Ao estudar álgebra em uma escola secundária (9ª série), um dos tópicos importantes é o estudo de sequências numéricas, que incluem progressões - geométricas e aritméticas. Neste artigo, consideraremos uma progressão aritmética e exemplos com soluções.
O que é uma progressão aritmética?
Para entender isso, é necessário dar uma definição da progressão em consideração, bem como dar as fórmulas básicas que serão usadas posteriormente na resolução de problemas.
Uma progressão aritmética ou algébrica é um conjunto de números racionais ordenados, cada membro dos quais difere do anterior por alguma quantidade constante. Esse valor é chamado de diferença. Ou seja, conhecendo qualquer membro de uma série ordenada de números e a diferença, você pode restaurar toda a progressão aritmética.
Vamos dar um exemplo. A próxima sequência de números será uma progressão aritmética: 4, 8, 12, 16, ..., pois a diferença neste caso é 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mas o conjunto de números 3, 5, 8, 12, 17 não pode mais ser atribuído ao tipo de progressão considerado, pois a diferença para ele não é um valor constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Fórmulas importantes
Apresentamos agora as fórmulas básicas que serão necessárias para resolver problemas usando uma progressão aritmética. Seja a n o enésimo membro da sequência, onde n é um inteiro. A diferença é denotada pela letra latina d. Então as seguintes expressões são verdadeiras:
- Para determinar o valor do enésimo termo, a fórmula é adequada: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Para determinar a soma dos primeiros n termos: S n = (a n + a 1)*n/2.
Para compreender quaisquer exemplos de progressão aritmética com solução no 9º ano, basta recordar estas duas fórmulas, uma vez que quaisquer problemas do tipo em consideração são construídos na sua utilização. Além disso, não esqueça que a diferença de progressão é determinada pela fórmula: d = a n - a n-1 .
Exemplo nº 1: Encontrando um membro desconhecido
Damos um exemplo simples de progressão aritmética e as fórmulas que devem ser usadas para resolver.
Seja dada a sequência 10, 8, 6, 4, ..., é necessário encontrar cinco termos nela.
Já decorre das condições do problema que os primeiros 4 termos são conhecidos. A quinta pode ser definida de duas maneiras:
- Vamos calcular a diferença primeiro. Temos: d = 8 - 10 = -2. Da mesma forma, pode-se tomar quaisquer outros dois termos próximos um do outro. Por exemplo, d = 4 - 6 = -2. Como se sabe que d \u003d a n - a n-1, então d \u003d a 5 - a 4, de onde obtemos: a 5 \u003d a 4 + d. Substituímos os valores conhecidos: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- O segundo método também requer conhecimento da diferença da progressão em questão, então você precisa primeiro determiná-la, como mostrado acima (d = -2). Sabendo que o primeiro termo a 1 = 10, usamos a fórmula para o número n da sequência. Temos: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Substituindo n = 5 na última expressão, obtemos: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Como você pode ver, ambas as soluções levam ao mesmo resultado. Observe que neste exemplo a diferença d da progressão é negativa. Essas sequências são chamadas decrescentes porque cada termo sucessivo é menor que o anterior.
Exemplo #2: diferença de progressão
Agora vamos complicar um pouco a tarefa, dar um exemplo de como
Sabe-se que em alguns o 1º termo é igual a 6, e o 7º termo é igual a 18. É necessário encontrar a diferença e restaurar essa sequência ao 7º termo.
Vamos usar a fórmula para determinar o termo desconhecido: a n = (n - 1) * d + a 1 . Substituímos os dados conhecidos da condição, ou seja, os números a 1 e a 7, temos: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir desta expressão, você pode calcular facilmente a diferença: d = (18 - 6) / 6 = 2. Assim, a primeira parte do problema foi respondida.
Para restaurar a sequência para o 7º membro, você deve usar a definição de progressão algébrica, ou seja, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, e assim por diante. Como resultado, restauramos a sequência inteira: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 e 7 = 18.
Exemplo #3: fazendo uma progressão
Vamos complicar ainda mais a condição do problema. Agora você precisa responder à pergunta de como encontrar uma progressão aritmética. Podemos dar o seguinte exemplo: dois números são dados, por exemplo, 4 e 5. É necessário fazer uma progressão algébrica para que mais três termos caibam entre eles.
Antes de começar a resolver esse problema, é necessário entender que lugar os números dados ocuparão na progressão futura. Como haverá mais três termos entre eles, então 1 \u003d -4 e 5 \u003d 5. Tendo estabelecido isso, passamos a uma tarefa semelhante à anterior. Novamente, para o enésimo termo, usamos a fórmula, obtemos: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aqui a diferença não é um valor inteiro, mas é um número racional, então as fórmulas para a progressão algébrica permanecem as mesmas.
Agora vamos adicionar a diferença encontrada a 1 e restaurar os membros ausentes da progressão. Obtemos: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, que coincidiu com a condição do problema.
Exemplo #4: O primeiro membro da progressão
Continuamos a dar exemplos de uma progressão aritmética com uma solução. Em todos os problemas anteriores, o primeiro número da progressão algébrica era conhecido. Agora considere um problema de um tipo diferente: sejam dados dois números, onde a 15 = 50 e a 43 = 37. É necessário descobrir de qual número essa sequência começa.
As fórmulas que foram usadas até agora pressupõem o conhecimento de a 1 e d. Nada se sabe sobre esses números na condição do problema. No entanto, vamos escrever as expressões para cada termo sobre o qual temos informações: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Temos duas equações nas quais existem 2 incógnitas (a 1 e d). Isso significa que o problema é reduzido a resolver um sistema de equações lineares.
O sistema especificado é mais fácil de resolver se você expressar um 1 em cada equação e depois comparar as expressões resultantes. Primeira equação: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; segunda equação: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Igualando essas expressões, obtemos: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de onde a diferença d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (apenas 3 casas decimais são fornecidas).
Conhecendo d, você pode usar qualquer uma das 2 expressões acima para a 1 . Por exemplo, primeiro: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Se houver dúvidas sobre o resultado, você pode verificá-lo, por exemplo, determinar o 43º membro da progressão, especificado na condição. Obtemos: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Um pequeno erro se deve ao fato de ter sido utilizado arredondamento para milésimos nos cálculos.
Exemplo #5: Soma
Agora vamos ver alguns exemplos com soluções para a soma de uma progressão aritmética.
Seja uma progressão numérica da seguinte forma: 1, 2, 3, 4, ...,. Como calcular a soma de 100 desses números?
Graças ao desenvolvimento da tecnologia da computação, esse problema pode ser resolvido, ou seja, somar sequencialmente todos os números, o que o computador fará assim que uma pessoa pressionar a tecla Enter. No entanto, o problema pode ser resolvido mentalmente se você prestar atenção que a série de números apresentada é uma progressão algébrica, e sua diferença é 1. Aplicando a fórmula da soma, temos: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
É curioso notar que esse problema é chamado de "gaussiano", pois no início do século XVIII o famoso alemão, ainda com apenas 10 anos de idade, conseguiu resolvê-lo em sua mente em poucos segundos. O menino não conhecia a fórmula para a soma de uma progressão algébrica, mas percebeu que se somarmos pares de números localizados nas bordas da sequência, obteremos sempre o mesmo resultado, ou seja, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., e como essas somas serão exatamente 50 (100 / 2), para obter a resposta correta, basta multiplicar 50 por 101.
Exemplo #6: soma dos termos de n a m
Outro exemplo típico da soma de uma progressão aritmética é o seguinte: dada uma série de números: 3, 7, 11, 15, ..., você precisa descobrir qual será a soma de seus termos de 8 a 14.
O problema é resolvido de duas maneiras. O primeiro deles envolve encontrar termos desconhecidos de 8 a 14 e, em seguida, resumi-los sequencialmente. Como existem poucos termos, esse método não é trabalhoso o suficiente. No entanto, propõe-se resolver este problema pelo segundo método, que é mais universal.
A ideia é obter uma fórmula para a soma de uma progressão algébrica entre os termos m e n, onde n > m são inteiros. Para ambos os casos, escrevemos duas expressões para a soma:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Como n > m, é óbvio que a soma 2 inclui o primeiro. A última conclusão significa que, se pegarmos a diferença entre essas somas e adicionarmos o termo a m a ela (no caso de tirar a diferença, ela é subtraída da soma S n), obteremos a resposta necessária para o problema. Temos: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). É necessário substituir fórmulas para a n e a m nesta expressão. Então temos: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
A fórmula resultante é um pouco complicada, no entanto, a soma S mn depende apenas de n, m, a 1 e d. No nosso caso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substituindo esses números, obtemos: S mn = 301.
Como pode ser visto nas soluções acima, todos os problemas são baseados no conhecimento da expressão para o enésimo termo e a fórmula para a soma do conjunto dos primeiros termos. Antes de começar a resolver qualquer um desses problemas, é recomendável que você leia atentamente a condição, entenda claramente o que deseja encontrar e só então prossiga com a solução.
Outra dica é buscar a simplicidade, ou seja, se você conseguir responder a pergunta sem usar cálculos matemáticos complexos, é preciso fazer exatamente isso, pois nesse caso a probabilidade de errar é menor. Por exemplo, no exemplo de uma progressão aritmética com a solução nº 6, pode-se parar na fórmula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e divida a tarefa geral em subtarefas separadas (neste caso, primeiro encontre os termos a n e a m).
Se houver dúvidas sobre o resultado obtido, recomenda-se verificar, como foi feito em alguns dos exemplos apresentados. Como encontrar uma progressão aritmética, descobri. Depois de descobrir, não é tão difícil.
A matemática tem sua própria beleza, assim como a pintura e a poesia.
Cientista russo, mecânico N.E. Zhukovsky
Tarefas muito comuns nas provas de ingresso em matemática são tarefas relacionadas ao conceito de progressão aritmética. Para resolver esses problemas com sucesso, é necessário conhecer bem as propriedades de uma progressão aritmética e ter certas habilidades em sua aplicação.
Vamos primeiro relembrar as principais propriedades de uma progressão aritmética e apresentar as fórmulas mais importantes, associados a este conceito.
Definição. Sequência numérica, em que cada termo subsequente difere do anterior pelo mesmo número, chamada progressão aritmética. Ao mesmo tempo, o númeroé chamada de diferença de progressão.
Para uma progressão aritmética, as fórmulas são válidas
, (1)
Onde . A fórmula (1) é chamada de fórmula do termo comum de uma progressão aritmética, e a fórmula (2) é a principal propriedade de uma progressão aritmética: cada membro da progressão coincide com a média aritmética de seus membros vizinhos e .
Observe que é justamente por causa dessa propriedade que a progressão em questão é chamada de "aritmética".
As fórmulas (1) e (2) acima são resumidas da seguinte forma:
(3)
Para calcular a soma primeiro membros de uma progressão aritméticaa fórmula é geralmente usada
(5) onde e .
Se levarmos em conta a fórmula (1), então a fórmula (5) implica
se nós designássemos
Onde . Como , então as fórmulas (7) e (8) são uma generalização das fórmulas correspondentes (5) e (6).
Em particular , da fórmula (5) segue, que
Entre o pouco conhecido da maioria dos alunos está a propriedade de uma progressão aritmética, formulada por meio do seguinte teorema.
Teorema. Se então
Prova. Se então
O teorema foi provado.
Por exemplo , usando o teorema, pode-se mostrar que
Passemos à consideração de exemplos típicos de resolução de problemas no tópico "Progressão aritmética".
Exemplo 1 Deixe e. Encontrar .
Decisão. Aplicando a fórmula (6), obtemos . Desde e , então ou .
Exemplo 2 Deixe três vezes mais, e ao dividir por no quociente, resulta 2 e o resto é 8. Determine e.
Decisão. O sistema de equações segue da condição do exemplo
Como , , e , então do sistema de equações (10) obtemos
A solução deste sistema de equações são e .
Exemplo 3 Encontre se e .
Decisão. De acordo com a fórmula (5), temos ou . No entanto, usando a propriedade (9), obtemos .
Como e , então da igualdade a equação segue ou .
Exemplo 4 Encontre se.
Decisão.Pela fórmula (5) temos
No entanto, usando o teorema, pode-se escrever
A partir daqui e da fórmula (11) obtemos .
Exemplo 5. Dado: . Encontrar .
Decisão. Desde então . No entanto, portanto .
Exemplo 6 Deixe , e . Encontrar .
Decisão. Usando a fórmula (9), obtemos . Portanto, se , então ou .
Desde e então aqui temos um sistema de equações
Resolvendo qual, obtemos e .
Raiz natural da equaçãoé um .
Exemplo 7 Encontre se e .
Decisão. Como de acordo com a fórmula (3) temos que , então o sistema de equações segue da condição do problema
Se substituirmos a expressãona segunda equação do sistema, então obtemos ou .
As raízes da equação quadrática são e .
Vamos considerar dois casos.
1. Seja , então . Desde e , então .
Neste caso, de acordo com a fórmula (6), temos
2. Se , então , e
Resposta: e.
Exemplo 8 Sabe-se que e Encontrar .
Decisão. Levando em conta a fórmula (5) e a condição do exemplo, escrevemos e .
Isso implica o sistema de equações
Se multiplicarmos a primeira equação do sistema por 2 e depois somarmos à segunda equação, obtemos
Pela fórmula (9), temos. A esse respeito, de (12) segue ou .
Desde e , então .
Responda: .
Exemplo 9 Encontre se e .
Decisão. Desde , e por condição , então ou .
Da fórmula (5) é conhecido, que . Desde então .
Conseqüentemente , aqui temos um sistema de equações lineares
A partir daqui temos e . Levando em conta a fórmula (8), escrevemos .
Exemplo 10 Resolva a equação.
Decisão. Segue da equação dada que . Vamos supor que , , e . Nesse caso .
De acordo com a fórmula (1), podemos escrever ou .
Como , a equação (13) tem uma única raiz adequada .
Exemplo 11. Encontre o valor máximo desde que e .
Decisão. Desde , então a progressão aritmética considerada é decrescente. Nesse sentido, a expressão assume um valor máximo quando é o número do membro mínimo positivo da progressão.
Usamos a fórmula (1) e o fato, que e . Então obtemos isso ou .
Porque então ou . No entanto, nesta desigualdademaior número natural, É por isso .
Se os valores e forem substituídos na fórmula (6), obtemos .
Responda: .
Exemplo 12. Encontre a soma de todos os números naturais de dois algarismos que, quando divididos por 6, têm resto 5.
Decisão. Denote pelo conjunto de todos os números naturais de dois valores, ou seja, . Em seguida, construímos um subconjunto formado por aqueles elementos (números) do conjunto que, quando divididos pelo número 6, dão um resto de 5.
Fácil de instalar, que . Obviamente , que os elementos do conjuntoformar uma progressão aritmética, em que e .
Para determinar a cardinalidade (número de elementos) do conjunto, assumimos que . Como e , então a fórmula (1) implica ou . Levando em conta a fórmula (5), obtemos .
Os exemplos acima de resolução de problemas não podem de forma alguma pretender ser exaustivos. Este artigo foi escrito com base em uma análise de métodos modernos para resolver problemas típicos em um determinado tópico. Para um estudo mais aprofundado dos métodos de resolução de problemas relacionados à progressão aritmética, é aconselhável consultar a lista de literatura recomendada.
1. Recolha de tarefas em matemática para candidatos a universidades técnicas / Ed. MI. Scanavi. - M.: Mundo e Educação, 2013. - 608 p.
2. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: seções adicionais do currículo escolar. – M.: Lenand/URSS, 2014. - 216 p.
3. Medynsky M.M. Um curso completo de matemática elementar em tarefas e exercícios. Livro 2: Sequências numéricas e progressões. – M.: Editus, 2015. - 208 p.
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Qual é a essência da fórmula?
Esta fórmula permite encontrar algum POR SEU NÚMERO" n" .
Claro, você precisa saber o primeiro termo um 1 e diferença de progressão d, bem, sem esses parâmetros, você não pode escrever uma progressão específica.
Não é suficiente memorizar (ou trapacear) esta fórmula. É preciso assimilar sua essência e aplicar a fórmula em diversas tarefas. Sim, e não esqueça na hora certa, sim...) Como não esqueça- Não sei. E aqui como lembrar Se precisar, dou uma dica. Para aqueles que dominam a lição até o fim.)
Então, vamos lidar com a fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética.
O que é uma fórmula em geral - imaginamos.) O que é uma progressão aritmética, um número de membro, uma diferença de progressão - é claramente indicado na lição anterior. Dê uma olhada se você não leu. Tudo é simples lá. Resta saber o que enésimo membro.
A progressão em geral pode ser escrita como uma série de números:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
um 1- denota o primeiro termo de uma progressão aritmética, um 3- terceiro membro um 4- quarto, e assim por diante. Se estamos interessados no quinto termo, digamos que estamos trabalhando com um 5, se centésimo vigésimo - de um 120.
Como definir em geral algum membro de uma progressão aritmética, s algum número? Muito simples! Assim:
a
É isso que é n-ésimo membro de uma progressão aritmética. Sob a letra n, todos os números de membros estão ocultos de uma só vez: 1, 2, 3, 4 e assim por diante.
E o que esse registro nos dá? Basta pensar, em vez de um número, eles escreveram uma carta ...
Essa notação nos dá uma ferramenta poderosa para trabalhar com progressões aritméticas. Usando a notação a, podemos encontrar rapidamente algum membro algum progressão aritmética. E um monte de tarefas para resolver em progressão. Você verá mais adiante.
Na fórmula do enésimo membro de uma progressão aritmética:
| a n = a 1 + (n-1)d |
um 1- o primeiro membro da progressão aritmética;
n- número de membro.
A fórmula vincula os principais parâmetros de qualquer progressão: a ; um 1; d e n. Em torno desses parâmetros, todos os quebra-cabeças giram em progressão.
A fórmula do enésimo termo também pode ser usada para escrever uma progressão específica. Por exemplo, no problema pode-se dizer que a progressão é dada pela condição:
a n = 5 + (n-1) 2.
Tal problema pode até confundir... Não há série, não há diferença... Mas, comparando a condição com a fórmula, é fácil perceber que nessa progressão a 1 \u003d 5 e d \u003d 2.
E pode ser ainda mais irado!) Se tomarmos a mesma condição: a n = 5 + (n-1) 2, sim, abra os colchetes e dê os semelhantes? Obtemos uma nova fórmula:
an = 3 + 2n.
Isso é Só não geral, mas para uma progressão específica. É aqui que está a armadilha. Algumas pessoas pensam que o primeiro termo é um três. Embora na realidade o primeiro membro seja um cinco... Um pouco mais baixo trabalharemos com essa fórmula modificada.
Em tarefas para progressão, há outra notação - um n+1. Este é, você adivinhou, o "n mais o primeiro" termo da progressão. Seu significado é simples e inofensivo.) Este é um membro da progressão, cujo número é maior que o número n por um. Por exemplo, se em algum problema tomamos por a quinto termo, então um n+1 será o sexto membro. etc.
Na maioria das vezes a designação um n+1 ocorre em fórmulas recursivas. Não tenha medo dessa palavra terrível!) Esta é apenas uma maneira de expressar um termo de uma progressão aritmética através do anterior. Suponha que nos seja dada uma progressão aritmética nesta forma, usando a fórmula recorrente:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
O quarto - até o terceiro, o quinto - até o quarto e assim por diante. E como contar imediatamente, digamos o vigésimo termo, um 20? Mas de jeito nenhum!) Enquanto o 19º termo não é conhecido, o 20º não pode ser contado. Esta é a diferença fundamental entre a fórmula recursiva e a fórmula do enésimo termo. A recursiva funciona apenas através de anterior termo, e a fórmula do enésimo termo - através primeiro e permite imediatamente encontrar qualquer membro pelo seu número. Não contando toda a série de números em ordem.
Em uma progressão aritmética, uma fórmula recursiva pode ser facilmente transformada em uma regular. Conte um par de termos consecutivos, calcule a diferença d, encontre, se necessário, o primeiro termo um 1, escreva a fórmula na forma usual e trabalhe com ela. No GIA, essas tarefas são frequentemente encontradas.
Aplicação da fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética.
Primeiro, vamos ver a aplicação direta da fórmula. No final da lição anterior, havia um problema:
Dada uma progressão aritmética (a n). Encontre um 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.
Este problema pode ser resolvido sem fórmulas, simplesmente com base no significado da progressão aritmética. Adicionar, sim, adicionar... Uma ou duas horas.)
E de acordo com a fórmula, a solução levará menos de um minuto. Você pode cronometrar.) Nós decidimos.
As condições fornecem todos os dados para usar a fórmula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Resta saber o que n. Sem problemas! Precisamos encontrar um 121. Aqui escrevemos:
Por favor preste atenção! Em vez de um índice n apareceu um número específico: 121. O que é bastante lógico.) Estamos interessados no membro da progressão aritmética número cento e vinte e um. Este será o nosso n.É este significado n= 121 substituiremos mais adiante na fórmula, entre colchetes. Substitua todos os números na fórmula e calcule:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Isso é tudo o que há para isso. Tão rapidamente se poderia encontrar o quingentésimo décimo membro, e o milésimo terceiro, qualquer um. Colocamos em seu lugar n o número desejado no índice da letra " uma" e entre parênteses, e nós consideramos.
Deixe-me lembrá-lo da essência: esta fórmula permite que você encontre algum termo de uma progressão aritmética POR SEU NÚMERO" n" .
Vamos resolver o problema de forma mais inteligente. Digamos que temos o seguinte problema:
Encontre o primeiro termo da progressão aritmética (a n) se a 17 =-2; d=-0,5.
Se você tiver alguma dificuldade, vou sugerir o primeiro passo. Escreva a fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética! Sim Sim. Escreva à mão, diretamente no seu caderno:
| a n = a 1 + (n-1)d |
E agora, olhando as letras da fórmula, entendemos quais dados temos e o que está faltando? Disponível d=-0,5, há um décimo sétimo membro... Tudo? Se você pensa que é tudo, então você não pode resolver o problema, sim...
Também temos um número n! Na condição a 17 =-2 escondido duas opções. Este é o valor do décimo sétimo membro (-2) e seu número (17). Aqueles. n=17. Essa "coisinha" muitas vezes passa pela cabeça, e sem ela (sem a "coisinha", não a cabeça!) O problema não pode ser resolvido. Embora... e sem cabeça também.)
Agora podemos substituir estupidamente nossos dados na fórmula:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Oh sim, um 17 sabemos que é -2. Ok, vamos colocar:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Isso, em essência, é tudo. Resta expressar o primeiro termo da progressão aritmética da fórmula e calcular. Você obtém a resposta: 1 = 6.
Tal técnica - escrever uma fórmula e simplesmente substituir dados conhecidos - ajuda muito em tarefas simples. Bem, você deve, é claro, ser capaz de expressar uma variável a partir de uma fórmula, mas o que fazer!? Sem essa habilidade, a matemática não pode ser estudada ...
Outro problema popular:
Encontre a diferença da progressão aritmética (a n) se a 1 =2; a 15 = 12.
O que estamos fazendo? Você ficará surpreso, escrevemos a fórmula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Considere o que sabemos: a 1 = 2; a 15 = 12; e (destaque especial!) n=15. Sinta-se à vontade para substituir na fórmula:
12=2 + (15-1)d
Vamos fazer a aritmética.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Essa é a resposta correta.
Então, tarefas um n , um 1 e d decidido. Resta saber como encontrar o número:
O número 99 é membro de uma progressão aritmética (a n), onde a 1 = 12; d=3. Encontre o número deste membro.
Substituímos as quantidades conhecidas na fórmula do enésimo termo:
a n = 12 + (n-1) 3
À primeira vista, existem duas quantidades desconhecidas aqui: um n e n. Mas aé algum membro da progressão com o número n... E este membro da progressão que conhecemos! É 99. Não sabemos o número dele. n, então esse número também precisa ser encontrado. Substitua o termo de progressão 99 na fórmula:
99 = 12 + (n-1) 3
Expressamos pela fórmula n, nós pensamos. Obtemos a resposta: n=30.
E agora um problema no mesmo tópico, mas mais criativo):
Determine se o número 117 será um membro de uma progressão aritmética (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Vamos escrever a fórmula novamente. O que, não há parâmetros? Hm... Por que precisamos de olhos?) Vemos o primeiro membro da progressão? Nós vemos. Isso é -3,6. Você pode escrever com segurança: a 1 \u003d -3,6. Diferença d pode ser determinado a partir da série? É fácil se você souber qual é a diferença de uma progressão aritmética:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Sim, fizemos a coisa mais simples. Resta lidar com um número desconhecido n e um número incompreensível 117. No problema anterior, pelo menos se sabia que era o termo da progressão que era dado. Mas aqui a gente nem sabe disso... Como ser!? Bem, como ser, como ser... Ative suas habilidades criativas!)
Nós suponha que 117 é, afinal, um membro de nossa progressão. Com um número desconhecido n. E, assim como no problema anterior, vamos tentar encontrar esse número. Aqueles. escrevemos a fórmula (sim-sim!)) e substituímos nossos números:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Novamente expressamos pela fórmulan, contamos e obtemos:
Ops! O número acabou fracionário! Cento e um e meio. E números fracionários em progressões não pode ser. Que conclusão tiramos? Sim! Número 117 não é membro da nossa progressão. Está em algum lugar entre o 101º e o 102º membros. Se o número for natural, ou seja, inteiro positivo, então o número seria um membro da progressão com o número encontrado. E no nosso caso, a resposta para o problema será: não.
Tarefa baseada em uma versão real do GIA:
A progressão aritmética é dada pela condição:
a n \u003d -4 + 6,8n
Encontre o primeiro e o décimo termos da progressão.
Aqui a progressão é definida de uma forma incomum. Algum tipo de fórmula ... Acontece.) No entanto, esta fórmula (como escrevi acima) - também a fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética! Ela também permite encontre qualquer membro da progressão pelo seu número.
Estamos procurando o primeiro membro. Aquele que pensa. que o primeiro termo é menos quatro, é um erro fatal!) Porque a fórmula do problema é modificada. O primeiro termo de uma progressão aritmética nele escondido. Nada, vamos encontrá-lo agora.)
Assim como nas tarefas anteriores, substituímos n=1 nesta fórmula:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Aqui! O primeiro termo é 2,8, não -4!
Da mesma forma, estamos procurando o décimo termo:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Isso é tudo o que há para isso.
E agora, para aqueles que leram até estas linhas, o bônus prometido.)
Suponha que, em uma situação de combate difícil do GIA ou do Unified State Exam, você esqueceu a fórmula útil do n-ésimo membro de uma progressão aritmética. Algo vem à mente, mas de alguma forma incerta ... Se n lá, ou n+1, ou n-1... Como ser!?
Calmo! Esta fórmula é fácil de derivar. Não muito rigoroso, mas definitivamente o suficiente para a confiança e a decisão certa!) Para a conclusão, basta lembrar o significado elementar da progressão aritmética e ter alguns minutos. Você só precisa fazer um desenho. Para maior clareza.
Desenhamos um eixo numérico e marcamos o primeiro nele. segundo, terceiro, etc. membros. E observe a diferença d entre membros. Assim:
Olhamos para a imagem e pensamos: a que equivale o segundo termo? Segundo 1 d:
uma 2 =a 1 + 1 d
Qual é o terceiro termo? O terceiro termo é igual ao primeiro termo mais dois d.
uma 3 =a 1 + 2 d
Você entendeu? Não coloco algumas palavras em negrito por nada. Ok, mais um passo.)
Qual é o quarto termo? Quarto termo é igual ao primeiro termo mais três d.
uma 4 =a 1 + 3 d
É hora de perceber que o número de lacunas, ou seja, d, sempre um a menos que o número do membro que você está procurando n. Ou seja, até o número n, número de lacunas vontade n-1. Então, a fórmula será (sem opções!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Em geral, as imagens visuais são muito úteis na resolução de muitos problemas de matemática. Não negligencie as imagens. Mas se for difícil desenhar uma imagem, então ... apenas uma fórmula!) Além disso, a fórmula do enésimo termo permite conectar todo o poderoso arsenal da matemática à solução - equações, desigualdades, sistemas etc. Você não pode colocar uma imagem em uma equação...
Tarefas para decisão independente.
Para aquecimento:
1. Na progressão aritmética (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Encontre um 3 .
Dica: de acordo com a imagem, o problema é resolvido em 20 segundos... De acordo com a fórmula, fica mais difícil. Mas para dominar a fórmula, é mais útil.) Na Seção 555, esse problema é resolvido tanto pela figura quanto pela fórmula. Sinta a diferença!)
E isso não é mais um aquecimento.)
2. Na progressão aritmética (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Encontre a 3 .
O que, relutância em fazer um desenho?) Ainda! É melhor na fórmula, sim...
3. A progressão aritmética é dada pela condição:a 1 \u003d -5,5; an+1 = an+0,5. Encontre o centésimo vigésimo quinto termo dessa progressão.
Nesta tarefa, a progressão é dada de forma recorrente. Mas contando até o centésimo vigésimo quinto termo... Nem todos podem fazer tal façanha.) Mas a fórmula do enésimo termo está ao alcance de todos!
4. Dada uma progressão aritmética (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Encontre o número do menor termo positivo da progressão.
5. De acordo com a condição da tarefa 4, encontre a soma dos menores termos positivos e maiores negativos da progressão.
6. O produto do quinto e décimo segundo termos de uma progressão aritmética crescente é -2,5, e a soma do terceiro e décimo primeiro termos é zero. Encontre um 14 .
Não é a tarefa mais fácil, sim ...) Aqui o método "nos dedos" não funcionará. Você tem que escrever fórmulas e resolver equações.
Respostas (em desordem):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Ocorrido? É legal!)
Nem tudo dá certo? Acontece. A propósito, na última tarefa há um ponto sutil. Será necessária atenção na leitura do problema. E lógica.
A solução para todos esses problemas é discutida em detalhes na Seção 555. E o elemento de fantasia para o quarto, e o momento sutil para o sexto, e abordagens gerais para resolver quaisquer problemas para a fórmula do enésimo termo - tudo é pintado. Recomendo.
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A soma de uma progressão aritmética.
A soma de uma progressão aritmética é uma coisa simples. Tanto no significado quanto na fórmula. Mas há todos os tipos de tarefas neste tópico. Do elementar ao bastante sólido.
Primeiro, vamos lidar com o significado e a fórmula da soma. E então decidiremos. Para seu próprio prazer.) O significado da soma é tão simples quanto abaixar. Para encontrar a soma de uma progressão aritmética, basta adicionar cuidadosamente todos os seus membros. Se esses termos forem poucos, você pode adicionar sem nenhuma fórmula. Mas se houver muito, ou muito... a adição é chata.) Nesse caso, a fórmula salva.
A fórmula da soma é simples:
Vamos descobrir que tipo de letras estão incluídas na fórmula. Isso vai esclarecer muito.
S n é a soma de uma progressão aritmética. Resultado da adição tudo membros, com primeiro em último.É importante. Some exatamente tudo membros seguidos, sem intervalos e saltos. E, exatamente, a partir de primeiro. Em problemas como encontrar a soma do terceiro e oitavo termos, ou a soma dos termos cinco ao vigésimo, a aplicação direta da fórmula será decepcionante.)
um 1 - primeiro integrante da progressão. Tudo é claro aqui, é simples primeiro número da linha.
a- último integrante da progressão. O último número da linha. Não é um nome muito familiar, mas, quando aplicado à quantidade, é muito adequado. Então você vai ver por si mesmo.
n é o número do último membro. É importante entender que na fórmula esse número coincide com o número de termos adicionados.
Vamos definir o conceito último membro a. Pergunta de preenchimento: que tipo de membro último, se dado sem fim progressão aritmética?
Para uma resposta segura, você precisa entender o significado elementar de uma progressão aritmética e... leia a tarefa com atenção!)
Na tarefa de encontrar a soma de uma progressão aritmética, o último termo sempre aparece (direta ou indiretamente), que deve ser limitado. Caso contrário, uma quantidade finita e específica simplesmente não existe. Para a solução, não importa que tipo de progressão é dada: finita ou infinita. Não importa como é dado: por uma série de números, ou pela fórmula do enésimo membro.
O mais importante é entender que a fórmula funciona do primeiro termo da progressão até o termo com o número n. Na verdade, o nome completo da fórmula se parece com isso: a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética. O número desses primeiros membros, ou seja, n, é determinado exclusivamente pela tarefa. Na tarefa, muitas vezes, toda essa informação valiosa é criptografada, sim... Mas nada, nos exemplos abaixo vamos revelar esses segredos.)
Exemplos de tarefas para a soma de uma progressão aritmética.
Antes de mais nada, informações úteis:
A principal dificuldade em tarefas para a soma de uma progressão aritmética é a determinação correta dos elementos da fórmula.
Os autores das atribuições criptografam esses mesmos elementos com imaginação sem limites.) O principal aqui é não ter medo. Entendendo a essência dos elementos, basta decifrá-los. Vamos dar uma olhada em alguns exemplos em detalhes. Vamos começar com uma tarefa baseada em um GIA real.
1. A progressão aritmética é dada pela condição: a n = 2n-3,5. Encontre a soma dos 10 primeiros termos.
Bom trabalho. Fácil.) Para determinar a quantidade de acordo com a fórmula, o que precisamos saber? Primeiro Membro um 1, último termo a, sim o número do último termo n.
Onde obter o último número de membro n? Sim, lá, na condição! Diz encontrar a soma primeiros 10 membros. Bem, qual será o número último, décimo membro?) Você não vai acreditar, o número dele é o décimo!) Portanto, em vez de a vamos substituir na fórmula um 10, mas ao invés n- dez. Novamente, o número do último membro é o mesmo que o número de membros.
Resta determinar um 1 e um 10. Isso é facilmente calculado pela fórmula do enésimo termo, que é dada na declaração do problema. Não sabe como fazer? Visite a lição anterior, sem isso - nada.
um 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
um 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Descobrimos o significado de todos os elementos da fórmula para a soma de uma progressão aritmética. Resta substituí-los e contar:
Isso é tudo o que há para isso. Resposta: 75.
Outra tarefa baseada no GIA. Um pouco mais complicado:
2. Dada uma progressão aritmética (a n), cuja diferença é 3,7; a 1 \u003d 2.3. Encontre a soma dos 15 primeiros termos.
Imediatamente escrevemos a fórmula da soma:
Esta fórmula nos permite encontrar o valor de qualquer membro pelo seu número. Estamos procurando uma substituição simples:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Resta substituir todos os elementos da fórmula pela soma de uma progressão aritmética e calcular a resposta:
Resposta: 423.
A propósito, se na fórmula da soma em vez de a basta substituir a fórmula do enésimo termo, temos:
Damos semelhantes, obtemos uma nova fórmula para a soma dos membros de uma progressão aritmética:
 |
Como você pode ver, o enésimo termo não é necessário aqui. a. Em algumas tarefas, essa fórmula ajuda muito, sim... Você pode lembrar dessa fórmula. E você pode simplesmente retirá-lo no momento certo, como aqui. Afinal, a fórmula da soma e a fórmula do enésimo termo devem ser lembradas de todas as maneiras.)
Agora a tarefa na forma de uma criptografia curta):
3. Encontre a soma de todos os números positivos de dois dígitos que são múltiplos de três.
Quão! Sem primeiro membro, sem último, sem progressão alguma... Como viver!?
Você terá que pensar com a cabeça e retirar da condição todos os elementos da soma de uma progressão aritmética. O que são números de dois dígitos - nós sabemos. Eles consistem em dois números.) Que número de dois dígitos primeiro? 10, presumivelmente.) última coisa número de dois dígitos? 99, claro! Os de três dígitos o seguirão ...
Múltiplos de três... Hm... Estes são números que são divisíveis por três, aqui! Dez não é divisível por três, 11 não é divisível... 12... é divisível! Então, algo está surgindo. Você já pode escrever uma série de acordo com a condição do problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Esta série será uma progressão aritmética? Certamente! Cada termo difere do anterior estritamente por três. Se 2, ou 4, for adicionado ao termo, digamos, o resultado, ou seja, um novo número não será mais dividido por 3. Você pode determinar imediatamente a diferença da progressão aritmética para a pilha: d = 3.Útil!)
Assim, podemos anotar com segurança alguns parâmetros de progressão:
Qual será o número núltimo membro? Quem pensa que 99 está fatalmente enganado... Números - eles sempre seguem em uma fila, e nossos membros saltam sobre os três primeiros. Eles não combinam.
Há duas soluções aqui. Uma maneira é para o super trabalhador. Você pode pintar a progressão, toda a série de números e contar o número de termos com o dedo.) A segunda maneira é para os pensativos. Você precisa se lembrar da fórmula para o enésimo termo. Se a fórmula for aplicada ao nosso problema, obtemos que 99 é o trigésimo membro da progressão. Aqueles. n = 30.
Vejamos a fórmula para a soma de uma progressão aritmética:
Olhamos e nos alegramos.) Retiramos tudo o que era necessário para calcular o valor da condição do problema:
um 1= 12.
um 30= 99.
S n = S 30.
O que resta é aritmética elementar. Substitua os números na fórmula e calcule:
Resposta: 1665
Outro tipo de quebra-cabeças populares:
4. Uma progressão aritmética é dada:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Encontre a soma dos termos do vigésimo ao trigésimo quarto.
Nós olhamos para a fórmula da soma e... ficamos chateados.) A fórmula, deixe-me lembrá-lo, calcula a soma desde o primeiro membro. E no problema você precisa calcular a soma desde o vigésimo... A fórmula não vai funcionar.
Você pode, é claro, pintar toda a progressão em uma linha e colocar os membros de 20 a 34. Mas ... de alguma forma, isso acaba estupidamente e por muito tempo, certo?)
Existe uma solução mais elegante. Vamos dividir nossa série em duas partes. A primeira parte vai do primeiro ao décimo nono mandato. Segunda parte - vinte a trinta e quatro.É claro que se calcularmos a soma dos termos da primeira parte S 1-19, vamos adicioná-lo à soma dos membros da segunda parte S 20-34, obtemos a soma da progressão do primeiro termo ao trigésimo quarto S 1-34. Assim:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Isso mostra que para encontrar a soma S 20-34 pode ser feito por simples subtração
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Ambas as somas do lado direito são consideradas desde o primeiro membro, ou seja a fórmula de soma padrão é bastante aplicável a eles. Estamos começando?
Extraímos os parâmetros de progressão da condição da tarefa:
d = 1,5.
um 1= -21,5.
Para calcular as somas dos primeiros 19 e dos primeiros 34 termos, precisaremos dos 19º e 34º termos. Nós os contamos de acordo com a fórmula do enésimo termo, como no problema 2:
um 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
um 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Não sobrou nada. Subtraia a soma de 19 termos da soma de 34 termos:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Resposta: 262,5
Uma observação importante! Há um recurso muito útil para resolver esse problema. Em vez de cálculo direto o que você precisa (S 20-34), nós contamos o que, ao que parece, não é necessário - S 1-19. E então eles determinaram S 20-34, descartando o desnecessário do resultado completo. Essa "finta com as orelhas" geralmente salva em quebra-cabeças malignos.)
Nesta lição, consideramos problemas para cuja solução basta entender o significado da soma de uma progressão aritmética. Bem, você precisa conhecer algumas fórmulas.)
Conselho prático:
Ao resolver qualquer problema para a soma de uma progressão aritmética, recomendo escrever imediatamente as duas fórmulas principais deste tópico.
Fórmula do enésimo membro:
Essas fórmulas lhe dirão imediatamente o que procurar, em que direção pensar para resolver o problema. Ajuda.
E agora as tarefas para solução independente.
5. Encontre a soma de todos os números de dois dígitos que não são divisíveis por três.
Legal?) A dica está escondida na nota do problema 4. Bem, o problema 3 vai ajudar.
6. A progressão aritmética é dada pela condição: a 1 =-5,5; an+1 = an+0,5. Encontre a soma dos primeiros 24 termos.
Incomum?) Esta é uma fórmula recorrente. Você pode ler sobre isso na lição anterior. Não ignore o link, esses quebra-cabeças são frequentemente encontrados no GIA.
7. Vasya economizou dinheiro para o feriado. Tanto quanto 4550 rublos! E decidi dar à pessoa mais amada (eu) alguns dias de felicidade). Viva lindamente sem negar nada a si mesmo. Gaste 500 rublos no primeiro dia e gaste 50 rublos a mais em cada dia subsequente do que no anterior! Até o dinheiro acabar. Quantos dias de felicidade Vasya teve?
É difícil?) Uma fórmula adicional da tarefa 2 ajudará.
Respostas (em desordem): 7, 3240, 6.
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Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")
Uma progressão aritmética é uma série de números em que cada número é maior (ou menor) que o anterior na mesma quantidade.
Este tópico é muitas vezes difícil e incompreensível. Índices de letras, o enésimo membro da progressão, a diferença da progressão - tudo isso é um pouco confuso, sim ... Vamos descobrir o significado da progressão aritmética e tudo funcionará imediatamente.)
O conceito de progressão aritmética.
A progressão aritmética é um conceito muito simples e claro. Dúvida? Em vão.) Veja por si mesmo.
Vou escrever uma série inacabada de números:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Você pode estender esta linha? Quais serão os próximos números, depois dos cinco? Todo mundo... uh..., resumindo, todo mundo vai descobrir que os números 6, 7, 8, 9, etc. vão mais longe.
Vamos complicar a tarefa. Eu dou uma série inacabada de números:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Você pode pegar o padrão, estender a série e nomear sétimo número da linha?
Se você descobriu que esse número é 20 - parabenizo você! Você não só sentiu pontos-chave de uma progressão aritmética, mas também os usou com sucesso nos negócios! Se você não entendeu, continue lendo.
Agora vamos traduzir os pontos-chave das sensações para a matemática.)
Primeiro ponto chave.
A progressão aritmética lida com séries de números. Isso é confuso no início. Estamos acostumados a resolver equações, construir gráficos e tudo mais... E depois estender a série, encontrar o número da série...
Tudo bem. É só que as progressões são o primeiro contato com um novo ramo da matemática. A seção se chama "Série" e trabalha com séries de números e expressões. Acostume-se.)
Segundo ponto chave.
Em uma progressão aritmética, qualquer número difere do anterior pela mesma quantidade.
No primeiro exemplo, essa diferença é uma. Qualquer que seja o número escolhido, é um a mais que o anterior. No segundo - três. Qualquer número é três vezes maior que o anterior. Na verdade, é este momento que nos dá a oportunidade de pegar o padrão e calcular os números subsequentes.
Terceiro ponto chave.
Esse momento não é marcante, sim... Mas muito, muito importante. Ali está ele: cada número de progressão está em seu lugar. Há o primeiro número, há o sétimo, há o quadragésimo quinto, e assim por diante. Se você confundi-los ao acaso, o padrão desaparecerá. A progressão aritmética também desaparecerá. É apenas uma série de números.
Esse é o ponto.
É claro que novos termos e notações aparecem no novo tópico. Eles precisam saber. Caso contrário, você não entenderá a tarefa. Por exemplo, você tem que decidir algo como:
Escreva os primeiros seis termos da progressão aritmética (a n) se a 2 = 5, d = -2,5.
Inspira?) Cartas, alguns índices... E a tarefa, aliás, não poderia ser mais fácil. Você só precisa entender o significado dos termos e notação. Agora vamos dominar este assunto e retornar à tarefa.
Termos e designações.
Progressão aritméticaé uma série de números em que cada número é diferente do anterior pela mesma quantidade.
Esse valor é chamado . Vamos lidar com esse conceito com mais detalhes.
Diferença de progressão aritmética.
Diferença de progressão aritméticaé a quantidade pela qual qualquer número de progressão mais o anterior.
Um ponto importante. Por favor, preste atenção na palavra "mais". Matematicamente, isso significa que cada número de progressão é obtido adicionando a diferença de uma progressão aritmética para o número anterior.
Para calcular, digamos segundo números da linha, é necessário primeiro número adicionar esta mesma diferença de uma progressão aritmética. Para cálculo quinto- a diferença é necessária adicionar para quarto bem, etc
Diferença de progressão aritmética talvez positivo então cada número da série será real mais do que o anterior. Essa progressão é chamada aumentando. Por exemplo:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aqui cada número é adicionando número positivo, +5 ao anterior.
A diferença pode ser negativo então cada número da série será menor que o anterior. Essa progressão é chamada (você não vai acreditar!) diminuindo.
Por exemplo:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aqui cada número é obtido também adicionando ao número anterior, mas já negativo, -5.
A propósito, ao trabalhar com uma progressão, é muito útil determinar imediatamente sua natureza - se está aumentando ou diminuindo. Ajuda muito encontrar seu rumo na decisão, detectar seus erros e corrigi-los antes que seja tarde demais.
Diferença de progressão aritmética geralmente indicado pela letra d.
Como encontrar d? Muito simples. É necessário subtrair de qualquer número da série anterior número. Subtrair. By the way, o resultado da subtração é chamado de "diferença".)
Vamos definir, por exemplo, d para uma progressão aritmética crescente:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Pegamos qualquer número da linha que queremos, por exemplo, 11. Subtrai dela o número anterior Essa. oito:
Essa é a resposta correta. Para esta progressão aritmética, a diferença é três.
Você pode simplesmente pegar qualquer número de progressões, Porque para uma progressão específica d-sempre o mesmo. Pelo menos em algum lugar no início da linha, pelo menos no meio, pelo menos em qualquer lugar. Você não pode pegar apenas o primeiro número. Só porque o primeiro número nenhum anterior.)
Aliás, sabendo disso d=3, encontrar o sétimo número desta progressão é muito simples. Adicionamos 3 ao quinto número - obtemos o sexto, será 17. Adicionamos três ao sexto número, obtemos o sétimo número - vinte.
Vamos definir d para uma progressão aritmética decrescente:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Relembro que, independentemente dos sinais, para determinar d necessário de qualquer número tirar o anterior. Escolhemos qualquer número de progressão, por exemplo -7. Seu número anterior é -2. Então:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
A diferença de uma progressão aritmética pode ser qualquer número: inteiro, fracionário, irracional, qualquer.
Outros termos e designações.
Cada número da série é chamado membro de uma progressão aritmética.
Cada membro da progressão tem o seu número. Os números estão estritamente em ordem, sem nenhum truque. Primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Por exemplo, na progressão 2, 5, 8, 11, 14, ... dois é o primeiro membro, cinco é o segundo, onze é o quarto, bem, você entende ...) Por favor, entenda claramente - os próprios números pode ser absolutamente qualquer, inteiro, fracionário, negativo, o que for, mas numeração- estritamente em ordem!
Como escrever uma progressão na forma geral? Sem problemas! Cada número da série é escrito como uma letra. Para denotar uma progressão aritmética, como regra, a letra é usada uma. O número do membro é indicado pelo índice no canto inferior direito. Os membros são escritos separados por vírgulas (ou ponto e vírgula), assim:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
um 1é o primeiro número um 3- terceiro, etc Nada complicado. Você pode escrever esta série brevemente assim: (a).
Existem progressões finito e infinito.
final a progressão tem um número limitado de membros. Cinco, trinta e oito, tanto faz. Mas é um número finito.
Sem fim progressão - tem um número infinito de membros, como você pode imaginar.)
Você pode escrever uma progressão final através de uma série como esta, todos os membros e um ponto no final:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Ou assim, se houver muitos membros:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Em uma entrada curta, você terá que indicar adicionalmente o número de membros. Por exemplo (para vinte membros), assim:
(a n), n = 20
Uma progressão infinita pode ser reconhecida pelas reticências no final da linha, como nos exemplos desta lição.
Agora você já pode resolver tarefas. As tarefas são simples, puramente para entender o significado da progressão aritmética.
Exemplos de tarefas para progressão aritmética.
Vamos dar uma olhada na tarefa acima:
1. Escreva os primeiros seis membros da progressão aritmética (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.
Traduzimos a tarefa em linguagem compreensível. Dada uma progressão aritmética infinita. O segundo número desta progressão é conhecido: a 2 = 5. Diferença de progressão conhecida: d = -2,5. Precisamos encontrar o primeiro, terceiro, quarto, quinto e sexto membros desta progressão.
Para maior clareza, vou escrever uma série de acordo com a condição do problema. Os primeiros seis membros, onde o segundo membro é cinco:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
um 3 = um 2 + d
Substituímos na expressão a 2 = 5 e d=-2,5. Não se esqueça do menos!
um 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
O terceiro termo é menor que o segundo. Tudo é lógico. Se o número for maior que o anterior negativo valor, então o próprio número será menor que o anterior. A progressão está diminuindo. Ok, vamos levar isso em consideração.) Consideramos o quarto membro da nossa série:
um 4 = um 3 + d
um 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
um 5 = um 4 + d
um 5=0+(-2,5)= - 2,5
um 6 = um 5 + d
um 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Assim, os termos do terceiro ao sexto foram calculados. Isso resultou em uma série:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Resta encontrar o primeiro termo um 1 segundo o conhecido segundo. Este é um passo na outra direção, para a esquerda.) Daí, a diferença da progressão aritmética d não deve ser adicionado um 2, uma Leve embora:
um 1 = um 2 - d
um 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Isso é tudo o que há para isso. Resposta da tarefa:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
De passagem, observo que resolvemos essa tarefa recorrente maneira. Esta palavra terrível significa, apenas, a busca de um membro da progressão pelo número anterior (adjacente). Outras formas de trabalhar com progressão serão discutidas posteriormente.
Uma conclusão importante pode ser tirada dessa tarefa simples.
Lembrar:
Se conhecermos pelo menos um membro e a diferença de uma progressão aritmética, podemos encontrar qualquer membro dessa progressão.
Lembrar? Esta simples conclusão permite-nos resolver a maioria dos problemas do curso escolar sobre este tema. Todas as tarefas giram em torno de três parâmetros principais: membro de uma progressão aritmética, diferença de uma progressão, número de um membro de uma progressão. Tudo.
É claro que toda álgebra anterior não é cancelada.) Desigualdades, equações e outras coisas são anexadas à progressão. Mas de acordo com a progressão- tudo gira em torno de três parâmetros.
Por exemplo, considere algumas tarefas populares sobre este tópico.
2. Escreva a progressão aritmética final como uma série se n=5, d=0,4 e a 1=3,6.
Tudo é simples aqui. Tudo já está dado. Você precisa se lembrar de como os membros de uma progressão aritmética são calculados, contados e anotados. É aconselhável não pular as palavras na condição de tarefa: "final" e " n=5". Para não contar até ficar completamente azul de cara.) Existem apenas 5 (cinco) membros nesta progressão:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
um 4 = um 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
um 5 = um 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Resta anotar a resposta:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Outra tarefa:
3. Determine se o número 7 será membro de uma progressão aritmética (a n) se a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hum... Quem sabe? Como definir algo?
Como-como... Sim, anote a progressão em forma de série e veja se haverá um sete ou não! Acreditamos:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
um 4 = um 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Agora vê-se claramente que somos apenas sete escorregou entre 6,5 e 7,7! O sete não entrou em nossa série de números e, portanto, o sete não será membro da progressão dada.
Resposta: não.
E aqui está uma tarefa baseada em uma versão real do GIA:
4. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:
...; quinze; X; nove; 6; ...
Aqui está uma série sem fim e sem começo. Sem números de membros, sem diferença d. Tudo bem. Para resolver o problema, basta entender o significado de uma progressão aritmética. Vamos ver e ver o que podemos descobrir desta linha? Quais são os parâmetros dos três principais?
Números de membros? Não há um único número aqui.
Mas há três números e - atenção! - palavra "consecutivo" em condição. Isso significa que os números estão estritamente em ordem, sem lacunas. Há dois nesta fileira? vizinho números conhecidos? Sim, eu tenho! Estes são 9 e 6. Assim podemos calcular a diferença de uma progressão aritmética! Subtraímos dos seis anterior número, ou seja nove:
Restam espaços vazios. Qual será o número anterior para x? Quinze. Então x pode ser facilmente encontrado por simples adição. Para 15 adicione a diferença de uma progressão aritmética:
Isso é tudo. Responda: x=12
Nós mesmos resolvemos os seguintes problemas. Nota: estes quebra-cabeças não são para fórmulas. Puramente para entender o significado de uma progressão aritmética.) Nós apenas escrevemos uma série de números-letras, olhamos e pensamos.
5. Encontre o primeiro termo positivo da progressão aritmética se a 5 = -3; d = 1,1.
6. Sabe-se que o número 5,5 é membro da progressão aritmética (a n), onde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determine o número n desse membro.
7. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Encontre um 3 .
8. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Encontre o termo da progressão, denotado pela letra x.
9. O trem começou a se mover da estação, aumentando gradativamente sua velocidade em 30 metros por minuto. Qual será a velocidade do trem em cinco minutos? Dê sua resposta em km/h.
10. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 5; a 6 = -5. Encontre um 1.
Respostas (em desordem): 7,7; 7,5; 9,5; nove; 0,3; 4.
Deu tudo certo? Incrível! Você pode aprender progressão aritmética em um nível superior nas lições a seguir.
Não deu tudo certo? Sem problemas. Na Seção Especial 555, todos esses problemas são divididos em pedaços.) E, claro, é descrita uma técnica prática simples que imediatamente destaca a solução de tais tarefas de forma clara, clara, como na palma da sua mão!
A propósito, no quebra-cabeça sobre o trem, existem dois problemas nos quais as pessoas costumam tropeçar. Um - puramente por progressão, e o segundo - comum a qualquer tarefa em matemática e física também. Esta é uma tradução de dimensões de uma para outra. Mostra como esses problemas devem ser resolvidos.
Nesta lição, examinamos o significado elementar de uma progressão aritmética e seus principais parâmetros. Isso é suficiente para resolver quase todos os problemas sobre este tópico. Adicionar d aos números, escreva uma série, tudo será decidido.
A solução finger funciona bem para peças muito curtas da série, como nos exemplos desta lição. Se a série for mais longa, os cálculos se tornam mais complicados. Por exemplo, se estiver no problema 9 da pergunta, substitua "cinco minutos" no "trinta e cinco minutos" o problema se tornará muito pior.)
E também há tarefas que são simples em sua essência, mas totalmente absurdas em termos de cálculos, por exemplo:
Dada uma progressão aritmética (a n). Encontre um 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.
E o que, vamos adicionar 1/6 muitas, muitas vezes?! É possível se matar!?
Você pode.) Se você não conhece uma fórmula simples pela qual você pode resolver essas tarefas em um minuto. Esta fórmula estará na próxima lição. E esse problema está resolvido lá. Em um minuto.)
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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
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