6ª série

SUJEITO: "Divisão de frações ordinárias", grau 6.

O OBJETIVO DA LIÇÃO: Resumir e sistematizar teórico e prático

conhecimentos, habilidades e habilidades dos alunos. Organizar o trabalho para

preencher lacunas no conhecimento dos alunos. melhorar, expandir

e aprofundar o conhecimento dos alunos sobre o tema.

TIPO DE LIÇÃO: Aula de generalização e sistematização de conhecimentos, competências e habilidades.

Equipamento: No quadro está o tópico, objetivo, plano de aula.

DURANTE AS AULAS.

Cada aluno tem uma lista de verificação em sua mesa.

1. lição de casa -

2. questões de revisão -

3. relato verbal -

4. trabalho de classe -

5. trabalho independente -

1. Verificando a lição de casa:

a) trabalhar em duplas nas seguintes questões:

1) Adição, subtração de frações ordinárias;

2) Como multiplicar uma fração por uma fração;

3) Multiplicação de duas frações;

4) Multiplicação de frações mistas;

5) A regra de divisão de frações;

6) Divisão de frações mistas;

7) O que é chamado. redução de frações.

b) verificando a lição de casa de acordo com a solução finalizada no quadro:

620 (a), 624, 619 (d).

Objetivo: determinar o grau de assimilação do dever de casa. Identifique fraquezas comuns.

Coloque as notas na folha de controle

Anuncie o objetivo da lição: Generalizar e sistematizar conhecimentos, habilidades e habilidades em

tópico: "Divisão de frações ordinárias."

A teoria foi repetida, vamos verificar o conhecimento na prática.

2. Contagem verbal.

a) Nos cartões: 1) Reduza a fração:; ; ; …

2) Converter em fração imprópria: ; ; …

3) Selecione a parte inteira: ; ; …

b) Escada numérica. Quem chegar mais rápido ao 6º andar saberá:

construção da geometria (Euclides)

Opção 2 - uma pessoa que queria ser advogado, oficial e filósofo, mas

tornou-se um matemático (Descartes)

l 0,1: ½ 0,4: 0,1 a

i d e l k c a v r e t

Notas na folha de controle, para: 2 "-"5", 3" - "4", 4" - "3".

Quem completou a “escada” faz no caderno o nº 606. O primeiro dos alunos da ala do quadro faz o nº 606. Depois confere a turma.

3.

a) Nº 581 (b, d), 587 (com comentários), 591 (l, m, j), 600, 602, 593 (d, c, e, i)

A tarefa é feita em cadernos e no quadro.

b) resolver o problema: mil rublos foram pagos por um kg de doces. Quantos são

Kg desses doces?

4.

№ 1 . Executar ações:

: respostas: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . Represente uma fração como uma fração ordinária e faça o seguinte:

0,375: respostas: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . Resolva a equação: respostas: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . No primeiro dia, o turista percorreu todo o caminho, e no segundo dia, o restante. Dentro

quantas vezes mais é a parte da estrada percorrida pelo turista no primeiro dia do que no

segundo? Respostas: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. Apresentar como uma fração:

: resposta: 1) 2) 3) 4)

Verifique a solução de acordo com o modelo: No. 1 -4; Nº 2 - 1; Nº 3 - 4; Nº 4 - 4; Nº 5 - 3.

Coloque as notas na folha de controle.

Colete listas de verificação. Resumindo. Anuncie as notas da lição.

5. Resumo da lição:

Que regras básicas repetimos hoje?

6. Trabalho de casa:

Nº 619 (c), 620 (b), 627, tarefa individual Nº 617 (a, e, g).

Download:

Visualização:

MOU "Ginásio No. 7"

Torzhok, região de Tver

AULA ABERTA SOBRE O ASSUNTO:

"DIVISÃO DE FRAÇÕES ORDINÁRIAS"

6ª série

Aula aberta no município da cidade de Torzhok

(atestado, 2001)

Professor de matemática: Ufimtseva N.A.

2001

SUJEITO : " Divisão de frações ordinárias, 6º ano.

O OBJETIVO DA LIÇÃO : Resumir e sistematizar teórico e prático

Conhecimentos, habilidades e habilidades dos alunos. Organizar o trabalho para

Preenchendo lacunas no conhecimento dos alunos. melhorar, expandir

E aprofundar o conhecimento dos alunos sobre o tema.

TIPO DE LIÇÃO : Aula de generalização e sistematização de conhecimentos, competências e habilidades.

Equipamento : No quadro está o tópico, objetivo, plano de aula.

DURANTE AS AULAS.

Cada aluno tem uma lista de verificação em sua mesa.

1. trabalho de casa -
2. perguntas de repetição -
3. contagem verbal -
4. trabalho de classe -
5. trabalho independente -

1. Verificando a lição de casa:

A) trabalhar em duplas nas seguintes questões:

1) Adição, subtração de frações ordinárias;

2) Como multiplicar uma fração por uma fração;

3) Multiplicação de duas frações;

4) Multiplicação de frações mistas;

5) A regra de divisão de frações;

6) Divisão de frações mistas;

7) O que é chamado. redução de frações.

B) verificando o dever de casa de acordo com a solução finalizada no quadro:

620 (a), 624, 619 (d).

Alvo : para determinar o grau de assimilação dos trabalhos de casa. Identifique fraquezas comuns.

Coloque as notas na folha de controle

Anuncie o objetivo da lição: Generalizar e sistematizar conhecimentos, habilidades e habilidades em

Tema: "Divisão de frações ordinárias."

A teoria foi repetida, vamos verificar o conhecimento na prática.

1. Contagem verbal.

A) Nos cartões: 1) Reduza a fração:; ; ; …

2) Converter em fração imprópria: ; ; …

3) Selecione a parte inteira: ; ; …

B) Escada numérica. Quem chegar mais rápido ao 6º andar saberá:

Construções de geometria (Euclides)

Opção 2 - uma pessoa que queria ser advogado, oficial e filósofo, mas

Tornou-se um matemático (Descartes)

Dt

eu p

L 0,1: ½ 0,4: 0,1 a

K para

Em e

E d

3 2 4 5

Eu d e l k c a v r e t

Notas na folha de controle, para: 2 "-"5", 3" - "4", 4" - "3".

Quem completou a “escada” faz no caderno o nº 606. O primeiro dos alunos da ala do quadro faz o nº 606. Depois confere a turma.

1. Repetição e sistematização das principais disposições teóricas:

a) Nº 581 (b, d), 587 (com comentários), 591 (l, m, j), 600, 602, 593 (d, c, e, i)

A tarefa é feita em cadernos e no quadro.

B) resolver o problema: mil rublos foram pagos por um kg de doces. Quantos são

Kg desses doces?

1. Trabalho independente. Objetivo: verificar o domínio deste tópico.

№ 1 . Executar ações:

: respostas: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . Represente uma fração como uma fração ordinária e faça o seguinte:

0,375: respostas: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . Resolva a equação: respostas: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . No primeiro dia, o turista percorreu todo o caminho, e no segundo dia, o restante. Dentro

Quantas vezes mais é a parte da estrada percorrida pelo turista no primeiro dia do que no

Segundo? Respostas: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. Apresentar como uma fração:

: resposta: 1) 2) 3) 4)

Verifique a solução de acordo com o modelo: No. 1 -4; Nº 2 - 1; Nº 3 - 4; Nº 4 - 4; Nº 5 - 3.

Coloque as notas na folha de controle.

Colete listas de verificação. Resumindo. Anuncie as notas da lição.

1. Resumo da lição:

Que regras básicas repetimos hoje?

1. Trabalho de casa:

Nº 619 (c), 620 (b), 627, tarefa individual Nº 617 (a, e, g)

TRABALHO DO CURSO

SOBRE ÁLGEBRA E PRINCÍPIOS DE ANÁLISE

NESTE TÓPICO

"FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS"

Grupo criativo do departamento de matemáticos

"Gymnasium No. 3", Udomlya.

Lição #3-4 projetada pelo professor de matemática

Ufimtseva N.A.

2000

MOU "Ginásio No. 7"

Torzhok, região de Tver

LIÇÃO PÚBLICA

Aula: 6

Apresentação para a aula

Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.

Lições objetivas:

Aspecto educacional:

• repetir e aprofundar conhecimentos sobre o tema “Divisão de frações ordinárias”

Aspecto de desenvolvimento:

• desenvolver as habilidades de análise, comparação de material;
• desenvolver atenção, memória, fala, raciocínio lógico, independência;
• promover o desenvolvimento de competências para realizar a autoavaliação das atividades educativas.

Aspecto educacional:

• incutir nos alunos a habilidade de independência no trabalho, ensinar diligência, precisão;
• educar a necessidade de avaliar suas próprias atividades e o trabalho dos colegas;
• para cultivar uma cultura de fala, atenção à precisão das palavras.

Formas de organização das atividades educativas:

• frontal, individual, jogo

Tecnologias usadas:

• tecnologia de cooperação;
• tecnologia da informação;
• tecnologias de jogos.

Equipamento:

1. um computador;
2. projetor multimídia;
3. Apresentação do Microsoft Office PowerPoint;
4. cartões de tarefas

Durante as aulas

I. Momento organizacional

II. Contagem verbal

1. Calcule os valores das expressões, colete o quebra-cabeça.

Professora: Pessoal, vocês reconhecem o que é mostrado nesta foto?

Usolye Sibirskoye é uma das cidades mais antigas da região de Angara, foi fundada como um assentamento em 1669 graças aos conquistadores das extensões da Sibéria, os cossacos Yenisei, os irmãos Mikhalev, que descobriram uma fonte de sal nas margens do rio Angara e construiu uma panela de sal

2. Sem realizar nenhuma ação, compare o quociente com o dividendo:

III. Repetição de material previamente estudado

1. Expresse um decimal como uma fração. Na tabela, digite as letras correspondentes às respostas encontradas (trabalhar em pares).

0,4 - A	1.2 - R	0,006 - P
3.6 - E	0,9 - Z	5.008 - T
0,05 - U	2.16 - O	0,37 - D
4.44 - C	5.08 - K	2.15 - M

O nome da cidade de Irkutsk vem do rio Irkut, que deságua no Angara. A cidade começa na primeira prisão de Irkutsk, fundada pelos cossacos sob a liderança de Yakov Pokhabov em 6 de julho de 1661. Em setembro de 1670, uma fortaleza com quatro torres foi construída no local da prisão, chamada Kremlin. Irkutsk quase desde a fundação foi a fortaleza mais importante para o comércio com a China. Todas as caravanas comerciais russo-chinesas passaram pela cidade.

2. Escreva uma fração comum como um decimal. Organize os números resultantes em ordem crescente e leia a palavra (por conta própria, com verificação posterior).

Respostas: 0,8; 0,5; 0,25; 0,12; 0,032; 0.07, a palavra é Baikal (hiperlink para a coleção unificada do DER).

4. Consolidação do material estudado

1. Preencha os espaços em branco:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

2. O jogo "Lotto" (os alunos precisam resolver o primeiro exemplo, depois ir para o exemplo que começa com o número obtido ao resolver o anterior, fazer uma frase).

eu opção			Opção II
					na fonte
líquen		revestido

Respostas: Rock Shamanka - mármore coberto com líquen vermelho;

Shaman-stone - uma rocha situada na nascente do Angara.

V. Educação física

Mãos nas laterais, braços - mais largos.
Um dois três quatro.
Agora decidimos pular.
Um dois três quatro.
Esticado - mais alto, mais alto ...
Nós agachamos - mais baixo, mais baixo.
Levante-se - sente-se...
Levante-se - sente-se...
E agora eles se sentaram nas mesas.

VI. A solução do problema

Resolver um problema: dois carros dirigiram simultaneamente um para o outro das cidades de Usolye-Sibirskoe e Irkutsk, cuja distância é de 80 km. A velocidade do primeiro carro é a velocidade do segundo. Encontre as velocidades de cada carro se eles se encontrarem após quarenta minutos.

Deixe ser x (km/h)- velocidade do segundo carro

Então x (km/h)- velocidade do primeiro carro

x+ x (km/h)- velocidade de aproximação

Sabendo que os carros se encontraram através h e dirigimos juntos 80 km, vamos fazer uma equação:

(x+X) * =80

(x+X) =80:

x=120:1

1

Responda:

• 1 opção FRITURA
• Opção 2 OMUL

VIII. Trabalho de casa

Compor uma tarefa

Da última vez, aprendemos como somar e subtrair frações (veja a lição "Adição e subtração de frações"). O momento mais difícil dessas ações foi trazer as frações para um denominador comum.

Agora é hora de lidar com multiplicação e divisão. A boa notícia é que essas operações são ainda mais fáceis do que a adição e a subtração. Para começar, considere o caso mais simples, quando há duas frações positivas sem uma parte inteira distinta.

Para multiplicar duas frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores separadamente. O primeiro número será o numerador da nova fração e o segundo será o denominador.

Para dividir duas frações, você precisa multiplicar a primeira fração pela segunda "invertida".

Designação:

Da definição segue-se que a divisão de frações se reduz à multiplicação. Para inverter uma fração, basta trocar o numerador e o denominador. Portanto, toda a lição consideraremos principalmente a multiplicação.

Como resultado da multiplicação, uma fração reduzida pode surgir (e muitas vezes surge) - é claro, ela deve ser reduzida. Se, após todas as reduções, a fração estiver incorreta, toda a parte deve ser distinguida nela. Mas o que exatamente não vai acontecer com a multiplicação é a redução a um denominador comum: não há métodos cruzados, fatores máximos e mínimos múltiplos comuns.

Por definição temos:

Multiplicação de frações com parte inteira e frações negativas

Se houver uma parte inteira nas frações, elas devem ser convertidas em impróprias - e só então multiplicadas de acordo com os esquemas descritos acima.

Se houver um menos no numerador de uma fração, no denominador ou na frente dela, ele pode ser retirado dos limites de multiplicação ou removido completamente de acordo com as seguintes regras:

1. Mais vezes menos dá menos;
2. Duas negativas fazem uma afirmativa.

Até agora, essas regras só eram encontradas na adição e subtração de frações negativas, quando era necessário se livrar da parte inteira. Para um produto, eles podem ser generalizados para “queimar” vários pontos negativos de uma só vez:

1. Nós riscamos os pontos negativos em pares até que eles desapareçam completamente. Em um caso extremo, um menos pode sobreviver - aquele que não encontrou uma correspondência;
2. Se não houver menos, a operação está concluída - você pode começar a multiplicar. Se o último menos não estiver riscado, já que não encontrou um par, o retiramos dos limites da multiplicação. Você obtém uma fração negativa.

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

Traduzimos todas as frações em impróprias e, em seguida, tiramos as menos fora dos limites da multiplicação. O que resta é multiplicado de acordo com as regras usuais. Nós temos:

Deixe-me lembrá-lo mais uma vez que o menos que vem antes de uma fração com uma parte inteira destacada refere-se especificamente à fração inteira, e não apenas à sua parte inteira (isso se aplica aos dois últimos exemplos).

Preste atenção também aos números negativos: quando multiplicados, eles são colocados entre colchetes. Isso é feito para separar os sinais de menos dos sinais de multiplicação e tornar toda a notação mais precisa.

Reduzindo frações em tempo real

A multiplicação é uma operação muito trabalhosa. Os números aqui são bem grandes e, para simplificar a tarefa, você pode tentar reduzir ainda mais a fração antes da multiplicação. De fato, em essência, os numeradores e denominadores das frações são fatores ordinários e, portanto, podem ser reduzidos usando a propriedade básica de uma fração. Dê uma olhada nos exemplos:

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

Por definição temos:

Em todos os exemplos, os números que foram reduzidos e o que resta deles estão marcados em vermelho.

Atenção: no primeiro caso, os multiplicadores foram reduzidos completamente. As unidades permaneceram em seu lugar, o que, em geral, pode ser omitido. No segundo exemplo, não foi possível obter uma redução completa, mas a quantidade total de cálculos ainda diminuiu.

No entanto, em nenhum caso, não use essa técnica ao adicionar e subtrair frações! Sim, às vezes há números semelhantes que você só quer reduzir. Olhe aqui:

Você não pode fazer isso!

O erro ocorre devido ao fato de que ao somar uma fração, a soma aparece no numerador de uma fração, e não no produto de números. Portanto, é impossível aplicar a propriedade principal de uma fração, pois essa propriedade trata especificamente da multiplicação de números.

Simplesmente não há outro motivo para reduzir frações, então a solução correta para o problema anterior é assim:

Solução correta:

Como você pode ver, a resposta correta acabou não sendo tão bonita. Em geral, tenha cuidado.

Conteúdo da lição

Somando frações com os mesmos denominadores

A adição de frações é de dois tipos:

1. Somar frações com os mesmos denominadores;
2. Adição de frações com denominadores diferentes.

Primeiro, estudaremos a adição de frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para adicionar frações com os mesmos denominadores, você precisa adicionar seus numeradores e deixar o denominador inalterado.

Por exemplo, vamos adicionar frações e . Adicionamos os numeradores e deixamos o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você adicionar pizza a pizza, você obtém pizza:

Exemplo 2 Adicione frações e .

A resposta é uma fração imprópria. Se o fim da tarefa chegar, é costume se livrar das frações impróprias. Para se livrar de uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela. No nosso caso, a parte inteira se destaca facilmente - dois dividido por dois será um:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em duas partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, obterá uma pizza inteira:

Exemplo 3. Adicione frações e .

Novamente, adicione os numeradores e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, você obterá pizzas:

Exemplo 4 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Os numeradores devem ser somados e o denominador mantido inalterado:

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza e adicionar mais pizzas, receberá 1 pizza inteira e mais pizzas.

Como você pode ver, adicionar frações com os mesmos denominadores não é difícil. Basta entender as seguintes regras:

1. Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador inalterado;

Adicionando frações com denominadores diferentes

Agora vamos aprender como somar frações com denominadores diferentes. Ao adicionar frações, os denominadores dessas frações devem ser os mesmos. Mas nem sempre são iguais.

Por exemplo, frações podem ser adicionadas porque têm os mesmos denominadores.

Mas frações não podem ser somadas de uma só vez, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

Existem várias maneiras de reduzir frações ao mesmo denominador. Hoje consideraremos apenas um deles, pois o restante dos métodos pode parecer complicado para um iniciante.

A essência deste método reside no fato de que se busca o primeiro (LCM) dos denominadores de ambas as frações. Então o LCM é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido. Eles fazem o mesmo com a segunda fração - o LCM é dividido pelo denominador da segunda fração e o segundo fator adicional é obtido.

Em seguida, os numeradores e denominadores das frações são multiplicados por seus fatores adicionais. Como resultado dessas ações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações.

Exemplo 1. Adicione frações e

Em primeiro lugar, encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 2. O mínimo múltiplo comum desses números é 6

LCM (2 e 3) = 6

Agora de volta às frações e . Primeiro, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração e obtemos o primeiro fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 6 por 3, temos 2.

O número 2 resultante é o primeiro fator adicional. Escrevemos na primeira fração. Para fazer isso, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da fração e anotamos o fator adicional encontrado acima dela:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração e obtemos o segundo fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da segunda fração é o número 2. Divida 6 por 2, temos 3.

O número 3 resultante é o segundo fator adicional. Escrevemos na segunda fração. Novamente, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da segunda fração e escrevemos o fator adicional encontrado acima dela:

Agora estamos todos prontos para adicionar. Resta multiplicar os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais:

Olhe atentamente para o que chegamos. Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações. Vamos completar este exemplo até o final:

Assim termina o exemplo. Para adicioná-lo acontece.

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza, obterá uma pizza inteira e outro sexto de uma pizza:

A redução de frações ao mesmo denominador (comum) também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo as frações e para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas duas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza. A única diferença será que desta vez serão divididos em partes iguais (reduzidas ao mesmo denominador).

O primeiro desenho mostra uma fração (quatro peças de seis) e a segunda foto mostra uma fração (três peças de seis). Juntando essas peças, obtemos (sete peças de seis). Esta fração está incorreta, então destacamos a parte inteira nela. O resultado foi (uma pizza inteira e outra sexta pizza).

Observe que pintamos este exemplo com muitos detalhes. Nas instituições de ensino não é costume escrever de forma tão detalhada. Você precisa ser capaz de encontrar rapidamente o MMC de ambos os denominadores e fatores adicionais a eles, bem como multiplicar rapidamente os fatores adicionais encontrados por seus numeradores e denominadores. Enquanto na escola, teríamos que escrever este exemplo da seguinte forma:

Mas há também o outro lado da moeda. Se notas detalhadas não forem feitas nos primeiros estágios do estudo da matemática, então perguntas do tipo “De onde vem esse número?”, “Por que as frações de repente se transformam em frações completamente diferentes? «.

Para facilitar a adição de frações com denominadores diferentes, você pode usar as seguintes instruções passo a passo:

1. Encontre o MMC dos denominadores das frações;
2. Divida o MMC pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração;
3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais;
4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores;
5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione sua parte inteira;

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão .

Vamos usar as instruções acima.

Etapa 1. Encontre o MMC dos denominadores das frações

Encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Os denominadores das frações são os números 2, 3 e 4

Etapa 2. Divida o LCM pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração

Divida o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 2. Divida 12 por 2, obtemos 6. Obtemos o primeiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Obtemos o segundo fator adicional 4. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 12, e o denominador da terceira fração é o número 4. Divida 12 por 4, obtemos 3. Obtemos o terceiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a terceira fração:

Etapa 3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais

Multiplicamos os numeradores e denominadores pelos nossos fatores adicionais:

Etapa 4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores

Chegamos à conclusão que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). Resta adicionar essas frações. Adicionar:

A adição não coube em uma linha, então movemos a expressão restante para a próxima linha. Isso é permitido em matemática. Quando uma expressão não cabe em uma linha, ela é transportada para a próxima linha, sendo necessário colocar um sinal de igual (=) no final da primeira linha e no início de uma nova linha. O sinal de igual na segunda linha indica que esta é uma continuação da expressão que estava na primeira linha.

Etapa 5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione a parte inteira nela

Nossa resposta é uma fração imprópria. Devemos destacar toda a parte dela. Destacamos:

Obteve uma resposta

Subtração de frações com os mesmos denominadores

Existem dois tipos de subtração de fração:

1. Subtração de frações com os mesmos denominadores
2. Subtração de frações com denominadores diferentes

Primeiro, vamos aprender a subtrair frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador o mesmo.

Por exemplo, vamos encontrar o valor da expressão . Para resolver este exemplo, é necessário subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado. Vamos fazer isso:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:

Exemplo 2 Encontre o valor da expressão.

Novamente, do numerador da primeira fração, subtraia o numerador da segunda fração e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Do numerador da primeira fração, você precisa subtrair os numeradores das frações restantes:

Como você pode ver, não há nada complicado em subtrair frações com os mesmos denominadores. Basta entender as seguintes regras:

1. Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado;
2. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisará selecionar a parte inteira nela.

Subtração de frações com denominadores diferentes

Por exemplo, uma fração pode ser subtraída de uma fração, pois essas frações têm os mesmos denominadores. Mas uma fração não pode ser subtraída de uma fração, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

O denominador comum é encontrado de acordo com o mesmo princípio que usamos ao somar frações com denominadores diferentes. Em primeiro lugar, encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Então o MMC é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido, que é escrito sobre a primeira fração. Da mesma forma, o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e um segundo fator adicional é obtido, que é escrito sobre a segunda fração.

As frações são então multiplicadas por seus fatores adicionais. Como resultado dessas operações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações.

Exemplo 1 Encontre o valor de uma expressão:

Essas frações têm denominadores diferentes, então você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Primeiro, encontramos o MMC dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 4. O mínimo múltiplo comum desses números é 12

LCM (3 e 4) = 12

Agora de volta às frações e

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Escrevemos o quatro sobre a primeira fração:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 4. Divida 12 por 4, temos 3. Escreva um triplo sobre a segunda fração:

Agora estamos todos prontos para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos completar este exemplo até o final:

Obteve uma resposta

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas.

Esta é a versão detalhada da solução. Estando na escola, teríamos que resolver este exemplo de uma forma mais curta. Tal solução ficaria assim:

A redução de frações e a um denominador comum também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo essas frações para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza, mas desta vez serão divididas nas mesmas frações (reduzidas ao mesmo denominador):

O primeiro desenho mostra uma fração (oito peças de doze), e a segunda foto mostra uma fração (três peças de doze). Ao cortar três pedaços de oito pedaços, obtemos cinco pedaços de doze. A fração descreve essas cinco peças.

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão

Essas frações têm denominadores diferentes, então primeiro você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Encontre o MMC dos denominadores dessas frações.

Os denominadores das frações são os números 10, 3 e 5. O mínimo múltiplo comum desses números é 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Agora encontramos fatores adicionais para cada fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador de cada fração.

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. LCM é o número 30, e o denominador da primeira fração é o número 10. Divida 30 por 10, obtemos o primeiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora encontramos um fator adicional para a segunda fração. Divida o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 30, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 30 por 3, obtemos o segundo fator adicional 10. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora encontramos um fator adicional para a terceira fração. Divida o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 30, e o denominador da terceira fração é o número 5. Divida 30 por 5, obtemos o terceiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a terceira fração:

Agora tudo está pronto para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos terminar este exemplo.

A continuação do exemplo não caberá em uma linha, então movemos a continuação para a próxima linha. Não se esqueça do sinal de igual (=) na nova linha:

A resposta acabou sendo uma fração correta, e tudo parece nos convém, mas é muito complicado e feio. Devemos facilitar. O que pode ser feito? Você pode reduzir essa fração.

Para reduzir uma fração, você precisa dividir seu numerador e denominador por (mdc) os números 20 e 30.

Então, encontramos o MDC dos números 20 e 30:

Agora voltamos ao nosso exemplo e dividimos o numerador e denominador da fração pelo MDC encontrado, ou seja, por 10

Obteve uma resposta

Multiplicando uma fração por um número

Para multiplicar uma fração por um número, você precisa multiplicar o numerador da fração dada por esse número e deixar o denominador inalterado.

Exemplo 1. Multiplique a fração pelo número 1.

Multiplique o numerador da fração pelo número 1

A entrada pode ser entendida como demorando metade 1 vez. Por exemplo, se você pegar pizza 1 vez, você ganha pizza

Pelas leis da multiplicação, sabemos que se o multiplicando e o multiplicador forem trocados, o produto não mudará. Se a expressão for escrita como , o produto ainda será igual a . Novamente, a regra para multiplicar um inteiro e uma fração funciona:

Esta entrada pode ser entendida como tendo metade da unidade. Por exemplo, se houver 1 pizza inteira e levarmos metade, teremos pizza:

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da fração por 4

A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira:

A expressão pode ser entendida como tendo dois quartos 4 vezes. Por exemplo, se você comer pizzas 4 vezes, você ganha duas pizzas inteiras.

E se trocarmos o multiplicando e o multiplicador em lugares, obtemos a expressão. Também será igual a 2. Esta expressão pode ser entendida como tirar duas pizzas de quatro pizzas inteiras:

Um número que é multiplicado por uma fração e o denominador da fração são resolvidos se tiverem um divisor comum maior que um.

Por exemplo, uma expressão pode ser avaliada de duas maneiras.

Primeira maneira. Multiplique o número 4 pelo numerador da fração e deixe o denominador da fração inalterado:

Segunda via. O quádruplo sendo multiplicado e o quádruplo no denominador da fração podem ser reduzidos. Você pode reduzir esses quatros em 4, já que o máximo divisor comum de dois quatros é o próprio quatro:

Obtivemos o mesmo resultado 3. Após reduzir os quatro, novos números são formados em seu lugar: dois unidades. Mas multiplicar um por um triplo e depois dividir por um não muda nada. Portanto, a solução pode ser escrita mais curta:

A redução pode ser realizada mesmo quando decidimos usar o primeiro método, mas na etapa de multiplicar o número 4 e o numerador 3, decidimos usar a redução:

Mas, por exemplo, a expressão só pode ser calculada da primeira maneira - multiplique 7 pelo denominador da fração e deixe o denominador inalterado:

Isso se deve ao fato de que o número 7 e o denominador da fração não possuem divisor comum maior que um e, portanto, não são reduzidos.

Alguns alunos abreviam erroneamente o número que está sendo multiplicado e o numerador da fração. Você não pode fazer isso. Por exemplo, a seguinte entrada não está correta:

A redução da fração implica que e numerador e denominador será dividido pelo mesmo número. Na situação com a expressão, a divisão é realizada apenas no numerador, pois escrever isso é o mesmo que escrever . Vemos que a divisão é realizada apenas no numerador, e nenhuma divisão ocorre no denominador.

Multiplicação de frações

Para multiplicar frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela.

Exemplo 1 Encontre o valor da expressão.

Obteve uma resposta. É desejável reduzir esta fração. A fração pode ser reduzida em 2. Então a solução final terá a seguinte forma:

A expressão pode ser entendida como tirar uma pizza de meia pizza. Digamos que temos meia pizza:

Como tirar dois terços desta metade? Primeiro você precisa dividir essa metade em três partes iguais:

E pegue dois desses três pedaços:

Nós vamos pegar pizza. Lembre-se de como é uma pizza dividida em três partes:

Uma fatia desta pizza e as duas fatias que tiramos terão as mesmas dimensões:

Em outras palavras, estamos falando do mesmo tamanho de pizza. Portanto, o valor da expressão é

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta acabou sendo uma fração correta, mas será boa se for reduzida. Para reduzir essa fração, você precisa dividir o numerador e o denominador dessa fração pelo máximo divisor comum (MDC) dos números 105 e 450.

Então, vamos encontrar o MDC dos números 105 e 450:

Agora dividimos o numerador e o denominador de nossa resposta ao MDC que encontramos agora, ou seja, por 15

Representando um inteiro como uma fração

Qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração. Por exemplo, o número 5 pode ser representado como . A partir disso, o cinco não mudará seu significado, pois a expressão significa “o número cinco dividido por um”, e isso, como você sabe, é igual a cinco:

Números reversos

Agora vamos nos familiarizar com um tópico muito interessante em matemática. Chama-se "números reversos".

Definição. Reverter para númerouma é o número que, multiplicado poruma dá uma unidade.

Vamos substituir nesta definição em vez de uma variável uma número 5 e tente ler a definição:

Reverter para número 5 é o número que, multiplicado por 5 dá uma unidade.

É possível encontrar um número que, quando multiplicado por 5, dê um? Acontece que você pode. Vamos representar cinco como uma fração:

Em seguida, multiplique essa fração por ela mesma, apenas troque o numerador e o denominador. Em outras palavras, vamos multiplicar a fração por ela mesma, apenas invertida:

Qual será o resultado disso? Se continuarmos a resolver este exemplo, obtemos um:

Isso significa que o inverso do número 5 é o número, pois quando 5 é multiplicado por um, obtém-se um.

O recíproco também pode ser encontrado para qualquer outro inteiro.

Você também pode encontrar o recíproco para qualquer outra fração. Para fazer isso, basta virá-lo.

Divisão de uma fração por um número

Digamos que temos meia pizza:

Vamos dividi-lo igualmente entre dois. Quantas pizzas cada um receberá?

Pode-se observar que depois de dividir metade da pizza, foram obtidos dois pedaços iguais, cada um dos quais compõe uma pizza. Então todo mundo ganha uma pizza.