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Legendas dos slides:

Teoria sobre o tema: "Resolução de problemas por interesse".

Tipo 1: Converter porcentagem em decimal. porcentagem  fração A%  A dividido por 100 Tarefas: 20%; 75%; 125%; 50%; 40%; 1%; 70%; 35%; 80%.... Preencha a tabela 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

Tipo 2: Convertendo uma fração em uma porcentagem. número  porcentagens A  A vezes 100% Converter frações em porcentagens: 3/4; 0,07; 2.4. (GIA, tarefas temáticas) Faça corresponder as frações que expressam as quotas de um determinado valor, e as percentagens que lhes correspondem. A.1/4; B) 3/5; C) 0,5; D) 0,05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% Resposta: A B C D

Tipo 3: Encontrando uma porcentagem de um número. X% de A 1) X% é representado como uma fração decimal 2) O número A é multiplicado pela fração decimal. A tarefa é um exemplo. Em um mês, a empresa produziu 500 aparelhos. 20% dos dispositivos fabricados não passaram no controle de qualidade. Quantos dispositivos falharam no controle de qualidade? Decisão. Você precisa encontrar 20% do número total de dispositivos fabricados (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 do número total de dispositivos fabricados não passaram no controle de qualidade.

Tipo 4: Encontre um número por sua porcentagem. E isso é X%: 1) X% é representado como uma fração decimal 2) A é dividido por uma fração decimal. A tarefa é um exemplo. Preparando-se para o exame, o aluno resolveu 38 tarefas do manual para autoestudo. Que é 25% do número de todas as tarefas no manual. Quantas tarefas são coletadas neste manual de auto-estudo? Decisão. Não sabemos quantas tarefas estão no manual. Mas, por outro lado, sabemos que 38 tarefas são 25% do seu número total. 25%=0,25 38/0,25 = 152. Existem 152 problemas nesta coleção.

Tipo 5: Encontre a porcentagem de dois números. números A e B. Que % é B de A? 1) B / A 2) Multiplique o quociente resultante por 100% A tarefa é uma amostra. Há 30 alunos na classe. 15 deles são meninas. Qual a porcentagem de meninas na classe? Decisão. Para descobrir qual porcentagem é um número do outro, você precisa do número que deseja encontrar, dividir pelo número total e multiplicar por 100%. Então, 1) 15 / 30 = 0,5 2) 0,5 * 100% = 50% A tarefa é uma amostra. Durante 1 hora, a máquina automática produziu 240 peças. Após a reconstrução desta máquina, ele começou a produzir 288 das mesmas peças por hora. Em que porcentagem a produtividade da máquina aumentou? Decisão. A produtividade da máquina aumentou em 288-240=48 peças por hora. Você precisa descobrir qual porcentagem de 240 partes são 48 partes. Para descobrir quantos por cento do número 48 é do número 240, você precisa dividir o número 48 por 240 e multiplicar o resultado por 100%. 48/240 *100% =20% Resposta: a produtividade da máquina aumentou 20%

Tipo 6: Aumente o número em uma porcentagem. Diminua o número em uma porcentagem. A é um número; aumentar em X%, então aumentou em (1 + x / 100) vezes. : 1) o número A é multiplicado por 2) (1 + x / 100). A tarefa é um exemplo. . No exame de matemática do ano passado, 140 alunos do ensino médio tiraram A. Este ano, o número de alunos excelentes aumentou 15%. Quantas pessoas tiraram A no exame de matemática este ano? Decisão. 140 * (1 + 15/100) = 161. A - número; diminuímos em X%, depois diminuiu em (1 - x / 100) vezes. : 1) o número A é multiplicado por 2) (1 - x / 100). A tarefa é um exemplo. Há um ano, 100 crianças se formaram na escola. E este ano há 25% menos graduados. Quantos graduados este ano? Decisão. 100 * (1 - 25/100) = 75.

Type7: Concentração da solução. A tarefa é um exemplo. Um quilograma de sal foi dissolvido em 9 litros de água. Qual é a concentração da solução resultante? (A massa de 1 litro de água é de 1 kg) (Peterson 6 células.) Solução 1) A massa do soluto é de 1 kg 2) A massa de toda a solução 1 + 9 \u003d 10 (kg) 9 kg é a massa de água na solução (não confundir com a massa total da solução) 3) 1/10 * 100% \u003d 10% 10% - concentração da solução

Tipo 8: A porcentagem de metal na liga. Tarefa - amostra 1. Existe um pedaço de uma liga de cobre e estanho com massa total de 12 kg, contendo 45% de cobre. Quanto estanho puro deve ser adicionado a este pedaço de liga para que a liga resultante contenha 40% de cobre? Solução.1)12 . 0,45= 5,4 (kg) - cobre puro na primeira liga; 2) 5,4: 0,4= 13,5 (kg) - peso da nova liga; 3) 13,5- 12= 1,5 (kg) estanho. Resposta: você precisa de 1,5 kg de estanho.

Tarefa - amostra 2. Existem duas ligas, constituídas por cobre, zinco e estanho. Sabe-se que a primeira liga contém 40% de estanho e a segunda - 26% de cobre. A porcentagem de zinco na primeira e na segunda liga é a mesma. Tendo fundido 150 kg da primeira liga e 250 kg da segunda, uma nova liga foi obtida, na qual 30% de zinco acabou. Determine quantos quilogramas de estanho estão contidos na nova liga resultante. Como a porcentagem de zinco na primeira e na segunda liga é a mesma e na terceira liga acabou sendo 30%, então na primeira e na segunda liga a porcentagem de zinco é de 30%. 250 * 0,3 \u003d 75 (kg) - zinco na segunda liga; 250 * 0,26 \u003d 65 (kg) - cobre na segunda liga; 250-(75+65)= 110 (kg) de estanho na segunda liga; 150. 0,4= 60 (kg) - estanho na primeira liga; 110 + 60 = 170 (kg) - estanho na terceira liga. Resposta: 170kg. 1 liga 2 liga Nova liga (3) Cobre 26% Zinco 30% 30% 30% Estanho 40% ?kg peso 150kg 250kg 150+250=400

Tipo 9: Em "matéria seca". Quase qualquer produto - maçãs, melancias, cogumelos, batatas, cereais, pão, etc. é constituído por água e matéria seca. Além disso, tanto os alimentos frescos como os secos contêm água. Durante o processo de secagem, apenas a água evapora e a massa de matéria seca não muda. A.G. Mordkovich “Mathematics 6” Problema nº 362 O problema é uma amostra. Cogumelo fresco contém 90% de água e seco - 15%. Quantos cogumelos secos serão obtidos a partir de 17 kg de frescos? Quantos cogumelos frescos são necessários para obter 3,4 kg de cogumelos secos? Decisão. Vamos fazer uma tabela: 1 parte do problema: substância Massa de substância (kg) Porcentagem de água Porcentagem de matéria seca Massa de matéria seca (kg) Cogumelo fresco 17kg 90% 10% 17*0,1=1,7 Cogumelo seco X kg 15% 85% X * o,85 \u003d 0,85x Como a massa de matéria seca em cogumelos secos e frescos permanece inalterada, obtemos a equação: 0,85x \u003d 1,7, x \u003d 1,7: 0,85, x \u003d 2.

Parte 2 do problema: Substância Massa da substância (kg) Percentagem de água Percentagem de água Massa de matéria seca (kg) Cogumelo fresco х 90% 10% 0,1х Cogumelo seco 3,4 15% 85% 3,4*0,85=2 ,89 0,1x = 2,89, x = 2,89: 0,1, x = 28,9. Resposta: a partir de 17 kg de cogumelos frescos obtém-se 2 kg de cogumelos secos; para obter 3,4 kg de cogumelos secos, você precisa consumir 28,9 kg de cogumelos frescos.

Hoje vamos divagar um pouco dos logaritmos padrão, integrais, trigonometria, etc., e juntos vamos considerar uma tarefa mais vital do Exame Unificado do Estado em matemática, que está diretamente relacionado à nossa economia russa baseada em recursos. E para ser mais preciso, vamos considerar o problema dos depósitos, juros e empréstimos. Porque são as tarefas com porcentagens que foram adicionadas recentemente à segunda parte do exame estadual unificado em matemática. Faço desde já uma ressalva que de acordo com as especificações do USE, três pontos principais são oferecidos de uma só vez para a resolução deste problema, ou seja, os examinadores consideram esta tarefa uma das mais difíceis.

Ao mesmo tempo, para resolver qualquer uma dessas tarefas do Exame Estadual Unificado em matemática, você precisa conhecer apenas duas fórmulas, cada uma delas bastante acessível a qualquer graduado da escola, no entanto, por motivos que não entendo, essas fórmulas são completamente ignorado por professores e compiladores de várias tarefas de preparação para o exame. Portanto, hoje não vou apenas dizer quais são essas fórmulas e como aplicá-las, mas vou derivar cada uma dessas fórmulas literalmente diante de seus olhos, tomando como base tarefas do banco USE aberto em matemática.

Portanto, a lição acabou sendo bastante volumosa, bastante significativa, então fique à vontade e começamos.

Colocar dinheiro no banco

Em primeiro lugar, gostaria de fazer uma pequena digressão lírica sobre finanças, bancos, empréstimos e depósitos, com base na qual obteremos as fórmulas que usaremos para resolver esse problema. Então, vamos desviar um pouco dos exames, dos próximos problemas da escola, e olhar para o futuro.

Digamos que você cresceu e vai comprar um apartamento. Digamos que você não compre um apartamento ruim na periferia, mas um apartamento de boa qualidade por 20 milhões de rublos. Ao mesmo tempo, vamos supor que você tenha um emprego mais ou menos normal e ganhe 300 mil rublos por mês. Nesse caso, para o ano, você pode economizar cerca de três milhões de rublos. Claro, ganhando 300 mil rublos por mês, para o ano você receberá uma quantia um pouco maior - 3.600.000 - mas que esses 600.000 sejam gastos em comida, roupas e outras alegrias domésticas diárias. O total de dados de entrada é o seguinte: é necessário ganhar vinte milhões de rublos, enquanto temos à nossa disposição apenas três milhões de rublos por ano. Surge uma pergunta natural: quantos anos precisamos reservar três milhões para obter esses mesmos vinte milhões. É considerado elementar:

\[\frac(20)(3)=6,....\para 7\]

No entanto, como já observamos, você ganha 300 mil rublos por mês, o que significa que você é uma pessoa inteligente e não economizará dinheiro “debaixo do travesseiro”, mas o levará ao banco. E, portanto, anualmente sobre os depósitos que você traz para o banco, serão cobrados juros. Digamos que você escolha um banco confiável, mas ao mesmo tempo mais ou menos lucrativo e, portanto, seus depósitos crescerão 15% ao ano anualmente. Em outras palavras, podemos dizer que o valor em suas contas aumentará 1,15 vezes a cada ano. Deixe-me lembrá-lo da fórmula:

Vamos calcular quanto dinheiro estará em suas contas após cada ano:

No primeiro ano, quando você começa a economizar dinheiro, nenhum interesse se acumula, ou seja, no final do ano você economiza três milhões de rublos:

No final do segundo ano, os juros já serão acumulados sobre os três milhões de rublos que permaneceram desde o primeiro ano, ou seja, precisamos multiplicar por 1,15. No entanto, durante o segundo ano, você também relatou outros três milhões de rublos. É claro que esses três milhões ainda não haviam acumulado juros, pois no final do segundo ano, esses três milhões só haviam aparecido na conta:

Então, o terceiro ano. Ao final do terceiro ano incidirão juros sobre esse valor, ou seja, é necessário multiplicar todo esse valor por 1,15. E, novamente, ao longo do ano você trabalhou duro e reservou três milhões de rublos:

\[\left(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

Vamos calcular mais um quarto ano. Novamente, todo o valor que tínhamos no final do terceiro ano é multiplicado por 1,15, ou seja, Serão cobrados juros sobre o valor total. Isso inclui juros sobre juros. E mais três milhões se somam a esse valor, porque durante o quarto ano você também trabalhou e também economizou dinheiro:

\[\left(\left(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

E agora vamos abrir os parênteses e ver quanto teremos ao final do quarto ano de economia de dinheiro:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1) ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(align)\]

Como você pode ver, entre parênteses temos os elementos de uma progressão geométrica, ou seja, temos a soma dos elementos de uma progressão geométrica.

Deixe-me lembrá-lo que se a progressão geométrica é dada pelo elemento $((b)_(1))$, assim como o denominador $q$, então a soma dos elementos será calculada de acordo com a seguinte fórmula:

Esta fórmula deve ser conhecida e claramente aplicada.

Atenção: a fórmula nº elemento soa assim:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Por causa deste grau, muitos estudantes estão confusos. No total, acabamos de n para a soma n- elementos, e n-th elemento tem grau $n-1$. Em outras palavras, se agora tentarmos calcular a soma de uma progressão geométrica, precisamos considerar o seguinte:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Vamos calcular o numerador separadamente:

\[((1,15)^(4))=(\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right) ))^(2))=1,74900625\aprox 1,75\]

No total, voltando à soma da progressão geométrica, temos:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Como resultado, temos que em quatro anos de poupança, nosso valor inicial não aumentará quatro vezes, como se não tivéssemos depositado dinheiro no banco, mas cinco vezes, ou seja, quinze milhões. Vamos escrevê-lo separadamente:

4 anos → 5 vezes

Olhando para o futuro, direi que se estivéssemos economizando não por quatro anos, mas por cinco anos, como resultado, nossa quantidade de economia teria aumentado 6,7 vezes:

5 anos → 6,7 vezes

Ou seja, ao final do quinto ano, teríamos o seguinte valor na conta:

Ou seja, no final do quinto ano de economia, levando em consideração os juros do depósito, já teríamos recebido mais de vinte milhões de rublos. Assim, o total de poupança de juros bancários diminuiria de quase sete anos para cinco anos, ou seja, quase dois anos.

Assim, apesar de o banco cobrar juros bastante baixos sobre nossos depósitos (15%), após cinco anos esses mesmos 15% dão um aumento que supera significativamente nossos ganhos anuais. Ao mesmo tempo, o principal efeito multiplicador ocorre nos últimos anos e até mesmo no último ano de poupança.

Por que escrevi tudo isso? Claro, não para agitar você para levar dinheiro para o banco. Porque se você realmente deseja aumentar suas economias, precisa investi-las não em um banco, mas em um negócio real, onde essas mesmas porcentagens, ou seja, lucratividade nas condições da economia russa, raramente cai abaixo de 30%, ou seja, duas vezes tantos depósitos bancários.

Mas o que é realmente útil em todo esse raciocínio é uma fórmula que nos permite encontrar o valor final do depósito através do valor dos pagamentos anuais, bem como através dos juros que o banco cobra. Então vamos escrever:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Por si só, % é calculado usando a seguinte fórmula:

Esta fórmula também precisa ser conhecida, bem como a fórmula básica para o valor da contribuição. E, por sua vez, a fórmula principal pode reduzir significativamente os cálculos naqueles problemas com porcentagens em que é necessário calcular a contribuição.

Por que usar fórmulas em vez de tabelas?

Muitos provavelmente terão uma pergunta, por que todas essas dificuldades, é possível simplesmente escrever cada ano em um tablet, como fazem em muitos livros didáticos, calcular cada ano separadamente e depois calcular o valor total da contribuição? Claro, você geralmente pode esquecer a soma de uma progressão geométrica e contar tudo usando tablets clássicos - isso é feito na maioria das coleções para se preparar para o exame. No entanto, em primeiro lugar, o volume de cálculos aumenta acentuadamente e, em segundo lugar, como resultado, a probabilidade de cometer um erro aumenta.

E, em geral, usar mesas em vez dessa fórmula maravilhosa é o mesmo que cavar valas com as mãos em um canteiro de obras, em vez de usar uma escavadeira próxima e funcionando totalmente.

Bem, ou a mesma coisa que multiplicar cinco por dez não usando a tabuada, mas somando cinco a si mesmo dez vezes seguidas. No entanto, eu já divaguei, então vou repetir a ideia mais importante mais uma vez: se houver alguma maneira de simplificar e encurtar os cálculos, essa é a maneira de usar.

Juros de empréstimos

Descobrimos os depósitos, então passamos para o próximo tópico, ou seja, os juros sobre empréstimos.

Então, enquanto você está economizando dinheiro, planejando cuidadosamente seu orçamento, pensando em seu futuro apartamento, seu colega de classe e agora um simples desempregado, decidiu viver para hoje e acabou de fazer um empréstimo. Ao mesmo tempo, ele ainda vai provocar e rir de você, dizem, ele tem um telefone de crédito e um carro usado, levado a crédito, e você ainda anda de metrô e usa um telefone antigo de botão. Claro, por todas essas "exibições" baratas, seu ex-colega de classe terá que pagar caro. Quão caro - é isso que vamos calcular agora.

Primeiro, uma breve introdução. Digamos que seu ex-colega de classe pegou dois milhões de rublos a crédito. Ao mesmo tempo, de acordo com o contrato, ele deve pagar x rublos por mês. Digamos que ele pegou um empréstimo a uma taxa de 20% ao ano, o que nas condições atuais parece bastante decente. Além disso, suponha que o prazo do empréstimo seja de apenas três meses. Vamos tentar conectar todas essas quantidades em uma fórmula.

Então, logo no início, assim que seu ex-colega saiu do banco, ele tem dois milhões no bolso, e essa é a dívida dele. Ao mesmo tempo, nem um ano se passou, nem um mês, mas isso é apenas o começo:

Então, após um mês, os juros incidem sobre o valor devido. Como já sabemos, para calcular os juros, basta multiplicar a dívida original por um coeficiente, que é calculado usando a seguinte fórmula:

No nosso caso, estamos falando de uma taxa de 20% ao ano, ou seja, podemos escrever:

Essa é a proporção do valor que será cobrado por ano. No entanto, nosso colega não é muito inteligente e não leu o contrato, e na verdade ele recebeu um empréstimo não de 20% ao ano, mas de 20% ao mês. E até o final do primeiro mês, os juros serão acumulados sobre esse valor e aumentarão em 1,2 vezes. Imediatamente depois disso, a pessoa precisará pagar o valor acordado, ou seja, x rublos por mês:

\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

E, novamente, nosso menino faz um pagamento no valor de $x$ rublos.

Então, no final do terceiro mês, o valor de sua dívida aumenta novamente em 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

E de acordo com a condição de três meses, ele deve pagar integralmente, ou seja, após efetuar o último terço de pagamento, seu valor da dívida deve ser igual a zero. Podemos escrever esta equação:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Vamos decidir:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(align)\]

Diante de nós está novamente uma progressão geométrica, ou melhor, a soma dos três elementos de uma progressão geométrica. Vamos reescrevê-lo em ordem crescente de elementos:

Agora precisamos encontrar a soma dos três elementos de uma progressão geométrica. Vamos escrever:

\[\begin(alinhar)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(align)\]

Agora vamos encontrar a soma da progressão geométrica:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Vale lembrar que a soma de uma progressão geométrica com tais parâmetros $\left(((b)_(1));q \right)$ é calculada pela fórmula:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Esta é a fórmula que acabamos de usar. Substitua esta fórmula em nossa expressão:

Para cálculos adicionais, precisamos descobrir a que $((1,2)^(3))$ é igual. Infelizmente, neste caso, não podemos mais pintar como da última vez na forma de um quadrado duplo, mas podemos calcular assim:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Reescrevemos nossa expressão:

Esta é uma expressão linear clássica. Vamos voltar para a próxima fórmula:

De fato, se generalizarmos, obteremos uma fórmula ligando juros, empréstimos, pagamentos e prazos. A fórmula fica assim:

Aqui está, a fórmula mais importante da vídeo-aula de hoje, com a ajuda da qual pelo menos 80% de todas as tarefas econômicas do Exame Estadual Unificado em matemática na segunda parte são consideradas.

Na maioria das vezes, em tarefas reais, será solicitado um pagamento, ou um pouco menos, um empréstimo, ou seja, o valor total da dívida que nosso colega tinha no início dos pagamentos. Em tarefas mais complexas, você será solicitado a encontrar uma porcentagem, mas para tarefas muito complexas, que analisaremos em uma videoaula separada, você será solicitado a encontrar o período de tempo durante o qual, com os parâmetros de empréstimo e pagamento fornecidos, nosso colega desempregado poderá pagar integralmente o banco.

Talvez alguém agora pense que sou um feroz oponente dos empréstimos, das finanças e do sistema bancário em geral. Então, nada disso! Pelo contrário, acredito que os instrumentos de crédito são muito úteis e essenciais para a nossa economia, mas apenas com a condição de que o empréstimo seja feito para o desenvolvimento empresarial. Em casos extremos, você pode fazer um empréstimo para comprar uma casa, ou seja, uma hipoteca ou para tratamento médico de emergência - é isso, simplesmente não há outros motivos para fazer um empréstimo. E todos os tipos de desempregados que tomam empréstimos para comprar "exibicionistas" e ao mesmo tempo não pensam nas consequências no final e se tornam a causa de crises e problemas em nossa economia.

Voltando ao tópico da lição de hoje, gostaria de observar que também é necessário conhecer essa fórmula que liga empréstimos, pagamentos e juros, bem como o valor de uma progressão geométrica. É com a ajuda dessas fórmulas que os problemas econômicos reais do Exame Estadual Unificado em matemática são resolvidos. Bem, agora que você sabe tudo isso muito bem, quando você entender o que é um empréstimo e por que você não deve pegá-lo, vamos passar para a resolução de problemas econômicos reais do Exame Estadual Unificado em matemática.

Resolvemos problemas reais do exame de matemática

Exemplo 1

Então a primeira tarefa é:

Em 31 de dezembro de 2014, Alexei tomou um empréstimo de 9.282.000 rublos do banco a 10% ao ano. O esquema de pagamento do empréstimo é o seguinte: em 31 de dezembro de cada ano, o banco acumula juros sobre o valor restante da dívida (ou seja, aumenta a dívida em 10%), então Alexey transfere X rublos para o banco. Qual deve ser o valor X para Alexey pagar a dívida em quatro pagamentos iguais (ou seja, por quatro anos)?

Então, este é um problema sobre um empréstimo, então imediatamente escrevemos nossa fórmula:

Conhecemos o empréstimo - 9.282.000 rublos.

Vamos lidar com porcentagens agora. Estamos falando de 10% do problema. Portanto, podemos traduzi-los:

Podemos fazer uma equação:

Obtivemos uma equação linear ordinária em relação a $x$, embora com coeficientes bastante formidáveis. Vamos tentar resolver. Primeiro, vamos encontrar a expressão $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Agora vamos reescrever a equação:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Pronto, nosso problema com porcentagens está resolvido.

Claro, essa foi apenas a tarefa mais simples com porcentagens do Exame Estadual Unificado em matemática. Em um exame real, provavelmente não haverá tal tarefa. E se isso acontecer, considere-se muito sortudo. Bem, para quem gosta de contar e não gosta de correr riscos, vamos para as próximas tarefas mais difíceis.

Exemplo #2

Em 31 de dezembro de 2014, Stepan emprestou 4.004.000 rublos de um banco a 20% ao ano. O esquema de pagamento do empréstimo é o seguinte: em 31 de dezembro de cada ano seguinte, o banco acumula juros sobre o valor restante da dívida (ou seja, aumenta a dívida em 20%), então Stepan faz um pagamento ao banco. Stepan pagou toda a dívida em 3 pagamentos iguais. Quantos rublos a menos ele daria ao banco se pudesse pagar a dívida em 2 pagamentos iguais.

Diante de nós está um problema sobre empréstimos, então escrevemos nossa fórmula:

\[\]\

O que nós sabemos? Primeiro, sabemos o crédito total. Também sabemos as porcentagens. Vamos encontrar a proporção:

Quanto a $n$, você precisa ler atentamente a condição do problema. Ou seja, primeiro precisamos calcular quanto ele pagou por três anos, ou seja, $n=3$, e depois realizar os mesmos passos novamente, mas calcular os pagamentos por dois anos. Vamos escrever uma equação para o caso em que o pagamento é pago por três anos:

Vamos resolver esta equação. Mas primeiro, vamos encontrar a expressão $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Reescrevemos nossa expressão:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

No total, nosso pagamento será de 1900800 rublos. No entanto, preste atenção: na tarefa, fomos solicitados a encontrar não um pagamento mensal, mas quanto Stepan pagaria no total por três pagamentos iguais, ou seja, por todo o período de uso do empréstimo. Portanto, o valor resultante deve ser multiplicado por três novamente. Vamos contar:

No total, Stepan pagará 5.702.400 rublos por três pagamentos iguais. Isso é quanto vai custar para ele usar o empréstimo por três anos.

Agora considere a segunda situação, quando Stepan se recompôs, se preparou e pagou todo o empréstimo não em três, mas em duas parcelas iguais. Escrevemos nossa mesma fórmula:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Mas isso não é tudo, porque agora calculamos apenas um dos dois pagamentos, então, no total, Stepan pagará exatamente o dobro:

Ótimo, agora estamos perto da resposta final. Mas preste atenção: em nenhum caso ainda recebemos uma resposta final, porque por três anos de pagamentos Stepan pagará 5.702.400 rublos e por dois anos de pagamentos ele pagará 5.241.600 rublos, ou seja, um pouco menos. Quanto menos? Para descobrir, você precisa subtrair o valor do segundo pagamento do valor do primeiro pagamento:

A resposta final total é de 460.800 rublos. Exatamente quanto Stepan economizará se pagar não três anos, mas dois.

Como você pode ver, a fórmula que liga juros, prazos e pagamentos simplifica muito os cálculos em relação às tabelas clássicas e, infelizmente, por motivos desconhecidos, a maioria das cobranças de problemas, no entanto, ainda usa tabelas.

Separadamente, gostaria de chamar sua atenção para o prazo pelo qual o empréstimo foi tomado e o valor das mensalidades. O fato é que essa conexão não é diretamente visível a partir das fórmulas que anotamos, mas sua compreensão é necessária para a solução rápida e eficaz de problemas reais no exame. Na verdade, essa relação é muito simples: quanto mais tempo o empréstimo for tomado, menor será o valor nas mensalidades, mas maior será o valor acumulado ao longo de todo o período de utilização do empréstimo. E vice-versa: quanto menor o prazo, maior a mensalidade, mas menor o pagamento a maior final e menor o custo total do empréstimo.

Obviamente, todas essas declarações serão iguais apenas com a condição de que o valor do empréstimo e a taxa de juros em ambos os casos sejam os mesmos. Em geral, por enquanto, apenas lembre-se desse fato - ele será usado para resolver os problemas mais difíceis desse tópico, mas por enquanto analisaremos um problema mais simples, onde você só precisa encontrar o valor total do empréstimo original.

Exemplo #3

Então, mais uma tarefa para um empréstimo e, em combinação, a última tarefa do tutorial em vídeo de hoje.

Em 31 de dezembro de 2014, a Vasily tirou um certo valor do banco a crédito de 13% ao ano. O esquema de reembolso do empréstimo é o seguinte: em 31 de dezembro de cada ano seguinte, o banco acumula juros sobre o valor restante da dívida (ou seja, aumenta a dívida em 13%), então Vasily transfere 5.107.600 rublos para o banco. Qual o valor que Vasily emprestou do banco se ele pagou a dívida em duas parcelas iguais (por dois anos)?

Então, em primeiro lugar, esse problema é novamente sobre empréstimos, então escrevemos nossa fórmula maravilhosa:

Vamos ver o que sabemos da condição do problema. Primeiro, o pagamento - é igual a 5.107.600 rublos por ano. Em segundo lugar, porcentagens, para que possamos encontrar a razão:

Além disso, de acordo com a condição do problema, Vasily pegou um empréstimo do banco por dois anos, ou seja, pago em duas parcelas iguais, portanto $n=2$. Vamos substituir tudo e também notar que o empréstimo é desconhecido para nós, ou seja, a quantia que ele pegou, e vamos denotar como $x$. Nós temos:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Vamos reescrever nossa equação com este fato em mente:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000) )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

É isso, esta é a resposta final. Foi essa quantia que Vasily assumiu a crédito logo no início.

Agora está claro por que neste problema nos pedem um empréstimo por apenas dois anos, porque aqui aparecem taxas de juros de dois dígitos, ou seja, 13%, o que, ao quadrado, já dá um número bastante “brutal”. Mas esse não é o limite - na próxima lição separada, consideraremos tarefas mais complexas em que será necessário encontrar o prazo do empréstimo e a taxa será de um, dois ou três por cento.

Em geral, aprenda a resolver problemas de depósitos e empréstimos, prepare-se para exames e passe neles "excelente". E se algo não estiver claro nos materiais da videoaula de hoje, não hesite - escreva, ligue e tentarei ajudá-lo.

Resolução de problemas em matemática sobre a aplicação de conceitos básicos de interesse.

Problemas com porcentagens são ensinados a resolver a partir da 5ª série.

A resolução de problemas desse tipo está intimamente relacionada a três algoritmos:

1. encontrar uma porcentagem de um número
2. encontrar um número por sua porcentagem,
3. encontrar uma porcentagem.

Nas aulas com os alunos, eles entendem que um centésimo de metro é um centímetro, um centésimo de rublo é um centavo, um centésimo de centavo é um quilo. As pessoas notaram há muito tempo que centésimos de valores são convenientes na prática. Portanto, um nome especial foi cunhado para eles - porcentagem.

Portanto, um centavo é um por cento de um rublo e um centímetro é um por cento de um metro.

Um por cento é um centésimo de um número. Matematicamente, um por cento é escrito da seguinte forma: 1%.

A definição de um por cento pode ser escrita como: 1% \u003d 0,01. uma

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 etc.

Como encontrar 1% de um número?

Como 1% é um centésimo, você precisa dividir o número por 100. A divisão por 100 pode ser substituída pela multiplicação por 0,01. Portanto, para encontrar 1% de um determinado número, você precisa multiplicá-lo por 0,01. E se você precisar encontrar 5% do número, multiplique esse número por 0,05, etc.

Exemplo. Encontrar: 25% de 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Regra 1. Para encontrar um determinado número de porcentagens de um número, você precisa escrever as porcentagens como uma fração decimal e depois multiplicar o número por essa fração decimal.

Exemplo. O torneiro virou 40 peças em uma hora. Usando um cortador feito de aço mais resistente, ele começou a girar mais 10 peças por hora. Em que porcentagem a produtividade do trabalho aumentou?

Para resolver este problema, precisamos descobrir quantos por cento são 10 partes de 40. Para fazer isso, primeiro descobrimos qual parte é o número 10 do número 40. Sabemos que precisamos dividir 10 por 40. Acontece fora 0,25. Agora vamos anotá-lo como uma porcentagem - 25%.

Resposta: A produtividade da Turner aumentou em 25%.

Regra 2. Para descobrir quantos por cento um número é de outro, você precisa dividir o primeiro número pelo segundo e escrever a fração resultante como uma porcentagem.

Exemplo. Com uma meta planejada de 60 veículos por dia, a fábrica produziu 66 veículos. Em que porcentagem a planta cumpriu o plano?

66: 60 \u003d 1.1 - esta parte é composta por carros fabricados a partir do número de carros de acordo com o plano. Vamos escrever em porcentagem = 110%.

Resposta: 110%.

Exemplo. O bronze é uma liga de estanho e cobre. Que porcentagem da liga é cobre em uma peça de bronze, consistindo de 6 kg de estanho e 34 kg de cobre?

1. 6+ 34 \u003d 40 (kg) - a massa de toda a liga.
2. 34: 40 = 0,85 = 85 (%) - a liga é de cobre.

Resposta: 85%.

Exemplo. O bebê elefante perdeu 20% na primavera, depois ganhou 30% no verão, novamente perdeu 20% no outono e ganhou 10% no inverno. Seu peso permaneceu o mesmo este ano? Se alterado, em que porcentagem e em que direção?

1. 100 - 20 = 80 (%) - após a primavera.
2. 80 + 80 . 0,3 = 104 (%) - após o verão.
3. 104-104. 0,2 = 83,2 (%) - após o outono.
4. 83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) - após o inverno.

Resposta: perdeu peso em 8,48%.

Exemplo. Deixamos para armazenamento 20 kg de groselhas, cujas bagas contêm 99% de água. O teor de água nas bagas diminuiu para 98%. Quantas groselhas será o resultado?

1. 100 - 99 \u003d 1 (%) \u003d 0,01 - a proporção de matéria seca nas groselhas primeiro.
2. 20. 0,01 \u003d 0,2 (kg) - matéria seca.
3. 100 - 98 \u003d 2 (%) \u003d 0,02 - a proporção de matéria seca em groselhas após o armazenamento.
4. 0,2: 0,02 \u003d 10 (kg) - as groselhas se tornaram.

Resposta: 10kg.

Exemplo. O que acontece com o preço de um produto se ele for primeiro aumentado em 25% e depois reduzido em 25%?

Deixe o preço do produto ser x rublos, então, após o aumento, o produto custa 125% do preço anterior, ou seja, 1,25x, e após uma redução de 25%, seu valor é 75% ou 0,75 do preço aumentado, ou seja,

0,75 ,1,25x = 0,9375x,

então o preço das mercadorias caiu 6,25%.

x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Resposta: O preço original do produto diminuiu 6,25%.

Regra 3. Para encontrar a porcentagem de dois números A e B, você precisa multiplicar a razão desses números por 100%, ou seja, calcular (A:B). 100%.

Exemplo. Encontre um número se 15% dele for 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x é um número dado;
0,15. x = 300;
x = 200.

Resposta: 200.

Exemplo. O algodão cru produz 24% de fibra. Quanto algodão cru deve ser tomado para obter 480 kg de fibra?

Vamos escrever 24% como uma fração decimal de 0,24 e obter o problema de encontrar um número de sua parte conhecida (fração).
480: 0,24 = 2000 kg = 2 t

Resposta: 2t.

Exemplo. Quantos kg de cogumelos porcini devem ser colhidos para obter 1 kg de cogumelos secos, se 50% de sua massa permanecer durante o processamento de cogumelos frescos e 10% da massa de cogumelos processados ​​permanecer durante a secagem?

1 kg de cogumelos secos é 10% ou 0,01 parte do processado, ou seja,
1 kg: 0,1 = 10 kg de cogumelos processados, que é 50% ou 0,5 dos cogumelos colhidos, ou seja,
10kg: 0,05=20kg.

Resposta: 20kg.

Exemplo. Cogumelos frescos continham 90% de água em peso e 12% secos. Quantos cogumelos secos serão obtidos a partir de 22 kg de frescos?

1. 22. 0,1 = 2,2 (kg) - cogumelos em peso em cogumelos frescos; (0,1 é 10% de matéria seca);
2. 2,2: 0,88 = 2,5 (kg) - cogumelos secos obtidos a partir de frescos (a quantidade de matéria seca não mudou, mas sua porcentagem em cogumelos mudou e agora 2,2 kg é 88% ou 0,88 cogumelos secos).

Resposta: 2,5kg.

Regra 4. Para encontrar um número dado suas porcentagens, você precisa expressar as porcentagens como uma fração e depois dividir o valor percentual por essa fração.

Em problemas de cálculos bancários, geralmente são encontrados juros simples e compostos. Qual é a diferença entre crescimento de juros simples e compostos? Com crescimento simples, a porcentagem é calculada a cada vez com base no valor inicial e, com crescimento complexo, é calculada a partir do valor anterior. Com crescimento simples, 100% é o valor inicial, e com crescimento complexo, 100% é novo a cada vez e igual ao valor anterior.

Exemplo. O banco paga uma renda de 4% ao mês do valor do depósito. 300 mil rublos foram colocados na conta, a renda é acumulada todos os meses. Calcule o valor da contribuição após 3 meses.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - a parcela do aumento do depósito em relação ao mês anterior.
2. 300. 1,04 \u003d 312 (mil rublos) - o valor da contribuição após 1 mês.
3. 312. 1,04 \u003d 324,48 (mil rublos) - o valor da contribuição após 2 meses.
4. 324,48. 1,04 = 337,4592 (mil r) = 337 459,2 (r) - valor da contribuição após 3 meses.

Ou você pode substituir os parágrafos 2-4 por um, repetindo o conceito de grau com os filhos: 300.1.043 \u003d 337.4592 (mil rublos) \u003d 337.459,2 (r) - o valor da contribuição após 3 meses.

Resposta: 337.459,2 rublos

Exemplo. Vasya leu no jornal que nos últimos 3 meses, os preços dos alimentos aumentaram em média 10% ao mês. Em que porcentagem os preços aumentaram em 3 meses?

Exemplo. O dinheiro investido em ações de uma empresa conhecida traz 20% da receita anualmente. Em quantos anos o investimento dobrará?

Vamos considerar um plano de tarefa semelhante usando exemplos específicos.

Exemplo. (Opção 1 nº 16. OGE-2016. Matemática. Tarefas típicas de teste_ed. Yashchenko_2016 -80s)

A loja de esportes está com uma promoção. Qualquer jumper custa 400 rublos. Na compra de dois jumpers - 75% de desconto no segundo jumper. Quantos rublos terei que pagar pela compra de dois jumpers durante o período da promoção?

De acordo com a condição do problema, verifica-se que o primeiro jumper é comprado por 100% do seu custo original e o segundo por 100 - 75 = 25 (%), ou seja. no total, o comprador deve pagar 100 + 25 = 125 (%) do custo original. A solução pode então ser considerada de três maneiras.

1 caminho.

Aceitamos 400 rublos como 100%. Então 1% contém 400: 100 = 4 (rublos) e 125%
4 . 125 = 500 (rublos)

2 maneiras.

Uma porcentagem de um número é encontrada multiplicando o número pela fração correspondente à porcentagem, ou multiplicando o número pela porcentagem dada e dividindo por 100.
400. 1,25 = 500 ou 400. 125/100 = 500.

3 vias.

Aplicando a propriedade de proporção:
400 esfregar. - 100%
x esfregar. - 125%, obtemos x \u003d 125. 400 / 100 = 500 (rublos)

Resposta: 500 rublos.

Exemplo. (Opção 4 nº 16. OGE-2016. Matemática. Tarefas típicas de teste_ed. Yashchenko_2016 -80s)

O peso médio dos meninos da mesma idade que Gosha é de 57 kg. O peso de Gosha é 150% do peso médio. Quantos quilos Gosha pesa?

Da mesma forma que o exemplo discutido acima, você pode fazer uma proporção:

57kg - 100%
x kg - 150%, obtemos x \u003d 57. 150 / 100 = 85,5 (kg)

Resposta: 85,5kg.

Exemplo. (Opção 7 nº 16. OGE-2016. Matemática. Tarefas típicas de teste_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Após a remarcação da TV, seu novo preço ficou em 0,52 do antigo. Em que porcentagem o preço diminuiu como resultado da redução?

1 caminho.

Vamos primeiro encontrar a parcela da redução de preço. Se o preço original for considerado 1, então 1 - 0,52 = 0,48 é a parcela da redução de preço. Então temos 0,48. 100% = 48%. Aqueles. o preço caiu 48% como resultado da redução.

2 maneiras.

Se o custo inicial for considerado A, após a redução, o novo preço da TV será de 0,52A, ou seja, diminuirá em A - 0,52A = 0,48A.

Vamos fazer uma proporção:
A - 100%
0,48A - x%, obtemos x = 0,48A. 100/A = 48 (%).

Resposta: o preço diminuiu 48% como resultado da remarcação.

Exemplo. (Opção 9 nº 16. OGE-2016. Matemática. Tarefas típicas de teste_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

O produto à venda foi reduzido em 15%, enquanto começou a custar 680 rublos. Quanto custava o item antes da venda?

Antes da queda de preço, o produto valia 100%. O preço do produto após a venda diminuiu 15%, ou seja. tornou-se 100 - 15 = 85 (%), em rublos, esse valor é igual a 680 rublos.

1 caminho.

680: 85 = 8 (rublos) - em 1%
oito . 100 \u003d 800 (rublos) - o custo das mercadorias antes da venda.

2 maneiras.

Este é o problema de encontrar um número por sua porcentagem, é resolvido dividindo o número pela porcentagem correspondente e convertendo a fração resultante em porcentagem, multiplicando por 100 ou dividindo pela fração obtida convertendo de porcentagens.
680:85. 100 \u003d 800 (rublos) ou 680: 0,85 \u003d 800 (rublos)

3 vias.

Com proporção:
680 esfregar. - 85%
x esfregar. - 100%, obtemos x = 680. 100 / 85 = 800 (rublos)

Resposta: 800 rublos custam as mercadorias antes da venda.

Resolução de problemas para misturas e ligas, utilizando os conceitos de "porcentagem", "concentração", "% solução".

As tarefas mais simples deste tipo estão listadas abaixo.

Exemplo. Quantos kg de sal em 10 kg de água salgada se a porcentagem de sal for 15%.

dez. 0,15 = 1,5 (kg) de sal.

Resposta: 1,5kg.

A porcentagem de uma substância em uma solução (por exemplo, 15%), às vezes chamada de % de solução (por exemplo, solução salina a 15%).

Exemplo. A liga contém 10 kg de estanho e 15 kg de zinco. Qual é a porcentagem de estanho e zinco na liga?

A porcentagem de uma substância em uma liga é a parte que o peso de uma determinada substância compõe do peso de toda a liga.

1. 10 + 15 = 25 (kg) - liga;
2. 10h25 100% = 40% - porcentagem de estanho na liga;
3. 15:25. 100% = 60% - porcentagem de zinco na liga.

Resposta: 40%, 60%.

Em tarefas deste tipo, o conceito de "concentração" é o principal. O que é isso?

Considere, por exemplo, uma solução de um ácido em água.

Deixe o recipiente conter 10 litros de uma solução, que consiste em 3 litros de ácido e 7 litros de água. Então o teor de ácido relativo (em relação ao volume total) na solução é igual. Este número determina a concentração do ácido na solução. Às vezes eles falam sobre a porcentagem de ácido na solução. No exemplo dado, a porcentagem será a seguinte: . Como você pode ver, a transição da concentração para a porcentagem e vice-versa é muito simples.

Então, deixe uma mistura de massa M conter alguma substância de massa m.

• a concentração de uma dada substância em uma mistura (liga) é uma quantidade;
• a porcentagem de uma dada substância é chamada de c × 100%;

Segue-se da última fórmula que em concentrações conhecidas de uma substância e a massa total de uma mistura (liga), a massa de uma dada substância é determinada pela fórmula m=c×M.

Problemas em misturas (ligas) podem ser divididos em dois tipos:

1. Por exemplo, duas misturas (ligas) com massas m1 e m2 e concentrações de alguma substância nelas iguais a c1 e c2, respectivamente, são dadas. As misturas (ligas) são drenadas (fundidas). É necessário determinar a massa desta substância em uma nova mistura (liga) e sua nova concentração. É claro que na nova mistura (liga) a massa da substância dada é igual a c1m1+c2m2, e a concentração.
2. Um certo volume da mistura (liga) é definido e, a partir desse volume, eles começam a lançar (remover) uma certa quantidade da mistura (liga) e, em seguida, adicionam (adicionam) a mesma ou outra quantidade da mistura (liga) com a mesma concentração da substância dada ou com uma concentração diferente. Esta operação é realizada várias vezes.

Ao resolver tais problemas, é necessário estabelecer um controle sobre a quantidade de determinada substância e sua concentração a cada vazante, bem como a cada adição da mistura. Como resultado de tal controle, obtemos uma equação de resolução. Vamos considerar tarefas específicas.

Se a concentração de uma substância em um composto em massa for P%, isso significa que a massa dessa substância é P% da massa de todo o composto.

Exemplo. A concentração de prata em uma liga de 300 g é de 87%. Isso significa que a prata pura na liga é de 261 g.

300. 0,87 = 261 (g).

Neste exemplo, a concentração de uma substância é expressa em porcentagem.

A razão entre o volume de um componente puro em solução e o volume total da mistura é chamada de concentração volumétrica desse componente.

A soma das concentrações de todos os componentes que compõem a mistura é 1.

Se a porcentagem de uma substância é conhecida, então sua concentração é encontrada pela fórmula:
K \u003d P / 100%,
onde K é a concentração da substância;
P é a porcentagem da substância (em porcentagem).

Exemplo. (Opção 8 nº 22. OGE-2016. Matemática. Tarefas típicas de teste_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Frutas frescas contêm 75% de água, enquanto frutas secas contêm 25%. Quanta fruta fresca é necessária para preparar 45 kg de frutas secas?

Se as frutas frescas contiverem 75% de água, a matéria seca será 100 - 75 = 25 (%) e seca - 25%, a matéria seca nelas será 100 - 25 = 75 (%).

Ao resolver um problema, você pode usar a tabela:

Fruta fresca x 25% = 0,25 0,25. X

Frutos secos 45 75% = 0,75 0,75. 45 = 33,75

Porque a massa de matéria seca para frutas frescas e secas não muda, então obtemos a equação:

0,25. x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) - é necessária fruta fresca.

Resposta: 135kg.

Exemplo. (Opção 8 No. 11. Exame Estadual Unificado-2016. Matemática. Típico. Teste. Tarefas. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Misturando soluções ácidas a 70% e 60% e adicionando 2 kg de água pura, obteve-se uma solução ácida a 50%. Se, em vez de 2 kg de água, fossem adicionados 2 kg de uma solução a 90% do mesmo ácido, obter-se-ia uma solução a 70% do ácido. Quantos quilogramas de uma solução a 70% foram usados ​​para fazer a mistura?

Peso total, kg | Concentração de matéria seca | Massa de matéria seca
I x 70% \u003d 0,7 0,7. X
II em 60% = 0,6 0,6. no
água 2 - -
I + II + água x + y + 2 50% \u003d 0,5 0,5. (x + y + 2)
III 2 90% = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% \u003d 0,7 0,7. (x + y + 2)

Usando a última coluna da tabela, vamos compor 2 equações:

0,7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) e 0,7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x + y + 2).

Combinando-os em um sistema e resolvendo, obtemos que x = 3 kg.

Resposta: 3 quilogramas de uma solução a 70% foram usados ​​para obter uma mistura.

Exemplo. (Opção 2 No. 11. Exame Estadual Unificado-2016. Matemática. Típico. Teste. Tarefas. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Três quilos de cerejas custam o mesmo que cinco quilos de cerejas, e três quilos de cerejas custam o mesmo que dois quilos de morangos. Em que porcentagem um quilo de morangos é mais barato que um quilo de cerejas?

Da primeira sentença do problema, obtemos as seguintes igualdades:

3h = 5v,
3v = 2k.
A partir do qual podemos expressar: h \u003d 5v / 3, k \u003d 3v / 2.

Assim, você pode fazer uma proporção:
5v/3 - 100%
3v / 2 - x%, obtemos x \u003d (3. 100. c.3) / (2. 5. c), x \u003d 90% é o custo de um quilo de morangos do custo de um quilo de cerejas.

Então, por 100 - 90 = 10 (%) - um quilo de morangos é mais barato que um quilo de cerejas.

Resposta: um quilo de morangos é 10% mais barato que um quilo de cerejas.

Resolver problemas de juros "compostos", usando o conceito de um coeficiente de aumento (diminuição).

Para aumentar o número positivo A em p por cento, multiplique o número A pelo fator de aumento K = (1 + 0,01p).

Para reduzir o número positivo A em p por cento, multiplique o número A pelo fator de redução K = (1 - 0,01p).

Exemplo. (Opção 29 No. 22. OGE-2015. Matemática. Opções típicas de exame: 36 opções / editado por Yashchenko, 2015 - 224c)

O preço de uma mercadoria foi reduzido duas vezes na mesma porcentagem. Em que porcentagem o preço das mercadorias diminuiu a cada vez se seu custo inicial foi de 5.000 rublos e o custo final foi de 4.050 rublos?

1 caminho.

Porque o preço de uma mercadoria diminuiu o mesmo número de %, vamos denotar o número de % como x. Deixe o preço do produto ser reduzido em x% pela primeira e segunda vez, então após a primeira diminuição o preço do produto se tornou (100 - x)%.

Vamos fazer uma proporção
5000 rublos. - 100%
ao esfregar. - (100 - x)%, obtemos y \u003d 5000. (100 - x) / 100 = 50 . (100 - x) rublos - o custo das mercadorias após a primeira redução.

Vamos fazer uma nova proporção para o novo preço:
cinquenta . (100 - x) esfregue. - 100%
z esfregue. - (100 - x)%, obtemos z \u003d 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 rublos - o custo das mercadorias após a segunda redução.

Obtemos a equação 0,5. (100 - x) 2 \u003d 4050. Tendo resolvido, obtemos x \u003d 10%.

2 maneiras.

Porque o preço de uma mercadoria diminuiu o mesmo número de%, vamos denotar o número de% como x, x% = 0,01 x.

Usando o conceito do fator de redução, obtemos imediatamente a equação:
5000. (1 - 0,01x) 2 = 4050.

Resposta: o preço das mercadorias diminuiu 10% a cada vez.

Exemplo. (Opção 30 No. 22. OGE-2015. Matemática. Opções típicas de exame: 36 opções / editado por Yashchenko, 2015 - 224c)

O preço de uma mercadoria foi aumentado duas vezes na mesma porcentagem. Em que porcentagem o preço das mercadorias aumentou a cada vez se seu custo inicial foi de 3.000 rublos e o custo final foi de 3.630 rublos?

Porque o preço de um bem aumentou o mesmo número de %, vamos denotar o número de % por x, x % = 0,01 x.

Usando o conceito do fator de ampliação, obtemos imediatamente a equação:
3000. (1 + 0,01x) 2 = 3630.

Resolvendo, obtemos que x = 10%.

Resposta: aumento de 10% no preço das mercadorias de cada vez.

Exemplo. (Opção 4 No. 11. Exame Estadual Unificado-2016. Matemática. Típico. Teste. Ass. ed. Yashchenko 2016 -56s)

Na quinta-feira, as ações da empresa subiram de preço em uma certa porcentagem e na sexta-feira caíram de preço na mesma porcentagem. Como resultado, eles começaram a custar 9% mais barato do que na abertura do pregão na quinta-feira. Em que porcentagem as ações da empresa subiram de preço na quinta-feira?

Suponha que as ações da empresa subam e desçam de preço em x%, x% = 0,01 x, e o valor inicial das ações foi A. Usando todas as condições do problema, obtemos a equação:

(1 + 0,01 x) (1 - 0,01 x) A \u003d (1 - 0,09) A,
1 - (0,01 x) 2 \u003d 0,91,
(0,01 x)2 = (0,3)2,
0,01 x \u003d 0,3,
x = 30%.

Resposta: As ações da empresa subiram 30% na quinta-feira.

Resolvendo problemas "bancários" na nova versão do USE-2016 em matemática.

Exemplo. (Opção 2 nº 17. Exame Estadual Unificado-2016. Matemática. 50 tipos. rev. ed. Yashchenko 2016)

Em 15 de janeiro, está previsto um empréstimo do banco por 15 meses. As condições para a sua devolução são as seguintes:

Sabe-se que o oitavo pagamento foi de 108 mil rublos. Quanto deve ser reembolsado ao banco durante todo o prazo do empréstimo?

Do dia 2 ao dia 14 é pago A/15 +0,01A.

Depois disso, o valor da dívida será de 1,01A - A / 15 - 0,01A \u003d 14A / 15.

Após 2 meses temos: 1.01. 14A/15.

Segundo pagamento A/15 + 0,01. 14A/15.

Então a dívida após o segundo pagamento é 13A/15.

Da mesma forma, obtemos que o oitavo pagamento será assim:

A/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08A/15.

E de acordo com a condição, é igual a 108 mil rublos. Assim, podemos escrever e resolver a equação:

1,08A / 15 \u003d 108,

A = 1500 (mil rublos) - o valor inicial da dívida.

2) Para encontrar o valor que precisa ser reembolsado ao banco durante todo o período do empréstimo, devemos encontrar o valor de todos os pagamentos do empréstimo.

A soma de todos os pagamentos do empréstimo será semelhante a:

(A / 15 + 0,01A) + (A / 15 + 0,01. 14A / 15) + (A / 15 + 0,01. 13A / 15) + ... + (A / 15 + 0,01. A /15) \u003d A + 0,01A / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \u003d A + (0,01. 120A)/15 = 1,08 UMA.

Então 1,08. 1500 \u003d 1620 (mil rublos) \u003d 1620000 rublos devem ser devolvidos ao banco durante todo o período do empréstimo.

Resposta: 1620000 rublos.

Exemplo. (Opção 6 No. 17. Unified State Exam-2016. Matemática. 50 tipos. rev. ed. Yashchenko 2016)

Em 15 de janeiro, está previsto um empréstimo do banco por 24 meses. As condições para a sua devolução são as seguintes:

• No dia 1º de cada mês, a dívida aumenta 1% em relação ao final do mês anterior;
• de 2 a 14 de cada mês, parte da dívida deve ser paga;
• No dia 15 de cada mês, a dívida deve ser o mesmo valor inferior à dívida no dia 15 do mês anterior.

Sabe-se que nos primeiros 12 meses é necessário pagar 177,75 mil rublos ao banco. Quanto você pretende emprestar?

1) Seja A o valor do empréstimo, 1% = 0,01.

Então 1,01A de dívida após o primeiro mês.

Do dia 2 ao dia 14 é pago A/24 +0,01A.

Depois disso, o valor da dívida será de 1,01A - A / 24 - 0,01A \u003d A - A / 24 \u003d 23A / 24.

Sob este esquema, a dívida torna-se o mesmo valor inferior à dívida no dia 15 do mês anterior.

Após 2 meses temos: 1.01. 23A/24.

Segundo pagamento A/24 + 0,01. 23A/24.

Então a dívida após o segundo pagamento é de 1,01. 23A/24 - A/24 - 0,01. 23A / 24 \u003d 23A / 24 (1,01 - 0,01) - A / 24 \u003d 23A / 24 - A / 24 \u003d 22A / 24.

Assim, temos que nos primeiros 12 meses você precisa pagar ao banco o seguinte valor:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + ... + A/24 + 0,01. 13A/24 = 12A/24 + 0,01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .

E de acordo com a condição, é igual a 177.375 mil rublos. Assim, podemos escrever e resolver a equação:
711A / 1200 \u003d 177,75,
A = 300 (mil rublos) = 300.000 rublos - está planejado fazer um empréstimo.

Resposta: 300.000 rublos.

Ser capaz de resolver problemas de texto com porcentagens de maneira correta e rápida é necessário não apenas para os alunos que estão prestes a passar no exame de matemática de nível básico ou especializado, mas também para todos os adultos, pois essas tarefas são encontradas constantemente na vida cotidiana. Aumento de preços, planejamento de um orçamento familiar, investimento lucrativo de fundos e muitas outras questões não podem ser resolvidas sem essas habilidades. Na preparação para passar no teste de certificação, é imperativo repetir como resolver problemas de porcentagens: no USE em matemática, eles são encontrados tanto no nível básico quanto no de perfil.

Precisa lembrar

Uma porcentagem é \(\frac(1)(100)\) parte de algum número. Denota a proporção de algo em relação ao todo. O caractere escrito é \(\%\) . Ao se preparar para o Exame Unificado do Estado sobre o tema "Interesse", as crianças em idade escolar em Moscou e em outras partes da Federação Russa devem se lembrar da seguinte fórmula:

\

Como aplicá-lo?

Para resolver uma tarefa simples com porcentagens no exame de matemática, você precisa:

1. Divida o número dado por \(100\) .
2. Multiplique o valor resultante pela quantidade \(\%\) a ser encontrada.

Por exemplo, para calcular \(10\%\) de \(300\) , você encontraria \(1\) porcentagem dividindo \(300:100=3\) . E o número \(3\cdot10=30\) obtido da ação anterior. Resposta: \(30\).

Essas são as tarefas mais simples. Os alunos do 11º ano do USE deparam-se com a necessidade de resolver problemas complexos com percentagens. Como regra, eles estão falando sobre depósitos bancários ou pagamentos. Você pode se familiarizar com as fórmulas e as regras para sua aplicação acessando a seção "Referência teórica". Aqui você pode não apenas repetir as definições básicas, mas também se familiarizar com as opções para resolver problemas complexos de juros de um empréstimo bancário, bem como com exercícios de outras seções de álgebra, por exemplo,

Tipo de trabalho: 11
Tópico: Tarefas para porcentagens

Doença

Elena fez um depósito no banco no valor de 5500 rublos. Os juros sobre o depósito são calculados uma vez por ano e são adicionados ao valor do depósito atual. Um ano depois, Natalia depositou a mesma quantia no mesmo banco e nos mesmos termos. Um ano depois, Elena e Natalya fecharam simultaneamente seus depósitos e pegaram o dinheiro. Como resultado, Elena recebeu 739,2 rublos a mais do que Natalya recebeu. Encontre qual porcentagem por ano o banco cobra sobre os depósitos?

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Decisão

Seja a porcentagem por ano x, então depois de um ano a contribuição de Elena foi:

5500 + 0,01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0,01x) rublos e um ano depois - 5500(1 + 0,01x)^2 rublos. O depósito de Natalia ficou no banco por apenas um ano, então é igual a 5500 (1 + 0,01x) rublos. E a diferença entre as contribuições resultantes de Elena e Natalia foi de 739,2 rublos.

Vamos fazer e resolver a equação:

5500(1+0,01x)^2-5500(1+0,01x)= 739,2,

(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\enspace x_2=12.

O banco cobrava 12% ao ano.

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Tipo de trabalho: 11
Tópico: Tarefas para porcentagens

Doença

O empresário Petrov obteve um lucro de 12.000 rublos em 2005. A cada ano subsequente, seu lucro aumentou 110% em relação ao ano anterior. Quantos rublos Petrov ganhou em 2008?

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Decisão

Em 2005, o lucro foi de 12\.000 rublos, cada ano seguinte aumentou 110\%, ou seja, tornou-se 210\% \u003d 2,1 em relação ao ano anterior. Em três anos será 12\.000 \cdot 2,1^3 = 111\,132 rublo.

Responda

Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 11
Tópico: Tarefas para porcentagens

Doença

Existem duas ligas. A primeira liga contém 12% de ferro, a segunda - 28% de ferro. A massa da segunda liga é maior que a massa da primeira em 2 kg. A partir dessas duas ligas, foi feita uma terceira liga com teor de ferro de 21%. Encontre a massa da terceira liga. Dê sua resposta em quilogramas.

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Decisão

Vamos denotar a massa da primeira liga como x kg. Então a massa da segunda liga é (x + 2) kg. O teor de ferro na primeira liga é de 0,12x kg, na segunda liga - 0,28(x + 2) kg. A terceira liga tem massa x + x + 2 = 2x + 2 (kg), e seu teor de ferro é 2(x + 1) \cdot 0,21 = 0,42(x + 1) kg.

Vamos fazer e resolver a equação:

0,12x+ 0,28(x + 2) = 0,42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

X = 7.

A terceira liga tem massa de 2 \cdot 7 + 2 = 16 (kg).

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 11
Tópico: Tarefas para porcentagens

Doença

O preço de um aparelho de TV na loja é reduzido trimestralmente (em um trimestre - três meses) pelo mesmo número de por cento do preço anterior. Sabe-se que uma TV no valor de 50.000 rublos foi vendida dois trimestres depois por 41.405 rublos. Encontre a porcentagem pela qual o custo da TV diminuiu trimestralmente.

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Decisão

O preço da TV era originalmente de 50.000 rublos. Um quarto depois ela se tornou 50\.000-50\.000\cdot0,01x = 50\.000(1-0,01x) rublos, onde x é a porcentagem pela qual o preço da TV é reduzido trimestralmente. Após dois trimestres, seu preço tornou-se

50\.000(1-0,01x)(1-0,01x)=50\.000(1-0,01x)^2.

Vamos fazer e resolver a equação:

50\,000(1-0,01x)^2=41\,405,

(1-0,01x)^2=0,8281,

1-0,01x=0,91,

x=9.

Assim, o preço da TV diminuiu 9% trimestralmente.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 11
Tópico: Tarefas para porcentagens

Doença

Em 2005, 55.000 pessoas viviam na aldeia. Em 2006, como resultado da construção de novas casas, o número de moradores aumentou 6% e em 2007 - 10% em relação a 2006. Encontre o número de habitantes da aldeia em 2007.

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Decisão

Em 2006, o número de moradores da vila aumentou 6%, ou seja. tornou-se 106%, que é igual a 55\.000 \cdot 1.06 = 58\.300 (habitantes). Em 2007, o número de moradores da vila aumentou 10% (tornou-se 110%) em relação a 2006, ou seja. o número de habitantes da aldeia passou a ser 58\.300 \cdot 1,1 = 64\.130 pessoas.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 11
Tópico: Tarefas para porcentagens

Doença

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Decisão

3 litros de uma solução aquosa a 14% contém 3 \ cdot0,14 \u003d 0,42 litros. alguma substância. Adicionados 4 litros de água, tornaram-se 7 litros de solução. Nestes 7 litros de uma nova solução - 0,42 litros de alguma substância. Vamos encontrar a concentração da nova solução: 0,42:7\cdot100=6%.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 11
Tópico: Tarefas para porcentagens

Doença

As empresas de construção estabeleceram uma empresa com capital autorizado de 150 milhões de rublos. A primeira empresa contribuiu com 20% do capital autorizado, a segunda empresa - 22,5 milhões de rublos, a terceira - 0,3 do capital autorizado, a quarta empresa contribuiu com o restante.