Apêndice

A solução do deriva para o site para consolidar o material abordado por alunos e escolares. Calcular a derivada de uma função em poucos segundos não é difícil se você usar nosso serviço de solução de problemas online. Cada terceiro aluno será capaz de dar uma análise detalhada para um estudo aprofundado em uma aula prática. Muitas vezes somos abordados pelo departamento do departamento relevante para a promoção da matemática nas instituições de ensino do país. Como, neste caso, sem falar na solução da derivada online para um espaço fechado de sequências numéricas. Muitos indivíduos ricos podem expressar sua perplexidade. Mas, enquanto isso, os matemáticos não ficam parados e trabalham duro. A alteração dos parâmetros de entrada de acordo com as características lineares será aceita pela calculadora de derivadas principalmente devido à supremacia das posições descendentes dos cubos. O resultado é inevitável como superfície. Como dados iniciais, a derivação online elimina a necessidade de tomar medidas desnecessárias. Exceto para trabalhos de casa fictícios. Além do fato de que a resolução de derivadas online é um aspecto necessário e importante do aprendizado de matemática, os alunos muitas vezes não se lembram dos problemas do passado. O aluno, como uma criatura preguiçosa, entende isso. Mas os alunos são pessoas engraçadas! Ou faça de acordo com as regras, ou a derivada da função em um plano inclinado pode dar aceleração a um ponto material. Vamos direcionar o vetor do feixe espacial descendente para algum lugar. Na resposta desejada, encontrar a derivada parece ser uma direção teórica abstrata devido à instabilidade do sistema matemático. Pense em uma proporção de números como uma sequência de opções não utilizadas. O canal de comunicação foi reabastecido com a quinta linha ao longo do vetor descendente do ponto da bifurcação fechada do cubo. No plano dos espaços curvos, resolver a derivada online nos leva a uma conclusão que fez pensar as maiores mentes do planeta no século passado. No decorrer dos eventos do campo da matemática, cinco fatores de fundamental importância que contribuem para a melhoria da posição da escolha de uma variável foram trazidos à discussão pública. Portanto, a lei dos pontos diz que o derivativo online não é calculado detalhadamente em todos os casos, apenas um momento de progressão leal pode ser uma exceção. A previsão nos levou a uma nova rodada de desenvolvimento. Precisamos de um resultado. Na linha da inclinação matemática passada sob a superfície, a calculadora das derivadas do modo está na área da interseção dos produtos no conjunto de dobra. Resta analisar a diferenciação da função em seu ponto independente próximo à vizinhança do épsilon. Isso pode ser visto por todos na prática. Como resultado, haverá algo para decidir na próxima fase da programação. O aluno precisa da derivada online como sempre, independente dos estudos imaginários que estão sendo praticados. Acontece que a solução online da função derivada multiplicada por uma constante não altera a direção geral do movimento do ponto material, mas caracteriza o aumento da velocidade em linha reta. Nesse sentido, será útil aplicar nossa calculadora derivada e calcular todos os valores de uma função em todo o conjunto de sua definição. Simplesmente não há necessidade de estudar as ondas de força do campo gravitacional. Em nenhum caso a solução de derivação online mostrará a inclinação do feixe de saída, mas apenas em casos raros, quando realmente necessário, os estudantes universitários podem imaginar isso. Investigamos o diretor. O valor do menor rotor é previsível. Aplique ao resultado as linhas olhando para a direita, ao longo das quais a bola é descrita, mas a calculadora online de derivadas é a base para figuras de força especial e dependência não linear. O relatório do projeto de matemática está pronto. Características pessoais a diferença dos menores números e a derivada da função ao longo do eixo y trará a concavidade da mesma função à altura. Há uma direção - há uma conclusão. É mais fácil colocar a teoria em prática. Há uma proposta dos alunos sobre o momento do início do estudo. Preciso da resposta de um professor. Novamente, como na posição anterior, o sistema matemático não é regulado com base em uma ação que ajude a encontrar a derivada, assim como a versão semi-linear inferior, a derivada online indicará detalhadamente a identificação da solução de acordo com a lei condicional degenerada. Basta apresentar a ideia de calcular fórmulas. A diferenciação linear de uma função rejeita a verdade da solução simplesmente apresentando variações positivas irrelevantes. A importância dos sinais de comparação será considerada como uma quebra contínua da função ao longo do eixo. Essa é a importância da conclusão mais consciente, segundo o aluno, em que a derivada online é outra coisa que um exemplo fiel de análise matemática. O raio de um círculo curvo no espaço euclidiano, ao contrário, deu à calculadora de derivadas uma representação natural da troca de problemas decisivos pela estabilidade. O melhor método foi encontrado. Era mais fácil aumentar o nível da tarefa. Deixe a aplicabilidade da proporção da diferença independente levar à solução das derivadas online. A solução gira em torno do eixo x, descrevendo a figura de um círculo. Existe uma saída, e ela se baseia em pesquisas apoiadas teoricamente por estudantes universitários, com as quais todos aprendem, e mesmo nesses momentos há uma derivação da função. Encontramos um caminho para o progresso e os alunos confirmaram. Podemos nos dar ao luxo de encontrar a derivada sem ir além de uma abordagem não natural para transformar o sistema matemático. O sinal proporcional esquerdo cresce exponencialmente como a representação matemática da calculadora derivada online devido à circunstância desconhecida de multiplicadores lineares no eixo y infinito. Matemáticos de todo o mundo provaram a exclusividade do processo de produção. Há um quadrado menor dentro de um círculo de acordo com a descrição da teoria. Mais uma vez, a derivada online irá elaborar nosso palpite sobre o que pode ter influenciado a opinião teoricamente refinada em primeiro lugar. Houve opiniões de natureza diferente do relatório que analisamos. A atenção separada pode não acontecer a estudantes de nossas faculdades, mas apenas não a matemáticos inteligentes e avançados nos quais a diferenciação de uma função é apenas uma desculpa. O significado mecânico da derivada é muito simples. A força de sustentação é calculada como uma derivada online para os espaços estáveis ​​no tempo inclinados para baixo. Obviamente, a calculadora de derivadas é um processo rigoroso de descrição do problema da degenerescência de uma transformação artificial como um corpo amorfo. A primeira derivada fala de uma mudança no movimento de um ponto material. O espaço tridimensional é obviamente observado no contexto de tecnologias especialmente treinadas para resolver derivadas online, na verdade, é em todos os colóquios sobre o tema da disciplina matemática. A segunda derivada caracteriza a mudança na velocidade de um ponto material e determina a aceleração. A abordagem meridiana baseada no uso de uma transformação afim leva a derivada de uma função em um ponto do domínio dessa função para um novo nível. Uma calculadora online de derivativos não pode ficar sem números e símbolos em alguns casos para o momento executável certo, exceto para o arranjo transformável das coisas da tarefa. Surpreendentemente, há uma segunda aceleração de um ponto material, isso caracteriza a mudança na aceleração. Em pouco tempo, começaremos a estudar a solução da derivada online, mas assim que um determinado marco no conhecimento for alcançado, nosso aluno interromperá esse processo. O melhor meio de networking é conversar ao vivo sobre um tópico matemático. Existem princípios que não devem ser violados em hipótese alguma, por mais difícil que seja a tarefa. É útil encontrar a derivada online a tempo e sem erros. Isso levará a uma nova posição da expressão matemática. O sistema é estável. O significado físico do derivado não é tão popular quanto o mecânico. É improvável que alguém se lembre de como a derivada online trouxe em detalhes no plano o contorno das linhas da função à normal do triângulo adjacente ao eixo x. O homem merece um grande papel na pesquisa do século passado. Façamos em três etapas elementares a diferenciação da função em pontos, tanto do domínio de definição quanto no infinito. Será por escrito apenas na área de estudo, mas pode substituir o vetor principal da matemática e da teoria dos números, assim que o que acontecer ligará a calculadora de derivadas online ao problema. Haveria uma razão, mas haverá uma razão para elaborar uma equação. É muito importante ter em mente todos os parâmetros de entrada. O melhor nem sempre é encarado de frente, por trás disso há uma quantidade colossal de trabalho das melhores mentes que sabiam como o derivativo online é calculado no espaço. Desde então, a convexidade tem sido considerada uma propriedade de uma função contínua. Ainda assim, é melhor definir primeiro a tarefa de resolver derivativos online no menor tempo possível. Assim a solução estará completa. Além das normas não cumpridas, isso não é considerado suficiente. Inicialmente, quase todos os alunos propõem apresentar um método simples sobre como a derivada de uma função causa um algoritmo de crescimento controverso. Na direção do feixe ascendente. Isso faz sentido como uma posição geral. Anteriormente, marcavam o início da conclusão de uma ação matemática específica, mas hoje será o contrário. Talvez a solução do derivado online levante a questão novamente e aceitemos uma opinião comum sobre sua preservação na discussão do encontro de educadores. Esperamos a compreensão de todos os lados dos participantes da reunião. O significado lógico está contido na descrição da calculadora de derivadas na ressonância dos números sobre a sequência de apresentação do pensamento do problema, que foi respondida no século passado pelos grandes cientistas do mundo. Isso ajudará a extrair uma variável complexa da expressão convertida e encontrar a derivada online para realizar uma ação massiva do mesmo tipo. A verdade é muito melhor do que adivinhação. O menor valor na tendência. O resultado não tardará a chegar ao usar um serviço exclusivo para a localização mais precisa, para o qual há uma derivação online detalhada. Indiretamente, mas direto ao ponto, como disse um sábio, uma calculadora de derivativos online foi criada a pedido de muitos estudantes de diferentes cidades do sindicato. Se houver uma diferença, então por que decidir duas vezes. O vetor dado está do mesmo lado da normal. Em meados do século passado, a diferenciação de uma função não era percebida como hoje. Graças ao desenvolvimento em andamento, surgiu a matemática online. Com o tempo, os alunos se esquecem de dar crédito às disciplinas matemáticas. A solução da derivação online desafiará nossa tese, legitimamente fundamentada na aplicação da teoria, apoiada no conhecimento prático. Irá além do valor existente do fator de apresentação e escreverá a fórmula de forma explícita para a função. Acontece que você precisa encontrar a derivada online agora mesmo sem usar nenhuma calculadora, no entanto, você sempre pode recorrer ao truque do aluno e ainda usar esse serviço como um site. Assim, o aluno economizará muito tempo copiando exemplos de um caderno de rascunho para um formulário final. Se não houver contradições, use o serviço de solução passo a passo para exemplos tão complexos.

Nesta lição, aprenderemos como aplicar fórmulas e regras de diferenciação.

Exemplos. Encontrar derivadas de funções.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Aplicando a Regra EU, fórmulas 4, 2 e 1. Nós temos:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Resolvemos de forma semelhante, usando as mesmas fórmulas e a fórmula 3.

y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Aplicando a Regra EU, fórmulas 3, 5 e 6 e 1.

Aplicando a Regra 4, fórmulas 5 e 1 .

No quinto exemplo, de acordo com a regra EU a derivada da soma é igual à soma das derivadas, e acabamos de encontrar a derivada do 1º termo (exemplo 4 ), portanto, encontraremos derivadas 2º e 3º termos e para 1º termo, podemos escrever imediatamente o resultado.

Diferenciação 2º e 3º termos de acordo com a fórmula 4 . Para fazer isso, convertemos as raízes do terceiro e quarto graus em denominadores em potências com expoentes negativos e, em seguida, de acordo com 4 fórmula, encontramos as derivadas das potências.

Veja este exemplo e o resultado. Você pegou o padrão? Bom. Isso significa que temos uma nova fórmula e podemos adicioná-la à nossa tabela de derivadas.

Vamos resolver o sexto exemplo e derivar mais uma fórmula.

Usamos a regra 4 e fórmula 4 . Reduzimos as frações resultantes.

Nós olhamos para esta função e sua derivada. Você, é claro, entendeu o padrão e está pronto para nomear a fórmula:

Aprendendo novas fórmulas!

Exemplos.

1. Encontre incremento de argumento e incremento de função y= x2 se o valor inicial do argumento foi 4 , e o novo 4,01 .

Decisão.

Novo valor do argumento x \u003d x 0 + Δx. Substitua os dados: 4.01=4+Δx, daí o incremento do argumento Δх=4,01-4=0,01. O incremento de uma função, por definição, é igual à diferença entre os valores novos e anteriores da função, ou seja, Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Como temos uma função y=x2, então Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Responda: incremento de argumento Δх=0,01; incremento de função Δу=0,0801.

Foi possível encontrar o incremento da função de outra forma: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Encontre o ângulo de inclinação da tangente ao gráfico da função y=f(x) no ponto x 0, E se f "(x 0) \u003d 1.

Decisão.

O valor da derivada no ponto de contato x 0 e é o valor da tangente da inclinação da tangente (o significado geométrico da derivada). Nós temos: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, como tg45°=1.

Responda: a tangente ao gráfico desta função forma um ângulo com a direção positiva do eixo Ox, igual a 45°.

3. Derive a fórmula para a derivada de uma função y=xn.

Diferenciaçãoé o ato de encontrar a derivada de uma função.

Ao encontrar derivadas, são usadas fórmulas derivadas com base na definição da derivada, da mesma forma que derivamos a fórmula para o grau da derivada: (x n)" = nx n-1.

Aqui estão as fórmulas.

Tabela de derivativos será mais fácil memorizar pronunciando formulações verbais:

1. A derivada de um valor constante é zero.

2. X curso é igual a um.

3. O fator constante pode ser retirado do sinal da derivada.

4. A derivada de um grau é igual ao produto do expoente desse grau pelo grau com a mesma base, mas o expoente é um a menos.

5. A derivada da raiz é igual a um dividido por duas das mesmas raízes.

6. A derivada da unidade dividida por x é menos um dividido por x ao quadrado.

7. A derivada do seno é igual ao cosseno.

8. A derivada de cosseno é igual a menos seno.

9. A derivada da tangente é igual a um dividido pelo quadrado do cosseno.

10. A derivada da cotangente é menos um dividido pelo quadrado do seno.

Nós ensinamos regras de diferenciação.

1. A derivada da soma algébrica é igual à soma algébrica dos termos derivados.

2. A derivada do produto é igual ao produto da derivada do primeiro fator pelo segundo mais o produto do primeiro fator pela derivada do segundo.

3. A derivada de "y" dividida por "ve" é igual a uma fração, em cujo numerador "y é um traço multiplicado por "ve" menos "y, multiplicado por um traço", e no denominador - "ve ao quadrado ”.

4. Um caso especial da fórmula 3.

Vamos aprender juntos!

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Ao derivar a primeira fórmula da tabela, procederemos da definição da derivada de uma função em um ponto. Vamos pegar onde x- qualquer número real, ou seja, x– qualquer número da área de definição de função . Vamos escrever o limite da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento em:

Deve-se notar que sob o sinal do limite, obtém-se uma expressão, que não é a incerteza de zero dividida por zero, pois o numerador contém não um valor infinitesimal, mas precisamente zero. Em outras palavras, o incremento de uma função constante é sempre zero.

Por isso, derivada de uma função constanteé igual a zero em todo o domínio de definição.

Derivada de uma função de potência.

A fórmula para a derivada de uma função potência tem a forma , onde o expoente pé qualquer número real.

Vamos primeiro provar a fórmula para o expoente natural, ou seja, para p = 1, 2, 3, ...

Usaremos a definição de derivada. Vamos escrever o limite da razão entre o incremento da função potência e o incremento do argumento:

Para simplificar a expressão no numerador, recorremos à fórmula binomial de Newton:

Conseqüentemente,

Isso prova a fórmula para a derivada de uma função de potência para um expoente natural.

Derivada da função exponencial.

Derivamos a fórmula derivada com base na definição:

Chegou à incerteza. Para expandi-lo, introduzimos uma nova variável , e para . Então . Na última transição, usamos a fórmula de transição para uma nova base do logaritmo.

Vamos realizar uma substituição no limite original:

Se nos lembrarmos do segundo limite maravilhoso, chegamos à fórmula para a derivada da função exponencial:

Derivada de uma função logarítmica.

Vamos provar a fórmula para a derivada da função logarítmica para todos x do escopo e todos os valores de base válidos uma logaritmo. Pela definição da derivada, temos:

Como você notou, na prova, as transformações foram realizadas usando as propriedades do logaritmo. Igualdade é válido devido ao segundo limite notável.

Derivadas de funções trigonométricas.

Para derivar fórmulas para derivadas de funções trigonométricas, teremos que relembrar algumas fórmulas de trigonometria, bem como o primeiro limite notável.

Pela definição da derivada para a função seno, temos .

Usamos a fórmula da diferença de senos:

Resta voltar ao primeiro limite notável:

Então a derivada da função pecado x há cos x.

A fórmula para a derivada do cosseno é provada exatamente da mesma maneira.

Portanto, a derivada da função cos x há –pecado x.

A derivação de fórmulas para a tabela de derivadas da tangente e da cotangente será realizada utilizando as regras comprovadas de diferenciação (derivada de fração).

Derivadas de funções hiperbólicas.

As regras de diferenciação e a fórmula para a derivada da função exponencial da tabela de derivadas nos permitem derivar fórmulas para as derivadas do seno hiperbólico, cosseno, tangente e cotangente.

Derivada da função inversa.

Para que não haja confusão na apresentação, vamos denotar no índice inferior o argumento da função pela qual a diferenciação é realizada, ou seja, é a derivada da função f(x) em x.

Agora formulamos regra para encontrar a derivada da função inversa.

Deixe as funções y = f(x) e x = g(y) mutuamente inversas, definidas nos intervalos e respectivamente. Se em um ponto existe uma derivada finita não nula da função f(x), então no ponto existe uma derivada finita da função inversa g(y), e . Em outra entrada .

Esta regra pode ser reformulada para qualquer x do intervalo , então obtemos .

Vamos verificar a validade dessas fórmulas.

Vamos encontrar a função inversa para o logaritmo natural (aqui yé uma função e x- argumento). Resolvendo esta equação para x, obtemos (aqui xé uma função e y seu argumento). Ou seja, e funções mutuamente inversas.

Da tabela de derivadas, vemos que e .

Vamos ter certeza de que as fórmulas para encontrar derivadas da função inversa nos levam aos mesmos resultados:

A operação de encontrar uma derivada é chamada de diferenciação.

Como resultado da resolução de problemas de encontrar derivadas das funções mais simples (e não muito simples), definindo a derivada como o limite da razão do incremento para o incremento do argumento, apareceu uma tabela de derivadas e regras de diferenciação precisamente definidas . Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) foram os primeiros a trabalhar no campo da descoberta de derivadas.

Portanto, em nosso tempo, para encontrar a derivada de qualquer função, não é necessário calcular o limite acima mencionado da razão do incremento da função para o incremento do argumento, mas basta usar a tabela das derivadas e as regras de diferenciação. O algoritmo a seguir é adequado para encontrar a derivada.

Para encontrar a derivada, você precisa de uma expressão sob o sinal de traço quebrar funções simples e determinar quais ações (produto, soma, quociente) essas funções estão relacionadas. Além disso, encontramos as derivadas de funções elementares na tabela de derivadas e as fórmulas para as derivadas do produto, soma e quociente - nas regras de diferenciação. A tabela de derivadas e regras de diferenciação são fornecidas após os dois primeiros exemplos.

Exemplo 1 Encontre a derivada de uma função

Decisão. Das regras de diferenciação descobrimos que a derivada da soma das funções é a soma das derivadas das funções, ou seja,

Da tabela de derivadas, descobrimos que a derivada de "X" é igual a um, e a derivada do seno é cosseno. Substituímos esses valores na soma das derivadas e encontramos a derivada exigida pela condição do problema:

Exemplo 2 Encontre a derivada de uma função

Decisão. Diferencie como uma derivada da soma, em que o segundo termo com um fator constante, pode ser retirado do sinal da derivada:

Se ainda há dúvidas sobre de onde vem algo, elas, via de regra, ficam claras depois de ler a tabela de derivadas e as regras mais simples de diferenciação. Nós vamos até eles agora.

Tabela de derivadas de funções simples

1. Derivada de uma constante (número). Qualquer número (1, 2, 5, 200...) que esteja na expressão da função. Sempre nulo. Isso é muito importante lembrar, pois é necessário muitas vezes
2. Derivada da variável independente. Na maioria das vezes "x". Sempre igual a um. Isso também é importante lembrar
3. Derivada de grau. Ao resolver problemas, você precisa converter raízes não quadradas em uma potência.
4. Derivada de uma variável à potência de -1
5. Derivada da raiz quadrada
6. Derivada do seno
7. Derivado de cosseno
8. Derivado tangente
9. Derivado de cotangente
10. Derivada do arco-seno
11. Derivada do arco cosseno
12. Derivada do arco tangente
13. Derivada da tangente inversa
14. Derivada do logaritmo natural
15. Derivada de uma função logarítmica
16. Derivada do expoente
17. Derivada da função exponencial

Regras de diferenciação

1. Derivado da soma ou diferença
2. Derivado de um produto
2a. Derivada de uma expressão multiplicada por um fator constante
3. Derivada do quociente
4. Derivada de uma função complexa

Regra 1Se as funções

são diferenciáveis ​​em algum ponto, então no mesmo ponto as funções

e

Essa. a derivada da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções.

Consequência. Se duas funções diferenciáveis ​​diferem por uma constante, então suas derivadas são, ou seja

Regra 2Se as funções

são diferenciáveis ​​em algum ponto, então seu produto também é diferenciável no mesmo ponto

e

Essa. a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções e a derivada da outra.

Consequência 1. O fator constante pode ser retirado do sinal da derivada:

Consequência 2. A derivada do produto de várias funções diferenciáveis ​​é igual à soma dos produtos da derivada de cada um dos fatores e de todos os outros.

Por exemplo, para três multiplicadores:

Regra 3Se as funções

diferenciável em algum ponto e , então neste ponto seu quociente também é diferenciável.u/v, e

Essa. a derivada de um quociente de duas funções é igual a uma fração cujo numerador é a diferença entre os produtos do denominador e a derivada do numerador e o numerador e a derivada do denominador, e o denominador é o quadrado do numerador anterior .

Onde procurar em outras páginas

Ao encontrar a derivada do produto e o quociente em problemas reais, é sempre necessário aplicar várias regras de diferenciação de uma só vez, por isso mais exemplos sobre essas derivadas estão no artigo."A derivada de um produto e um quociente".

Comente. Você não deve confundir uma constante (ou seja, um número) como um termo na soma e como um fator constante! No caso de um termo, sua derivada é igual a zero e, no caso de um fator constante, é retirada do sinal das derivadas. Esse é um erro típico que ocorre no estágio inicial do estudo de derivadas, mas como o aluno médio resolve vários exemplos de um e dois componentes, esse erro não mais comete.

E se, ao diferenciar um produto ou um quociente, tiver um termo você"v, em que você- um número, por exemplo, 2 ou 5, ou seja, uma constante, então a derivada desse número será igual a zero e, portanto, todo o termo será igual a zero (tal caso é analisado no exemplo 10) .

Outro erro comum é a solução mecânica da derivada de uma função complexa como a derivada de uma função simples. então derivada de uma função complexa dedicado a um artigo separado. Mas primeiro vamos aprender a encontrar derivadas de funções simples.

Ao longo do caminho, você não pode prescindir de transformações de expressões. Para fazer isso, talvez seja necessário abrir em novos manuais do Windows Ações com poderes e raízes e Ações com frações .

Se você está procurando soluções para derivadas com potências e raízes, ou seja, quando a função se parece com , então siga a lição " Derivada da soma de frações com potências e raízes".

Se você tem uma tarefa como , então você está na lição "Derivadas de funções trigonométricas simples".

Exemplos passo a passo - como encontrar a derivada

Exemplo 3 Encontre a derivada de uma função

Decisão. Determinamos as partes da expressão da função: a expressão inteira representa o produto e seus fatores são somas, no segundo dos quais um dos termos contém um fator constante. Aplicamos a regra da diferenciação do produto: a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções e a derivada da outra:

A seguir, aplicamos a regra de diferenciação da soma: a derivada da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções. No nosso caso, em cada soma, o segundo termo com sinal de menos. Em cada soma, vemos tanto uma variável independente, cuja derivada é igual a um, quanto uma constante (número), cuja derivada é igual a zero. Então, "x" se transforma em um e menos 5 - em zero. Na segunda expressão, "x" é multiplicado por 2, então multiplicamos dois pela mesma unidade que a derivada de "x". Obtemos os seguintes valores de derivativos:

Substituímos as derivadas encontradas na soma dos produtos e obtemos a derivada de toda a função exigida pela condição do problema:

Exemplo 4 Encontre a derivada de uma função

Decisão. Precisamos encontrar a derivada do quociente. Aplicamos a fórmula para diferenciar um quociente: a derivada de um quociente de duas funções é igual a uma fração cujo numerador é a diferença entre os produtos do denominador e a derivada do numerador e o numerador e a derivada do denominador, e o denominador é o quadrado do numerador anterior. Nós temos:

Já encontramos a derivada dos fatores no numerador no Exemplo 2. Não esqueçamos também que o produto, que é o segundo fator do numerador no exemplo atual, é obtido com sinal de menos:

Se você está procurando soluções para esses problemas em que precisa encontrar a derivada de uma função, onde há uma pilha contínua de raízes e graus, como, por exemplo, então bem vindo a aula "A derivada da soma de frações com potências e raízes" .

Se você precisa aprender mais sobre as derivadas de senos, cossenos, tangentes e outras funções trigonométricas, ou seja, quando a função se parece com , então você tem uma lição "Derivadas de funções trigonométricas simples" .

Exemplo 5 Encontre a derivada de uma função

Decisão. Nesta função, vemos um produto, um dos fatores do qual é a raiz quadrada da variável independente, com a derivada da qual nos familiarizamos na tabela de derivadas. De acordo com a regra de diferenciação do produto e o valor tabular da derivada da raiz quadrada, temos:

Exemplo 6 Encontre a derivada de uma função

Decisão. Nesta função, vemos o quociente, cujo dividendo é a raiz quadrada da variável independente. De acordo com a regra de diferenciação do quociente, que repetimos e aplicamos no exemplo 4, e o valor tabular da derivada da raiz quadrada, obtemos:

Para se livrar da fração no numerador, multiplique o numerador e o denominador por .

A derivada de uma função é um dos tópicos mais difíceis do currículo escolar. Nem todo graduado responderá à pergunta sobre o que é um derivado.

Este artigo explica de forma simples e clara o que é um derivado e por que ele é necessário.. Não nos esforçaremos agora pelo rigor matemático da apresentação. O mais importante é entender o significado.

Vamos lembrar a definição:

A derivada é a taxa de variação da função.

A figura mostra gráficos de três funções. Qual você acha que cresce mais rápido?

A resposta é óbvia - a terceira. Tem a maior taxa de variação, ou seja, a maior derivada.

Aqui está outro exemplo.

Kostya, Grisha e Matvey conseguiram empregos ao mesmo tempo. Vejamos como sua renda mudou durante o ano:

Você pode ver tudo no gráfico imediatamente, certo? A renda de Kostya mais que dobrou em seis meses. E a renda do Grisha também aumentou, mas só um pouquinho. E a renda de Matthew caiu para zero. As condições de partida são as mesmas, mas a taxa de variação da função, ou seja, derivado, - diferente. Quanto a Matvey, a derivada de sua renda é geralmente negativa.

Intuitivamente, podemos facilmente estimar a taxa de variação de uma função. Mas como fazemos isso?

O que estamos realmente vendo é quão abruptamente o gráfico da função sobe (ou desce). Em outras palavras, quão rápido y muda com x. Obviamente, a mesma função em pontos diferentes pode ter um valor diferente da derivada - ou seja, pode mudar mais rápido ou mais devagar.

A derivada de uma função é denotada por .

Vamos mostrar como encontrar usando o gráfico.

Um gráfico de alguma função é desenhado. Dê um ponto nele com uma abcissa. Desenhe uma tangente ao gráfico da função neste ponto. Queremos avaliar a inclinação do gráfico da função. Um valor útil para isso é tangente da inclinação da tangente.

A derivada de uma função em um ponto é igual à tangente da inclinação da tangente traçada ao gráfico da função naquele ponto.

Observe - como o ângulo de inclinação da tangente, tomamos o ângulo entre a tangente e a direção positiva do eixo.

Às vezes, os alunos perguntam qual é a tangente ao gráfico de uma função. Esta é uma linha reta que tem o único ponto em comum com o gráfico desta seção, além disso, como mostra nossa figura. Parece uma tangente a um círculo.

Vamos encontrar . Lembramos que a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é igual à razão entre o cateto oposto e o adjacente. Do triângulo:

Encontramos a derivada usando o gráfico sem sequer conhecer a fórmula da função. Tais tarefas são frequentemente encontradas no exame de matemática sob o número.

Há outra correlação importante. Lembre-se que a reta é dada pela equação

A quantidade nesta equação é chamada inclinação de uma linha reta. É igual à tangente do ângulo de inclinação da linha reta ao eixo.

.

Nós entendemos isso

Vamos lembrar desta fórmula. Ela expressa o significado geométrico da derivada.

A derivada de uma função em um ponto é igual à inclinação da tangente traçada ao gráfico da função naquele ponto.

Em outras palavras, a derivada é igual à tangente da inclinação da tangente.

Já dissemos que a mesma função em pontos diferentes pode ter uma derivada diferente. Vamos ver como a derivada está relacionada ao comportamento da função.

Vamos desenhar um gráfico de alguma função. Deixe essa função aumentar em algumas áreas e diminuir em outras, e em taxas diferentes. E deixe esta função ter pontos de máximo e mínimo.

Em um ponto, a função é crescente. A tangente ao gráfico, desenhada no ponto, forma um ângulo agudo; com direção de eixo positiva. Portanto, a derivada é positiva no ponto.

Nesse ponto, nossa função está diminuindo. A tangente neste ponto forma um ângulo obtuso; com direção de eixo positiva. Como a tangente de um ângulo obtuso é negativa, a derivada no ponto é negativa.

Aqui está o que acontece:

Se uma função é crescente, sua derivada é positiva.

Se diminuir, sua derivada será negativa.

E o que acontecerá nos pontos máximo e mínimo? Vemos que em (ponto máximo) e (ponto mínimo) a tangente é horizontal. Portanto, a tangente da inclinação da tangente nesses pontos é zero, e a derivada também é zero.

O ponto é o ponto máximo. Neste ponto, o aumento da função é substituído por uma diminuição. Consequentemente, o sinal da derivada muda no ponto de "mais" para "menos".

No ponto - o ponto mínimo - a derivada também é igual a zero, mas seu sinal muda de "menos" para "mais".

Conclusão: com a ajuda da derivada, você pode descobrir tudo o que nos interessa sobre o comportamento da função.

Se a derivada for positiva, então a função é crescente.

Se a derivada for negativa, então a função é decrescente.

No ponto máximo, a derivada é zero e muda o sinal de mais para menos.

No ponto mínimo, a derivada também é zero e muda o sinal de menos para mais.

Escrevemos essas descobertas na forma de uma tabela:

	aumenta	ponto máximo	diminui	ponto mínimo	aumenta
+	0	-	0	+

Vamos fazer dois pequenos esclarecimentos. Você precisará de um deles ao resolver o problema. Outra - no primeiro ano, com um estudo mais sério de funções e derivadas.

Um caso é possível quando a derivada de uma função em algum ponto é igual a zero, mas a função não tem máximo nem mínimo nesse ponto. Este chamado :

Em um ponto, a tangente ao gráfico é horizontal e a derivada é zero. No entanto, antes do ponto a função aumentou - e depois do ponto continua a aumentar. O sinal da derivada não muda - permaneceu positivo como estava.

Acontece também que no ponto de máximo ou mínimo, a derivada não existe. No gráfico, isso corresponde a uma quebra acentuada, quando é impossível traçar uma tangente em um determinado ponto.

Mas como encontrar a derivada se a função é dada não por um gráfico, mas por uma fórmula? Neste caso, aplica-se