Dizem que você pode dividir por zero se determinar o resultado da divisão por zero. Só precisa expandir a álgebra. Por uma estranha coincidência, não é possível encontrar pelo menos alguns, mas mais compreensíveis e simples, exemplo de tal extensão. Para consertar a Internet, você precisa de uma demonstração de um dos métodos para essa extensão ou de uma descrição do motivo pelo qual isso não é possível.

O artigo é escrito na continuação da tendência:

Isenção de responsabilidade

O objetivo deste artigo é explicar em "linguagem humana" como funcionam os fundamentos fundamentais da matemática, estruturar o conhecimento e restaurar as relações de causa e efeito perdidas entre as seções da matemática. Todos os argumentos são filosóficos, em termos de julgamentos divergem dos geralmente aceitos (portanto, não pretende ser matematicamente rigoroso). O artigo é projetado para o nível do leitor "passou a torre há muitos anos".

Compreender os princípios da aritmética, álgebra elementar, geral e linear, análise matemática e não-padrão, teoria dos conjuntos, topologia geral, geometria projetiva e afim é desejável, mas não obrigatório.

Durante os experimentos, nem um único infinito foi afetado.

Prólogo

Ir “além” é um processo natural de busca de novos conhecimentos. Mas nem toda busca traz novos conhecimentos e, portanto, benefícios.

1. Em geral, tudo já foi dividido para nós!

1.1 Extensão afim da reta numérica

Vamos começar onde provavelmente todos os aventureiros começam ao dividir por zero. Relembre o gráfico da função .

À esquerda e à direita do zero, a função vai em diferentes direções de "não-existência". No ponto zero, geralmente há um “redemoinho” e nada é visível.

Em vez de nos jogarmos de cabeça na "piscina", vamos ver o que entra e o que sai dali. Para fazer isso, usamos o limite - a principal ferramenta de análise matemática. O principal "truque" é que o limite permite que você vá até um determinado ponto o mais próximo possível, mas não "pise nele". Tal “cerca” em frente ao “redemoinho”.

Original

Ok, a "cerca" foi colocada. Já não é tão assustador. Temos dois caminhos para o "redemoinho". Vamos para a esquerda - uma descida íngreme, para a direita - uma subida íngreme. Não importa o quanto você vá para a “cerca”, ela não se aproxima. Não há como cruzar a "inexistência" inferior e superior. Surgem suspeitas, talvez estejamos andando em círculos? Embora não, os números estão mudando, então não em círculo. Vamos vasculhar no baú com as ferramentas de análise matemática ainda. Além dos limites com "cerca", o kit vem com infinito positivo e negativo. Os valores são completamente abstratos (não são números), bem formalizados e prontos para uso! Isso nos convém. Vamos complementar nosso "ser" (o conjunto dos números reais) com dois infinitos com sinal.

Linguagem matemática:

É essa extensão que permite pegar o limite quando o argumento tende ao infinito e obter infinito como resultado de tomar o limite.

Existem dois ramos da matemática que descrevem a mesma coisa usando terminologia diferente.

Para resumir:

em resíduo seco. As velhas abordagens não funcionam mais. A complexidade do sistema, na forma de um monte de “ifs”, “for all but”, etc., aumentou. Tínhamos apenas duas incertezas 1/0 e 0/0 (não consideramos as operações de potência), então eram cinco. A divulgação de uma incerteza deu origem a ainda mais incertezas.

1.2 Roda

Tudo não parou na introdução do infinito sem sinal. Para sair da incerteza, você precisa de um segundo fôlego.

Assim, temos um conjunto de números reais e duas incertezas 1/0 e 0/0. Para eliminar o primeiro, realizamos uma extensão projetiva da linha real (ou seja, introduzimos o infinito sem sinal). Vamos tentar lidar com a segunda incerteza da forma 0/0. Vamos fazer o mesmo. Vamos complementar o conjunto de números com um novo elemento representando a segunda incerteza.

A definição de divisão é baseada na multiplicação. Não nos convém. Vamos desvincular as operações umas das outras, mas manter o comportamento usual para números reais. Vamos definir uma operação de divisão unária, denotada por "/".

Vamos definir as operações.

Essa estrutura é chamada de "Roda". O termo foi tomado devido à semelhança com o quadro topológico da extensão projetiva da reta real e do ponto 0/0.

Tudo parece bom, mas o diabo está nos detalhes:

Para regularizar todas as características, além de ampliar o conjunto de elementos, acrescenta-se um bônus na forma de não uma, mas duas identidades que descrevem a lei distributiva.

Linguagem matemática:

Do ponto de vista da álgebra geral, operamos no campo. E no campo, como você sabe, apenas duas operações são definidas (adição e multiplicação). O conceito de divisão é derivado através do inverso e, se ainda mais profundo, de elementos únicos. As mudanças feitas transformam nosso sistema algébrico em um monóide tanto na adição (com o zero como elemento neutro) quanto na multiplicação (com a unidade como elemento neutro).

Nas obras dos descobridores, os símbolos ∞ e ⊥ nem sempre são usados. Em vez disso, você pode ver a entrada no formato /0 e 0/0.

O mundo não é mais tão bonito, não é? Ainda assim, não se apresse. Vamos verificar se as novas identidades da lei distributiva irão lidar com nosso conjunto estendido .

Desta vez o resultado é muito melhor.

Para resumir:

em resíduo seco. Álgebra funciona muito bem. No entanto, tomou-se como base o conceito de “não definido”, que passou a ser considerado como algo existente e a operar com ele. Um dia alguém vai dizer que está tudo ruim e você precisa quebrar esse “não definido” em vários outros “não definidos”, mas menores... A álgebra geral dirá: “Sem problemas, mano!”.
É assim que as unidades imaginárias adicionais (j e k) em quatérnions são postuladas Adicione tags

Uma proibição estrita da divisão por zero é imposta mesmo nas séries mais baixas da escola. As crianças geralmente não pensam em suas razões, mas, na verdade, saber por que algo é proibido é interessante e útil.

Operaçoes aritimeticas

As operações aritméticas que são estudadas na escola são desiguais do ponto de vista dos matemáticos. Eles reconhecem como de pleno direito apenas duas dessas operações - adição e multiplicação. Eles estão incluídos no próprio conceito de número, e todas as outras operações com números são de alguma forma construídas sobre esses dois. Ou seja, não só a divisão por zero é impossível, mas a divisão em geral.

Subtração e divisão

O que está faltando no restante das atividades? Mais uma vez, sabe-se da escola que, por exemplo, subtrair quatro de sete significa pegar sete doces, comer quatro deles e contar os que sobrarem. Mas os matemáticos que comem doces geralmente os percebem de uma maneira completamente diferente. Para eles, há apenas adição, ou seja, a entrada 7 - 4 significa um número que, no total com o número 4, será igual a 7. Ou seja, para os matemáticos, 7 - 4 é um pequeno registro da equação : x + 4 = 7. Isso não é uma subtração, mas uma tarefa Encontre o número para substituir x.

O mesmo se aplica à divisão e multiplicação. Dividindo dez por dois, o aluno do ensino fundamental organiza dez doces em duas pilhas idênticas. O matemático também vê a equação aqui: 2 x = 10.

Então acontece porque a divisão por zero é proibida: é simplesmente impossível. Registro 6: 0 deve virar a equação 0 x = 6. Ou seja, você precisa encontrar um número que possa ser multiplicado por zero e obter 6. Mas sabe-se que a multiplicação por zero sempre dá zero. Esta é a propriedade essencial do zero.

Assim, não existe tal número, que, multiplicado por zero, daria algum número diferente de zero. Isso significa que essa equação não tem solução, não existe tal número que se correlacione com a notação 6:0, ou seja, não faz sentido. Sobre sua falta de sentido e dizem quando proíbem a divisão por zero.

Zero divide por zero?

Zero pode ser dividido por zero? A equação 0 x = 0 não causa dificuldades, e você pode tomar esse mesmo zero para x e obter 0 x 0 = 0. Então 0: 0 = 0? Mas, se, por exemplo, tomarmos um para x, também obteremos 0 1 = 0. Você pode pegar qualquer número que quiser para x e dividir por zero, e o resultado permanecerá o mesmo: 0: 0 = 9, 0 : 0 = 51, e assim Mais.

Assim, absolutamente qualquer número pode ser inserido nessa equação, sendo impossível escolher qualquer um específico, é impossível determinar qual número é indicado pela notação 0:0. Ou seja, essa notação também não faz sentido, e a divisão por zero ainda é impossível: nem mesmo é divisível por si mesma.

Esta é uma característica importante da operação de divisão, ou seja, a multiplicação e o número zero associado a ela.

A questão permanece: mas pode ser subtraído? Podemos dizer que a matemática real começa com esta questão interessante. Para encontrar a resposta, você precisa conhecer as definições matemáticas formais dos conjuntos numéricos e se familiarizar com as operações sobre eles. Por exemplo, não existem apenas os simples, mas também cuja divisão difere da divisão dos comuns. Isso não está incluído no currículo escolar, mas as aulas universitárias de matemática começam com isso.

De fato, a história da divisão por zero assombrou seus inventores (a). Mas os indianos são filósofos acostumados a problemas abstratos. O que significa dividir por nada? Para os europeus da época, tal questão não existia, pois eles não sabiam sobre zero ou números negativos (que estão à esquerda do zero na escala).

Na Índia, subtrair um número maior de um menor e obter um número negativo não era um problema. Afinal, o que significa 3-5 \u003d -2 na vida comum? Isso significa que alguém devia a alguém 2. Números negativos eram chamados de dívidas.

Agora vamos simplesmente lidar com a questão da divisão por zero. Em 598 dC (pense em quanto tempo atrás, mais de 1400 anos atrás!) Na Índia, nasceu o matemático Brahmagupta, que também se perguntou sobre a divisão por zero.

Ele sugeriu que, se pegarmos um limão e começarmos a cortá-lo em pedaços, mais cedo ou mais tarde chegaremos ao fato de que as fatias serão muito pequenas. Na imaginação, podemos chegar ao ponto em que os segmentos se tornam iguais a zero. Então, a questão é, se você dividir um limão não em 2, 4 ou 10 partes, mas em um número infinito de partes, qual o tamanho das fatias?

Você obterá um número infinito de "fatias zero". Tudo é bem simples, cortamos o limão bem fininho, obtemos uma poça com um número infinito de partes.

Mas se você pegar a matemática, acaba sendo de alguma forma ilógico

a*0=0? E se b*0=0? Então: a*0=b*0. E daqui: a=b. Ou seja, qualquer número é igual a qualquer número. A primeira incorreção da divisão por zero, vamos em frente. Em matemática, a divisão é considerada o inverso da multiplicação.

Isso significa que se dividirmos 4 por 2, precisamos encontrar o número que multiplicado por 2 dará 4. Divida 4 por zero - você precisa encontrar um número que, quando multiplicado por zero, dê 4. Ou seja, x * 0 \u003d 4? Mas x*0=0! Novamente azar. Então estamos perguntando: "Quantos zeros você precisa tirar para obter 4?" Infinidade? Um número infinito de zeros ainda somará zero.

E dividir 0 por 0 geralmente dá incerteza, porque 0 * x \u003d 0, onde x é qualquer coisa. Ou seja, há um número infinito de soluções.

Ilógico e abstrato operações zero não são permitidas dentro dos limites estreitos da álgebra, mais precisamente é uma operação indefinida. Ela precisa de um aparelho. mais sério - matemática superior. Então de alguma forma você não pode dividir por zero, mas se você realmente quiser, então você pode dividir por zero, mas você precisa estar pronto para entender coisas como a função delta de Dirac e outras coisas que são difíceis de perceber. Compartilhe pela saúde.

"Você não pode dividir por zero!" - a maioria dos alunos memoriza esta regra de cor, sem fazer perguntas. Todas as crianças sabem o que é “não” e o que acontecerá se você perguntar em resposta: “Por quê?” Mas, na verdade, é muito interessante e importante saber por que é impossível.

O fato é que as quatro operações da aritmética - adição, subtração, multiplicação e divisão - são na verdade desiguais. Os matemáticos reconhecem apenas dois deles como completos - adição e multiplicação. Essas operações e suas propriedades estão incluídas na própria definição do conceito de número. Todas as outras ações são construídas de uma forma ou de outra a partir dessas duas.

Considere, por exemplo, a subtração. O que significa 5 – 3 ? O aluno responderá de forma simples: você precisa pegar cinco itens, tirar (remover) três deles e ver quantos restam. Mas os matemáticos encaram esse problema de uma maneira completamente diferente. Não há subtração, apenas adição. Portanto, a entrada 5 – 3 significa um número que, quando adicionado a um número 3 vai dar o número 5 . Ou seja 5 – 3 é apenas um atalho para a equação: x + 3 = 5. Não há subtração nesta equação. Há apenas uma tarefa - encontrar um número adequado.

O mesmo acontece com a multiplicação e a divisão. Gravação 8: 4 pode ser entendido como o resultado da divisão de oito objetos em quatro pilhas iguais. Mas é realmente apenas uma forma abreviada da equação 4x = 8.

É aqui que fica claro por que é impossível (ou melhor, impossível) dividir por zero. Gravação 5: 0 é uma abreviatura de 0 x = 5. Ou seja, essa tarefa é encontrar um número que, quando multiplicado por 0 darei 5 . Mas sabemos que quando multiplicado por 0 sempre acaba 0 . Esta é uma propriedade inerente do zero, estritamente falando, parte de sua definição.

Um número que, multiplicado por 0 vai dar algo diferente de null, simplesmente não existe. Ou seja, nosso problema não tem solução. (Sim, acontece, nem todo problema tem solução.) 5: 0 não corresponde a nenhum número específico e simplesmente não representa nada e, portanto, não faz sentido. A falta de sentido desta entrada é brevemente expressa dizendo que você não pode dividir por zero.

Os leitores mais atentos a esta altura certamente perguntarão: é possível dividir zero por zero? De fato, uma vez que a equação 0 x = 0 resolvido com sucesso. Por exemplo, você pode pegar x=0, e então obtemos 0 0 = 0. Acontece que 0: 0=0 ? Mas não vamos nos apressar. Vamos tentar pegar x=1. Pegar 0 1 = 0. Certo? Meios, 0: 0 = 1 ? Mas você pode pegar qualquer número e obter 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 etc.

Mas se algum número for adequado, não temos motivos para optar por nenhum deles. Ou seja, não podemos dizer qual número corresponde à entrada 0: 0 . E se assim for, então somos obrigados a admitir que esse registro também não faz sentido. Acontece que mesmo zero não pode ser dividido por zero. (Na análise matemática, há casos em que, devido a condições adicionais do problema, pode-se dar preferência a uma das opções possíveis para resolver a equação 0 x = 0; em tais casos, os matemáticos falam de "revelação de indeterminação", mas em aritmética tais casos não ocorrem.)

Esta é a característica da operação de divisão. Para ser mais preciso, a operação de multiplicação e o número associado a ela têm zero.

Bem, o mais meticuloso, tendo lido até aqui, pode perguntar: por que é assim que você não pode dividir por zero, mas pode subtrair zero? Em certo sentido, é aqui que começa a verdadeira matemática. Ela pode ser respondida apenas familiarizando-se com as definições matemáticas formais de conjuntos numéricos e operações sobre eles. Não é tão difícil, mas por algum motivo não é estudado na escola. Mas em palestras sobre matemática na universidade, você aprenderá isso em primeiro lugar.

Os matemáticos têm um senso de humor específico e algumas questões relacionadas a cálculos não são levadas a sério há muito tempo. Nem sempre está claro se eles estão tentando explicar a você com toda a seriedade por que é impossível dividir por zero, ou isso é outra piada. Mas a questão em si não é tão óbvia, se na matemática elementar é possível chegar à sua solução puramente logicamente, então na matemática superior pode haver outras condições iniciais.

Quando o zero apareceu?

O número zero está repleto de muitos mistérios:

• Na Roma antiga, esse número não era conhecido, o sistema de referência começou com I.
• Árabes e indianos defenderam por muito tempo o direito de serem chamados de progenitores do zero.
• Estudos da cultura maia mostraram que esta antiga civilização pode muito bem ser a primeira em termos de uso do zero.
• Zero não tem valor numérico, nem mesmo um valor mínimo.
• Literalmente não significa nada, a ausência de coisas para contar.

No sistema primitivo não havia necessidade especial de tal figura, a ausência de algo podia ser explicada com a ajuda de palavras. Mas com o surgimento das civilizações, as necessidades humanas também aumentaram, em termos de arquitetura e engenharia.

Para realizar cálculos mais complexos e derivar novas funções, foi necessário um número que indicaria a completa ausência de algo.

É possível dividir por zero?

Nesta conta, há duas opiniões diametralmente opostas:

Na escola, mesmo no ensino fundamental, ensinam que a divisão por zero é impossível de qualquer maneira. Isso é explicado de forma muito simples:

1. Imagine que você tem 20 fatias de tangerina.
2. Ao dividi-los por 5, você distribuirá 4 fatias para cinco amigos.
3. Dividir por zero não funcionará, porque o processo de divisão entre alguém não funcionará.

Claro, esta é uma explicação figurativa, amplamente simplificada e não totalmente consistente com a realidade. Mas explica da maneira mais acessível a falta de sentido de dividir algo por zero.

Afinal, de fato, dessa forma é possível denotar o fato da ausência de divisão. E por que complicar os cálculos matemáticos e anotar também a ausência de divisão?

O zero pode ser dividido por um número?

Do ponto de vista da matemática aplicada, qualquer divisão em que o zero participe não faz muito sentido. Mas os livros escolares são inequívocos em sua opinião:

• Zero pode ser dividido.
• Qualquer número deve ser usado para divisão.
• Você não pode dividir zero por zero.

O terceiro ponto pode causar uma leve perplexidade, pois apenas alguns parágrafos acima foi indicado que tal divisão é bem possível. Na verdade, tudo depende da disciplina em que você realiza os cálculos.

Neste caso, é realmente melhor para os alunos escreverem que expressão não pode ser determinada e, portanto, não faz sentido. Mas em alguns ramos da ciência algébrica é permitido escrever tal expressão, com a divisão de zero por zero. Especialmente quando se trata de computadores e linguagens de programação.

A necessidade de dividir zero por um número pode surgir durante a solução de quaisquer igualdades e a busca por valores iniciais. Mas nesse caso, a resposta será sempre zero. Aqui, como na multiplicação, não importa por qual número você divida zero, você não terminará com mais de zero. Portanto, se esse número tão querido for notado em uma fórmula enorme, tente “estimar” rapidamente se todos os cálculos serão reduzidos a uma solução muito simples.

Se o infinito é dividido por zero

Foi necessário mencionar valores infinitamente grandes e infinitamente pequenos um pouco antes, pois isso também abre algumas brechas para divisão, inclusive usando zero. Isso é verdade, e há um pequeno problema, porque valor infinitesimal e a completa ausência de valor são conceitos diferentes.

Mas essa pequena diferença em nossas condições pode ser desprezada, no final, os cálculos são realizados usando quantidades abstratas:

• O numerador deve ter um sinal de infinito.
• Os denominadores são uma imagem simbólica de um valor tendendo a zero.
• A resposta será infinito, representando uma função infinitamente grande.

Deve-se notar que ainda estamos falando sobre a exibição simbólica de uma função infinitesimal, e não sobre o uso de zero. Nada mudou com este signo, ainda não pode ser dividido nele, apenas como exceções muito, muito raras.

Na maioria das vezes, zero é usado para resolver problemas que estão em plano puramente teórico. Talvez, depois de décadas ou mesmo séculos, todos os cálculos modernos encontrem aplicações práticas e forneçam algum tipo de avanço grandioso na ciência.

Enquanto isso, a maioria dos gênios matemáticos apenas sonha com o reconhecimento mundial. Uma exceção a essas regras é nosso compatriota, Perelman. Mas ele é conhecido graças à solução de um problema verdadeiramente marcante com a prova da conjectura de Poinquere e comportamento extravagante.

Paradoxos e a falta de sentido da divisão por zero

A divisão por zero, na maioria das vezes, não faz sentido:

• A divisão é representada como função inversa da multiplicação.
• Podemos multiplicar qualquer número por zero e obter zero na resposta.
• Pela mesma lógica, pode-se dividir qualquer número por zero.
• Nessas condições, não seria difícil concluir que qualquer número multiplicado ou dividido por zero é igual a qualquer outro número sobre o qual essa operação foi realizada.
• Descartamos a ação matemática e chegamos a uma conclusão interessante - qualquer número é igual a qualquer número.

Além de criar tais incidentes, divisão por zero não tem valor prático, da palavra em geral. Mesmo que você possa executar esta ação, você não obterá nenhuma informação nova.

Do ponto de vista da matemática elementar, durante a divisão por zero, todo o objeto é dividido zero vezes, ou seja, nem uma vez. Simplificando - nenhum processo de divisão, portanto, o resultado desse evento não pode ser.

Estando na mesma sociedade com um matemático, você sempre pode fazer algumas perguntas banais, por exemplo, por que você não pode dividir por zero e obter uma resposta interessante e compreensível. Ou irritabilidade, porque provavelmente não é a primeira vez que uma pessoa é questionada sobre isso. E nem dez. Portanto, cuide de seus amigos matemáticos, não os faça repetir uma explicação centenas de vezes.

Vídeo: dividir por zero

Neste vídeo, a matemática Anna Lomakova lhe dirá o que acontece se você dividir um número por zero e por que isso não pode ser feito, do ponto de vista da matemática: