrar o valor de uma expressão numérica”, “Simplificar uma expressão numérica”, “Calcular”, etc.

Ao encontrar os valores de algumas expressões numéricas, você deve realizar operações com frações de vários tipos: ordinárias, decimais, periódicas. Nesse caso, pode ser necessário converter uma fração comum em decimal ou executar a ação oposta - substituir a fração periódica por uma comum.

Virar decimal para ordinário, basta escrever o número após a vírgula no numerador da fração e um com zeros no denominador, devendo haver tantos zeros quantos dígitos à direita da vírgula.

Por exemplo: ; .

Virar fração comum para decimal, é necessário dividir seu numerador pelo denominador de acordo com a regra de divisão de uma fração decimal por um número inteiro.

Por exemplo: ;

;

.

Virar fração periódica em fração comum, necessário:

1) do número anterior ao segundo período, subtraia o número anterior ao primeiro período;

2) escreva essa diferença como um numerador;

3) no denominador escreva o número 9 quantas vezes houver dígitos no período;

4) adicione tantos zeros no denominador quantos forem os dígitos entre a vírgula e o primeiro ponto.

Por exemplo: ; .

Leis das operações aritméticas com números reais

1. deslocável(comutativa) lei da adição: o valor da soma não muda com o rearranjo dos termos:

2. deslocável(comutativa) lei da multiplicação: o valor do produto não muda com o rearranjo dos fatores:

3. Associativo(associativa) lei da adição: o valor da soma não mudará se qualquer grupo de termos for substituído por sua soma:

4. Associativo(associativa) lei da multiplicação: o valor do produto não mudará se qualquer grupo de fatores for substituído por seu produto:

.

5. distribuição(distributiva) lei da multiplicação em relação à adição: para multiplicar uma soma por um número, basta multiplicar cada termo por esse número e somar os produtos resultantes:

As propriedades 6 - 10 são chamadas de leis de absorção 0 e 1.

Sinais de divisibilidade

Propriedades que permitem em alguns casos, sem dividir, determinar se um número é divisível por outro, são chamadas sinais de divisibilidade.

Sinal de divisibilidade por 2. Um número é divisível por 2 se e somente se a notação do número terminar em até número. Ou seja, 0, 2, 4, 6, 8.

Por exemplo: 12834; –2538; 39,42.

Sinal de divisibilidade por 3. Um número é divisível por 3 se e somente se a soma de seus algarismos for divisível por 3.

Por exemplo: 2742; –17940.

Divisibilidade por 4 sinais. Um número com pelo menos três algarismos é divisível por 4 se e somente se o número de dois algarismos formado pelos dois últimos algarismos do número dado for divisível por 4.

Por exemplo: 15436; –372516.

Sinal de divisibilidade por 5. Um número é divisível por 5 se e somente se seu último algarismo for 0 ou 5.

Por exemplo: 754570; –4125.

Sinal de divisibilidade por 9. Um número é divisível por 9 se e somente se a soma de seus algarismos for divisível por 9.

Por exemplo: 846; –76455.

Objetivo: verificar a formação de habilidades para realizar cálculos por meio de fórmulas; familiarizar as crianças com as leis comutativas, associativas e distributivas das operações aritméticas.

• introduzir a notação literal das leis de adição e multiplicação; ensinar como aplicar as leis das operações aritméticas para simplificar cálculos e expressões literais;
• desenvolver pensamento lógico, habilidades mentais, hábitos obstinados, fala matemática, memória, atenção, interesse em matemática, praticidade;
• cultivem o respeito mútuo, um senso de camaradagem, confiança.

Tipo de aula: combinada.

• verificação dos conhecimentos previamente adquiridos;
• preparar os alunos para aprender novos materiais
• apresentação de novo material;
• percepção e consciência pelos alunos de novos materiais;
• consolidação primária do material estudado;
• resumindo a lição e fazendo o dever de casa.

Equipamento: computador, projetor, apresentação.

Plano:

1. Momento organizacional.
2. Verificação do material previamente estudado.
3. Aprender novos materiais.
4. Teste primário de domínio de conhecimento (trabalho com o livro didático).
5. Controle e auto-exame dos conhecimentos (trabalho independente).
6. Resumindo a lição.
7. Reflexão.

durante as aulas

1. Momento organizacional

Professora: Boa tarde crianças! Começamos nossa lição com um poema - palavras de despedida. Preste atenção na tela. (1 diapositivo). Apêndice 2 .

Matemática, amigos,
Absolutamente todo mundo precisa disso.
Trabalhe duro na aula
E o sucesso espera por você!

2. Repetição de material

Vamos revisar o que aprendemos. Convido o aluno para a tela. Tarefa: use um ponteiro para conectar a fórmula escrita com seu nome e responda à pergunta sobre o que mais pode ser encontrado usando esta fórmula. (2 slides).

Cadernos abertos, assine o número, trabalho de classe. Preste atenção na tela. (3º diapositivo).

Trabalhamos oralmente no próximo slide. (5 slides).

12 + 5 + 8		25 10		250 – 50
200 – 170		30 + 15		45: 3
15 + 30		45 – 17		28 25 4

Tarefa: encontrar o significado das expressões. (Um aluno trabalha na tela.)

- Que coisas interessantes você notou ao resolver os exemplos? A que exemplos deve ser dada particular atenção? (Respostas das crianças.)

Situação problemática

Que propriedades de adição e multiplicação você conhece desde o ensino fundamental? Você pode escrevê-los usando expressões literais? (Respostas das crianças).

3. Aprender novo material

- E assim, o tema da lição de hoje é “Leis das operações aritméticas” (6 slides).
- Escreva o tema da aula em seu caderno.
Que coisas novas devemos aprender na lição? (Juntamente com as crianças, os objetivos da aula são formulados).
- Olhe para a tela. (7 diapositivos).

Você vê as leis da adição escritas em forma literal e exemplos. (Análise de exemplos).

- Próximo slide (8 slides).

Compreender as leis da multiplicação.

- Agora vamos nos familiarizar com uma lei distributiva muito importante (9 slides).

- Resumir. (10 slides).

Por que você precisa conhecer as leis da aritmética? Serão úteis em estudos posteriores, no estudo de quais assuntos? (Respostas das crianças.)

- Anote as regras em seu caderno.

4. Fixação do material

- Abra o livro didático e encontre o nº 212 (a, b, e) oralmente.

nº 212 (c, d, g, h) por escrito no quadro e em cadernos. (Exame).

– Estamos trabalhando verbalmente no nº 214.

– Estamos concluindo a tarefa número 215. Qual lei é usada para resolver esse número? (Respostas das crianças).

5. Trabalho independente

- Anote a resposta no cartão e compare seus resultados com seu colega de mesa. E agora atenção para a tela. (11 slides).(Verificação de trabalho independente).

6. Resumo da lição

- Atenção à tela. (12 slides). Termine a sentença.

Notas de aula.

7. Trabalho de casa

§13, nº 227, 229.

8. Reflexão