Continuamos a estudar problemas elementares em matemática. Esta lição é sobre problemas de porcentagem. Veremos vários problemas, e também tocaremos naqueles pontos que não mencionamos anteriormente ao estudar as porcentagens, considerando que a princípio elas criam dificuldades para o aprendizado.
Na maioria dos casos, as tarefas para porcentagens se resumem a encontrar uma porcentagem de um número, encontrar um número por porcentagem, expressar qualquer parte como porcentagem ou expressar a relação entre vários objetos, números e quantidades como porcentagem.
Habilidades preliminares Conteúdo da liçãoManeiras de encontrar uma porcentagem
A porcentagem pode ser encontrada de várias maneiras. A maneira mais popular é dividir o número por 100 e multiplicar o resultado pela porcentagem desejada.
Por exemplo, para encontrar 60% de 200 rublos, você deve primeiro dividir esses 200 rublos em cem partes iguais:
200 rublos: 100 = 2 rublos.
Quando dividimos um número por 100, encontramos um por cento desse número. Então, dividindo 200 rublos em 100 partes, encontramos automaticamente 1% de duzentos rublos, ou seja, descobrimos quantos rublos caem em uma parte. Como pode ser visto no exemplo, uma parte (um por cento) representa 2 rublos.
1% de 200 rublos - 2 rublos
Sabendo quantos rublos caem em uma parte (por 1%), podemos descobrir quantos rublos caem em duas partes, três, quatro, cinco, etc. Ou seja, podemos encontrar qualquer número de porcentagem. Para fazer isso, basta multiplicar esses 2 rublos pelo número desejado de peças (porcentagem). Vamos encontrar sessenta partes (60%)
2 × 60 = 120 rublos.
2 × 5 = 10 rublos
Encontraremos 90%
2 × 90 = 180 rublos.
Encontraremos 100%
2 × 100 = 200 rublos
100% é tudo cem partes e eles compõem todos os 200 rublos.
A segunda maneira é representar porcentagens como uma fração comum e encontrar essa fração a partir do número do qual você deseja encontrar a porcentagem.
Por exemplo, vamos encontrar os mesmos 60% de 200 rublos. Primeiro, vamos representar 60% como uma fração. 60% são sessenta partes de cem, ou seja, sessenta centésimos:
Agora a tarefa pode ser entendida como "encontrar de 200rublos" . Este é o que estudamos anteriormente. Lembre-se de que para encontrar uma fração de um número, você precisa dividir esse número pelo denominador da fração e multiplicar o resultado pelo numerador da fração
200: 100 = 2
2 x 60 = 120
Ou multiplique o número por uma fração ():
A terceira maneira é representar a porcentagem como uma fração decimal e multiplicar o número por essa fração decimal.
Por exemplo, vamos encontrar os mesmos 60% de 200 rublos. Vamos começar representando 60% como uma fração. 60% por cento são sessenta partes de cem
Vamos fazer a divisão nesta fração. Mova a vírgula em 60 dois dígitos para a esquerda:
Agora encontramos 0,60 de 200 rublos. Para encontrar a fração decimal de um número, você precisa multiplicar esse número pela fração decimal:
200 × 0,60 = 120 rublos
O método fornecido para encontrar uma porcentagem é o mais conveniente, especialmente se uma pessoa estiver acostumada a usar uma calculadora. Este método permite que você encontre a porcentagem em uma etapa.
Como regra, expressar uma porcentagem em frações decimais não é difícil. Basta atribuir "zero inteiros" antes da porcentagem se a porcentagem for um número de dois dígitos ou atribuir "zero inteiros" e outro zero se a porcentagem for um número de um dígito. Exemplos:
60% \u003d 0,60 - zero inteiros atribuídos antes do número 60, já que o número 60 é de dois dígitos
6% \u003d 0,06 - números inteiros zero atribuídos e outro zero antes do número 6, pois o número 6 é de um dígito.
Ao dividir por 100, usamos o método de mover a vírgula dois dígitos para a esquerda. Na resposta 0,60, o zero após o número 6 foi preservado. Mas se você realizar essa divisão por um canto, zero desaparece - você obtém a resposta 0,6
Deve-se lembrar que as frações decimais 0,60 e 0,6 são iguais e carregam o mesmo valor.
0,60 = 0,6
No mesmo “canto”, você pode continuar dividindo indefinidamente, cada vez somando zero ao resto, mas esta será uma ação sem sentido.
Você pode expressar porcentagens como um decimal não apenas dividindo por 100, mas também multiplicando. O sinal de porcentagem (%) por si só substitui o multiplicador de 0,01. E se levarmos em conta que o número de porcentagem e o sinal de porcentagem são escritos juntos, há um sinal de multiplicação “invisível” (×) entre eles.
Então, por exemplo, 45% realmente se parecem com isso
Substitua o sinal de porcentagem por um fator de 0,01
Esta multiplicação por 0,01 é feita movendo a vírgula dois dígitos para a esquerda
Tarefa 1. O orçamento familiar é de 75 mil rublos por mês. Destes, 70% é dinheiro ganho pelo pai. Quanto a mamãe ganhou?
Decisão
Total 100 por cento. Se o pai ganhou 70% do dinheiro, então os 30% restantes do dinheiro foram ganhos pela mãe.
Tarefa 2. O orçamento familiar é de 75 mil rublos por mês. Destes, 70% é dinheiro ganho pelo pai e 30% é dinheiro ganho pela mãe. Quanto dinheiro cada um ganhou?
Decisão
Encontraremos 70 e 30 por cento de 75 mil rublos. Então, vamos determinar quanto dinheiro cada um ganhou. Por conveniência, 70% e 30% serão escritos como frações decimais
75 × 0,70 \u003d 52,5 (pai ganhou mil rublos)
75 × 0,30 = 22,5 (a mãe ganhou mil rublos)
Exame
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
Responda: 52,5 mil rublos Papa ganhou 22,5 rublos. mãe ganhou.
Tarefa 3. Ao esfriar, o pão perde até 4% de sua massa como resultado da evaporação da água. Quantos quilos evaporarão quando 12 toneladas de pão esfriarem.
Decisão
Converter 12 toneladas para quilogramas. Existem 1000 quilos em uma tonelada, 12 vezes mais em 12 toneladas
1000 × 12 = 12.000 kg
Agora vamos encontrar 4% de 12000. O resultado será a resposta para o problema:
12.000 × 0,04 = 480 kg
Responda: ao resfriar 12 toneladas de pão, 480 quilos evaporarão.
Tarefa 4. Quando secas, as maçãs perdem 84% do seu peso. Quantas maçãs secas serão obtidas a partir de 300 kg de maçãs frescas?
Encontre 84% de 300 kg
300: 100 × 84 = 252 kg
300 kg de maçãs frescas perderão 252 kg de sua massa como resultado da secagem. Para responder à pergunta quantas maçãs secas resultarão, você precisa subtrair 252 de 300
300 - 252 = 48 kg
Responda: a partir de 300 kg de maçãs frescas obtém 48 kg de maçãs secas.
Tarefa 5. As sementes de soja contêm 20% de óleo. Quanto óleo existe em 700 kg de soja?
Decisão
Encontre 20% de 700 kg
700 × 0,20 = 140 kg
Responda: 700 kg de soja contém 140 kg de óleo
Tarefa 6. O trigo sarraceno contém 10% de proteínas, 2,5% de gorduras e 60% de carboidratos. Quantos desses produtos estão contidos em 14,4 centavos de trigo sarraceno?
Decisão
Vamos traduzir 14,4 centavos em quilogramas. Há 100 quilos em um centavo, 14,4 vezes mais em 14,4 centavos
100 × 14,4 = 1440 kg
Encontre 10%, 2,5% e 60% de 1440 kg
1440 × 0,10 = 144 (kg de proteínas)
1440 × 0,025 = 36 (kg de gordura)
1440 x 0,60 = 864 (kg de carboidratos)
Responda: 14,4 kg de trigo sarraceno contém 144 kg de proteínas, 36 kg de gordura, 864 kg de carboidratos.
Tarefa 7. Os alunos recolheram 60 kg de sementes de carvalho, acácia, tília e bordo para o viveiro florestal. Bolotas constituíam 60%, sementes de bordo 15%, sementes de tília 20% de todas as sementes, e o resto eram sementes de acácia. Quantos quilos de sementes de acácia foram coletados pelos alunos?
Decisão
Levaremos para 100% as sementes de carvalho, acácia, tília e bordo. Vamos subtrair desses 100% as porcentagens que expressam as sementes de carvalho, tília e bordo. Então descobrimos quantos por cento são sementes de acácia:
100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%
Agora encontramos sementes de acácia:
60 × 0,05 = 3 kg
Responda: escolares recolheram 3 kg de sementes de acácia.
Exame:
60 x 0,60 = 36
60 x 0,15 = 9
60 x 0,20 = 12
60 x 0,05 = 3
36 + 9 + 12 + 3 = 60
60 = 60
Tarefa 8. O homem comprou comida. O leite custa 60 rublos, o que representa 48% do custo de todas as compras. Determine a quantidade total de dinheiro gasto em produtos.
Decisão
Este é um problema de encontrar um número por sua porcentagem, ou seja, por sua parte conhecida. Este problema pode ser resolvido de duas maneiras. A primeira é expressar o número conhecido de porcentagem como uma fração decimal e encontrar o número desconhecido dessa fração
Expresse 48% como um decimal
48% : 100 = 0,48
Sabendo que 0,48 é 60 rublos, podemos determinar o valor de todas as compras. Para fazer isso, você precisa encontrar um número desconhecido em fração decimal:
60: 0,48 = 125 rublos
Portanto, a quantidade total de dinheiro gasto em comida é de 125 rublos.
A segunda maneira é primeiro descobrir quanto dinheiro cai em um por cento e depois multiplicar o resultado por 100
48% são 60 rublos. Se dividirmos 60 rublos por 48, descobriremos quantos rublos caem em 1%
60: 48% = 1,25 rublos
1% representa 1,25 rublos. Total 100 por cento. Se multiplicarmos 1,25 rublos por 100, obtemos o valor total gasto em produtos
1,25 × 100 = 125 rublos
Tarefa 9. 35% das ameixas secas saem de ameixas frescas. Quantas ameixas frescas você precisa tomar para obter 140 kg de ameixas secas? Quantas ameixas secas serão obtidas a partir de 600 kg de ameixas frescas?
Decisão
Vamos expressar 35% como uma fração decimal e encontrar o número desconhecido desta fração:
35% = 0,35
140: 0,35 = 400 kg
Para obter 140 kg de ameixas secas, você precisa consumir 400 kg de ameixas frescas.
Vamos responder à segunda pergunta do problema - quantas ameixas secas resultarão de 600 kg de frescas? Se 35% das ameixas secas saem de ameixas frescas, basta encontrar esses 35% em 600 kg de ameixas frescas
600 × 0,35 = 210 kg
Responda: para obter 140 kg de ameixas secas, você precisa levar 400 kg de ameixas frescas. A partir de 600 kg de ameixas frescas, serão obtidos 210 kg de ameixas secas.
Tarefa 10. A assimilação de gorduras pelo corpo humano é de 95%. Durante um mês, o aluno consumiu 1,2 kg de gordura. Quanta gordura pode ser absorvida pelo seu corpo?
Decisão
Converter 1,2 kg para gramas
1,2 x 1.000 = 1.200 g
Encontre 95% de 1200 g
1200 × 0,95 = 1140 g
Responda: 1140 g de gordura podem ser absorvidos pelo corpo do aluno.
Expressando números como uma porcentagem
A porcentagem, como mencionado anteriormente, pode ser representada como uma fração decimal. Para isso, basta dividir o número dessas porcentagens por 100. Por exemplo, vamos representar 12% como fração decimal:
Comente. No momento, não estamos encontrando uma porcentagem de algo, mas simplesmente escrevendo como uma fração decimal.
Mas o processo inverso também é possível. Uma fração decimal pode ser representada como uma porcentagem. Para fazer isso, multiplique essa fração por 100 e coloque um sinal de porcentagem (%)
Vamos representar a fração decimal 0,12 como porcentagem
0,12 x 100 = 12%
Essa ação é chamada expresso em porcentagem ou expressando números em centésimos.
Multiplicação e divisão são operações inversas. Por exemplo, se 2 × 5 = 10, então 10: 5 = 2
Da mesma forma, a divisão pode ser escrita ao contrário. Se 10:5 = 2, então 2 × 5 = 10:
A mesma coisa acontece quando expressamos um decimal como uma porcentagem. Assim, 12% foi expresso como um decimal da seguinte forma: 12: 100 = 0,12 mas então os mesmos 12% foram “retornados” usando a multiplicação, escrevendo a expressão 0,12 × 100 = 12%.
Da mesma forma, você pode expressar em porcentagem quaisquer outros números, incluindo números inteiros. Por exemplo, vamos expressar o número 3 como uma porcentagem. Multiplique esse número por 100 e adicione o sinal de porcentagem ao resultado:
3 x 100 = 300%
Grandes porcentagens como 300% podem ser confusas no início, porque as pessoas estão acostumadas a contar 100% como a parcela máxima. A partir de informações adicionais sobre frações, sabemos que um objeto inteiro pode ser denotado por unidade. Por exemplo, se houver um bolo inteiro sem cortes, ele pode ser denotado por 1
O mesmo bolo pode ser designado como 100% bolo. Nesse caso, tanto a unidade quanto 100% denotarão o mesmo bolo inteiro:
Vamos cortar o bolo ao meio. Nesse caso, o um se transformará no número decimal 0,5 (porque é meia unidade) e 100% se transformará em 50% (porque 50 é meia centena)
Devolveremos o bolo inteiro, uma unidade e 100%
Vamos desenhar mais dois desses bolos com a mesma notação:
Se um bolo é uma unidade, então três bolos são três unidades. Cada bolo está 100% intacto. Se você somar esses trezentos, obtém 300%.
Portanto, ao converter números inteiros em porcentagens, multiplicamos esses números por 100.
Tarefa 2. Expresse em porcentagem o número 5
5 x 100 = 500%
Tarefa 3. Expresse em porcentagem o número 7
7 x 100 = 700%
Tarefa 4. Expresse em porcentagem o número 7,5
7,5 x 100 = 750%
Tarefa 5. Expresse em porcentagem o número 0,5
0,5 x 100 = 50%
Tarefa 6. Expresse em porcentagem o número 0,9
0,9 x 100 = 90%
Exemplo 7. Expresse em porcentagem o número 1,5
1,5 x 100 = 150%
Exemplo 8. Expresse em porcentagem o número 2,8
2,8 x 100 = 280%
Tarefa 9. George está voltando da escola para casa. Nos primeiros quinze minutos ele andou 0,75 do caminho. O resto do tempo ele percorreu os 0,25 restantes do caminho. Expresse em porcentagem as partes do caminho percorridas por George.
Decisão
0,75 x 100 = 75%
0,25 x 100 = 25%
Tarefa 10. John foi presenteado com meia maçã. Expresse essa metade como uma porcentagem.
Decisão
Meia maçã é escrita como uma fração de 0,5. Para expressar essa fração como porcentagem, multiplique-a por 100 e adicione o sinal de porcentagem ao resultado.
0,5 x 100 = 50%
Análogos na forma de frações
Um valor expresso em porcentagem tem sua contrapartida na forma de fração ordinária. Então, o análogo para 50% é uma fração. Cinquenta por cento também pode ser chamado de "metade".
O análogo para 25% é uma fração. Vinte e cinco por cento também pode ser chamado de "quarto".
O análogo para 20% é uma fração. Vinte por cento também pode ser chamado de "quinto".
O análogo para 40% é uma fração.
O análogo para 60% é uma fração
Exemplo 1. Cinco centímetros é 50% de um decímetro, ou apenas metade. Em todos os casos, estamos falando do mesmo valor - cinco centímetros em dez
Exemplo 2. Dois centímetros e meio é 25% de um decímetro ou apenas um quarto
Exemplo 3. Dois centímetros é 20% de um decímetro ou
Exemplo 4. Quatro centímetros é 40% de um decímetro ou
Exemplo 5. Seis centímetros é 60% de um decímetro ou
Diminuir e aumentar o interesse
Ao aumentar ou diminuir um valor expresso em porcentagem, utiliza-se a preposição "on".
Exemplos:
- Aumentar em 50% - significa aumentar o valor em 1,5 vezes;
- Aumentar em 100% - significa aumentar o valor em 2 vezes;
- Aumentar em 200% significa aumentar em 3 vezes;
- Diminuir em 50% - significa reduzir o valor em 2 vezes;
- Reduzir em 80% significa reduzir em 5 vezes.
Exemplo 1. Dez centímetros aumentaram 50%. Quantos centímetros você conseguiu?
Para resolver esses problemas, você precisa tomar o valor inicial como 100%. O valor original é 10 cm. 50% deles são 5 cm
Os 10 cm originais foram aumentados em 50% (em 5 cm), então resultou em 10 + 5 cm, ou seja, 15 cm
Um análogo de aumentar dez centímetros em 50% é um multiplicador de 1,5. Se você multiplicar 10 cm por ele, você obtém 15 cm
10 × 1,5 = 15 cm
Portanto, as expressões "aumentar em 50%" e "aumentar em 1,5 vezes" significam a mesma coisa.
Exemplo 2. Cinco centímetros aumentados em 100%. Quantos centímetros você conseguiu?
Vamos tomar os cinco centímetros originais como 100%. Cem por cento desses cinco centímetros serão 5 cm. Se você aumentar 5 cm nos mesmos 5 cm, obterá 10 cm
Um análogo de aumentar cinco centímetros em 100% é um fator de 2. Se você multiplicar 5 cm por ele, obtém 10 cm
5×2=10cm
Portanto, as expressões "aumentar em 100%" e "aumentar em 2 vezes" significam a mesma coisa.
Exemplo 3. Cinco centímetros aumentaram 200%. Quantos centímetros você conseguiu?
Vamos tomar os cinco centímetros originais como 100%. Duzentos por cento é duas vezes cem por cento. Ou seja, 200% de 5 cm serão 10 cm (5 cm para cada 100%). Se você aumentar 5 cm por esses 10 cm, obtém 15 cm
Um análogo de um aumento de 5 centímetros em 200% é um fator de 3. Se você multiplicar 5 cm por ele, obtém 15 cm
5×3=15cm
Portanto, as expressões "aumentar em 200%" e "aumentar em 3 vezes" significam a mesma coisa.
Exemplo 4. Dez centímetros foram reduzidos em 50%. Quantos centímetros faltam?
Vamos tomar os 10 cm originais como 100%. Cinquenta por cento de 10 cm são 5 cm. Se você reduzir 10 cm por esses 5 cm, haverá 5 cm
O análogo de reduzir dez centímetros em 50% é o divisor 2. Se você dividir 10 cm por ele, obtém 5 cm
10:2=5cm
Portanto, as expressões "reduzir em 50%" e "reduzir em 2 vezes" significam a mesma coisa.
Exemplo 5. Dez centímetros foram reduzidos em 80%. Quantos centímetros faltam?
Vamos tomar os 10 cm originais como 100%. Oitenta por cento de 10 cm são 8 cm. Se você reduzir 10 cm por esses 8 cm, haverá 2 cm
O análogo de reduzir dez centímetros em 80% é o divisor 5. Se você dividir 10 cm por ele, você obtém 2 cm
10:5=2cm
Portanto, as expressões "reduzir em 80%" e "reduzir em 5 vezes" significam a mesma coisa.
Ao resolver problemas para diminuir e aumentar os juros, você pode multiplicar/dividir o valor pelo multiplicador especificado na tarefa.
Tarefa 1. Em que porcentagem o valor mudou se aumentou 1,5 vezes?
O valor referido no problema pode ser designado como 100%. Em seguida, multiplique esses 100% por um fator de 1,5
100% × 1,5 = 150%
Agora, dos 150% obtidos, subtraia os 100% originais e obtenha a resposta do problema:
150% − 100% = 50%
Tarefa 2. Em que porcentagem o valor mudou se diminuiu 4 vezes?
Desta vez haverá uma diminuição no valor, então vamos realizar a divisão. O valor mencionado no problema é denotado como 100%. Em seguida, dividimos esses 100% por um divisor de 4
Dos 100% originais, subtraia os 25% resultantes e obtenha a resposta para o problema:
100% − 25% = 75%
Isso significa que com uma diminuição do valor em 4 vezes, ele diminuiu em 75%.
Tarefa 3. Em que porcentagem o valor mudou se diminuiu 5 vezes?
O valor mencionado no problema é denotado como 100%. Em seguida, dividimos esses 100% por um divisor de 5
Dos 100% originais, subtraia os 20% resultantes e obtenha a resposta para o problema:
100% − 20% = 80%
Isso significa que quando o valor diminui em 5 vezes, diminui em 80%.
Tarefa 4. Em que porcentagem o valor mudou se diminuiu 10 vezes?
O valor mencionado no problema é denotado como 100%. Em seguida, divida esses 100% por um divisor de 10
Dos 100% originais, subtraia os 10% resultantes e obtenha a resposta para o problema:
100% − 10% = 90%
Isso significa que quando o valor diminui em 10 vezes, diminui em 90%.
A tarefa de encontrar a porcentagem
Para expressar algo como uma porcentagem, primeiro você precisa escrever uma fração mostrando de que parte o primeiro número é do segundo, depois dividir nessa fração e expressar o resultado como porcentagem.
Por exemplo, suponha que haja cinco maçãs. Duas maçãs são vermelhas e três são verdes. Expresse as maçãs vermelhas e verdes como uma porcentagem.
Primeiro você precisa descobrir qual parte das maçãs vermelhas compõem. Há cinco maçãs no total e duas vermelhas. Então, dois em cada cinco ou dois quintos são maçãs vermelhas:
Há três maçãs verdes. Então, três em cada cinco ou três quintos são maçãs verdes:
Temos duas frações e . Vamos fazer a divisão nessas frações
Temos frações decimais 0,4 e 0,6. Agora vamos expressar essas frações decimais como uma porcentagem:
0,4 x 100 = 40%
0,6 x 100 = 60%
Então 40% são maçãs vermelhas, 60% são verdes.
E todas as cinco maçãs perfazem 40% + 60%, ou seja, 100%
Tarefa 2. A mãe deu 200 rublos para dois filhos. Mamãe deu 80 rublos ao irmão mais novo e 120 rublos ao irmão mais velho. Expresse em porcentagem o dinheiro dado a cada irmão.
Decisão
O irmão mais novo recebeu 80 rublos de 200 rublos. Escrevemos a fração oitenta e dois centésimos:
O irmão mais velho recebeu 120 rublos de 200 rublos. Escrevemos a fração cento e vinte e dois centésimos:
Temos frações e . Vamos fazer a divisão nessas frações
Vamos expressar os resultados em porcentagem:
0,4 x 100 = 40%
0,6 x 100 = 60%
Isso significa que o irmão mais novo recebeu 40% do dinheiro e o irmão mais velho recebeu 60%.
Algumas frações, mostrando de que parte o primeiro número é do segundo, podem ser reduzidas.
Assim, as frações podem ser reduzidas. A partir disso, a resposta para o problema não mudaria:
Tarefa 3. O orçamento familiar é de 75 mil rublos por mês. Destes, 52,5 mil rublos. - dinheiro ganho pelo pai. 22,5 mil rublos - dinheiro ganho pela mãe. Expresse em porcentagem o dinheiro ganho pelo pai e pela mãe.
Decisão
Este problema, como o anterior, é um problema de encontrar uma porcentagem.
Vamos expressar em porcentagem o dinheiro ganho pelo pai. Ele ganhou 52,5 mil rublos de 75 mil rublos
Vamos fazer a divisão nesta fração:
0,7 x 100 = 70%
Então papai ganhou 70% do dinheiro. Além disso, não é difícil adivinhar que os 30% restantes do dinheiro foram ganhos por minha mãe. Afinal, 75 mil rublos são 100% do dinheiro. Vamos verificar para ter certeza. Mamãe ganhou 22,5 mil rublos. de 75 mil rublos. Escrevemos a fração, fazemos a divisão e expressamos o resultado em porcentagem:
Tarefa 4. O aluno está treinando para fazer flexões na barra. No mês passado, ele conseguiu fazer 8 pull-ups por set. Este mês ele pode fazer 10 pull-ups por set. Em que porcentagem ele aumentou suas flexões?
Decisão
Descubra quantas flexões a mais um aluno faz este mês do que no passado
Descubra quais são as flexões da parte dois de oito flexões. Para fazer isso, encontramos a razão 2 para 8
Vamos fazer a divisão nesta fração
Vamos expressar o resultado em porcentagem:
0,25 x 100 = 25%
Assim, o aluno aumentou o número de pull-ups em 25%.
Este problema também pode ser resolvido pelo segundo método, mais rápido - descubra quantas vezes 10 pull-ups são mais do que 8 pull-ups e expresse o resultado como uma porcentagem.
Para descobrir quantas vezes dez pull-ups são mais do que oito pull-ups, você precisa encontrar a proporção de 10 para 8
Execute a divisão na fração resultante
Vamos expressar o resultado em porcentagem:
1,25 x 100 = 125%
A taxa de pull-up para o mês atual é de 125%. Esta afirmação deve ser entendida como "é 125%", não como “o indicador aumentou 125%”. Estas são duas declarações diferentes que expressam quantidades diferentes.
A afirmação "é 125%" deve ser entendida como "oito flexões que são 100% mais duas flexões que são 25% de oito flexões". Graficamente fica assim:
E a afirmação “aumentou em 125%” deve ser entendida como “às oito flexões atuais, que eram 100%, foram adicionados mais 100% (mais 8 flexões) mais outros 25% (2 flexões)” . São 18 flexões no total.
100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 flexões
Graficamente, esta declaração se parece com isso:
No total, resulta em 225%. Se encontrarmos 225% de oito pull-ups, obtemos 18 pull-ups
8 × 2,25 = 18
Tarefa 5. No mês passado, o salário foi de 19,2 mil rublos. No mês atual, totalizou 20,16 mil rublos. Em que porcentagem o salário aumentou?
Este problema, como o anterior, pode ser resolvido de duas maneiras. A primeira é primeiro descobrir por quantos rublos o salário aumentou. A seguir, descubra quanto é esse aumento em relação ao salário do mês passado
Saiba em quanto o salário aumentou:
20,16 - 19,2 \u003d 0,96 mil rublos.
Vamos descobrir que parte de 0,96 mil rublos. é de 19.2. Para fazer isso, encontramos a razão de 0,96 para 19,2
Execute a divisão na fração resultante. Ao longo do caminho, lembre-se:
Vamos expressar o resultado em porcentagem:
0,05 x 100 = 5%
Assim, o salário aumentou em 5%.
Vamos resolver o problema da segunda maneira. Vamos descobrir quantas vezes 20,16 mil rublos. mais de 19,2 mil rublos. Para fazer isso, encontramos a razão de 20,16 para 19,2
Vamos realizar a divisão na fração resultante:
Vamos expressar o resultado em porcentagem:
1,05 x 100 = 105%
O salário é de 105%. Ou seja, isso inclui 100%, que totalizou 19,2 mil rublos, mais 5%, que totalizou 0,96 mil rublos.
100% + 5% = 19,2 + 0,96
Tarefa 6. O preço de um laptop aumentou 5% este mês. Qual é o seu preço se no mês passado custou 18,3 mil rublos?
Decisão
Encontre 5% de 18,3:
18,3 x 0,05 = 0,915
Vamos adicionar esses 5% a 18,3:
18,3 + 0,915 = 19,215 mil rublos
Responda: o preço de um laptop é de 19,215 mil rublos.
Tarefa 7. O preço de um laptop caiu 10% este mês. Qual é o seu preço se no mês passado custou 16,3 mil rublos?
Decisão
Encontre 10% de 16,3:
16,3 x 0,10 = 1,63
Subtraia estes 10% de 16,3:
16,3 − 1,63 = 14,67 (mil rublos)
Tais tarefas podem ser escritas resumidamente:
16,3 - (16,3 × 0,10) = 14,67 (mil rublos)
Responda: o preço de um laptop é de 14,67 mil rublos.
Tarefa 8. No mês passado, o preço de um laptop foi de 21 mil rublos. Este mês, o preço subiu para 22,05 mil rublos. Em que porcentagem o preço aumentou?
Decisão
Determine quanto rublos o preço aumentou
22,05 − 21 = 1,50 (mil rublos)
Vamos descobrir que parte de 1,05 mil rublos. é de 21 mil rublos.
Expresse o resultado em porcentagem
0,05 x 100 = 5%
Responda: o preço do laptop aumentou 5%
Tarefa 8. O trabalhador deveria fazer 600 peças de acordo com o plano e fez 900 peças. Em que porcentagem ele completou o plano?
Decisão
Vamos descobrir quantas vezes 900 partes são mais do que 600 partes. Para fazer isso, encontramos a razão de 900 para 600
O valor desta fração é 1,5. Vamos expressar esse valor em porcentagem:
1,5 x 100 = 150%
Assim, o trabalhador cumpriu o plano em 150%. Ou seja, ele completou 100%, tendo feito 600 peças. Então ele fez mais 300 peças, que é 50% do plano original.
Responda: o trabalhador completou o plano em 150%.
Comparação percentual
Já comparamos valores muitas vezes de várias maneiras. Nossa primeira ferramenta foi a diferença. Assim, por exemplo, para comparar 5 rublos e 3 rublos, anotamos a diferença 5−3. Tendo recebido a resposta 2, pode-se dizer que "cinco rublos é mais do que três rublos por dois rublos".
A resposta obtida como resultado da subtração na vida cotidiana não é chamada de “diferença”, mas de “diferença”.
Portanto, a diferença entre cinco e três rublos é de dois rublos.
A próxima ferramenta que usamos para comparar quantidades foi a razão. A razão nos permitiu descobrir quantas vezes o primeiro número é maior que o segundo (ou quantas vezes o primeiro número contém o segundo).
Assim, por exemplo, dez maçãs são cinco vezes mais que duas maçãs. Ou dito de outra forma, dez maçãs contém duas maçãs cinco vezes. Essa comparação pode ser escrita usando a relação
Mas os valores também podem ser comparados em porcentagens. Por exemplo, para comparar o preço de dois bens não em rublos, mas para avaliar quanto o preço de um bem é mais ou menos do que o preço do outro em porcentagem.
Para comparar valores em porcentagem, um deles deve ser designado como 100% e o segundo com base nas condições do problema.
Por exemplo, vamos descobrir quantos por cento dez maçãs são mais do que oito maçãs.
Para 100%, você precisa designar o valor com o qual comparamos algo. Estamos comparando 10 maçãs com 8 maçãs. Então, para 100%, denotamos 8 maçãs:
Agora nossa tarefa é comparar quantos por cento de 10 maçãs são mais do que essas 8 maçãs. 10 maçãs são 8+2 maçãs. Isso significa que, adicionando mais duas maçãs a oito maçãs, aumentaremos 100% em outro número de por cento. Para descobrir qual, vamos determinar quantos por cento de oito maçãs são duas maçãs
Adicionando esses 25% a oito maçãs, obtemos 10 maçãs. E 10 maçãs são 8 + 2, ou seja, 100% e outros 25%. No total obtemos 125%
Assim, dez maçãs são mais do que oito maçãs em 25%.
Agora vamos resolver o problema inverso. Descubra quanto por cento oito maçãs são menos de dez maçãs. A resposta imediatamente sugere que oito maçãs são 25% menos. No entanto, não é.
Estamos comparando oito maçãs com dez maçãs. Concordamos que para 100% levaremos o que comparamos. Portanto, desta vez pegamos 10 maçãs para 100%:
Oito maçãs são 10−2, ou seja, reduzindo 10 maçãs por 2 maçãs, vamos reduzi-las em alguma porcentagem. Para descobrir qual, vamos determinar quantos por cento de dez maçãs são duas maçãs
Subtraindo esses 20% de dez maçãs, obtemos 8 maçãs. E 8 maçãs são 10−2, ou seja, 100% e menos 20%. No total obtemos 80%
Então oito maçãs são menos de dez maçãs em 20%.
Tarefa 2. Quantos por cento são 5.000 rublos mais do que 4.000 rublos?
Decisão
Vamos levar 4000 rublos para 100%. 5.000 é mais do que 4.000 por 1.000. Então, aumentando quatro mil em mil, aumentaremos quatro mil em uma certa porcentagem. Vamos descobrir qual. Para fazer isso, determinamos qual parte mil é de quatro mil:
Vamos expressar o resultado em porcentagem:
0,25 x 100 = 25%
1000 rublos de 4000 rublos são 25%. Se você adicionar esses 25% a 4.000, receberá 5.000 rublos. Portanto, 5.000 rublos são 25% mais do que 4.000 rublos
Tarefa 3. Quantos por cento são 4.000 rublos inferiores a 5.000 rublos?
Desta vez, comparamos 4.000 com 5.000. Vamos considerar 5.000 como 100%. Cinco mil mais de quatro mil por mil rublos. Descubra qual parte mil é de cinco mil
Mil em cinco mil é 20%. Se subtrairmos esses 20% de 5.000 rublos, obtemos 4.000 rublos.
Portanto, 4.000 rublos são menos de 5.000 rublos em 20%
Tarefas para concentração, ligas e misturas
Suponha que houvesse um desejo de preparar algum tipo de suco. Temos água e calda de framboesa disponível.
Despeje 200 ml de água em um copo:
Adicione 50 ml de calda de framboesa e mexa o líquido resultante. Como resultado, obtemos 250 ml de suco de framboesa (200 ml de água + 50 ml de xarope = 250 ml de suco)
Que parte do suco resultante é xarope de framboesa?
O xarope de framboesa compõe o suco. Calculamos essa razão, obtemos o número 0,20. Este número indica a quantidade de xarope dissolvido no suco resultante. Vamos ligar para este número concentração de xarope.
A concentração de um soluto é a razão entre a quantidade de um soluto ou sua massa e o volume de uma solução.
A concentração é geralmente expressa em porcentagem. Vamos expressar a concentração de xarope em porcentagem:
0,20 x 100 = 20%
Assim, a concentração de xarope no suco de framboesa é de 20%.
As substâncias em solução podem ser heterogêneas. Por exemplo, vamos misturar 3 litros de água e 200 gramas de sal.
A massa de 1 litro de água é 1 kg. Então a massa de 3 litros de água será de 3 kg. Convertendo 3 kg para gramas, obtemos 3 kg = 3000 g.
Agora, em 3000 g de água, abaixamos 200 g de sal e misturamos o líquido resultante. O resultado será uma solução salina, cuja massa total será 3000 + 200, ou seja, 3200 g. Vamos encontrar a concentração de sal na solução resultante. Para fazer isso, encontramos a razão entre a massa de sal dissolvido e a massa da solução
Isto significa que ao misturar 3 litros de água e 200 g de sal, obter-se-á uma solução salina de 6,25%.
Da mesma forma, a quantidade de uma substância em uma liga ou em uma mistura pode ser determinada. Por exemplo, uma liga contém estanho com massa de 210 g e prata com massa de 90 g. Então a massa da liga será 210 + 90, ou seja, 300 g. A liga conterá estanho e prata. A porcentagem de estanho será de 70% e prata 30%
Quando duas soluções são misturadas, uma nova solução é obtida, consistindo na primeira e na segunda soluções. A nova solução pode ter uma concentração diferente da substância. Uma habilidade útil é a capacidade de resolver problemas de concentração, ligas e misturas. Em geral, o significado de tais tarefas é rastrear as mudanças que ocorrem ao misturar soluções de diferentes concentrações.
Misture dois sucos de framboesa. O primeiro suco de 250 ml contém 12,8% de xarope de framboesa. E o segundo suco com um volume de 300 ml contém 15% de xarope de framboesa. Despeje esses dois sucos em um copo grande e misture. Como resultado, obtemos um novo suco com um volume de 550 ml.
Agora vamos determinar a concentração de xarope no suco resultante. Os primeiros 250 ml de suco escorrido continham 12,8% de xarope. E 12,8% de 250 ml são 32 ml. Assim, o primeiro suco continha 32 ml de xarope.
O segundo suco escorrido de 300 ml continha 15% de calda. E 15% de 300 ml são 45 ml. Assim, o segundo suco continha 45 ml de xarope.
Adicione a quantidade de xaropes:
32ml + 45ml = 77ml
Esses 77 ml de calda estão contidos no novo suco, que tem volume de 550 ml. Determine a concentração de xarope neste suco. Para fazer isso, encontramos a proporção de 77 ml de xarope dissolvido para o volume de suco de 550 ml:
Assim, ao misturar 12,8% de suco de framboesa com um volume de 250 ml e 15% de suco de framboesa com um volume de 300 ml, obtém-se 14% de suco de framboesa com um volume de 550 ml.
Tarefa 1. Existem 3 soluções de sal marinho na água: a primeira solução contém 10% de sal, a segunda contém 15% de sal e a terceira contém 20% de sal. Misture 130 ml da primeira solução, 200 ml da segunda solução e 170 ml da terceira solução. Determine a porcentagem de sal marinho na solução resultante.
Decisão
Determine o volume da solução resultante:
130ml + 200ml + 170ml = 500ml
Como na primeira solução havia 130 × 0,10 = 13 ml de sal marinho, na segunda solução 200 × 0,15 = 30 ml de sal marinho e na terceira - 170 × 0,20 = 34 ml de sal marinho, então no resultado solução conterá 13 + 30 + 34 = 77 ml de sal marinho.
Vamos determinar a concentração de sal marinho na solução resultante. Para fazer isso, encontramos a proporção de 77 ml de sal marinho para o volume de uma solução de 500 ml
Isso significa que a solução resultante contém 15,4% de sal marinho.
Tarefa 2. Quantos gramas de água devem ser adicionados a 50 g de uma solução contendo 8% de sal para obter uma solução de 5%?
Decisão
Observe que, se a água for adicionada à solução existente, a quantidade de sal nela não será alterada. Apenas sua porcentagem mudará, pois a adição de água à solução levará a uma mudança em sua massa.
Precisamos adicionar tal quantidade de água que oito por cento do sal se torne cinco por cento.
Determine quantos gramas de sal estão contidos em 50 g de solução. Para fazer isso, encontramos 8% de 50
50 g × 0,08 = 4 g
8% de 50 gramas são 4 gramas, em outras palavras, há 4 gramas de sal para oito partes em cem. Vamos garantir que esses 4 gramas não sejam oito partes, mas cinco partes, ou seja, 5%
4 gramas - 5%
Agora sabendo que existem 4 gramas por solução a 5%, podemos encontrar a massa de toda a solução. Para isso você precisa:
4g: 5 = 0,8g
0,8 g × 100 = 80 g
80 gramas de solução é a massa na qual 4 gramas de sal cairão em 5% da solução. E para obter esses 80 gramas, você precisa adicionar 30 gramas de água aos 50 gramas originais.
Isso significa que para obter uma solução salina a 5%, você precisa adicionar 30 g de água à solução existente.
Tarefa 2. As uvas contêm 91% de umidade e as passas - 7%. Quantos quilos de uvas são necessários para produzir 21 quilos de passas?
Decisão
As uvas consistem em umidade e substância pura. Se as uvas frescas contiverem 91% de umidade, os 9% restantes serão responsáveis pela substância pura desta uva:
As passas contêm 93% de substância pura e 7% de umidade:
Observe que no processo de transformar uvas em passas, apenas a umidade dessa uva desaparece. A substância pura permanece inalterada. Depois que as uvas se transformarem em passas, as passas resultantes serão 7% de umidade e 93% de matéria pura.
Vamos determinar quanta substância pura está contida em 21 kg de passas. Para fazer isso, encontramos 93% de 21 kg
21 kg × 0,93 = 19,53 kg
Agora de volta para a primeira foto. Nossa tarefa foi determinar quantas uvas você precisa levar para obter 21 kg de passas. Uma substância pura pesando 19,53 kg cairá em 9% das uvas:
Agora sabendo que 9% da substância pura são 19,53 kg, podemos determinar quantas uvas são necessárias para produzir 21 kg de passas. Para fazer isso, você precisa encontrar o número por sua porcentagem:
19,53 kg: 9 = 2,17 kg
2,17 kg × 100 = 217 kg
Então, para obter 21 kg de passas, você precisa ingerir 217 kg de uvas.
Tarefa 3. Em uma liga de estanho e cobre, o cobre é de 85%. Quanta liga deve ser tomada para conter 4,5 kg de estanho?
Decisão
Se o cobre for 85% na liga, os 15% restantes serão estanho:
A questão é quanta liga deve ser tomada para que contenha 4,5 estanho. Como a liga contém 15% de estanho, então 4,5 kg de estanho cairão sobre esses 15%.
E sabendo que 4,5 kg da liga são 15%, podemos determinar a massa de toda a liga. Para fazer isso, você precisa encontrar o número por sua porcentagem:
4,5 kg: 15 = 0,3 kg
0,3 kg × 100 = 30 kg
Portanto, a liga precisa ter 30 kg para que contenha 4,5 kg de estanho.
Tarefa 4. Uma certa quantidade de uma solução de ácido clorídrico a 12% foi misturada com a mesma quantidade de uma solução a 20% do mesmo ácido. Encontre a concentração do ácido clorídrico resultante.
Decisão
Vamos desenhar a primeira solução na forma de uma linha reta na figura e selecionar 12%
Como o número de soluções é o mesmo, a mesma figura pode ser desenhada lado a lado, ilustrando a segunda solução com um teor de ácido clorídrico de 20%
Temos duzentas partes de uma solução (100% + 100%), trinta e duas partes das quais são ácido clorídrico (12% + 20%)
Determine que parte 32 partes são de 200 partes
Isso significa que ao misturar uma solução de ácido clorídrico a 12% com a mesma quantidade de uma solução a 20% do mesmo ácido, será obtida uma solução de ácido clorídrico a 16%.
Para verificar, imagine que a massa da primeira solução foi de 2 kg. A massa da segunda solução também será de 2 kg. Então, ao misturar essas soluções, serão obtidos 4 kg de solução. Na primeira solução de ácido clorídrico, havia 2 × 0,12 = 0,24 kg e na segunda - 2 × 0,20 = 0,40 kg. Então, na nova solução de ácido clorídrico, haverá 0,24 + 0,40 \u003d 0,64 kg. A concentração de ácido clorídrico será de 16%
Tarefas para solução independente
em , encontraremos 60% do número
Agora vamos aumentar o número pelos 60% encontrados, ou seja por número
Responda: o novo valor é
Tarefa 12. Responda às seguintes perguntas:
1) Gastou 80% do valor. Que porcentagem desse valor resta?
2) Os homens representam 75% de todos os trabalhadores da fábrica. Que porcentagem dos funcionários da fábrica são mulheres?
3) As meninas representam 40% da turma. Que porcentagem da classe são meninos?
MAS Decisão
Vamos usar uma variável. Deixe ser P Este é o número original mencionado no problema. Vamos pegar este número original P para 100%
Diminua este número original P em 50%
O novo número é agora 50% do número original. Descubra quantas vezes o número original P mais do que o novo número. Para fazer isso, encontramos a razão de 100% para 50%
O número original é o dobro do novo. Isso pode ser visto até mesmo na imagem. E para tornar o novo número igual ao original, ele deve ser duplicado. E dobrar o número significa aumentá-lo em 100%.
Isso significa que o novo número, que é metade do número original, deve ser aumentado em 100%.
Considerando o novo número, também é considerado 100%. Assim, na figura acima, o novo número é metade do número original e é assinado como 50%. Em relação ao número original, o novo número é metade. Mas se o considerarmos separadamente do original, deve ser tomado como 100%.
Portanto, na figura, o novo número, que é representado por uma linha, foi inicialmente designado como 50%. Mas então designamos esse número como 100%.
Responda: para obter o número original, o novo número deve ser aumentado em 100%.
Problema 16. No mês passado houve 15 acidentes na cidade.
Este mês, este número caiu para 6. Em que percentagem diminuiu o número de acidentes rodoviários?
Decisão
Foram 15 acidentes no mês passado. Este mês, 6. Então o número de acidentes diminuiu 9.
Vamos tomar 15 acidentes como 100%. Ao reduzir 15 acidentes em 9, vamos reduzi-los em um certo número de por cento. Para descobrir qual, descobrimos que parte de 9 acidentes é de 15 acidentes
Responda: a concentração da solução resultante é de 12%.
Problema 18. Uma certa quantidade de uma solução a 11% de uma certa substância foi misturada com a mesma quantidade de uma solução a 19% da mesma substância. Encontre a concentração da solução resultante.
Decisão
A massa das duas soluções é a mesma. Cada solução pode ser tomada como 100%. Após a adição das soluções, obter-se-á uma solução de 200%. Na primeira solução havia 11% da substância e na segunda 19% da substância. Então, na solução de 200% resultante haverá 11% + 19% = 30% da substância.
Determine a concentração da solução resultante. Para fazer isso, descobrimos que parte trinta partes de uma substância compõem duzentas partes de uma substância:
1,10. Assim, o preço para o primeiro mês será 1,10.
Pelo segundo mês, o preço também aumentou 10%. Adicionamos dez por cento desse preço ao preço atual de 1,10, obtemos 1,10 + 0,10 × 1,10 . Esta soma é igual à expressão 1,21 . Assim, o preço para o segundo mês será 1,21.
Pelo terceiro mês, o preço também aumentou 10%. Vamos adicionar dez por cento desse preço ao preço atual de 1,21, obtemos 1,21 + 0,10 × 1,21. Esta soma é igual à expressão 1,331 . Então o preço do terceiro mês será 1,331.
Calcule a diferença entre o preço novo e o antigo. Se o preço original era igual a 1, então aumentou 1,331 − 1 = 0,331. Expressando esse resultado em porcentagem, obtemos 0,331 × 100 = 33,1%
Responda: durante 3 meses, os preços dos alimentos aumentaram 33,1%.
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No último tutorial em vídeo, consideramos resolver problemas de porcentagem usando proporções. Então, de acordo com a condição do problema, precisávamos encontrar o valor de uma ou outra quantidade.
Desta vez, os valores iniciais e finais já nos são dados. Portanto, nas tarefas, será necessário encontrar porcentagens. Mais precisamente, em que porcentagem este ou aquele valor mudou. Vamos tentar.
Tarefa. Os tênis custam 3200 rublos. Após o aumento de preço, eles começaram a custar 4.000 rublos. Em que porcentagem o preço dos tênis aumentou?
Então, resolvemos por proporção. O primeiro passo - o preço original era igual a 3200 rublos. Portanto, 3200 rublos é 100%.
Além disso, recebemos o preço final - 4.000 rublos. Esta é uma porcentagem desconhecida, então vamos denotar como x . Obtemos a seguinte construção:
3200 — 100%
4000 - x%
Bem, a condição do problema está escrita. Fazemos uma proporção:
A fração da esquerda é perfeitamente reduzida em 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Além disso, você pode reduzir em 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Obtemos a seguinte proporção:
Vamos usar a propriedade básica da proporção: o produto dos termos extremos é igual ao produto dos médios. Nós temos:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Esta é a equação linear usual. A partir daqui encontramos x:
x=1000:8=125
Então, temos a porcentagem final x = 125. Mas o número 125 é a solução para o problema? De jeito nenhum! Porque a tarefa exige que você descubra em qual porcentagem o preço dos tênis aumentou.
Por quantos por cento - isso significa que precisamos encontrar uma mudança:
∆ = 125 − 100 = 25
Conseguimos 25% - esse foi o aumento do preço original. Esta é a resposta: 25.
Problema B2 para juros nº 2
Vamos para a segunda tarefa.
Tarefa. A camisa custou 1800 rublos. Após a redução de preço, começou a custar 1530 rublos. Em que porcentagem o preço da camisa foi reduzido?
Traduzimos a condição em linguagem matemática. O preço inicial de 1800 rublos é de 100%. E o preço final é de 1530 rublos - sabemos disso, mas não se sabe quantos por cento é do valor original. Portanto, denotamos por x. Obtemos a seguinte construção:
1800 — 100%
1530 - x%
Com base no registro resultante, fazemos a proporção:
Vamos dividir ambos os lados desta equação por 100 para simplificar mais cálculos, ou seja, riscamos dois zeros no numerador das frações da esquerda e da direita. Nós temos:
Agora vamos usar a propriedade básica da proporção novamente: o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos médios.
18x = 15301;
18x = 1530.
Resta encontrar x:
x = 1530: 18 = (765 2): (9 2) = 765: 9 = (720 + 45): 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Obtemos que x = 85. Mas, como no problema anterior, esse número em si não é a resposta. Voltemos à nossa condição. Agora sabemos que o novo preço após o corte é 85% do preço antigo. E para encontrar as alterações, você precisa do preço antigo, ou seja, 100%, subtraia o novo preço, ou seja, 85%. Nós temos:
∆ = 100 − 85 = 15
Este número será a resposta: Por favor, note: exatamente 15, e em nenhum caso 85. Isso é tudo! Problema resolvido.
Os alunos atentos certamente perguntarão: por que na primeira tarefa, ao encontrar a diferença, subtraímos o número inicial do número final, e na segunda tarefa fizemos exatamente o contrário: dos 100% iniciais subtraímos os 85% finais?
Vamos esclarecer isso. Formalmente, em matemática, a mudança de valor é sempre a diferença entre o valor final e o inicial. Em outras palavras, no segundo problema, deveríamos ter obtido não 15, mas -15.
No entanto, em nenhum caso esse menos deve ser incluído na resposta, porque já foi levado em consideração na condição do problema original. Diz ali mesmo sobre a redução de preço. Uma redução de preço de 15% é o mesmo que um aumento de preço de -15%. É por isso que na solução e resposta do problema basta escrever apenas 15 - sem desvantagens.
Tudo, eu espero, com este momento nós entendemos. Isso conclui nossa lição de hoje. Vejo você em breve!
Hoje, no mundo moderno, é impossível prescindir dos juros. Ainda na escola, a partir da 5ª série, as crianças aprendem esse conceito e resolvem problemas com esse valor. O interesse é encontrado em todas as áreas das estruturas modernas. Tomemos, por exemplo, bancos: o valor do pagamento a maior do empréstimo depende do valor especificado no contrato; a dimensão do lucro também é afetada, portanto, é vital saber o que é uma porcentagem.
O conceito de interesse
De acordo com uma lenda, a porcentagem apareceu devido a um erro de digitação bobo. O compositor deveria definir o número 100, mas misturou e colocou assim: 010. Isso fez com que o primeiro zero subisse um pouco e o segundo caísse. A unidade tornou-se uma barra invertida. Tais manipulações levaram ao aparecimento do sinal de porcentagem. Claro, existem outras lendas sobre a origem desse valor.
Os hindus sabiam sobre porcentagens já no século V. Na Europa, com a qual nosso conceito está intimamente interligado, surgiu depois de um milênio. Pela primeira vez no Velho Mundo, o julgamento do que é uma porcentagem foi introduzido por um cientista da Bélgica, Simon Stevin. Em 1584, uma tabela de magnitudes foi publicada pela primeira vez pelo mesmo cientista.
A palavra "por cento" tem origem no latim como pro centum. Se você traduzir a frase, obterá "de cem". Assim, uma porcentagem é entendida como um centésimo de um valor, um número. Este valor é indicado pelo sinal%.
Graças às porcentagens, tornou-se possível comparar partes de um todo sem muita dificuldade. O aparecimento de ações simplificou muito os cálculos, razão pela qual se tornaram tão comuns.
Convertendo frações em porcentagens
Para converter uma fração decimal em porcentagem, você pode precisar da chamada fórmula de porcentagem: a fração é multiplicada por 100,% é adicionada ao resultado.
Se você precisar converter uma fração comum em uma porcentagem, primeiro você precisa torná-la um decimal e depois usar a fórmula acima.
Convertendo porcentagens em frações
Como tal, a fórmula percentual é bastante arbitrária. Mas você precisa saber como converter esse valor em uma expressão fracionária. Para converter ações (porcentagens) em frações decimais, você precisa remover o sinal% e dividir o indicador por 100.
A fórmula para calcular a porcentagem de um número
1) 40 x 30 = 1200.
2) 1200: 100 = 12 (alunos).
Resposta: o trabalho de controle em "5" foi escrito por 12 alunos.
Você pode usar a tabela pronta, que mostra algumas frações e porcentagens que correspondem a elas.
Acontece que a fórmula de porcentagem se parece com isso: C \u003d (A ∙ B) / 100, onde A é o número original (em um exemplo específico, igual a 40); B - o número de por cento (neste problema, B = 30%); C é o resultado desejado.
Fórmula para calcular um número a partir de uma porcentagem
A tarefa a seguir demonstrará o que é uma porcentagem e como encontrar um número a partir de uma porcentagem.
A fábrica de roupas produziu 1.200 vestidos, dos quais 32% são vestidos de estilo novo. Quantos vestidos de novo estilo a fábrica de roupas fez?
1. 1200: 100 = 12 (vestidos) - 1% de todos os itens fabricados.
2. 12 x 32 = 384 (vestidos).
Resposta: A fábrica fez 384 vestidos de novo estilo.
Se você precisar encontrar um número por sua porcentagem, poderá usar a seguinte fórmula: C \u003d (A ∙ 100) / B, onde A é o número total de itens (neste caso, A \u003d 1200); B - o número de porcentagem (em uma tarefa específica B = 32%); C é o valor desejado.
Aumentar, diminuir um número em uma determinada porcentagem
Os alunos devem aprender o que são percentagens, como contá-las e resolver vários problemas. Para fazer isso, você precisa entender como o número aumenta ou diminui em N%.
Muitas vezes, as tarefas são dadas e, na vida, você precisa descobrir a que será igual o número aumentado em uma determinada porcentagem. Por exemplo, dado o número X. Você precisa descobrir qual será o valor de X se ele for aumentado, digamos, em 40%. Primeiro você precisa converter 40% para um número fracionário (40/100). Portanto, o resultado de aumentar o número X será: X + 40% ∙ X \u003d (1 + 40 / 100) ∙ X \u003d 1,4 ∙ X. Se substituirmos qualquer número em vez de X, tome, por exemplo, 100 , a expressão inteira será igual a: 1,4 ∙ X \u003d 1,4 ∙ 100 \u003d 140.
Aproximadamente o mesmo princípio é usado ao diminuir um número por uma determinada porcentagem. É necessário realizar cálculos: X - X ∙ 40% \u003d X ∙ (1-40 / 100) \u003d 0,6 ∙ X. Se o valor for 100, então 0,6 ∙ X \u003d 0,6. 100 = 60.
Existem tarefas em que você precisa descobrir em qual porcentagem o número aumentou.
Por exemplo, dada a tarefa: O motorista estava dirigindo por um trecho da pista a uma velocidade de 80 km/h. Em outro trecho, a velocidade do trem aumentou para 100 km/h. Em que porcentagem a velocidade do trem aumentou?
Digamos que 80 km/h seja 100%. Então fazemos os cálculos: (100% ∙ 100 km/h) / 80 km/h = 1000: 8 = 125%. Acontece que 100 km/h é 125%. Para descobrir o quanto a velocidade aumentou, você precisa calcular: 125% - 100% = 25%.
Resposta: a velocidade do trem na segunda seção aumentou em 25%.
Proporção
Muitas vezes há casos em que é necessário resolver problemas de porcentagens usando uma proporção. Na verdade, este método de encontrar o resultado facilita muito a tarefa para alunos, professores e não só.
Então, o que é proporção? Este termo refere-se à igualdade de duas relações, que podem ser expressas da seguinte forma: A / B \u003d C / D.
Nos livros didáticos de matemática, existe essa regra: o produto dos termos extremos é igual ao produto da média. Isso é expresso pela seguinte fórmula: A x D = B x C.
Graças a esta formulação, qualquer número pode ser calculado se os outros três termos da proporção forem conhecidos. Por exemplo, A é um número desconhecido. Para encontrá-lo, você precisa
Ao resolver problemas pelo método da proporção, é necessário entender de qual número tirar porcentagens. Há momentos em que as ações precisam ser tiradas de valores diferentes. Comparar:
1. Após o término da venda na loja, o custo da camiseta aumentou 25% e foi de 200 rublos. Qual foi o preço durante a venda.
Nesse caso, o valor de 200 rublos corresponde a 125% do preço original (de venda) da camiseta. Então, para descobrir seu valor durante a venda, você precisa (200 x 100): 125. Você recebe 160 rublos.
2. Existem 200.000 habitantes no planeta Vitsencia: pessoas e representantes da raça humanóide Naavi. Naavi compõem 80% da população total de Vicencia. Das pessoas, 40% estão empregadas na manutenção da mina, o restante é extraído para tétânio. Quantas pessoas mineram tetânio?
Antes de tudo, você precisa encontrar em forma numérica o número de pessoas e o número de Naavi. Assim, 80% de 200.000 será igual a 160.000. Tantos representantes da raça humanóide vivem em Vicencia. O número de pessoas, respectivamente, é de 40.000. Destes, 40%, ou seja, 16.000, atendem a mina. Assim, 24.000 pessoas estão envolvidas na extração de tetânio.
Alteração múltipla de um número por uma certa porcentagem
Quando já está claro o que é uma porcentagem, você precisa estudar o conceito de mudança absoluta e relativa. Uma transformação absoluta é entendida como um aumento em um número por um número específico. Assim, X aumentou em 100. Qualquer que seja o substituto de X, esse número ainda aumentará em 100: 15 + 100; 99,9 + 100; a + 100, etc.
Uma mudança relativa é entendida como um aumento em um valor por um certo número de por cento. Digamos que X aumentou em 20%. Isso significa que X será igual a: X + X ∙ 20%. A mudança relativa está implícita sempre que falamos em meio ou terceiro aumento, um quarto de redução, um aumento de 15%, etc.
Há outro ponto importante: se o valor de X for aumentado em 20% e depois em mais 20%, como resultado, o aumento total será de 44%, mas não de 40%. Isso pode ser visto nos seguintes cálculos:
1. X + 20% ∙ X = 1,2 ∙ X
2. 1,2 ∙ X + 20% ∙ 1,2 ∙ X = 1,2 ∙ X + 0,24 ∙ X = 1,44 ∙ X
Isso mostra que X aumentou 44%.
Exemplos de tarefas para porcentagens
1. Que porcentagem do número 36 é o número 9?
De acordo com a fórmula para encontrar uma porcentagem de um número, você precisa multiplicar 9 por 100 e dividir por 36.
Resposta: O número 9 é 25% de 36.
2. Calcule o número C, que é 10% de 40.
De acordo com a fórmula para encontrar um número por sua porcentagem, você precisa multiplicar 40 por 10 e dividir o resultado por 100.
Resposta: O número 4 é 10% de 40.
3. O primeiro parceiro investiu 4.500 rublos no negócio, o segundo - 3.500 rublos, o terceiro - 2.000 rublos. Eles fizeram um lucro de 2400 rublos. Eles dividiram os lucros igualmente. Quanto em rublos o primeiro sócio perdeu em comparação com o quanto ele teria recebido se dividisse a renda de acordo com a porcentagem dos fundos investidos?
Então, juntos, eles investiram 10.000 rublos. A renda de cada um totalizou uma parte igual de 800 rublos. Para descobrir quanto o primeiro sócio deveria ter recebido e quanto ele perdeu, respectivamente, você precisa descobrir a porcentagem dos fundos investidos. Então você precisa descobrir quanto lucro essa contribuição gera em rublos. E a última coisa é subtrair 800 rublos do resultado.
Resposta: o primeiro parceiro perdeu 280 rublos ao compartilhar os lucros.
Um pouco de economia
Hoje, uma questão bastante popular é a emissão de um empréstimo por um determinado período. Mas como escolher um empréstimo lucrativo para não pagar a mais? Primeiro, você precisa olhar para a taxa de juros. É desejável que este indicador seja o mais baixo possível. Então você deve solicitar um empréstimo.
Como regra, o tamanho do pagamento em excesso é afetado pelo valor da dívida, pela taxa de juros e pelo método de pagamento. Há anuidade e No primeiro caso, o empréstimo é pago em parcelas iguais todos os meses. Imediatamente, o valor que cobre o empréstimo principal cresce e o custo dos juros diminui gradualmente. No segundo caso, o mutuário paga valores fixos para amortizar o empréstimo, aos quais são acrescidos juros sobre o saldo da dívida principal. Mensalmente, o valor total dos pagamentos diminuirá.
Agora você precisa considerar os dois métodos, então, com a opção de anuidade, o valor do pagamento a maior será maior, e com a opção diferencial, o valor dos primeiros pagamentos. Naturalmente, os termos do empréstimo são os mesmos para ambos os casos.
Conclusão
Então, interesse. Como contá-los? Simples o suficiente. No entanto, às vezes eles podem ser problemáticos. Este tema começa a ser estudado na escola, mas alcança todos na área de empréstimos, depósitos, impostos, etc. Por isso, é aconselhável mergulhar na essência desse assunto. Se você ainda não consegue fazer cálculos, existem muitas calculadoras online que o ajudarão a lidar com a tarefa.
O conceito de porcentagem ocorre com muita frequência em nossas vidas, por isso é muito importante saber como resolver problemas com porcentagens. Em princípio, isso não é uma questão difícil, o principal é entender o princípio de trabalhar com interesse.
O que é uma porcentagem
Operamos com o conceito de 100 por cento e, portanto, um por cento é um centésimo de um determinado número. E todos os cálculos já são baseados nessa proporção.
Por exemplo, 1% de 50 é 0,5, 15 de 700 é 7.
Como decidir
- Sabendo que um por cento é um centésimo do número apresentado, você pode encontrar qualquer número de porcentagens necessárias. Para ficar mais claro, vamos tentar encontrar 6% do número 800. Isso é feito de forma simples.
- Primeiro encontramos um por cento. Para fazer isso, divida 800 por 100. Acontece 8.
- Agora, multiplicamos esse mesmo um por cento, ou seja, 8, pelo número de por cento que precisamos, ou seja, por 6. Acabou sendo 48.
- Corrija o resultado por repetição.
15% de 150. Solução: 150/100*15=22.
28% de 1582. Solução: 1582/100*28=442.
- Existem outros problemas quando você recebe valores e você precisa encontrar porcentagens. Por exemplo, você sabe que existem 5 rosas escarlates de 75 rosas brancas na loja, e você precisa saber qual a porcentagem de rosas escarlates. Se não soubermos essa porcentagem, a denotaremos como x.
Existe uma fórmula para isso: 75 - 100%
Nesta fórmula, os números são multiplicados cruz a cruz, ou seja, x \u003d 5 * 100/75. Acontece que x \u003d 6% Portanto, a porcentagem de rosas escarlates é de 6%.
- Há outro tipo de problema para porcentagens, quando você precisa descobrir por qual porcentagem um número é maior ou menor que outro. Como resolver problemas com porcentagens neste caso?
Há 30 alunos na classe, 16 deles são meninos. A questão é quantos por cento dos meninos são mais do que as meninas. Primeiro você precisa calcular qual porcentagem de alunos são meninos, então você precisa descobrir qual porcentagem de meninas. E finalmente encontrar a diferença.
Então vamos começar. Fazemos uma proporção de 30 contas. - 100%
16 contas -X%
Agora contamos. X=16*100/30, x=53,4% de todos os alunos da turma são meninos.
Agora encontre a porcentagem de meninas na mesma classe. 100-53,4=46,6%
Resta agora apenas encontrar a diferença. 53,4-46,6=6,8%. Resposta: há mais meninos do que meninas em 6,8%.
Pontos-chave na resolução de juros
Então, para que você não tenha problemas em como resolver problemas de porcentagens, lembre-se de algumas regras básicas:
- Para não se confundir em problemas com porcentagens, fique sempre atento: passe de valores específicos para porcentagens e vice-versa, se necessário. O principal é nunca confundir um com o outro.
- Tenha cuidado ao calcular porcentagens. É importante saber a partir de qual valor específico você precisa contar. Para alterações sucessivas de valores, a porcentagem é calculada a partir do último valor.
- Antes de escrever a resposta, leia todo o problema novamente, pois pode ser que você tenha encontrado apenas uma resposta intermediária e precise realizar mais uma ou duas ações.
Assim, resolver problemas com porcentagens não é uma questão tão difícil, o principal é a atenção e a precisão, como, de fato, em toda a matemática. E não se esqueça que a prática é necessária para melhorar qualquer habilidade. Portanto, decida mais, e tudo ficará bem ou até excelente para você.
1% é um centésimo de um número.1% = 0,01.
Encontrar porcentagens de um número.
Para encontrar uma porcentagem de um número, você pode representar a porcentagem como uma fração decimal e multiplicar o número pela fração decimal resultante.
Encontrar um número por sua porcentagem.
Para encontrar um número por sua porcentagem, você pode representar a porcentagem como uma fração decimal e dividir esse número pela fração decimal resultante.
Para descobrir quantos por cento um número é de outro, você pode dividir um número por outro e multiplicar o produto resultante por 100.
Como resolver problemas de porcentagem. Exemplos.
Encontrar uma porcentagem de um número está relacionado a encontrar uma fração de um número. Juros é uma maneira especial de escrever uma fração ordinária, então você deve começar a revelar o significado do conceito de juros a partir da compreensão do conceito de fração ordinária.
Vamos pegar algumas frações comuns, por exemplo. Qual é o significado de cada uma dessas entradas?
Estes são exemplos de frações regulares. O denominador de cada um deles mostra em quantas partes iguais um determinado objeto real ou abstrato precisa ser dividido, o numerador mostra quantas partes precisam ser tomadas. Vamos tomar uma fração regular como exemplo. Por exemplo. O significado desta expressão pode ser revelado da seguinte forma. Algum objeto real foi dividido em 3 partes iguais e 2 partes foram retiradas deles.
Como um objeto real, você pode tomar, por exemplo, um retângulo.
Esta expressão é o quociente de a e b, onde b não é igual a 0.
Esta é a razão entre os números a e b, onde b não é igual a 0.
Esta é uma fração ordinária. a é o numerador, b é o denominador (b não é igual a 0).
Exemplo 1 A capacidade do barril era de 200 litros e os barris estavam cheios de água. Qual é o significado desta proposta?
- esta fração significa que um determinado objeto foi dividido em 5 partes iguais e delas foram retiradas 2 partes. O objeto neste problema é o volume do barril igual a 200 litros, portanto,
200:5 = 40,
402 = 80.
80 litros de água foram despejados em um barril.
O exemplo acima é um exemplo típico de encontrar uma fração de um número.
Para encontrar uma fração de um número, você precisa multiplicar o número por essa fração.
Agora podemos passar para porcentagens.
O conceito de porcentagem é definido da seguinte forma: 1% de um número é um centésimo de um número, ou seja, 1% \u003d 0,01.
Então o significado da frase a% do número b pode ser explicado assim. Algum objeto (cujo valor é igual a b unidades) divididas em 100 partes iguais e retiradas delas uma partes.
Exemplo 2 Masha tinha 400 rublos. Ela gastou 24% desse valor. Qual é o significado deste ditado?
Como 24% \u003d 0,24 e 0,24 significa que um determinado objeto foi dividido em 100 partes iguais e 24 partes foram retiradas deles. Nesse caso, o objeto é a quantidade de dinheiro igual a 400 rublos, portanto,
400: 100 =4,
424 = 96.
Masha gastou 96 rublos.
O exemplo acima é um exemplo típico de encontrar porcentagens de um número.
Exemplo 3 Precisa encontrar R%
do número b
.
Seja x o número que precisamos encontrar.
p%
= 0,01p,
x = b
0,01p
Para encontrar porcentagens de um número, você precisa representar o número de porcentagens como uma fração decimal e multiplicar o número fornecido por essa fração decimal.
Outra abordagem para este problema. Você pode usar o conceito e as propriedades de proporção. Se lembrarmos que a proporção é a igualdade de duas razões e a razão de dois números é uma fração ordinária, esse método também está associado ao conceito de uma fração ordinária.
b - 100%,
x - p%,
Temos uma proporção:
b: 100 = x: p, (b está para 100 como x está para p) de onde,
Exemplo 4 Sejam números uma e b , além disso, uma >b Então o número uma mais número b no %.
Vamos abordar este problema um pouco diferente. Consideraremos um caso especial simples, por exemplo, este: "Quantos por cento o número 10 é maior que o número 2?".
1. Subtraia o número menor do número maior. 10 - 2 = 8. Então 10 é maior que 2 por 8.
2. Encontre a razão entre o número encontrado e um número menor. 8:2=4 é a razão de dois números!
3 Expressamos a razão como uma porcentagem 4100 = 400%.
O número 10 é maior que o número 2 em 400%.
Se dividirmos 8 por 10, encontraremos uma razão que mostra quanto de 10 2 é menor que 10 (aqui a comparação é com o número 10.
O número 2 é menor que o número 10 em 80%.
Exemplo 5 O tratorista lavou 6 hectares, que é de todo o campo. Qual é a área de todo o campo.
Este é um problema típico de encontrar um número por sua fração. Seja a área de todo o campo x,
então temos a equação x= 6. De onde x = 6:; x = 26. A área do campo é de 26 ha.
Para encontrar um número por sua fração, você precisa dividir o número correspondente à fração dada pela fração.
Exemplo 6 . Dado um número b, qual é p% do número uma. Encontrar um número uma.
p%
= 0,01p
b
= 0,01pa
a = b: (0,01p)
Dado um número b , qual é p% do número uma .
Encontrar um número uma .
a - 100%
b-p%
a:100 = b:p
Fórmula de juros compostos.
Se o depósito tiver um valor uma unidades monetárias e os encargos bancários R%
por ano, depois por n
anos, o valor do depósito será em unidades monetárias, ou
a(1+0,01p)n
unidades monetárias.
Exemplo 7 A construção da casa custou 9.800 rublos, dos quais 35% foram pagos pelo trabalho e o restante foi pago pelo material. Quanto custou os materiais?
Trabalho pago:
0,359800 = 3430.
Portanto, o custo dos materiais: 9800 - 3430 = 6370.
Resposta: 6370 rublos.
Exemplo 8 37,4 toneladas de gasolina foram despejadas no tanque, após o que 6,5% da capacidade do tanque permaneceu vazio. Quanta gasolina deve ser adicionada ao tanque para enchê-lo?
Se a parte não cheia do tanque for 6,5% da capacidade, então a parte cheia será: 100% - 6,5% = 93,5%. Então, se x é a massa de gasolina que resta para ser adicionada ao tanque, então temos a proporção
Onde 
.
Resposta: 2,6 toneladas.
Exemplo 9 Encontre um número sabendo que 25% dele é 45% de 640.
Seja x o número desejado. Nós temos
0,25x = 0,45640.
Resposta: 1152.
Exemplo 10 O número a é 92% do número b. Se o número b for aumentado em 700, então o novo número será 9% maior que o número a. Encontre os números a e b.
Da condição do problema temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema resultante, encontramos, a = 230.000, b = 250.000.
Resposta: 230.000; 250.000.
Exemplo 11. O primeiro número é 50% do segundo. Que porcentagem do primeiro é o segundo?
Vamos denotar o segundo número por x, então o primeiro número é igual a 0,5x. Para descobrir qual porcentagem é o número x do número 0,5x; Vamos fazer uma proporção:
do qual encontramos
Resposta: 200%.
Exemplo 12. Há 260 alunos no liceu, dos quais 10% são reprovados. Após a expulsão de um certo número de maus desempenhos, a sua percentagem caiu para 6,4%. Quantos alunos desistiram?
Antes da expulsão, o número de pessoas com baixo desempenho antes da expulsão era individual
Deixe x pessoas serem expulsas. Então, no total, 260 alunos permaneceram no liceu, dos quais 26 não tiveram sucesso. Temos uma proporção
260 - x - 100%,
(260 - x)0,064=(26 - x)100,
Resolvendo a equação resultante, encontramos x = 10.
Exemplo 13 Em que porcentagem 250 é maior que 200?
Vamos fazer duas coisas.
1) Descobrimos quanto por cento é o número 250 toneladas do número 200:
2) Como o número 200 neste exemplo é 100%, o número 250 é maior que o número 200 em 125% -100% = 25%.
Resposta: 25%.
Exemplo 14 Que porcentagem é 200 menor que 250?
1) Descubra quantos por cento o número 200 é do número 250 (ao contrário do exemplo anterior, aqui você precisa tomar o número 250 como 100%!):
2) O número 200 é menor que o número 250 em 100% - 80% = 20%.
Resposta: 20%.
Exemplo 15 O comprimento do tijolo foi aumentado em 30%, a largura em 20% e a altura foi reduzida em 40%. O volume de tijolos aumentou ou diminuiu a partir disso e em que porcentagem?
Seja o comprimento original do tijolo x, largura - y, altura - z. Então o volume inicial do tijolo: V 1 = xyz. Novos tamanhos de tijolos: 1,3x; 1,2 ano; 0,6z e novo volume: V 2 \u003d 1,3x1,2y0,6z \u003d 0,936xyz. Desde V2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.
Resposta: diminuiu 6,4%.
Exemplo 16 O preço de uma mercadoria caiu 40%, depois outros 25%. Em que porcentagem o preço do produto diminuiu em relação ao preço original?
Seja x o preço original do produto. Após a primeira redução, o preço será igual a
x - 0, 4x = 0,6x.
A segunda redução de preço é de 25% do novo preço de 0,6x, então após a segunda redução teremos o preço
0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.
Após duas quedas, a variação total do preço é:
x - 0,45x = 0,55x.
Como o valor é 0,55x; é 55% de x, então o preço do bem diminuiu 55%.
Resposta: 55%.
Exemplo 17. O custo inicial de uma unidade de produção foi de 75 rublos. Durante o primeiro ano de produção, aumentou em um certo número de por cento e durante o segundo ano diminuiu (em relação ao valor aumentado) no mesmo número de por cento, como resultado, tornou-se igual a 72 rublos. Determine a porcentagem de aumento e diminuição no custo de uma unidade de produção.
Seja x% o aumento percentual (e diminuição) no custo de uma unidade de produção. Por definição, x% de 75 é 750,01x. Então, após o primeiro aumento, o preço será igual a 75 + 0,75x.
Durante o segundo ano, o preço diminuirá em
0,01x(75+0,75x) = 0,75x + 0,0075x2.
Agora podemos escrever a equação para o preço final
(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;
x 2 \u003d 400; portanto x 1 = - 20, x 2 = 20.
Apenas uma raiz desta equação é adequada: x 2 \u003d 20.
Resposta: 20%.
Exemplo 18. 10 mil rublos foram depositados na conta bancária. Depois que o dinheiro ficou por um ano, 1 mil rublos foram retirados da conta. Um ano depois, a conta era de 11 mil rublos. Determine qual porcentagem por ano o banco cobra.
Deixe o banco cobrar p% ao ano.
1) O valor de 10.000 rublos, depositado em uma conta bancária a p% ao ano, em um ano aumentará para o valor
10.000 + 0,01p10.000 = 10.000 + 100 esfregar.
Quando 1000 rublos são retirados da conta, 9000 + 100 rublos permanecerão lá.
2) Em outro ano, o último valor aumentará para 9000 + 100r + 0,01p (9000 + 100r) = r 2 + 190r + 9000 rublos devido ao acúmulo de juros.
Por condição, esse valor é igual a 11.000 rublos, então temos uma equação quadrática.
p2 + 190r + 9000 = 11000;
r 2 + 190r - 2000 = 0
, resolvemos essa equação quadrática usando o teorema de Viette, p 1 \u003d 10, p 2 \u003d -200.
A raiz negativa não é adequada.
Resposta: 10%.
Exemplo 19. A cidade tem atualmente 48.400 habitantes. Sabe-se que a população desta cidade aumenta anualmente em 10%. Quantos habitantes havia na cidade há dois anos?
Suponha que há dois anos o número de habitantes da cidade fosse x pessoas, então o número de habitantes é atualmente expresso através de x usando a fórmula de juros compostos:
x(1+0,1) 2 = 1,21x.
Do enunciado do problema:
Resposta: 40.000 pessoas.
