\[(\Large(\text(Fatos básicos sobre a área)))\]

Podemos dizer que a área de um polígono é um valor que indica a parte do plano que um determinado polígono ocupa. A unidade de área é tomada como a área de um quadrado com um lado de \(1\) cm, \(1\) mm, etc. (quadrado único). Então a área será medida em cm\(^2\) , mm\(^2\) respectivamente.

Em outras palavras, podemos dizer que a área de uma figura é um valor cujo valor numérico mostra quantas vezes um quadrado unitário cabe em uma determinada figura.

Propriedades da área

1. A área de qualquer polígono é um valor positivo.

2. Polígonos iguais têm áreas iguais.

3. Se um polígono é composto por vários polígonos, sua área é igual à soma das áreas desses polígonos.

4. A área de um quadrado de lado \(a\) é \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Área do retângulo e paralelogramo)))\]

Teorema: área de um retângulo

A área de um retângulo com lados \(a\) e \(b\) é \(S=ab\) .

Prova

Vamos construir o retângulo \(ABCD\) para um quadrado com lado \(a+b\) , conforme mostrado na figura:

Este quadrado consiste em um retângulo \(ABCD\) , outro retângulo igual a ele e dois quadrados com lados \(a\) e \(b\) . Por isso,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multilinha*)\)

Definição

A altura de um paralelogramo é a perpendicular traçada do vértice do paralelogramo ao lado (ou extensão do lado) que não contém esse vértice.
Por exemplo, a altura \(BK\) cai no lado \(AD\) , e a altura \(BH\) cai na extensão do lado \(CD\):

Teorema: área de um paralelogramo

A área de um paralelogramo é igual ao produto da altura pelo lado para o qual essa altura é desenhada.

Prova

Desenhe as perpendiculares \(AB"\) e \(DC"\) como mostrado na figura. Observe que essas perpendiculares são iguais à altura do paralelogramo \(ABCD\) .

Então \(AB"C"D\) é um retângulo, portanto \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Observe que os triângulos retângulos \(ABB"\) e \(DCC"\) são iguais. Por isso,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Área do triângulo)))\]

Definição

Chamaremos o lado para o qual a altura é desenhada no triângulo de base do triângulo.

Teorema

A área de um triângulo é metade do produto de sua base pela altura desenhada para essa base.

Prova

Seja \(S\) a área do triângulo \(ABC\) . Vamos tomar o lado \(AB\) como base do triângulo e desenhar a altura \(CH\) . Vamos provar isso \ Completamos o triângulo \(ABC\) para o paralelogramo \(ABDC\) como mostrado na figura:

Os triângulos \(ABC\) e \(DCB\) são iguais em três lados (\(BC\) é seu lado comum, \(AB = CD\) e \(AC = BD\) como lados opostos do paralelogramo \ (ABDC\ ) ), então suas áreas são iguais. Portanto, a área \(S\) do triângulo \(ABC\) é igual à metade da área do paralelogramo \(ABDC\), ou seja, \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Teorema

Se dois triângulos \(\triangle ABC\) e \(\triangle A_1B_1C_1\) têm alturas iguais, suas áreas estão relacionadas como as bases para as quais essas alturas são desenhadas.

Consequência

A mediana de um triângulo o divide em dois triângulos de mesma área.

Teorema

Se dois triângulos \(\triangle ABC\) e \(\triangle A_2B_2C_2\) têm o mesmo ângulo, então suas áreas estão relacionadas como os produtos dos lados que formam esse ângulo.

Prova

Seja \(\ângulo A=\ângulo A_2\) . Vamos combinar esses cantos como mostrado na figura (o ponto \(A\) está alinhado com o ponto \(A_2\) ):

Desenhe as alturas \(BH\) e \(C_2K\) .

Triângulos \(AB_2C_2\) e \(ABC_2\) têm a mesma altura \(C_2K\) , portanto: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Os triângulos \(ABC_2\) e \(ABC\) têm a mesma altura \(BH\) , portanto: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Multiplicando as duas últimas igualdades, temos: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( ou ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

teorema de Pitágoras

Em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos:

O inverso também é verdadeiro: se em um triângulo o quadrado do comprimento de um lado é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados, então esse triângulo é retângulo.

Teorema

A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos.

Teorema: Fórmula de Heron

Seja \(p\) o semiperímetro de um triângulo, \(a\) , \(b\) , \(c\) os comprimentos de seus lados, então sua área é igual a \

\[(\Large(\text(Área de um losango e um trapézio)))\]

Comente

Porque losango é um paralelogramo, então a mesma fórmula é verdadeira para ele, ou seja, A área de um losango é igual ao produto da altura e o lado para o qual essa altura é desenhada.

Teorema

A área de um quadrilátero convexo cujas diagonais são perpendiculares é metade do produto das diagonais.

Prova

Considere o quadrilátero \(ABCD\) . Denote \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\):

Observe que esse quadrilátero é composto por quatro triângulos retângulos, portanto, sua área é igual à soma das áreas desses triângulos:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multilinha*)\)

Corolário: área de um losango

A área de um losango é metade do produto de suas diagonais: \

Definição

A altura de um trapézio é uma perpendicular traçada do topo de uma base até a outra base.

Teorema: área de um trapézio

A área de um trapézio é metade da soma das bases vezes a altura.

Prova

Considere um trapézio \(ABCD\) com bases \(BC\) e \(AD\) . Desenhe \(CD"\parallel AB\) como mostrado na figura:

Então \(ABCD"\) é um paralelogramo.

Também desenhamos \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) são as alturas do trapézio).

Então \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Porque um trapézio consiste em um paralelogramo \(ABCD"\) e um triângulo \(CDD"\) , então sua área é igual à soma das áreas do paralelogramo e do triângulo, ou seja:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Todo mundo que estudou matemática e geometria na escola conhece essas ciências pelo menos superficialmente. Mas com o tempo, se não forem praticados, o conhecimento é esquecido. Muitos até acreditam que apenas perderam seu tempo estudando cálculos geométricos. No entanto, eles estão errados. Trabalhadores técnicos realizam trabalhos diários relacionados a cálculos geométricos. Quanto ao cálculo da área de um polígono, esse conhecimento também encontra sua aplicação na vida. Eles serão necessários pelo menos para calcular a área do terreno. Então vamos aprender como encontrar a área de um polígono.

Definição de polígono

Primeiro, vamos definir o que é um polígono. Esta é uma figura geométrica plana, que foi formada como resultado da interseção de três ou mais linhas. Outra definição simples: um polígono é uma polilinha fechada. Naturalmente, na interseção de linhas, são formados pontos de interseção, seu número é igual ao número de linhas que formam um polígono. Os pontos de interseção são chamados de vértices, e os segmentos formados a partir das retas são chamados de lados do polígono. Segmentos adjacentes de um polígono não estão na mesma linha reta. Segmentos de reta não adjacentes são aqueles que não passam por pontos comuns.

A soma das áreas dos triângulos

Como encontrar a área de um polígono? A área de um polígono é a parte interna do plano, que foi formada na interseção dos segmentos ou lados do polígono. Como um polígono é uma combinação de formas como triângulo, losango, quadrado, trapézio, simplesmente não existe uma fórmula universal para calcular sua área. Na prática, o método mais universal é a divisão de um polígono em figuras mais simples, cuja área não é difícil de encontrar. Somando as somas das áreas dessas figuras simples, obtemos a área do polígono.

Através da área do círculo

Na maioria dos casos, o polígono tem uma forma regular e forma uma figura com lados e ângulos iguais entre si. Calcular a área neste caso é muito simples usando o círculo inscrito ou circunscrito. Se a área do círculo for conhecida, ela deve ser multiplicada pelo perímetro do polígono e, em seguida, o produto resultante dividido por 2. Como resultado, é obtida a fórmula para calcular a área de tal polígono : S = ½∙P∙r., onde P é a área do círculo e r é o perímetro do polígono.

O método de dividir um polígono em formas “convenientes” é o mais popular em geometria, permite encontrar rápida e corretamente a área de um polígono. A 4ª série do ensino médio costuma aprender tais métodos.

Neste artigo, falaremos sobre como expressar a área de um polígono no qual um círculo pode ser inscrito em termos do raio desse círculo. É imediatamente importante notar que nem todo polígono pode ser inscrito em um círculo. No entanto, se isso for possível, a fórmula pela qual a área desse polígono é calculada se torna muito simples. Leia este artigo até o final ou assista ao tutorial em vídeo anexo e você aprenderá a expressar a área de um polígono em termos do raio de um círculo inscrito nele.

A fórmula para a área de um polígono em termos do raio do círculo inscrito

Vamos desenhar um polígono UMA 1 UMA 2 UMA 3 UMA 4 UMA 5 , não necessariamente correto, mas aquele em que um círculo pode ser inscrito. Deixe-me lembrá-lo que um círculo inscrito é um círculo que toca todos os lados do polígono. Na figura, este é um círculo verde centrado em um ponto O:

Tomamos um 5-gon aqui como exemplo. Mas, na verdade, isso não tem importância essencial, pois a prova adicional é válida tanto para o 6-gon quanto para o 8-gon e, em geral, para qualquer "gon" arbitrariamente.

Se você conectar o centro do círculo inscrito com todos os vértices do polígono, ele será dividido em tantos triângulos quantos forem os vértices no polígono dado. No nosso caso: 5 triângulos. Se ligarmos o ponto O com todos os pontos de tangência do círculo inscrito com os lados do polígono, você obtém 5 segmentos (na figura abaixo, esses são os segmentos Oh 1 , Oh 2 , Oh 3 , Oh 4 e Oh 5), que são iguais ao raio do círculo e são perpendiculares aos lados do polígono ao qual são desenhadas. O último é verdade, uma vez que o raio desenhado para o ponto de contato é perpendicular à tangente:

Como encontrar a área do nosso polígono circunscrito? A resposta é simples. É necessário somar as áreas de todos os triângulos obtidos como resultado da divisão:

Considere o que é a área de um triângulo. Na imagem abaixo, ele está destacado em amarelo:

É igual a metade do produto da base UMA 1 UMA 2 para a altura Oh 1 atraído para esta base. Mas, como já descobrimos, essa altura é igual ao raio do círculo inscrito. Ou seja, a fórmula para a área de um triângulo assume a forma: , Onde ré o raio do círculo inscrito. Da mesma forma, as áreas de todos os triângulos restantes são encontradas. Como resultado, a área desejada do polígono é igual a:

Pode-se ver que em todos os termos desta soma existe um fator comum , que pode ser retirado dos parênteses. O resultado é a seguinte expressão:

Ou seja, entre parênteses havia simplesmente a soma de todos os lados do polígono, ou seja, seu perímetro P. Na maioria das vezes, nesta fórmula, a expressão é simplesmente substituída por p e chame essa letra de "meio perímetro". Como resultado, a fórmula final se torna:

Ou seja, a área de um polígono no qual está inscrito um círculo de raio conhecido é igual ao produto desse raio pelo semiperímetro do polígono. Este é o resultado que almejamos.

Finalmente, ele observa que um círculo sempre pode ser inscrito em um triângulo, que é um caso especial de polígono. Portanto, para um triângulo, essa fórmula sempre pode ser aplicada. Para outros polígonos com mais de 3 lados, primeiro você precisa ter certeza de que um círculo pode ser inscrito neles. Nesse caso, você pode usar com segurança esta fórmula simples e encontrar a área desse polígono a partir dela.

Preparado por Sergey Valerievich

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Teoria. Área de um quadrilátero Um quadrilátero é uma figura geométrica que consiste em quatro pontos (vértices), três dos quais não estão na mesma linha reta, e quatro segmentos (lados) conectando esses pontos em pares. Um quadrilátero é chamado de convexo se o segmento que liga quaisquer dois pontos desse quadrilátero estiver dentro dele.

Como encontrar a área de um polígono?

A fórmula para determinar a área é determinada tomando cada aresta do polígono AB e calculando a área do triângulo ABO com um vértice na origem O, através das coordenadas dos vértices. Ao caminhar em torno de um polígono, triângulos são formados, incluindo o interior do polígono e localizados fora dele. A diferença entre a soma dessas áreas é a área do próprio polígono.

Portanto, a fórmula é chamada de fórmula do agrimensor, pois o "cartógrafo" está na origem; se ele percorre a área no sentido anti-horário, a área é somada se estiver à esquerda e subtraída se estiver à direita em relação à origem. A fórmula da área é válida para qualquer polígono sem interseção (simples), que pode ser convexo ou côncavo. Contente

• 1 Definição
• 2 Exemplos
• 3 Exemplo mais complexo
• 4 Explicação do nome
• 5 Veja

Área do polígono

Atenção

Poderia ser:

• triângulo;
• quadrilátero;
• cinco ou hexágono e assim por diante.

Tal figura certamente será caracterizada por duas posições:

1. Lados adjacentes não pertencem à mesma linha.
2. Os não adjacentes não possuem pontos em comum, ou seja, não se cruzam.

Para entender quais vértices são adjacentes, você precisa ver se eles pertencem ao mesmo lado. Se sim, então vizinho. Caso contrário, eles podem ser conectados por um segmento, que deve ser chamado de diagonal. Eles só podem ser desenhados em polígonos que tenham mais de três vértices.

Que tipos deles existem? Um polígono com mais de quatro cantos pode ser convexo ou côncavo. A diferença deste último é que alguns de seus vértices podem estar em lados diferentes de uma linha reta traçada por um lado arbitrário do polígono.

Como encontrar a área de um hexágono regular e irregular?

• Conhecendo o comprimento do lado, multiplique por 6 e obtenha o perímetro do hexágono: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Substituindo os resultados na nossa fórmula:
Área \u003d 1/2 * perímetro * apothema Área \u003d ½ * 60cm * 5√3 Resolva: Agora resta simplificar a resposta para se livrar das raízes quadradas e indicar o resultado em centímetros quadrados: ½ * 60 cm * 5 √3 cm \u003d 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Vídeo sobre como encontrar a área de um hexágono regular Existem várias opções para determinar a área de um hexágono irregular:

• método trapézio.
• Um método para calcular a área de polígonos irregulares usando o eixo de coordenadas.
• Um método para dividir um hexágono em outras formas.

Dependendo dos dados iniciais que você conhecerá, o método apropriado é selecionado.

Importante

Alguns hexágonos irregulares consistem em dois paralelogramos. Para determinar a área de um paralelogramo, multiplique seu comprimento por sua largura e depois some as duas áreas já conhecidas. Vídeo sobre como encontrar a área de um polígono Um hexágono equilátero tem seis lados iguais e é um hexágono regular.

A área de um hexágono equilátero é igual a 6 áreas dos triângulos em que uma figura hexagonal regular é dividida. Todos os triângulos em um hexágono regular são iguais, portanto, para encontrar a área desse hexágono, bastará conhecer a área de pelo menos um triângulo. Para encontrar a área de um hexágono equilátero, é claro, é usada a fórmula para a área de um hexágono regular, descrita acima.

404 não encontrado

Decorar uma casa, vestir, fazer desenhos contribuíram para o processo de formação e acúmulo de informações no campo da geometria, que as pessoas da época obtinham empiricamente, pouco a pouco e passavam de geração em geração. Hoje, o conhecimento de geometria é necessário para um cortador, um construtor, um arquiteto e todas as pessoas comuns na vida cotidiana. Portanto, você precisa aprender a calcular a área de diferentes figuras e lembrar que cada uma das fórmulas pode ser útil mais tarde na prática, incluindo a fórmula de um hexágono regular.
Um hexágono é uma figura poligonal, cujo número total de ângulos é seis. Um hexágono regular é uma figura hexagonal que tem lados iguais. Os ângulos de um hexágono regular também são iguais entre si.
Na vida cotidiana, muitas vezes podemos encontrar objetos que têm a forma de um hexágono regular.

Calculadora de área de polígono irregular por lados

Você vai precisar

• - roleta;
• — telêmetro eletrônico;
• - uma folha de papel e um lápis;
• - calculadora.

Instrução 1 Se você precisar da área total de um apartamento ou de um cômodo separado, basta ler o passaporte técnico do apartamento ou casa, ele mostra a metragem de cada cômodo e a metragem total do apartamento. 2 Para medir a área de uma sala retangular ou quadrada, pegue uma fita métrica ou um telêmetro eletrônico e meça o comprimento das paredes. Ao medir distâncias com um telêmetro, certifique-se de manter a direção do feixe perpendicular, caso contrário, os resultados da medição podem ser distorcidos. 3 Em seguida, multiplique o comprimento resultante (em metros) da sala pela largura (em metros). O valor resultante será a área do piso, é medido em metros quadrados.

Fórmula da área de Gauss

Se você precisar calcular a área do piso de uma estrutura mais complexa, como uma sala pentagonal ou uma sala com arco redondo, esboce um esboço esquemático em um pedaço de papel. Em seguida, divida a forma complexa em várias formas simples, como um quadrado e um triângulo, ou um retângulo e um semicírculo. Use uma fita métrica ou telêmetro para medir o tamanho de todos os lados das figuras resultantes (para um círculo, você precisa saber o diâmetro) e insira os resultados em seu desenho.

5 Agora calcule a área de cada forma separadamente. A área de retângulos e quadrados é calculada multiplicando os lados. Para calcular a área de um círculo, divida o diâmetro ao meio e ao quadrado (multiplique-o por ele mesmo) e multiplique o resultado por 3,14.
Se você quiser apenas metade do círculo, divida a área resultante pela metade. Para calcular a área de um triângulo, encontre P dividindo a soma de todos os lados por 2.

Fórmula para calcular a área de um polígono irregular

Se os pontos são numerados sequencialmente no sentido anti-horário, então os determinantes na fórmula acima são positivos e o módulo nele pode ser omitido; se forem numerados no sentido horário, os determinantes serão negativos. Isso ocorre porque a fórmula pode ser vista como um caso especial do teorema de Green. Para aplicar a fórmula, você precisa conhecer as coordenadas dos vértices do polígono no plano cartesiano.

Por exemplo, vamos pegar um triângulo com coordenadas ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Pegue a primeira coordenada x do primeiro vértice e multiplique-a pela coordenada y do segundo vértice e, em seguida, multiplique a coordenada x do segundo vértice pela coordenada y do terceiro. Repetimos este procedimento para todos os vértices. O resultado pode ser determinado pela seguinte fórmula: A tri.

A fórmula para calcular a área de um quadrilátero irregular

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) onde xi e yi denotam a coordenada correspondente. Esta fórmula pode ser obtida abrindo os colchetes na fórmula geral para o caso n = 3. Usando esta fórmula, você pode descobrir que a área de um triângulo é igual à metade da soma de 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, que dá 3. O número de variáveis ​​na fórmula depende do número de lados do polígono. Por exemplo, a fórmula para a área de um pentágono usará variáveis ​​até x5 e y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4) )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A para um quad - variáveis ​​até x4 e y4: Um quad.

1.1 Cálculo de áreas na antiguidade

1.2 Diferentes abordagens para o estudo dos conceitos de "área", "polígono", "área de um polígono"

1.2.1 O conceito de área. Propriedades da área

1.2.2 O conceito de polígono

1.2.3 O conceito de área de um polígono. Definição descritiva

1.3 Várias fórmulas para as áreas dos polígonos

1.4 Derivação de fórmulas de área de polígono

1.4.1 Área de um triângulo. Fórmula de Heron

1.4.2 Área de um retângulo

1.4.3 Área de um trapézio

1.4.4 Área de um quadrilátero

1.4.5 Fórmula universal

1.4.6 Área de um n-gon

1.4.7 Calculando a área de um polígono a partir das coordenadas de seus vértices

1.4.8 Escolher Fórmula

1.5 O teorema de Pitágoras sobre a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo

1.6 Equivalência de triângulos. Teorema de Bogliai-Gervin

1.7 Razão de áreas de triângulos semelhantes

1.8 Figuras com a maior área

1.8.1 Trapézio ou retângulo

1.8.2 Uma propriedade notável de um quadrado

1.8.3 Parcelas de formato diferente

1.8.4 Triângulo com maior área

Capítulo 2. Características metodológicas do estudo das áreas dos polígonos nas aulas de matemática

2.1 Planejamento temático e características do ensino em aulas com aprofundamento da matemática

2.2 Metodologia da aula

2.3 Resultados do trabalho experimental

Conclusão

Literatura

Introdução

O tópico "Área de polígonos" é parte integrante do curso de matemática escolar, o que é bastante natural. De fato, historicamente, o próprio surgimento da geometria está associado à necessidade de comparar terrenos de uma forma ou de outra. Ao mesmo tempo, é de salientar que as oportunidades educativas para a divulgação desta temática no ensino secundário estão longe de serem plenamente aproveitadas.

A principal tarefa do ensino de matemática na escola é garantir um domínio forte e consciente do sistema de conhecimento matemático e habilidades necessárias para cada membro da sociedade moderna na vida cotidiana e no trabalho, suficiente para estudar disciplinas relacionadas e continuar a educação.

Juntamente com a solução da tarefa principal, um estudo aprofundado da matemática prevê a formação de um interesse constante pelo assunto nos alunos, a identificação e desenvolvimento de suas habilidades matemáticas, uma orientação para profissões que estão significativamente relacionadas à matemática, e preparação para estudar em uma universidade.

O trabalho de qualificação inclui o conteúdo do curso de matemática de uma escola de ensino geral e uma série de questões adicionais que são diretamente adjacentes a este curso e o aprofundam nas principais linhas ideológicas.

A inclusão de perguntas adicionais serve a dois propósitos inter-relacionados. Por um lado, trata-se da criação, em conjunto com as secções principais do curso, de uma base para satisfazer os interesses e desenvolver as capacidades dos alunos com vocação para a matemática, por outro lado, o preenchimento de lacunas significativas na o prato principal, dando ao conteúdo do estudo aprofundado a integridade necessária.

O trabalho de qualificação é composto por uma introdução, dois capítulos, uma conclusão e literatura citada. O primeiro capítulo discute os fundamentos teóricos do estudo das áreas dos polígonos, e o segundo capítulo trata diretamente das características metodológicas do estudo das áreas.

Capítulo 1

1.1Cálculo de áreas na antiguidade

Os rudimentos do conhecimento geométrico relacionado à medição de áreas se perdem nas profundezas dos milênios.

De volta a 4 - 5 mil anos atrás, os babilônios foram capazes de determinar a área de um retângulo e um trapézio em unidades quadradas. O quadrado há muito serve como padrão para medir áreas devido a muitas de suas propriedades notáveis: lados iguais, ângulos iguais e retos, simetria e perfeição geral da forma. Os quadrados são fáceis de construir, ou você pode preencher um plano sem lacunas.

Na China antiga, a medida da área era um retângulo. Quando os pedreiros determinavam a área de uma parede retangular da casa, eles multiplicavam a altura e a largura da parede. Esta é a definição aceita em geometria: a área de um retângulo é igual ao produto de seus lados adjacentes. Ambos os lados devem ser expressos nas mesmas unidades lineares. Seu produto será a área do retângulo, expressa nas unidades quadradas correspondentes. Digamos que, se a altura e a largura da parede forem medidas em decímetros, o produto de ambas as medidas será expresso em decímetros quadrados. E se a área de cada lote de revestimento for um decímetro quadrado, o produto resultante indicará o número de ladrilhos necessários para o revestimento. Isso decorre da afirmação subjacente à medição de áreas: a área de uma figura composta por figuras que não se cruzam é ​​igual à soma de suas áreas.

Os antigos egípcios 4.000 anos atrás usavam quase as mesmas técnicas que fazemos para medir a área de um retângulo, triângulo e trapézio: a base do triângulo foi dividida ao meio e multiplicada pela altura; para um trapézio, a soma dos lados paralelos foi dividida ao meio e multiplicada pela altura, e assim por diante. Para calcular a área

quadrilátero com lados (Fig. 1.1), a fórmula (1.1) foi aplicada

Essa. as meias somas dos lados opostos foram multiplicadas.

Esta fórmula é obviamente incorreta para qualquer quadrilátero; segue-se dela, em particular, que as áreas de todos os losangos são as mesmas. Enquanto isso, é óbvio que as áreas de tais losangos dependem da magnitude dos ângulos nos vértices. Esta fórmula só é válida para um retângulo. Com sua ajuda, você pode calcular aproximadamente a área dos quadriláteros, nos quais os ângulos estão próximos da direita.

Para determinar a área

um triângulo isósceles (Fig. 1.2), no qual os egípcios usavam a fórmula aproximada:
(1.2) Fig. 1.2 O erro cometido neste caso é quanto menor, quanto menor a diferença entre o lado e a altura do triângulo, ou seja, quanto mais próximo o topo (e) da base da altura. É por isso que a fórmula aproximada (1.2) é aplicável apenas para triângulos com um ângulo de vértice relativamente pequeno.

Mas os antigos gregos já sabiam como encontrar corretamente as áreas dos polígonos. Em seus Elementos, Euclides não usa a palavra "área", pois pela própria palavra "figura" ele entende uma parte de um plano delimitada por uma ou outra linha fechada. Euclides não expressa o resultado da medição da área como um número, mas compara as áreas de diferentes figuras entre si.

Como outros cientistas da antiguidade, Euclides lida com a transformação de algumas figuras em outras, elas são iguais em tamanho. A área de uma figura composta não mudará se suas partes forem dispostas de maneira diferente, mas sem cruzar. Portanto, por exemplo, é possível, com base nas fórmulas da área de um retângulo, encontrar as fórmulas das áreas de outras figuras. Então, o triângulo é dividido em tais partes, das quais você pode fazer um retângulo de área igual a ele. Desta construção segue-se que a área de um triângulo é igual à metade do produto de sua base e altura. Recorrendo a tal redesenho, eles descobrem que a área do paralelogramo é igual ao produto da base pela altura, a área do trapézio é o produto da metade da soma das bases pela altura.

Quando os pedreiros têm que ladrilhar uma parede de configuração complexa, eles podem determinar a área da parede contando o número de ladrilhos que entraram no ladrilho. Algumas telhas, é claro, terão que ser lascadas para que as bordas do revestimento coincidam com a borda da parede. O número de todos os ladrilhos que entraram em trabalho avalia a área da parede com excesso, o número de ladrilhos intactos - com desvantagem. À medida que o tamanho das células diminui, a quantidade de resíduos diminui e a área da parede, determinada pelo número de ladrilhos, é calculada com cada vez mais precisão.

Um dos matemáticos gregos tardios - enciclopedistas, cujos trabalhos foram aplicados principalmente na natureza, foi Heron de Alexandria, que viveu no século I. n. e. Sendo um engenheiro excepcional, ele também foi chamado de "Heron the Mechanic". Em sua obra Dióptrica, Heron descreve várias máquinas e instrumentos de medição práticos.

Um dos livros de Heron foi batizado por ele de "Geometria" e é uma espécie de coleção de fórmulas e problemas correspondentes. Ele contém exemplos para calcular as áreas de quadrados, retângulos e triângulos. Heron escreve sobre encontrar a área de um triângulo ao longo de seus lados: “Deixe, por exemplo, um lado de um triângulo ter um comprimento de 13 cordas medidas, o segundo 14 e o terceiro 15. Para encontrar a área, faça o seguinte . Adicione 13, 14 e 15; você obtém 42. Metade disso é 21. Subtraia desses três lados um por um; primeiro subtraia 13 - permanecerá 8, depois 14 - permanecerá 7 e, finalmente, 15 - permanecerá 6. Agora multiplique-os: 21 vezes 8 dará 168, pegue isso 7 vezes - você obtém 1176 e mais 6 vezes - você obtém 7056. A partir daqui, a raiz quadrada será 84. É quantos cabos de medição estarão na área do triângulo.