O gráfico de uma função de 2 variáveis ​​z = f(x,y) é uma superfície projetada no plano XOY no domínio da função D.
Considere a superfície σ , dado pela equação z = f(x,y) , onde f(x,y) é uma função diferenciável, e seja M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) um ponto fixo na superfície σ , ou seja. z 0 = f(x 0 ,y 0). Compromisso. A calculadora online foi projetada para encontrar plano tangente e equações normais de superfície. A decisão é feita em formato Word. Se você precisar encontrar a equação da tangente à curva (y = f(x)), precisará usar este serviço.

Regras de entrada de função:

Regras de entrada de função:

1. Todas as variáveis ​​são expressas em termos de x,y,z

Plano tangente à superfície σ no ponto dela M 0 é o plano no qual as tangentes a todas as curvas desenhadas na superfície estão σ através de um ponto M 0 .
A equação do plano tangente à superfície dada pela equação z = f(x,y) no ponto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) tem a forma:

z - z 0 \u003d f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f ' y (x 0, y 0) (y - y 0)

O vetor é chamado de vetor normal da superfície σ no ponto M 0 . O vetor normal é perpendicular ao plano tangente.
Normal à superfície σ no ponto M 0 é uma linha reta passando por este ponto e tendo a direção do vetor N.
As equações canônicas da normal à superfície dadas pela equação z = f(x,y) no ponto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), onde z 0 = f(x 0 ,y 0), tem o formulário:

Exemplo 1. A superfície é dada pela equação x 3 +5y . Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto M 0 (0;1).
Decisão. Vamos escrever as equações tangentes na forma geral: z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - e 0)
Pela condição do problema x 0 = 0, y 0 = 1, então z 0 = 5
Encontre as derivadas parciais da função z = x^3+5*y:
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
No ponto M 0 (0,1), os valores das derivadas parciais:
f"x(0;1) = 0
f" y (0; 1) = 5
Usando a fórmula, obtemos a equação do plano tangente à superfície no ponto M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) ou -5 y + z = 0

Exemplo #2. A superfície é dada implicitamente y 2 -1/2*x 3 -8z. Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto M 0 (1;0;1).
Decisão. Encontramos derivadas parciais da função. Como a função é dada de forma implícita, estamos procurando as derivadas pela fórmula:

Para nossa função:

Então:

No ponto M 0 (1,0,1) os valores das derivadas parciais:
f "x (1; 0; 1) \u003d -3 / 16
f"y(1;0;1) = 0
Usando a fórmula, obtemos a equação do plano tangente à superfície no ponto M 0: z - 1 \u003d -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) ou 3 / 16 x + z- 19 / 16 \u003d 0

Exemplo. Superfície σ dado pela equação z= s/x + xy – 5x 3 . Encontre a equação do plano tangente e normal à superfície σ no ponto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) pertencente a ele se x 0 = –1, y 0 = 2.
Vamos encontrar as derivadas parciais da função z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' x \u003d - y / x 2 + y – 15x 2 ;
f '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' y = 1/x + x.
Ponto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) pertence à superfície σ , para que possamos calcular z 0 , substituindo o dado x 0 = -1 e y 0 = 2 na equação da superfície:

z= s/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
No ponto M 0 (–1, 2, 1) valores de derivadas parciais:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; fy'( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Usando a fórmula (5), obtemos a equação do plano tangente à superfície σ no ponto M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Usando a fórmula (6), obtemos as equações canônicas da normal à superfície σ no ponto M 0: .
Respostas: equação do plano tangente: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; equações normais: .

Exemplo 1. Dada uma função z \u003d f (x, y) e dois pontos A (x 0, y 0) e B (x 1, y 1). Necessário: 1) calcular o valor z 1 da função no ponto B; 2) calcular o valor aproximado z 1 da função no ponto B com base no valor z 0 da função no ponto A, substituindo o incremento da função durante a transição do ponto A para o ponto B por um diferencial; 3) componha a equação do plano tangente à superfície z = f(x,y) no ponto C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Decisão.
Escrevemos as equações tangentes na forma geral:
z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
De acordo com a condição do problema x 0 = 1, y 0 = 2, então z 0 = 25
Encontre as derivadas parciais da função z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" x \u003d 2 x + 3 y 3
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" y \u003d 9 x y 2
No ponto M 0 (1.2), os valores das derivadas parciais:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Usando a fórmula, obtemos a equação do plano tangente à superfície no ponto M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
ou
-26x-36y+z+73 = 0

Exemplo #2. Escreva as equações do plano tangente e da normal ao parabolóide elíptico z = 2x 2 + y 2 no ponto (1;-1;3).

Uma superfície é definida como um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem um certo tipo de equação:

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Se a função F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))é contínua em algum ponto e tem derivadas parciais contínuas nele, pelo menos uma das quais não se anula, então na vizinhança desse ponto a superfície dada pela equação (1) será superfície correta.

Além do acima forma implícita de configuração, a superfície pode ser definida claramente, se uma das variáveis, por exemplo, z, puder ser expressa em termos das outras:

z = f (x , y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

Mais rigorosamente, superfície simples é a imagem de um mapeamento homeomórfico (ou seja, um mapeamento um a um e mutuamente contínuo) do interior do quadrado unitário. Essa definição pode receber uma expressão analítica.

Seja um quadrado dado em um plano com um sistema de coordenadas retangular u e v , cujas coordenadas dos pontos internos satisfazem as desigualdades 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Um exemplo superfície simplesé um hemisfério. Toda a área não superfície simples. Isso requer uma generalização adicional do conceito de superfície.

Um subconjunto de espaço em que cada ponto tem uma vizinhança que é superfície simples, é chamado superfície correta .

Superfície em geometria diferencial

Helicóide

catenóide

A métrica não determina exclusivamente a forma da superfície. Por exemplo, as métricas de um helicóide e de um catenóide, parametrizadas de forma adequada, coincidem, ou seja, há uma correspondência entre suas regiões que preserva todos os comprimentos (isometria). Propriedades que são preservadas sob transformações isométricas são chamadas geometria interna superfícies. A geometria interna não depende da posição da superfície no espaço e não muda quando é dobrada sem tensão e compressão (por exemplo, quando um cilindro é dobrado em um cone).

Coeficientes métricos E , F , G (\displaystyle E,\F,\G) determinar não apenas os comprimentos de todas as curvas, mas em geral os resultados de todas as medições dentro da superfície (ângulos, áreas, curvatura, etc.). Portanto, tudo o que depende apenas da métrica refere-se à geometria interna.

Seção normal e normal

Vetores normais em pontos de superfície

Uma das principais características de uma superfície é a sua normal- vetor unitário perpendicular ao plano tangente em um dado ponto:

m = [ r u ′ , r v ′ ] | [r u′, rv′] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u))),\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u))) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

O sinal da normal depende da escolha das coordenadas.

A seção da superfície por um plano contendo a normal da superfície em um dado ponto forma uma certa curva, que é chamada seção normal superfícies. A normal principal para uma seção normal coincide com a normal à superfície (até um sinal).

Se a curva na superfície não é uma seção normal, então sua normal principal forma um ângulo com a normal da superfície θ (\displaystyle \theta ). Então a curvatura k (\displaystyle k) curva está relacionada com a curvatura k n (\displaystyle k_(n)) seção normal (com a mesma tangente) fórmula de Meunier:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

As coordenadas do vetor normal para diferentes formas de especificar a superfície são dadas na tabela:

	Coordenadas normais em um ponto da superfície
atribuição implícita	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(( \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\right) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial z))\right)^(2)))))
atribuição explícita	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f) )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\ parcial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial f)(\partial y))\right)^(2)+1))))
tarefa paramétrica	(D (y , z) D (u , v) ; D (z , x) D (u , v) ; D (x , y) D (u , v)) (D (y , z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\right))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\right)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\right)^(2)))))

Aqui D (y , z) D (u , v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Todas as derivadas são tomadas no ponto (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0)))).

Curvatura

Para direções diferentes em um determinado ponto da superfície, é obtida uma curvatura diferente da seção normal, que é chamada de curvatura normal; é atribuído um sinal de mais se a normal principal da curva for na mesma direção que a normal à superfície, ou um sinal de menos se as direções das normais forem opostas.

De um modo geral, em cada ponto da superfície existem duas direções perpendiculares e 1 (\displaystyle e_(1)) e e 2 (\displaystyle e_(2)), em que a curvatura normal assume os valores mínimo e máximo; essas direções são chamadas a Principal. Uma exceção é o caso quando a curvatura normal é a mesma em todas as direções (por exemplo, perto de uma esfera ou no final de um elipsóide de revolução), então todas as direções em um ponto são principais.

Superfícies com curvatura negativa (esquerda), zero (centro) e positiva (direita).

As curvaturas normais nas direções principais são chamadas de curvaturas principais; vamos denotá-los κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) e κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Tamanho:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

Definição. Um ponto situado em uma superfície de segunda ordem dado pela equação geral (1) em relação ao ODSC é chamado não-singular se entre os três números: houver pelo menos um que não seja igual a zero.

Assim, um ponto sobre uma superfície de segunda ordem não é singular se e somente se for o seu centro, caso contrário, quando a superfície for cônica e o ponto for o vértice dessa superfície.

Definição. Uma tangente a uma superfície de segunda ordem em um dado ponto não singular sobre ela é uma linha reta que passa por este ponto, interceptando a superfície de segunda ordem em um ponto duplo, ou sendo uma geratriz retilínea da superfície.

Teorema 3. As linhas tangentes a uma superfície de segunda ordem em um dado ponto não singular sobre ela estão no mesmo plano, chamado plano tangente à superfície no ponto em consideração. A equação do plano tangente tem

Prova. Sejam , , equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto não singular da superfície de segunda ordem dada pela equação (1). Substituindo na equação (1) , , em vez de , , , temos:

Como o ponto está na superfície (1), também encontramos pela equação (3) (este valor corresponde ao ponto ). Para que o ponto de intersecção da linha com a superfície (1) seja duplo, ou para que a linha fique inteiramente sobre a superfície, é necessário e suficiente que a igualdade seja satisfeita:

Se ao mesmo tempo:

Então o ponto de interseção da linha reta com a superfície (1) é duplo. E se:

Então a linha fica inteiramente na superfície (1).

Das relações (4) e , , segue-se que as coordenadas , , de qualquer ponto situado em qualquer tangente à superfície (1) satisfazem a equação:

Por outro lado, se as coordenadas de algum ponto diferente de satisfazem esta equação, então as coordenadas , , do vetor satisfazem a relação (4), o que significa que a linha é tangente à superfície em consideração.

Como o ponto é um ponto não singular da superfície (1), então entre os números , , existe pelo menos um que não é igual a zero; então a equação (5) é uma equação do primeiro grau em relação a . Esta é a equação do plano tangente à superfície (1) em um ponto não singular dado sobre ela.

Com base nas equações canônicas de superfícies de segunda ordem, é fácil compor as equações de planos tangentes a um elipsóide, hiperbolóide, etc. em um determinado ponto sobre eles.

1). Plano tangente ao elipsóide:

2). Plano tangente para hiperbolóides de uma e duas folhas:

3). Plano tangente aos parabolóides elípticos e hiperbólicos:

§ 161. Intersecção de um plano tangente com uma superfície de segunda ordem.

Tomamos um ponto não singular da superfície de segunda ordem como origem das coordenadas do ODSC, o eixo, e o colocamos no plano tangente à superfície no ponto . Então, na equação geral da superfície (1) o termo livre é igual a zero: , e a equação do plano que toca a superfície na origem deve se parecer com: .

Mas a equação do plano que passa pela origem tem a forma: .

E, uma vez que esta equação deve ser equivalente à equação , então , , .

Assim, no sistema de coordenadas escolhido, a equação de superfície (1) deve se parecer com:

Por outro lado, se , então a equação (6) é a equação da superfície que passa pela origem das coordenadas , e o plano é o plano tangente a essa superfície no ponto . A equação da linha ao longo da qual o plano tangente à superfície em um ponto intercepta a superfície (6) tem a forma:

Se um . Este é um invariante na teoria invariante para linhas de segunda ordem. Equação (7)

Esta é a segunda linha. Pela forma desta linha, a invariante é , portanto:

Para , aqui estão duas linhas imaginárias que se cruzam.

Quando - duas linhas reais de interseção.

Se , mas pelo menos um dos coeficientes , , não for igual a zero, então a linha de interseção (7) é duas linhas coincidentes.

Finalmente, se , então o plano

é parte da superfície dada, e a própria superfície se divide, portanto, em um par de planos

§ 162. Pontos elípticos, hiperbólicos ou parabólicos de uma superfície de segunda ordem.

1. Deixe o plano tangente à superfície de segunda ordem em um ponto que a intercepta ao longo de duas retas imaginárias que se cruzam. Neste caso, o ponto é chamado de ponto elíptico da superfície.

2. Deixe o plano tangente à superfície de segunda ordem em um ponto que a intercepta ao longo de duas linhas reais que se interceptam no ponto de contato. Neste caso, o ponto é chamado de ponto hiperbólico da superfície.

3. Deixe o plano tangente à superfície de segunda ordem em um ponto que a intercepta ao longo de duas retas coincidentes. Neste caso, o ponto é chamado de ponto parabólico da superfície.

Teorema 4. Seja a superfície de segunda ordem em relação ao ODSC dada pela equação (1) e esta equação (1) seja a equação de uma superfície real não decaidora de segunda ordem. Então se ; então todos os pontos da superfície são elípticos.

Prova. Vamos introduzir um novo sistema de coordenadas , escolhendo qualquer ponto não singular da superfície dada como origem das coordenadas e colocando os eixos e no plano tangente à superfície no ponto . A equação (1) no novo sistema de coordenadas é transformada na forma:

Onde . Vamos calcular o invariante para esta equação.

Como o sinal não muda durante a transição de um ODSC para outro, os sinais e são opostos, portanto, se , então ; e, como segue da classificação (ver § 161), o plano tangente à superfície em um ponto intercepta a superfície ao longo de duas linhas imaginárias que se cruzam, ou seja, é um ponto elíptico.

2) Um hiperbolóide de uma folha e um parabolóide hiperbólico consistem em pontos hiperbólicos.

3) O cone real de segunda ordem (exclui-se o vértice), os cilindros elípticos (reais), hiperbólicos e parabólicos consistem em pontos parabólicos.

cilindro parabólico.

Para determinar a localização de um cilindro parabólico, basta saber:

1) um plano de simetria paralelo aos geradores do cilindro;

2) um plano tangente ao cilindro, perpendicular a este plano de simetria;

3) um vetor perpendicular a este plano tangente e direcionado para a concavidade do cilindro.

Se a equação geral define um cilindro parabólico, ela pode ser reescrita como:

Vamos escolher m para que o avião

seriam mutuamente perpendiculares:

Com este valor m plano

será um plano de simetria paralelo aos geradores do cilindro.

Plano

será o plano tangente ao cilindro, perpendicular ao plano de simetria indicado, e o vetor

será perpendicular ao plano tangente encontrado e direcionado para a concavidade do cilindro.

Equação do plano normal

1.

4.

Plano tangente e normal à superfície

Seja dada alguma superfície, A é um ponto fixo da superfície e B é um ponto variável da superfície,

(Figura 1).

Vetor diferente de zero

→

n

chamado vetor normal para a superfície no ponto A se

limite B→A j = π 2 .

Um ponto de superfície F (x, y, z) = 0 é chamado de ordinário se neste ponto

1. as derivadas parciais F " x , F " y , F " z são contínuas;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Se pelo menos uma dessas condições for violada, um ponto na superfície é chamado de ponto singular da superfície .

Teorema 1. Se M(x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto comum da superfície F (x , y , z) = 0 , então o vetor

→ n \u003d grad F (x 0, y 0, z 0) \u003d F "x (x 0, y 0, z 0) → eu + F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

é normal a esta superfície no ponto M (x 0 , y 0 , z 0 ).

Prova dado no livro de I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V. I. Prokhorenko, V. F. Safonova ``Curso de matemática superior: cálculo integral. Funções de várias variáveis. Equações diferenciais. M.: Editora MEI, 2002 (p. 128).

Normal à superfície em algum ponto é chamada de linha cujo vetor direcional é normal à superfície neste ponto e que passa por este ponto.

Canônico equações normais pode ser representado como

x − x0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y − y0 F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z−z0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Plano tangenteà superfície em algum ponto é chamado de plano que passa por esse ponto perpendicular à normal à superfície nesse ponto.

Desta definição segue que equação do plano tangente parece:

(3)

Se um ponto na superfície é singular, então nesse ponto o vetor normal à superfície pode não existir e, consequentemente, a superfície pode não ter um plano normal e um plano tangente.

O significado geométrico do diferencial total de uma função de duas variáveis

Seja a função z = f (x , y) derivável no ponto a (x 0 , y 0 ) . Seu gráfico é a superfície

f (x, y) − z = 0.

Vamos colocar z 0 = f (x 0 , y 0 ). Então o ponto A (x 0 , y 0 , z 0 ) pertence à superfície.

As derivadas parciais da função F (x , y , z) = f (x , y) − z são

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

e no ponto A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. eles são contínuos;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .

Portanto, A é um ponto ordinário da superfície F (x, y, z) e neste ponto existe um plano tangente à superfície. De acordo com (3), a equação do plano tangente tem a forma:

f "x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

O deslocamento vertical de um ponto no plano tangente durante a transição do ponto a (x 0 , y 0 ) para um ponto arbitrário p (x , y) é B Q (Fig. 2). O incremento de aplique correspondente é

(z - z 0 ) \u003d f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Aqui do lado direito está o diferencial d z da função z = f (x, y) no ponto a (x 0 , x 0 ). Conseqüentemente,
d f (x 0 , y 0 ). é o incremento da aplicação do ponto do plano tangente ao gráfico da função f (x, y) no ponto (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )).

Segue-se da definição da diferencial que a distância entre o ponto P no gráfico da função e o ponto Q no plano tangente é uma ordem infinitesimal superior à distância do ponto p ao ponto a.

Em algum ponto e tem derivadas parciais contínuas nele, pelo menos uma das quais não se anula, então na vizinhança deste ponto a superfície dada pela equação (1) será superfície correta.

Além do acima forma implícita de configuração superfície pode ser definida claramente, se uma das variáveis, por exemplo z, puder ser expressa em termos das outras:

Também existe paramétrico método de atribuição. Neste caso, a superfície é determinada pelo sistema de equações:

O conceito de uma superfície simples

Mais precisamente, superfície simples é a imagem de um mapeamento homeomórfico (ou seja, um mapeamento um a um e mutuamente contínuo) do interior do quadrado unitário. Essa definição pode receber uma expressão analítica.

Seja um quadrado dado em um plano com um sistema de coordenadas retangular u e v , cujas coordenadas dos pontos internos satisfazem as desigualdades 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Um exemplo superfície simplesé um hemisfério. Toda a área não superfície simples. Isso requer uma generalização adicional do conceito de superfície.

Um subconjunto de espaço em que cada ponto tem uma vizinhança que é superfície simples, é chamado superfície correta .

Superfície em geometria diferencial

Helicóide

catenóide

A métrica não determina exclusivamente a forma da superfície. Por exemplo, as métricas de um helicóide e de um catenóide, parametrizadas de forma adequada, coincidem, ou seja, há uma correspondência entre suas regiões que preserva todos os comprimentos (isometria). Propriedades que são preservadas sob transformações isométricas são chamadas geometria interna superfícies. A geometria interna não depende da posição da superfície no espaço e não muda quando é dobrada sem tensão e compressão (por exemplo, quando um cilindro é dobrado em um cone).

Os coeficientes métricos determinam não apenas os comprimentos de todas as curvas, mas em geral os resultados de todas as medições dentro da superfície (ângulos, áreas, curvatura, etc.). Portanto, tudo o que depende apenas da métrica refere-se à geometria interna.

Seção normal e normal

Vetores normais em pontos de superfície

Uma das principais características de uma superfície é a sua normal- vetor unitário perpendicular ao plano tangente em um dado ponto:

.

O sinal da normal depende da escolha das coordenadas.

A seção de uma superfície por um plano contendo a normal (em um determinado ponto) forma uma certa curva na superfície, que é chamada seção normal superfícies. A normal principal para uma seção normal coincide com a normal à superfície (até um sinal).

Se a curva na superfície não é uma seção normal, então sua normal principal forma um ângulo θ com a normal da superfície. Então a curvatura k curva está relacionada com a curvatura k n seção normal (com a mesma tangente) fórmula de Meunier:

As coordenadas do vetor normal para diferentes formas de especificar a superfície são dadas na tabela:

	Coordenadas normais em um ponto da superfície
atribuição implícita
atribuição explícita
tarefa paramétrica

Curvatura

Para direções diferentes em um determinado ponto da superfície, é obtida uma curvatura diferente da seção normal, que é chamada de curvatura normal; é atribuído um sinal de mais se a normal principal da curva for na mesma direção que a normal à superfície, ou um sinal de menos se as direções das normais forem opostas.

De um modo geral, em cada ponto da superfície existem duas direções perpendiculares e 1 e e 2 , em que a curvatura normal assume os valores mínimo e máximo; essas direções são chamadas a Principal. Uma exceção é o caso quando a curvatura normal é a mesma em todas as direções (por exemplo, perto de uma esfera ou no final de um elipsóide de revolução), então todas as direções em um ponto são principais.

Superfícies com curvatura negativa (esquerda), zero (centro) e positiva (direita).

As curvaturas normais nas direções principais são chamadas de curvaturas principais; vamos denotá-los por κ 1 e κ 2 . Tamanho:

K= κ 1 κ 2

chamado Curvatura gaussiana, curvatura completa ou simplesmente curvatura superfícies. Há também o termo curvatura escalar, que implica o resultado da convolução do tensor de curvatura ; neste caso, a curvatura escalar é duas vezes maior que a curvatura gaussiana.

A curvatura gaussiana pode ser calculada por meio de uma métrica e, portanto, é um objeto da geometria intrínseca das superfícies (observe que as curvaturas principais não se aplicam à geometria intrínseca). Pelo sinal de curvatura, você pode classificar os pontos da superfície (veja a figura). A curvatura do plano é zero. A curvatura de uma esfera de raio R é em toda parte igual a . Há também uma superfície de curvatura negativa constante - uma pseudoesfera.

Linhas geodésicas, curvatura geodésica

A curva na superfície é chamada linha geodésica, ou simplesmente geodésico, se em todos os seus pontos a normal principal à curva coincide com a normal à superfície. Exemplo: em um plano, geodésicas serão linhas retas e segmentos de linha, em uma esfera - grandes círculos e seus segmentos.

Definição equivalente: para uma linha geodésica, a projeção de sua normal principal no plano contíguo é o vetor zero. Se a curva não for uma geodésica, a projeção especificada será diferente de zero; seu comprimento é chamado curvatura geodésica k g curva na superfície. Existe uma proporção:

,

Onde ké a curvatura desta curva, k n- curvatura de sua seção normal com a mesma tangente.

As linhas geodésicas referem-se à geometria interna. Listamos suas principais propriedades.

• Uma e apenas uma geodésica passa por um determinado ponto da superfície em uma determinada direção.
• Em uma área suficientemente pequena da superfície, dois pontos sempre podem ser conectados por uma geodésica e, além disso, apenas um. Explicação: em uma esfera, pólos opostos são conectados por um número infinito de meridianos, e dois pontos próximos podem ser conectados não apenas por um segmento de um grande círculo, mas também por sua adição a um círculo completo, de modo que a unicidade é observada apenas em um pequeno.
• A geodésica é a mais curta. Mais estritamente: em um pequeno pedaço da superfície, o caminho mais curto entre determinados pontos está ao longo da geodésica.

Quadrado

Outro atributo importante da superfície é sua quadrado, que é calculado pela fórmula: