Equações não lineares com duas incógnitas

Definição 1. Seja A algum conjunto de pares de números (x; sim). Dizem que o conjunto A é dado função numérica z de duas variáveis x e y , se for especificada uma regra com a ajuda da qual cada par de números do conjunto A está associado a um determinado número.

Especificar uma função numérica z de duas variáveis ​​xey é frequentemente denotar Então:

Onde f (x , sim) – qualquer função que não seja uma função

f (x , sim) = machado+por+c ,

onde a, b, c são dados números.

Definição 3. Resolvendo a equação (2) ligue para um par de números ( x; sim) , para a qual a fórmula (2) é uma igualdade verdadeira.

Exemplo 1. Resolva a equação

Como o quadrado de qualquer número não é negativo, segue-se da fórmula (4) que as incógnitas x e y satisfazem o sistema de equações

cuja solução é um par de números (6; 3).

Resposta: (6; 3)

Exemplo 2. Resolva a equação

Portanto, a solução para a equação (6) é número infinito de pares de números tipo

(1 + sim ; sim) ,

onde y é qualquer número.

linear

Definição 4. Resolvendo um sistema de equações

ligue para um par de números ( x; sim) , ao substituí-los em cada uma das equações deste sistema, obtém-se a igualdade correta.

Sistemas de duas equações, uma das quais linear, têm a forma

g(x , sim)

Exemplo 4. Resolver sistema de equações

Solução. Vamos expressar a incógnita y da primeira equação do sistema (7) através da incógnita x e substituir a expressão resultante na segunda equação do sistema:

Resolvendo a equação

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Por isso,

sim 1 = 8 - x 1 = 9 ,
sim 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Sistemas de duas equações, uma das quais é homogênea

Sistemas de duas equações, uma das quais homogênea, têm a forma

onde a, b, c são dados números, e g(x , sim) – função de duas variáveis ​​x e y.

Exemplo 6. Resolver sistema de equações

Solução. Vamos resolver a equação homogênea

3x 2 + 2xy - sim 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10sim 2 = 0 ,

tratando-o como uma equação quadrática em relação à incógnita x:

.

Em caso x = - 5sim, da segunda equação do sistema (11) obtemos a equação

5sim 2 = - 20 ,

que não tem raízes.

Em caso

da segunda equação do sistema (11) obtemos a equação

,

cujas raízes são números sim 1 = 3 , sim 2 = - 3 . Encontrando para cada um desses valores y o valor x correspondente, obtemos duas soluções para o sistema: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Resposta: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Exemplos de resolução de sistemas de equações de outros tipos

Exemplo 8. Resolva um sistema de equações (MIPT)

Solução. Vamos introduzir novas incógnitas u e v, que são expressas por meio de x e y de acordo com as fórmulas:

Para reescrever o sistema (12) em termos de novas incógnitas, primeiro expressamos as incógnitas x e y em termos de u e v. Do sistema (13) segue que

Resolvamos o sistema linear (14) eliminando a variável x da segunda equação deste sistema. Para tanto, realizamos as seguintes transformações no sistema (14).

Problema 12.

Resolva em números inteiros 5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0.

Solução.

Se você tentar resolver esta equação usando o método de fatoração, então este é um trabalho bastante trabalhoso, então esta equação pode ser resolvida por um método mais elegante. Considere a equação como relativo quadradoÓ x 5x²+(8y-2 )x+5y²+2y+2=0 , x1,2 = (1 – 4y ±√(1 – 4y)² - 5(5y² + 2y + 2))/5 = (1 – 4y ± √ -9(y + 1)²)/5.

Esta equação tem solução quando o discriminante é igual a zero, ou seja, –9(y + 1) = 0, daqui y = -1. Se y = -1, Que x=1.

Responder.

Problema 13.

Resolva em números inteiros 3(x² + xy + y²)= x + 8y

Solução.

Considere a equação como quadrática em relação a x 3x² + (3y - 1)x + 3y² - 8y = 0. Vamos encontrar o discriminante da equação D = =(3y – 1) ² - 4 * 3(3y² - 8y) = 9y² - 6y + 1 – 36y² + 96y = -27y² + 90y + 1.

Dado equação a educação tem raízes, SeD³0, ou seja –27у² + 90 у + 1³ 0

(-45 + √2052)/ (-27) £ e £ (-45 -√2052)/ (-27)(4)

Porque e O Z, então a condição (4) é satisfeita apenas 0, 1, 2, 3 . Percorrendo esses valores, descobrimos que a equação em inteiros tem soluções (0; 0) E (1; 1) .

Responder.

(0; 0) , (1; 1) .

Problema 14.

Resolva a equação 5x² - 2xy + 2y² - 2x – 2y + 1= 0.

Solução.

Considere esta equação como quadrática em relação a X com coeficientes dependendo de y, 5x² - 2(y + 1)x + 2y² – 2y + 1= 0.

Vamos encontrar um quarto do discriminante D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)².

Segue-se que a equação só tem solução quando -(3у – 2)² = 0, isso implica y = ⅔, então encontramos x = ⅓.

Responder.

(⅓; ⅔).

Método de resíduo.

Problema 15.

Resolva em números inteiros 3ª = 1 + y²

Solução.

Está claro que (0; 0) – solução desta equação. Vamos provar que não existem outras soluções.

Vamos considerar os casos:

1) x O N, y O N(5)

Se x O N, Que 3ª dividido por 3 sem deixar vestígios, e y² + 1 quando dividido por 3 dá o resto também 1 , ou 2 . Consequentemente, igualdade (5) para valores naturais X E no impossível.

2) Se X– número inteiro negativo, e sobre Z, Então 0<3ª<1, A 1+y²³0 e a igualdade (5) também é impossível. Portanto, (0; 0) é a única solução.

Responder.

Problema 16 .

Prove que o sistema de equações

ì x² - y² = 7

î z² - 2y² = 1

não tem soluções em inteiros.

Solução.

Vamos supor que o sistema esteja habilitado. Da segunda equação z²=2у+1, ou seja z²– número ímpar e z-ímpar significa z=2m+1. Então y²+2m²+2m , Significa, y² - numero par no- até, y = 2n, n O Z.

x²=8n³+7, ou seja x² - número ímpar e X - número ímpar, x=2k+1, k О Z.

Vamos substituir os valores X E no na primeira equação, obtemos 2(k² + k - 2n³) = 3, o que é impossível, pois o lado esquerdo é divisível por 2 , mas o certo não.

Isso significa que nossa suposição está incorreta, ou seja, o sistema não tem soluções em inteiros.

Método de descida infinita.

A solução das equações pelo método da descida infinita segue o seguinte esquema: supondo que a equação tenha soluções, construímos algum processo infinito, enquanto pelo próprio significado do problema esse processo deve terminar em algum lugar.

Freqüentemente, o método da descida infinita é usado de uma forma mais simples. Supondo que já chegamos ao fim natural, vemos que não podemos “parar”.

Problema 17.

Resolva em números inteiros 29x + 13y + 56z = 17 (6)

Expressemos a incógnita com o menor coeficiente em termos das incógnitas restantes.

y=(17-29x-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13(7)

Vamos denotar (4-3x-4z)/13 = t1(8)

De (7) segue que t1 só pode assumir valores inteiros. De (8) temos 13t1 + 3x + 4z = 14(9)

Obtemos uma nova equação Diofantina, mas com coeficientes menores que em (6). Apliquemos as mesmas considerações a (9): x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3

(1-t1-z)/3 = t2, t2- todo, 3t2+t1+z = 1(10)

Em (10) o coeficiente em z– a incógnita da equação original é igual a 1 - Este é o ponto final da “descida”. Agora expressamos consistentemente z, x, sim através t1 E t2.

ì z = -t1 – 3t2 + 1

í x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2

î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3

Então, ì x = -3t1 + 4t2

í y = 11t1 + 4t2 - 3

î z = -t1 – 3t2 + 1

t1, t2- quaisquer números inteiros – todas as soluções inteiras para a equação (6)

Problema 18.

Resolva em números inteiros x³ - 3y³ - 9z³ = 0(11)

Solução.

Pode-se observar que o lado esquerdo da equação (11) não é passível de nenhuma transformação. Portanto, explorando a natureza dos inteiros x³=3(y³-z³). Número x³ múltiplo 3 , o que significa o número X múltiplo 3 , ou seja x = 3x1(12) Vamos substituir (12) em (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0(13)

y³=3(3x1³-z³). Então y³ múltiplo 3 , que significa no múltiplo 3 , ou seja y=3y1(14). Vamos substituir (14) em (13) 9х1³ -27у1³ - 3z³=0. Desta equação segue que z³ múltiplo 3, e portanto z múltiplo 3 , ou seja z=3z1.

Então, descobriu-se que os números que satisfazem a equação (11) são múltiplos de três, e não importa quantas vezes os dividamos por 3 , obtemos números que são múltiplos de três. O único número inteiro que satisfaz três. O único número inteiro que satisfaz esta condição será zero, ou seja, a solução para esta equação (0; 0; 0)

Resolvendo equações em números inteiros.

Equações incertas são equações que contêm mais de uma incógnita. Por uma solução para uma equação indeterminada entendemos um conjunto de valores das incógnitas que transforma a equação dada em uma verdadeira igualdade.

Para resolver em números inteiros uma equação da forma ah + por = c , Onde A, b , c - números inteiros diferentes de zero, apresentamos uma série de disposições teóricas que nos permitirão estabelecer uma regra de decisão. Estas disposições baseiam-se também em factos já conhecidos da teoria da divisibilidade.

Teorema 1.Se mdc (A, b ) = d , então existem tais números inteiros X E no, que a igualdade vale ah + b você = d . (Essa igualdade é chamada de combinação linear ou representação linear do máximo divisor comum de dois números em termos dos próprios números.)

A prova do teorema baseia-se na utilização da igualdade do algoritmo euclidiano para encontrar o máximo divisor comum de dois números (o máximo divisor comum é expresso em termos de quocientes parciais e restos, a partir da última igualdade no algoritmo euclidiano).

Exemplo.

Encontre a representação linear do máximo divisor comum dos números 1232 e 1672.

Solução.

1. Vamos criar as igualdades do algoritmo euclidiano:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, ou seja, (1672,352) = 88.

2) Expressemos 88 sequencialmente através de quocientes incompletos e restos, utilizando as igualdades obtidas acima, começando pelo final:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, ou seja, 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorema 2. Se a equação ah + b y = 1 , se mdc (A, b ) = 1 , basta imaginar o número 1 como uma combinação linear de números a e b.

A validade deste teorema segue do Teorema 1. Assim, para encontrar uma única solução inteira para a equação ah + b y = 1, se mdc (a, b) = 1, basta representar o número 1 como uma combinação linear de números A E V .

Exemplo.

Encontre uma solução inteira para a equação 15x + 37y = 1.

Solução.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorema 3. Se na Eq. ah + b y = c mdc(a, b ) = d >1 E Com não divisível por d , então a equação não tem soluções inteiras.

Para provar o teorema, basta assumir o contrário.

Exemplo.

Encontre uma solução inteira para a equação 16x - 34y = 7.

Solução.

(16,34)=2; 7 não é divisível por 2, a equação não tem soluções inteiras

Teorema 4. Se na Eq. ah + b y = c mdc(uma, b ) = d >1 ec d , então é

Ao provar o teorema, deve-se mostrar que uma solução inteira arbitrária para a primeira equação também é uma solução para a segunda equação e vice-versa.

Teorema 5. Se na Eq. ah + b y = c mdc(a, b ) = 1, então todas as soluções inteiras para esta equação estão contidas nas fórmulas:

t – qualquer número inteiro.

Ao provar o teorema, deve ser mostrado, em primeiro lugar, que as fórmulas acima realmente fornecem soluções para esta equação e, em segundo lugar, que uma solução inteira arbitrária para esta equação está contida nas fórmulas acima.

Os teoremas acima nos permitem estabelecer a seguinte regra para resolver a equação em números inteiros ah+ b y = c mdc(uma, b ) = 1:

1) Uma solução inteira para a equação é encontrada ah + b y = 1 representando 1 como uma combinação linear de números A Eb (existem outras maneiras de encontrar soluções inteiras para esta equação, por exemplo usando frações contínuas);

Uma fórmula geral para soluções inteiras do dado

Dando t certos valores inteiros, você pode obter soluções parciais para esta equação: o menor em valor absoluto, o menor positivo (se possível), etc.

Exemplo.

Encontre soluções inteiras para a equação 407x - 2816y = 33.

Solução.

1. Simplificamos esta equação, trazendo-a para a forma 37x - 256y = 3.

2. Resolva a equação 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Visão geral de todas as soluções inteiras desta equação:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

O método de enumeração exaustiva de todos os valores possíveis de variáveis,

incluído na equação.

Encontre o conjunto de todos os pares de números naturais que são soluções da equação 49x + 51y = 602.

Solução:

Vamos expressar a variável x da equação por meio de y x =, como x e y são números naturais, então x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

Uma busca completa de opções mostra que as soluções naturais para a equação são x=5, y=7.

Resposta: (5;7).

Resolução de equações usando o método de fatoração.

Diofanto, junto com as equações lineares, considerou equações quadráticas e cúbicas indefinidas. Resolvê-los geralmente é difícil.

Vamos considerar um caso em que a fórmula da diferença de quadrados ou outro método de fatoração pode ser usado nas equações.

Resolva a equação em números inteiros: x 2 + 23 = y 2

Solução:

Vamos reescrever a equação na forma: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Como x e y são inteiros e 23 é um número primo, os seguintes casos são possíveis:

Resolvendo os sistemas resultantes, encontramos:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Expressar uma variável em termos de outra e isolar toda a parte da fração.

Resolva a equação em números inteiros: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Solução:

Vamos expressar y através de x a partir desta equação:

y(x - 1) =2 - x 2,

No curso de matemática do 7º ano, encontramos pela primeira vez equações com duas variáveis, mas são estudados apenas no contexto de sistemas de equações com duas incógnitas. É por isso que toda uma série de problemas em que são introduzidas certas condições nos coeficientes da equação que os limitam desaparecem de vista. Além disso, métodos para resolver problemas como “Resolver uma equação em números naturais ou inteiros” também são ignorados, embora problemas desse tipo sejam cada vez mais encontrados nos materiais do Exame Estadual Unificado e nos vestibulares.

Qual equação será chamada de equação com duas variáveis?

Assim, por exemplo, as equações 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 ou xy = 12 são equações em duas variáveis.

Considere a equação 2x – y = 1. Ela se torna verdadeira quando x = 2 e y = 3, então este par de valores de variáveis ​​é uma solução para a equação em questão.

Assim, a solução para qualquer equação com duas variáveis ​​é um conjunto de pares ordenados (x; y), valores das variáveis ​​que transformam esta equação em uma verdadeira igualdade numérica.

Uma equação com duas incógnitas pode:

A) tem uma solução. Por exemplo, a equação x 2 + 5y 2 = 0 tem uma solução única (0; 0);

b) tem múltiplas soluções. Por exemplo, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 tem 4 soluções: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

V) não tenho soluções. Por exemplo, a equação x 2 + y 2 + 1 = 0 não tem solução;

G) tem infinitas soluções. Por exemplo, x + y = 3. As soluções desta equação serão números cuja soma é igual a 3. O conjunto de soluções desta equação pode ser escrito na forma (k; 3 – k), onde k é qualquer real número.

Os principais métodos para resolver equações com duas variáveis ​​​​são métodos baseados em fatoração de expressões, isolando um quadrado completo, usando as propriedades de uma equação quadrática, expressões limitadas e métodos de estimativa. A equação é geralmente convertida em uma forma a partir da qual um sistema para encontrar as incógnitas pode ser obtido.

Fatoração

Exemplo 1.

Resolva a equação: xy – 2 = 2x – y.

Solução.

Agrupamos os termos para fins de fatoração:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. De cada colchete retiramos um fator comum:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Temos:

y = 2, x – qualquer número real ou x = -1, y – qualquer número real.

Por isso, a resposta são todos os pares da forma (x; 2), x € R e (-1; y), y € R.

Igualdade de números não negativos a zero

Exemplo 2.

Resolva a equação: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Solução.

Agrupamento:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Agora cada colchete pode ser dobrado usando a fórmula da diferença quadrada.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

A soma de duas expressões não negativas é zero somente se 3x – 2 = 0 e 2y – 3 = 0.

Isso significa x = 2/3 e y = 3/2.

Resposta: (2/3; 3/2).

Método de estimativa

Exemplo 3.

Resolva a equação: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Solução.

Em cada colchete selecionamos um quadrado completo:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Vamos estimar o significado das expressões entre parênteses.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 e (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, então o lado esquerdo da equação é sempre pelo menos 2. A igualdade é possível se:

(x + 1) 2 + 1 = 1 e (y – 2) 2 + 2 = 2, o que significa x = -1, y = 2.

Resposta: (-1; 2).

Vamos conhecer outro método para resolver equações com duas variáveis ​​​​de segundo grau. Este método consiste em tratar a equação como quadrado em relação a alguma variável.

Exemplo 4.

Resolva a equação: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Solução.

Vamos resolver a equação como uma equação quadrática para x. Vamos encontrar o discriminante:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . A equação terá solução somente quando D = 0, ou seja, se y = 4. Substituímos o valor de y na equação original e descobrimos que x = 3.

Resposta: (3; 4).

Freqüentemente, em equações com duas incógnitas, elas indicam restrições em variáveis.

Exemplo 5.

Resolva a equação em números inteiros: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solução.

Vamos reescrever a equação na forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. O lado direito da equação resultante quando dividido por 5 dá um resto de 2. Portanto, x 2 não é divisível por 5. Mas o quadrado de a um número não divisível por 5 dá um resto de 1 ou 4. Assim, a igualdade é impossível e não há soluções.

Resposta: sem raízes.

Exemplo 6.

Resolva a equação: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Solução.

Vamos destacar os quadrados completos em cada colchete:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. O lado esquerdo da equação é sempre maior ou igual a 3. A igualdade é possível desde que |x| – 2 = 0 e y + 3 = 0. Assim, x = ± 2, y = -3.

Resposta: (2; -3) e (-2; -3).

Exemplo 7.

Para cada par de inteiros negativos (x;y) que satisfaçam a equação
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcule a soma (x + y). Indique o menor valor em sua resposta.

Solução.

Vamos selecionar quadrados completos:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Como x e y são inteiros, seus quadrados também são inteiros. Obtemos a soma dos quadrados de dois inteiros iguais a 37 se somarmos 1 + 36. Portanto:

(x – y) 2 = 36 e (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 e (y + 2) 2 = 36.

Resolvendo estes sistemas e tendo em conta que x e y são negativos, encontramos soluções: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Resposta: -17.

Não se desespere se tiver dificuldade em resolver equações com duas incógnitas. Com um pouco de prática, você pode lidar com qualquer equação.

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Existem muitos caminhos que vão da orla da floresta até o matagal. Eles são tortuosos, convergem, divergem novamente e se cruzam novamente. Ao caminhar, você só percebe a abundância desses caminhos, percorre alguns deles e traça sua direção até as profundezas da floresta. Para estudar seriamente a floresta, é preciso seguir os caminhos até que fiquem visíveis entre as agulhas e arbustos secos dos pinheiros.

Portanto, quis escrever um projeto que pudesse ser considerado como a descrição de um dos possíveis passeios ao longo dos limites da matemática moderna.

O mundo que nos rodeia, as necessidades da economia nacional e, muitas vezes, as preocupações do quotidiano colocam cada vez mais tarefas novas para uma pessoa, cuja solução nem sempre é óbvia. Às vezes, uma determinada questão tem muitas respostas possíveis, o que causa dificuldades na resolução das tarefas. Como escolher a opção certa e ideal?

A solução de equações incertas está diretamente relacionada a esta questão. Tais equações, contendo duas ou mais variáveis, para as quais é necessário encontrar todas as soluções inteiras ou naturais, são consideradas desde a antiguidade. Por exemplo, o matemático grego Pitágoras (século IV aC). o matemático alexandrino Diofanto (século II-III dC) e os melhores matemáticos de uma época mais próxima de nós - P. Fermat (século XVII), L. Euler (século XVIII), J. L. Lagrange (século XVIII) e outros.

Participando da competição por correspondência russa > em Obninsk, da Competição Internacional de Jogos > e da Olimpíada do Distrito Federal dos Urais, frequentemente encontro essas tarefas. Isso se deve ao fato de sua solução ser criativa. Os problemas que surgem na resolução de equações em números inteiros são causados ​​tanto pela complexidade quanto pelo fato de pouco tempo ser dedicado a elas na escola.

Diofanto apresenta um dos mistérios mais difíceis da história da ciência. Não sabemos a época em que viveu, nem seus antecessores que teriam atuado na mesma área. Suas obras são como um fogo cintilante no meio de uma escuridão impenetrável.

O período de tempo em que Diofanto poderia ter vivido é de meio milênio! O limite inferior é determinado sem dificuldade: em seu livro sobre números poligonais, Diofanto menciona repetidamente o matemático Hipscles de Alexandria, que viveu em meados do século II. AC e.

Por outro lado, nos comentários de Téon de Alexandria ao famoso astrônomo Ptolomeu há um trecho da obra de Diofante. Theon viveu em meados do século IV. n. e. Isso determina o limite superior deste intervalo. Então, 500 anos!

O historiador da ciência francês Paul Tannry, editor do texto mais completo de Diofanto, tentou diminuir essa lacuna. Na biblioteca Escurial encontrou trechos de uma carta de Miguel Psellus, um estudioso bizantino do século XI. , onde se diz que o mais erudito Anatoly, depois de recolher as partes mais essenciais desta ciência, estamos a falar da introdução dos graus do desconhecido e da sua (designação), dedicou-os ao seu amigo Diofante. Anatólia de Alexandria na verdade compôs >, cujos trechos são citados nas obras existentes de Jâmblico e Eusênio. Mas Anatoly viveu em Alexandria em meados do século 111 aC. e e mais precisamente - até 270, quando se tornou bispo da Laodácia. Isto significa que a sua amizade com Diofanto, a quem todos chamam de Alexandria, deve ter ocorrido antes disso. Portanto, se o famoso matemático alexandrino e amigo de Anatoly chamado Diofante são uma pessoa, então a época da vida de Diofante é meados do século 111 DC.

Mas o local de residência de Diofanto é bem conhecido - Alexandria, o centro do pensamento científico e do mundo helenístico.

Um dos epigramas da Antologia Palatina sobreviveu até hoje:

As cinzas de Diofanto repousam no túmulo: maravilhe-se com isso - e com a pedra

A idade do falecido será revelada através de sua sábia arte.

Pela vontade dos deuses, ele viveu um sexto de sua vida quando criança.

E me encontrei às cinco e meia com penugem nas bochechas.

Foi apenas no sétimo dia que ele ficou noivo da namorada.

Depois de passar cinco anos com ela, o sábio esperou pelo filho.

O filho amado de seu pai viveu apenas metade de sua vida.

Ele foi tirado de seu pai por seu túmulo precoce.

Duas vezes, durante dois anos, o pai lamentou uma dor severa.

Aqui eu vi o limite da minha triste vida.

Usando métodos modernos de resolução de equações, é possível calcular quantos anos Diofante viveu.

Deixe Diofanto viver x anos. Vamos criar e resolver a equação:

Vamos multiplicar a equação por 84 para nos livrar das frações:

Assim, Diofanto viveu 84 anos.

O mais misterioso é o trabalho de Diofanto. Seis dos treze livros que foram combinados em > chegaram até nós; o estilo e o conteúdo desses livros diferem nitidamente das obras clássicas antigas sobre teoria dos números e álgebra, exemplos dos quais conhecemos de > Euclides, seus > lemas das obras. de Arquimedes e Apolônio. > foi sem dúvida o resultado de numerosos estudos que permaneceram completamente desconhecidos.

Só podemos adivinhar as suas raízes e maravilhar-nos com a riqueza e a beleza dos seus métodos e resultados.

> Diophanta é uma coleção de problemas (189 no total), cada um com uma solução. Os problemas nele contidos são cuidadosamente selecionados e servem para ilustrar métodos muito específicos e rigorosamente pensados. Como era habitual nos tempos antigos, os métodos não são formulados de forma geral, mas são repetidos para resolver problemas semelhantes.

Uma biografia única de Diofante é conhecida com segurança, que, segundo a lenda, foi esculpida em sua lápide e apresentou um quebra-cabeça:

Este quebra-cabeça serve de exemplo dos problemas que Diofanto resolveu. Ele se especializou em resolver problemas em números inteiros. Tais problemas são atualmente conhecidos como problemas Diofantinos.

O estudo das equações diofantinas costuma estar associado a grandes dificuldades.

Em 1900, no Congresso Mundial de Matemáticos em Paris, um dos principais matemáticos do mundo, David Hilbert, identificou 23 problemas de diversas áreas da matemática. Um desses problemas foi o problema de resolução de equações diofantinas. O problema era o seguinte: é possível resolver uma equação com um número arbitrário de incógnitas e coeficientes inteiros de uma determinada maneira - usando um algoritmo. A tarefa é a seguinte: para uma determinada equação, é necessário encontrar todos os valores inteiros ou naturais das variáveis ​​​​incluídas na equação, nas quais ela se transforma em uma verdadeira igualdade. Diofanto apresentou muitas soluções diferentes para tais equações. Devido à infinita variedade de equações diofantinas, não existe um algoritmo geral para resolvê-las, e para quase cada equação é necessário inventar uma técnica individual.

Uma equação Diofantina de 1º grau ou uma equação Diofantina linear com duas incógnitas é uma equação da forma: ax+by=c, onde a,b,c são inteiros, GCD(a,b)=1.

Darei formulações de teoremas com base nos quais um algoritmo para resolver equações indeterminadas de primeiro grau de duas variáveis ​​​​em números inteiros pode ser compilado.

Teorema 1. Se estiver em uma equação, então a equação tem pelo menos uma solução.

Prova:

Podemos assumir que a >0. Tendo resolvido a equação para x, obtemos: x = c-vua. Vou provar que se nesta fórmula em vez de y substituirmos todos os números naturais menores que a e 0, ou seja, os números 0;1;2;3;. ;a-1, e cada vez que você realizar a divisão, todos os restos serão diferentes. Na verdade, em vez de y, substituirei os números m1 e m2, menores que a. Como resultado, obterei duas frações: c-bm1a e c-bm2a. Tendo realizado a divisão e denotado os quocientes incompletos por q1 e q2, e os restos por r1 e r2, encontrarei с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а.

Assumirei que os restos r1 e r2 são iguais. Então, subtraindo a segunda da primeira igualdade, obtenho: c-bm1a- c-bm2a = q1-q2, ou b(m1 - m2)a = q1-q2.

Como q1-q2 é um número inteiro, o lado esquerdo também deve ser um número inteiro. Portanto, bm1 - m2 deve ser divisível por a, ou seja, a diferença de dois números naturais, cada um deles menor que a, deve ser divisível por a, o que é impossível. Isso significa que os restos r1 e r2 são iguais. Ou seja, todos os resíduos são diferentes.

Que. Recebi um de vários saldos inferiores a um. Mas o a distinto dos números naturais que não excede a são os números 0;1;2;3;. ;a-1. Consequentemente, entre os restos certamente haverá um e apenas um igual a zero. O valor de y, cuja substituição na expressão (c-vu)a dá um resto de 0 e transforma x=(c-vu)a em um número inteiro. Q.E.D.

Teorema 2. Se na equação e c não for divisível por, então a equação não tem soluções inteiras.

Prova:

Seja d=GCD(a;b), de modo que a=md, b=nd, onde m e n são inteiros. Então a equação terá a forma: mdх+ ndу=с, ou d(mх+ nу)=с.

Supondo que existam inteiros xey que satisfaçam a equação, descubro que o coeficiente c é divisível por d. A contradição resultante prova o teorema.

Teorema 3. Se na equação, e, então é equivalente à equação em que.

Teorema 4. Se estiver em uma equação, então todas as soluções inteiras para esta equação estão contidas nas fórmulas:

onde x0, y0 é uma solução inteira para a equação, é qualquer número inteiro.

Os teoremas formulados permitem construir o seguinte algoritmo para resolver uma equação da forma em inteiros.

1. Encontre o máximo divisor comum dos números a e b; se c não for divisível por, então a equação não tem soluções inteiras; se e então

2. Divida a equação termo por termo, obtendo uma equação na qual.

3. Encontre uma solução inteira (x0, y0) da equação representando 1 como uma combinação linear de números e;

4. Crie uma fórmula geral para soluções inteiras para esta equação, onde x0, y0 é uma solução inteira para a equação e é qualquer número inteiro.

2. 1 MÉTODO DE DESCIDA

Muitos > são baseados em métodos para resolver equações incertas. Por exemplo, um truque que envolve adivinhar a data de nascimento.

Convide seu amigo a adivinhar o aniversário dele pela soma dos números iguais ao produto da data de nascimento por 12 e o número do mês de nascimento por 31.

Para adivinhar o aniversário do seu amigo você precisa resolver a equação: 12x + 31y = A.

Deixe-lhe receber o número 380, ou seja, temos a equação 12x + 31y = 380. Para encontrar x e y, você pode raciocinar assim: o número 12x + 24y é divisível por 12, portanto, de acordo com as propriedades de divisibilidade (Teorema 4.4), o número 7y e 380 devem ter o mesmo resto quando dividido por 12. O número 380 quando dividido por 12 dá um resto de 8, portanto 7y quando dividido por 12 também deve deixar um resto de 8, e como y é o número do mês, então 1

A equação que resolvemos é uma equação Diofantina de 1º grau com duas incógnitas. Para resolver tais equações, pode-se usar o chamado método descendente. Considerarei o algoritmo deste método usando a equação específica 5x + 8y = 39.

1. Escolherei a incógnita que possui o menor coeficiente (no nosso caso é x), e a expressarei por meio de outra incógnita:. Vou destacar a parte inteira: Obviamente, x será um número inteiro se a expressão for um número inteiro, o que, por sua vez, será o caso quando o número 4 - 3y for divisível por 5 sem resto.

2. Apresentarei uma variável inteira adicional z da seguinte forma: 4 - 3y = 5z. Como resultado, obterei uma equação do mesmo tipo da original, mas com coeficientes menores. Vou resolver isso em relação à variável y:. Selecionando a parte inteira, obtenho:

Raciocinando de forma semelhante ao anterior, introduzo uma nova variável u: 3u = 1 - 2z.

3. Expressarei a incógnita com o menor coeficiente, neste caso a variável z: =. Exigindo que seja um número inteiro, obtenho: 1 - u = 2v, de onde u = 1 - 2v. Não há mais frações, a descida está completa.

4. Agora você precisa de >. Vou expressar através da variável v primeiro z, depois y e depois x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.

5. As fórmulas x = 3+8v e y = 3 - 5v, onde v é um número inteiro arbitrário, representam a solução geral da equação original em números inteiros.

Comente. Assim, o método descendente envolve primeiro expressar sequencialmente uma variável em termos de outra até que não haja mais frações na representação da variável e, então, sequencialmente ao longo de uma cadeia de igualdades para obter uma solução geral para a equação.

2. 2 MÉTODO DE PESQUISA

Coelhos e faisões sentam-se em uma gaiola; eles têm 18 patas no total. Descubra quantos de ambos estão na célula?

Deixe-me criar uma equação com duas incógnitas, em que x é o número de coelhos e y é o número de faisões:

4x + 2y = 18 ou 2x + y = 9.

Responder. 1) 1 coelho e 7 faisões; 2) 2 coelhos e 5 faisões; 3) 3 coelhos e 3 faisões; 4) 4 coelhos e 1 faisão.

1. PARTE PRÁTICA

3.1 Resolvendo equações lineares com duas incógnitas

1. Resolva a equação 407x - 2816y = 33 em números inteiros.

Usarei o algoritmo compilado.

1. Usando o algoritmo euclidiano, encontrarei o máximo divisor comum dos números 407 e 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Portanto (407,2816) = 11, com 33 divisível por 11.

2. Divida ambos os lados da equação original por 11, obtemos a equação 37x - 256y = 3 e (37, 256) = 1

3. Usando o algoritmo euclidiano, encontrarei uma representação linear do número 1 através dos números 37 e 256.

256 = 37 6 + 34;

Vou expressar 1 da última igualdade, depois subindo sucessivamente as igualdades vou expressar 3; 34 e substitua as expressões resultantes na expressão por 1.

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

83 37 - 256 (- 12)

Assim, 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, portanto o par de números x0 = - 83 e y0 = - 12 é uma solução para a equação 37x - 256y = 3.

4. Escreverei a fórmula geral para soluções da equação original, onde t é qualquer número inteiro.

Responder. (-83c+bt; -12c-at), t є Z.

Comente. Pode-se provar que se o par (x1,y1) é uma solução inteira para a equação onde, então todas as soluções inteiras para esta equação são encontradas pelas fórmulas: x=x1+bty=y1-at

2. Resolva a equação 14x - 33y=32 em números inteiros.

Solução: x = (32 + 33y): 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2 anos + 5 anos + 14 [. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; pє Z

Pesquise de 1 a 13

Quando y = 2; (5 [.] 2 + 4): 14

Deixe-me substituir y = 2 na equação original

14x = 32 +33 [. ] 2

14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7

Encontrarei todas as soluções inteiras do quociente encontrado:

14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14(x - 7) - 33(y - 2)=0

14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7): 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z

Deixe-me substituir na equação original:

14(33k + 7) - 33y = 32

14. 33k + 98 - 33y = 32y = 14k + 2; x = 33k + 7, onde k є Z. Essas fórmulas especificam a solução geral da equação original.

Responder. (33k + 7; 14k + 2), k є Z.

3. Resolva a equação x - 3y = 15 em números inteiros.

Vou encontrar MDC(1,3)=1

Vou determinar uma solução específica: x=(15+3y):1 usando o método de enumeração, encontro o valor y=0 então x=(15+3 [. ] 0) =15

(15; 0) - solução privada.

Todas as outras soluções são encontradas usando as fórmulas: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z com k=0, obtenho uma solução particular (15;0)

Resposta: (3k+15; k), k є Z.

4. Resolva a equação 7x - y = 3 em números inteiros.

Vou encontrar GCD(7, -1)=1

Vou definir uma solução particular: x = (3+y):7

Usando o método da força bruta, encontramos o valor y є y = 4, x = 1

Isso significa que (1;4) é uma solução particular.

Encontro todas as outras soluções usando as fórmulas: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z

Resposta: (k+1;7k+4); k є Z.

5. Resolva a equação 15x+11 y = 14 inteiros.

Vou encontrar GCD(15, -14)=1

Vou definir uma solução particular: x = (14 - 11y):15

Usando o método da força bruta, encontro o valor y є y = 4, x = -2

(-2;4) é uma solução particular.

Encontro todas as outras soluções usando as fórmulas: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z

Resposta: (-11k-2; 15k+4); k є Z.

6. Resolva a equação 3x - 2y = 12 inteiros.

Vou encontrar MDC(3; 2)=1

Vou definir uma solução particular: x = (12+2y):3

Usando o método da força bruta, encontro o valor y є y = 0, x = 4

(4;0) é uma solução particular.

Encontro todas as outras soluções usando as fórmulas: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z

Resposta: (2k+4; 3k); k є Z.

7. Resolva a equação xy = x + y em números inteiros.

Eu tenho xy - x - y + 1 = 1 ou (x - 1)(y - 1) = 1

Portanto x - 1 = 1, y - 1 = 1, de onde x = 2, y = 2 ou x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, de onde x = 0, y = 0 outras soluções em inteiros dados o equação não tem.

Responder. 0;0;(2;2).

8. Resolva a equação 60x - 77y = 1 em números inteiros.

Deixe-me resolver esta equação para x: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.

Seja (17y + 1) / 60 = z, então y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Se denotarmos (9z - 1) / 17 por t, então z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Finalmente, seja (- t + 1) / 9 = n, então t = 1- 9n. Como encontro apenas soluções inteiras para a equação, z, t, n devem ser inteiros.

Assim, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n e, portanto, y = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, x = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Portanto, se xey são soluções inteiras de uma determinada equação, então existe um número inteiro n tal que x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Por outro lado, se y = 9 - 77n, x = 7 - 60n, então, obviamente, x, y são inteiros. A verificação mostra que eles satisfazem a equação original.

Responder. (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.

9. Resolva a equação 2x+11y =24 em números inteiros.

Vou encontrar MDC(2; 11)=1

Vou definir uma solução particular: x = (24-11y):2

Usando o método da força bruta, encontro o valor y є y = 0, x = 12

(12;0) é uma solução particular.

Encontro todas as outras soluções usando as fórmulas: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z

Resposta:(-11k+12; 2k); k є Z.

10. Resolva a equação 19x - 7y = 100 em números inteiros.

Vou encontrar GCD(19, -7)=1

Vou definir uma solução particular: x = (100+7y):19

Usando o método da força bruta, encontro o valor y є y = 2, x = 6

(6;2) é uma solução particular.

Encontro todas as outras soluções usando as fórmulas: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z

Resposta:(7k+6; 19k+2); kє Z.

11. Resolva a equação 24x - 6y = 144 em números inteiros

Encontrarei MDC(24, 6)=3.

A equação não tem solução porque GCD(24, 6)!=1.

Responder. Não há soluções.

12. Resolva a equação em números inteiros.

Eu transformo a proporção de coeficientes em incógnitas.

Em primeiro lugar, destacarei toda a parte da fração imprópria;

Substituirei a fração adequada por uma fração igual.

Então eu atendo.

Farei as mesmas transformações com a fração imprópria obtida no denominador.

Agora a fração original terá a forma:

Repetindo o mesmo raciocínio para a fração, entendi.

Isolando toda a parte da fração imprópria, chego ao resultado final:

Eu tenho uma expressão chamada fração contínua finita. Tendo descartado o último elo desta fração contínua - um quinto, transformarei a nova fração contínua resultante em uma fração simples e a subtrairei da fração original.

Vou reduzir a expressão resultante a um denominador comum e descartá-la, então

Da comparação da igualdade resultante com a equação segue-se que, será uma solução para esta equação e, de acordo com o teorema, todas as suas soluções estarão contidas em,.

Responder. (9+52t; 22+127t), t є Z.

O resultado obtido sugere que no caso geral, para encontrar uma solução para a equação, é necessário expandir a razão dos coeficientes das incógnitas em uma fração contínua, descartar seu último elo e realizar cálculos semelhantes aos realizados acima.

13. Resolva a equação 3xy + 2x + 3y = 0 em números inteiros.

3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =

=(x + 1)(3y + 2) - 2,

(x + 1)(3y + 2) = 2,

3y + 2 = 1 ou 3y + 1 = 2 ou 3y + 1 = -1 ou 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 ou x = 0 ou x = -3 ou x = -2 y cent z, y = 0, y = -1, y cent z.

Resposta: (0;0);(-3;-1).

14. Resolva a equação y - x - xy = 2 em números inteiros.

Solução: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1)(1 - x) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).

y + 1 = 1 ou y + 1 = 3 ou y + 1 = -1 ou y + 1 = -3

1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.

y = 0 ou y = 2 ou y = -2 ou y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2

Resposta: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

15. Resolva a equação y + 4x + 2xy = 0 em números inteiros.

Solução: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2x + 1= 1 ou 2x + 1= 2 ou 2x + 1= -1 ou 2x + 1= -2

2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 ou y = -1 ou y = -4 ou y = -3 x = 0, x centavos Z, x = -1, x centavos Z.

Resposta: (-1;-4);(0;0).

16. Resolva a equação 5x + 10y = 21 em números inteiros.

5(x + 2y) = 21, já que 21!= 5n, então não há raízes.

Responder. Não há raízes.

17. Resolva a equação 3x + 9y = 51 em números naturais.

3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1cent N.

Resposta:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).

18. Resolva a equação 7x+5y=232 em números inteiros.

Resolverei esta equação em relação à incógnita na qual se encontra o menor coeficiente (módulo), ou seja, neste caso em relação a y: y = 232-7x5.

Deixe-me substituir os números em vez de x nesta expressão: 0;1;2;3;4. Eu recebo: x = 0, y = 2325 = 4625, x = 1, y = 232-75 = 45, x = 2, y = 232-145 = 43,6, x = 3, y = 232-215 = 42, 2 , x = 4, y = 232-285 = 40,8

Responder. (1;45).

19. Resolva a equação 3x + 4y + 5xy = 6 em números inteiros.

Eu tenho 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn

Divisores 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).

x = m - 45, y = n - 35 descobri que com m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 as soluções são: x = -1, -2 , 2, -5 e = -9, -2, 0, -1.

Portanto, esta equação possui 4 soluções em números inteiros e nenhuma em números naturais.

Responder. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).

20. Resolva a equação 8x+65y=81 em números naturais.

81⋮GCD(8;65)=>

8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.

Seja 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0

65t>-2-8t>-1t>-265tt=0.

Em t=0 x=2y=1

Responder. (2;1).

21. Encontre soluções inteiras não negativas para a equação 3x+7y=250.

250⋮GCD(3;7) =>a equação pode ser resolvida em números inteiros.

x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.

Seja 1-y3=t, t Є Z.

x=81+7t>=0y=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.

x=81+7tу=1-3t t=-11 ​​​​x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1

Responder. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. Resolva a equação xy+x+y3=1988 em números inteiros.

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 3. Obtemos:

3x+3xy+y=5964

3x+3xy+y+1=5965

(3х+1)+(3х+у)=5965

(3x+1) + y(3x+1)=5965

(3x+1)(y+1)=5965

5965=1∙5965 ou 5965=5965∙1 ou 5965=-1∙(-5965) ou 5965=-5965∙(-1) ou 5965=5∙1193 ou 5965=1193∙1 ou 5965=-5∙( -1193) ou 5965=-1193∙(-5)

1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0

3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 soluções em números inteiros sem soluções em números inteiros não

5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 sem soluções em inteiros sem soluções em inteiros

7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6

Responder. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).

3. 2 RESOLVER PROBLEMAS

Existem vários tipos de problemas, na maioria das vezes são problemas de natureza olímpica, que se resumem à resolução de equações diofantinas. Por exemplo: a) Tarefas de troca de uma quantia em dinheiro de um determinado valor.

b) Problemas envolvendo transfusão e divisão de objetos.

1. Compramos 390 lápis de cor em caixas de 7 e 12 lápis. Quantas dessas e outras caixas você comprou?

Designarei: x caixas de 7 lápis, y caixas de 12 lápis.

Deixe-me criar uma equação: 7x + 12y = 390

Vou encontrar MDC(7, 12)=1

Vou definir uma solução particular: x = (390 - 12y):7

Usando o método da força bruta, encontro o valor y є y = 1, x = 54

(54;1) é uma solução particular.

Encontro todas as outras soluções usando as fórmulas: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z

Encontrei muitas soluções para a equação. Levando em consideração as condições do problema, determinarei o número possível de ambas as caixas.

Responder. Você pode comprar: 54 caixas de 7 lápis e 1 caixa de 12 lápis, ou 42 caixas de 7 lápis e 8 caixas de 12 lápis, ou 30 caixas de 7 lápis e 15 caixas de 12 lápis, ou 28 caixas de 7 lápis e 22 caixas de 12 lápis, ou 6 caixas de 7 lápis e 29 caixas de 12 lápis.

2. Uma perna de um triângulo retângulo é 7 cm maior que a outra e o perímetro do triângulo é 30 cm.

Designarei: x cm - uma perna, (x+7) cm - a outra perna, y cm - hipotenusa

Vou compor e resolver a equação Diofantina: x+(x+7)+y=30

Vou encontrar MDC(2; 1)=1

Vou definir uma solução particular: x = (23 - y):2

Usando o método da força bruta, encontro o valor y =1 y = 1, x = 11

(11;1) é uma solução particular.

Encontro todas as outras soluções para a equação usando as fórmulas: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k

Considerando que qualquer lado de um triângulo é menor que a soma dos outros dois lados, chegamos à conclusão de que existem três triângulos com lados 7, 9 e 14; 6, 11 e 13; 5, 13 e 12. De acordo com as condições do problema, é dado um triângulo retângulo. Este é um triângulo com lados 5, 13 e 12 (o teorema de Pitágoras é válido).

Resposta: Uma perna tem 5 cm, a outra tem 12 cm, a hipotenusa tem 13 cm.

3. Várias crianças colhiam maçãs. Cada menino arrecadou 21 kg e a menina arrecadou 15 kg. No total foram recolhidos 174 kg. Quantos meninos e quantas meninas colheram maçãs?

Sejam x meninos e y meninas, sendo x e y números naturais. Deixe-me criar uma equação:

Eu resolvo pelo método de seleção: x

6 Somente em x = 4 a segunda incógnita recebe um valor inteiro positivo (y = 6). Para qualquer outro valor de x, y será uma fração ou negativo. Portanto, o problema tem uma solução única.

Responder. 4 meninos e 6 meninas.

4. É possível criar um conjunto de lápis no valor de 3 rublos e canetas no valor de 6 rublos no valor de 20 rublos?

Seja o número de lápis no conjunto x e o número de canetas seja y.

Deixe-me criar uma equação:

Para quaisquer inteiros x e y, o lado esquerdo da equação deve ser divisível por 3; o lado direito não é divisível por 3. Isso significa que não existem inteiros x e y que satisfaçam nossa equação. Esta equação não pode ser resolvida em números inteiros. É impossível criar tal conjunto.

Responder. Não há soluções.

5. Encontre um número natural que, quando dividido por 3, deixa resto 2, e quando dividido por 5, deixa resto 3.

Vou denotar o número necessário por x. Se eu denotar o quociente de x por 3 por y, e o quociente da divisão por 5 por z, então obtenho: x=3y+2x=5z+3

De acordo com o significado do problema, x, y e z devem ser números naturais. Isso significa que precisamos resolver um sistema indefinido de equações em números inteiros.

Para qualquer número inteiro y e z, x também será um número inteiro. Subtraio a primeira da segunda equação e obtenho:

5z - 3y + 1 = 0.

Tendo encontrado todos os inteiros positivos y e z, obterei imediatamente todos os valores inteiros positivos de x.

A partir desta equação eu encontro:

Uma solução é óbvia: para z = 1 obtemos y = 2, e x e y são inteiros. A solução x = 8 corresponde a eles.

Encontrarei outras soluções. Para fazer isso, introduzirei uma incógnita auxiliar u, definindo z = 1 + u. Eu receberei:

5(1 + u) - 3y + 1 = 0, ou seja, 5u = 3y - 6 ou 5u = 3(y - 2).

O lado direito da última equação é divisível por 3 para qualquer número inteiro y. Isso significa que o lado esquerdo também deve ser divisível por 3. Mas o número 5 é primo do número 3; portanto você deve ser divisível por 3, ou seja, ter a forma 3n, onde n é um número inteiro. Neste caso, y será igual

15n/3 + 2 = 5n + 2, ou seja, também um número inteiro. Então, z = 1 + u = 1 + 3n, de onde x = 5z + 3 = 8 + 15n.

O resultado não é um, mas um conjunto infinito de valores para x: x = 8 + 15n, onde n é um número inteiro (positivo ou zero):

Responder. x=8+15n; n є 0;1;2;.

6. Os sujeitos trouxeram 300 pedras preciosas de presente ao Xá: em caixinhas de 15 peças cada e em caixas grandes - 40 peças. Quantas dessas e outras caixas existiam, se se sabe que havia menos caixas pequenas do que grandes?

Deixe-me denotar por x o número de caixas pequenas e por y o número de caixas grandes.

15x+40y=300. Vou cortar por 5.

3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3

X=20-2a-2a3

Para que o valor de uma fração seja um número inteiro, 2y deve ser múltiplo de 3, ou seja, 2y = 3c.

Vou expressar a variável y e selecionar a parte inteira:

Z deve ser um múltiplo de 2, ou seja, z=2u.

Vou expressar as variáveis ​​​​x e y em termos de você:

X=20-2a-2a3

X=20-2∙3u-2∙3u3

Vou compor e resolver um sistema de desigualdades:

Vou anotar todas as soluções: 1; 2. Agora vou encontrar os valores de xey para u=1; 2.

1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3

2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6

Responder. 4 caixas pequenas; 6 caixas grandes.

7. Foram entregues dois carros Ural 5557, os carros foram enviados em um voo Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk. No total, foram necessárias 4 toneladas de óleo diesel e 2 motoristas para completar este voo. É necessário determinar os custos de transporte, nomeadamente o custo de 1 tonelada de gasóleo e os salários dos motoristas que realizam este voo, caso se saiba que foram gastos um total de 76.000 rublos.

Sejam x rublos o custo de 1 tonelada de óleo diesel e sejam x rublos os salários dos motoristas. Então (4x + 2y) rublos foram gastos no voo. E de acordo com as condições do problema, foram gastos 76.000 rublos.

Eu recebo a equação:

Para resolver esta equação, o método da força bruta será um processo trabalhoso. Então, usarei o método >.

Expressarei a variável y por meio de x: , selecionarei a parte inteira e obterei: (1).

Para que o valor de uma fração seja um número inteiro, 2x deve ser múltiplo de 4. Ou seja, 2x = 4z, onde z é um número inteiro. Daqui:

Substituirei o valor de x na expressão (1):

Como x, y 0, então 19.000 z 0, portanto, fornecendo z valores inteiros de 0 a 19.000, obtenho os seguintes valores de x e y: z

A partir de dados reais sobre custos de transporte, sabe-se que 1 tonelada de óleo diesel (x) custa 18.000 rublos. , e o pagamento para motoristas que realizam o voo (Y) é de 10.000 rublos. (dados obtidos aproximadamente). Pela tabela descobrimos que o valor x igual a 18.000 e o valor y igual a 10.000 correspondem a um valor z igual a 9.000, na verdade: ;.

8. De quantas maneiras você pode coletar a quantia de 27 rublos? , tendo muitas moedas de dois e cinco rublos?

Deixe-me denotar: x moedas de dois rublos e y moedas de cinco rublos

Vou criar uma equação, levando em consideração a condição do problema 2x + 5y = 27.

Vou encontrar MDC(2;5)=1

Vou definir uma solução particular: x = (27-5y):2

Usando o método da força bruta, encontro o valor y є y = 1, x = 11

(11;1) é uma solução particular.

Todas as outras soluções são encontradas usando as fórmulas: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z

Esta equação tem muitas soluções. Vamos descobrir todas as maneiras pelas quais você pode coletar a quantia de 27 rublos com as moedas oferecidas. k

Responder. Existem três maneiras de coletar esse valor se você tiver muitas moedas de dois e cinco rublos.

9. Digamos que polvos e estrelas do mar vivam em um aquário. Os polvos têm 8 patas e as estrelas do mar têm 5. Existem 39 membros no total. Quantos animais existem no aquário?

Seja x o número de estrelas do mar e y o número de polvos. Então todos os polvos têm 8 patas e todas as estrelas têm 5 patas.

Deixe-me criar uma equação: 5x + 8y = 39.

Observe que o número de animais não pode ser expresso como números não inteiros ou negativos. Portanto, se x é um número inteiro não negativo, então y = (39 - 5x)/8 também deve ser um número inteiro e não negativo, e, portanto, é necessário que a expressão 39 - 5x seja divisível por 8 sem resto. Uma simples busca de opções mostra que isso só é possível quando x = 3, então y = 3.

Resposta: (3; 3).

10. Uma fábrica de móveis produz bancos com três e quatro pernas. O mestre fez 18 pernas. Quantos bancos podem ser feitos para que todas as pernas possam ser utilizadas?

Seja x o número de bancos de três pernas e y o número de bancos de quatro pernas. Então, 3x + 4y = 18.

Eu tenho, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.

Eu recebo: x = 2; y = 3 ou x = 6; y = 0.

Não há outras soluções, pois x 6.

Responder. 2;3;(6;0).

11. É possível acomodar 718 pessoas em cabines de 4 e 8 camas, para que não haja lugares vazios nas cabines?

Sejam as cabines de 4 camas x e as cabines de 8 camas y, então:

2(x + 2y) = 309

Responder. É proibido.

12. Prove que na reta 124x + 216y = 515 não existe um único ponto com coordenadas inteiras.

GCD (124.216) = 4.515! = 4n, o que significa que não há soluções inteiras.

Responder. Não há soluções.

13. O custo das mercadorias é de 23 rublos, o comprador tem apenas 2 moedas de rublo e o caixa tem 5 moedas de rublo. É possível fazer uma compra sem primeiro trocar dinheiro?

Seja x o número de moedas de 2 rublos, y o número de moedas de 5 rublos, então 2x - 5y = 23, onde x,y є N.

Eu recebo: 2x = 23 + 5y, de onde x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x será um número inteiro se 1 + y2 for um número inteiro.

1 + y2 = t, onde t Euro Z, então y = 2t - 1.

x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.

Para. x = 5t + 9 e y = 2t - 1, onde t є z.

O problema tem muitas soluções inteiras. O mais simples deles é para t = 1, x =14, y = 1, ou seja, o comprador dará quatorze moedas de 2 rublos e receberá uma moeda de 5 rublos como troco.

Responder. Pode.

14. Durante uma auditoria nos livros comerciais da loja, uma das entradas estava coberta de tinta e tinha a seguinte aparência:

> Era impossível identificar o número de metros vendidos, mas não havia dúvida de que o número não era uma fração; nos rendimentos foi possível distinguir apenas os três últimos dígitos, sendo também possível estabelecer que havia outros três dígitos à frente deles. É possível restaurar um registro usando esses dados?

Seja o número de metros x, então o custo das mercadorias em copeques é 4.936x. Denotamos o total de três dígitos preenchidos como y, este é o número de milhares de copeques, e o valor total em copeques será expresso da seguinte forma (1000y + 728).

Recebo a equação 4936x = 1000y + 728, divido por 8.

617x - 125y = 91, onde x,y є z, x,y

125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =

5x - 1 + 2t, onde t = 17 - 4x125, t Euro Z.

Da equação t = (17 - 4x)/125 obtenho x = 4 - 31t + 1 - t4 =

4 - 31t + t1, onde t1 = 1 - t4, portanto t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.

Por condição eu sei que 100

100 = 234/617 e t1

Isso significa que 98 metros foram vendidos pelo valor de 4.837,28 rublos. A gravação foi restaurada.

Responder. 98 metros liberados.

15. É necessário comprar 40 selos postais por um rublo - copeque, 4 copeques e 12 copeques. Quantos selos de cada denominação você pode comprar?

Você pode fazer duas equações: x + 4y + 12z = 100 e x + y + z = 40, onde x é o número de marcos de um centavo, y é o número de marcos de 4 copeques, z é o número de marcos de 12 copeques . Subtraio a segunda da primeira equação e obtenho:

3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11·z3.

Seja z3 = t, z = 3t, onde t Euro Z. Então obtenho se x + y + z = 40 e z = 3t, e y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.

Como x >= 0, y >= 0, z >= 0, então 0

Então, respectivamente, obtenho: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.

Assim, a compra de selos só pode ser feita de duas formas, e se a condição for que seja adquirido pelo menos um selo de cada denominação, então apenas de uma forma.

Responder. 28 marcos de 1 copeque, 9 marcos de 4 copeques e 3 marcos de 12 copeques.

16. Um aluno recebeu uma tarefa de 20 problemas. Para cada questão resolvida corretamente ele recebe 8 pontos, para cada questão não resolvida são descontados 5 pontos dele. Por uma tarefa que não realizou - 0 pontos. O aluno marcou 13 pontos no total. Quantos problemas ele se comprometeu a resolver?

Sejam x os problemas resolvidos corretamente, y os problemas resolvidos incorretamente e z.

Então x + y + z = 20 e 8x - 5y = 13.

y = 8x - 135= x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, ​​onde t = x - 15, e x = 5t + 1.

Pela condição x + y

Resposta: o aluno resolveu 13 problemas, resolveu 6 e foi reprovado em 7.

17. Ivanushka, o Louco, luta com a Serpente Gorynych, que tem 2.001 cabeças. Balançando sua espada para a esquerda, Ivan corta 10 cabeças e, em troca, 16 crescem. Balançando sua espada para a direita, ele corta 15 e 6 crescem. Se todas as cabeças forem cortadas, nenhuma nova crescerá. Você pode balançar em qualquer ordem, mas se houver menos de 15 gols, então apenas para a esquerda, e se houver menos de 10, então não. Ivanushka, o Louco, pode derrotar a Serpente Gorynych?

Deixe-me reformular o problema: é possível cortar cabeças de 1986? Então Ivan cortará os 15 restantes com um golpe para a direita e nenhum novo crescerá.

Seja x o número de traços à direita e y o número de traços à esquerda, então 1986 - 9x + 6y = 0.

Eu divido toda a equação por 6, obtenho

3x - 2y = 662.

y = 3x - 6622 = x - 331 + x2.

Seja x2 = t, então x = 2t e y = 3t - 331.

Como x >= 0, y >= 0, então t >= 111, portanto t = 111, x = 222, y = 2.

Eu entendo: ao acertar 220 vezes para a direita, Ivan corta 1980 cabeças e a Serpente fica com 21 cabeças restantes; então 2 golpes para a esquerda e a Cobra cresce 12 cabeças, perfazendo um total de 33; os próximos 2 golpes para a direita privam a Cobra de 18 cabeças e Ivan corta as 15 restantes com o último golpe para a direita e nenhuma nova cabeça cresce.

Resposta: 220 golpes para a direita, 2 golpes para a esquerda e mais 3 golpes para a direita.

18. Os lados de um dado são numerados - 1, 2, 3, 4, 5, 6. A partir de 5 desses cubos, eles construíram uma torre e contaram a soma dos pontos em todas as faces visíveis, após retirar o cubo superior, a soma diminuído em 19, qual número acabou sendo a borda superior do cubo superior?

A soma dos pontos de um cubo é 21.

Seja x o número de pontos na borda inferior do cubo superior e y o número de pontos na borda superior do próximo cubo. Ao remover o cubo superior, desaparecem os pontos das 5 faces do cubo superior, cuja soma dos pontos é (21 - x), e a face na qual os pontos aparecem, o que significa que a soma dos pontos tem diminuído em (21 - x) - y, e de acordo com a condição é 19, portanto:

(21 - x) - y = 19, x + y = 2.

Portanto, y = 2 - x, e pela condição 1

19. Alguém comprou 30 pássaros por 30 moedas do mesmo valor. Por cada 3 pardais você paga 1 moeda, por 2 dom-fafe - 1 moeda, por 1 pomba - 2 moedas. Quantos pássaros de cada tipo havia?

Sejam x pardais, y dom-fafe e z pombos. Então, de acordo com a condição, x + y + z = 30 e 13x + 12y + 2z = 30.

Eu obtenho x + y + z = 30 e 2x + 3y + 12z = 180, ou y + 10z = 120, y = 120 - 10z, onde pela condição x

Daí as seguintes opções (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).

Resposta: pardais - 0, dom-fafe - 20, pombos - 10; pardais - 9, dom-fafe - 10, pombos - 11; pardais - 18, dom-fafe - 0, pombos - 12.

20. Encontre todos os números de dois dígitos, cada um dos quais, quando reduzido por 2, é igual a cinco vezes o produto de seus dígitos.

Sejam xy os números de dois dígitos necessários.

Para a equação xy - 2 = 5xy, ou (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 e encontrarei todas as soluções naturais do conjunto (x; 2).

Como x é o primeiro dígito de números de dois dígitos, ele pode assumir apenas 9 valores.

Que. , os números necessários serão: 12, 22, 32,. , 92.

Responder. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.

21. Um pedaço de arame com 102 cm de comprimento precisa ser cortado em pedaços de 15 cm e 12 cm de comprimento para que todo o arame seja aproveitado. Como fazer isso?

Seja x o número de pedaços de fio com 15 cm de comprimento, y o número de pedaços de fio com 12 cm de comprimento.

15x+12y=102 /:3

4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.

Seja 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.

Se t=0, então x=6y=1

Se t=-1, então x=2y=6

Responder. O problema tem duas soluções:

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. Petya em 1987 tinha a mesma idade que a soma dos dígitos do ano de seu nascimento. Em que ano ele nasceu?

Deixe Petya nascer em 1919. Então, em 1987, ele tinha 1987-19xy, ou (1+9+x+y) anos. Temos a equação:

87-(10x+y)=10+x+y

77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.

Considerando que xey são dígitos do sistema numérico decimal, encontramos por seleção: x=3, y=1.

Responder. Petya nasceu em 1970.

23. Alguém compra um item no valor de 19 rublos em uma loja. Ele tem apenas notas de 15 e três rublos, enquanto o caixa tem apenas notas de 20 e cinco rublos. Posso pagar e como?

O problema se resume em resolver a equação Diofantina em inteiros positivos: 3x - 5y = 19, onde x

Devido ao fato de x>0 e y > 0 e levando em consideração as condições do problema, é fácil estabelecer que 0

Isso leva a 2 valores possíveis: x

Responder. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.

24. É possível pesar 28 g de uma determinada substância em uma balança de copo, tendo apenas 4 pesos de 3 ge 7 pesos de 5 g?

Para fazer isso você precisa resolver a equação:

x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.

Então x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.

Segue-se das condições do problema que y1 não pode receber valores negativos. O próximo deve ser y1

Responder. 1 peso em 3 ge 5 pesos em 5 g.

25. O comprador comprou na loja por 21 rublos. bens. Mas ele só tem notas de 5 rublos, enquanto o caixa tem notas de 3 rublos. Você quer saber se pode pagar ao caixa se tiver dinheiro e como exatamente?

Seja x o número 5 - rublos, y - 3 - rublos.

Por condição, x > 0, y > 0, isso significa.

Além disso, t é par, caso contrário nem x nem y serão inteiros.

Em t = 4, 6, 8,. temos: t

Responder. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).

26. São 110 folhas de papel. É necessário costurar cadernos de 8 e 10 folhas cada. Quantos você precisa costurar?

Seja x o número de cadernos de 8 folhas e y o número de cadernos de 10 folhas.

Então t = 0 ou t = - 1

Responder. 5;7;(10;3).

27. Muitos métodos antigos de adivinhação de números e datas de nascimento baseiam-se na resolução de equações diofantinas. Por exemplo, para adivinhar a data de nascimento (mês e dia) do seu interlocutor, basta pedir-lhe a soma obtida pela soma de dois produtos: o número da data (x) por 12 e o número do mês (y) por 31 .

Seja a soma dos produtos em questão igual a 330. Encontre a data de nascimento.

Vamos resolver a equação indeterminada: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3

Então, data de nascimento: 12º dia do 6º mês.

28. É possível cobrar a quantia de 51 rublos com moedas de dois e cinco rublos? Se possível, quantas maneiras existem?

Sejam x moedas de dois rublos e moedas de cinco rublos.

Seja 1+y2=z, então

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

Resposta: 5 maneiras.

29. É possível colocar duzentos ovos em caixas de 10 e 12 peças? Se possível, encontre todas essas formas.

Sejam x caixas de 10 peças cada e as caixas tenham 12 peças cada. Deixe-me criar uma equação: z = 1, 2, 3

Resposta: 14;5;8;10;(2;15)

30. Imagine o número 257 como a soma de dois termos naturais: a) um dos quais é múltiplo de 3 e o outro é múltiplo de 4; b) um dos quais é múltiplo de 5 e o outro é múltiplo de 8.

Resposta: 1) 249 e 8; 2) 225 e 32.

Em problemas que envolvem equações indefinidas, encontrei uma grande variedade de casos: o problema pode ser completamente insolúvel (Problema 4), pode ter um número infinito de soluções (Problema 2), pode ter várias soluções definidas; em particular, pode ter uma solução única (Problema 1).

CONCLUSÃO

O objetivo que estabeleci para mim foi alcançado. Trabalhar no projeto despertou interesse e me cativou. Este trabalho exigiu de mim não apenas certos conhecimentos matemáticos e perseverança, mas também me deu a oportunidade de sentir a grande alegria da descoberta independente.

As equações diofantinas são encontradas nas tarefas das Olimpíadas, por isso desenvolvem o pensamento lógico, aumentam o nível de cultura matemática e incutem habilidades em trabalhos de pesquisa independentes em matemática.

Na resolução de equações e problemas que se reduzem a equações diofantinas, são utilizadas as propriedades dos números primos, o método de fatoração de um polinômio, o método de enumeração, o método da descida e o algoritmo euclidiano. Na minha opinião, o método de descida é o mais difícil. Mas o método da força bruta acabou sendo mais bonito para mim.

Resolvi 54 problemas em meu trabalho.

Este trabalho contribuiu para uma compreensão mais profunda do currículo escolar e ampliou meus horizontes.

Este material será útil para estudantes interessados ​​em matemática. Pode ser utilizado em algumas aulas e atividades extracurriculares.