A lição pode começar com a história do professor.

Vashchenko N.M., na aula

Na Grécia antiga, todos os oradores aprendiam geometria. Na porta da escola estava escrito: "Aquele que não sabe geometria, que não entre aqui". Por quê? Sim, porque a geometria ensina a provar. O discurso de uma pessoa só é convincente quando ela prova suas conclusões. Em seu raciocínio, as pessoas costumam usar o método de prova, que é chamado de "por contradição".

Vamos dar exemplos de tais provas.

Exemplo 1 Os batedores receberam a tarefa de descobrir se havia uma coluna de tanques inimiga na aldeia em questão. O comandante de reconhecimento relata: se houvesse uma coluna de tanques na aldeia, haveria vestígios de lagartas, mas não os encontramos.

Esquema de raciocínio. É necessário comprovar: não há coluna. Suponha que haja uma coluna. Então deve haver vestígios. Contradição - não há vestígios. Conclusão: a suposição está incorreta, o que significa que não há coluna de tanque.

Exemplo 2 O médico depois de examinar uma criança doente diz:

“A criança não tem sarampo. Se ele tivesse sarampo, haveria uma erupção em seu corpo, mas não há erupção cutânea”.

O raciocínio do médico também foi realizado de acordo com o esquema acima.

A pergunta é feita: “Qual é a essência do método de prova por contradição?” - e uma tabela é postada (Tabela 5).

Por contradição é possível resolver problemas previamente conhecidos.

1. Dado: a||b, linhas c e a se cruzam. Provar: as linhas c e b se cruzam.

Prova.

1) Suponha que b||c.

2) Então acontece que duas linhas diferentes a e b passam pelo ponto O (o ponto de intersecção das linhas a e c), que são paralelas à linha b.

3) Isso contradiz o axioma das linhas paralelas.

Conclusão: significa que nossa suposição está errada, mas o que era necessário provar é verdade, ou seja, que as linhas se cruzam.

2. Dado: A, B, C - pontos da linha a, AB = 5 cm, AC = 2 cm, BC = 7 cm. Provar:

Prova.

1) Suponha que o ponto C esteja entre os pontos A e B.

2) Então, de acordo com o axioma de medição dos segmentos AB = AC + CBA

3) Isso contradiz a condição: AB \u003d AC + CB, já que AB \u003d 5 cm, AC + C5 \u003d 9 cm.

Conclusão: o ponto C não está entre os pontos A e B.

3. Dado: AB - meia linha, C AB, AC< АВ. Provar:

Prova.

1) Suponha que o ponto B esteja entre os pontos A e C.

2) Então, de acordo com o axioma de medição dos segmentos AB + BC = AC, ou seja, AB

3) Isso contradiz a condição do problema: AS<АВ.

Conclusão: o ponto B não está entre os pontos A e C.

A resolução de problemas é escrita em cadernos. Para que os alunos aprendam a essência do método de prova por contradição, bem como para economizar tempo na resolução de problemas, você pode usar cartões de dicas feitos de papel grosso e inseridos em sacos plásticos. O aluno deve preencher os lugares que faltam no filme plástico. Os registros de fita são facilmente apagados e, portanto, os cartões podem ser usados ​​repetidamente.

O cartão se parece com:

Suponha o oposto do que é necessário para ser provado, ou seja,

Segue-se da suposição de que (com base em ……

Obtemos uma contradição.

Isso significa que nossa suposição está errada, mas o que era necessário provar é verdade, ou seja,

Trabalho de casa:

n. "Prova por contradição" § 2 para as palavras: "Vamos explicar isso ...".

1. Prove que se MN = 8 m, MK = 5 m, NK- 10 m, então os pontos M, N e K não estão em uma linha reta.

2. Prove que se<(ab) = 100°, <(be) - 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab).

3. Prove o Teorema 1.1 por contradição.

Muitas vezes, ao provar teoremas, o método de prova é usado. contrário. A essência deste método ajuda a entender o enigma. Tente desvendá-lo.

Imagine um país em que uma pessoa condenada à morte é convidada a escolher um dos dois papéis de aparência idêntica: um diz “morte”, o outro diz “vida”. Os inimigos caluniaram um habitante deste país. E para que ele não tivesse chance de escapar, fizeram com que no verso de ambos os pedaços de papel, do qual ele deveria escolher um, estivesse escrito “morte”. Amigos descobriram isso e informaram o condenado. Ele pediu para não contar a ninguém sobre isso. Puxou um dos papéis. E ficou para viver. Como ele fez isso?

Responda. O condenado engoliu o pedaço de papel que escolheu. Para determinar qual lote caiu para ele, os juízes examinaram o pedaço de papel restante. Nela estava escrito: "morte". Isso provou que ele tinha sorte, ele puxou um pedaço de papel no qual estava escrito: "vida".

Como no caso de que fala o enigma, apenas dois casos são possíveis durante a prova: é possível... ou é impossível... juízes obtiveram, está escrito: “morte”), então podemos imediatamente concluir que a segunda possibilidade é válida (no segundo pedaço de papel está escrito: “vida”).

A prova por contradição é feita da seguinte forma.

1) Estabeleça quais opções são, em princípio, possíveis ao resolver um problema ou provar um teorema. Pode haver duas opções (por exemplo, se as linhas em consideração são perpendiculares ou não); Pode haver três ou mais opções de resposta (por exemplo, qual o ângulo obtido: agudo, reto ou obtuso).

2) Prove. Que nenhuma das opções que precisamos rejeitar pode ser executada. (Por exemplo, se for necessário provar que as retas são perpendiculares, olhamos o que acontece se considerarmos retas não perpendiculares. Via de regra, é possível estabelecer que neste caso qualquer uma das conclusões contradiz o que é dado na condição e, portanto, é impossível.

3) Com base no fato de que todas as conclusões indesejáveis ​​são descartadas e apenas uma (desejável) permanece desconsiderada, concluímos que é ele quem está correto.

Vamos resolver o problema usando a prova por contradição.

Dado: as linhas a e b são tais que qualquer linha que intercepta a também intercepta b.

Usando o método da prova "por contradição", prove que a ll b.

Prova.

Apenas dois casos são possíveis:

1) as linhas aeb são paralelas (vida);

2) as linhas aeb não são paralelas (morte).

Se for possível excluir o caso indesejável, resta concluir que o segundo dos dois casos possíveis ocorre. Para descartar o caso indesejável, vamos pensar no que acontece se as linhas a e b se cruzarem:

Por suposição, qualquer linha que intercepta a também intercepta b. Portanto, se for possível encontrar pelo menos uma linha que intercepta a, mas não intercepta b, esse caso deve ser descartado. Você pode encontrar quantas linhas quiser: basta desenhar por qualquer ponto K da linha a, exceto pelo ponto M, a linha KS paralela a b:

Como um dos dois casos possíveis é descartado, pode-se concluir imediatamente que b.

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A prova “pelo contrário” (em latim “reductio ad absurdum”) caracteriza-se pelo fato de que o próprio processo de provar uma opinião é realizado pela refutação da sentença contrária. Uma antítese pode ser provada falsa estabelecendo o fato de que é incompatível com uma proposição verdadeira.

Normalmente, esse método é demonstrado visualmente usando uma fórmula em que A é a antítese e B é a verdade. Se a solução revelar que a presença da variável A leva a resultados diferentes de B, então A é provado ser falso.

Prova "por contradição" sem o uso da verdade

Há também uma prova mais fácil da falsidade do "oposto" - a antítese. Tal regra-fórmula diz: “Se uma contradição surgiu na fórmula ao resolver com a variável A, A é falsa”. Não importa se a antítese é negativa ou afirmativa. Além disso, uma forma mais simples de provar por contradição contém apenas dois fatos: a tese e a antítese, a verdade B não é usada. Isso simplifica muito o processo de prova.

Apagogue

No processo de provar por contradição (que também é chamado de "redução ao absurdo"), a apagogia é frequentemente usada. Trata-se de uma técnica lógica, cuja finalidade é provar a incorreção de qualquer juízo de modo que uma contradição se revele diretamente nele ou nas consequências dele decorrentes. A contradição pode ser expressa na identidade de objetos obviamente diferentes ou como conclusões: conjunção ou pares B e não B (verdadeiro e não verdadeiro).

A recepção de evidências "por contradição" é frequentemente usada. Em muitos casos, não é possível provar a incorreção de um julgamento de qualquer outra forma. Além da apagogia, há também uma forma paradoxal de prova por contradição. Esta forma foi utilizada nos "Elementos" de Euclides e representa a seguinte regra: A é considerada provada se for possível demonstrar a "verdadeira falsidade" de A.

Assim, o processo de evidência por contradição (também chamado de evidência indireta e apogógica) é o seguinte. Propõe-se uma opinião oposta, deduzem-se consequências desta antítese, entre as quais se busca o falso. Eles encontram evidências de que entre as consequências há de fato uma falsa. Disso se conclui que a antítese está errada e, como a antítese está errada, segue-se a conclusão lógica de que a verdade está contida na tese.

O Dicionário Explicativo de Termos Matemáticos define a prova por contradição de um teorema oposto ao teorema inverso. “A prova por contradição é um método de provar um teorema (frase), que consiste em provar não o teorema em si, mas seu teorema equivalente (equivalente), oposto inverso (reverso ao oposto). A prova por contradição é usada sempre que o teorema direto é difícil de provar, mas o inverso oposto é mais fácil. Ao provar por contradição, a conclusão do teorema é substituída por sua negação e, por raciocínio, chega-se à negação da condição, ou seja, a uma contradição, ao contrário (o oposto do que é dado; esta redução ao absurdo prova o teorema.

A prova por contradição é muito usada em matemática. A prova por contradição baseia-se na lei do terceiro excluído, que consiste no fato de que das duas afirmações (afirmações) A ​​e A (negação de A), uma delas é verdadeira e a outra é falsa./ Dicionário explicativo de termos matemáticos: Um guia para professores / O. V. Manturov [e outros]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Iluminismo, 1965.- 539 p.: il.-C.112/.

Não seria melhor declarar abertamente que o método de prova por contradição não é um método matemático, embora seja usado em matemática, que é um método lógico e pertence à lógica. É válido dizer que a prova por contradição é "usada sempre que um teorema direto é difícil de provar", quando na verdade é usado se, e somente se, não há substituto para ele.

A característica da relação entre os teoremas direto e inverso também merece atenção especial. “Um teorema inverso para um determinado teorema (ou para um determinado teorema) é um teorema em que a condição é a conclusão, e a conclusão é a condição do teorema dado. Este teorema em relação ao teorema inverso é chamado de teorema direto (inicial). Ao mesmo tempo, o teorema inverso do teorema inverso será o teorema dado; portanto, os teoremas direto e inverso são chamados mutuamente inversos. Se o teorema direto (dado) é verdadeiro, então o teorema inverso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo, se um quadrilátero é um losango, então suas diagonais são mutuamente perpendiculares (teorema direto). Se as diagonais em um quadrilátero são mutuamente perpendiculares, então o quadrilátero é um losango - isso não é verdade, ou seja, o teorema inverso não é verdadeiro./ Dicionário explicativo de termos matemáticos: Um guia para professores / O. V. Manturov [e outros]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Iluminismo, 1965.- 539 p.: il.-C.261 /.

Esta caracterização da relação entre teoremas diretos e inversos não leva em consideração o fato de que a condição do teorema direto é tida como dada, sem prova, de modo que sua correção não é garantida. A condição do teorema inverso não é tomada como dada, pois é a conclusão do teorema direto provado. Sua correção é confirmada pela prova do teorema direto. Essa diferença lógica essencial entre as condições dos teoremas direto e inverso acaba sendo decisiva na questão de quais teoremas podem e quais não podem ser demonstrados pelo método lógico pelo contrário.

Vamos supor que haja um teorema direto em mente, que pode ser provado pelo método matemático usual, mas é difícil. Nós o formulamos de uma forma geral em uma forma curta da seguinte forma: a partir de MAS deve E . Símbolo MAS tem o valor da condição dada do teorema, aceito sem prova. Símbolo E é a conclusão do teorema a ser provado.

Vamos provar o teorema direto por contradição, lógico método. O método lógico prova um teorema que tem não matemático condição, e lógico doença. Pode ser obtido se a condição matemática do teorema a partir de MAS deve E , complete com a condição oposta a partir de MAS isso não segue E .

Como resultado, obteve-se uma condição lógica contraditória do novo teorema, que inclui duas partes: a partir de MAS deve E e a partir de MAS isso não segue E . A condição resultante do novo teorema corresponde à lei lógica do terceiro excluído e corresponde à prova do teorema por contradição.

De acordo com a lei, uma parte da condição contraditória é falsa, outra parte é verdadeira e a terceira é excluída. A prova por contradição tem sua própria tarefa e objetivo de estabelecer exatamente qual parte das duas partes da condição do teorema é falsa. Assim que a parte falsa da condição for determinada, será estabelecido que a outra parte é a parte verdadeira, e a terceira é excluída.

De acordo com o dicionário explicativo de termos matemáticos, “prova é raciocínio, durante o qual se estabelece a verdade ou falsidade de qualquer afirmação (julgamento, afirmação, teorema)”. Prova contrário há uma discussão no decurso da qual se estabelece falsidade(absurdo) da conclusão que se segue de falso condições do teorema que está sendo provado.

Dado: a partir de MAS deve E e de MAS isso não segue E .

Provar: a partir de MAS deve E .

Prova: A condição lógica do teorema contém uma contradição que requer sua resolução. A contradição da condição deve encontrar sua resolução na prova e seu resultado. O resultado acaba sendo falso se o raciocínio for impecável e infalível. A razão para uma conclusão falsa com raciocínio logicamente correto só pode ser uma condição contraditória: a partir de MAS deve E e a partir de MAS isso não segue E .

Não há sombra de dúvida de que uma parte da condição é falsa e a outra neste caso é verdadeira. Ambas as partes da condição têm a mesma origem, são aceitas como dadas, assumidas, igualmente possíveis, igualmente admissíveis, etc. outro. Portanto, na mesma medida, a partir de MAS deve E e talvez a partir de MAS isso não segue E . Declaração a partir de MAS deve E talvez falso, então a afirmação a partir de MAS isso não segue E será verdade. Declaração a partir de MAS isso não segue E pode ser falsa, então a afirmação a partir de MAS deve E será verdade.

Portanto, é impossível provar o teorema direto pelo método da contradição.

Agora vamos provar o mesmo teorema direto pelo método matemático usual.

Dado: MAS .

Provar: a partir de MAS deve E .

Prova.

1. A partir de MAS deve B

2. A partir de B deve NO (de acordo com o teorema previamente provado)).

3. A partir de NO deve G (de acordo com o teorema previamente provado).

4. A partir de G deve D (de acordo com o teorema previamente provado).

5. A partir de D deve E (de acordo com o teorema previamente provado).

Com base na lei da transitividade, a partir de MAS deve E . O teorema direto é provado pelo método usual.

Deixe o teorema direto provado ter um teorema inverso correto: a partir de E deve MAS .

Vamos provar isso por ordinário matemático método. A prova do teorema inverso pode ser expressa de forma simbólica como um algoritmo de operações matemáticas.

Dado: E

Provar: a partir de E deve MAS .

Prova.

!. A partir de E deve D

1. A partir de D deve G (pelo teorema inverso previamente provado).

2. A partir de G deve NO (pelo teorema inverso previamente provado).

3. A partir de NO isso não segue B (O inverso não é verdadeiro). É por isso a partir de B isso não segue MAS .

Nesta situação, não faz sentido continuar a prova matemática do teorema inverso. A razão para a situação é lógica. É impossível substituir um teorema inverso incorreto por qualquer coisa. Portanto, este teorema inverso não pode ser provado pelo método matemático usual. Toda a esperança é provar este teorema inverso por contradição.

Para provar isso por contradição, é necessário substituir sua condição matemática por uma condição lógica contraditória, que em seu significado contém duas partes - falsa e verdadeira.

Teorema inverso reivindicações: a partir de E isso não segue MAS . Sua condição E , de onde segue a conclusão MAS , é o resultado de provar o teorema direto pelo método matemático usual. Esta condição deve ser mantida e complementada com a declaração a partir de E deve MAS . Como resultado da adição, uma condição contraditória do novo teorema inverso é obtida: a partir de E deve MAS e a partir de E isso não segue MAS . Com base nisso logicamente condição contraditória, o teorema inverso pode ser provado pelo correto lógico raciocínio apenas, e apenas, lógico método oposto. Em uma prova por contradição, quaisquer ações e operações matemáticas são subordinadas às lógicas e, portanto, não contam.

Na primeira parte da declaração contraditória a partir de E deve MAS doença E foi provado pela prova do teorema direto. Na segunda parte a partir de E isso não segue MAS doença E foi assumida e aceita sem prova. Uma delas é falsa e a outra é verdadeira. É necessário provar qual deles é falso.

Provamos com o correto lógico raciocínio e descobrir que seu resultado é uma conclusão falsa e absurda. A razão para uma conclusão lógica falsa é a condição lógica contraditória do teorema, que contém duas partes - falsa e verdadeira. A parte falsa só pode ser uma afirmação a partir de E isso não segue MAS , em que E aceito sem comprovação. Isso é o que o distingue de E declarações a partir de E deve MAS , o que é provado pela prova do teorema direto.

Portanto, a afirmação é verdadeira: a partir de E deve MAS , que deveria ser provado.

Conclusão: somente aquele teorema inverso é provado pelo método lógico pelo contrário, que tem um teorema direto provado pelo método matemático e que não pode ser provado pelo método matemático.

A conclusão obtida adquire uma importância excepcional em relação ao método de prova por contradição do grande teorema de Fermat. A esmagadora maioria das tentativas de provar isso não se baseia no método matemático usual, mas no método lógico de provar por contradição. A prova do Grande Teorema de Fermat Wiles não é exceção.

Em outras palavras, Gerhard Frey sugeriu que a equação do Último Teorema de Fermat x n + y n = z n , Onde n > 2 , tem soluções em inteiros positivos. As mesmas soluções são, pela suposição de Frey, as soluções de sua equação
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , que é dado por sua curva elíptica.

Andrew Wiles aceitou esta notável descoberta de Frey e, com sua ajuda, através matemático O método provou que esse achado, ou seja, a curva elíptica de Frey, não existe. Portanto, não há equação e suas soluções que são dadas por uma curva elíptica inexistente, portanto Wiles deveria ter concluído que não há equação do Último Teorema de Fermat e do Teorema de Fermat propriamente dito. No entanto, ele tira a conclusão mais modesta de que a equação do Último Teorema de Fermat não tem soluções em inteiros positivos.

Pode ser um fato inegável que Wiles aceitou uma suposição que é diretamente oposta em significado ao que é afirmado pelo Último Teorema de Fermat. Obriga Wiles a provar o Último Teorema de Fermat por contradição. Vamos seguir o exemplo dele e ver o que acontece a partir deste exemplo.

O Último Teorema de Fermat afirma que a equação x n + y n = z n , Onde n > 2

De acordo com o método lógico de prova por contradição, esta afirmação é preservada, aceita como dada sem prova, e então complementada com uma afirmação de significado oposto: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , tem soluções em inteiros positivos.

A afirmação hipotética também é aceita como dada, sem prova. Ambas as afirmações, consideradas do ponto de vista das leis básicas da lógica, são igualmente admissíveis, iguais em direitos e igualmente possíveis. Pelo raciocínio correto, é necessário estabelecer qual delas é falsa, para então estabelecer que a outra afirmação é verdadeira.

O raciocínio correto termina com uma conclusão falsa e absurda, cuja causa lógica só pode ser uma condição contraditória da prova do teorema, que contém duas partes de um significado diretamente oposto. Eles foram a causa lógica da conclusão absurda, o resultado da prova por contradição.

No entanto, no curso do raciocínio logicamente correto, não foi encontrado um único sinal pelo qual fosse possível estabelecer qual afirmação particular é falsa. Pode ser uma afirmação: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , tem soluções em inteiros positivos. Na mesma base, pode ser a afirmação: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , não tem soluções em inteiros positivos.

Como resultado do raciocínio, só pode haver uma conclusão: O Último Teorema de Fermat não pode ser provado por contradição.

Seria uma questão muito diferente se o Último Teorema de Fermat fosse um teorema inverso que tem um teorema direto provado pelo método matemático usual. Neste caso, pode ser provado por contradição. E como é um teorema direto, sua prova deve ser baseada não no método lógico de prova por contradição, mas no método matemático usual.

De acordo com D. Abrarov, o acadêmico V. I. Arnold, o mais famoso matemático russo contemporâneo, reagiu à prova de Wiles "ativamente cético". O acadêmico disse: “isso não é matemática real - a matemática real é geométrica e tem fortes ligações com a física”. A afirmação do acadêmico expressa a própria essência da prova não matemática de Wiles do Último Teorema de Fermat.

Por contradição, é impossível provar que a equação do Último Teorema de Fermat não tem soluções, ou que tem soluções. O erro de Wiles não é matemático, mas lógico - o uso da prova por contradição onde seu uso não faz sentido e não prova o Último Teorema de Fermat.

Nem o Último Teorema de Fermat é provado usando o método matemático usual se contiver dado: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , não tem soluções em inteiros positivos, e se obrigado a provar: a equação x n + y n = z n , Onde n > 2 , não tem soluções em inteiros positivos. Nesta forma, não há um teorema, mas uma tautologia desprovida de sentido.

A lição é projetada para 2 academias. horas.

Alvo: estudar vários métodos de evidência (raciocínio direto, o método de "por contradição" e raciocínio reverso), ilustrando a metodologia do raciocínio. Considere o método de indução matemática.

Material teórico Métodos de prova

Ao provar teoremas, o raciocínio lógico é usado. Provas em ciência da computação são parte integrante da verificação da correção dos algoritmos. A necessidade de prova surge quando precisamos estabelecer a verdade de uma afirmação da forma (AB). Existem vários tipos padrão de evidência, incluindo o seguinte:

Raciocínio direto (prova).

Assumimos que A é verdadeira e mostramos a validade de B. Este método de prova exclui a situação em que A é verdadeiro e B é falso, pois é neste e somente neste caso que a implicação (AB) assume um valor falso (ver Tabela).

Assim, a prova direta vai de considerar os argumentos para provar a tese, ou seja, a verdade da tese é diretamente substanciada pelos argumentos. O esquema desta prova é o seguinte: a partir dos argumentos dados (a, b, c,...) uma tese comprovável deve necessariamente seguir q.

Esse tipo de prova é realizado na prática judiciária, na ciência, na controvérsia, nos escritos de escolares, na apresentação de material por um professor, etc.

Exemplos:

1. O professor na aula com prova direta da tese “O povo é o criador da história”, mostra; em primeiro lugar que o povo é o criador da riqueza material, Em segundo lugar, comprova o enorme papel das massas populares na política, explica como na era moderna o povo está lutando ativamente pela paz e pela democracia, em terceiro lugar, revela seu grande papel na criação da cultura espiritual.

2. Nas aulas de química, a evidência direta da combustibilidade do açúcar pode ser apresentada na forma de um silogismo categórico: Todos os carboidratos são combustíveis. O açúcar é um carboidrato. O açúcar é inflamável.

Na revista de moda moderna “Burda”, a tese “A inveja é a raiz de todos os males” é fundamentada com a ajuda de evidências diretas com os seguintes argumentos: “A inveja não apenas envenena a vida cotidiana das pessoas, mas também pode levar a consequências mais graves , portanto, junto com o ciúme, a raiva e o ódio, sem dúvida um dos piores traços de caráter. Subindo imperceptivelmente, a inveja dói dolorosa e profundamente. Uma pessoa inveja o bem-estar dos outros, sofre com a consciência de que alguém é mais afortunado.

2. Raciocínio reverso(prova) . Assumimos que a afirmação B é falsa e mostramos a falácia de A. Ou seja, verificamos diretamente a veracidade da implicação ((não B)  (não A)), que, de acordo com a tabela, é logicamente equivalente para a verdade da afirmação original (A  B).

3. O método "por contradição".

Este método é frequentemente usado em matemática. Deixar uma- uma tese ou teorema a ser provado. Assumimos por contradição que uma falso, ou seja, verdadeiro Não(ou ). Da suposição deduzimos consequências que contradizem a realidade ou teoremas previamente comprovados. Nós temos
, em que - false, portanto, sua negação é verdadeira, ou seja, , que, de acordo com a lei da lógica clássica de dois valores ( →uma) dá uma. Então é verdade uma, que deveria ser provado.

Há muitos exemplos de prova “por contradição” no curso de matemática escolar. Assim, por exemplo, está provado o teorema de que, de um ponto fora de uma linha reta, apenas uma perpendicular pode ser lançada sobre essa linha reta. Por contradição, o seguinte teorema também é provado: “Se duas retas são perpendiculares ao mesmo plano, então elas são paralelas”. A prova deste teorema começa diretamente com as palavras: “Suponha o contrário, ou seja, que as linhas AB e CD não paralelo."