Mas naquela época o formulamos de forma “simplificada”, conveniente e suficiente para trabalhar com frações ordinárias. Neste artigo, examinaremos a propriedade básica das frações conforme ela se aplica às frações algébricas (ou seja, frações cujo numerador e denominador são polinômios; em alguns livros didáticos de álgebra, essas frações são chamadas de frações racionais em vez de algébricas). Primeiro vamos formular propriedade principal de uma fração algébrica, iremos justificá-lo e, em seguida, listaremos as principais áreas de sua aplicação.

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Formulação e justificativa

Para começar, vamos lembrar como foi formulada a propriedade básica de uma fração para frações ordinárias: se tanto o numerador quanto o denominador de uma fração ordinária forem multiplicados ou divididos por algum número natural, então o valor da fração não mudará. Esta afirmação corresponde às igualdades e (que também são válidas com partes reorganizadas na forma e ), onde a, b e m são alguns.

Na verdade, não há necessidade de falar em dividir o numerador e o denominador por um número - este caso é coberto por uma igualdade da forma . Por exemplo, a igualdade pode ser justificada através da divisão usando a igualdade como , mas também pode ser justificado com base na igualdade como . Portanto, associaremos ainda a propriedade principal de uma fração à igualdade (e), e não nos deteremos na igualdade (e).

Agora mostraremos que a propriedade principal de uma fração também se aplica a frações cujo numerador e denominador são . Para fazer isso, provamos que a igualdade escrita é verdadeira não apenas para números naturais, mas também para quaisquer números reais. Em outras palavras, provaremos que a igualdade é verdadeira para quaisquer números reais a, b e m, e b e m são diferentes de zero (caso contrário, encontraremos divisão por zero).

Seja a fração a/b uma representação do número z, ou seja, . Vamos provar que a fração também corresponde ao número z, ou seja, provamos que . Isto provará a igualdade.

É importante notar que se uma fração algébrica possui coeficientes fracionários, então multiplicar seu numerador e denominador por um determinado número nos permite passar para coeficientes inteiros e, assim, simplificar sua forma. Por exemplo, . E as regras para alterar os sinais dos membros de uma fração algébrica baseiam-se na multiplicação do numerador e do denominador por menos um.

A segunda aplicação mais importante da propriedade básica das frações é a redução de frações algébricas. No caso geral, a redução é feita em duas etapas: primeiro são fatorados o numerador e o denominador, o que permite encontrar um fator comum m, e depois, com base na igualdade, é feita a transição para uma fração do forme a/b sem esse fator comum. Por exemplo, uma fração algébrica após fatorar o numerador e o denominador assume a forma www.site, incluindo materiais internos e design externo, não pode ser reproduzida de qualquer forma ou usada sem a permissão prévia por escrito do detentor dos direitos autorais.

Quando um aluno ingressa no ensino médio, a matemática é dividida em duas disciplinas: álgebra e geometria. Há cada vez mais conceitos, as tarefas são cada vez mais difíceis. Algumas pessoas têm dificuldade em entender frações. Perdi a primeira lição sobre esse assunto e pronto. frações? Uma pergunta que atormentará toda a minha vida escolar.

O conceito de fração algébrica

Vamos começar com uma definição. Sob fração algébrica refere-se às expressões P/Q, onde P é o numerador e Q é o denominador. Um número, uma expressão numérica ou uma expressão alfabética numérica podem ser ocultados sob uma entrada de letra.

Antes de se perguntar como resolver frações algébricas, primeiro você precisa entender que tal expressão faz parte do todo.

Via de regra, um número inteiro é 1. O número no denominador mostra em quantas partes a unidade está dividida. O numerador é necessário para descobrir quantos elementos são usados. A barra de fração corresponde ao sinal de divisão. É permitido escrever uma expressão fracionária como uma operação matemática “Divisão”. Neste caso, o numerador é o dividendo, o denominador é o divisor.

Regra básica de frações comuns

Quando os alunos estudam este tópico na escola, eles recebem exemplos para reforçar. Para resolvê-los corretamente e encontrar diferentes saídas para situações complexas, você precisa aplicar a propriedade básica das frações.

É assim: se você multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número ou expressão (diferente de zero), o valor da fração comum não muda. Um caso especial desta regra é a divisão de ambos os lados de uma expressão pelo mesmo número ou polinômio. Tais transformações são chamadas de igualdades idênticas.

A seguir veremos como resolver adição e subtração de frações algébricas, multiplicando, dividindo e reduzindo frações.

Operações matemáticas com frações

Vejamos como resolver a propriedade principal de uma fração algébrica e como aplicá-la na prática. Se precisar multiplicar duas frações, adicioná-las, dividir uma pela outra ou subtrair, você deve sempre seguir as regras.

Assim, para a operação de adição e subtração, deve-se encontrar um fator adicional para trazer as expressões a um denominador comum. Se as frações forem inicialmente dadas com as mesmas expressões Q, este parágrafo deverá ser omitido. Uma vez encontrado o denominador comum, como você resolve frações algébricas? Você precisa adicionar ou subtrair numeradores. Mas! Deve-se lembrar que se houver um sinal “-” antes da fração, todos os sinais do numerador serão invertidos. Às vezes você não deve realizar nenhuma substituição ou operação matemática. Basta mudar o sinal antes da fração.

O conceito é frequentemente usado como reduzindo frações. Isso significa o seguinte: se o numerador e o denominador forem divididos por uma expressão diferente de uma (igual para ambas as partes), obtém-se uma nova fração. O dividendo e o divisor são menores do que antes, mas devido à regra básica das frações eles permanecem iguais ao exemplo original.

O objetivo desta operação é obter uma nova expressão irredutível. Você pode resolver esse problema reduzindo o numerador e o denominador pelo máximo divisor comum. O algoritmo de operação consiste em dois pontos:

1. Encontrar o mdc para ambos os lados da fração.
2. Dividindo o numerador e o denominador pela expressão encontrada e obtendo uma fração irredutível igual à anterior.

Abaixo está uma tabela mostrando as fórmulas. Para maior comodidade, você pode imprimi-lo e carregá-lo em um caderno. Porém, para que no futuro, na resolução de uma prova ou exame, não haja dificuldades na questão de como resolver frações algébricas, essas fórmulas devem ser aprendidas de cor.

Vários exemplos com soluções

Do ponto de vista teórico, é considerada a questão de como resolver frações algébricas. Os exemplos dados no artigo ajudarão você a entender melhor o material.

1. Converta frações e traga-as para um denominador comum.

2. Converta frações e traga-as para um denominador comum.

Depois de estudar a parte teórica e considerar a parte prática, não deverão surgir mais dúvidas.

§ 1º O conceito de fração algébrica

Uma fração algébrica é a expressão

onde P e Q são polinômios; P é o numerador da fração algébrica, Q é o denominador da fração algébrica.

Aqui estão alguns exemplos de frações algébricas:

Qualquer polinômio é um caso especial de fração algébrica, porque qualquer polinômio pode ser escrito na forma

Por exemplo:

O valor de uma fração algébrica depende do valor das variáveis.

Por exemplo, vamos calcular o valor da fração

1)

2)

No primeiro caso obtemos:

Observe que esta fração pode ser reduzida:

Assim, o cálculo do valor de uma fração algébrica é simplificado. Vamos aproveitar isso.

No segundo caso obtemos:

Como você pode ver, com a mudança nos valores das variáveis, o valor da fração algébrica mudou.

§ 2º Valores admissíveis de variáveis ​​de uma fração algébrica

Considere a fração algébrica

O valor x = -1 é inválido para esta fração, porque o denominador da fração neste valor de x torna-se zero. Com este valor da variável, a fração algébrica não tem significado.

Assim, os valores permitidos das variáveis ​​​​de uma fração algébrica são aqueles valores das variáveis ​​​​nos quais o denominador da fração não desaparece.

Vamos resolver alguns exemplos.

Em quais valores da variável a fração algébrica não faz sentido:

Para encontrar valores inválidos de variáveis, o denominador da fração é definido como zero e as raízes da equação correspondente são encontradas.

Em quais valores da variável a fração algébrica é igual a zero:

Uma fração é igual a zero se o numerador for zero. Vamos igualar o numerador da nossa fração a zero e encontrar as raízes da equação resultante:

Assim, para x = 0 e x = 3, esta fração algébrica não faz sentido, o que significa que devemos excluir estes valores da variável da resposta.

Então, nesta lição você aprendeu os conceitos básicos de uma fração algébrica: o numerador e o denominador de uma fração, bem como os valores aceitáveis ​​​​das variáveis ​​​​de uma fração algébrica.

Lista de literatura usada:

1. Mordkovich A.G. "Álgebra" 8ª série. Às 2 horas Parte 1 Livro didático para instituições de ensino / A.G. Mordkovich. – 9ª ed., revisado. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 p.: il.
2. Mordkovich A.G. "Álgebra" 8ª série. Às 2 horas Parte 2 Livro de problemas para instituições de ensino / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E. E. Tulchinskaia. – 8ª ed., – M.: Mnemosyne, 2006 – 239 p.
3. Álgebra. 8 ª série. Testes para alunos de instituições de ensino de L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovich 2ª ed., apagado. - M.: Mnemosyne 2009. - 40 p.
4. Álgebra. 8 ª série. Trabalho independente para estudantes de instituições de ensino: ao livro didático de A.G. Mordkovich, L. A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovich. 9ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne 2013. - 112 p.

No § 42 foi dito que se a divisão dos polinômios não puder ser realizada completamente, então o quociente é escrito na forma de uma expressão fracionária em que o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador.

Exemplos de expressões fracionárias:

O numerador e o denominador de uma expressão fracionária podem ser expressões fracionárias, por exemplo:

Das expressões algébricas fracionárias, na maioria das vezes você terá que lidar com aquelas em que o numerador e o denominador são polinômios (em particular, monômios). Cada uma dessas expressões é chamada de fração algébrica.

Definição. Uma expressão algébrica que é uma fração cujo numerador e denominador são polinômios é chamada de fração algébrica.

Como na aritmética, o numerador e o denominador de uma fração algébrica são chamados de termos da fração.

No futuro, tendo estudado operações com frações algébricas, seremos capazes de transformar qualquer expressão fracionária em uma fração algébrica usando transformações idênticas.

Exemplos de frações algébricas:

Observe que a expressão inteira, ou seja, um polinômio, pode ser escrita como uma fração, para isso basta escrever esta expressão no numerador e 1 no denominador. Por exemplo:

2. Valores de letras aceitáveis.

As letras incluídas apenas no numerador podem assumir qualquer valor (a menos que quaisquer restrições adicionais sejam introduzidas pela condição do problema).

Para letras incluídas no denominador, apenas são válidos aqueles valores que não zeram o denominador. Portanto, a seguir assumiremos sempre que o denominador de uma fração algébrica não é igual a zero.