No último vídeo tutorial, aprendemos que o grau de uma determinada base é uma expressão que é o produto da base e ela mesma, tomada em uma quantidade igual ao expoente. Vamos agora estudar algumas das propriedades e operações mais importantes das potências.

Por exemplo, vamos multiplicar duas potências diferentes com a mesma base:

Vejamos esta peça na íntegra:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Calculando o valor desta expressão, obtemos o número 32. Por outro lado, como pode ser visto no mesmo exemplo, 32 pode ser representado como um produto da mesma base (dois), tomado 5 vezes. E, de fato, se você contar, então:

Assim, pode-se concluir com segurança que:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Esta regra funciona com sucesso para qualquer indicador e qualquer fundamento. Essa propriedade de multiplicação do grau decorre da regra de preservação do significado das expressões durante as transformações no produto. Para qualquer base a, o produto de duas expressões (a) x e (a) y é igual a a (x + y). Em outras palavras, ao produzir quaisquer expressões com a mesma base, o monômio final tem um grau total formado pela soma do grau da primeira e da segunda expressões.

A regra apresentada também funciona muito bem ao multiplicar várias expressões. A principal condição é que as bases para todos sejam as mesmas. Por exemplo:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

É impossível adicionar graus e, em geral, realizar ações conjuntas de poder com dois elementos da expressão, se suas bases forem diferentes.
Como mostra nosso vídeo, devido à semelhança dos processos de multiplicação e divisão, as regras de adição de potências durante um produto são perfeitamente transferidas para o procedimento de divisão. Considere este exemplo:

Vamos fazer uma transformação termo a termo da expressão para uma forma completa e reduzir os mesmos elementos no dividendo e no divisor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

O resultado final deste exemplo não é tão interessante, pois já no decorrer de sua solução fica claro que o valor da expressão é igual ao quadrado de dois. E é o deuce que é obtido subtraindo o grau da segunda expressão do grau da primeira.

Para determinar o grau do quociente, é necessário subtrair o grau do divisor do grau do dividendo. A regra funciona com a mesma base para todos os seus valores e para todos os poderes naturais. Em forma abstrata, temos:

(a) x / (a) y = (a) x - y

A definição para o grau zero segue a regra para dividir bases idênticas com potências. Obviamente, a seguinte expressão é:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Por outro lado, se dividirmos de forma mais visual, obtemos:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Ao reduzir todos os elementos visíveis de uma fração, obtém-se sempre a expressão 1/1, ou seja, um. Portanto, é geralmente aceito que qualquer base elevada à potência zero é igual a um:

Independentemente do valor de a.

No entanto, seria absurdo se 0 (que ainda dá 0 para qualquer multiplicação) for de alguma forma igual a um, então uma expressão como (0) 0 (zero ao grau zero) simplesmente não faz sentido, e para a fórmula (a) 0 = 1 adicione uma condição: "se a não for igual a 0".

Vamos fazer o exercício. Vamos encontrar o valor da expressão:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Como a base é a mesma em todos os lugares e é igual a 34, o valor final terá a mesma base com grau (de acordo com as regras acima):

Em outras palavras:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Resposta: A expressão é igual a um.

Se duas potências são multiplicadas (ou divididas) que têm bases diferentes, mas os mesmos indicadores, então suas bases podem ser multiplicadas (ou divididas), e o expoente do resultado deve ser deixado igual ao dos fatores (ou dividendo e divisor).

Em geral, em linguagem matemática, essas regras são escritas da seguinte forma:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

Ao dividir, b não pode ser igual a 0, ou seja, a segunda regra deve ser complementada com a condição b ≠ 0.

Exemplos:
2 3 x 3 3 = (2 x 3) 3 = 63 = 36 x 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Agora, usando esses exemplos específicos, provaremos que as propriedades das regras dos graus com os mesmos expoentes são verdadeiras. Vamos resolver esses exemplos como se não conhecêssemos as propriedades das potências:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Como podemos ver, as respostas corresponderam às recebidas quando as regras foram usadas. Conhecer essas regras nos permite simplificar os cálculos.

Observe que a expressão 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 pode ser escrita assim:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Essa expressão, por sua vez, é algo diferente de (2 × 3) 3. ou seja, 6 3 .

As propriedades consideradas de graus com os mesmos expoentes podem ser usadas na direção oposta. Por exemplo, o que é 18 2 ?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

As propriedades de graus também são usadas ao resolver exemplos:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

A regra da divisão de graus. Ao dividir potências com a mesma base, a base permanece a mesma e o expoente do divisor é subtraído do expoente do dividendo. Exemplos:

Slide 11 da apresentação "Divisão e multiplicação de poderes" para aulas de álgebra sobre o tema "Grau"

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"Divisão e multiplicação de potências" - a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Encontre o produto de a2 e a3. 100,2+3. Cinco vezes. 64 = 144 = 1 0000 =. Multiplicação e divisão de poderes. Três vezes. a2 a3 =.

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Regra de divisão de poder

1. O grau do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto dos graus desses fatores (com o mesmo indicador):

(abc…) n = a n b n c n…

Exemplo 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Exemplo 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

Na prática, a transformação inversa é mais importante:

a n b n c n … = (abc …) n

Essa. o produto das mesmas potências de várias quantidades é igual à mesma potência do produto dessas quantidades.

Exemplo 3 Exemplo 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a ​​+ b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. O grau do quociente (fração) é igual ao quociente da divisão do mesmo grau do divisível pelo mesmo grau do divisor:

Exemplo 5 Exemplo 6

Transformação reversa:. Exemplo 7 . Exemplo 8 .

3. Ao multiplicar potências com as mesmas bases, os expoentes são adicionados:

Exemplo 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Exemplo 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. Ao dividir potências com a mesma base, o expoente do divisor é subtraído do expoente do dividendo

Exemplo 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Exemplo 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. Ao elevar um grau a uma potência, os expoentes são multiplicados:

Exemplo 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Exemplo 14

Adição, subtração, multiplicação e divisão de potências

Adição e subtração de potências

Obviamente, números com potências podem ser somados como outras quantidades , adicionando-os um a um com seus sinais.

Então, a soma de a 3 e b 2 é a 3 + b 2 .
A soma de a 3 - b n e h 5 -d 4 é a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chances as mesmas potências das mesmas variáveis pode ser adicionado ou subtraído.

Então, a soma de 2a 2 e 3a 2 é 5a 2 .

Também é óbvio que se tomarmos dois quadrados a, ou três quadrados a, ou cinco quadrados a.

Mas graus várias variáveis e vários graus variáveis ​​idênticas, devem ser adicionados adicionando-os aos seus sinais.

Então, a soma de a 2 e a 3 é a soma de a 2 + a 3 .

É óbvio que o quadrado de a e o cubo de a não são duas vezes o quadrado de a, mas duas vezes o cubo de a.

A soma de a 3 b n e 3a 5 b 6 é a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtração poderes são executados da mesma forma que a adição, exceto que os sinais do subtraendo devem ser alterados de acordo.

Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplicação de poder

Números com potências podem ser multiplicados como outras quantidades escrevendo-os um após o outro, com ou sem o sinal de multiplicação entre eles.

Então, o resultado da multiplicação de a 3 por b 2 é a 3 b 2 ou aaabb.

Ou:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

O resultado no último exemplo pode ser ordenado adicionando as mesmas variáveis.
A expressão terá a forma: a 5 b 5 y 3 .

Ao comparar vários números (variáveis) com potências, podemos ver que se dois deles forem multiplicados, o resultado é um número (variável) com potência igual a soma graus de termos.

Assim, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aqui 5 é a potência do resultado da multiplicação, igual a 2 + 3, a soma das potências dos termos.

Assim, a n .a m = a m+n .

Para a n , a é tomado como fator tantas vezes quanto a potência de n;

E a m , é tomado como fator tantas vezes quanto o grau m é igual a;

Então, potências com as mesmas bases podem ser multiplicadas pela adição dos expoentes.

Assim, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ou:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplique (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Resposta: x 4 - y 4.
Multiplique (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Esta regra também é verdadeira para números cujos expoentes são - negativo.

1. Assim, a -2 .a -3 = a -5 . Isso pode ser escrito como (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. s-n .y-m = y-n-m .

3. a -n.am = am-n.

Se a + b for multiplicado por a - b, o resultado será a 2 - b 2: isto é

O resultado da multiplicação da soma ou diferença de dois números é igual à soma ou diferença de seus quadrados.

Se a soma e a diferença de dois números elevados a quadrado, o resultado será igual à soma ou diferença desses números em quarto grau.

Então, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Divisão de graus

Os números de potência podem ser divididos como outros números, subtraindo do divisor ou colocando-os na forma de fração.

Então a 3 b 2 dividido por b 2 é a 3 .

Escrever um 5 dividido por um 3 se parece com $\frac $. Mas isso é igual a um 2 . Em uma série de números
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
qualquer número pode ser dividido por outro, e o expoente será igual a diferença indicadores de números divisíveis.

Ao dividir potências com a mesma base, seus expoentes são subtraídos..

Então, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ou seja, $\frac = y$.

E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ou seja, $\frac = a^n$.

Ou:
a2m: aa = aa
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

A regra também é válida para números com negativo valores de grau.
O resultado da divisão de um -5 por um -3 é um -2.
Além disso, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ou $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

É necessário dominar muito bem a multiplicação e a divisão de potências, pois tais operações são muito utilizadas em álgebra.

Exemplos de resolução de exemplos com frações contendo números com potências

1. Reduza os expoentes em $\frac $ Resposta: $\frac $.

2. Reduza os expoentes em $\frac$. Resposta: $\frac $ ou 2x.

3. Reduza os expoentes a 2 / a 3 e a -3 / a -4 e leve a um denominador comum.
a 2 .a -4 é um primeiro numerador -2.
a 3 .a -3 é a 0 = 1, o segundo numerador.
a 3 .a -4 é a -1 , o numerador comum.
Após simplificação: a -2 /a -1 e 1/a -1 .

4. Reduza os expoentes 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e leve a um denominador comum.
Resposta: 2a 3 / 5a 7 e 5a 5 / 5a 7 ou 2a 3 / 5a 2 e 5/5a 2.

5. Multiplique (a 3 + b)/b 4 por (a - b)/3.

6. Multiplique (a 5 + 1)/x 2 por (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplique b 4 /a -2 por h -3 /x e a n /y -3 .

8. Divida 4 /y 3 por 3 /y 2 . Resposta: a/s.

Álgebra - 7º ano. Multiplicação e divisão de poderes

Lição sobre o tema: “Regras para multiplicar e dividir potências com expoentes iguais e diferentes. Exemplos"

Materiais adicionais
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Multiplicação e divisão de poderes

O objetivo da lição: aprender a realizar operações com potências de um número.

Primeiro, vamos relembrar o conceito de "potência de um número". Uma expressão como $\underbrace_$ pode ser representada como $a^n$.

O inverso também é verdadeiro: $a^n= \underbrace_ $.

Essa igualdade é chamada de "registrar o grau como um produto". Isso nos ajudará a determinar como multiplicar e dividir potências.
Lembrar:
uma- a base do grau.
n- expoente.
Se um n=1, o que significa o número uma tomado uma vez e respectivamente: $a^n= 1$.
Se um n=0, então $a^0= 1$.

Por que isso acontece, podemos descobrir quando nos familiarizarmos com as regras para multiplicar e dividir potências.

regras de multiplicação

a) Multiplicam-se potências de mesma base.
Para $a^n * a^m$, escrevemos os graus como um produto: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
A figura mostra que o número uma tomaram n+m vezes, então $a^n * a^m = a^ $.

Exemplo.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Essa propriedade é conveniente para simplificar o trabalho ao elevar um número a uma potência grande.
Exemplo.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Se as potências são multiplicadas com base diferente, mas com o mesmo expoente.
Para $a^n * b^n$, escrevemos as potências como um produto: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Se trocarmos os fatores e contarmos os pares resultantes, obteremos: $\underbrace_ $.

Então $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Exemplo.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

regras de divisão

a) A base do grau é a mesma, os expoentes são diferentes.
Considere dividir um grau com um expoente maior dividindo um grau com um expoente menor.

Escrevemos os graus como uma fração:

Por conveniência, escrevemos a divisão como uma fração simples.

Agora vamos reduzir a fração.

Acontece que: $\underbrace_ = a^ $.
Meios, $\frac =a^$ .

Essa propriedade ajudará a explicar a situação de elevar um número a uma potência de zero. Vamos supor que n=m, então $a^0= a^ =\frac =1$.

b) As bases da licenciatura são diferentes, os indicadores são os mesmos.
Digamos que você precise de $\frac $. Escrevemos as potências dos números como uma fração:

Vamos imaginar por conveniência.

Usando a propriedade das frações, dividimos uma fração grande em um produto de pequenas, obtemos.
$\underbrace* \frac *\ldots*\frac >_ $.
Assim: $\frac =(\frac )^n$.

math-tests. com

Graus e raízes

Operações com potências e raízes. Grau com negativo ,

zero e fracionário indicador. Sobre expressões que não fazem sentido.

Operações com graus.

1. Ao multiplicar potências com a mesma base, seus indicadores são somados:

sou · a n = a m + n .

2. Ao dividir graus com a mesma base, seus indicadores subtraído .

3. O grau do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto dos graus desses fatores.

4. O grau da razão (fração) é igual à razão dos graus do dividendo (numerador) e divisor (denominador):

(a/b) n = a n / b n .

5. Ao elevar um grau a um poder, seus indicadores são multiplicados:

Todas as fórmulas acima são lidas e executadas em ambas as direções da esquerda para a direita e vice-versa.

EXEMPLO (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operações com raízes. Em todas as fórmulas abaixo, o símbolo significa raiz aritmética(a expressão radical é positiva).

1. A raiz do produto de vários fatores é igual ao produto das raízes desses fatores:

2. A raiz da razão é igual à razão das raízes do dividendo e do divisor:

3. Ao elevar uma raiz a uma potência, basta elevar a esta potência número da raiz:

4. Se você aumentar o grau da raiz em m vezes e simultaneamente aumentar o número da raiz para o m -th grau, o valor da raiz não será alterado:

5. Se você reduzir o grau da raiz em m vezes e ao mesmo tempo extrair a raiz do m-ésimo grau do número radical, o valor da raiz não será alterado:

Extensão do conceito de grau. Até agora, consideramos graus apenas com um indicador natural; mas as operações com poderes e raízes também podem levar a negativo, zero e fracionário indicadores. Todos esses expoentes requerem uma definição adicional.

Grau com expoente negativo. O grau de um certo número com um expoente negativo (inteiro) é definido como um dividido pelo grau do mesmo número com um expoente igual ao valor absoluto do expoente negativo:

Agora a fórmula sou : a = um m-n pode ser usado não só para m, mais do que n, mas também em m, Menor que n .

EXEMPLO uma 4: uma 7 = um 4 — 7 = um — 3 .

Se queremos a fórmula sou : a = sou — n foi justo em m = n, precisamos de uma definição do grau zero.

Grau com expoente zero. O grau de qualquer número diferente de zero com expoente zero é 1.

EXEMPLOS. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grau com expoente fracionário. Para elevar um número real a à potência m / n, você precisa extrair a raiz do n-ésimo grau da m-ésima potência desse número a:

Sobre expressões que não fazem sentido. Existem várias dessas expressões.

Onde uma ≠ 0 , não existe.

Com efeito, se assumirmos que xé um certo número, então, de acordo com a definição da operação de divisão, temos: uma = 0· x, ou seja uma= 0, o que contradiz a condição: uma ≠ 0

— qualquer número.

De fato, se assumirmos que esta expressão é igual a algum número x, então de acordo com a definição da operação de divisão temos: 0 = 0 x. Mas essa igualdade vale para qualquer número x, que deveria ser provado.

0 0 — qualquer número.

Solução. Considere três casos principais:

1) x = 0 – este valor não satisfaz esta equação

2) quando x> 0 temos: x / x= 1, ou seja 1 = 1, de onde segue,

que x- qualquer número; mas tendo em conta que

nosso caso x> 0, a resposta é x > 0 ;

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Obviamente, números com potências podem ser somados como outras quantidades , adicionando-os um a um com seus sinais.

Então, a soma de a 3 e b 2 é a 3 + b 2 .
A soma de a 3 - b n e h 5 -d 4 é a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Chances as mesmas potências das mesmas variáveis pode ser adicionado ou subtraído.

Então, a soma de 2a 2 e 3a 2 é 5a 2 .

Também é óbvio que se tomarmos dois quadrados a, ou três quadrados a, ou cinco quadrados a.

Mas graus várias variáveis e vários graus variáveis ​​idênticas, devem ser adicionados adicionando-os aos seus sinais.

Então, a soma de a 2 e a 3 é a soma de a 2 + a 3 .

É óbvio que o quadrado de a e o cubo de a não são duas vezes o quadrado de a, mas duas vezes o cubo de a.

A soma de a 3 b n e 3a 5 b 6 é a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtração poderes são executados da mesma forma que a adição, exceto que os sinais do subtraendo devem ser alterados de acordo.

Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplicação de poder

Números com potências podem ser multiplicados como outras quantidades escrevendo-os um após o outro, com ou sem o sinal de multiplicação entre eles.

Então, o resultado da multiplicação de a 3 por b 2 é a 3 b 2 ou aaabb.

Ou:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

O resultado no último exemplo pode ser ordenado adicionando as mesmas variáveis.
A expressão terá a forma: a 5 b 5 y 3 .

Ao comparar vários números (variáveis) com potências, podemos ver que se dois deles forem multiplicados, o resultado é um número (variável) com potência igual a soma graus de termos.

Assim, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aqui 5 é a potência do resultado da multiplicação, igual a 2 + 3, a soma das potências dos termos.

Assim, a n .a m = a m+n .

Para a n , a é tomado como fator tantas vezes quanto a potência de n;

E a m , é tomado como fator tantas vezes quanto o grau m é igual a;

Então, potências com as mesmas bases podem ser multiplicadas pela adição dos expoentes.

Assim, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ou:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplique (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Resposta: x 4 - y 4.
Multiplique (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Esta regra também é válida para números cujos expoentes são - negativo.

1. Assim, a -2 .a -3 = a -5 . Isso pode ser escrito como (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. s-n .y-m = y-n-m .

3. a -n.am = am-n.

Se a + b for multiplicado por a - b, o resultado será a 2 - b 2: isto é

O resultado da multiplicação da soma ou diferença de dois números é igual à soma ou diferença de seus quadrados.

Se a soma e a diferença de dois números elevados a quadrado, o resultado será igual à soma ou diferença desses números em quarto grau.

Então, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Divisão de graus

Os números de potência podem ser divididos como outros números, subtraindo do divisor ou colocando-os na forma de fração.

Então a 3 b 2 dividido por b 2 é a 3 .

Ou:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Escrever um 5 dividido por um 3 se parece com $\frac(a^5)(a^3)$. Mas isso é igual a um 2 . Em uma série de números
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
qualquer número pode ser dividido por outro, e o expoente será igual a diferença indicadores de números divisíveis.

Ao dividir potências com a mesma base, seus expoentes são subtraídos..

Então, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ou seja, $\frac(aaaa)(aa) = y$.

E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ou seja, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ou:
a2m: aa = aa
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

A regra também é válida para números com negativo valores de grau.
O resultado da divisão de um -5 por um -3 é um -2.
Além disso, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ou $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

É necessário dominar muito bem a multiplicação e a divisão de potências, pois tais operações são muito utilizadas em álgebra.

Exemplos de resolução de exemplos com frações contendo números com potências

1. Reduza os expoentes em $\frac(5a^4)(3a^2)$ Resposta: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduza os expoentes em $\frac(6x^6)(3x^5)$. Resposta: $\frac(2x)(1)$ ou 2x.

3. Reduza os expoentes a 2 / a 3 e a -3 / a -4 e leve a um denominador comum.
a 2 .a -4 é um primeiro numerador -2.
a 3 .a -3 é a 0 = 1, o segundo numerador.
a 3 .a -4 é a -1 , o numerador comum.
Após simplificação: a -2 /a -1 e 1/a -1 .

4. Reduza os expoentes 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e leve a um denominador comum.
Resposta: 2a 3 / 5a 7 e 5a 5 / 5a 7 ou 2a 3 / 5a 2 e 5/5a 2.

5. Multiplique (a 3 + b)/b 4 por (a - b)/3.

6. Multiplique (a 5 + 1)/x 2 por (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplique b 4 /a -2 por h -3 /x e a n /y -3 .

8. Divida 4 /y 3 por 3 /y 2 . Resposta: a/s.

9. Divida (h 3 - 1)/d 4 por (d n + 1)/h.

Fórmulas de potência usado no processo de redução e simplificação de expressões complexas, na resolução de equações e desigualdades.

Número cé um n-ésima potência de um número uma quando:

Operações com graus.

1. Multiplicando graus com a mesma base, seus indicadores somam:

soua n = a m + n .

2. Na divisão de graus com a mesma base, seus indicadores são subtraídos:

3. O grau do produto de 2 ou mais fatores é igual ao produto dos graus desses fatores:

(abc…) n = a n b n c n…

4. O grau de uma fração é igual à razão dos graus do dividendo e do divisor:

(a/b) n = a n / b n .

5. Elevando uma potência a uma potência, os expoentes são multiplicados:

(am) n = a m n .

Cada fórmula acima está correta nas direções da esquerda para a direita e vice-versa.

por exemplo. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operações com raízes.

1. A raiz do produto de vários fatores é igual ao produto das raízes desses fatores:

2. A raiz da razão é igual à razão entre o dividendo e o divisor das raízes:

3. Ao elevar uma raiz a uma potência, basta elevar o número da raiz a esta potência:

4. Se aumentarmos o grau da raiz em n uma vez e ao mesmo tempo elevar para nª potência é um número raiz, então o valor da raiz não mudará:

5. Se diminuirmos o grau da raiz em n raiz ao mesmo tempo nº grau do número radical, então o valor da raiz não mudará:

Grau com expoente negativo. O grau de um certo número com um expoente não positivo (inteiro) é definido como um dividido pelo grau do mesmo número com um expoente igual ao valor absoluto do expoente não positivo:

Fórmula sou:a n = a m - n pode ser usado não só para m> n, mas também em m< n.

por exemplo. uma4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Para formular sou:a n = a m - n tornou-se justo em m=n, você precisa da presença do grau zero.

Grau com expoente zero. A potência de qualquer número diferente de zero com um expoente zero é igual a um.

por exemplo. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grau com expoente fracionário. Para aumentar um número real uma até certo ponto s/n, você precisa extrair a raiz nº grau de mª potência deste número uma.