SOLUÇÃO DE DESIGUALDADES LINEARES

As propriedades das igualdades numéricas nos ajudaram a resolver equações, ou seja, encontrar aqueles valores da variável para os quais a equação se transforma em uma verdadeira igualdade numérica. Da mesma forma, as propriedades das desigualdades numéricas nos ajudarão a resolver as desigualdades com uma variável, ou seja, encontrar aqueles valores da variável para os quais a desigualdade com a variável se transforma em uma verdadeira desigualdade numérica. Cada um desses valores de uma variável é geralmente chamado de solução para uma desigualdade com uma variável.

Considere, por exemplo, a desigualdade

2x + 5< 7.

Substituindo em vez de X significado 0 , Nós temos 5 < 7 - verdadeira desigualdade; meios, x = 0 X significado 1 , Nós temos 7 < 7 - desigualdade errada; É por isso x = 1 não é uma solução para esta desigualdade. Substituindo em vez de X significado -3 , Nós temos -6 + 5 < 7 , ou seja - 1 < 7 - verdadeira desigualdade; conseqüentemente, x = -3é a solução dessa desigualdade. Substituindo em vez de X significado 2,5 , Nós temos 2 - 2,5 + 5 < 7 , ou seja 10 < 7 - desigualdade errada. Meios, x = 2,5 não é solução da desigualdade.

Mas você entende que este é um beco sem saída: nem um único matemático resolverá uma desigualdade dessa maneira, porque todos os números não podem ser classificados! É aqui que você precisa usar as propriedades das desigualdades numéricas, argumentando da seguinte maneira.

Estamos interessados ​​em tais números X, em qual 2x + 5< 7 - corrigir a desigualdade numérica. Mas então e 2x + 5 - 5< 7 - 5 - desigualdade verdadeira (de acordo com a propriedade 2: o mesmo número foi adicionado a ambas as partes da desigualdade - 5 ). Temos uma desigualdade mais simples 2x< 2 . Dividindo ambas as suas partes por um número positivo 2 , obtemos (com base na propriedade 3) a desigualdade correta X< 1 .

O que isso significa? Isso significa que a solução da inequação é qualquer número X, que é menos 1 . Esses números preenchem o feixe aberto (-∞, 1) . Costuma-se dizer que este raio é uma solução para a desigualdade 2x + 5< 7 (Seria mais correto falar de um conjunto de soluções, mas os matemáticos, como sempre, são econômicos nas palavras). Assim, podemos usar duas opções para escrever soluções para esta desigualdade: X< 1 ou (-∞, 1) .

As propriedades das inequações numéricas nos permitem ser guiados pelas seguintes regras ao resolver inequações:

Regra 1. Qualquer termo da desigualdade pode ser transferido de uma parte da desigualdade para outra de sinal oposto sem alterar o sinal da desigualdade.

Regra 2. Ambas as partes de uma inequação podem ser multiplicadas ou divididas pelo mesmo número positivo sem alterar o sinal da inequação.

Regra 3. Ambas as partes da inequação podem ser multiplicadas ou divididas pelo mesmo número negativo, alterando o sinal da inequação para o oposto.

Vamos aplicar essas regras para resolver desigualdades lineares, ou seja, desigualdades que se reduzem à forma ax + b > 0(ou machado + b< 0 ),

Onde uma e b- qualquer número, com uma exceção: a ≠ 0.

Exemplo 1

Resolva a desigualdade Zx - 5 ≥ 7x - 15.

Decisão.

Vamos mover um membro 7x para o lado esquerdo da desigualdade, e o termo - 5 - para o lado direito da desigualdade, sem esquecer de alterar os sinais do membro 7x, e o membro -5 (somos guiados pela regra 1). Então obtemos

Zx - 7x ≥ - 15 + 5, ou seja - 4x ≥ - 10.

Divida ambas as partes da última inequação pelo mesmo número negativo - 4 , não esquecendo de passar à desigualdade de sentido contrário (orientada pela regra 3). Obter X< 2,5 . Esta é a solução da desigualdade dada.

Como combinamos, para escrever a solução, você pode usar a notação do intervalo correspondente da reta numérica: (-∞, 2,5] .

Responda: X< 2,5 , ou (-∞, 2,5] .

Para as desigualdades, assim como para as equações, introduz-se o conceito de equivalência. Duas desigualdades f(x)< g(x) и r(x) < s(x) chamado equivalente se tiverem as mesmas soluções (ou, em particular, se ambas as desigualdades não tiverem soluções).

Normalmente, ao resolver uma inequação, eles tentam substituir essa inequação por uma mais simples, mas equivalente a ela. Essa substituição é chamada transformação equivalente da desigualdade. Essas transformações são apenas indicadas nas regras 1-3 formuladas acima.

Exemplo 2

Resolva a desigualdade

Decisão.

Multiplicar ambos os lados da desigualdade por um número positivo 15 , deixando o sinal de desigualdade inalterado (regra 2), Isso nos permitirá nos livrar dos denominadores, ou seja, ir para uma desigualdade mais simples equivalente à dada:

Usando a regra 1 para a última desigualdade, obtemos uma desigualdade mais simples equivalente a ela:

Finalmente, aplicando a regra 3, obtemos

Resposta: ou

Em conclusão, notamos que, usando as propriedades das desigualdades numéricas, é claro que não podemos resolver nenhuma desigualdade com uma variável, mas apenas uma que, após uma série de transformações simples (como as que foram realizadas nos exemplos de este parágrafo), assume a forma machado > b(em vez do sinal >, é claro, pode haver qualquer outro sinal de desigualdade, estrito ou não estrito).

§ 1 Desigualdades lineares

Nesta lição, introduziremos a definição de uma desigualdade linear. Considere as propriedades usadas na resolução de desigualdades lineares. Vamos aprender como resolver inequações lineares.

Uma desigualdade linear é uma desigualdade da forma ax + b > 0 ou ax + b< 0, где переменная или искомая величина, a и b- некоторые числа, причем a ≠ 0.

Como a desigualdade pode ser estrita e não estrita, as desigualdades lineares podem ter a seguinte forma ax+ b ≥0, ax+ b ≤ 0.

A desigualdade é linear, pois x está incluído na desigualdade até o primeiro grau.

A solução para uma desigualdade linear é o valor da variável x, no qual a desigualdade se transforma em uma verdadeira desigualdade numérica.

Tome a desigualdade 2x+5 > 0.

Substitua x por zero. Obtemos 5 > 0. Esta é a desigualdade correta. Então x=0 é uma solução para a desigualdade 2x+5>0.

Substituindo o valor -2,5 em vez de x, obtemos 0 > 0. Esta é uma desigualdade incorreta. Portanto, x= -2,5 não é uma solução para a desigualdade linear 2x + 5>0. Ao escolher os valores de x, pode-se encontrar várias soluções mais particulares.

Encontrar todas as soluções ou provar que uma desigualdade não tem soluções significa resolver uma desigualdade linear.

As desigualdades que têm as mesmas soluções são chamadas equivalentes.

Ao resolver inequações, são usadas regras que podem ser usadas para obter inequações equivalentes que são mais fáceis de resolver.

§ 2 Exemplos de resolução de desigualdades lineares

Vamos resolver a desigualdade 2x+5>0. E a primeira regra que pode ser usada aqui é: se transferirmos o termo da desigualdade de uma parte da desigualdade para outra de sinal oposto, sem alterar o sinal da desigualdade, obtemos uma desigualdade equivalente.

Divida ambos os lados da inequação por 2. Obtemos x > -2,5.

A resposta pode ser escrita assim: x > -2,5 ou como um intervalo numérico

O resultado é um feixe aberto direcionado positivamente.

Aberto, pois nossa desigualdade é estrita, o que significa que o número -2,5 não está incluído no intervalo numérico.

Vamos resolver outra desigualdade linear 3x - 3 ≥ 7x - 15.

Assim como ao resolver equações lineares, movemos os termos com x para a esquerda e os termos numéricos para a direita. Não nos esqueçamos de mudar os sinais dos termos para o oposto ao transferir. Com base na primeira regra, o sinal de desigualdade não muda.

Obtemos 3x - 7x ≥ -15 + 3 ou -4x ≥ -12.

Em seguida, usamos a terceira regra: se ambas as partes da desigualdade forem multiplicadas ou divididas pelo mesmo número negativo, enquanto alteramos o sinal da desigualdade para o oposto, obtemos uma desigualdade equivalente.

Divida ambos os lados da inequação por -4.

Obtemos x ≤ 3.

Vamos mostrar a solução no eixo x.

O resultado é um feixe fechado negativamente direcional. Fechado, pois nossa desigualdade não é estrita, o que significa que o número 3 está incluído no intervalo numérico.

Considere a solução de uma desigualdade linear mais complexa

Usando a segunda regra, multiplicamos ambas as partes da desigualdade pelo número 15. O número 15 será o denominador comum das frações.

Multiplique os numeradores por fatores adicionais.

Obtemos a desigualdade 5x + 6x - 3 > 30x.

Usando a regra um, transferimos os termos de x para a esquerda, os termos numéricos para a direita, mudando os sinais ao transferir para o oposto.

Obtemos -19x > 3.

Aplique a regra três, divida ambos os lados da desigualdade por -19. Nesse caso, você precisa alterar o sinal de desigualdade para o sinal oposto.

Vamos mostrar a solução no eixo x.

O resultado é um raio aberto, porque a desigualdade é estrita, o que significa que o número não está incluído no intervalo numérico. Este é um feixe direcionado negativamente.

Resolvemos a seguinte desigualdade

Multiplique ambos os lados da desigualdade por 4.

Obtemos 5 - 2x ≤ 8x. Mova os termos de x para a esquerda, os termos numéricos para a direita

2x - 8x ≤ -5 ou -10x ≤ -5.

Divida ambos os lados da inequação por -10. Este número é negativo, de acordo com a regra 3, é necessário mudar o sinal de desigualdade para o oposto.

Obtemos x≥0,5.

Vamos mostrar a solução no eixo x.

O resultado é um raio fechado, pois a desigualdade não é estrita, o que significa que o número 0,5 está incluído no intervalo numérico. Este é um feixe dirigido positivamente.

Ao resolver desigualdades após transformações, pode acontecer que o coeficiente em x seja igual a zero, por exemplo, 0∙x> b (ou 0∙x< b). Такое неравенство не имеет решений или решением является любое число.

Resolva a desigualdade 2(x + 8) -5x< 4-3х.

Vamos abrir os colchetes 2x + 16 - 5x< 4 - 3х.

Usando a propriedade um, movemos os termos de x para a esquerda e os números para a direita, obtemos 0∙x< -12. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 < -12. Это неверное неравенство.

Resposta: nenhuma solução ou conjunto vazio.

Vamos resolver outra desigualdade x > x - 1.

Vamos mover x da direita para a esquerda, obtemos 0∙x > -1. Para qualquer valor de x, a desigualdade se transforma na desigualdade 0 > -1. Essa é a desigualdade correta.

§ 3 Resumo da lição

Importante lembrar:

Uma desigualdade linear é uma desigualdade da forma ax + b > 0 (ou ax + b< 0, aх+ b ≥ 0, aх+ b≤ 0), где х - переменная, a и b- некоторые числа, причем a≠0.

Resolver uma inequação significa encontrar todas as suas soluções ou provar que não há soluções.

Ao resolver inequações lineares, são usadas regras que permitem substituir essa inequação por inequações equivalentes mais fáceis de resolver:

1) se o termo da desigualdade for transferido de uma parte da desigualdade para outra de sinal oposto, sem alterar o sinal da desigualdade, obtemos uma desigualdade equivalente;

2) se ambas as partes da desigualdade forem multiplicadas ou divididas pelo mesmo número positivo sem alterar o sinal da desigualdade, obtemos uma desigualdade equivalente;

3) se ambas as partes da inequação são multiplicadas ou divididas pelo mesmo número negativo, mudando o sinal da inequação para o oposto, obtemos uma inequação equivalente.

O objetivo de aplicar essas regras é reduzir a desigualdade linear à forma x > b/a ou x< b/a.

A solução para uma desigualdade linear é um intervalo numérico. Pode ser um feixe numérico aberto ou fechado, que pode ser

direção positiva e direção negativa.

Lista de literatura usada:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B., editado por Telyakovsky S.A. Álgebra: livro. para 8 células. Educação geral instituições. - M.: Educação, 2013.
2. Mordkovitch A. G. Álgebra. Grau 8: Em duas partes. Parte 1: Proc. para educação geral instituições. - M.: Mnemosine.
3. Rurukin A. N. Desenvolvimentos de aulas em álgebra: 8ª série. - M.: VAKO, 2010.
4. Álgebra 8ª série: planos de aula de acordo com o livro de Yu.N. Makarycheva, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L. A. Tapilina. - Volgogrado: Professor, 2005.

O que você precisa saber sobre ícones de desigualdade? Desigualdades de ícones mais (> ), ou menor (< ) são chamados estrito. Com ícones mais ou igual (≥ ), menor ou igual (≤ ) são chamados não estrita.Ícone não igual (≠ ) fica sozinho, mas você também precisa resolver exemplos com esse ícone o tempo todo. E nós vamos.)

O ícone em si não tem muito efeito no processo de solução. Mas ao final da solução, ao escolher a resposta final, o significado do ícone aparece com força total! Como veremos a seguir, nos exemplos. Tem algumas piadas...

As desigualdades, como as igualdades, são fiel e infiel. Tudo é simples aqui, sem truques. digamos 5 > 2 é a desigualdade correta. 5 < 2 está incorreto.

Essa preparação funciona para desigualdades qualquer tipo e simples para horror.) Você só precisa executar corretamente duas (apenas duas!) ações elementares. Essas ações são familiares a todos. Mas, o que é característico, os batentes nessas ações são o principal erro na resolução de desigualdades, sim... Portanto, essas ações devem ser repetidas. Essas ações são chamadas assim:

Transformações identitárias das desigualdades.

As transformações de identidade de desigualdades são muito semelhantes às transformações de identidade de equações. Na verdade, esse é o principal problema. As diferenças passam pela cabeça e... chegam.) Portanto, destaco essas diferenças em particular. Então, a primeira transformação idêntica de desigualdades:

1. O mesmo número ou expressão pode ser adicionado (subtraído) a ambas as partes da desigualdade. Algum. O sinal de desigualdade não mudará.

Na prática, essa regra é aplicada como uma transferência de termos do lado esquerdo da desigualdade para o lado direito (e vice-versa) com mudança de sinal. Com uma mudança no sinal do termo, não a desigualdade! A regra individual é a mesma que a regra para equações. Mas as seguintes transformações idênticas em desigualdades diferem significativamente daquelas em equações. Então eu os destaco em vermelho:

2. Ambas as partes da desigualdade podem ser multiplicadas (divididas) pelo mesmopositivonúmero. Para qualquerpositivo Não mudará.

3. Ambas as partes da desigualdade podem ser multiplicadas (divididas) pelo mesmonegativo número. Para qualquernegativonúmero. O sinal de desigualdade destamudará para o contrário.

Você se lembra (espero...) que uma equação pode ser multiplicada/dividida por qualquer coisa. E para qualquer número e para uma expressão com x. Desde que não seja zero. Ele, a equação, não é nem quente nem frio por causa disso.) Não muda. Mas as desigualdades são mais sensíveis à multiplicação/divisão.

Um bom exemplo para uma memória longa. Escrevemos uma desigualdade que não causa dúvidas:

5 > 2

Multiplique os dois lados por +3, Nós temos:

15 > 6

Existem objeções? Não há objeções.) E se multiplicarmos ambas as partes da desigualdade original por -3, Nós temos:

15 > -6

E isso é uma mentira deslavada.) Uma mentira completa! Enganando o povo! Mas assim que o sinal da desigualdade é invertido, tudo se encaixa:

15 < -6

Sobre mentiras e enganos - eu não apenas juro.) "Esqueci de mudar o sinal de desigualdade..."- Esse casa erro na resolução de inequações. Essa regra insignificante e descomplicada prejudicou tantas pessoas! Quem se esqueceu...) Então eu juro. Talvez lembre-se...)

Aqueles que estiverem especialmente atentos notarão que a desigualdade não pode ser multiplicada por uma expressão com x. Respeito atento!) E por que não? A resposta é simples. Não conhecemos o sinal desta expressão com x. Pode ser positivo, negativo... Portanto, não sabemos qual sinal de desigualdade colocar após a multiplicação. Mudar ou não? Desconhecido. Claro, essa limitação (a proibição de multiplicar/dividir uma desigualdade por uma expressão com x) pode ser contornada. Se você realmente precisa. Mas isso é assunto para outras aulas.

São todas transformações idênticas de desigualdades. Deixe-me lembrá-lo novamente que eles trabalham para algum desigualdades. E agora você pode passar para tipos específicos.

Desigualdades lineares. Solução, exemplos.

As desigualdades lineares são chamadas de desigualdades em que x está no primeiro grau e não há divisão por x. Tipo:

x+3 > 5x-5

Como essas desigualdades são resolvidas? Eles são muito fáceis de resolver! Ou seja: com a ajuda, reduzimos a desigualdade linear mais confusa direto para a resposta. Essa é toda a solução. Destaco os principais pontos da solução. Para evitar erros estúpidos.)

Resolvemos esta desigualdade:

x+3 > 5x-5

Resolvemos da mesma forma que uma equação linear. Com a única diferença:

Preste muita atenção ao sinal de desigualdade!

O primeiro passo é o mais comum. Com x - à esquerda, sem x - à direita ... Esta é a primeira transformação idêntica, simples e sem problemas.) Só não se esqueça de alterar os sinais dos membros transferidos.

O sinal de desigualdade é preservado:

x-5x > -5-3

Apresentamos semelhantes.

O sinal de desigualdade é preservado:

4x > -8

Resta aplicar a última transformação idêntica: divida ambas as partes por -4.

Dividido por negativo número.

O sinal de desigualdade será invertido:

X < 2

Esta é a resposta.

É assim que todas as desigualdades lineares são resolvidas.

Atenção! O ponto 2 é desenhado em branco, ou seja. sem pintura. Vazio por dentro. Isso significa que ela não está incluída na resposta! Eu a desenhei tão saudável de propósito. Tal ponto (vazio, não saudável!)) em matemática é chamado ponto perfurado.

Os números restantes no eixo podem ser marcados, mas não é necessário. Números estranhos que não estão relacionados à nossa desigualdade podem ser confusos, sim... Você só precisa lembrar que o aumento dos números vai na direção da seta, ou seja, números 3, 4, 5, etc. estão Para a direita dois, e os números 1, 0, -1, etc. - Para a esquerda.

Desigualdade x < 2 - estrito. X é estritamente menor que dois. Na dúvida, a verificação é simples. Substituímos um número duvidoso na desigualdade e pensamos: "Dois é menos que dois? Claro que não!" Exatamente. Desigualdade 2 < 2 errado. Um empate não é bom para uma resposta.

Um único é bom o suficiente? Certamente. Menos... E zero é bom, e -17 e 0,34... Sim, todos os números menores que dois são bons! E até 1,9999.... Pelo menos um pouco, mas menos!

Então, marcamos todos esses números no eixo numérico. Como? Existem opções aqui. A primeira opção é a eclosão. Apontamos o mouse para a imagem (ou tocamos na imagem no tablet) e vemos que a área dos x's que correspondem à condição x está sombreada < 2 . Isso é tudo.

Vamos considerar a segunda opção no segundo exemplo:

X ≥ -0,5

Desenhe um eixo, marque o número -0,5. Assim:

Você notou a diferença?) Bem, sim, é difícil não notar... Este ponto é preto! Pintado por cima. Isso significa que -0,5 incluído na resposta. Aqui, a propósito, verificar e confundir alguém. Substituímos:

-0,5 ≥ -0,5

Como assim? -0,5 nada mais é do que -0,5! Tem mais ícone...

Tudo bem. Em uma desigualdade não estrita, tudo o que se encaixa no ícone é adequado. E é igual a caber e mais Boa. Portanto, -0,5 é incluído na resposta.

Então, marcamos -0,5 no eixo, resta marcar todos os números maiores que -0,5. Desta vez eu marco o intervalo de valores x adequados algemar(da palavra arco) em vez de eclodir. Passe o mouse sobre a imagem e veja este arco.

Não há diferença particular entre eclosão e arcos. Faça como o professor diz. Se não houver professor, desenhe os braços. Em tarefas mais complexas, a eclosão é menos óbvia. Você pode ficar confuso.

É assim que as desigualdades lineares são desenhadas no eixo. Passamos para a próxima singularidade de desigualdades.

Escreva uma resposta para as desigualdades.

Foi bom nas equações.) Encontramos x e anotamos a resposta, por exemplo: x \u003d 3. Nas desigualdades, existem duas formas de escrever as respostas. Um - na forma de desigualdade final. Bom para casos simples. Por exemplo:

X< 2.

Esta é uma resposta completa.

Às vezes é necessário escrever a mesma coisa, mas de forma diferente, por meio de lacunas numéricas. Então a entrada começa a parecer muito científica):

x ∈ (-∞; 2)

Sob o ícone ∈ escondendo a palavra "pertence".

A entrada fica assim: x pertence ao intervalo de menos infinito a dois não incluindo. Bastante lógico. X pode ser qualquer número de todos os números possíveis de menos infinito a dois. Duplo X não pode ser, que é o que a palavra nos diz "não incluindo".

Onde está na resposta que "não incluindo"? Este fato é observado na resposta. redondo parênteses imediatamente após o empate. Se o deuce fosse incluído, o parêntese seria quadrado. Aqui está: ]. O exemplo a seguir usa esse colchete.

Vamos anotar a resposta: x ≥ -0,5 por intervalos:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lê: x pertence ao intervalo de menos 0,5, Incluindo, até mais infinito.

O infinito nunca pode ligar. Não é um número, é um símbolo. Portanto, em tais entradas, o infinito sempre coexiste com um parêntese.

Essa forma de registro é conveniente para respostas complexas que consistem em várias lacunas. Mas - apenas para as respostas finais. Em resultados intermediários, onde se espera uma solução adicional, é melhor usar a forma usual, na forma de uma desigualdade simples. Trataremos disso nos tópicos relevantes.

Tarefas populares com desigualdades.

As próprias desigualdades lineares são simples. Portanto, as tarefas muitas vezes se tornam mais difíceis. Então, pensar que era necessário. Isso, se por hábito, não é muito agradável.) Mas é útil. Mostrarei exemplos de tais tarefas. Não para você aprendê-los, é supérfluo. E para não ter medo ao encontrar exemplos semelhantes. Um pouco de pensamento - e tudo é simples!)

1. Encontre duas soluções quaisquer para a desigualdade 3x - 3< 0

Se não estiver muito claro o que fazer, lembre-se da regra principal da matemática:

Se você não sabe o que fazer, faça o que puder!

X < 1

E daí? Nada especial. O que estamos sendo perguntados? Somos solicitados a encontrar dois números específicos que são a solução para uma inequação. Aqueles. cabe a resposta. Dois algum números. Na verdade, isso é embaraçoso.) Um par de 0 e 0,5 são adequados. Um par -3 e -8. Sim, há um número infinito desses casais! Qual é a resposta correta?!

Eu respondo: tudo! Qualquer par de números, cada um dos quais é menor que um, seria a resposta correta. Escreva o que quiser. Vamos mais longe.

2. Resolva a desigualdade:

4x - 3 ≠ 0

Trabalhos como este são raros. Mas, como desigualdades auxiliares, ao encontrar a ODZ, por exemplo, ou ao encontrar o domínio de uma função, elas são encontradas o tempo todo. Tal desigualdade linear pode ser resolvida como uma equação linear ordinária. Apenas em todos os lugares, exceto para o sinal "=" ( é igual a) coloque o sinal " ≠ " (não igual). Então você chegará à resposta, com um sinal de desigualdade:

X ≠ 0,75

Em exemplos mais complexos, é melhor fazer as coisas de forma diferente. Torne a desigualdade igual. Assim:

4x - 3 = 0

Calmamente resolva como ensinado e obtenha a resposta:

x = 0,75

O principal, bem no final, ao escrever a resposta final, é não esquecer que encontramos x, que dá igualdade. E nós precisamos - desigualdade. Portanto, simplesmente não precisamos deste X.) E precisamos anotá-lo com o ícone correto:

X ≠ 0,75

Essa abordagem resulta em menos erros. Aqueles que resolvem equações na máquina. E para quem não resolve equações, as desigualdades, de fato, são inúteis...) Outro exemplo de tarefa popular:

3. Encontre a menor solução inteira da inequação:

3(x - 1) < 5x + 9

Primeiro, simplesmente resolvemos a desigualdade. Abrimos os colchetes, transferimos, damos semelhantes... Obtemos:

X > - 6

Não aconteceu!? Você seguiu os sinais? E por trás dos sinais dos membros, e por trás do sinal da desigualdade...

Vamos imaginar de novo. Precisamos encontrar um número específico que corresponda tanto à resposta quanto à condição "menor inteiro". Se não perceber imediatamente, você pode simplesmente pegar qualquer número e descobrir. Dois é maior que menos seis? Certamente! Existe um número menor adequado? É claro. Por exemplo, zero é maior que -6. E ainda menos? Precisamos do menor possível! Menos três é mais do que menos seis! Você já pode pegar o padrão e parar de classificar estupidamente os números, certo?)

Tomamos um número mais próximo de -6. Por exemplo, -5. Resposta executada, -5 > - 6. Você consegue encontrar outro número menor que -5, mas maior que -6? Você pode, por exemplo, -5,5 ... Pare! Nos foi dito inteira decisão! Não rola -5,5! E menos seis? Eee! A desigualdade é estrita, menos 6 não é menos que menos 6!

Portanto, a resposta correta é -5.

Espero que tudo fique claro com a escolha do valor da solução geral. Outro exemplo:

4. Resolva a desigualdade:

7 < 3x+1 < 13

Quão! Tal expressão é chamada tripla desigualdade. Estritamente falando, esta é uma notação abreviada do sistema de desigualdades. Mas você ainda tem que resolver essas triplas desigualdades em algumas tarefas... Isso é resolvido sem nenhum sistema. Pelas mesmas transformações idênticas.

É necessário simplificar, trazer essa desigualdade para um X puro. Mas... O que transferir para onde!? Aqui é a hora de lembrar que o deslocamento da esquerda para a direita é forma abreviada a primeira transformação idêntica.

E o formulário completo fica assim: Você pode adicionar/subtrair qualquer número ou expressão para ambas as partes da equação (desigualdade).

Há três partes aqui. Então vamos aplicar transformações idênticas para todas as três partes!

Então, vamos nos livrar daquele na parte do meio da desigualdade. Subtraia um de toda a parte do meio. Para que a desigualdade não mude, subtraímos uma das duas partes restantes. Assim:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Já está melhor, certo?) Resta dividir as três partes em três:

2 < X < 4

Isso é tudo. Esta é a resposta. X pode ser qualquer número de dois (não incluindo) a quatro (não incluindo). Esta resposta também é escrita em intervalos, tais entradas estarão em inequações quadradas. Lá eles são a coisa mais comum.

No final da lição, vou repetir a coisa mais importante. O sucesso na resolução de desigualdades lineares depende da capacidade de transformar e simplificar equações lineares. Se ao mesmo tempo siga o sinal de desigualdade, não haverá problemas. O que eu desejo a você. sem problemas.)

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

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Depois de receber as informações iniciais sobre desigualdades com variáveis, passamos à questão de sua solução. Vamos analisar a solução de desigualdades lineares com uma variável e todos os métodos para sua resolução com algoritmos e exemplos. Serão consideradas apenas equações lineares com uma variável.

O que é uma desigualdade linear?

Primeiro você precisa definir uma equação linear e descobrir sua forma padrão e como ela será diferente das outras. Do percurso escolar temos que as desigualdades não têm uma diferença fundamental, pelo que devem ser utilizadas várias definições.

Definição 1

Desigualdade linear com uma variável x é uma desigualdade da forma a x + b > 0 quando qualquer sinal de desigualdade é usado em vez de >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definição 2

Desigualdades x< c или a · x >c , com x sendo uma variável e a e c alguns números, é chamado desigualdades lineares com uma variável.

Como nada é dito sobre se o coeficiente pode ser igual a 0, então uma desigualdade estrita da forma 0 x > c e 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Suas diferenças são:

• notação a · x + b > 0 na primeira, e a · x > c – na segunda;
• admissibilidade do coeficiente zero a , a ≠ 0 - no primeiro, e a = 0 - no segundo.

Acredita-se que as desigualdades a x + b > 0 e a x > c são equivalentes, pois são obtidas transferindo o termo de uma parte para outra. Resolver a desigualdade 0 · x + 5 > 0 levará ao fato de que ela precisará ser resolvida, e o caso a = 0 não funcionará.

Definição 3

Considera-se que as desigualdades lineares em uma variável x são desigualdades da forma ax + b< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0 e a x + b ≥ 0, onde a e b são números reais. Em vez de x, pode haver um número comum.

Com base na regra, temos que 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 são chamados de lineares.

Como resolver uma inequação linear

A principal maneira de resolver tais desigualdades é usar transformações equivalentes para encontrar as desigualdades elementares x< p (≤ , >, ≥) , p sendo algum número, para a ≠ 0 , e da forma a< p (≤ , >, ≥) para a = 0 .

Para resolver uma inequação com uma variável, você pode aplicar o método intervalar ou representá-la graficamente. Qualquer um deles pode ser usado isoladamente.

Usando transformações equivalentes

Para resolver uma inequação linear da forma a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , é necessário aplicar transformações equivalentes da desigualdade. O coeficiente pode ou não ser zero. Vamos considerar os dois casos. Para esclarecer, é necessário aderir a um esquema composto por 3 pontos: a essência do processo, o algoritmo, a própria solução.

Definição 4

Algoritmo para resolver uma desigualdade linear ax + b< 0 (≤ , >, ≥) para um ≠ 0

• o número b será transferido para o lado direito da desigualdade com o sinal oposto, o que nos permitirá chegar ao equivalente a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• ambas as partes da desigualdade serão divididas por um número diferente de 0. Além disso, quando a é positivo, o sinal permanece, quando a é negativo, muda para o oposto.

Considere a aplicação deste algoritmo para resolver exemplos.

Exemplo 1

Resolva uma inequação da forma 3 · x + 12 ≤ 0 .

Decisão

Esta desigualdade linear tem a = 3 eb = 12 . Portanto, o coeficiente a de x não é igual a zero. Vamos aplicar os algoritmos acima e resolver.

É necessário transferir o termo 12 para outra parte da desigualdade com uma mudança de sinal à sua frente. Então obtemos uma desigualdade da forma 3 · x ≤ − 12 . É necessário dividir ambas as partes por 3. O sinal não mudará porque 3 é um número positivo. Obtemos que (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , que dará o resultado x ≤ − 4 .

Uma desigualdade da forma x ≤ − 4 é equivalente. Ou seja, a solução para 3 x + 12 ≤ 0 é qualquer número real menor ou igual a 4 . A resposta é escrita como uma desigualdade x ≤ − 4 , ou um intervalo numérico da forma (− ∞ , − 4 ] .

Todo o algoritmo descrito acima é escrito da seguinte forma:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Responda: x ≤ − 4 ou (− ∞ , − 4 ] .

Exemplo 2

Indique todas as soluções disponíveis da inequação − 2 , 7 · z > 0 .

Decisão

Da condição vemos que o coeficiente a em z é igual a - 2, 7 e b está explicitamente ausente ou igual a zero. Você não pode usar a primeira etapa do algoritmo, mas imediatamente vá para a segunda.

Dividimos ambas as partes da equação pelo número - 2, 7. Como o número é negativo, é necessário alterar o sinal de desigualdade para o oposto. Ou seja, obtemos que (− 2 , 7 z): (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Escrevemos todo o algoritmo em uma forma curta:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Responda: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Exemplo 3

Resolva a desigualdade - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Decisão

De acordo com a condição, vemos que é necessário resolver a inequação com o coeficiente a para a variável x, que é igual a - 5, com o coeficiente b, que corresponde à fração - 15 22 . É necessário resolver a desigualdade seguindo o algoritmo, ou seja: transfira - 15 22 para outra parte com sinal oposto, divida ambas as partes por - 5, troque o sinal da desigualdade:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Na última transição, para o lado direito, a regra para dividir um número com sinais diferentes é usada 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, após o qual dividimos a fração ordinária por um número natural - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Responda: x ≥ - 3 22 e [ - 3 22 + ∞) .

Considere o caso em que a = 0. Expressão linear da forma a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Tudo é baseado na definição da solução da desigualdade. Para qualquer valor de x, obtemos uma desigualdade numérica da forma b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Consideramos todos os julgamentos na forma de um algoritmo para resolver desigualdades lineares 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definição 5

Desigualdade numérica da forma b< 0 (≤ , >, ≥) é verdadeira, então a desigualdade original tem solução para qualquer valor, e falsa quando a desigualdade original não tem soluções.

Exemplo 4

Resolva a desigualdade 0 · x + 7 > 0 .

Decisão

Esta desigualdade linear 0 · x + 7 > 0 pode assumir qualquer valor x . Então obtemos uma desigualdade da forma 7 > 0 . A última desigualdade é considerada verdadeira, então qualquer número pode ser sua solução.

Responda: intervalo (− ∞ , + ∞) .

Exemplo 5

Encontre uma solução para a inequação 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Decisão

Substituindo a variável x por qualquer número, obtemos que a desigualdade terá a forma − 12 , 7 ≥ 0 . Está incorreto. Ou seja, 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 não tem soluções.

Responda: não há soluções.

Considere a solução de desigualdades lineares, onde ambos os coeficientes são iguais a zero.

Exemplo 6

Determine uma desigualdade insolúvel de 0 · x + 0 > 0 e 0 · x + 0 ≥ 0 .

Decisão

Ao substituir qualquer número em vez de x, obtemos duas desigualdades da forma 0 > 0 e 0 ≥ 0 . A primeira está incorreta. Isso significa que 0 x + 0 > 0 não tem soluções, e 0 x + 0 ≥ 0 tem um número infinito de soluções, ou seja, qualquer número.

Responda: a desigualdade 0 x + 0 > 0 não tem soluções, e 0 x + 0 ≥ 0 tem soluções.

Este método é considerado no curso escolar de matemática. O método intervalar é capaz de resolver vários tipos de desigualdades, inclusive as lineares.

O método intervalar é usado para desigualdades lineares quando o valor do coeficiente x não é igual a 0 . Caso contrário, você terá que calcular usando outro método.

Definição 6

O método de espaçamento é:

• introdução da função y = a x + b ;
• procure por zeros para dividir o domínio de definição em intervalos;
• determinação de sinais para o conceito deles em intervalos.

Vamos montar um algoritmo para resolver equações lineares a x + b< 0 (≤ , >, ≥) para um ≠ 0 usando o método de intervalo:

• encontrar os zeros da função y = a · x + b para resolver uma equação da forma a · x + b = 0 . Se a ≠ 0, então a solução será a única raiz que terá a designação x 0;
• construção de uma linha de coordenadas com a imagem de um ponto com uma coordenada x 0, com uma desigualdade estrita, o ponto é denotado por um ponto, com uma desigualdade não estrita, é sombreado;
• determinação dos sinais da função y = a x + b nos intervalos, para isso é necessário encontrar os valores da função em pontos do intervalo;
• a solução da desigualdade com os sinais > ou ≥ na linha de coordenadas, a hachura é adicionada acima da lacuna positiva,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Considere vários exemplos de resolução de uma desigualdade linear usando o método intervalar.

Exemplo 6

Resolva a desigualdade − 3 · x + 12 > 0 .

Decisão

Segue-se do algoritmo que primeiro você precisa encontrar a raiz da equação − 3 · x + 12 = 0 . Obtemos que − 3 · x = − 12 , x = 4 . É necessário representar a linha de coordenadas, onde marcamos o ponto 4. Ele será puncionado, pois a desigualdade é estrita. Considere o desenho abaixo.

É necessário determinar os sinais nos intervalos. Para determiná-lo no intervalo (− ∞ , 4) , é necessário calcular a função y = − 3 · x + 12 para x = 3 . A partir daqui temos que − 3 3 + 12 = 3 > 0 . O sinal no intervalo é positivo.

Determinamos o sinal do intervalo (4, + ∞) e substituímos o valor x \u003d 5. Temos − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Realizamos a solução da inequação com o sinal > , e a hachura é realizada sobre o gap positivo. Considere o desenho abaixo.

Pode-se ver pelo desenho que a solução desejada tem a forma (− ∞ , 4) ou x< 4 .

Responda: (− ∞ , 4) ou x< 4 .

Para entender como representar graficamente, é necessário considerar 4 desigualdades lineares como exemplo: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 e 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Suas soluções serão x< 2 , x ≤ 2 , x >2 e x ≥ 2 . Para fazer isso, desenhe um gráfico da função linear y = 0 , 5 · x − 1 abaixo.

Está claro que

Definição 7

• solução da desigualdade 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• a solução 0 , 5 x − 1 ≤ 0 é o intervalo onde a função y = 0 , 5 x − 1 é inferior a 0 x ou coincide;
• a solução 0 , 5 x − 1 > 0 é considerada o intervalo, onde a função está localizada acima de O x;
• a solução 0 , 5 x − 1 ≥ 0 é o intervalo onde o gráfico é maior que O x ou coincide.

O significado da solução gráfica das desigualdades é encontrar as lacunas, que devem ser representadas no gráfico. Nesse caso, obtemos que o lado esquerdo tem y \u003d a x + b, e o lado direito tem y \u003d 0, e coincide com About x.

Definição 8

A plotagem da função y = a x + b é realizada:

• resolvendo a desigualdade a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• ao resolver a inequação a x + b ≤ 0, o intervalo é determinado onde o gráfico é exibido abaixo do eixo O x ou coincide;
• ao resolver a inequação a x + b > 0, o intervalo é determinado, onde o gráfico é exibido acima de O x;
• ao resolver a desigualdade a x + b ≥ 0, o intervalo é determinado onde o gráfico está acima de O x ou coincide.

Exemplo 7

Resolva a desigualdade - 5 · x - 3 > 0 usando o gráfico.

Decisão

É necessário construir um gráfico de uma função linear - 5 · x - 3 > 0 . Esta linha está diminuindo porque o coeficiente de x é negativo. Para determinar as coordenadas do ponto de sua interseção com O x - 5 · x - 3 > 0, obtemos o valor - 3 5 . Vamos fazer um gráfico.

A solução da desigualdade com o sinal >, então você precisa prestar atenção ao intervalo acima de O x. Destacamos a parte necessária do avião em vermelho e obtemos isso

A lacuna necessária é a parte O x da cor vermelha. Assim, o raio de número aberto - ∞ , - 3 5 será a solução da inequação. Se, por condição, eles tivessem uma desigualdade não estrita, então o valor do ponto - 3 5 também seria uma solução para a desigualdade. E coincidiria com O x.

Responda: - ∞ , - 3 5 ou x< - 3 5 .

A solução gráfica é utilizada quando o lado esquerdo corresponde à função y = 0 x + b , ou seja, y = b . Então a linha será paralela a O x ou coincidindo em b \u003d 0. Esses casos mostram que uma inequação pode não ter soluções, ou qualquer número pode ser uma solução.

Exemplo 8

Determine a partir das desigualdades 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Decisão

A representação y = 0 x + 7 é y = 7 , então será dado um plano coordenado com uma linha reta paralela a O x e acima de O x. Então 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

O gráfico da função y \u003d 0 x + 0 é considerado y \u003d 0, ou seja, a linha coincide com O x. Assim, a desigualdade 0 · x + 0 ≥ 0 tem muitas soluções.

Responda: a segunda desigualdade tem solução para qualquer valor de x .

Desigualdades lineares

A solução de inequações pode ser reduzida à solução de uma equação linear, que são chamadas de inequações lineares.

Essas desigualdades foram consideradas no curso escolar, pois eram um caso especial de resolução de desigualdades, o que levou à abertura de parênteses e à redução de termos semelhantes. Por exemplo, considere que 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

As desigualdades dadas acima são sempre reduzidas à forma de uma equação linear. Depois disso, os colchetes são abertos e termos semelhantes são dados, transferidos de diferentes partes, mudando o sinal para o oposto.

Ao reduzir a desigualdade 5 − 2 x > 0 para uma linear, nós a representamos de tal forma que ela tenha a forma − 2 x + 5 > 0 , e para reduzir o segundo temos que 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . É necessário abrir os colchetes, trazer os termos semelhantes, mover todos os termos para o lado esquerdo e trazer os termos semelhantes. Se parece com isso:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Isso traz a solução para uma desigualdade linear.

Essas desigualdades são consideradas lineares, pois possuem o mesmo princípio de solução, após o que é possível reduzi-las a desigualdades elementares.

Para resolver esse tipo de desigualdade desse tipo, é necessário reduzi-la a uma linear. Deve ser feito assim:

Definição 9

• colchetes abertos;
• coletar variáveis ​​à esquerda e números à direita;
• trazer termos semelhantes;
• divida ambas as partes pelo coeficiente de x .

Exemplo 9

Resolva a desigualdade 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Decisão

Expandimos os colchetes e obtemos uma desigualdade da forma 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Após reduzir termos semelhantes, temos que 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Depois de mover os termos da esquerda para a direita, obtemos 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Portanto, tem uma desigualdade da forma 32 ≤ 0 a partir do resultado obtido no cálculo 0 · x + 32 ≤ 0 . Pode-se ver que a desigualdade é falsa, o que significa que a desigualdade dada pela condição não tem solução.

Responda: sem soluções.

Vale a pena notar que existem muitas desigualdades de outro tipo, que podem ser reduzidas a uma linear ou a uma desigualdade do tipo mostrado acima. Por exemplo, 5 2 x − 1 ≥ 1 é uma equação exponencial que se reduz a uma solução linear 2 · x − 1 ≥ 0 . Esses casos serão considerados ao resolver inequações desse tipo.

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Conteúdo da lição

Definições e Propriedades

Chamaremos desigualdade duas expressões numéricas ou literais conectadas por sinais >,<, ≥, ≤ или ≠.

Exemplo: 5 > 3

Essa desigualdade diz que o número 5 é maior que o número 3. O ângulo agudo do sinal de desigualdade deve ser direcionado para o número menor. Essa desigualdade é verdadeira porque 5 é maior que 3.

Se uma melancia pesando 5 kg for colocada no prato esquerdo da balança e uma melancia pesando 3 kg for colocada no prato direito, então o prato esquerdo superará o direito e a tela da balança mostrará que o prato esquerdo está mais pesada que a direita:

Se 5 > 3 então 3< 5 . То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Se na desigualdade 5 > 3 , sem tocar nas partes esquerda e direita, mude o sinal para< , то получится неравенство 5 < 3 . Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Os números que estão localizados nos lados esquerdo e direito da desigualdade serão chamados membros essa desigualdade. Por exemplo, na desigualdade 5 > 3, os membros são os números 5 e 3.

Considere algumas propriedades importantes para a desigualdade 5 > 3 .
No futuro, essas propriedades também funcionarão para outras desigualdades.

Propriedade 1.

Se o mesmo número for adicionado ou subtraído às partes esquerda e direita da inequação 5 > 3, o sinal da inequação não mudará.

Por exemplo, vamos adicionar o número 4 a ambas as partes da inequação. Então temos:

Agora vamos tentar subtrair algum número de ambos os lados da desigualdade 5 > 3, digamos o número 2

Vemos que o lado esquerdo ainda é maior que o direito.

Desta propriedade segue-se que qualquer termo da desigualdade pode ser transferido de uma parte para outra mudando o sinal deste termo. O sinal de desigualdade não mudará.

Por exemplo, na desigualdade 5 > 3, vamos mover o termo 5 do lado esquerdo para o lado direito alterando o sinal desse termo. Depois de mover o termo 5 para o lado direito, nada permanecerá no lado esquerdo, então escrevemos 0 lá

0 > 3 − 5

0 > −2

Vemos que o lado esquerdo ainda é maior que o direito.

Propriedade 2.

Se ambas as partes da desigualdade são multiplicadas ou divididas pelo mesmo número positivo, o sinal da desigualdade não muda.

Por exemplo, vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade 5 > 3 por algum número positivo, digamos pelo número 2. Então temos:

Vemos que o lado esquerdo ainda é maior que o direito.

Agora vamos tentar dividir ambas as partes da desigualdade 5 > 3 por algum número. Divida-os por 2

Vemos que o lado esquerdo ainda é maior que o direito.

Propriedade 3.

Se ambos os lados da desigualdade são multiplicados ou divididos pelo mesmo um número negativo, então o sinal de desigualdade será invertido.

Por exemplo, vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade 5 > 3 por algum número negativo, digamos -2. Então obtemos:

Agora vamos tentar dividir ambas as partes da desigualdade 5 > 3 por algum número negativo. Vamos dividi-los por -1

Vemos que o lado esquerdo ficou menor que o direito. Ou seja, o sinal de desigualdade mudou para o oposto.

Em si, a desigualdade pode ser entendida como uma certa condição. Se a condição for satisfeita, então a desigualdade é verdadeira. Por outro lado, se a condição não for atendida, a desigualdade é falsa.

Por exemplo, para responder à pergunta se a desigualdade 7 > 3 é verdadeira, você precisa verificar se a condição é satisfeita "é 7 mais do que 3" . Sabemos que o número 7 é maior que o número 3. Ou seja, a condição está satisfeita e, portanto, a desigualdade 7 > 3 é verdadeira.

Desigualdade 8< 6 не является верным, поскольку не выполняется условие "8 é menor que 6".

Outra maneira de determinar se uma desigualdade está correta é tomar a diferença dos lados esquerdo e direito da desigualdade dada. Se a diferença for positiva, então o lado esquerdo é maior que o lado direito. Por outro lado, se a diferença for negativa, então o lado esquerdo é menor que o lado direito. Mais precisamente, esta regra se parece com isso:

Número uma mais número b se a diferença a-b positivo. Número uma menos do que o número b se a diferença a-b negativo.

Por exemplo, descobrimos que a desigualdade 7 > 3 é verdadeira porque o número 7 é maior que o número 3. Vamos provar isso usando a regra acima.

Componha a diferença dos termos 7 e 3. Então obtemos 7 − 3 = 4 . De acordo com a regra, o número 7 será maior que o número 3 se a diferença 7 − 3 for positiva. Temos igual a 4, ou seja, a diferença é positiva. Portanto, o número 7 é maior que o número 3.

Vamos verificar com a ajuda da diferença se a desigualdade 3< 4 . Составим разность, получим 3 − 4 = −1 . Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Vamos verificar se a desigualdade 5 > 8 é verdadeira. Compondo a diferença, obtemos 5 − 8 = −3. De acordo com a regra, o número 5 será maior que o número 8 se a diferença 5 − 8 for positiva. Nossa diferença é -3, ou seja, não é positivo. Então o número 5 não mais o número 3. Em outras palavras, a desigualdade 5 > 8 não é verdadeira.

Desigualdades estritas e não estritas

Desigualdades contendo sinais >,< называют estrito. E desigualdades contendo sinais ≥, ≤ são chamadas não estrito.

Consideramos exemplos de desigualdades estritas anteriormente. Estas são as desigualdades 5 > 3 , 7< 9 .

Não estrita, por exemplo, é a desigualdade 2 ≤ 5 . Essa desigualdade é lida da seguinte forma: "2 é menor ou igual a 5" .

A entrada 2 ≤ 5 está incompleta. O registro completo dessa desigualdade é o seguinte:

2 < 5 ou 2 = 5

Então fica óbvio que a desigualdade 2 ≤ 5 consiste em duas condições: "dois a menos de cinco" e "dois é igual a cinco" .

Uma desigualdade não estrita é verdadeira se pelo menos uma de suas condições for satisfeita. No nosso exemplo, a condição é verdadeira "2 é menor que 5". Isso significa que a desigualdade 2 ≤ 5 também é verdadeira.

Exemplo 2. A desigualdade 2 ≤ 2 é verdadeira porque uma de suas condições é satisfeita, a saber, 2 = 2.

Exemplo 3. A desigualdade 5 ≤ 2 não é verdadeira porque nenhuma de suas condições é satisfeita: nem 5< 2 ни 5 = 2 .

dupla desigualdade

O número 3 é maior que o número 2 e menor que o número 4 . Na forma de uma inequação, esta afirmação pode ser escrita da seguinte forma: 2< 3 < 4 . Такое неравенство называют двойным.

Uma dupla desigualdade pode conter sinais de desigualdades não estritas. Por exemplo, se o número 5 é maior ou igual ao número 2 e menor ou igual ao número 7 , então podemos escrever que 2 ≤ 5 ≤ 7

Para escrever corretamente uma desigualdade dupla, primeiro escreva o termo no meio, depois o termo à esquerda e depois o termo à direita.

Por exemplo, vamos escrever que o número 6 é maior que o número 4 e menor que o número 9.

Primeiro anote 6

À esquerda, escrevemos que esse número é maior que o número 4

À direita, escrevemos que o número 6 é menor que o número 9

Desigualdade Variável

A desigualdade, como a igualdade, pode conter uma variável.

Por exemplo, a desigualdade x> 2 contém uma variável x. Normalmente, tal desigualdade precisa ser resolvida, ou seja, descobrir para quais valores x essa desigualdade se torna verdadeira.

Resolver uma desigualdade significa encontrar tais valores de uma variável x, sob o qual essa desigualdade se torna verdadeira.

O valor da variável em que a desigualdade se torna verdadeira é chamado resolvendo a desigualdade.

Desigualdade x> 2 torna-se verdadeiro quando x=3, x=4, x=5, x=6 e assim por diante ao infinito. Vemos que essa desigualdade não tem uma solução, mas muitas soluções.

Em outras palavras, resolvendo a desigualdade x> 2 é o conjunto de todos os números maiores que 2. Para esses números, a desigualdade será verdadeira. Exemplos:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

O número 2, localizado no lado direito da desigualdade x> 2 , vamos chamar fronteira essa desigualdade. Dependendo do sinal da desigualdade, a fronteira pode ou não pertencer ao conjunto de soluções da desigualdade.

No nosso exemplo, a fronteira da desigualdade não pertence ao conjunto de soluções, pois ao substituir o número 2 na desigualdade x> 2 voltas incorreto desigualdade 2 > 2 . O número 2 não pode ser maior que ele mesmo, pois é igual a ele mesmo (2 = 2).

Desigualdade x> 2 é rigoroso. Pode ser lido assim: x é estritamente maior que 2″ . Ou seja, todos os valores aceitos pela variável x deve ser estritamente maior que 2. Caso contrário, a desigualdade não será verdadeira.

Se nos fosse dada uma desigualdade não estrita x≥ 2 , então as soluções dessa desigualdade seriam todos os números maiores que 2, incluindo o próprio número 2. Nessa desigualdade, a fronteira 2 pertence ao conjunto de soluções da desigualdade, pois ao substituir o número 2 na desigualdade x≥ 2 obtemos a desigualdade correta 2 ≥ 2 . Foi dito anteriormente que uma desigualdade não estrita é verdadeira se pelo menos uma de suas condições for satisfeita. A desigualdade 2 ≥ 2 satisfaz a condição 2 = 2 , então a desigualdade 2 ≥ 2 também é verdadeira.

Como resolver inequações

O processo de resolução de desigualdades é em muitos aspectos semelhante ao processo de resolução de equações. Ao resolver inequações, aplicaremos as propriedades que estudamos no início desta lição, tais como: transferir termos de uma parte da inequação para outra, trocando o sinal; multiplicando (ou dividindo) ambos os lados da desigualdade pelo mesmo número.

Essas propriedades nos permitem obter uma desigualdade equivalente à original. As inequações equivalentes são chamadas de inequações cujas soluções são iguais.

Ao resolver equações, realizamos transformações idênticas até que uma variável permanecesse no lado esquerdo da equação e o valor dessa variável permanecesse no lado direito (por exemplo: x=2, x=5). Em outras palavras, a equação original foi substituída por uma equação equivalente até que uma equação da forma x = a, Onde uma valor da variável x. Dependendo da equação, pode haver uma, duas, um número infinito de raízes, ou nenhuma.

E ao resolver as desigualdades, substituiremos a desigualdade original por uma desigualdade equivalente a ela até que a variável dessa desigualdade permaneça no lado esquerdo e seu limite no lado direito.

Exemplo 1. Resolva a desigualdade 2 x> 6

Então, você precisa encontrar esses valores x, ao substituí-los em 2 x> 6 obtemos a desigualdade correta.

No início desta lição, foi dito que se ambas as partes da desigualdade forem divididas por algum número positivo, então o sinal da desigualdade não mudará. Se aplicarmos essa propriedade a uma desigualdade contendo uma variável, obteremos uma desigualdade equivalente à original.

No nosso caso, se separarmos ambas as partes da desigualdade 2 x> 6 por algum número positivo, então obtemos uma desigualdade que é equivalente à desigualdade original 2 x> 6.

Então, vamos dividir ambos os lados da desigualdade por 2.

No lado esquerdo há uma variável x, e o lado direito tornou-se igual a 3. Obtemos uma desigualdade equivalente x> 3. Isso completa a solução, pois a variável permanece no lado esquerdo e a fronteira da desigualdade no lado direito.

Agora podemos concluir que as soluções da inequação x> 3 são todos os números que são maiores que 3. Estes são os números 4, 5, 6, 7 e assim por diante ad infinitum. Para esses valores, a desigualdade x> 3 estaria correto.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Observe que a desigualdade x> 3 é rigoroso. " A variável x é estritamente maior que três."

E porque a desigualdade x> 3 é equivalente à desigualdade original 2 x> 6 , então suas soluções coincidirão. Em outras palavras, os valores que se encaixam na desigualdade x> 3 também se ajusta à desigualdade 2 x> 6. Vamos mostrar.

Tome, por exemplo, o número 5 e substitua-o primeiro na desigualdade equivalente que obtivemos x> 3 e depois para o original 2 x> 6 .

Vemos que em ambos os casos a desigualdade correta é obtida.

Depois que a desigualdade é resolvida, a resposta deve ser escrita na forma da chamada intervalo numérico Da seguinte maneira:

Essa expressão diz que os valores tomados pela variável x, pertencem ao intervalo numérico de três a mais infinito.

Em outras palavras, todos os números de três a mais infinito são soluções para a desigualdade x> 3. Sinal ∞ em matemática significa infinito.

Considerando que o conceito de intervalo numérico é muito importante, vamos nos debruçar sobre ele com mais detalhes.

Períodos numéricos

Intervalo numérico chame o conjunto de números na linha de coordenadas, que pode ser descrito usando uma desigualdade.

Suponha que queremos desenhar um conjunto de números de 2 a 8 na linha de coordenadas. Para fazer isso, primeiro marque os pontos com as coordenadas 2 e 8 na linha de coordenadas e, em seguida, selecione com traços a área localizada entre as coordenadas 2 e 8 . Esses traços farão o papel dos números , localizados entre os números 2 e 8

Vamos chamar os números 2 e 8 fronteiras lacuna numérica. Ao desenhar um intervalo numérico, os pontos para seus limites são representados não como pontos em si, mas como círculos que podem ser vistos.

Os limites podem ou não pertencer ao intervalo numérico.

Se os limites Não pertence intervalo numérico, então eles são representados na linha de coordenadas na forma círculos vazios.

Se os limites pertencer intervalo numérico, então os círculos devem pintar por cima.

Em nosso desenho, os círculos foram deixados vazios. Isso significa que os limites 2 e 8 não pertencem ao intervalo numérico. Isso significa que nosso intervalo numérico incluirá todos os números de 2 a 8, exceto os números 2 e 8.

Se quisermos incluir as bordas 2 e 8 no intervalo numérico, os círculos precisam ser preenchidos:

Nesse caso, o intervalo de números incluirá todos os números de 2 a 8, incluindo os números 2 e 8.

Por escrito, um intervalo numérico é indicado indicando seus limites usando colchetes ou colchetes.

Se os limites Não pertence parênteses.

Se os limites pertencer lacuna numérica, então as bordas são enquadradas colchetes.

A figura mostra dois intervalos numéricos de 2 a 8 com as designações correspondentes:

Na primeira figura, a diferença numérica é indicada por parênteses, uma vez que os limites 2 e 8 Não pertence este intervalo numérico.

Na segunda figura, a diferença numérica é indicada por colchetes, uma vez que os limites 2 e 8 pertencer este intervalo numérico.

Usando intervalos numéricos, você pode escrever respostas para desigualdades. Por exemplo, a resposta para a dupla desigualdade 2 ≤ x≤ 8 é escrito assim:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Ou seja, primeiro se escreve a variável incluída na desigualdade, depois, usando o sinal de pertinência ∈, indicam a qual intervalo numérico os valores dessa variável pertencem. Neste caso, a expressão x∈ [ 2 ; 8 ] indica que a variável x, incluído na desigualdade 2 ≤ x≤ 8, assume todos os valores entre 2 e 8 inclusive. Para esses valores, a desigualdade será verdadeira.

Preste atenção ao fato de que a resposta é escrita entre colchetes, pois os limites da desigualdade 2 ≤ x≤ 8 , ou seja, os números 2 e 8 pertencem ao conjunto de soluções desta desigualdade.

O conjunto de soluções para a desigualdade 2 ≤ x≤ 8 também pode ser representado usando uma linha de coordenadas:

Aqui os limites do intervalo numérico 2 e 8 correspondem aos limites da desigualdade 2 ≤ x x 2 ≤ x≤ 8 .

Em algumas fontes, os limites que não pertencem ao intervalo numérico são chamados de abrir .

Eles são chamados abertos porque o intervalo numérico permanece aberto devido ao fato de seus limites não pertencerem a esse intervalo numérico. O círculo vazio na linha de coordenadas da matemática é chamado ponto perfurado . Puncionar um ponto significa excluí-lo do intervalo numérico ou do conjunto de soluções de uma inequação.

E no caso em que os limites pertencem ao intervalo numérico, eles são chamados fechado(ou fechado), uma vez que tais limites fecham (fecham) uma lacuna numérica. O círculo preenchido na linha de coordenadas também indica que as bordas estão fechadas.

Existem variedades de intervalos numéricos. Vamos considerar cada um deles.

feixe de número

feixe de número x ≥ a, Onde uma x- resolvendo a desigualdade.

Deixe ser uma= 3. Então a desigualdade x ≥ a tomará a forma x≥ 3 . As soluções dessa desigualdade são todos os números maiores que 3, incluindo o próprio número 3.

Desenhe um raio numérico dado pela desigualdade x≥ 3, na linha de coordenadas. Para fazer isso, marque nele um ponto com coordenada 3, e o resto área à sua direita destaque com traços. É o lado direito que se destaca, pois as soluções da desigualdade x≥ 3 são números maiores que 3. E números maiores na linha de coordenadas estão localizados à direita

x≥ 3 , e a área marcada com traços corresponde ao conjunto de valores x, que são soluções da desigualdade x≥ 3 .

O ponto 3, que é o limite do raio numérico, é mostrado como um círculo preenchido, pois o limite da desigualdade x≥ 3 pertence ao conjunto de suas soluções.

Por escrito, a reta numérica dada pela desigualdade x ≥ a,

[ uma; +∞)

Pode-se observar que de um lado a borda é emoldurada por um colchete e do outro por um colchete. Isso se deve ao fato de que um limite do raio numérico lhe pertence e o outro não, pois o próprio infinito não tem limites e entende-se que do outro lado não há número que feche esse raio numérico.

Considerando que um dos limites da reta numérica é fechado, essa lacuna é frequentemente chamada de feixe de número fechado.

Vamos escrever a resposta para a desigualdade x≥ 3 usando a notação de raio numérico. temos uma variável umaé 3

x ∈ [ 3 ; +∞)

Esta expressão diz que a variável x incluído na desigualdade x≥ 3, leva todos os valores de 3 a mais infinito.

Em outras palavras, todos os números de 3 a mais infinito são soluções para a desigualdade x≥ 3 . A fronteira 3 pertence ao conjunto solução porque a desigualdade x≥ 3 não é estrito.

Um raio numérico fechado também é chamado de intervalo numérico, que é dado pela desigualdade x ≤ a. Soluções de desigualdade x ≤ a uma , incluindo o próprio número uma.

Por exemplo, se uma x≤ 2 . Na linha de coordenadas, o limite 2 será representado como um círculo preenchido e toda a área localizada deixou, será destacado com traços. Desta vez, o lado esquerdo é destacado, pois as soluções para a desigualdade x≤ 2 são números menores que 2. E números menores na linha de coordenadas estão localizados à esquerda

x≤ 2 , e a área tracejada corresponde ao conjunto de valores x, que são soluções da desigualdade x≤ 2 .

O ponto 2, que é o limite do raio numérico, é mostrado como um círculo preenchido, pois o limite da desigualdade x≤ 2 pertence ao conjunto de suas soluções.

Vamos escrever a resposta para a desigualdade x≤ 2 usando notação de raio numérico:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x≤ 2. A fronteira 2 pertence ao conjunto de soluções, pois a desigualdade x≤ 2 não é estrito.

Abrir feixe de número

Abrir feixe de númeroé chamado de intervalo numérico, que é dado pela desigualdade x > a, Onde umaé o limite desta desigualdade, x- solução da desigualdade.

Uma reta numérica aberta é semelhante em muitos aspectos a uma reta numérica fechada. A diferença é que a fronteira uma não pertence ao intervalo, bem como o limite da desigualdade x > a não pertence ao conjunto de suas soluções.

Deixe ser uma= 3. Então a desigualdade toma a forma x> 3. As soluções desta desigualdade são todos os números que são maiores que 3, exceto o número 3

Na linha de coordenadas, o limite do raio de número aberto dado pela desigualdade x> 3 será exibido como um círculo vazio. Toda a área à direita será destacada com traços:

Aqui o ponto 3 corresponde ao limite de desigualdade x > 3 , e a área destacada com traços corresponde ao conjunto de valores x, que são soluções da desigualdade x > 3 . O ponto 3, que é o limite do raio numérico aberto, é mostrado como um círculo vazio, pois o limite da desigualdade x > 3 não pertence ao conjunto de suas soluções.

x > a , denotado da seguinte forma:

(uma; +∞)

Os parênteses indicam que os limites do raio de número aberto não pertencem a ele.

Vamos escrever a resposta para a desigualdade x> 3 usando a notação de um feixe numérico aberto:

x ∈ (3 ; +∞)

Esta expressão diz que todos os números de 3 a mais infinito são soluções para a desigualdade x> 3. A fronteira 3 não pertence ao conjunto solução porque a desigualdade x> 3 é rigoroso.

Um raio de número aberto também é chamado de intervalo de número, que é dado pela desigualdade x< a , Onde umaé o limite desta desigualdade, x- solução da desigualdade . Soluções de desigualdade x< a são todos os números menores que uma , excluindo o número uma.

Por exemplo, se uma= 2 , então a desigualdade assume a forma x< 2. Na linha de coordenadas, o limite 2 será mostrado como um círculo vazio e toda a área à esquerda será destacada com traços:

Aqui o ponto 2 corresponde ao limite de desigualdade x< 2 , e a área marcada com traços corresponde ao conjunto de valores x, que são soluções da desigualdade x< 2. O ponto 2, que é o limite do raio numérico aberto, é mostrado como um círculo vazio, pois o limite da desigualdade x< 2 não pertence ao conjunto de suas soluções.

Por escrito, o feixe de número aberto dado pela desigualdade x< a , denotado da seguinte forma:

(−∞ ; uma)

Vamos escrever a resposta para a desigualdade x< 2 usando a notação de um feixe numérico aberto:

x ∈ (−∞ ; 2)

Esta expressão diz que todos os números de menos infinito a 2 são soluções para a desigualdade x< 2. A fronteira 2 não pertence ao conjunto de soluções porque a desigualdade x< 2 é rigoroso.

Segmento de linha

segmento a ≤ x ≤ b, Onde uma e b x- solução da desigualdade.

Deixe ser uma = 2 , b= 8. Então a desigualdade a ≤ x ≤ b assume a forma 2 ≤ x≤ 8 . Soluções para a desigualdade 2 ≤ x≤ 8 são todos os números maiores que 2 e menores que 8. Além disso, os limites da inequação 2 e 8 pertencem ao conjunto de suas soluções, pois a inequação 2 ≤ x≤ 8 não é estrito.

Desenhe o segmento dado pela dupla desigualdade 2 ≤ x≤ 8 na linha de coordenadas. Para fazer isso, marque os pontos com as coordenadas 2 e 8 e marque a área entre eles com traços:

≤ x≤ 8 , e a área tracejada corresponde ao conjunto de valores x x≤ 8 . Os pontos 2 e 8, que são os limites do segmento, são mostrados como círculos preenchidos, pois os limites da desigualdade 2 ≤ x≤ 8 pertencem ao conjunto de suas soluções.

Na carta, o segmento dado pela desigualdade a ≤ x ≤ b denotado da seguinte forma:

[ uma; b ]

Colchetes em ambos os lados indicam que os limites do segmento pertencer ele. Vamos escrever a resposta para a desigualdade 2 ≤ x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Esta expressão diz que todos os números de 2 a 8 inclusive são soluções para a desigualdade 2 ≤ x≤ 8 .

Intervalo

intervaloé chamado de intervalo numérico, que é dado pela dupla desigualdade uma< x < b , Onde uma e b são os limites dessa desigualdade, x- solução da desigualdade.

Deixe ser a = 2, b = 8. Então a desigualdade uma< x < b terá a forma 2< x< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Vamos representar o intervalo na linha de coordenadas:

Aqui os pontos 2 e 8 correspondem aos limites da desigualdade 2< x< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x< 8 не принадлежат множеству его решений.

Por escrito, o intervalo dado pela desigualdade uma< x < b, denotado da seguinte forma:

(uma; b)

Parênteses em ambos os lados indicam que os limites do intervalo Não pertence ele. Vamos escrever a resposta para a desigualdade 2< x< 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

Esta expressão diz que todos os números de 2 a 8, excluindo os números 2 e 8, são soluções para a desigualdade 2< x< 8 .

Meio intervalo

Meio intervaloé chamado de intervalo numérico, que é dado pela desigualdade a ≤ x< b , Onde uma e b são os limites dessa desigualdade, x- solução da desigualdade.

Um meio-intervalo também é chamado de intervalo numérico, que é dado pela desigualdade uma< x ≤ b .

Um dos limites do meio-intervalo pertence a ele. Daí o nome desse intervalo numérico.

Na situação com meio intervalo a ≤ x< b ele (o meio-intervalo) pertence ao limite esquerdo.

E na situação com meio intervalo uma< x ≤ b ele possui a borda direita.

Deixe ser uma= 2 , b= 8. Então a desigualdade a ≤ x< b assume a forma 2 ≤ x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Desenhe o intervalo 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, que são soluções da desigualdade 2 ≤ x < 8 .

O ponto 2, que é borda esquerda meio intervalo, é mostrado como um círculo preenchido, uma vez que o limite esquerdo da desigualdade 2 ≤ x < 8 pertence muitas de suas soluções.

E o ponto 8, que é borda direita meio intervalo é mostrado como um círculo vazio, uma vez que o limite direito da desigualdade 2 ≤ x < 8 não pertence muitas de suas soluções.

a ≤ x< b, denotado da seguinte forma:

[ uma; b)

Pode-se observar que de um lado a borda é emoldurada por um colchete e do outro por um colchete. Isso se deve ao fato de que um limite do meio-intervalo pertence a ele, enquanto o outro não. Vamos escrever a resposta para a desigualdade 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

Esta expressão diz que todos os números de 2 a 8, incluindo o número 2, mas excluindo o número 8, são soluções para a desigualdade 2 ≤ x < 8 .

Da mesma forma, na linha de coordenadas, pode-se representar o meio-intervalo dado pela desigualdade uma< x ≤ b . Deixe ser uma= 2 , b= 8. Então a desigualdade uma< x ≤ b terá a forma 2< x≤ 8 . As soluções para essa dupla desigualdade são todos os números maiores que 2 e menores que 8, excluindo o número 2, mas incluindo o número 8.

Desenhe meio intervalo 2< x≤ 8 na linha de coordenadas:

Aqui os pontos 2 e 8 correspondem aos limites da desigualdade 2< x≤ 8 , e a área tracejada corresponde ao conjunto de valores x, que são soluções da desigualdade 2< x≤ 8 .

O ponto 2, que é borda esquerda meio intervalo, é mostrado como um círculo vazio, uma vez que o limite esquerdo da desigualdade 2< x≤ 8 não pertence muitas de suas soluções.

E o ponto 8, que é borda direita meio intervalo, é mostrado como um círculo preenchido, uma vez que o limite direito da desigualdade 2< x≤ 8 pertence muitas de suas soluções.

Por escrito, o meio-intervalo dado pela desigualdade uma< x ≤ b, denotado assim: uma; b] . Vamos escrever a resposta para a desigualdade 2< x≤ 8 usando esta notação:

x ∈ (2 ; 8 ]

Esta expressão diz que todos os números de 2 a 8, excluindo o número 2, mas incluindo o número 8, são soluções para a desigualdade 2< x≤ 8 .

Imagem de intervalos numéricos na linha de coordenadas

Um intervalo numérico pode ser especificado usando uma desigualdade ou uma notação (parênteses ou colchetes). Em ambos os casos, deve-se ser capaz de representar esse intervalo numérico na linha de coordenadas. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1. Desenhe o intervalo numérico dado pela desigualdade x> 5

Lembramos que uma desigualdade da forma x> uma um raio numérico aberto é especificado. Neste caso, a variável uma igual a 5. Desigualdade x> 5 é estrito, então a borda 5 será exibida como um círculo vazio. Estamos interessados ​​em todos os valores x, que são maiores que 5, então toda a área à direita será destacada com traços:

Exemplo 2. Desenhe o intervalo numérico (5; +∞) na linha de coordenadas

Este é o mesmo intervalo numérico que descrevemos no exemplo anterior. Mas desta vez é definido não com a ajuda da desigualdade, mas com a ajuda da notação do intervalo numérico.

O limite 5 está entre parênteses, o que significa que não pertence ao intervalo. Assim, o círculo permanece vazio.

O símbolo +∞ indica que estamos interessados ​​em todos os números maiores que 5. Assim, toda a área à direita da borda 5 é destacada com traços:

Exemplo 3. Desenhe o intervalo numérico (−5; 1) na linha de coordenadas.

Colchetes em ambos os lados indicam intervalos. Os limites do intervalo não pertencem a ele, então os limites de -5 e 1 serão exibidos na linha de coordenadas como círculos vazios. Toda a área entre eles será destacada com traços:

Exemplo 4. Desenhe o intervalo numérico dado pela desigualdade -5< x< 1

Este é o mesmo intervalo numérico que descrevemos no exemplo anterior. Mas desta vez é especificado não com a ajuda da notação de intervalo, mas com a ajuda de uma dupla desigualdade.

Uma desigualdade da forma uma< x < b , o intervalo é definido. Neste caso, a variável umaé igual a −5 e a variável bé igual a um. Desigualdade -5< x< 1 é estrito, então os limites de -5 e 1 serão desenhados como círculos vazios. Estamos interessados ​​em todos os valores x, que são maiores que -5 mas menores que um, então toda a área entre os pontos -5 e 1 será destacada com traços:

Exemplo 5. Desenhe intervalos numéricos [-1; 2] e

Desta vez, vamos desenhar duas lacunas na linha de coordenadas de uma só vez.

Colchetes em ambos os lados indicam segmentos. Os limites do segmento pertencem a ele, portanto, os limites dos segmentos [-1; 2] e será representado na linha de coordenadas como círculos preenchidos. Toda a área entre eles será destacada com traços.

Para ver claramente as lacunas [−1; 2] e , o primeiro pode ser representado na área superior e o segundo na parte inferior. Então, vamos fazê-lo:

Exemplo 6. Desenhe intervalos numéricos [-1; 2) e (2; 5]

Colchetes de um lado e colchetes do outro denotam meio-intervalos. Um dos limites do meio-intervalo pertence a ele e o outro não.

No caso do meio-intervalo [-1; 2) a borda esquerda pertencerá a ele, mas a direita não. Isso significa que a borda esquerda será exibida como um círculo preenchido. A borda direita será exibida como um círculo vazio.

E no caso de um meio intervalo (2; 5] apenas a borda direita pertencerá a ele, e a esquerda não. Isso significa que a borda esquerda será exibida como um círculo preenchido. A borda direita será exibida como um círculo vazio.

Desenhe o intervalo [-1; 2) na região superior da linha de coordenadas e o intervalo (2; 5] — na inferior:

Exemplos de solução de inequações

Uma desigualdade que, por transformações idênticas, pode ser reduzida à forma machado > b(ou para a vista machado< b ), vamos chamar desigualdade linear com uma variável.

Em uma desigualdade linear machado > b , xé a variável cujos valores devem ser encontrados, umaé o coeficiente desta variável, bé a fronteira da desigualdade, que, dependendo do sinal da desigualdade, pode pertencer ao conjunto de suas soluções ou não pertencer a ele.

Por exemplo, a desigualdade 2 x> 4 é uma desigualdade da forma machado > b. Nele, o papel da variável uma desempenha o número 2, o papel de uma variável b(desigualdade de fronteira) joga o número 4.

Desigualdade 2 x> 4 pode ser ainda mais simples. Se dividirmos ambas as partes por 2, obtemos a desigualdade x> 2

A desigualdade resultante x> 2 também é uma desigualdade da forma machado > b, ou seja, uma desigualdade linear com uma variável. Nesta desigualdade, o papel da variável uma unidade joga. Anteriormente dissemos que o coeficiente 1 não é registrado. O papel da variável b joga o número 2.

Com base nessas informações, vamos tentar resolver algumas desigualdades simples. Durante a solução, realizaremos transformações elementares de identidade para obter uma desigualdade da forma machado > b

Exemplo 1. Resolva a desigualdade x− 7 < 0

Adicione aos dois lados da desigualdade o número 7

x− 7 + 7 < 0 + 7

Do lado esquerdo permanecerá x, e o lado direito se torna igual a 7

x< 7

Por transformações elementares, reduzimos a desigualdade x− 7 < 0 к равносильному неравенству x< 7 . Решениями неравенства x< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Quando a desigualdade é trazida para a forma x< a (ou x > a), pode ser considerado já resolvido. Nossa desigualdade x− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Vamos escrever a resposta usando um intervalo numérico. Neste caso, a resposta será um raio numérico aberto (lembre-se que o raio numérico é dado pela desigualdade x< a e é denotado como (−∞ ; uma)

x ∈ (−∞ ; 7)

Na linha de coordenadas, o limite 7 será exibido como um círculo vazio e toda a área à esquerda do limite será destacada com traços:

Para verificar, pegamos qualquer número do intervalo (−∞ ; 7) e o substituímos na desigualdade x< 7 вместо переменной x. Tomemos, por exemplo, o número 2

2 < 7

Descobriu-se a desigualdade numérica correta, o que significa que a solução está correta. Vamos pegar outro número, por exemplo, o número 4

4 < 7

Descobriu-se a desigualdade numérica correta. Portanto, a decisão está correta.

E porque a desigualdade x< 7 равносильно исходному неравенству x- 7 < 0 , то решения неравенства x< 7 будут совпадать с решениями неравенства x- 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x- 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Exemplo 2. Resolva a desigualdade −4 x < −16

Divida ambos os lados da inequação por -4. Não esqueça que ao dividir ambas as partes da desigualdade para um número negativo, sinal de desigualdade muda ao contrário:

Reduzimos a desigualdade −4 x < −16 к равносильному неравенству x> 4 . Soluções de desigualdade x> 4 serão todos os números maiores que 4. A fronteira 4 não pertence ao conjunto das soluções, pois a desigualdade é estrita.

x> 4 na linha de coordenadas e escreva a resposta como um intervalo numérico:

Exemplo 3. Resolva a desigualdade 3y + 1 > 1 + 6y

Reagendar 6 y do lado direito para o esquerdo alterando o sinal. E vamos transferir 1 do lado esquerdo para o lado direito, mudando novamente o sinal:

3y− 6y> 1 − 1

Aqui estão termos semelhantes:

−3y > 0

Divida ambos os lados por -3. Não esqueça que ao dividir ambas as partes da inequação por um número negativo, o sinal da inequação é invertido:

Soluções de desigualdade y< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Exemplo 4. Resolva a desigualdade 5(x− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x+ 2)

Vamos expandir os colchetes em ambas as partes da desigualdade:

Mover -3 x do lado direito para o esquerdo alterando o sinal. Vamos transferir os termos -5 e 7 do lado esquerdo para o lado direito, novamente mudando os sinais:

Aqui estão termos semelhantes:

Divida ambos os lados da desigualdade resultante por 8

Soluções para a desigualdade são todos os números que são menores que . A fronteira pertence ao conjunto solução, pois a desigualdade não é estrita.

Exemplo 5. Resolva a desigualdade

Multiplique os dois lados da desigualdade por 2. Isso eliminará a fração do lado esquerdo:

Agora movemos 5 do lado esquerdo para o lado direito mudando o sinal:

Depois de reduzir termos semelhantes, obtemos a desigualdade 6 x> 1. Divida ambas as partes desta desigualdade por 6. Então temos:

As soluções para a desigualdade são todos os números maiores que . A fronteira não pertence ao conjunto solução porque a desigualdade é estrita.

Desenhe o conjunto de soluções para a desigualdade na linha de coordenadas e escreva a resposta como um intervalo numérico:

Exemplo 6. Resolva a desigualdade

Multiplique os dois lados por 6

Depois de reduzir termos semelhantes, obtemos a desigualdade 5 x< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Soluções de desigualdade x< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x< 6 строгим.

Desenhe o conjunto de soluções da inequação x< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Exemplo 7. Resolva a desigualdade

Multiplique os dois lados da desigualdade por 10

Na desigualdade resultante, abra os colchetes do lado esquerdo:

Transferir membros sem x para o lado direito

Apresentamos termos semelhantes em ambas as partes:

Divida ambas as partes da desigualdade resultante por 10

Soluções de desigualdade x≤ 3,5 são todos os números menores que 3,5. O limite 3,5 pertence ao conjunto solução, pois a desigualdade é x≤ 3,5 não estrita.

Desenhe o conjunto de soluções da inequação x≤ 3,5 na linha de coordenadas e escreva a resposta como um intervalo numérico:

Exemplo 8. Resolva a desigualdade 4< 4x< 20

Para resolver essa desigualdade, precisamos de uma variável x livre do coeficiente 4. Então podemos dizer em que intervalo é a solução desta desigualdade.

Para liberar uma variável x do coeficiente, você pode dividir o termo 4 x por 4. Mas a regra em desigualdades é que se dividirmos um membro da desigualdade por algum número, então o mesmo deve ser feito com o resto dos termos incluídos nesta desigualdade. No nosso caso, precisamos dividir por 4 todos os três termos da desigualdade 4< 4x< 20

Soluções para a desigualdade 1< x< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x< 5 является строгим.

Desenhe o conjunto de soluções para a desigualdade 1< x< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Exemplo 9. Resolva a desigualdade −1 ≤ −2 x≤ 0

Divida todos os termos da desigualdade por -2

Obtemos a desigualdade 0,5 ≥ x≥ 0 . É desejável escrever uma desigualdade dupla de modo que o termo menor esteja localizado à esquerda e o maior à direita. Portanto, reescrevemos nossa desigualdade da seguinte forma:

0 ≤ x≤ 0,5

Soluções para a desigualdade 0 ≤ x≤ 0,5 são todos os números maiores que 0 e menores que 0,5. Os limites 0 e 0,5 pertencem ao conjunto de soluções, pois a desigualdade 0 ≤ x≤ 0,5 não é estrito.

Desenhe o conjunto de soluções para a desigualdade 0 ≤ x≤ 0,5 na linha de coordenadas e escreva a resposta como um intervalo numérico:

Exemplo 10. Resolva a desigualdade

Multiplique ambas as desigualdades por 12

Vamos abrir os colchetes na desigualdade resultante e apresentar termos semelhantes:

Divida ambos os lados da desigualdade resultante por 2

Soluções de desigualdade x≤ −0,5 são todos os números menores que −0,5. A fronteira -0,5 pertence ao conjunto de soluções porque a desigualdade x≤ −0,5 não é restrito.

Desenhe o conjunto de soluções da inequação x≤ −0,5 na linha de coordenadas e escreva a resposta como um intervalo numérico:

Exemplo 11. Resolva a desigualdade

Multiplique todas as partes da desigualdade por 3

Agora subtraia 6 de cada parte da desigualdade resultante

Dividimos cada parte da desigualdade resultante por -1. Não esqueça que ao dividir todas as partes da inequação por um número negativo, o sinal da inequação é invertido:

Soluções para a desigualdade 3 ≤ a≤ 9 são todos os números maiores que 3 e menores que 9. Os limites 3 e 9 pertencem ao conjunto das soluções, pois a desigualdade 3 ≤ a≤ 9 não é estrito.

Desenhe o conjunto de soluções para a desigualdade 3 ≤ a≤ 9 na linha de coordenadas e escreva a resposta como um intervalo numérico:

Quando não há soluções

Existem desigualdades que não têm solução. Tal, por exemplo, é a desigualdade 6 x> 2(3x+ 1). No processo de resolução dessa desigualdade, chegaremos ao fato de que o sinal da desigualdade > não justifica sua localização. Vamos ver como é.

Expandindo os colchetes do lado direito desta desigualdade, obtemos 6 x> 6x+ 2. Reagendar 6 x do lado direito para o esquerdo, trocando o sinal, obtemos 6 x− 6x> 2. Trazemos termos semelhantes e obtemos a desigualdade 0 > 2, o que não é verdade.

Para melhor compreensão, reescrevemos a redução de termos semelhantes no lado esquerdo da seguinte forma:

Temos a desigualdade 0 x> 2. No lado esquerdo está o produto, que será igual a zero para qualquer x. E zero não pode ser maior que o número 2. Daí a desigualdade 0 x> 2 não tem soluções.

x> 2 , então não tem soluções e a desigualdade original 6 x> 2(3x+ 1) .

Exemplo 2. Resolva a desigualdade

Multiplique os dois lados da desigualdade por 3

Na desigualdade resultante, transferimos o termo 12 x do lado direito para o esquerdo alterando o sinal. Então damos termos semelhantes:

O lado direito da desigualdade resultante para qualquer x será igual a zero. E zero não é inferior a -8. Daí a desigualdade 0 x< −8 не имеет решений.

E se a desigualdade equivalente reduzida 0 x< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Responda: sem soluções.

Quando existem infinitas soluções

Existem inequações que têm um número infinito de soluções. Tais desigualdades tornam-se verdadeiras para qualquer x .

Exemplo 1. Resolva a desigualdade 5(3x− 9) < 15x

Vamos expandir os colchetes do lado direito da desigualdade:

Reagendar 15 x do lado direito para o esquerdo, alterando o sinal:

Aqui estão os termos semelhantes no lado esquerdo:

Temos a desigualdade 0 x< 45 . No lado esquerdo está o produto, que será igual a zero para qualquer x. E zero é menor que 45. Então a solução da desigualdade 0 x< 45 é qualquer número.

x< 45 tem um número infinito de soluções, então a desigualdade original 5(3x− 9) < 15x tem as mesmas soluções.

A resposta pode ser escrita como um intervalo numérico:

x ∈ (−∞; +∞)

Esta expressão diz que as soluções da inequação 5(3x− 9) < 15x são todos os números de menos infinito a mais infinito.

Exemplo 2. Resolva a desigualdade: 31(2x+ 1) − 12x> 50x

Vamos expandir os colchetes no lado esquerdo da desigualdade:

Vamos remarcar 50 x do lado direito para o esquerdo alterando o sinal. E vamos transferir o termo 31 do lado esquerdo para o lado direito, mudando novamente o sinal:

Aqui estão termos semelhantes:

Temos a desigualdade 0 x >-31. No lado esquerdo está o produto, que será igual a zero para qualquer x. E zero é maior que -31. Então a solução da desigualdade 0 x< -31 é qualquer número.

E se a desigualdade equivalente reduzida 0 x >−31 tem um número infinito de soluções, então a desigualdade original 31(2x+ 1) − 12x> 50x tem as mesmas soluções.

Vamos escrever a resposta como um intervalo numérico:

x ∈ (−∞; +∞)

Tarefas para solução independente

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