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Provas de teoremas sobre as propriedades de um círculo circunscrito a um triângulo

Perpendicular ao segmento

Definição 1 . Perpendicular ao segmentoé chamada de reta perpendicular a este segmento e passando pelo seu ponto médio (Fig. 1).

Teorema 1. Cada ponto da mediatriz ao segmento é à mesma distância das extremidades este segmento.

Prova . Considere um ponto arbitrário D situado na mediatriz do segmento AB (Fig. 2) e prove que os triângulos ADC e BDC são iguais.

De fato, esses triângulos são triângulos retângulos cujos catetos AC e BC são iguais, enquanto os catetos DC são comuns. Da igualdade dos triângulos ADC e BDC, segue-se a igualdade dos segmentos AD e DB. O teorema 1 está provado.

Teorema 2 (Reverso ao Teorema 1). Se um ponto está à mesma distância das extremidades de um segmento, então ele está na mediatriz desse segmento.

Prova . Vamos provar o Teorema 2 pelo método “por contradição”. Para isso, suponha que algum ponto E esteja à mesma distância das extremidades do segmento, mas não esteja na mediatriz desse segmento. Vamos levar essa suposição a uma contradição. Vamos primeiro considerar o caso em que os pontos E e A estão em lados opostos da mediatriz (Fig. 3). Neste caso, o segmento EA intercepta a mediatriz em algum ponto, que denotaremos pela letra D.

Vamos provar que o segmento AE é maior que o segmento EB. Sério,

Assim, no caso em que os pontos E e A estão em lados opostos da mediatriz, obtivemos uma contradição.

Agora considere o caso em que os pontos E e A estão do mesmo lado da mediatriz (Fig. 4). Vamos provar que o segmento EB é maior que o segmento AE. Sério,

A contradição resultante completa a prova do Teorema 2

Círculo circunscrevendo um triângulo

Definição 2 . Um círculo circunscrevendo um triângulo, chame o círculo que passa por todos os três vértices do triângulo (Fig. 5). Neste caso o triângulo é chamado um triângulo inscrito em um círculo ou triângulo inscrito.

Propriedades de um círculo circunscrito a um triângulo. Teorema do seno

Figura	Foto	Propriedade
Perpendiculares médias para os lados do triângulo		se cruzam em um ponto .
Centro circunscrito a um triângulo agudo de um círculo		Centro descrito sobre ângulo agudo lado de dentro triângulo.
Centro círculo circunscrito a um triângulo retângulo		O centro do descrito sobre retangular ponto médio da hipotenusa .
Centro circunscrito a um triângulo obtuso de um círculo		Centro descrito sobre obtuso mentiras de triângulo círculo fora triângulo.
		,
Quadrado triângulo		S= 2R 2 pecado UMA pecado B pecado C ,
Raio do círculo circunscrito		Para qualquer triângulo, a igualdade é verdadeira:

Perpendiculares médias aos lados de um triângulo

Todas as mediatrizes desenhada para os lados de um triângulo arbitrário, se cruzam em um ponto .

Círculo circunscrevendo um triângulo

Qualquer triângulo pode ser circunscrito por um círculo. . O centro do círculo circunscrito ao triângulo é o ponto em que todas as mediatrizes traçadas para os lados do triângulo se cruzam.

Centro de um círculo circunscrito a um triângulo agudo

Centro descrito sobre ângulo agudo mentiras de triângulo círculo lado de dentro triângulo.

Centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo

O centro do descrito sobre retangular triângulo círculo é ponto médio da hipotenusa .

Centro de um círculo circunscrito a um triângulo obtuso

Centro descrito sobre obtuso mentiras de triângulo círculo fora triângulo.

Para qualquer triângulo, as igualdades são válidas (teorema do seno): , onde a, b, c são os lados do triângulo, A, B, C são os ângulos do triângulo, R é o raio do círculo circunscrito.

Área de um triângulo

Para qualquer triângulo, a igualdade é verdadeira: S= 2R 2 pecado UMA pecado B pecado C , onde A, B, C são os ângulos do triângulo, S é a área do triângulo, R é o raio do círculo circunscrito.

Raio do círculo circunscrito

Para qualquer triângulo, a igualdade é verdadeira: onde a, b, c são os lados do triângulo, S é a área do triângulo, R é o raio do círculo circunscrito.

Provas de teoremas sobre as propriedades de um círculo circunscrito a um triângulo

Teorema 3. Todas as perpendiculares médias traçadas aos lados de um triângulo arbitrário se cruzam em um ponto.

Prova . Considere duas mediatrizes traçadas aos lados AC e AB do triângulo ABC e denote o ponto de sua intersecção com a letra O (Fig. 6).

Como o ponto O está na mediatriz do segmento AC, então, em virtude do Teorema 1, vale a seguinte igualdade:

Como o ponto O está na mediatriz do segmento AB, então, em virtude do Teorema 1, vale a seguinte igualdade:

Portanto, a igualdade é verdadeira:

daí, usando o Teorema 2, concluímos que o ponto O está na mediatriz do segmento BC. Assim, todas as três mediatrizes passam pelo mesmo ponto, o que deveria ser provado.

Consequência. Qualquer triângulo pode ser circunscrito por um círculo. . O centro do círculo circunscrito ao triângulo é o ponto em que todas as mediatrizes traçadas para os lados do triângulo se cruzam.

Prova . Vamos considerar o ponto O, no qual todas as mediatrizes traçadas aos lados do triângulo ABC se cruzam (Fig. 6).

Ao provar o Teorema 3, obteve-se a seguinte igualdade:

de onde se segue que o círculo centrado no ponto O e raios OA , OB , OC passa por todos os três vértices do triângulo ABC , que deve ser provado.

Para um triângulo, tanto um círculo inscrito quanto um círculo circunscrito são sempre possíveis.

Para um quadrilátero, um círculo só pode ser inscrito se as somas de seus lados opostos forem iguais. De todos os paralelogramos, apenas um losango e um quadrado podem ser inscritos com um círculo. Seu centro está na intersecção das diagonais.

Um círculo pode ser circunscrito em torno de um quadrilátero somente se a soma dos ângulos opostos for 180°. De todos os paralelogramos, apenas em torno de um retângulo e um quadrado um círculo pode ser circunscrito. Seu centro está na intersecção das diagonais.

Um círculo pode ser circunscrito em torno de um trapézio, ou um círculo pode ser inscrito em um trapézio se o trapézio for isósceles.

Centro do círculo circunscrito

Teorema. O centro do círculo circunscrito ao triângulo é o ponto de intersecção das mediatrizes com os lados do triângulo.

O centro do círculo circunscrito ao polígono é o ponto de interseção das perpendiculares médias aos lados desse polígono.

Círculo inscrito no centro

Definição. Um círculo inscrito em um polígono convexo é um círculo que toca todos os lados desse polígono (ou seja, cada um dos lados do polígono é tangente ao círculo).

O centro do círculo inscrito está dentro do polígono.

Um polígono no qual um círculo está inscrito é chamado de polígono circunscrito.

Um círculo pode ser inscrito em um polígono convexo se as bissetrizes de todos os seus ângulos internos se interceptam em um ponto.

Centro de um círculo inscrito em um polígono- o ponto de intersecção de suas bissetrizes.

O centro do círculo inscrito é equidistante dos lados do polígono. A distância do centro a qualquer lado é igual ao raio do círculo inscrito. Pela propriedade das tangentes traçadas a partir de um ponto, qualquer vértice do polígono circunscrito é equidistante dos pontos tangentes situados nos lados que emergem desse vértice.

Qualquer triângulo pode ser inscrito em um círculo. O centro de um círculo inscrito em um triângulo é chamado de incentro.

Um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero convexo se e somente se as somas dos comprimentos de seus lados opostos forem iguais. Em particular, um círculo pode ser inscrito em um trapézio se a soma de suas bases for igual à soma de seus lados.

Um círculo pode ser inscrito em qualquer polígono regular. Um círculo também pode ser circunscrito a qualquer polígono regular. O centro dos círculos inscritos e circunscritos está no centro de um polígono regular.

Para qualquer polígono circunscrito, o raio do círculo inscrito pode ser encontrado pela fórmula

Onde S é a área do polígono, p é o seu semiperímetro.

Regular n-gon - fórmulas

Fórmulas para o comprimento de um lado de um n-gon regular

1. A fórmula para o lado de um n-gon regular em termos do raio do círculo inscrito:

2. A fórmula do lado de um n-gon regular em termos do raio do círculo circunscrito:

A fórmula para o raio do círculo inscrito de um n-gon regular

A fórmula para o raio do círculo inscrito de um n-gon em termos do comprimento do lado:

4. A fórmula para o raio do círculo circunscrito de um triângulo regular em termos do comprimento do lado:

6. A fórmula para a área de um triângulo regular em termos do raio do círculo inscrito: S = r 2 3√3

7. A fórmula para a área de um triângulo regular em termos do raio do círculo circunscrito:

4. A fórmula para o raio do círculo circunscrito de um quadrilátero regular em termos do comprimento do lado:

2. A fórmula do lado de um hexágono regular em termos do raio do círculo circunscrito: a = R

3. A fórmula para o raio do círculo inscrito de um hexágono regular em termos do comprimento do lado:

6. A fórmula para a área de um hexágono regular em termos do raio do círculo inscrito: S = r 2 2√3

7. A fórmula para a área de um hexágono regular em termos do raio do círculo circunscrito:

S=	R2 3√3

8. Ângulo entre os lados de um hexágono regular: α = 120°

Valor numérico(pronunciado "pi") é uma constante matemática igual à razão

a circunferência de um círculo ao comprimento de seu diâmetro, é expresso como uma fração decimal infinita.

Denotado pela letra do alfabeto grego "pi". A que pi é igual? Em casos simples, basta conhecer os 3 primeiros caracteres (3.14).

53. Encontre o comprimento do arco de um círculo de raio R correspondente ao ângulo central em n°

O ângulo central baseado em um arco cujo comprimento é igual ao raio do círculo é chamado de ângulo de 1 radiano.

A medida em graus de um ângulo de 1 radiano é:

Como o arco é longo π R (semicírculo), subtende o ângulo central a 180 ° , então um arco de comprimento R, subtende o ângulo para π vezes menor, ou seja

E vice versa

Porque π \u003d 3,14, depois 1 rad \u003d 57,3 °

Se o ângulo contém uma radiano, então sua medida de grau é

E vice versa

Normalmente, ao denotar a medida de um ângulo em radianos, o nome "rad" é ​​omitido.

Por exemplo, 360° = 2π rad, escreva 360° = 2π

A tabela lista os mais comuns ângulos em graus e radianos.

CAPÍTULO VII.

SOBRE O CÍRCULO.

165. Figuras inscritas em círculo e descritas ao lado. Um polígono cujos vértices estão em um círculo, chamado. inscrito num círculo; de preto O 243º representa o triângulo inscrito, quadrilátero e pentágono.

Um polígono cujos lados tocam um círculo é chamado. descrito ao redor do círculo de preto O 244º apresenta os triângulos descritos. e quádruplo.

166. Se você deseja inscrever algum polígono incorreto em um círculo, por exemplo. heptágono, então você só precisa pegar 7 pontos arbitrários A, B, C ... (desenho 245) no círculo e conectá-los com linhas retas.

Se você quiser descrever um quadrilátero em torno de um círculo, você deve pegar 4 pontos no círculo e desenhar tangentes nesses pontos; a partir da intersecção de tangentes e é formado descrito. quadrangular (Cap. 246).

167. Coloquemos agora o que precisa ser inscrito no círculo dos direitos. poligonal, ex. Pentágono. Para fazer isso, você precisa dividir o círculo em 5 partes iguais; circunferência inteira = 360°, próximo na quinta parte será 72°; portanto, construiremos no centro do círculo (cap. 247) ao longo do ângulo do transferidor. 72 ° e colocaremos a corda AB ao longo da circunferência; ele se encaixa exatamente 5 vezes, e então um 5-k é formado.

Será correto, porque todos os seus lados são iguais entre si; os ângulos também são iguais, pois cada um deles é medido pela metade de três quintos do círculo e o seguinte. contém 108°.

Se fosse necessário inserir os direitos. 9-k, então seria necessário dividir o círculo em 9 partes iguais, ou seja, construir no canto central. a 40°; em 20-ke é necessário construir um canto. a 18°, etc.

Vamos supor também que precisamos inserir direitos. 7-a;
a sétima parte do círculo \u003d 360/7 \u003d 51 3/7 \u003d 51 ° 25 "42 6/7". Não apenas segundos, mas também minutos não são marcados no transferidor; portanto, tal ângulo não pode ser colocado de lado exatamente - certamente vamos deixar de lado mais ou menos do que ele; daí o último lado do polígono. ou menos ou mais dos outros lados sairão.

É muito mais preciso inscrever polígonos retos sem a ajuda de um transtorter, mas apenas com compasso e régua; mas desta forma é possível inscrever apenas alguns polígonos, por exemplo. quadrado, 6 quartos

168. Para inscrever um quadrado em um círculo, o círculo deve ser dividido. em 4 partes iguais; e para isso é necessário (cap. 248) desenhar dois diâmetros perpendiculares;

se ligarmos suas extremidades, obtemos um quadrado, pois todos os seus lados são iguais entre si, como cordas subtendendo arcos iguais; todos os ângulos são retos, como tendo um vértice em um círculo e repousando nas extremidades do diâmetro.

169. Para entrar no círculo de direitos. hexagonal., separado de algum ponto do círculo. (cap. 249) corda AB = raio; então, traçando os raios de AO e VO, obtemos um tr-para AOB equilátero; próximo canto ABO = 60°, e o arco AB será o sexto do círculo; e, portanto, a corda AB será depositada ao longo da circunferência. exatamente 6 vezes.

170. Saber inserir direitos. 6-k, é fácil de entrar e certo. tr-para. Para fazer isso, primeiro divida o círculo em 6 partes iguais (cap. 250) nos pontos B, A, C, depois conecte os pontos A, C e E; obtemos o correto tr-to ACE, pois seus lados são iguais, pois cada um deles corresponde a um arco que é 1/3 do círculo.

171. O próximo saosobom pode encaixar todas as direitas no círculo com precisão suficiente. poligonal Para entrar por exemplo. disposição 9-a, desenhamos um círculo (preto. 251) dia. AB;

construímos um equiostor em AB. t-para ABC; divida AB em 9 partes iguais; conectamos o vértice C do tr-ka com o ponto D da segunda divisão e continuamos a linha reta CD até cruzar com o círculo. em E; corda AE será depositada ao redor da circunferência 9 vezes.

Se fosse necessário inserir os direitos. 5-k, então seria necessário dividir o diâmetro em 5 partes iguais (preto. 252); para 7 em 7 partes (cher. 253), etc.

172. Se alguém estiver certo. poligonal está inscrito em um círculo, então o número de lados pode ser dobrado, ou seja, inserir tais direitos. muitos, que teriam o dobro de lados.

Deixe por exemplo. ABCDEG (cap. 254) estaria certo. 6-a; vamos soltar perpendiculares do centro O para todos os lados do mn-ka; então os arcos AB, BC ... serão divididos ao meio; conectando os pontos de divisão com os vértices de 6, obtemos os direitos. 12-k. Abandonando o pêndulo. nas laterais deste 12, vamos escrever os direitos. 24-k, depois 48-k, etc.

Assim, usando um compasso e uma régua, podemos inserir os 6s, 12s, 24s corretos ... bem como quadrados, 8s, 16s ... em um círculo ...

173. Com um aumento no número de lados é inscrito. poligonal, os próprios lados se tornarão cada vez menores, e o perímetro do mn-ka se aproximará cada vez mais do círculo, de modo que o círculo pode ser considerado o perímetro de tal direito. mn-ka, que tem muitos lados.

174. Se você inserir direitos em um círculo. poligonal, é fácil descrever os direitos. poligonal o mesmo número de lados.

Deixe por exemplo. ABCDE (cap. 255) estará certo. 5-a; abaixamos do centro para os lados muitas perpendiculares e traçamos tangentes pelos pontos M, N ..; então vai dar certo. descrito 5-k.

Também é possível (cap. 256) desenhar tangentes através dos vértices do polígono inscrito.

175. Vamos considerar, sobre que figuras é possível descrever um círculo. Já sabemos (§ 143) que sempre é possível traçar um círculo por três pontos que não estão na mesma reta; próximo um círculo pode ser circunscrito em torno de qualquer triângulo.

Agora vamos pegar um quadrilátero. ABCD (cap. 257). Vamos fazer o distrito. por três pontos A, B, C (já sabemos fazer isso); distrito este também pode passar pelo ponto D, mas não pode passar. Se passar por D, então curva. D conterá tantos graus quantos houver em 1/2 do arco ABC; e desde ug. B é medido 1/2 do arco ADC, enquanto os arcos ABC e ADC juntos formam um círculo inteiro, então os ângulos D e B totalizam 180°; mas a soma de todos os ângulos quadrangular=360°, próximo e A+C==180°.

Então, Um círculo só pode ser circunscrito em torno de um quadrilátero em que a soma dos ângulos opostos é 180°. Assim, é possível descrever um círculo em torno de um retângulo, mas não em torno de um paralelogramo oblíquo.

176. Sobre todo direito. poligonal pode descrever um círculo. Seja ABCDEF (cap. 258) certo. polígono; dentro dele você pode encontrar um ponto que estará a uma distância igual de todos os seus vértices.

Para isso, dividimos os ângulos A e B ao meio pelas linhas AO e BO; o ponto de intersecção dessas linhas será o desejado. Vamos provar que as linhas AO, BO, CO, DO... são iguais entre si.

triângulo ABO \u003d OBC, porque eles têm um lado comum BO, AB \u003d BC, pois os lados estão certos. mn-ka, ug. t = ang. P , como metade do ângulo B; sded. e linha AO = CO; mas AO \u003d VO, porque o tr-to ABO é isósceles, desde o canto. t = ang. R , como meio ângulos iguais; em seguida, todas as três linhas AO, VO, CO são iguais entre si. Comparando o tr-ki BOC e COD, encontramos que BO = CO = OD ...; próximo se de O com raio OA, ou BO, ou OC... descreve um círculo, então ele passará pelos vértices de todos os vértices do polígono.

177. Se sobre certo. muitos (preto. 259) um círculo é descrito, então os lados AB, BC ... este muitos serão cordas em um círculo;

mas cordas iguais estão a distâncias iguais do centro; próximo perpendiculares OM, ON .., abaixados do centro O para os lados do múltiplo, serão iguais entre si, e se descrevermos um círculo de O com um raio de OM ou ON .., ele tocará todos os lados do múltiplo nos pontos M, N ... Tal círculo é chamado. inscrito, e seu raio é chamado apótema muito.

Então, em todo direito. poligonal você pode desenhar um círculo.

Assim, o centro do círculo descrito próximo ao mn-ka e inscrito será o ponto de intersecção das linhas que dividem os dois cantos do mn-ka ao meio; descrito pelo raio. o círculo será uma linha conectando o centro com o topo de um dos cantos do mn-ka; e inscrito no raio. círculo ou apótema - um perpendicular, abaixado do centro para um dos lados do mn-ka. O centro dos círculos inscritos e circunscritos é chamado. também o centro do plural correto.

178. Perguntas. 1) Como são chamados os plurais. inscrito em um círculo? descrito? 2) Inscrever em um círculo algum tipo de mn-k? descrever? 3) Como inscrever em um círculo por meio de um transferidor alguns direitos. mn-para? 4) Como inscrever um quadrado em um círculo usando compasso e régua? direitos. 6-para? 5) Se estiver certo. mn-k está inscrito em um círculo, então como inserir direitos. mn-to, tendo o dobro de lados? 6) Se estiver certo. mn-k está inscrito em um círculo, então como descrever os direitos. muitos do mesmo número de lados? 7) O que é feito com o perímetro de direitos. entrou. mn-ka com um aumento no número de lados dele? 8) É sempre possível descrever um círculo ao redor do tr-ka? 9) Prove que quase todo mundo está certo. você pode descrever e encaixar um círculo nele? 10) Um paralelogramo pode ser inscrito em um círculo? um trapézio? 11) O que é feito com o perímetro de direitos. descrito. mn-ka com um aumento no número de lados dele?

179. Tarefas. 1) Caber em um círculo 4-k? 8-para? 10-a? 15?

2) Descreva sobre um círculo de 4 k? 7-para? 3-para? 5-para?

3) Inscreva-se em um círculo por transp. direitos. 10 polegadas? 15? 20 mil?

4) Inscrever em um círculo usando um compasso e uma régua de direitos. 8-para?

5) Descreva sobre o círculo por transp. direitos. 5-para? 9-para? 10-a?

6) Descreva ao redor do círculo usando uma bússola e uma régua de direitos. 3-para? 6-para? quadrado? 12-a?

7) Um círculo é descrito próximo ao tr-ka, e seu centro está dentro do tr-ka; que tipo de caminhão é esse? Que tipo de shopping seria se o centro ficasse ao lado do shopping? fora do tr-ka?

8) Desenhe tal lei com um transferidor. 5-k, 8-k, 10-k, de modo que o raio do círculo descrito em torno dele = linhas t ?

9) Desenhe tal lei com um transferidor. 5-k, de modo que seu apótema seja igual a esta linha?

10) Em uma determinada linha reta, use um transferidor para construir o 5-k correto? 8-para? 10-a?

11) Uma corda é desenhada em um círculo; perpendiculares são erguidas de suas extremidades até encontrarem o círculo; os pontos de encontro são conectados por uma linha reta; que tipo de quadrilátero é?

12) Feliz. círculo = 3,6 polegadas; qual é o perímetro do quadrado circunscrito?

13) Prove que o lado de uma pista regular inscrita em um círculo está a uma distância de metade do raio do centro desse círculo?

14) Um 4-k está inscrito em um círculo; seus vértices dividem a circunferência em partes que estão na proporção 4:7:5:11; determinar ângulos 4-ka?

15) Os direitos estão inscritos no círculo. tr-k, e seu lado está a 7 1/2 polegadas de distância. do centro deste círculo; determinar o raio do círculo?

16) Prove que o ângulo interno de todo direito. mn-ka serve como uma adição de 180° ao ângulo que será obtido a partir da conexão de dois vértices adjacentes deste mn-ka com seu centro?

17) Prove que se a corda AB (desenho 260) = o raio do círculo O, e AO é o lado direito. inscrito 10, então conectando o ponto B com C, obtemos o lado direito. inscrito 15º.

Nesta linha reta uma construir com compasso e régua: 18) direitos. tr-k? 19) quadrado? 20) certo. 6-para? 21) certo. 8-para? 22) certo. 12-a?

Com um compasso e uma régua, construa: 23) um quadrado em rad. r círculo descrito? 24) quadrado por apótema uma ? 25) certo. 6-alegre. r Descrição círculo? 26) certo. 6-apotema uma ? 27) certo. 3-rad. r Descrição círculo? 28) certo. 3-apotema uma ?

29) Inscrever um círculo neste losango?

30) Descreva um círculo em torno de um retângulo?

31) Um tr-k está inscrito em um círculo; um lado dele é o diâmetro, e os outros dois subtendem os arcos, cuja proporção é 15:17; determinar os ângulos do tr-ka?