Nas tarefas de construção, consideraremos a construção de uma figura geométrica, que pode ser realizada usando uma régua e um compasso.

Com uma régua, você pode:

linha arbitrária;

uma linha arbitrária passando por um determinado ponto;

uma reta que passa por dois pontos dados.

Usando uma bússola, você pode descrever um círculo de um determinado raio a partir de um determinado centro.

Uma bússola pode ser usada para desenhar um segmento em uma determinada linha a partir de um determinado ponto.

Considere as principais tarefas para a construção.

Tarefa 1. Construa um triângulo com lados dados a, b, c (Fig. 1).

Decisão. Com a ajuda de uma régua, desenhe uma linha reta arbitrária e tome um ponto arbitrário B. Com uma abertura do compasso igual a a, descrevemos um círculo com centro B e raio a. Seja C o ponto de sua interseção com a linha. Com uma abertura do compasso igual a c, descrevemos um círculo a partir do centro B, e com uma abertura do compasso igual a b - um círculo a partir do centro C. Seja A o ponto de interseção desses círculos. O triângulo ABC tem lados iguais a a, b, c.

Comente. Para que três segmentos de reta sirvam como lados de um triângulo, é necessário que o maior deles seja menor que a soma dos outros dois (e< b + с).

Tarefa 2.

Decisão. Este ângulo com o vértice A e o feixe OM são mostrados na Figura 2.

Desenhe um círculo arbitrário centrado no vértice A do ângulo dado. Sejam B e C os pontos de intersecção do círculo com os lados do ângulo (Fig. 3, a). Vamos desenhar um círculo com raio AB com o centro no ponto O - o ponto inicial deste raio (Fig. 3, b). O ponto de intersecção deste círculo com o raio dado será denotado como С 1 . Vamos descrever um círculo com centro C 1 e raio BC. O ponto B 1 da intersecção de dois círculos fica do lado do ângulo desejado. Isso decorre da igualdade Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (o terceiro critério para a igualdade dos triângulos).

Tarefa 3. Construa a bissetriz do ângulo dado (Fig. 4).

Decisão. Do vértice A de um determinado ângulo, a partir do centro, traçamos um círculo de raio arbitrário. Sejam B e C os pontos de sua interseção com os lados do ângulo. Dos pontos B e C com o mesmo raio descrevemos os círculos. Seja D seu ponto de interseção, diferente de A. O raio AD divide o ângulo A pela metade. Isso decorre da igualdade ΔABD = ΔACD (o terceiro critério para a igualdade dos triângulos).

Tarefa 4. Desenhe uma mediana perpendicular a este segmento (Fig. 5).

Decisão. Com uma abertura de bússola arbitrária, mas idêntica (grande 1/2 AB), descrevemos dois arcos com centros nos pontos A e B, que se interceptam em alguns pontos C e D. A reta CD será a perpendicular necessária. De fato, como pode ser visto na construção, cada um dos pontos C e D está igualmente distante de A e B; portanto, esses pontos devem estar na mediatriz do segmento AB.

Tarefa 5. Divida esta seção ao meio. É resolvido da mesma forma que o problema 4 (ver Fig. 5).

Tarefa 6. Por um ponto dado, desenhe uma linha perpendicular à linha dada.

Decisão. Dois casos são possíveis:

1) o ponto dado O está na reta dada a (Fig. 6).

Do ponto O desenhamos um círculo com um raio arbitrário que intercepta a reta a nos pontos A e B. Dos pontos A e B desenhamos círculos com o mesmo raio. Seja О 1 seu ponto de interseção diferente de О. Obtemos ОО 1 ⊥ AB. De fato, os pontos O e O 1 são equidistantes das extremidades do segmento AB e, portanto, estão na mediatriz desse segmento.

Construindo um ângulo igual a um dado. Dado: meia linha, ângulo. Construção. V. A. C. 7. Para provar, basta notar que os triângulos ABC e OB1C1 são congruentes como triângulos com lados respectivamente iguais. Os ângulos A e O são os ângulos correspondentes desses triângulos. É necessário: adiar da meia linha dada para o semiplano dado um ângulo igual ao ângulo dado. C1. EM 1. A. 1. Desenhe um círculo arbitrário centrado no vértice A do ângulo dado. 2. Sejam B e C os pontos de intersecção do círculo com os lados do ângulo. 3. Desenhe um círculo com raio AB centrado no ponto O, o ponto inicial desta meia linha. 4. Denote o ponto de intersecção deste círculo com a meia linha dada por B1. 5. Descreva um círculo de centro B1 e raio BC. 6. O ponto de interseção C1 dos círculos construídos no semiplano especificado está no lado do ângulo desejado.

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Geometria Grau 7

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aula de geometria matemática

Resumo da lição “Construindo um ângulo igual a um dado. Construção de uma bissetriz de ângulo»

educacional: familiarizar os alunos com tarefas de construção, cuja solução é usada apenas com compasso e régua; ensinar a construir um ângulo igual a um dado, construir uma bissetriz;

desenvolvimento: desenvolvimento do pensamento espacial, atenção;

educacional: educação de diligência e precisão.

Equipamento: tabelas com a ordem de resolução de problemas de construção; compasso e régua.

Durante as aulas:

1. Actualização dos principais conceitos teóricos (5 min).

Primeiro, você pode realizar uma pesquisa frontal sobre as seguintes perguntas:

• 1. Que figura é chamada de triângulo?
• 2. Que triângulos são chamados iguais?
• 3. Formule sinais de igualdade de triângulos.
• 4. Qual segmento é chamado de bissetriz de um triângulo? Quantas bissetrizes tem um triângulo?
• 5. Defina um círculo. Qual é o centro, raio, corda e diâmetro de um círculo?

Para repetir os sinais de igualdade dos triângulos, você pode sugerir.

Exercício: indicar em qual das figuras (Fig. 1) existem triângulos iguais.

Arroz. 1

A repetição do conceito de círculo e seus elementos pode ser organizada oferecendo à classe as seguintes exercício, com sua execução por um aluno no quadro: dada uma linha a e um ponto A que está na linha e um ponto B não está na linha. Desenhe um círculo centrado no ponto A passando pelo ponto B. Marque os pontos de interseção do círculo com a linha a. Nomeie os raios do círculo.

2. Aprendizado de novo material (trabalho prático) (20 min)

Construindo um ângulo igual a um dado

Para considerar novos materiais, é útil que o professor tenha uma tabela (tabela nº 1 do Anexo 4). O trabalho com a mesa pode ser organizado de diferentes formas: pode ilustrar a história do professor ou um exemplo de registro de solução; você pode convidar os alunos, usando a tabela, a falar sobre a solução do problema e, em seguida, completá-lo independentemente em cadernos. A tabela pode ser usada ao entrevistar os alunos e ao repetir o material.

Tarefa. Separe do raio dado um ângulo igual ao dado.

Decisão. Este ângulo com o vértice A e o feixe OM são mostrados na Figura 2.

Arroz. 2

É necessário construir um ângulo igual ao ângulo A, de modo que um dos lados coincida com o raio OM. Desenhe um círculo de raio arbitrário centrado no vértice A do ângulo dado. Este círculo cruza os lados do canto nos pontos B e C (Fig. 3, a). Então desenhamos um círculo de mesmo raio centrado no início deste raio OM. Ela intercepta a viga no ponto D (Fig. 3, b). Depois disso, construímos um círculo com centro D, cujo raio é igual a BC. Círculos com centros O e D se cruzam em dois pontos. Denotemos um destes pontos pela letra E. Provemos que o ângulo MOE é o requerido.

Considere os triângulos ABC e ODE. Os segmentos AB e AC são os raios do círculo de centro A, e OD e OE são os raios do círculo de centro O. Como por construção esses círculos têm raios iguais, então AB=OD, AC=OE. Além disso, de acordo com a construção, BC \u003d DE. Portanto, ABC = ODE em três lados. Portanto, DOE = VOCÊ, ou seja, o ângulo construído MOE é igual ao ângulo A dado.

Arroz. 3

Construindo uma bissetriz de um ângulo dado

Tarefa. Construir a bissetriz do ângulo dado.

Decisão. Desenhe um círculo de raio arbitrário centrado no vértice A do ângulo dado. Ele cruzará os lados do canto nos pontos B e C. Em seguida, desenhamos dois círculos de mesmo raio BC com centros nos pontos B e C (apenas partes desses círculos são mostradas na Figura 4). Eles se cruzam em dois pontos. Um desses pontos que estiver dentro do ângulo BAC será denotado pela letra E. Provemos que o raio AE é a bissetriz desse ângulo.

Considere os triângulos ACE e ABE. Eles são iguais em três lados. De fato, AE é o lado comum; AC e AB são iguais, assim como os raios do mesmo círculo; CE=BE por construção. Da igualdade dos triângulos ACE e ABE segue-se que CAE \u003d BAE, ou seja. o raio AE é a bissetriz do ângulo dado.

Arroz. 4

O professor pode convidar os alunos a usar esta tabela (tabela nº 2 do Anexo 4) para construir a bissetriz do ângulo.

O aluno na lousa realiza a construção, justificando cada passo das ações realizadas.

A prova é mostrada pelo professor, é necessário deter-se em detalhes sobre a prova do fato de que, como resultado da construção, serão de fato obtidos ângulos iguais.

3. Fixação (10 min)

É útil oferecer aos alunos a seguinte tarefa para consolidar o material abordado:

Tarefa. O ângulo obtuso AOB é dado. Construa o raio OX de modo que os ângulos XOA e XOB sejam ângulos obtusos iguais.

Tarefa. Use compasso e régua para construir ângulos de 30º e 60º.

Tarefa. Construa um triângulo dado um lado, um ângulo adjacente ao seu lado e uma bissetriz do triângulo que emana do vértice do ângulo dado.

• 4. Resumo (3 min)
• 1. Durante a aula, resolvemos dois problemas de construção. Estudado:
  • a) construir um ângulo igual ao dado;
  • b) construir a bissetriz do ângulo.
• 2. Durante a resolução desses problemas:
  • a) lembrou-se dos sinais de igualdade dos triângulos;
  • b) utilizou a construção de círculos, segmentos, raios.
• 5. Para a casa (2 min): Nº 150-152 (ver Anexo 1).

Ao construir ou desenvolver projetos de design de residências, muitas vezes é necessário construir um ângulo igual ao já disponível. Modelos e conhecimento escolar de geometria vêm em socorro.

Instrução

• Um ângulo é formado por duas linhas retas que emanam do mesmo ponto. Este ponto será chamado de vértice do canto, e as linhas serão os lados do canto.
• Use três letras para designar os cantos: uma na parte superior, duas nas laterais. Eles nomeiam o canto, começando com a letra que fica de um lado, depois chamam a letra do topo e depois a letra do outro lado. Use outras maneiras de marcar os cantos, se preferir. Às vezes, apenas uma letra é chamada, que está no topo. E você pode denotar os ângulos com letras gregas, por exemplo, α, β, γ.
• Há situações em que é necessário traçar um ângulo para que seja igual a um ângulo já dado. Se não for possível usar um transferidor ao construir um desenho, você só pode se virar com uma régua e um compasso. Suponha que, em uma linha reta, indicada no desenho pelas letras MN, você precise construir um ângulo no ponto K, de modo que seja igual ao ângulo B. Ou seja, a partir do ponto K, você precisa traçar uma linha reta que forma um ângulo com a linha MN, que será igual ao ângulo B.
• Primeiro, marque um ponto em cada lado desse canto, por exemplo, os pontos A e C, depois conecte os pontos C e A com uma linha reta. Obtenha o triângulo ABC.
• Agora construa o mesmo triângulo na linha MN de modo que seu vértice B esteja na linha no ponto K. Use a regra para construir um triângulo em três lados. Separe o segmento KL do ponto K. Deve ser igual ao segmento BC. Obter ponto L.
• A partir do ponto K, desenhe um círculo de raio igual ao segmento BA. De L desenhe um círculo com raio CA. Conecte o ponto resultante (P) da interseção de dois círculos com K. Obtenha o triângulo KPL, que será igual ao triângulo ABC. Então você obtém o ângulo K. Será igual ao ângulo B. Para tornar esta construção mais conveniente e rápida, separe segmentos iguais do vértice B, usando uma solução de compasso, sem mover as pernas, descreva o círculo com o mesmo raio do ponto K.

Lições objetivas:

• Formação de competências para analisar o material estudado e competências para aplicá-lo na resolução de problemas;
• Mostrar o significado dos conceitos que estão sendo estudados;
• Desenvolvimento da atividade cognitiva e independência na obtenção do conhecimento;
• Despertando o interesse pelo assunto, um senso de beleza.

Lições objetivas:

• Formar habilidades na construção de um ângulo igual a um determinado usando uma régua de escala, compasso, transferidor e desenho de triângulo.
• Verifique a capacidade dos alunos para resolver problemas.

Plano de aula:

1. Repetição.
2. Construindo um ângulo igual a um dado.
3. Análise.
4. Construção do primeiro exemplo.
5. Construção do segundo exemplo.

Repetição.

Injeção.

canto plano- uma figura geométrica ilimitada formada por dois raios (lados de um ângulo) que emergem de um ponto (o vértice do ângulo).

Um ângulo também é chamado de figura formada por todos os pontos do plano contidos entre esses raios (de modo geral, dois desses raios correspondem a dois ângulos, pois dividem o plano em duas partes. Um desses ângulos é chamado condicionalmente de interno, e o outro externo.
Às vezes, por brevidade, um ângulo é chamado de medida angular.

Para designar um ângulo, existe um símbolo geralmente aceito: , proposto em 1634 pelo matemático francês Pierre Erigon.

Injeção- trata-se de uma figura geométrica (Fig. 1), formada por dois raios OA e OB (lados dos cantos), emanados de um ponto O (ápice dos cantos).

Um ângulo é denotado por um símbolo e três letras indicando as extremidades dos raios e o vértice do ângulo: AOB (além disso, a letra do vértice é a do meio). Os ângulos são medidos pela quantidade de rotação do raio OA em torno do vértice O até que o raio OA passe para a posição OB. Existem duas unidades comumente usadas para medir ângulos: radianos e graus. Para medição de ângulos em radianos, veja abaixo em "Comprimento do arco" e também no capítulo "Trigonometria".

Sistema de graus para medição de ângulos.

Aqui, a unidade de medida é o grau (sua designação é °) - esta é a rotação do feixe em 1/360 de uma volta completa. Assim, uma rotação completa da viga é de 360 ​​o. Um grau é dividido em 60 minutos (notação '); um minuto - respectivamente por 60 segundos (designação “). Um ângulo de 90° (Fig. 2) é chamado de reto; um ângulo menor que 90° (Fig. 3) é chamado de agudo; um ângulo maior que 90° (Fig. 4) é chamado de obtuso.

As linhas retas que formam um ângulo reto são chamadas de perpendiculares entre si. Se as linhas AB e MK são perpendiculares, isso é denotado: AB MK.

Construindo um ângulo igual a um dado.

Antes de iniciar a construção ou resolver qualquer problema, independentemente do assunto, é necessário realizar análise. Entenda do que se trata a tarefa, leia-a com atenção e lentamente. Se após a primeira vez houver dúvidas ou algo não ficou claro ou claro, mas não completamente, é recomendável lê-lo novamente. Se você estiver fazendo uma tarefa em sala de aula, você pode perguntar ao professor. Caso contrário, sua tarefa, que você entendeu mal, pode não ser resolvida corretamente, ou você pode encontrar algo que não é o que foi exigido de você e será considerado incorreto e você terá que refazê-lo. Quanto a mim - é melhor gastar um pouco mais de tempo estudando a tarefa do que refazer a tarefa novamente.

Análise.

Seja a uma dada semi-reta com vértice A, e seja (ab) o ângulo desejado. Escolhemos os pontos B e C nos raios a e b, respectivamente. Conectando os pontos B e C, obtemos o triângulo ABC. Em triângulos iguais, os ângulos correspondentes são iguais e, portanto, o método de construção segue. Se os pontos C e B são escolhidos de alguma maneira conveniente nos lados de um dado ângulo, um triângulo AB 1 C 1 igual a ABC é construído a partir de um dado raio até um dado semiplano (e isso pode ser feito se todos os lados de o triângulo são conhecidos), então o problema será resolvido.

Ao realizar qualquer construções Seja extremamente cuidadoso e tente realizar todas as construções com cuidado. Uma vez que quaisquer inconsistências podem resultar em algum tipo de erro, desvios, que podem levar a uma resposta incorreta. E se uma tarefa desse tipo for executada pela primeira vez, o erro será muito difícil de encontrar e corrigir.

Construção do primeiro exemplo.

Desenhe um círculo centrado no vértice do ângulo dado. Sejam B e C os pontos de intersecção do círculo com os lados do ângulo. Desenhe um círculo com raio AB centrado no ponto A 1 - o ponto inicial deste raio. O ponto de intersecção deste círculo com o raio dado será denotado por B 1 . Vamos descrever um círculo com centro B 1 e raio BC. O ponto de interseção C 1 dos círculos construídos no semiplano especificado está no lado do ângulo desejado.

Os triângulos ABC e A 1 B 1 C 1 são iguais em três lados. Os ângulos A e A 1 são os ângulos correspondentes desses triângulos. Portanto, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Para maior clareza, podemos considerar as mesmas construções com mais detalhes.

Construção do segundo exemplo.

Resta também a tarefa de adiar da meia linha dada para o semiplano dado um ângulo igual ao ângulo dado.

Construção.

Passo 1. Vamos desenhar um círculo com um raio arbitrário e centros no vértice A do ângulo dado. Sejam B e C os pontos de interseção do círculo com os lados do ângulo. E desenhe o segmento BC.

Passo 2 Desenhe um círculo com raio AB centrado no ponto O, o ponto inicial desta meia linha. Denote o ponto de intersecção do círculo com o raio B 1 .

etapa 3 Agora vamos descrever um círculo com centro B 1 e raio BC. Seja o ponto C 1 a interseção dos círculos construídos no semiplano especificado.

Passo 4 Vamos desenhar um raio do ponto O até o ponto C 1 . O ângulo C 1 OB 1 será o desejado.

Prova.

Os triângulos ABC e OB 1 C 1 são congruentes como triângulos com lados correspondentes. E, portanto, os ângulos CAB e C 1 OB 1 são iguais.

Fato interessante:

Em números.

Nos objetos do mundo ao seu redor, em primeiro lugar, você percebe suas propriedades individuais que distinguem um objeto do outro.

A abundância de propriedades particulares e individuais ofusca as propriedades gerais inerentes a absolutamente todos os objetos e, portanto, é sempre mais difícil descobrir tais propriedades.

Uma das propriedades comuns mais importantes dos objetos é que todos os objetos podem ser contados e medidos. Refletimos essa propriedade comum dos objetos no conceito de número.

As pessoas dominaram o processo de contar, ou seja, o conceito de número, muito lentamente, durante séculos, numa luta obstinada pela sua existência.

Para contar, é necessário ter não apenas objetos a serem contados, mas já ter a capacidade de se distrair ao considerar esses objetos de todas as suas outras propriedades, exceto o número, e essa capacidade é resultado de um longo histórico desenvolvimento baseado na experiência.

Toda pessoa agora aprende a contar com a ajuda de números imperceptivelmente mesmo na infância, quase simultaneamente com a forma como começa a falar, mas essa contagem a que estamos acostumados percorreu um longo caminho de desenvolvimento e assumiu diferentes formas.

Houve um tempo em que apenas dois números eram usados ​​para contar objetos: um e dois. No processo de expansão adicional do sistema numérico, partes do corpo humano estavam envolvidas e, em primeiro lugar, dedos, e se não houvesse "números" suficientes, então paus, pedrinhas e outras coisas.

N. N. Miklukho-Maclay em seu livro "Viagens" fala sobre uma maneira engraçada de contar usada pelos nativos da Nova Guiné:

Questões:

1. Qual é a definição de ângulo?
2. Quais são os tipos de cantos?
3. Qual é a diferença entre diâmetro e raio?

Lista de fontes usadas:

1. Mazur K. I. "Resolvendo os principais problemas competitivos em matemática da coleção editada por M. I. Scanavi"
2. Ingenuidade matemática. BA. Kordemsky. Moscou.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometria, 7 - 9: um livro didático para geral instituições educacionais»

Trabalhou na lição:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

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Disciplinas > Matemática > Matemática 7º ano