Entre todos os triângulos, existem dois tipos especiais: triângulos retângulos e triângulos isósceles. Por que esses tipos de triângulos são tão especiais? Bem, em primeiro lugar, esses triângulos muitas vezes acabam sendo os principais atores nas tarefas do Exame Unificado do Estado da primeira parte. E em segundo lugar, problemas sobre triângulos retângulos e isósceles são muito mais fáceis de resolver do que outros problemas de geometria. Você só precisa conhecer algumas regras e propriedades. Todo o mais interessante é discutido no tópico correspondente, e agora consideraremos triângulos isósceles. E antes de tudo, o que é um triângulo isósceles. Ou, como dizem os matemáticos, qual é a definição de um triângulo isósceles?
Veja como é:
Como um triângulo retângulo, um triângulo isósceles tem nomes especiais para seus lados. Dois lados iguais são chamados lados, e o terceiro base.
E mais uma vez, observe a imagem:
Claro que poderia ser assim:
Por isso tem cuidado: lado lateral - um dos dois lados iguais em um triângulo isósceles, e a base é um terceiro.
Por que um triângulo isósceles é tão bom? Para entender isso, vamos desenhar a altura até a base. Você lembra qual é a altura?
O que aconteceu? De um triângulo isósceles, surgiram dois retângulos.
Isso já é bom, mas vai acontecer em qualquer, o triângulo mais “oblíquo”.
Qual é a diferença entre a imagem para um triângulo isósceles? Olhe novamente:
Bem, em primeiro lugar, é claro, não é suficiente para esses estranhos matemáticos simplesmente ver - eles certamente devem provar. E então, de repente, esses triângulos são ligeiramente diferentes, e vamos considerá-los iguais.
Mas não se preocupe: neste caso, provar é quase tão fácil quanto ver.
Podemos começar? Observe com atenção, temos:
E, portanto,! Por quê? Sim, acabamos de encontrar e, e do teorema de Pitágoras (lembrando ao mesmo tempo que)
Tem certeza? Bem, agora temos
E em três lados - o sinal mais fácil (terceiro) da igualdade dos triângulos.
Bem, nosso triângulo isósceles é dividido em dois retângulos idênticos.
Veja que interessante? Descobriu-se que:
Como é costume os matemáticos falarem sobre isso? Vamos em ordem:
(Lembramos aqui que a mediana é uma linha traçada a partir do vértice que corta o lado e a bissetriz é o ângulo.)
Bem, aqui discutimos o que de bom pode ser visto se for dado um triângulo isósceles. Deduzimos que em um triângulo isósceles os ângulos na base são iguais, e a altura, a bissetriz e a mediana traçadas para a base são as mesmas.
E agora surge outra pergunta: como reconhecer um triângulo isósceles? Isto é, como dizem os matemáticos, quais são sinais de um triângulo isósceles?
E acontece que você só precisa “virar” todas as declarações ao contrário. Isso, é claro, nem sempre acontece, mas um triângulo isósceles ainda é uma grande coisa! O que acontece após a "reversão"?
Pois veja aqui:
Se a altura e a mediana forem iguais, então:
Se a altura e a bissetriz forem iguais, então: 
Se a bissetriz e a mediana forem iguais, então:
Bem, não se esqueça e use:
- Se for dado um triângulo triangular isósceles, sinta-se à vontade para desenhar uma altura, obter dois triângulos retângulos e resolver o problema já sobre um triângulo retângulo.
- Se for dado isso dois ângulos são iguais, então o triângulo exatamente isósceles e você pode desenhar uma altura e .... (A casa que Jack construiu ...).
- Se a altura for dividida ao meio pelo lado, o triângulo é isósceles com todos os bônus resultantes.
- Se descobrisse que a altura dividia o ângulo para os pisos - também isósceles!
- Se a bissetriz dividiu o lado ao meio ou a mediana - o ângulo, isso também acontece só em um triângulo isósceles
Vamos ver como fica nas tarefas.
Tarefa 1(o mais simples)
Em um triângulo, os lados e são iguais, a. Encontrar.
Nós decidimos:
Primeiro um desenho.
Qual é a base aqui? Certamente, .
Lembramos que se, então e.
Desenho atualizado:
Vamos designar para. Qual é a soma dos ângulos do triângulo? ?
Nós usamos:
Isso é responda: .
Fácil, certo? Eu nem precisei subir.
Tarefa 2(Também não é muito complicado, mas você precisa repetir o tema)
Em um triângulo, Encontrar.
Nós decidimos:
O triângulo é isósceles! Desenhamos a altura (este é o foco, com a ajuda de que tudo será decidido agora).
Agora "excluímos da vida", só consideraremos.
Assim, em temos:
Relembramos os valores tabulares dos cossenos (bem, ou veja a folha de dicas...)
Resta encontrar: .
Responda: .
Observe que estamos aqui muito conhecimento necessário sobre o triângulo retângulo e os senos e cossenos "tabulares". Muitas vezes isso acontece: os tópicos “Triângulo Isósceles” e em quebra-cabeças vão em pacotes, mas não são muito amigáveis com outros tópicos.
Triângulo isósceles. Nível médio.
Esses dois lados iguais chamado lados, uma o terceiro lado é a base de um triângulo isósceles.
Olhe para a foto: e - os lados, - a base de um triângulo isósceles.
Vamos ver em uma foto por que isso é assim. Desenhe uma altura a partir de um ponto.
Isso significa que todos os elementos correspondentes são iguais.
Tudo! De uma só vez (altura) todas as afirmações foram provadas de uma só vez.
E lembre-se: para resolver o problema do triângulo isósceles, muitas vezes é muito útil abaixar a altura até a base do triângulo isósceles e dividi-lo em dois triângulos retângulos iguais.
Sinais de um triângulo isósceles
As afirmações inversas também são verdadeiras:
Quase todas essas declarações podem ser provadas novamente "de uma só vez".
1. Então, deixe v acabou sendo igual e.
Vamos pegar a altura. Então
2. a) Agora deixe entrar algum triângulo mesma altura e bissetriz.
2. b) E se a altura e a mediana forem iguais? Tudo é quase o mesmo, nada mais complicado!
 |
- em duas pernas |
2. c) Mas se não houver altura, que é abaixado para a base de um triângulo isósceles, então não há triângulos inicialmente retângulos. Seriamente!
Mas há uma saída - leia-o no próximo nível da teoria, porque a prova é mais complicada aqui, mas por enquanto apenas lembre-se de que, se a mediana e a bissetriz coincidirem, o triângulo também será isósceles e a altura será ainda coincidem com essas bissetrizes e medianas.
Para resumir:
- Se o triângulo é isósceles, então os ângulos na base são iguais, e a altura, a bissetriz e a mediana traçadas para a base são as mesmas.
- Se em algum triângulo existem dois ângulos iguais, ou algumas das três linhas (bissetriz, mediana, altura) coincidem, então tal triângulo é isósceles.
Triângulo isósceles. Breve descrição e fórmulas básicas
Um triângulo isósceles é um triângulo que tem dois lados iguais.
Sinais de um triângulo isósceles:
- Se um triângulo tem dois ângulos iguais, então é isósceles.
- Se em algum triângulo coincidem:
a) altura e bissetriz ou
b) altura e mediana ou
dentro) mediana e bissetriz,
puxado para um lado, então tal triângulo é isósceles.
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Os primeiros historiadores de nossa civilização - os gregos antigos - mencionam o Egito como o berço da geometria. É difícil discordar deles, sabendo com que incrível precisão os túmulos gigantes dos faraós foram erguidos. O arranjo mútuo dos planos das pirâmides, suas proporções, orientação para os pontos cardeais - seria impensável alcançar tal perfeição sem conhecer o básico da geometria.
A própria palavra "geometria" pode ser traduzida como "medição da terra". Além disso, a palavra "terra" aparece não como um planeta - parte do sistema solar, mas como um plano. A marcação de áreas para agricultura, muito provavelmente, é a base muito original da ciência das formas geométricas, seus tipos e propriedades.
Um triângulo é a figura espacial mais simples da planimetria, contendo apenas três pontos - vértices (não há menos). O fundamento dos fundamentos, talvez, seja o motivo pelo qual algo misterioso e antigo parece estar nele. O olho que tudo vê dentro de um triângulo é um dos primeiros sinais ocultos conhecidos, e a geografia de sua distribuição e período de tempo são simplesmente incríveis. Dos antigos egípcios, sumérios, astecas e outras civilizações a comunidades mais modernas de amantes do ocultismo espalhadas pelo mundo.
O que são triângulos
Um triângulo escaleno comum é uma figura geométrica fechada, composta por três segmentos de diferentes comprimentos e três ângulos, nenhum dos quais é reto. Além dele, existem vários tipos especiais.
Um triângulo agudo tem todos os ângulos menores que 90 graus. Em outras palavras, todos os ângulos de tal triângulo são agudos.
Um triângulo de ângulo reto, sobre o qual os alunos choraram o tempo todo por causa da abundância de teoremas, tem um ângulo com um valor de 90 graus ou, como também é chamado, um ângulo reto.
Um triângulo obtuso se distingue pelo fato de um de seus ângulos ser obtuso, ou seja, seu valor é superior a 90 graus.
Um triângulo equilátero tem três lados de mesmo comprimento. Em tal figura, todos os ângulos também são iguais.
E, finalmente, em um triângulo isósceles de três lados, dois são iguais entre si.
Características distintas
As propriedades de um triângulo isósceles também determinam sua principal diferença - a igualdade dos dois lados. Esses lados iguais são geralmente chamados de quadris (ou, mais frequentemente, os lados), mas o terceiro lado é chamado de “base”.
Na figura em consideração, a = b.
O segundo sinal de um triângulo isósceles segue do teorema do seno. Como os lados a e b são iguais, os senos de seus ângulos opostos também são iguais:
a/sen γ = b/sen α, de onde temos: sen γ = sen α.
Da igualdade dos senos segue a igualdade dos ângulos: γ = α.
Assim, o segundo sinal de um triângulo isósceles é a igualdade de dois ângulos adjacentes à base.
Terceiro sinal. Em um triângulo, distinguem-se elementos como altura, bissetriz e mediana.
Se no processo de resolução do problema se verificar que no triângulo em consideração, quaisquer dois desses elementos coincidem: a altura com a mediatriz; bissetriz com mediana; mediana com altura - podemos definitivamente concluir que o triângulo é isósceles.
Propriedades geométricas de uma figura
1. Propriedades de um triângulo isósceles. Uma das qualidades distintivas da figura é a igualdade dos ângulos adjacentes à base:
<ВАС = <ВСА.
2. Outra propriedade discutida acima: a mediana, a bissetriz e a altura em um triângulo isósceles são as mesmas se forem construídas do topo para a base.
3. A igualdade das bissetrizes extraídas dos vértices na base:
Se AE é a bissetriz do ângulo BAC e CD é a bissetriz do ângulo BCA, então: AE = DC.
4. As propriedades de um triângulo isósceles também fornecem a igualdade das alturas que são desenhadas dos vértices na base.
Se construirmos as alturas do triângulo ABC (onde AB = BC) a partir dos vértices A e C, os segmentos resultantes CD e AE serão iguais.
5. As medianas desenhadas dos cantos da base também serão iguais.
Então, se AE e DC são medianas, ou seja, AD = DB e BE = EC, então AE = DC.
Altura de um triângulo isósceles
A igualdade dos lados e ângulos neles introduz algumas características no cálculo dos comprimentos dos elementos da figura em questão.
A altura em um triângulo isósceles divide a figura em 2 triângulos retângulos simétricos, cujas hipotenusas são os lados. A altura neste caso é determinada de acordo com o teorema de Pitágoras, como uma perna.
Um triângulo pode ter os três lados iguais, então ele será chamado de equilátero. A altura em um triângulo equilátero é determinada de maneira semelhante, apenas para cálculos basta conhecer apenas um valor - o comprimento do lado desse triângulo.
Você pode determinar a altura de outra maneira, por exemplo, conhecendo a base e o ângulo adjacente a ela.
Mediana de um triângulo isósceles
O tipo de triângulo em consideração, devido às características geométricas, é resolvido simplesmente pelo conjunto mínimo de dados iniciais. Como a mediana em um triângulo isósceles é igual tanto à sua altura quanto à sua bissetriz, o algoritmo para determiná-la não é diferente da ordem em que esses elementos são calculados.
Por exemplo, você pode determinar o comprimento da mediana pelo lado lateral conhecido e o valor do ângulo no vértice.
Como determinar o perímetro
Como a figura planimétrica considerada tem dois lados sempre iguais, para determinar o perímetro basta conhecer o comprimento da base e o comprimento de um dos lados.
Considere um exemplo quando você precisa determinar o perímetro de um triângulo com base e altura conhecidas.
O perímetro é igual à soma da base e duas vezes o comprimento do lado. O lado lateral, por sua vez, é determinado usando o teorema de Pitágoras como a hipotenusa de um triângulo retângulo. Seu comprimento é igual à raiz quadrada da soma do quadrado da altura e o quadrado da metade da base.
Área de um triângulo isósceles
Não causa, via de regra, dificuldades e o cálculo da área de um triângulo isósceles. A regra universal para determinar a área de um triângulo como metade do produto da base e sua altura é aplicável, é claro, no nosso caso. No entanto, as propriedades de um triângulo isósceles novamente tornam a tarefa mais fácil.
Suponhamos que conhecemos a altura e o ângulo adjacente à base. Você precisa determinar a área da figura. Você pode fazer desta forma.
Como a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180°, não é difícil determinar a magnitude do ângulo. Além disso, usando a proporção elaborada de acordo com o teorema do seno, o comprimento da base do triângulo é determinado. Tudo, base e altura - dados suficientes para determinar a área - estão disponíveis.
Outras propriedades de um triângulo isósceles
A posição do centro de um círculo circunscrito em torno de um triângulo isósceles depende do ângulo do vértice. Então, se um triângulo isósceles tem um ângulo agudo, o centro do círculo está localizado dentro da figura.
O centro de um círculo circunscrito em torno de um triângulo obtuso isósceles está fora dele. E, finalmente, se o valor do ângulo no vértice for 90 °, o centro fica exatamente no meio da base e o diâmetro do círculo passa pela própria base.
Para determinar o raio de um círculo circunscrito a um triângulo isósceles, basta dividir o comprimento do lado lateral pelo dobro do cosseno da metade do ângulo no vértice.
As propriedades de um triângulo isósceles expressam os seguintes teoremas.
Teorema 1. Em um triângulo isósceles, os ângulos na base são iguais.
Teorema 2. Em um triângulo isósceles, a bissetriz traçada para a base é a mediana e a altura.
Teorema 3. Em um triângulo isósceles, a mediana traçada para a base é a bissetriz e a altura.
Teorema 4. Em um triângulo isósceles, a altura traçada até a base é a bissetriz e a mediana.
Vamos provar um deles, por exemplo, o Teorema 2.5.
Prova. Considere um triângulo isósceles ABC com base BC e prove que ∠ B = ∠ C. Seja AD a bissetriz do triângulo ABC (Fig. 1). Os triângulos ABD e ACD são iguais de acordo com o primeiro sinal de igualdade dos triângulos (AB = AC por condição, AD é o lado comum, ∠ 1 = ∠ 2, pois AD é a bissetriz). Segue da igualdade desses triângulos que ∠ B = ∠ C. O teorema está provado.
Usando o Teorema 1, estabelecemos o seguinte teorema.
Teorema 5. O terceiro critério para a igualdade dos triângulos. Se três lados de um triângulo são respectivamente iguais a três lados de outro triângulo, então tais triângulos são iguais (Fig. 2).
Comente. As sentenças estabelecidas nos exemplos 1 e 2 expressam as propriedades da mediatriz ao segmento. Decorre dessas propostas que as mediatrizes dos lados de um triângulo se cruzam em um ponto.
Exemplo 1 Prove que o ponto do plano equidistante das extremidades do segmento está na mediatriz desse segmento.
Decisão. Seja o ponto M equidistante das extremidades do segmento AB (Fig. 3), ou seja, AM = VM.
Então ΔAMV é isósceles. Tracemos uma reta p passando pelo ponto M e pelo ponto médio O do segmento AB. Por construção, o segmento MO é a mediana do triângulo isósceles AMB e, portanto (Teorema 3), e a altura, ou seja, a reta MO, é a mediatriz do segmento AB.
Exemplo 2 Prove que cada ponto da mediatriz de um segmento é equidistante de suas extremidades.
Decisão. Seja p a mediatriz do segmento AB e o ponto O o ponto médio do segmento AB (ver Fig. 3).
Considere um ponto arbitrário M sobre a reta p. Vamos desenhar os segmentos AM e VM. Os triângulos AOM e VOM são iguais, pois seus ângulos no vértice O são retos, a perna OM é comum e a perna OA é igual à perna OB por condição. Da igualdade dos triângulos AOM e BOM segue que AM = BM.
Exemplo 3 No triângulo ABC (veja a Fig. 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; no triângulo DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Compare os triângulos ABC e DEF. Encontre ângulos correspondentemente iguais.
Decisão. Esses triângulos são iguais no terceiro critério. Assim, ângulos iguais: A e E (eles estão opostos aos lados iguais BC e FD), B e F (eles estão opostos aos lados iguais AC e DE), C e D (eles estão opostos aos lados iguais AB e EF).
Exemplo 4 Na figura 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Encontre o ângulo D.
Decisão. Considere os triângulos ABC e ADC. Eles são iguais na terceira característica (AB = DC, BC = AD por condição e o lado AC é comum). Da igualdade destes triângulos segue-se que ∠ B = ∠ D, mas o ângulo B é 100°, logo o ângulo D é 100°.
Exemplo 5 Em um triângulo isósceles ABC com base AC, o ângulo externo no vértice C é 123°. Encontre o ângulo ABC. Dê sua resposta em graus.
Solução de vídeo.
