A equação de onda é uma expressão que dá o deslocamento de uma partícula oscilante em função de suas coordenadas x, y, z e do tempo t:

(significando as coordenadas da posição de equilíbrio da partícula). Esta função deve ser periódica tanto em relação ao tempo t quanto em relação às coordenadas x, y, z. A periodicidade no tempo decorre do fato de descrever as oscilações de uma partícula com coordenadas x, y, z. A periodicidade nas coordenadas decorre do fato de que pontos separados uns dos outros por uma distância K vibram da mesma maneira.

Vamos encontrar a forma da função no caso de uma onda plana, assumindo que as oscilações são de natureza harmônica. Para simplificar, direcionemos os eixos coordenados de modo que o eixo coincida com a direção de propagação da onda. Então as superfícies das ondas serão perpendiculares ao eixo e, como todos os pontos da superfície da onda vibram igualmente, o deslocamento dependerá apenas de Deixe as oscilações dos pontos situados no plano (Fig. 94.1) terem a forma

Vamos encontrar o tipo de oscilação dos pontos do plano correspondente a um valor arbitrário de x. Para viajar do plano x = 0 até este plano, a onda requer tempo - a velocidade de propagação da onda).

Conseqüentemente, as oscilações das partículas situadas no plano x ficarão atrasadas no tempo em relação às oscilações das partículas no plano, ou seja, elas terão a forma

Portanto, a equação de uma onda plana (longitudinal e transversal) que se propaga na direção do eixo x é a seguinte:

A quantidade a representa a amplitude da onda. A fase inicial da onda a é determinada pela escolha das origens. Ao considerar uma única onda, as origens do tempo e das coordenadas são geralmente escolhidas de modo que a seja igual a zero. Ao considerar várias ondas juntas, geralmente não é possível garantir que as fases iniciais de todas elas sejam iguais a zero.

Vamos fixar qualquer valor da fase na equação (94.2) colocando

(94.3)

Esta expressão define a relação entre o tempo t e o local x no qual a fase tem um valor fixo. O valor resultante fornece a velocidade com que um determinado valor de fase se move. Diferenciando a expressão (94.3), obtemos

Assim, a velocidade de propagação da onda v na equação (94.2) é a velocidade do movimento da fase e, portanto, é chamada de velocidade da fase.

De acordo com (94,4). Consequentemente, a equação (94.2) descreve uma onda que se propaga na direção crescente de x. Uma onda que se propaga na direção oposta é descrita pela equação

Na verdade, igualando a fase da onda (94,5) a uma constante e diferenciando a igualdade resultante, chegamos à relação

daí segue que a onda (94,5) se propaga na direção de diminuir x.

A equação de onda plana pode ter uma forma simétrica em relação a x e t. Para fazer isso, introduzimos a quantidade

que é chamado de número de onda. Tendo reduzido o numerador e denominador da expressão (94,6) à frequência v, podemos representar o número de onda na forma

(ver fórmula (93.2)). Abrindo os parênteses em (94.2) e levando em consideração (94.7), chegamos à seguinte equação para uma onda plana que se propaga ao longo do eixo x:

A equação de uma onda que se propaga na direção decrescente de x difere de (94,8) apenas no sinal do termo

Ao derivar a fórmula (94.8), assumimos que a amplitude das oscilações não depende de x. Para uma onda plana, isso é observado quando a energia da onda não é absorvida pelo meio. Ao se propagar em um meio absorvente de energia, a intensidade da onda diminui gradativamente com a distância da fonte das oscilações - observa-se atenuação da onda. A experiência mostra que em um meio homogêneo tal atenuação ocorre segundo uma lei exponencial: com diminuição no tempo da amplitude das oscilações amortecidas; ver fórmula (58.7) do 1º volume). Assim, a equação da onda plana tem a seguinte forma:

Amplitude em pontos do plano

Agora vamos encontrar a equação de uma onda esférica. Toda fonte real de ondas tem alguma extensão. Porém, se nos limitarmos a considerar ondas a distâncias da fonte que excedem significativamente suas dimensões, então a fonte pode ser considerada uma fonte pontual. Num meio isotrópico e homogêneo, a onda gerada por uma fonte pontual será esférica. Suponhamos que a fase das oscilações da fonte seja igual. Então os pontos situados na superfície da onda de raio oscilarão com a fase

Antes de considerar o processo ondulatório, vamos dar uma definição de movimento oscilatório. Hesitação - Este é um processo que se repete periodicamente. Os exemplos de movimentos oscilatórios são muito diversos: mudança de estações, vibrações cardíacas, respiração, carga nas placas de um capacitor e outros.

A equação de oscilação na forma geral é escrita como

Onde - amplitude das oscilações,
- frequência cíclica, - tempo, - fase inicial. Freqüentemente, a fase inicial pode ser considerada zero.

Do movimento oscilatório podemos passar a considerar o movimento das ondas. Aceno é o processo de propagação de vibrações no espaço ao longo do tempo. Como as oscilações se propagam no espaço ao longo do tempo, a equação da onda deve levar em consideração tanto as coordenadas espaciais quanto o tempo. A equação de onda tem a forma

onde A 0 – amplitude,  – frequência, t – tempo,  – número de onda, z – coordenada.

A natureza física das ondas é muito diversa. Ondas sonoras, eletromagnéticas, gravitacionais e acústicas são conhecidas.

Com base no tipo de vibração, todas as ondas podem ser classificadas em longitudinais e transversais. Ondas longitudinais - são ondas nas quais as partículas do meio oscilam ao longo da direção de propagação da onda (Fig. 3.1a). Um exemplo de onda longitudinal é uma onda sonora.

Ondas transversais - são ondas nas quais as partículas do meio oscilam em uma direção transversal em relação à direção de propagação (Fig. 3.1b).

As ondas eletromagnéticas são classificadas como ondas transversais. Deve-se levar em conta que nas ondas eletromagnéticas o campo oscila e não ocorre oscilação das partículas do meio. Se uma onda com uma frequência  se propaga no espaço, então tal aceno chamado monocromático .

Para descrever a propagação dos processos de ondas, as seguintes características são introduzidas. O argumento do cosseno (ver fórmula (3.2)), ou seja, expressão
, chamado fase de onda .

Esquematicamente, a propagação da onda ao longo de uma coordenada é mostrada na Fig. 3.2, neste caso a propagação ocorre ao longo do eixo z.

Período – tempo de uma oscilação completa. O período é designado pela letra T e é medido em segundos (s). O recíproco do período é chamado frequência linear e é designado f, medido em Hertz (=Hz). A frequência linear está relacionada à frequência circular. A relação é expressa pela fórmula

(3.3)

Se fixarmos o tempo t, então da Fig. 3.2 é claro que existem pontos, por exemplo A e B, que vibram igualmente, ou seja, em fase (em fase). A distância entre os dois pontos mais próximos oscilando em fase é chamada Comprimento de onda . O comprimento de onda é designado  e medido em metros (m).

O número de onda  e o comprimento de onda  estão relacionados entre si pela fórmula

(3.4)

O número de onda  também é chamado de constante de fase ou constante de propagação. Da fórmula (3.4) fica claro que a constante de propagação é medida em ( ). O significado físico é que mostra quantos radianos a fase da onda muda ao passar por um metro de caminho.

Para descrever o processo ondulatório, é introduzido o conceito de frente de onda. Frente de onda – esta é a localização geométrica dos pontos imaginários da superfície que a excitação atingiu. Uma frente de onda também é chamada de frente de onda.

A equação que descreve a frente de onda de uma onda plana pode ser obtida da equação (3.2) na forma

(3.5)

A fórmula (3.5) é a equação da frente de onda de uma onda plana. A equação (3.4) mostra que as frentes de onda são planos infinitos que se movem no espaço perpendicularmente ao eixo z.

A velocidade de movimento da frente de fase é chamada velocidade de fase . A velocidade da fase é denotada por V f e é determinada pela fórmula

(3.6)

Inicialmente, a equação (3.2) contém uma fase com dois sinais – negativo e positivo. Sinal negativo, ou seja,
, indica que a frente de onda se propaga ao longo da direção positiva de propagação do eixo z. Essa onda é chamada de viagem ou queda.

Um sinal positivo da fase da onda indica o movimento da frente da onda na direção oposta, ou seja, oposta à direção do eixo z. Tal onda é chamada de refletida.

A seguir consideraremos ondas viajantes.

Se uma onda se propaga em um ambiente real, devido às perdas de calor que ocorrem, ocorre inevitavelmente uma diminuição na amplitude. Vejamos um exemplo simples. Deixe a onda se propagar ao longo do eixo z e o valor inicial da amplitude da onda corresponde a 100%, ou seja, A 0 =100. Digamos que ao passar um metro de caminho, a amplitude da onda diminua 10%. Então teremos os seguintes valores de amplitudes de onda

O padrão geral de mudanças de amplitude tem a forma

A função exponencial tem essas propriedades. Graficamente o processo pode ser mostrado na forma da Fig. 3.3.

Em geral, escrevemos a relação de proporcionalidade como

, (3.7)

onde  é a constante de atenuação da onda.

A constante de fase  e a constante de amortecimento  podem ser combinadas introduzindo uma constante de propagação complexa , ou seja,

, (3.8)

onde  é a constante de fase,  é a constante de atenuação da onda.

Dependendo do tipo de frente de onda, distinguem-se ondas planas, esféricas e cilíndricas.

Onda plana é uma onda que possui frente de onda plana. Uma onda plana também pode receber a seguinte definição. Uma onda é chamada de plana homogênea se o campo vetorial E em qualquer ponto do plano são perpendiculares à direção de propagação e não mudam de fase e amplitude.

Equação de onda plana

Se a fonte que gera a onda for uma fonte pontual, então a frente da onda que se propaga em um espaço homogêneo ilimitado é uma esfera. Onda esférica é uma onda que possui uma frente de onda esférica. A equação da onda esférica tem a forma

, (3.10)

onde r é o vetor raio traçado desde a origem, coincidindo com a posição da fonte pontual, até um ponto específico no espaço localizado a uma distância r.

As ondas podem ser excitadas por uma série infinita de fontes localizadas ao longo do eixo z. Neste caso, tal fio irá gerar ondas, cuja frente de fase é uma superfície cilíndrica.

Onda cilíndrica é uma onda que possui uma frente de fase na forma de uma superfície cilíndrica. A equação de uma onda cilíndrica é

, (3.11)

As fórmulas (3.2), (3.10, 3.11) indicam uma dependência diferente da amplitude da distância entre a fonte da onda e o ponto específico no espaço que a onda atingiu.

Equações de Helmholtz

Maxwell obteve um dos resultados mais importantes da eletrodinâmica, comprovando que a propagação dos processos eletromagnéticos no espaço ao longo do tempo ocorre na forma de onda. Consideremos a prova desta proposição, ou seja, Vamos provar a natureza ondulatória do campo eletromagnético.

Vamos escrever as duas primeiras equações de Maxwell na forma complexa como

(3.12)

Tomemos a segunda equação do sistema (3.12) e apliquemos a ela a operação do rotor nos lados esquerdo e direito. Como resultado obtemos

Vamos denotar
, que representa a constante de propagação. Por isso

(3.14)

Por outro lado, com base na identidade bem conhecida na análise vetorial, podemos escrever

, (3.15)

Onde
é o operador Laplace, que no sistema de coordenadas cartesianas é expresso pela identidade

(3.16)

Considerando a lei de Gauss, ou seja,
, a equação (3.15) será escrita de uma forma mais simples

, ou

(3.17)

Da mesma forma, usando a simetria das equações de Maxwell, podemos obter uma equação para o vetor , ou seja

(3.18)

Equações da forma (3.17, 3.18) são chamadas de equações de Helmholtz. Em matemática, foi provado que se qualquer processo for descrito na forma de equações de Helmholtz, isso significa que o processo é um processo ondulatório. No nosso caso, concluímos: campos elétricos e magnéticos variantes no tempo levam inevitavelmente à propagação de ondas eletromagnéticas no espaço.

Na forma de coordenadas, a equação de Helmholtz (3.17) é escrita como

Onde ,,- vetores unitários ao longo dos eixos coordenados correspondentes

,

,

.(3.20)

Propriedades das ondas planas quando se propagam em meios não absorventes

Deixe uma onda eletromagnética plana se propagar ao longo do eixo z, então a propagação da onda é descrita por um sistema de equações diferenciais

(3.21)

Onde E - amplitudes de campo complexas,

(3.22)

A solução do sistema (3.21) tem a forma

(3.23)

Se a onda se propaga em apenas uma direção ao longo do eixo z, e o vetor é direcionado ao longo do eixo x, então é aconselhável escrever a solução do sistema de equações na forma

(3.24)

Onde E - vetores unitários ao longo dos eixos x, y.

Se não houver perdas no meio, ou seja, parâmetros ambientais  a e  a, e
são quantidades reais.

Vamos listar as propriedades das ondas eletromagnéticas planas

Para o meio, é introduzido o conceito de impedância de onda do meio

(3.25)

Onde ,
- valores de amplitude das intensidades do campo. A impedância característica para um meio sem perdas também é um valor real.

Para o ar, a resistência da onda é

(3.26)

Da equação (3.24) fica claro que os campos magnético e elétrico estão em fase. O campo de onda plana é uma onda progressiva, que é escrita na forma

(3.27)

Na Fig. 3.4 vetores de campo E mudança de fase, conforme segue da fórmula (3.27).

O vetor Poynting a qualquer momento coincide com a direção de propagação da onda

(3.28)

O módulo do vetor de Poynting determina a densidade do fluxo de potência e é medido em
.

A densidade média do fluxo de potência é determinada por

(3.29)

, (3.30)

Onde
- valores efetivos de intensidades de campo.

A energia do campo contida em um volume unitário é chamada de densidade de energia. O campo eletromagnético muda com o tempo, ou seja, é variável. O valor da densidade de energia em um determinado momento é chamado de densidade de energia instantânea. Para os componentes elétrico e magnético do campo eletromagnético, as densidades de energia instantânea são respectivamente iguais

Considerando que
, das relações (3.31) e (3.32) fica claro que
.

A densidade total de energia eletromagnética é dada por

(3.33)

A velocidade de propagação da fase de uma onda eletromagnética é determinada pela fórmula

(3.34)

O comprimento de onda é determinado

(3.35)

Onde - comprimento de onda no vácuo (ar), s - velocidade da luz no ar,  - constante dielétrica relativa,  - permeabilidade magnética relativa, f– frequência linear,  – frequência cíclica, V f – velocidade de fase,  – constante de propagação.

A velocidade do movimento da energia (velocidade do grupo) pode ser determinada a partir da fórmula

(3.36)

Onde - Vetor de Poynting, - densidade de energia.

Se você pintar e de acordo com as fórmulas (3.28), (3.33), obtemos

(3.37)

Assim, obtemos

(3.38)

Quando uma onda eletromagnética monocromática se propaga em um meio sem perdas, as velocidades de fase e de grupo são iguais.

Existe uma relação entre a velocidade de fase e de grupo expressa pela fórmula

(3.39)

Vamos considerar um exemplo de propagação de uma onda eletromagnética em fluoroplástico com parâmetros  =2, =1. Deixe a intensidade do campo elétrico corresponder a

(3.40)

A velocidade de propagação das ondas em tal meio será igual a

A impedância característica do fluoroplástico corresponde ao valor

Ohm (3,42)

Os valores de amplitude da intensidade do campo magnético assumem os valores

, (3.43)

A densidade do fluxo de energia é, portanto, igual a

Comprimento de onda na frequência
tem o significado

(3.45)

Teorema de Umov-Poynting

Um campo eletromagnético é caracterizado por sua própria energia de campo, e a energia total é determinada pela soma das energias dos campos elétrico e magnético. Deixe o campo eletromagnético ocupar um volume fechado V, então podemos escrever

(3.46)

A energia do campo eletromagnético, em princípio, não pode permanecer constante. Surge a pergunta: Que fatores influenciam a mudança na energia? Foi estabelecido que a mudança de energia dentro de um volume fechado é influenciada pelos seguintes fatores:

parte da energia do campo eletromagnético pode ser convertida em outros tipos de energia, por exemplo, mecânica;

dentro de um volume fechado podem atuar forças externas, que podem aumentar ou diminuir a energia do campo eletromagnético contido no volume em questão;

o volume fechado V em consideração pode trocar energia com os corpos circundantes através do processo de radiação de energia.

A intensidade da radiação é caracterizada pelo vetor Poynting . O volume V tem uma superfície fechada S. A mudança na energia do campo eletromagnético pode ser considerada como o fluxo do vetor Poynting através da superfície fechada S (Fig. 3.5), ou seja,
, e as opções são possíveis
>0 ,
<0 ,
=0 . Observe que a normal desenhada à superfície
,é sempre externo.

Deixe-nos lembrá-lo que
, Onde
são valores instantâneos de intensidade de campo.

Transição da integral de superfície
para a integral sobre o volume V é realizada com base no teorema de Ostrogradsky-Gauss.

Sabendo que

Vamos substituir essas expressões na fórmula (3.47). Após a transformação, obtemos uma expressão na forma:

Da fórmula (3.48) fica claro que o lado esquerdo é expresso por uma soma que consiste em três termos, cada um dos quais consideraremos separadamente.

Prazo
expressa perda instantânea de energia , causado por correntes de condução no volume fechado em consideração. Em outras palavras, o termo expressa as perdas de energia térmica do campo encerrado em um volume fechado.

Segundo termo
expressa o trabalho de forças externas realizadas por unidade de tempo, ou seja, poder das forças externas. Para tal potência os valores possíveis são
>0,
<0.

Se
>0, aqueles. energia é adicionada ao volume V, então as forças externas podem ser consideradas como um gerador. Se
<0 , ou seja no volume V há uma diminuição da energia, então as forças externas desempenham o papel de carga.

O último termo para um meio linear pode ser representado como:

(3.49)

A fórmula (3.49) expressa a taxa de variação da energia do campo eletromagnético contido no volume V.

Depois de considerar todos os termos, a fórmula (3.48) pode ser escrita como:

A fórmula (3.50) expressa o teorema de Poynting. O teorema de Poynting expressa o equilíbrio de energia dentro de uma região arbitrária na qual existe um campo eletromagnético.

Potenciais atrasados

As equações de Maxwell na forma complexa, como se sabe, têm a forma:

(3.51)

Sejam correntes externas em um meio homogêneo. Vamos tentar transformar as equações de Maxwell para tal meio e obter uma equação mais simples que descreva o campo eletromagnético nesse meio.

Vamos pegar a equação
.Sabendo que as características E interligados
, então podemos escrever
Vamos levar em conta que a intensidade do campo magnético pode ser expressa usando potencial eletrodinâmico vetorial , que é introduzido pela relação
, Então

(3.52)

Vamos pegar a segunda equação do sistema Maxwell (3.51) e realizar as transformações:

(3.53)

A fórmula (3.53) expressa a segunda equação de Maxwell em termos do potencial vetorial . A fórmula (3.53) pode ser escrita como

(3.54)

Na eletrostática, como se sabe, vale a seguinte relação:

(3.55)

Onde -vetor de intensidade de campo,
- potencial eletrostático escalar. O sinal menos indica que o vetor direcionado de um ponto de maior potencial para um ponto de menor potencial.

A expressão entre colchetes (3.54), por analogia com a fórmula (3.55), pode ser escrita na forma

(3.56)

Onde
- potencial eletrodinâmico escalar.

Vamos pegar a primeira equação de Maxwell e escrevê-la usando potenciais eletrodinâmicos

Na álgebra vetorial a seguinte identidade foi provada:

Usando a identidade (3.58), podemos representar a primeira equação de Maxwell, escrita na forma (3.57), como

Vamos dar semelhante

Multiplique os lados esquerdo e direito por um fator (-1):

pode ser especificado de forma arbitrária, então podemos assumir que

A expressão (3.60) é chamada Medidor Lorentz .

Se c=0 , então obtemos Calibração de Coulomb
=0.

Levando em consideração os medidores, a equação (3.59) pode ser escrita

(3.61)

A equação (3.61) expressa equação de onda não homogênea para o potencial eletrodinâmico vetorial.

De forma semelhante, com base na terceira equação de Maxwell
, podemos obter uma equação não homogênea para potencial eletrodinâmico escalar como:

(3.62)

As equações não homogêneas resultantes para potenciais eletrodinâmicos têm suas próprias soluções

, (3.63)

Onde M– ponto arbitrário M, - densidade volumétrica de carga, γ – constante de propagação, R

(3.64)

Onde V– volume ocupado por correntes externas, R– distância atual de cada elemento do volume fonte até o ponto M.

A solução para o potencial eletrodinâmico vetorial (3.63), (3.64) é chamada Integral de Kirchhoff para potenciais retardados .

Fator
pode ser expresso levando em conta
como

Este fator corresponde à velocidade finita de propagação da onda a partir da fonte, e
Porque a velocidade de propagação das ondas é um valor finito, então a influência da fonte que gera as ondas atinge um ponto arbitrário M com um atraso de tempo. O valor do tempo de atraso é determinado por:
Na Fig. 3.6 mostra uma fonte pontual você, que emite ondas esféricas que se propagam com velocidade v no espaço homogêneo circundante, bem como um ponto arbitrário M localizado a uma distância R, que a onda atinge.

Em um momento no tempo t potencial vetorial
no ponto M é uma função das correntes que fluem na fonte você em um momento anterior
Em outras palavras,
depende das correntes da fonte que fluíram nele em um momento anterior

Da fórmula (3.64) fica claro que o potencial eletrodinâmico vetorial é paralelo (codirecional) com a densidade de corrente das forças externas; sua amplitude diminui conforme a lei; em grandes distâncias em comparação com o tamanho do emissor, a onda tem uma frente de onda esférica.

Considerando
e a primeira equação de Maxwell, a intensidade do campo elétrico pode ser determinada:

As relações resultantes determinam o campo eletromagnético no espaço criado por uma determinada distribuição de correntes externas

Propagação de ondas eletromagnéticas planas em meios altamente condutores

Consideremos a propagação de uma onda eletromagnética em um meio condutor. Essas mídias também são chamadas de mídias semelhantes a metal. Um meio real é condutivo se a densidade das correntes de condução exceder significativamente a densidade das correntes de deslocamento, ou seja,
E
, e
, ou

(3.66)

A fórmula (3.66) expressa a condição sob a qual um meio real pode ser considerado condutor. Em outras palavras, a parte imaginária da constante dielétrica complexa deve exceder a parte real. A fórmula (3.66) também mostra a dependência na frequência, e quanto menor a frequência, mais pronunciadas são as propriedades do condutor no meio. Vejamos esta situação com um exemplo.

Sim, com frequência f = 1 MHz = 10 6 Hz solo seco tem parâmetros =4, =0,01 ,. Vamos comparar um com o outro E , ou seja
. A partir dos valores obtidos fica claro que 1,610 -19 >> 3,5610 -11, portanto solo seco deve ser considerado condutor quando uma onda com frequência de 1 MHz se propaga.

Para um meio real, escrevemos a constante dielétrica complexa

(3.67)

porque no nosso caso
, então para um meio condutor podemos escrever

, (3.68)

onde  é a condutividade específica,  é a frequência cíclica.

A constante de propagação , como se sabe, é determinada a partir das equações de Helmholtz

Assim, obtemos uma fórmula para a constante de propagação

(3.69)

Sabe-se que

(3.70)

Levando em consideração a identidade (3.49), a fórmula (3.50) pode ser escrita na forma

(3.71)

A constante de propagação é expressa como

(3.72)

A comparação das partes reais e imaginárias nas fórmulas (3.71), (3.72) leva à igualdade dos valores da constante de fase  e da constante de amortecimento , ou seja,

(3.73)

Da fórmula (3.73) escrevemos o comprimento de onda que o campo adquire ao se propagar em um meio bem condutor

(3.74)

Onde - comprimento de onda em metal.

A partir da fórmula resultante (3.74), fica claro que o comprimento da onda eletromagnética que se propaga no metal é significativamente reduzido em comparação com o comprimento de onda no espaço.

Foi dito acima que a amplitude de uma onda ao se propagar em um meio com perdas diminui de acordo com a lei
. Para caracterizar o processo de propagação de ondas em um meio condutor, é introduzido o conceito profundidade da camada superficial ou profundidade de penetração .

Profundidade da camada superficial - esta é a distância d na qual a amplitude da onda de superfície diminui por um fator de e em comparação com seu nível inicial.

(3.75)

Onde - comprimento de onda em metal.

A profundidade da camada superficial também pode ser determinada a partir da fórmula

, (3.76)

onde  é a frequência cíclica,  a é a permeabilidade magnética absoluta do meio,  é a condutividade específica do meio.

Fica claro pela fórmula (3.76) que com o aumento da frequência e da condutividade específica, a profundidade da camada superficial diminui.

Vamos dar um exemplo. Cobre de condutividade
na frequência f = 10 GHz ( = 3cm) tem uma profundidade de camada superficial d =
. Disto podemos tirar uma conclusão importante para a prática: a aplicação de uma camada de substância altamente condutora a um revestimento não condutor permitirá produzir elementos de dispositivos com baixas perdas de calor.

Reflexão e refração de uma onda plana na interface

Quando uma onda eletromagnética plana se propaga no espaço, que consiste em regiões com diferentes valores de parâmetros
e a interface na forma de um plano surgem ondas refletidas e refratadas. As intensidades dessas ondas são determinadas através dos coeficientes de reflexão e refração.

Coeficiente de reflexão da onda é a razão entre os valores complexos das intensidades do campo elétrico das ondas refletidas e incidentes na interface e é determinado pela fórmula:

(3.77)

Taxa de aprovação ondas no segundo meio do primeiro é chamada de razão entre os valores complexos das intensidades do campo elétrico do refratado para a queda ondas e é determinado pela fórmula

(3.78)

Se o vetor Poynting da onda incidente for perpendicular à interface, então

(3.79)

onde Z 1 ,Z 2 – resistência característica para o meio correspondente.

A resistência característica é determinada pela fórmula:

Onde
(3.80)

.

Com incidência oblíqua, a direção de propagação da onda em relação à interface é determinada pelo ângulo de incidência. Ângulo de incidência – o ângulo entre a normal à superfície e a direção de propagação do feixe.

Plano de incidência é o plano que contém o raio incidente e a normal restaurada ao ponto de incidência.

Das condições de contorno segue-se que os ângulos de incidência e refração relacionado pela lei de Snell:

(3.81)

onde n 1, n 2 são os índices de refração do meio correspondente.

As ondas eletromagnéticas são caracterizadas pela polarização. Existem polarizações elípticas, circulares e lineares. Na polarização linear, a polarização horizontal e vertical são diferenciadas.

Polarização horizontal – polarização na qual o vetor oscila em um plano perpendicular ao plano de incidência.

Deixe uma onda eletromagnética plana com polarização horizontal cair na interface entre dois meios, como mostrado na Fig. 3.7. O vetor Poynting da onda incidente é indicado por . Porque a onda tem polarização horizontal, ou seja, o vetor de intensidade do campo elétrico oscila em um plano perpendicular ao plano de incidência, então é designado e na Fig. 3.7 é mostrado como um círculo com uma cruz (direcionado para longe de nós). Consequentemente, o vetor de intensidade do campo magnético encontra-se no plano de incidência da onda e é designado . Vetores ,,formam um trio de vetores à direita.

Para uma onda refletida, os vetores de campo correspondentes são equipados com o índice “neg”; para uma onda refratada, o índice é “pr”.

Com polarização horizontal (perpendicular), os coeficientes de reflexão e transmissão são determinados da seguinte forma (Fig. 3.7).

Na interface entre dois meios, as condições de contorno são satisfeitas, ou seja,

No nosso caso, devemos identificar projeções tangenciais de vetores, ou seja, pode ser escrito

As linhas de intensidade do campo magnético para as ondas incidentes, refletidas e refratadas são direcionadas perpendicularmente ao plano de incidência. Portanto devemos escrever

Com base nisso, podemos criar um sistema baseado em condições de contorno

Sabe-se também que as intensidades dos campos elétrico e magnético estão interligadas através da impedância característica do meio Z

Então a segunda equação do sistema pode ser escrita como

Então, o sistema de equações assumiu a forma

Vamos dividir ambas as equações deste sistema pela amplitude da onda incidente
e, levando em consideração as definições de índice de refração (3,77) e transmissão (3,78), podemos escrever o sistema na forma

O sistema tem duas soluções e duas quantidades desconhecidas. Tal sistema é conhecido por ser solucionável.

Polarização vertical – polarização na qual o vetor oscila no plano de incidência.

Com polarização vertical (paralela), os coeficientes de reflexão e transmissão são expressos da seguinte forma (Fig. 3.8).

Para a polarização vertical, um sistema de equações semelhante é escrito para a polarização horizontal, mas levando em consideração a direção dos vetores do campo eletromagnético

Tal sistema de equações pode ser reduzido de forma semelhante à forma

A solução para o sistema são as expressões para os coeficientes de reflexão e transmissão

Quando ondas eletromagnéticas planas com polarização paralela incidem na interface entre dois meios, o coeficiente de reflexão pode se tornar zero. O ângulo de incidência no qual a onda incidente penetra completamente, sem reflexão, de um meio para outro é chamado de ângulo de Brewster e é denotado como
.

(3.84)

(3.85)

Enfatizamos que o ângulo de Brewster quando uma onda eletromagnética plana incide sobre um dielétrico não magnético só pode existir com polarização paralela.

Se uma onda eletromagnética plana incide em um ângulo arbitrário na interface entre dois meios com perdas, então as ondas refletidas e refratadas devem ser consideradas não homogêneas, uma vez que o plano de amplitudes iguais deve coincidir com a interface. Para metais reais, o ângulo entre a frente de fase e o plano de amplitudes iguais é pequeno, então podemos assumir que o ângulo de refração é 0.

Condições de contorno aproximadas de Shchukin-Leontovich

Estas condições de contorno são aplicáveis ​​quando um dos meios é um bom condutor. Suponhamos que uma onda eletromagnética plana incida do ar em um ângulo  em uma interface plana com um meio bem condutor, que é descrito pelo índice de refração complexo

(3.86)

Da definição do conceito de meio bem condutor segue-se que
. Aplicando a lei de Snell, nota-se que o ângulo de refração  será muito pequeno. A partir disso podemos assumir que a onda refratada entra no meio bem condutor quase ao longo da direção normal em qualquer valor do ângulo de incidência.

Usando as condições de contorno de Leontovich, você precisa conhecer a componente tangente do vetor magnético . Geralmente assume-se aproximadamente que este valor coincide com um componente semelhante calculado para a superfície de um condutor ideal. O erro decorrente de tal aproximação será muito pequeno, pois o coeficiente de reflexão da superfície dos metais é, via de regra, próximo de zero.

Emissão de ondas eletromagnéticas no espaço livre

Vamos descobrir quais são as condições para a radiação da energia eletromagnética no espaço livre. Para fazer isso, considere um emissor pontual monocromático de ondas eletromagnéticas, que é colocado na origem de um sistema de coordenadas esféricas. Como se sabe, um sistema de coordenadas esféricas é dado por (r, Θ, φ), onde r é o vetor raio traçado desde a origem do sistema até o ponto de observação; Θ – ângulo meridional, medido do eixo Z (zênite) ao vetor raio traçado até o ponto M; φ – ângulo azimutal, medido do eixo X até a projeção do vetor raio traçado da origem até o ponto M′ (M′ é a projeção do ponto M no plano XOY). (Fig.3.9).

Um emissor pontual está localizado em um meio homogêneo com os parâmetros

Um emissor pontual emite ondas eletromagnéticas em todas as direções e qualquer componente do campo eletromagnético obedece à equação de Helmholtz, exceto o ponto R=0 . Podemos introduzir uma função escalar complexa Ψ, que é entendida como qualquer componente de campo arbitrário. Então a equação de Helmholtz para a função Ψ tem a forma:

(3.87)

Onde
- número de onda (constante de propagação).

(3.88)

Suponhamos que a função Ψ tenha simetria esférica, então a equação de Helmholtz pode ser escrita como:

(3.89)

A equação (3.89) também pode ser escrita como:

(3.90)

As equações (3.89) e (3.90) são idênticas entre si. A equação (3.90) é conhecida em física como equação de oscilação. Esta equação tem duas soluções, que, se as amplitudes forem iguais, têm a forma:

(3.91)

(3.92)

Como pode ser visto em (3.91), (3.92), a solução da equação difere apenas em sinais. Além disso, indica uma onda que chega da fonte, ou seja, a onda se propaga da fonte ao infinito. Segunda onda indica que a onda chega à fonte do infinito. Fisicamente, uma mesma fonte não pode gerar duas ondas ao mesmo tempo: viajando e vindo do infinito. Portanto, é necessário levar em conta que a onda não existe fisicamente.

O exemplo em questão é bastante simples. Mas no caso de emissão de energia a partir de um sistema de fontes, é muito difícil escolher a solução certa. Portanto, é necessária uma expressão analítica, que é um critério para a escolha da solução correta. Precisamos de um critério geral em forma analítica que nos permita escolher uma solução inequívoca fisicamente determinada.

Por outras palavras, precisamos de um critério que distinga uma função que expressa uma onda que se propaga desde uma fonte até ao infinito de uma função que descreve uma onda que vem do infinito até uma fonte de radiação.

Este problema foi resolvido por A. Sommerfeld. Ele mostrou que para uma onda viajante descrita pela função , a seguinte relação é válida:

(3.93)

Esta fórmula é chamada condição de radiação ou Condição de Sommerfeld .

Consideremos um emissor elétrico elementar na forma de um dipolo. Um dipolo elétrico é um pequeno pedaço de fio eu comparado ao comprimento de onda  ( eu<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия eu<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

Não é difícil mostrar que a mudança no campo elétrico no espaço ao redor do fio é de natureza ondulatória. Para maior clareza, consideremos um modelo extremamente simplificado do processo de formação e alteração da componente elétrica do campo eletromagnético que o fio emite. Na Fig. A Figura 3.11 mostra um modelo do processo de radiação do campo elétrico de uma onda eletromagnética durante um período de tempo igual a um período

Como se sabe, a corrente elétrica é causada pelo movimento de cargas elétricas, nomeadamente

ou

No futuro, consideraremos apenas a mudança na posição das cargas positivas e negativas no fio. A linha de campo elétrico começa com carga positiva e termina com carga negativa. Na Fig. 3.11 a linha de energia é mostrada com uma linha pontilhada. Vale lembrar que o campo elétrico é criado em todo o espaço que circunda o condutor, embora na Fig. A Figura 3.11 mostra uma linha de energia.

Para que a corrente alternada flua através de um condutor, é necessária uma fonte de fem alternada. Essa fonte está incluída no meio do fio. O estado do processo de emissão de campo elétrico é mostrado por números de 1 a 13. Cada número corresponde a um determinado momento associado ao estado do processo. O momento t=1 corresponde ao início do processo, ou seja, EMF = 0. No momento t=2, surge um EMF alternado, que provoca o movimento de cargas, conforme mostrado na Fig. 3.11. com o aparecimento de cargas móveis no fio, surge um campo elétrico no espaço. com o tempo (t = 3÷5) as cargas se movem para as extremidades do condutor e a linha de energia cobre uma parte cada vez maior do espaço. a linha de força se expande à velocidade da luz em uma direção perpendicular ao fio. No tempo t = 6 – 8, a fem, tendo passado pelo valor máximo, diminui. As cargas se movem em direção ao meio do fio.

No tempo t = 9, o meio período da variação do EMF termina e diminui para zero. Nesse caso, os encargos se fundem e se compensam. Não há campo elétrico neste caso. A linha de intensidade do campo elétrico irradiado se fecha e continua se afastando do fio.

Em seguida vem o segundo meio ciclo de mudança do EMF, os processos são repetidos levando em consideração a mudança na polaridade. Na Fig. A Figura 3.11 nos momentos t = 10÷13 mostra uma imagem do processo levando em consideração a linha de intensidade do campo elétrico.

Examinamos o processo de formação de linhas fechadas de força de um campo elétrico de vórtice. Mas vale lembrar que a emissão de ondas eletromagnéticas é um processo único. Os campos elétrico e magnético são componentes inextricavelmente interdependentes do campo eletromagnético.

O processo de radiação mostrado na Fig. 3.11 é semelhante à radiação de um campo eletromagnético por um vibrador elétrico simétrico e é amplamente utilizado na tecnologia de radiocomunicações. Deve ser lembrado que o plano de oscilação do vetor intensidade do campo elétrico é mutuamente perpendicular ao plano de oscilação do vetor de intensidade do campo magnético .

A emissão de ondas eletromagnéticas se deve a um processo variável. Portanto, na fórmula da carga podemos colocar a constante C = 0. Pois o valor complexo da cobrança pode ser escrito.

(3.94)

Por analogia com a eletrostática, podemos introduzir o conceito de momento de um dipolo elétrico com corrente alternada

(3.95)

Da fórmula (3.95) segue-se que os vetores do momento do dipolo elétrico e do pedaço de fio direcionado são codirecionais.

Deve-se notar que antenas reais possuem comprimentos de fio geralmente comparáveis ​​ao comprimento de onda. Para determinar as características radiativas de tais antenas, o fio é geralmente dividido mentalmente em pequenas seções separadas, cada uma das quais é considerada um dipolo elétrico elementar. o campo da antena resultante é encontrado somando os campos vetoriais emitidos gerados pelos dipolos individuais.

Processos de onda

Conceitos e definições básicas

Consideremos algum meio elástico - sólido, líquido ou gasoso. Se as vibrações de suas partículas forem excitadas em qualquer local deste meio, então devido à interação entre as partículas, as vibrações, transmitidas de uma partícula do meio para outra, se propagarão através do meio a uma determinada velocidade. Processo propagação de vibrações no espaço é chamada aceno .

Se as partículas em um meio oscilam na direção de propagação da onda, então isso é chamado longitudinal Se as oscilações das partículas ocorrem em um plano perpendicular à direção de propagação da onda, então a onda é chamada transversal . Ondas mecânicas transversais só podem surgir em um meio com módulo de cisalhamento diferente de zero. Portanto, eles podem se espalhar em meios líquidos e gasosos apenas ondas longitudinais . A diferença entre ondas longitudinais e transversais é vista mais claramente no exemplo da propagação de vibrações em uma mola - veja a figura.

Para caracterizar as vibrações transversais, é necessário definir a posição no espaço plano que passa pela direção de oscilação e pela direção de propagação da onda - plano de polarização .

A região do espaço em que todas as partículas do meio vibram é chamada campo de onda . A fronteira entre o campo de onda e o resto do meio é chamada frente de onda . Em outras palavras, frente de onda - a localização geométrica dos pontos aos quais as oscilações atingiram em um determinado momento. Em um meio homogêneo e isotrópico, a direção de propagação das ondas é perpendicular para a frente de onda.

Enquanto existe uma onda no meio, as partículas do meio oscilam em torno de suas posições de equilíbrio. Sejam essas oscilações harmônicas, e o período dessas oscilações é T. Partículas separadas por uma distância

ao longo da direção de propagação das ondas, oscilam da mesma maneira, ou seja, em qualquer momento, seus deslocamentos são os mesmos. A distância é chamada Comprimento de onda . Em outras palavras, Comprimento de onda é a distância que uma onda percorre em um período de oscilação .

A localização geométrica dos pontos que oscilam na mesma fase é chamada superfície da onda . Uma frente de onda é um caso especial de superfície de onda. Comprimento de onda - mínimo a distância entre duas superfícies de onda nas quais os pontos vibram da mesma maneira, ou podemos dizer que as fases de suas oscilações diferem por .

Se as superfícies das ondas são planas, então a onda é chamada plano , e se por esferas, então esférico. Uma onda plana é excitada em um meio contínuo homogêneo e isotrópico quando um plano infinito oscila. A excitação de uma superfície esférica pode ser representada como resultado das pulsações radiais de uma superfície esférica, bem como como resultado da ação ponto de origem, cujas dimensões podem ser desprezadas em comparação com a distância ao ponto de observação. Como qualquer fonte real tem dimensões finitas, a uma distância suficientemente grande dela a onda será quase esférica. Ao mesmo tempo, a seção da superfície da onda de uma onda esférica, à medida que seu tamanho diminui, torna-se arbitrariamente próxima da seção da superfície da onda de uma onda plana.

Equações de ondas planas e esféricas

Equação de ondaé uma expressão que determina o deslocamento de um ponto oscilante em função das coordenadas da posição de equilíbrio do ponto e do tempo:

Se a fonte cometer periódico oscilações, então a função (22.2) deve ser uma função periódica de coordenadas e de tempo. A periodicidade no tempo decorre do fato de que a função descreve oscilações periódicas de um ponto com coordenadas; periodicidade nas coordenadas - do fato de que pontos localizados distantes ao longo da direção de propagação das ondas oscilam do mesmo jeito

Limitemo-nos a considerar ondas harmônicas, quando pontos do meio realizam oscilações harmônicas. Deve-se notar que qualquer função não harmônica pode ser representada como resultado da superposição de ondas harmônicas. Portanto, considerar apenas as ondas harmônicas não leva a uma deterioração fundamental na generalidade dos resultados obtidos.

Vamos considerar uma onda plana. Vamos escolher um sistema de coordenadas tal que o eixo Oh coincidiu com a direção de propagação das ondas. Então as superfícies das ondas serão perpendiculares ao eixo Oh e, como todos os pontos da superfície da onda vibram igualmente, o deslocamento dos pontos do meio das posições de equilíbrio dependerá apenas de x e t:

Deixe as vibrações dos pontos situados no plano terem a forma:

(22.4)

Oscilações em um plano localizado à distância X da origem, atraso das oscilações no período de tempo necessário para a onda cobrir a distância X, e são descritos pela equação

qual é equação de uma onda plana que se propaga na direção do eixo do Boi.

Ao derivar a equação (22.5), assumimos que a amplitude das oscilações é a mesma em todos os pontos. No caso de uma onda plana, isto é verdade se a energia da onda não for absorvida pelo meio.

Vamos considerar algum valor da fase na equação (22.5):

(22.6)

A equação (22.6) fornece a relação entre o tempo t e lugar - X, no qual o valor de fase especificado está sendo implementado atualmente. Tendo determinado a partir da equação (22.6), encontramos a velocidade com que um determinado valor de fase se move. Diferenciando (22.6), obtemos:

Onde segue (22.7)

ONDA DE PLACA

ONDA DE PLACA

Uma onda cuja direção de propagação é a mesma em todos os pontos do espaço. O exemplo mais simples é um monocromático homogêneo. P.v. não amortecido:

você(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

onde A é a amplitude, j= wt±kz - , w=2p/T - frequência circular, T - período de oscilação, k - . Superfícies de fase constantes (frentes de fase) j=const P.v. são aviões.

Na ausência de dispersão, quando vph e ​​vgr são idênticos e constantes (vgr = vph = v), existem movimentos lineares estacionários (ou seja, movendo-se como um todo), que permitem uma representação geral da forma:

você(z, t)=f(z±vt), (2)

onde f é uma função arbitrária. Em meios não lineares com dispersão, PVs estacionários também são possíveis. tipo (2), mas sua forma não é mais arbitrária, mas depende tanto dos parâmetros do sistema quanto da natureza do movimento. Em meios absorventes (dissipativos) P. v. diminua sua amplitude à medida que se espalham; com amortecimento linear, isso pode ser levado em consideração substituindo k em (1) pelo número de onda complexo kd ± ikм, onde km é o coeficiente. atenuação de P. v.

Um PV homogêneo que ocupa todo o infinito é uma idealização, mas qualquer onda concentrada em uma região finita (por exemplo, direcionada por linhas de transmissão ou guias de ondas) pode ser representada como uma superposição de PV. com um espaço ou outro. espectro k. Neste caso, a onda ainda pode ter uma frente de fase plana, mas amplitude não uniforme. Tal P. v. chamado ondas planas não homogêneas. Algumas áreas são esféricas. e cilíndrico ondas que são pequenas em comparação com o raio de curvatura da frente de fase se comportam aproximadamente como uma onda de fase.

Dicionário enciclopédico físico. - M.: Enciclopédia Soviética. . 1983 .

ONDA DE PLACA

- aceno, a direção de propagação é a mesma em todos os pontos do espaço.

Onde A - amplitude, - fase, - frequência circular, T - período de oscilação k- número de onda. = const P.v. são aviões.
Na ausência de dispersão, quando a velocidade da fase v f e grupo v gr são idênticos e constantes ( v gr = v f = v) existem P. estacionários (isto é, em movimento como um todo). c., que pode ser representado de forma geral

Onde f- função arbitrária. Em meios não lineares com dispersão, PVs estacionários também são possíveis. tipo (2), mas sua forma não é mais arbitrária, mas depende tanto dos parâmetros do sistema quanto da natureza do movimento das ondas. Em meios absorventes (dissipativos), P. k no número de onda complexo k d sim m, onde k m - coeficiente atenuação de P. v. Um campo de onda homogêneo que ocupa todo o infinito é uma idealização, mas qualquer campo de onda concentrado em uma região finita (por exemplo, direcionado linhas de transmissão ou guias de ondas), pode ser representado como uma superposição P. V. com um ou outro espectro espacial k. Neste caso, a onda ainda pode ter frente de fase plana, com distribuição de amplitude não uniforme. Tal P. v. chamado ondas planas não homogêneas. Departamento áreasesféricas ou cilíndrico ondas que são pequenas em comparação com o raio de curvatura da frente de fase se comportam aproximadamente como PT.

Aceso. ver no art. Ondas.

MA Miller, LA Ostrovsky.

Enciclopédia física. Em 5 volumes. - M.: Enciclopédia Soviética. Editor-chefe A. M. Prokhorov. 1988 .

Para a maioria dos problemas que envolvem ondas, é importante conhecer o estado das oscilações de vários pontos do meio em um momento ou outro. Os estados dos pontos do meio serão determinados se as amplitudes e fases de suas oscilações forem conhecidas. Para ondas transversais, também é necessário conhecer a natureza da polarização. Para uma onda plana linearmente polarizada, basta ter uma expressão que permita determinar o deslocamento c(x, t) da posição de equilíbrio de qualquer ponto do meio com coordenadas X, a qualquer momento t. Esta expressão é chamada equação de onda.

Arroz. 2.21.

Vamos considerar o chamado onda correndo, aqueles. uma onda com uma frente de onda plana que se propaga em uma direção específica (por exemplo, ao longo do eixo x). Deixe as partículas do meio imediatamente adjacentes à fonte das ondas planas oscilarem de acordo com a lei harmônica; %(0, /) = = LsobsoG (Fig. 2.21). Na Figura 2.21, A através de ^(0, t) indica o deslocamento das partículas do meio situadas em um plano perpendicular ao desenho e possuindo uma coordenada no sistema de coordenadas selecionado X= 0 por vez t. A origem do tempo é escolhida de forma que a fase inicial das oscilações, definida através da função cosseno, seja igual a zero. Eixo X compatível com o feixe, ou seja, com a direção de propagação da vibração. Neste caso, a frente da onda é perpendicular ao eixo X, de modo que as partículas situadas neste plano oscilarão em uma fase. A própria frente de onda em um determinado meio se move ao longo do eixo X com velocidade E propagação de ondas em um determinado meio.

Vamos encontrar uma expressão? (x, t) deslocamento de partículas do meio distantes da fonte a uma distância x. Esta é a distância que a frente da onda percorre

no tempo Consequentemente, as oscilações de partículas situadas em um plano distante da fonte a uma distância X, ficará atrasado em uma quantidade m das oscilações das partículas diretamente adjacentes à fonte. Essas partículas (com coordenada x) também realizarão vibrações harmônicas. Na ausência de amortecimento, a amplitude A oscilações (no caso de uma onda plana) não dependerão da coordenada x, ou seja,

Esta é a equação necessária a melancolia de uma onda correndo(não deve ser confundido com a equação de onda discutida abaixo!). A equação, como já observado, permite determinar o deslocamento % partículas do meio com coordenada x no momento t. A fase de oscilação depende

em duas variáveis: na coordenada x da partícula e no tempo t. Num determinado momento fixo no tempo, as fases de oscilações de diferentes partículas serão, de modo geral, diferentes, mas é possível identificar partículas cujas oscilações ocorrerão na mesma fase (em fase). Também podemos assumir que a diferença de fase entre as oscilações dessas partículas é igual a 2 pontos(Onde t = 1, 2, 3,...). A menor distância entre duas partículas de uma onda viajante oscilando na mesma fase é chamada comprimento de onda X.

Vamos encontrar a relação do comprimento de onda X com outras grandezas que caracterizam a propagação das oscilações no meio. De acordo com a definição introduzida de comprimento de onda, podemos escrever

ou depois das abreviaturas Desde , então

Esta expressão nos permite dar uma definição diferente de comprimento de onda: O comprimento de onda é a distância pela qual as vibrações das partículas do meio têm tempo de se propagar em um tempo igual ao período das vibrações.

A equação da onda revela dupla periodicidade: em coordenadas e em tempo: ^ (x, t) = Z, (x + ok, t) = eu,(x, t + mT) = ​​​​Tx + pX, ml), Onde Pete - quaisquer números inteiros. Você pode, por exemplo, fixar as coordenadas das partículas (colocar x = const) e considere seu deslocamento em função do tempo. Ou, inversamente, fixe um momento no tempo (aceite t = const) e considere o deslocamento das partículas em função das coordenadas (o estado instantâneo dos deslocamentos é uma fotografia instantânea de uma onda). Então, enquanto estiver no cais, você pode usar uma câmera em qualquer momento t fotografar a superfície do mar, mas você pode jogar um chip no mar (ou seja, fixando a coordenada X), monitorar suas flutuações ao longo do tempo. Ambos os casos são mostrados na forma de gráficos na Fig. 2.21, ac.

A equação de onda (2.125) pode ser reescrita de forma diferente

A relação é denotada Para e é chamado número de onda

Porque , Que

O número de onda mostra, portanto, quantos comprimentos de onda cabem em um segmento de 2l unidades de comprimento. Ao introduzir o número de onda na equação de uma onda, obtemos a equação de uma onda viajando na direção positiva Oh ondas na forma mais comumente usada

Vamos encontrar uma expressão relacionando a diferença de fase Der das vibrações de duas partículas pertencentes a superfícies de onda diferentes X e x 2. Usando a equação de onda (2.131), escrevemos:

Se denotarmos ou de acordo com (2.130)

Uma onda viajante plana que se propaga em uma direção arbitrária é descrita no caso geral pela equação

Onde G-vetor raio desenhado da origem até a partícula situada na superfície da onda; Para - um vetor de onda igual em magnitude ao número de onda (2.130) e coincidindo em direção com a normal à superfície da onda na direção de propagação da onda.

Uma forma complexa de escrever a equação de onda também é possível. Assim, por exemplo, no caso de uma onda plana que se propaga ao longo do eixo X

e no caso geral de uma onda plana de direção arbitrária

A equação de onda em qualquer uma das formas listadas pode ser obtida como uma solução para uma equação diferencial chamada equação de onda. Se conhecermos a solução para esta equação na forma (2.128) ou (2.135) - a equação da onda viajante, então encontrar a equação da onda em si não será difícil. Vamos diferenciar 4(x, t) = % de (2.135) duas vezes em coordenadas e duas vezes em tempo e obtemos

expressando?, através das derivadas obtidas e comparando os resultados, obtemos

Tendo em conta a relação (2.129), escrevemos

Esta é a equação da onda para o caso unidimensional.

Em termos gerais para?, = c(x, sim, z,/) a equação da onda em coordenadas cartesianas fica assim

ou de uma forma mais compacta:

onde D é o operador diferencial de Laplace

Velocidade de faseé a velocidade de propagação dos pontos de onda oscilando na mesma fase. Em outras palavras, esta é a velocidade de movimento da “crista”, “vale” ou qualquer outro ponto da onda, cuja fase é fixa. Conforme observado anteriormente, a frente da onda (e, portanto, qualquer superfície da onda) se move ao longo do eixo Oh com velocidade E. Consequentemente, a velocidade de propagação das oscilações no meio coincide com a velocidade de movimento de uma determinada fase de oscilações. Portanto a velocidade E, determinado pela relação (2.129), ou seja,

geralmente chamado velocidade de fase.

O mesmo resultado pode ser obtido encontrando a velocidade dos pontos no meio que satisfazem a condição de fase constante co/ - fee = const. A partir daqui encontramos a dependência da coordenada com o tempo (co/ - const) e a velocidade de movimento desta fase

que coincide com (2.142).

Onda viajante plana se propagando na direção negativa do eixo Oh, descrito pela equação

Na verdade, neste caso a velocidade da fase é negativa

A velocidade da fase em um determinado meio pode depender da frequência de oscilação da fonte. A dependência da velocidade da fase com a frequência é chamada dispersão, e os ambientes em que essa dependência ocorre são chamados mídia dispersante. Não se deve pensar, porém, que a expressão (2.142) seja a dependência indicada. A questão é que, na ausência de dispersão, o número de onda Para em proporção direta

com e portanto . A dispersão ocorre apenas quando ω depende de Para não linear).

Uma onda plana viajante é chamada monocromático (tendo uma frequência), se as vibrações na fonte são harmônicas. Ondas monocromáticas correspondem a uma equação da forma (2.131).

Para uma onda monocromática, a frequência angular co e amplitude A não dependa do tempo. Isto significa que uma onda monocromática é ilimitada no espaço e infinita no tempo, ou seja, é um modelo idealizado. Qualquer onda real, não importa quão cuidadosamente seja mantida a constância de frequência e amplitude, não é monocromática. Uma onda real não dura indefinidamente, mas começa e termina em determinados momentos em um determinado local e, portanto, a amplitude de tal onda é função do tempo e das coordenadas desse local. Porém, quanto maior o intervalo de tempo durante o qual a amplitude e a frequência das oscilações são mantidas constantes, mais próxima da monocromática essa onda está. Freqüentemente, na prática, uma onda monocromática é chamada de segmento de onda suficientemente grande, dentro do qual a frequência e a amplitude não mudam, assim como um segmento de onda senoidal é representado na figura, e é chamada de onda senoidal.