Eu = ∑r eu 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

Em princípio, tanto a definição como a fórmula que a descreve não são complicadas e lembrá-las é muito mais fácil do que compreender a essência. Mesmo assim, vamos tentar descobrir qual é o momento de inércia e de onde ele vem.

O conceito de momento de inércia veio para a resistência dos materiais e da mecânica estrutural de outro ramo da física que estuda a cinemática do movimento, em particular o movimento rotacional. Mas vamos começar de longe de qualquer maneira.

Não sei ao certo se uma maçã caiu na cabeça de Isaac Newton, se caiu perto ou se não caiu; a teoria da probabilidade permite todas essas opções (além disso, há muita coisa nesta maçã da lenda bíblica sobre a árvore do conhecimento), mas tenho certeza de que Newton era uma pessoa observadora, capaz de tirar conclusões de suas observações. Assim, a observação e a imaginação permitiram a Newton formular a lei fundamental da dinâmica (segunda lei de Newton), segundo a qual a massa de um corpo eu, multiplicado pela aceleração a, é igual à força atuante P(na verdade, a designação F é mais comum para força, mas como mais adiante trataremos da área, que também é frequentemente denotada como F, utilizo a designação Q para a força externa, considerada na mecânica teórica como uma carga concentrada, na verdade, não muda):

Q = mãe (1.2)

Para mim, a grandeza de Newton reside precisamente na simplicidade e clareza desta definição. E também, se levarmos em conta que com movimento uniformemente acelerado, a aceleração A igual à taxa de incremento de velocidade ΔV a um período de tempo Δt, durante o qual a velocidade mudou:

a = Δv/Δt = (v - vо)/t (1.3.1)

em V o = 0 uma = v/t (1.3.2)

então você pode determinar os parâmetros básicos do movimento, como distância, velocidade, tempo e até impulso R, caracterizando a quantidade de movimento:

p = mv (1.4)

Por exemplo, uma maçã que cai de diferentes alturas apenas sob a influência da gravidade levará tempos diferentes para atingir o solo, terá velocidades diferentes no momento da aterrissagem e, correspondentemente, um momento diferente. Em outras palavras, uma maçã caindo de uma altura maior demorará mais para voar e quebrará com mais força na testa do observador azarado. E Newton reduziu tudo isso a uma fórmula simples e compreensível.

Newton também formulou a lei da inércia (primeira lei de Newton): se a aceleração uma = 0, então, em um referencial inercial, é impossível determinar se o corpo observado, que não sofre a ação de forças externas, está em repouso ou se move em linha reta com velocidade constante. Essa propriedade dos corpos materiais de manter sua velocidade, mesmo zero, é chamada de inércia. A medida da inércia é a massa inercial do corpo. Às vezes a massa inercial é chamada de inerte, mas isso não muda a essência da questão. Acredita-se que a massa inercial é igual à massa gravitacional e, portanto, muitas vezes não é especificado a que massa se refere, mas simplesmente é mencionada a massa do corpo.

Não menos importante e significativa é a terceira lei de Newton, segundo a qual a força de acção é igual à força de reacção se as forças forem dirigidas numa linha recta, mas em direcções opostas. Apesar de sua aparente simplicidade, esta conclusão de Newton é brilhante e é difícil superestimar a importância desta lei. Uma das aplicações desta lei é discutida abaixo.

No entanto, estas disposições são válidas apenas para corpos que se deslocam translacionalmente, ou seja, ao longo de um caminho reto e ao mesmo tempo todos os pontos materiais de tais corpos se movem com a mesma velocidade ou a mesma aceleração. Durante o movimento curvilíneo e em particular durante o movimento rotacional, por exemplo, quando um corpo gira em torno de seu eixo de simetria, os pontos materiais de tal corpo se movem no espaço com a mesma velocidade angular c, mas ao mesmo tempo a velocidade linear v pontos diferentes terão valores diferentes e esta velocidade linear é diretamente proporcional à distância R do eixo de rotação até este ponto:

v=wr (1.5)

neste caso, a velocidade angular é igual à razão entre o incremento do ângulo de rotação Δφ a um período de tempo Δt, para o qual o ângulo de rotação mudou:

w = Δφ/Δt = (φ - φо)/t (1.6.1)

em φ o = 0 C = φ/t (1.7.2)

consequentemente aceleração normal e n durante o movimento rotacional é igual a:

uma n = v 2 /r = w 2 r (1.8)

E acontece que para o movimento rotacional não podemos usar diretamente a fórmula (1.2), pois no movimento rotacional por si só o valor da massa corporal não é suficiente, precisamos também saber a distribuição dessa massa no corpo. Acontece que quanto mais próximos os pontos materiais do corpo estão do eixo de rotação, menos força deve ser aplicada para fazer o corpo girar, e vice-versa, mais distantes os pontos materiais do corpo estão do eixo de rotação, maior será a força que deve ser aplicada para forçar a rotação do corpo (neste caso estamos falando da aplicação de força no mesmo ponto). Além disso, ao girar um corpo, é mais conveniente considerar não a força atuante, mas o torque, pois durante o movimento rotacional o ponto de aplicação da força também é de grande importância.

As incríveis propriedades do torque são conhecidas por nós desde a época de Arquimedes, e se aplicarmos o conceito de torque ao movimento rotacional, então o significado de torque M será maior quanto maior a distância R do eixo de rotação ao ponto de aplicação da força F(na mecânica estrutural, uma força externa é frequentemente denotada como R ou P):

M = Qr (1.9)

Desta fórmula também não muito complicada segue-se que se uma força for aplicada ao longo do eixo de rotação, então não haverá rotação, pois r = 0, e se a força for aplicada na distância máxima do eixo de rotação, então o valor do momento será máximo. E se substituirmos na fórmula (1.9) o valor da força da fórmula (1.2) e o valor da aceleração normal e da fórmula (1.8), obtemos a seguinte equação:

M = mw 2 r r = mw 2 r 2 (1.10)

No caso particular em que o corpo é um ponto material com dimensões muito menores que a distância deste ponto ao eixo de rotação, a equação (1.10) é aplicável na sua forma pura. Porém, para um corpo girando em torno de um de seus eixos de simetria, a distância de cada ponto material que compõe esse corpo é sempre menor que uma das dimensões geométricas do corpo e portanto a distribuição da massa do corpo é de grande importância, neste caso é necessário levar em conta estas distâncias separadamente para cada ponto:

M = ∑r eu 2 w 2 m eu (1.11.1)

М с = w 2 ∫r 2 dm

E então acontece que, de acordo com a terceira lei de Newton, em resposta à ação do torque, surgirá o chamado momento de inércia EU. Neste caso, os valores do torque e do momento de inércia serão iguais, e os próprios momentos serão direcionados em direções opostas. A uma velocidade angular de rotação constante, por exemplo w = 1, as principais grandezas que caracterizam o torque ou momento de inércia serão a massa dos pontos materiais que compõem o corpo e as distâncias desses pontos ao eixo de rotação. Como resultado, a fórmula do momento de inércia terá a seguinte forma:

[- M] = I = ∑r eu 2 m eu (1.12.1)

Eu c = ∫r 2 dm(1.11.2) - quando o corpo gira em torno do eixo de simetria

Onde EU- a designação geralmente aceite para o momento de inércia, Eu- designação do momento axial de inércia do corpo, kg/m 2. Para um corpo homogêneo com a mesma densidade ρ por todo o corpo V A fórmula para o momento axial de inércia de um corpo pode ser escrita da seguinte forma:

Eu c = ∫ρr 2 dV (1.13)

Assim, o momento de inércia é uma medida da inércia de um corpo durante o movimento rotacional, assim como a massa é uma medida da inércia de um corpo durante o movimento retilíneo translacional.

O círculo completou-se. E aqui pode surgir a pergunta: o que todas essas leis da dinâmica e da cinemática têm a ver com o cálculo de estruturas estáticas de edifícios? Acontece que nenhuma das duas é a coisa mais direta e imediata. Em primeiro lugar, porque todas estas fórmulas foram derivadas por físicos e matemáticos naqueles tempos distantes, quando disciplinas como “Mecânica Teórica” ou “Teoria da Resistência dos Materiais” simplesmente não existiam. E em segundo lugar, porque todo o cálculo das estruturas dos edifícios se baseia nas leis e formulações indicadas e na afirmação que ainda não foi refutada por ninguém sobre a igualdade das massas gravitacional e inercial. Mas na teoria da resistência dos materiais tudo é ainda mais simples, por mais paradoxal que pareça.

E é mais simples porque na resolução de certos problemas não se pode considerar todo o corpo, mas apenas a sua secção transversal e, se necessário, várias secções transversais. Mas nessas seções atuam as mesmas forças físicas, embora de natureza ligeiramente diferente. Assim, se considerarmos um determinado corpo cujo comprimento é constante, e o próprio corpo é homogêneo, então se não levarmos em conta os parâmetros constantes - comprimento e densidade ( eu = const, ρ = const) - obtemos um modelo transversal. Para tal seção transversal, do ponto de vista matemático, a seguinte equação será válida:

Eu р = ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)

Onde IP- momento polar de inércia da seção transversal, m 4. Como resultado, obtivemos a fórmula com a qual começamos (mas não sei se ficou mais claro qual é o momento de inércia de uma seção).

Como na teoria da resistência dos materiais as seções retangulares são frequentemente consideradas, e o sistema de coordenadas retangulares é mais conveniente, na resolução de problemas geralmente são considerados dois momentos axiais de inércia da seção transversal:

Eu z = ∫y 2 dF (2.2.1)

Eu y = ∫z 2 dF (2.2.2)

Imagem 1. Valores coordenados na determinação dos momentos axiais de inércia.

Aqui pode surgir a questão de por que os eixos são usados z E no, e não os mais familiares X E no? Acontece que determinar as forças numa secção transversal e selecionar uma secção que possa suportar tensões operacionais iguais às forças aplicadas são duas tarefas diferentes. A primeira tarefa - determinação de forças - é resolvida pela mecânica estrutural, a segunda tarefa - seleção de seções transversais - é resolvida pela teoria da resistência dos materiais. Ao mesmo tempo, na mecânica estrutural, na resolução de problemas simples, muitas vezes é considerada uma haste (para estruturas retilíneas) com um determinado comprimento. eu, e a altura e largura da seção não são levadas em consideração, embora se considere que o eixo X passa com precisão pelos centros de gravidade de todas as seções transversais e, portanto, ao construir diagramas (às vezes bastante complexos), o comprimento eué depositado precisamente ao longo do eixo X, e ao longo do eixo no Os valores do gráfico são plotados. Ao mesmo tempo, a teoria da resistência dos materiais considera precisamente a seção transversal, para a qual a largura e a altura são importantes, e o comprimento não é levado em consideração. É claro que, ao resolver problemas de teoria da resistência dos materiais, que às vezes também são bastante complexos, são utilizados os mesmos eixos familiares. X E no. Este estado de coisas não me parece totalmente correcto, pois apesar da diferença, estas ainda são tarefas relacionadas e por isso seria mais adequado utilizar eixos comuns para a estrutura que está a ser calculada.

O valor do momento polar de inércia em um sistema de coordenadas retangulares será:

Eu р = ∫r 2 dF =∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

Como em um sistema de coordenadas retangulares, o raio é a hipotenusa de um triângulo retângulo e, como você sabe, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. E há também o conceito de momento centrífugo de inércia da seção transversal:

Eu xz = ∫xzdF(2.4)

Entre os eixos do sistema de coordenadas retangulares que passam pelo centro de gravidade da seção transversal, existem dois eixos perpendiculares entre si, em relação aos quais os momentos de inércia axiais assumem os valores máximo e mínimo, enquanto o momento de inércia centrífuga do seção eu zy = 0. Tais eixos são chamados de eixos centrais principais da seção transversal, e os momentos de inércia em torno de tais eixos são chamados de momentos de inércia centrais principais.

Quando falamos de momentos de inércia na teoria da resistência dos materiais, geralmente nos referimos aos principais momentos de inércia centrais da seção transversal. Para seções quadradas, retangulares e circulares, os eixos principais coincidirão com os eixos de simetria. Os momentos de inércia da seção transversal também são chamados de momentos de inércia geométricos ou momentos de inércia de área, mas a essência permanece a mesma.

Em princípio, não há grande necessidade de determinar os valores dos principais momentos centrais de inércia para as seções transversais das formas geométricas mais comuns - quadrado, retângulo, círculo, tubo, triângulo e alguns outros. Tais momentos de inércia já foram definidos e amplamente conhecidos. E ao calcular momentos axiais de inércia para seções de formas geométricas complexas, o teorema de Huygens-Steiner é válido:

eu = eu c + r 2 F (2.5)

Assim, se forem conhecidas as áreas e centros de gravidade das figuras geométricas simples que compõem uma seção complexa, não será difícil determinar o valor do momento de inércia axial de toda a seção. E para determinar o centro de gravidade de uma seção complexa, são utilizados os momentos estáticos da seção transversal. Os momentos estáticos são discutidos com mais detalhes em outro artigo, apenas acrescentarei aqui. O significado físico do momento estático é o seguinte: o momento estático de um corpo é a soma dos momentos dos pontos materiais que compõem o corpo, em relação a algum ponto (momento estático polar) ou em relação a um eixo (momento estático axial ), e como o momento é o produto da força e do braço (1.9) , então o momento estático do corpo é determinado de acordo:

S = ∑M = ∑r eu eu eu= ∫rdm (2.6)

e então o momento estático polar da seção transversal será:

S р = ∫rdF (2.7)

Como você pode ver, a definição de momento estático é semelhante à definição de momento de inércia. Mas há uma diferença fundamental. O momento estático é denominado estático porque para um corpo sobre o qual atua a força da gravidade, o momento estático é igual a zero em relação ao centro de gravidade. Em outras palavras, tal corpo está em estado de equilíbrio se o suporte for aplicado ao centro de gravidade do corpo. E de acordo com a primeira lei de Newton, tal corpo está em repouso ou se movendo a uma velocidade constante, ou seja, aceleração = 0. E do ponto de vista puramente matemático, o torque estático pode ser igual a zero pela simples razão de que ao determinar o torque estático é necessário levar em consideração o sentido de ação do torque. Por exemplo, em relação aos eixos coordenados que passam pelo centro de gravidade do retângulo, as áreas da parte superior e inferior do retângulo serão positivas, pois simbolizam a força da gravidade agindo em uma direção. Neste caso, a distância do eixo ao centro de gravidade pode ser considerada positiva (condicionalmente: o momento da força gravitacional da parte superior do retângulo tenta girar a seção no sentido horário), e ao centro de gravidade de a parte inferior - como negativa (condicionalmente: o momento da força gravitacional da parte inferior do retângulo tenta girar a seção no sentido anti-horário). E como tais áreas são numericamente iguais e iguais às distâncias dos centros de gravidade da parte superior do retângulo e da parte inferior do retângulo, então a soma dos momentos atuantes será o desejado 0.

S z = ∫ydF = 0 (2.8)

Este grande zero também permite determinar as reações de apoio das estruturas dos edifícios. Se considerarmos uma estrutura de edifício à qual, por exemplo, uma carga concentrada Q é aplicada num determinado ponto, então tal estrutura de edifício pode ser considerada como um corpo com um centro de gravidade no ponto de aplicação da força, e o as reações de apoio, neste caso, são consideradas como forças aplicadas nos pontos de apoio. Assim, conhecendo o valor da carga concentrada Q e a distância do ponto de aplicação da carga aos apoios da estrutura do edifício, é possível determinar as reações de apoio. Por exemplo, para uma viga simplesmente apoiada em dois apoios, o valor das reações de apoio será proporcional à distância até o ponto de aplicação da força, e a soma das reações de apoio será igual à carga aplicada. Mas via de regra, na determinação das reações de apoio, elas procedem de forma ainda mais simples: um dos apoios é tomado como centro de gravidade, e então a soma dos momentos da carga aplicada e das demais reações de apoio ainda é igual a zero. Neste caso, o momento da reação de apoio em relação ao qual é compilada a equação do momento é igual a zero, pois o braço da força = 0, o que significa que na soma dos momentos restam apenas duas forças: a carga aplicada e a reação de apoio desconhecida (para estruturas estaticamente determinadas).

Assim, a diferença fundamental entre o momento estático e o momento de inércia é que o momento estático caracteriza a seção que a força da gravidade tenta quebrar ao meio em relação ao centro de gravidade ou eixo de simetria, e o momento de a inércia caracteriza um corpo cujos pontos materiais estão se movendo (ou tentando se mover em uma direção). Talvez os seguintes esquemas de cálculo bastante convencionais para uma seção retangular ajudem a imaginar mais claramente essa diferença:

Figura 2. Diferença clara entre momento estático e momento de inércia.

Agora voltemos mais uma vez à cinemática do movimento. Se traçarmos analogias entre as tensões que surgem nas seções transversais das estruturas dos edifícios e vários tipos de movimento, então, nos elementos esticados e comprimidos centralmente, surgem tensões que são uniformes em toda a área da seção transversal. Essas tensões podem ser comparadas à ação de alguma força sobre um corpo, na qual o corpo se moverá de forma retilínea e progressiva. E o mais interessante é que as seções transversais dos elementos esticados centralmente ou comprimidos centralmente realmente se movem, uma vez que as tensões atuantes causam deformações. E a magnitude de tais deformações pode ser determinada para qualquer seção transversal da estrutura. Para isso, basta conhecer o valor das tensões efetivas, o comprimento do elemento, a área da seção transversal e o módulo de elasticidade do material com que é feita a estrutura.

Para elementos dobráveis, as seções transversais também não permanecem no lugar, mas se movem, e o movimento das seções transversais dos elementos dobráveis ​​é semelhante à rotação de um determinado corpo em torno de um determinado eixo. Como você provavelmente já adivinhou, o momento de inércia permite determinar o ângulo de inclinação da seção transversal e o deslocamento Δ eu para os pontos extremos da seção. Esses pontos extremos para uma seção retangular estão localizados a uma distância igual à metade da altura da seção (por que é descrito com detalhes suficientes no artigo “Fundamentos de resistência. Determinação da deflexão”). E isso, por sua vez, permite determinar a deflexão da estrutura.

E o momento de inércia permite determinar o momento de resistência da seção. Para isso, basta dividir o momento de inércia pela distância do centro de gravidade da seção ao ponto mais distante da seção, para uma seção retangular por h/2. E como as seções em estudo nem sempre são simétricas, o valor do momento de resistência pode ser diferente para diferentes partes da seção.

E tudo começou com uma maçã banal... embora não, tudo começou com uma palavra.

Muitas vezes ouvimos as expressões: “é inerte”, “move-se por inércia”, “momento de inércia”. Em sentido figurado, a palavra “inércia” pode ser interpretada como falta de iniciativa e ação. Estamos interessados ​​no significado direto.

O que é inércia

De acordo com a definição inércia na física, é a capacidade dos corpos de manter um estado de repouso ou movimento na ausência de forças externas.

Se tudo estiver claro com o próprio conceito de inércia em um nível intuitivo, então momento de inércia– uma pergunta separada. Concordo, é difícil imaginar o que é. Neste artigo você aprenderá como resolver problemas básicos sobre o tema "Momento de inércia".

Determinação do momento de inércia

Do curso escolar sabe-se que massa - uma medida da inércia de um corpo. Se empurrarmos dois carrinhos de massas diferentes, será mais difícil parar o mais pesado. Ou seja, quanto maior a massa, maior será a influência externa necessária para alterar o movimento do corpo. O que é considerado aplica-se ao movimento translacional, quando o carrinho do exemplo se move em linha reta.

Por analogia com a massa e o movimento translacional, o momento de inércia é uma medida da inércia de um corpo durante o movimento rotacional em torno de um eixo.

Momento de inércia– uma quantidade física escalar, uma medida da inércia de um corpo durante a rotação em torno de um eixo. Indicado pela letra J. e no sistema SI medido em quilogramas vezes um metro quadrado.

Como calcular o momento de inércia? Existe uma fórmula geral pela qual o momento de inércia de qualquer corpo é calculado na física. Se um corpo for dividido em pedaços infinitesimais com massa DM , então o momento de inércia será igual à soma dos produtos dessas massas elementares pelo quadrado da distância ao eixo de rotação.

Esta é a fórmula geral do momento de inércia na física. Para um ponto material de massa eu , girando em torno de um eixo a uma distância R a partir dele, esta fórmula assume a forma:

Teorema de Steiner

De que depende o momento de inércia? Da massa, posição do eixo de rotação, forma e tamanho do corpo.

O teorema de Huygens-Steiner é um teorema muito importante, frequentemente usado na resolução de problemas.

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O teorema de Huygens-Steiner afirma:

O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo arbitrário é igual à soma do momento de inércia do corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa paralelo a um eixo arbitrário e o produto da massa do corpo pelo quadrado da distância entre os eixos.

Para quem não deseja integrar constantemente na resolução de problemas de localização do momento de inércia, apresentamos um desenho indicando os momentos de inércia de alguns corpos homogêneos que são frequentemente encontrados em problemas:

Um exemplo de resolução de um problema para encontrar o momento de inércia

Vejamos dois exemplos. A primeira tarefa é encontrar o momento de inércia. A segunda tarefa é usar o teorema de Huygens-Steiner.

Problema 1. Encontre o momento de inércia de um disco homogêneo de massa m e raio R. O eixo de rotação passa pelo centro do disco.

Solução:

Vamos dividir o disco em anéis infinitamente finos, cujo raio varia de 0 antes R e considere um desses anéis. Seja seu raio R e massa - DM. Então o momento de inércia do anel é:

A massa do anel pode ser representada como:

Aqui dz– altura do anel. Vamos substituir a massa na fórmula do momento de inércia e integrar:

O resultado foi uma fórmula para o momento de inércia de um disco ou cilindro fino absoluto.

Problema 2. Seja novamente um disco de massa m e raio R. Agora precisamos encontrar o momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo meio de um de seus raios.

Solução:

O momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é conhecido no problema anterior. Vamos aplicar o teorema de Steiner e encontrar:

A propósito, em nosso blog você pode encontrar outros materiais úteis sobre física e resolução de problemas.

Esperamos que você encontre algo útil para você no artigo. Caso surjam dificuldades no processo de cálculo do tensor de inércia, não se esqueça do atendimento ao aluno. Nossos especialistas aconselharão sobre qualquer assunto e ajudarão a resolver o problema em questão de minutos.

Seção retangular.

Uma seção transversal retangular tem dois eixos de simetria, e os eixos centrais principais Cx e Cy passam pelos pontos médios dos lados paralelos.

Momento central principal de inércia em relação ao eixo x

Neste caso, a área elementar dA pode ser representada como uma faixa com toda a largura da seção e espessura dy, o que significa dA=b*dy. Vamos substituir o valor dA sob o sinal integral e integrar toda a área, ou seja, dentro dos limites de mudança da ordenada y de –h/2 para +h/2, obtemos

Finalmente

Da mesma forma, obtemos a fórmula para o momento central principal de inércia de um retângulo em relação ao eixo y:

Seção redonda

Para um círculo, os principais momentos centrais de inércia em torno dos eixos xey são iguais.

Portanto, da igualdade

Triângulo

2. Mudança nos momentos de inércia durante a transição dos eixos centrais para os paralelos:

J x1 =J x + a 2 A;

J y1 =J y + b 2 A;

o momento de inércia em torno de qualquer eixo é igual ao momento de inércia em torno do eixo central paralelo ao dado, mais o produto da área da figura pelo quadrado da distância entre os eixos. J y 1 x 1 =J yx + abF; (“a” e “b” são substituídos na fórmula levando em consideração seu sinal).

3. Alteração dos momentos de inércia ao girar os eixos

J x1 =J x cos 2  + J y sen 2  - J xy sen2; J y1 =J y cos 2  + J x sen 2  + J xy sen2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Ângulo >0, se a transição do sistema de coordenadas antigo para o novo ocorrer no sentido anti-horário. J y1 + J x1 = J y + J x

Valores extremos (máximo e mínimo) de momentos de inércia são chamados principais momentos de inércia. Os eixos em torno dos quais os momentos axiais de inércia têm valores extremos são chamados principais eixos de inércia. Os principais eixos de inércia são mutuamente perpendiculares. Momentos centrífugos de inércia em torno dos eixos principais = 0, ou seja, eixos principais de inércia - eixos em torno dos quais o momento centrífugo de inércia = 0. Se um dos eixos coincide ou ambos coincidem com o eixo de simetria, então eles são os principais. Ângulo que define a posição dos eixos principais:
, Se

 0 >0  os eixos giram no sentido anti-horário. O eixo máximo sempre forma um ângulo menor com o dos eixos em relação aos quais o momento de inércia tem maior valor. Os eixos principais que passam pelo centro de gravidade são chamados principais eixos centrais de inércia. Momentos de inércia em relação a estes eixos:

J máx + J min = J x + J y . O momento de inércia centrífugo em relação aos principais eixos centrais de inércia é igual a 0. Se os principais momentos de inércia forem conhecidos, então as fórmulas de transição para eixos girados são:

J x 1 =J máx cos 2  + J min sen 2 ; J y 1 =J máx cos 2  + J min sen 2 ; J x 1 y 1 =(J máx - J min)sin2;

4.Classificação dos elementos estruturais

A haste chamado Corpos Geom em que um dos tamanhos é muito maior que os outros.

Pratos ou conchas– este é o geom dos corpos que possuem um dos tamanhos<< других

Corpos enormes- todos os tamanhos são da mesma ordem

5.Suposições básicas sobre as propriedades do material

Homogêneo - apaixonado. ponto os materiais são os mesmos. fisico quimica santos;

O meio contínuo é cristalino. estrutura e microscópica os defeitos não são levados em consideração;

Isotrópico - mecânico. as propriedades não dependem da direção do carregamento;

Elasticidade ideal - restaura completamente a forma e o tamanho após a remoção da carga.

6. Tipos de suportes

a) Suporte articulado - fixo (duplamente conectado): Recebe forças verticais e horizontais (forças em ângulo).

b) Articulado - suporte móvel - percebe apenas cargas verticais. A reação de apoio é sempre direcionada ao longo da haste de apoio, perpendicular à superfície de apoio

c) Vedação rígida (três conectadas)

As reações nos apoios são determinadas a partir da condição de equilíbrio (equação estática).

7. Classificação de carga

Por localização

Superfície e volumétrica

a) força concentrada

b) força distribuída

retangular Rq = qa

triangular Rq = ½ qa

c) momento concentrado

flexão

torcendo

d) momento distribuído

Rmz= mz a – equilíbrio

Por duração

Permanente e temporário

Pela natureza da ação

Estático e dinâmico

Por natureza de ocorrência

Ativo (conhecido) e reativo (desconhecido)

8. Princípios básicos do curso que está sendo estudado

Ao calcular a resistência complexa, é usado princípio da ação independente de forças. Um tipo complexo de carregamento é representado como um sistema de tipos simples de carregamento agindo independentemente uns dos outros. A solução para resistências complexas é obtida somando as soluções obtidas para tipos de carregamento simples.

Princípio de Saint-Venant

a uma distância suficiente do local de aplicação da carga, a natureza do seu impacto não depende do método de aplicação, mas depende da magnitude da resultante.

9. Esforços internos. Método de seção (método ROZU)

Nz=∑z (pi) normal com

Qx=∑x (pi) transversal com

Mz=∑mz (pi) torque

Mx=∑mx (pi) flexão

Cortando o corpo do pensamento

Descartamos uma das forças internas

Substitua por esforços internos

Tendo equilibrado o calor interno e externo

10. Regra de sinais de esforços internos

Regra para sinais de forças transversais durante a flexão:

Torque

Contra emergências quando vistas de lado +

Regra para sinais de momentos fletores:

Regra para verificar a exatidão da construção de diagramas de carga:

Nas seções da viga onde são aplicadas cargas externas concentradas no diagrama d.b. um salto na magnitude desta carga.

11. Diagramas de forças internas

QUANDO ESTENSÃO-COMPRESSÃO

TORCIONAL

em curva reta

12. Dependências diferenciais durante flexão

;
;

13. Consequências das dependências diferenciais

Se não houver distribuição de carga na área (q = 0), então a força transversal nesta área tem velocidade constante e os diagramas de flexão mudam de acordo com a lei linear

No campo de treino onde a distribuição de calor está presente, o post é intenso. A força transversal muda de acordo com a reta e os diagramas de acordo com a lei das parábolas quadráticas. Além disso, o diagrama do mx está sempre direcionado para a carga de distribuição. Onde Qy é igual a 0, o diagrama mx tem um extremo. Se Qy for igual a 0 em toda a área, então mx é um valor constante

4. Na área onde Qy>0 o diagrama mx aumenta da esquerda para a direita

5. Nessa seção. onde uma força central é aplicada, o diagrama Qy salta na velocidade dessa força. No ponto onde o momento está centrado, o diagrama mx dá um salto no valor deste momento

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Unidades de medida para quê? Unidades de medida para pressão e vácuo. Conversão de unidades de pressão e vácuo. Unidades de comprimento. Conversão de unidades de comprimento (dimensões lineares, distâncias). Unidades de volume. Conversão de unidades de volume. Unidades de densidade. Conversão de unidades de densidade. Unidades de área. Conversão de unidades de área. Unidades de medição de dureza. Conversão de unidades de dureza. Unidades de temperatura. Conversão de unidades de temperatura em Kelvin/Celsius/Fahrenheit/Rankine/Delisle/Newton/Reamur unidades de medida de ângulos (“dimensões angulares”). Conversão de unidades de medida de velocidade angular e aceleração angular. Erros padrão de medições Os gases são diferentes como meios de trabalho. Nitrogênio N2 (refrigerante R728) Amônia (refrigerante R717). Anticongelante. Hidrogênio H ^ 2 (refrigerante R702) Vapor de água. Ar (Atmosfera) Gás natural - gás natural. Biogás é gás de esgoto. Gás liquefeito. NGL. GNL. Propano-butano. Oxigênio O2 (refrigerante R732) Óleos e lubrificantes Metano CH4 (refrigerante R50) Propriedades da água. Monóxido de carbono CO. Monóxido de carbono. Dióxido de carbono CO2. (Refrigerante R744). Cloro Cl2 Cloreto de hidrogênio HCl, também conhecido como ácido clorídrico. Refrigerantes (refrigerantes). Refrigerante (refrigerante) R11 - Fluorotriclorometano (CFCI3) Refrigerante (Refrigerante) R12 - Difluorodiclorometano (CF2CCl2) Refrigerante (Refrigerante) R125 - Pentafluoroetano (CF2HCF3). Refrigerante (Refrigerante) R134a - 1,1,1,2-Tetrafluoroetano (CF3CFH2). Refrigerante (Refrigerante) R22 - Difluoroclorometano (CF2ClH) Refrigerante (Refrigerante) R32 - Difluorometano (CH2F2). Refrigerante (Refrigerante) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / Porcentagem em peso. outros Materiais - propriedades térmicas Abrasivos - grão, finura, equipamento de moagem. Solos, terra, areia e outras rochas. Indicadores de afrouxamento, retração e densidade de solos e rochas. Encolhimento e afrouxamento, cargas. Ângulos de inclinação, lâmina. Alturas de saliências, lixões. Madeira. Madeira serrada. Madeira. Histórico. Lenha... Cerâmica. Adesivos e juntas adesivas Gelo e neve (água gelada) Metais Alumínio e ligas de alumínio Cobre, bronze e latão Bronze Latão Cobre (e classificação de ligas de cobre) Níquel e ligas Correspondência de graus de liga Aços e ligas Tabelas de referência de pesos de metais laminados e tubos . +/-5% do peso do tubo. Peso metálico. Propriedades mecânicas dos aços. Minerais de Ferro Fundido. Amianto. Produtos alimentares e matérias-primas alimentares. Propriedades, etc. Link para outra seção do projeto. Borrachas, plásticos, elastômeros, polímeros. Descrição detalhada dos elastômeros PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ , TFE/P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (PTFE modificado), Resistência dos materiais. Sopromat. Materiais de construção. Propriedades físicas, mecânicas e térmicas. Concreto. Solução concreta. Solução. Acessórios de construção. Aço e outros. Tabelas de aplicabilidade de materiais. Resistência química. Aplicabilidade de temperatura. Resistência à corrosão. Materiais de vedação - selantes de juntas. PTFE (fluoroplástico-4) e materiais derivados. Fita FUM. Adesivos anaeróbicos Selantes que não secam (não endurecem). Selantes de silicone (organossilício). Grafite, amianto, paronita e materiais derivados Paronita. Grafite termicamente expandida (TEG, TMG), composições. Propriedades. Aplicativo. Produção. Linho para encanamento.Vedações de elastômero de borracha.Isolamento térmico e materiais de isolamento térmico. (link para a seção do projeto) Técnicas e conceitos de engenharia Proteção contra explosão. Proteção contra influências ambientais. Corrosão. Versões climáticas (Tabelas de compatibilidade de materiais) Classes de pressão, temperatura, estanqueidade Queda (perda) de pressão. — Conceito de engenharia. Proteção contra fogo. Incêndios. Teoria do controle automático (regulação). Livro de referência matemática TAU Aritmética, progressões geométricas e somas de algumas séries numéricas. Figuras geométricas. Propriedades, fórmulas: perímetros, áreas, volumes, comprimentos. Triângulos, retângulos, etc. Graus em radianos. Figuras planas. Propriedades, lados, ângulos, atributos, perímetros, igualdades, semelhanças, cordas, setores, áreas, etc. Áreas de figuras irregulares, volumes de corpos irregulares. Magnitude média do sinal. Fórmulas e métodos de cálculo de área. Gráficos. Construindo gráficos. Leitura de gráficos. Cálculo integral e diferencial. Derivadas e integrais tabulares. Tabela de derivadas. Tabela de integrais. Tabela de antiderivadas. Encontre a derivada. Encontre a integral. Difusas. Números complexos. Unidade imaginária. Álgebra Linear. (Vetores, matrizes) Matemática para os mais pequenos. Jardim de infância - 7ª série. Lógica matemática. Resolvendo equações. Equações quadráticas e biquadráticas. Fórmulas. Métodos. Resolução de equações diferenciais Exemplos de soluções de equações diferenciais ordinárias de ordem superior à primeira. Exemplos de soluções para equações diferenciais ordinárias de primeira ordem mais simples = solucionáveis ​​analiticamente. Sistemas coordenados. Retangular cartesiano, polar, cilíndrico e esférico. Bidimensional e tridimensional. Sistemas numéricos. Números e dígitos (reais, complexos, ....). Tabelas de sistemas numéricos. Séries de potência de Taylor, Maclaurin (=McLaren) e séries periódicas de Fourier. Expansão de funções em séries. Tabelas de logaritmos e fórmulas básicas Tabelas de valores numéricos Tabelas Bradis. Teoria das probabilidades e estatística Funções trigonométricas, fórmulas e gráficos. sin, cos, tg, ctg….Valores de funções trigonométricas. Fórmulas para redução de funções trigonométricas. Identidades trigonométricas. Métodos numéricos Equipamentos - padrões, tamanhos Eletrodomésticos, equipamentos domésticos. Sistemas de drenagem e drenagem. Contêineres, tanques, reservatórios, tanques. Instrumentação e automação Instrumentação e automação. Medição de temperatura. Transportadores, transportadores de correia. Recipientes (link) Fixadores. Equipamento de laboratório. Bombas e estações elevatórias Bombas para líquidos e pastas. Jargão de engenharia. Dicionário. Triagem. Filtração. Separação de partículas através de malhas e peneiras. A resistência aproximada de cordas, cabos, cordas, cordas feitas de vários plásticos. Produtos de borracha. Articulações e conexões. Os diâmetros são convencionais, nominais, DN, DN, NPS e NB. Diâmetros métricos e em polegadas. DES. Chaves e rasgos de chave. Padrões de comunicação. Sinais em sistemas de automação (sistemas de instrumentação e controle) Sinais analógicos de entrada e saída de instrumentos, sensores, medidores de vazão e dispositivos de automação. Interfaces de conexão. Protocolos de comunicação (comunicações) Comunicações telefônicas. Acessórios para dutos. Torneiras, válvulas, válvulas... Comprimentos de construção. Flanges e roscas. Padrões. Dimensões de conexão. Tópicos. Designações, tamanhos, utilizações, tipos... (link de referência) Conexões ("higiênicas", "assépticas") de tubulações nas indústrias alimentícia, láctea e farmacêutica. Tubulações, oleodutos. Diâmetros de tubos e outras características. Seleção do diâmetro da tubulação. Taxas de fluxo. Despesas. Força. Tabelas de seleção, Queda de pressão. Tubos de cobre. Diâmetros de tubos e outras características. Tubos de cloreto de polivinila (PVC). Diâmetros de tubos e outras características. Tubos de polietileno. Diâmetros de tubos e outras características. Tubos de polietileno HDPE. Diâmetros de tubos e outras características. Tubos de aço (incluindo aço inoxidável). Diâmetros de tubos e outras características. Cano de aço. O tubo é inoxidável. Tubos de aço inoxidável. Diâmetros de tubos e outras características. O tubo é inoxidável. Tubos de aço carbono. Diâmetros de tubos e outras características. Cano de aço. Apropriado. Flanges conforme GOST, DIN (EN 1092-1) e ANSI (ASME). Conexão de flange. Conexões de flange. Conexão de flange. Elementos de pipeline. Lâmpadas elétricas Conectores elétricos e fios (cabos) Motores elétricos. Motores elétricos. Dispositivos de comutação elétrica. (Link para a seção) Normas para a vida pessoal dos engenheiros Geografia para engenheiros. Distâncias, rotas, mapas….. Engenheiros no dia a dia. Família, crianças, lazer, vestuário e habitação. Filhos de engenheiros. Engenheiros em escritórios. Engenheiros e outras pessoas. Socialização dos engenheiros. 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Representações gráficas convencionais em projetos de aquecimento, ventilação, ar condicionado e aquecimento e resfriamento, conforme norma ANSI/ASHRAE 134-2005. Esterilização de equipamentos e materiais Fornecimento de calor Indústria eletrônica Fornecimento de eletricidade Livro de referência física Alfabetos. Notações aceitas. Constantes físicas básicas. A umidade é absoluta, relativa e específica. Umidade do ar. Tabelas psicrométricas. Diagramas de Ramzin. Viscosidade Temporal, Número de Reynolds (Re). Unidades de viscosidade. Gases. Propriedades dos gases. Constantes individuais dos gases. Pressão e Vácuo Vácuo Comprimento, distância, dimensão linear Som. Ultrassom. Coeficientes de absorção sonora (link para outra seção) Clima. Dados climáticos. Dados naturais. SNiP 23/01/99. Climatologia da construção. (Estatísticas de dados climáticos) SNIP 23/01/99 Tabela 3 - Temperatura média mensal e anual do ar, °C. Ex-URSS. SNIP 23/01/99 Tabela 1. Parâmetros climáticos do período frio do ano. RF. SNIP 23/01/99 Tabela 2. Parâmetros climáticos do período quente do ano. Ex-URSS. SNIP 23/01/99 Tabela 2. Parâmetros climáticos do período quente do ano. RF. SNIP 23-01-99 Tabela 3. Temperatura média mensal e anual do ar, °C. RF. SNiP 23/01/99. Tabela 5a* - Pressão parcial média mensal e anual de vapor d’água, hPa = 10^2 Pa. RF. SNiP 23/01/99. Tabela 1. Parâmetros climáticos da estação fria. Ex-URSS. Densidades. Pesos. Gravidade Específica. Densidade aparente. Tensão superficial. Solubilidade. Solubilidade de gases e sólidos. Luz e cor. Coeficientes de reflexão, absorção e refração.Alfabeto de cores:) - Designações (codificações) de cor (cores). Propriedades de materiais e meios criogênicos. Tabelas. Coeficientes de atrito para diversos materiais. Grandezas térmicas, incluindo ebulição, fusão, chama, etc.... para mais informações, consulte: Coeficientes adiabáticos (indicadores). Convecção e troca total de calor. Coeficientes de expansão térmica linear, expansão térmica volumétrica. Temperaturas, ebulição, fusão, outras... Conversão de unidades de temperatura. Inflamabilidade. Temperatura de amolecimento. Pontos de ebulição Pontos de fusão Condutividade térmica. Coeficientes de condutividade térmica. Termodinâmica. Calor específico de vaporização (condensação). Entalpia de vaporização. Calor específico de combustão (valor calórico). Necessidade de oxigênio. Grandezas elétricas e magnéticas Momentos de dipolo elétrico. A constante dielétrica. Constante elétrica. Comprimentos de onda eletromagnéticos (livro de referência de outra seção) Intensidades do campo magnético Conceitos e fórmulas para eletricidade e magnetismo. Eletrostática. Módulos piezoelétricos. Resistência elétrica dos materiais Corrente elétrica Resistência elétrica e condutividade. Potenciais eletrônicos Livro de referência química "Alfabeto químico (dicionário)" - nomes, abreviaturas, prefixos, designações de substâncias e compostos. Soluções e misturas aquosas para processamento de metais. Soluções aquosas para aplicação e remoção de revestimentos metálicos Soluções aquosas para limpeza de depósitos de carbono (depósitos de resinas asfálticas, depósitos de carbono de motores de combustão interna...) Soluções aquosas para passivação. Soluções aquosas para ataque químico - remoção de óxidos da superfície Soluções aquosas para fosfatização Soluções e misturas aquosas para oxidação química e coloração de metais. Soluções e misturas aquosas para polimento químico. Soluções aquosas desengordurantes e solventes orgânicos. Valor de pH. Tabelas de pH. Combustão e explosões. Oxidação e redução. Classes, categorias, designações de perigo (toxicidade) de produtos químicos Tabela periódica de elementos químicos de D. I. Mendeleev. Tabela Mendeleev. Densidade dos solventes orgânicos (g/cm3) em função da temperatura. 0-100°C. Propriedades das soluções. Constantes de dissociação, acidez, basicidade. Solubilidade. Misturas. Constantes térmicas de substâncias. Entalpias. Entropia. Energias Gibbs... (link para o diretório químico do projeto) Engenharia Elétrica Reguladores Sistemas de alimentação garantida e ininterrupta. Sistemas de despacho e controle Sistemas de cabeamento estruturado Data centers

Momento axial de resistência- a relação entre o momento de inércia em torno do eixo e a distância dele ao ponto mais distante da seção. [cm3,m3]

Particularmente importantes são os momentos de resistência relativos aos principais eixos centrais:

retângulo:
; círculo:W x =W y =
,

seção tubular (anel): W x =W y =
, onde = d N /d B .

Momento polar de resistência - a razão entre o momento polar de inércia e a distância do pólo ao ponto mais distante da seção:
.

Para um círculo W р =
.

Torção

T

Este tipo de deformação em que ocorre apenas um torque nas seções transversais é Mk. O sinal do torque Mk é convenientemente determinado pela direção do momento externo. Se, quando visto da lateral da seção, o momento externo é direcionado no sentido anti-horário, então M k >0 (a regra oposta também é encontrada). Quando ocorre torção, uma seção gira em relação a outra por ângulo de torção-. Quando uma viga redonda (eixo) é torcida, ocorre um estado de tensão de cisalhamento puro (não há tensões normais), surgem apenas tensões tangenciais. Supõe-se que as seções são planas antes da torção e permanecem planas após a torção - lei das seções planas. As tensões tangenciais nos pontos da seção transversal variam em proporção à distância dos pontos ao eixo. Da lei de Hooke sob cisalhamento: =G, G - módulo de cisalhamento,
,
- momento polar de resistência de uma seção circular. As tensões tangenciais no centro são zero; quanto mais longe do centro, maiores elas são. Ângulo de torção
,GJ p - rigidez da seção torcional.
-ângulo de torção relativo. Energia potencial durante a torção:
. Condição de força:
, [] = , para um material plástico  é assumido como sendo a resistência ao cisalhamento  t, para um material frágil –  in é a resistência à tração, [n] é o fator de segurança. Condição de rigidez torcional:  max [] – ângulo de torção permitido.

Torção de uma viga retangular

P Neste caso, a lei das seções planas é violada, seções não circulares são dobradas durante a torção - deplanação corte transversal.

Diagramas de tensões tangenciais de uma seção retangular.

;
,J k e W k ​​são convencionalmente chamados de momento de inércia e momento de resistência durante a torção. C k = hb 2 ,

J k = hb 3 , As tensões tangenciais máximas  max estarão no meio do lado longo, as tensões no meio do lado curto: =  max , coeficientes: ,, são dados em livros de referência dependendo da razão h/b (por exemplo, com h/b=2, =0,246; =0,229; =0,795.

Dobrar

P
curva plana (reta)- quando o momento fletor atua em um plano que passa por um dos principais eixos centrais de inércia da seção, ou seja, todas as forças estão no plano de simetria da viga. Principais hipóteses(suposições): hipótese sobre a não pressão das fibras longitudinais: as fibras paralelas ao eixo da viga sofrem deformação de tração-compressão e não exercem pressão umas sobre as outras na direção transversal; hipótese de seções planas: uma seção de uma viga que é plana antes da deformação permanece plana e normal ao eixo curvo da viga após a deformação. No caso de flexão plana, em geral, fatores de potência internos: força longitudinal N, força transversal Q e momento fletor M. N>0, se a força longitudinal for de tração; em M>0, as fibras na parte superior da viga são comprimidas e as fibras na parte inferior são esticadas. .

COM
uma camada na qual não há extensões é chamada camada neutra(eixo, linha). Para N=0 e Q=0, temos o caso curvatura pura. Tensões normais:
, é o raio de curvatura da camada neutra, y é a distância de alguma fibra à camada neutra. Lei de Hooke na flexão:
, de onde (fórmula de Navier):
,J x - momento de inércia da seção em relação ao eixo central principal perpendicular ao plano do momento fletor, EJ x - rigidez à flexão, - curvatura da camada neutra.

M
As tensões máximas de flexão ocorrem nos pontos mais distantes da camada neutra:
,J x /y max =W x - momento de resistência da seção durante a flexão,
. Se a seção não tiver um eixo horizontal de simetria, então o diagrama de tensões normais não será simétrico. O eixo neutro da seção passa pelo centro de gravidade da seção. As fórmulas para determinar a tensão normal para flexão pura são aproximadamente válidas mesmo quando Q0. Este é o caso flexão transversal. Durante a flexão transversal, além do momento fletor M, uma força transversal Q atua e não apenas tensões normais , mas também tensões tangenciais  surgem na seção. As tensões de cisalhamento são determinadas Fórmula de Zhuravsky:
, onde S x (y) é o momento estático em relação ao eixo neutro daquela parte da área que está localizada abaixo ou acima da camada localizada a uma distância “y” do eixo neutro; J x - momento de inércia Total seção transversal em relação ao eixo neutro, b(y) é a largura da seção na camada na qual as tensões de cisalhamento são determinadas.

D
Para uma seção retangular:
,F=bh, para uma seção circular:
,F=R 2, para uma seção de qualquer formato
,

Coeficiente k, dependendo da forma da seção (retângulo: k= 1,5; círculo - k= 1,33).

M

max e Q max são determinados a partir de diagramas de momentos fletores e forças cortantes. Para isso, a viga é cortada em duas partes e uma delas é examinada. A ação da parte descartada é substituída pelos fatores de força internos M e Q, que são determinados a partir das equações de equilíbrio. Em algumas universidades, o momento M>0 é adiado para baixo, ou seja, O diagrama de momentos é construído em fibras esticadas. Em Q = 0 temos um extremo do diagrama de momentos. Dependências diferenciais entre M,PEq:

q - intensidade de carga distribuída [kN/m]

Tensões principais durante a flexão transversal:

.

Cálculo da resistência à flexão: duas condições de resistência relacionadas a diferentes pontos da viga: a) de acordo com tensões normais
, (aponta mais distante de C); b) por tensões tangenciais
, (pontos no eixo neutro). A partir de a) determine as dimensões da viga:
, que são verificados por b). Nas seções de vigas podem existir pontos onde existem simultaneamente grandes tensões normais e grandes tensões de cisalhamento. Para estes pontos são encontradas tensões equivalentes, que não devem ultrapassar as admissíveis. As condições de resistência são testadas em relação a várias teorias de resistência

1º:
;II-ésimo: (com índice de Poisson=0,3); - Raramente usado.

Teoria de Mohr:
(usado para ferro fundido, que tem uma tensão de tração admissível [ p ][ s ] – em compressão).