Cálculo diferencial de funções de uma e várias variáveis. Cálculo diferencial e integral

CÁLCULO DIFERENCIAL, ramo da análise matemática que estuda derivadas, diferenciais e sua aplicação ao estudo de funções. O cálculo diferencial desenvolveu-se como uma disciplina independente na segunda metade do século XVII sob a influência dos trabalhos de I. Newton e G. W. Leibniz, nos quais formularam as principais disposições do cálculo diferencial e notaram a natureza mutuamente inversa da diferenciação e integração. Desde então, o cálculo diferencial desenvolveu-se em estreita ligação com o cálculo integral, constituindo com ele a parte principal da análise matemática (ou análise infinitesimal). A criação do cálculo diferencial e integral abriu uma nova era no desenvolvimento da matemática, levou ao surgimento de uma série de novas disciplinas matemáticas (teoria das séries, teoria das equações diferenciais, geometria diferencial, cálculo das variações, análise funcional) e expandiu significativamente as possibilidades de aplicação da matemática a questões de ciências naturais e tecnologia.

O cálculo diferencial é baseado em conceitos fundamentais como número real, função, limite, continuidade. Esses conceitos assumiram uma forma moderna no decorrer do desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. As principais ideias e conceitos do cálculo diferencial estão associados ao estudo de funções no pequeno, ou seja, em pequenas vizinhanças de pontos individuais, o que requer a criação de um aparato matemático para estudar funções cujo comportamento em uma vizinhança suficientemente pequena de cada ponto de seu domínio de definição é próximo ao comportamento de uma função linear ou polinômio. Este aparato é baseado nos conceitos de derivada e diferencial. O conceito de derivada surgiu em conexão com um grande número de problemas diferentes em ciências naturais e matemáticas, levando ao cálculo de limites do mesmo tipo. A mais importante dessas tarefas é a determinação da velocidade de movimento de um ponto material ao longo de uma linha reta e a construção de uma tangente a uma curva. O conceito de diferencial está relacionado à possibilidade de aproximar uma função em uma pequena vizinhança do ponto em consideração por uma função linear. Ao contrário do conceito de derivada de uma função de uma variável real, o conceito de diferencial pode ser facilmente transferido para funções de natureza mais geral, incluindo mapeamentos de um espaço euclidiano para outro, mapeamentos de espaços de Banach para outros espaços de Banach e serve como um dos conceitos básicos da análise funcional.

Derivado. Deixe o ponto material se mover ao longo do eixo Oy, e x denota o tempo contado a partir de algum momento inicial. A descrição deste movimento é dada pela função y = f(x), que atribui a cada momento x a coordenada y do ponto móvel. Essa função na mecânica é chamada de lei do movimento. Uma característica importante do movimento (especialmente se for irregular) é a velocidade do ponto móvel em cada instante de tempo x (essa velocidade também é chamada de velocidade instantânea). Se um ponto se move ao longo do eixo Oy de acordo com a lei y \u003d f (x), então em um momento arbitrário x ele tem a coordenada f (x) e no momento x + Δx - a coordenada f (x + Δx ), onde Δx é o incremento de tempo . O número Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), chamado de incremento da função, é o caminho percorrido pelo ponto móvel no tempo de x a x + Δx. Atitude

chamada de razão de diferença, é a velocidade média do ponto no intervalo de tempo de x a x + Δx. A velocidade instantânea (ou simplesmente velocidade) de um ponto móvel no tempo x é o limite para o qual a velocidade média (1) tende quando o intervalo de tempo Δx tende a zero, ou seja, limite (2)

O conceito de velocidade instantânea leva ao conceito de derivada. A derivada de uma função arbitrária y \u003d f (x) em um determinado ponto fixo x é chamada de limite (2) (desde que esse limite exista). A derivada da função y \u003d f (x) em um determinado ponto x é denotada por um dos símbolos f '(x), y ', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

A operação de encontrar uma derivada (ou transição de uma função para sua derivada) é chamada de diferenciação.

O problema de construir uma tangente a uma curva plana, definida no sistema de coordenadas cartesianas Oxy pela equação y \u003d f (x), em algum ponto M (x, y) (Fig.) também leva ao limite (2) . Dando o incremento Δx ao argumento x e tomando o ponto M' com coordenadas (x + Δx, f(x) + Δx) na curva), determine a tangente no ponto M como a posição limite da secante MM' como o ponto M' tende a M (isto é, como Δx tende a zero). Dado que o ponto M pelo qual passa a tangente é dado, a construção da tangente se reduz a determinar sua inclinação (isto é, a tangente de seu ângulo de inclinação ao eixo Ox). Traçando uma linha reta MR paralela ao eixo Ox, obtém-se que a inclinação da secante MM' é igual à razão

No limite em Δx → 0, a inclinação da secante se transforma na inclinação da tangente, que acaba sendo igual ao limite (2), ou seja, a derivada f'(x).

Vários outros problemas da ciência natural também levam ao conceito de derivada. Por exemplo, a intensidade da corrente em um condutor é definida como o limite lim Δt→0 Δq/Δt, onde Δq é a carga elétrica positiva transferida através da seção transversal do condutor no tempo Δt, a taxa de uma reação química é definida como lim Δt→0 ΔQ/Δt, onde ΔQ é a variação da quantidade de matéria durante o tempo Δt e, em geral, a derivada de alguma quantidade física em relação ao tempo é a taxa de variação dessa quantidade.

Se a função y \u003d f (x) for definida no próprio ponto x e em alguma de sua vizinhança e tiver uma derivada no ponto x, essa função será contínua no ponto x. Um exemplo de uma função y \u003d |x|, definida em qualquer vizinhança do ponto x \u003d 0, contínua neste ponto, mas sem derivada em x \u003d 0, mostra que a existência neste ponto geralmente não seguem da continuidade da função em uma dada derivada pontual. Além disso, existem funções que são contínuas em todos os pontos de seu domínio de definição, mas não possuem derivada em nenhum ponto desse domínio.

No caso em que a função y \u003d f (x) é definida apenas à direita ou apenas à esquerda do ponto x (por exemplo, quando x é o ponto limite do segmento no qual essa função é fornecida), o conceitos das derivadas direita e esquerda da função y \u003d f (x) são introduzidos no ponto x. A derivada direita da função y \u003d f (x) no ponto x é definida como o limite (2) desde que Δx tenda a zero, permanecendo positivo, e a derivada esquerda é definida como o limite (2) desde que Δx tende a zero, permanecendo negativo. A função y \u003d f (x) tem uma derivada em um ponto x se e somente se tiver derivadas direita e esquerda iguais entre si neste ponto. A função acima y = |x| tem uma derivada direita igual a 1 no ponto x = 0 e uma derivada esquerda igual a -1, e como as derivadas direita e esquerda não são iguais entre si, esta função não tem derivada no ponto x = 0. classe de funções que têm uma derivada, a diferenciação da operação é linear, ou seja, (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), e (αf(x))' = αf '(x) para qualquer número a. Além disso, as seguintes regras de diferenciação são verdadeiras:

As derivadas de algumas funções elementares são:

α - qualquer número, x > 0;

n = 0, ±1, ±2,

A derivada de qualquer função elementar é novamente uma função elementar.

Se a derivada f'(x), por sua vez, tem uma derivada em um dado ponto x, então a derivada da função f'(x) é chamada de segunda derivada da função y = f(x) no ponto x e denotado por um dos símbolos f''(x), y'', ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).

Para um ponto material que se move ao longo do eixo Oy de acordo com a lei y \u003d f (x), a segunda derivada é a aceleração desse ponto no tempo x. Derivadas de qualquer ordem inteira n são definidas de forma semelhante, denotadas pelos símbolos f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D (n) f (x).

Diferencial. Uma função y \u003d f (x), cujo domínio de definição contém alguma vizinhança do ponto x, é chamada diferenciável no ponto x se seu incremento neste ponto, correspondendo ao incremento do argumento Δx, ou seja, o valor Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) pode ser representado na forma e é denotado pelo símbolo dy ou df(x). Geometricamente, para um valor fixo de x e um incremento variável Δx, o diferencial é um incremento na ordenada da tangente, ou seja, o segmento PM "(Fig.). O diferencial dy é uma função tanto do ponto x quanto do ponto incremento Δx. O diferencial é chamado de parte linear principal do incremento da função, pois quando Para um valor fixo de x, o valor dy é uma função linear de Δх, e a diferença Δу - dy é infinitamente pequena em relação a Δх como Δх → 0. Para a função f(х) = x, por definição, dx = Δх, ou seja, o diferencial da variável independente dx coincide com seu incremento Δx Isso permite reescrever a expressão para o diferencial na forma dy=Adx.

Para uma função de uma variável, o conceito de diferencial está intimamente relacionado ao conceito de derivada: para que uma função y \u003d f (x) tenha um diferencial em um ponto x, é necessário e suficiente que ela tem uma derivada finita f '(x) neste ponto, enquanto a igualdade dy = f'(x)dx. O significado visual desta afirmação é que a tangente à curva y \u003d f (x) no ponto com a abcissa x não é apenas a posição limite da secante, mas também a linha reta, que em uma vizinhança infinitamente pequena de o ponto x é adjacente à curva y \u003d f (x ) mais próximo do que qualquer outra linha reta. Assim, sempre A(x) = f'(x) e a notação dy/dx pode ser entendida não apenas como uma notação para a derivada f'(x), mas também como a razão entre as diferenciais da função e o argumento . Em virtude da igualdade dy = f'(x)dx, as regras para encontrar diferenciais seguem diretamente das regras correspondentes para derivadas. Diferenciais de segunda ordem e de ordem superior também são considerados.

Formulários. O cálculo diferencial estabelece conexões entre as propriedades da função f(x) e suas derivadas (ou suas diferenciais), que são o conteúdo dos principais teoremas do cálculo diferencial. Esses teoremas incluem a afirmação de que todos os pontos extremos de uma função diferenciável f(x) dentro de seu domínio de definição estão entre as raízes da equação f'(x) = 0, e a fórmula de incremento finito frequentemente usada (fórmula de Lagrange) f (b) - f(a) = f'(ξ)(b - a), onde a<ξ0 implica um aumento estrito na função e a condição f '' (x)\u003e 0 - sua convexidade estrita. Além disso, o cálculo diferencial permite calcular vários tipos de limites de funções, em particular os limites das razões de duas funções, que são incertezas da forma 0/0 ou da forma ∞/∞ (ver Divulgação de incertezas) . O cálculo diferencial é especialmente conveniente para estudar funções elementares cujas derivadas são escritas explicitamente.

Cálculo diferencial de funções de várias variáveis. Os métodos de cálculo diferencial são usados para estudar funções de diversas variáveis. Para uma função de duas variáveis u = f(x, y), sua derivada parcial em relação a x no ponto M(x, y) é a derivada dessa função em relação a x para y fixo, definida como

e denotado por um dos símbolos f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x ou ∂f(x,y)'/∂x. A derivada parcial da função u = f(x,y) em relação a y é definida e denotada de maneira semelhante. O valor Δu \u003d f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y) é chamado de incremento total da função e no ponto M (x, y). Se este valor pode ser representado como

onde A e B não dependem de Δх e Δу, e α tende a zero em

então a função u = f(x, y) é chamada de diferenciável no ponto M(x, y). A soma AΔx + BΔy é chamada de diferencial total da função u = f(x, y) no ponto M(x, y) e é denotada pelo símbolo du. Como A \u003d f'x (x, y), B \u003d f'y (x, y) e os incrementos Δx e Δy podem ser considerados iguais aos seus diferenciais dx e dy, o diferencial total du pode ser escrito como

Geometricamente, a diferenciabilidade de uma função de duas variáveis u = f(x, y) em um dado ponto M (x, y) significa que seu gráfico existe neste ponto do plano tangente, e o diferencial desta função é o incremento da aplicação do ponto do plano tangente correspondente aos incrementos das variáveis independentes dx e dy. Para uma função de duas variáveis, o conceito de diferencial é muito mais importante e natural do que o conceito de derivadas parciais. Em contraste com uma função de uma variável, para uma função de duas variáveis u = f(x, y) ser diferenciável em um dado ponto M(x, y), não é suficiente que as derivadas parciais finitas f'x( x, y) e f' y(x, y). Uma condição necessária e suficiente para que a função u = f(x, y) seja diferenciável no ponto M(x, y) é a existência de derivadas parciais finitas f'x(x, y) e f'y(x, y) e tendendo a zero em

quantidades

O numerador desta quantidade é obtido tomando primeiro o incremento da função f(x, y) correspondente ao incremento Δx de seu primeiro argumento, e então tomando o incremento da diferença resultante f(x + Δx, y) - f (x, y), correspondente ao incremento Δy de seus segundos argumentos. Uma condição simples suficiente para a diferenciabilidade da função u = f(x, y) no ponto M(x, y) é a existência de derivadas parciais contínuas f'x(x, y) e f'y(x, y) ) neste ponto.

As derivadas parciais de ordens superiores são definidas de forma semelhante. Derivadas parciais ∂ 2 f/∂х 2 e ∂ 2 f/∂у 2 , nas quais ambas as diferenciações são realizadas em uma variável, são chamadas puras, e derivadas parciais ∂ 2 f/∂х∂у e ∂ 2 f/∂ у∂х - misto. Em cada ponto onde ambas as derivadas parciais mistas são contínuas, elas são iguais entre si. Essas definições e notações são transferidas para o caso de um número maior de variáveis.

Contorno histórico. Problemas separados de determinar as tangentes às curvas e encontrar os valores máximos e mínimos das variáveis foram resolvidos pelos matemáticos da Grécia antiga. Por exemplo, foram encontradas maneiras de construir tangentes a seções cônicas e algumas outras curvas. No entanto, os métodos desenvolvidos pelos matemáticos antigos estavam longe das ideias do cálculo diferencial e só podiam ser aplicados em casos muito especiais. Em meados do século XVII, ficou claro que muitos dos problemas mencionados, juntamente com outros (por exemplo, o problema da determinação da velocidade instantânea) podem ser resolvidos usando o mesmo aparato matemático, usando derivadas e diferenciais. Por volta de 1666, I. Newton desenvolveu o método dos fluxos (ver cálculo de fluxo). Newton considerou, em particular, dois problemas de mecânica: o problema de determinar a velocidade instantânea do movimento a partir de uma dependência conhecida da trajetória no tempo e o problema de determinar a trajetória percorrida em um determinado tempo a partir de uma velocidade instantânea conhecida. Newton chamou funções contínuas de fluentes no tempo e as taxas de sua mudança - flutuações. Assim, os principais conceitos de Newton eram a derivada (fluxo) e a integral indefinida (fluente). Ele tentou fundamentar o método das fluxões com a ajuda da teoria dos limites, que na época era pouco desenvolvida.

Em meados da década de 1670, G. W. Leibniz desenvolveu algoritmos convenientes para cálculo diferencial. Os conceitos básicos de Leibniz eram a diferencial como um incremento infinitesimal de uma função e a integral definida como a soma de um número infinitamente grande de diferenciais. Ele introduziu a notação de diferencial e integral, o termo "cálculo diferencial", recebeu uma série de regras para diferenciação e propôs simbolismo conveniente. O desenvolvimento posterior do cálculo diferencial no século XVII procedeu principalmente ao longo do caminho traçado por Leibniz; as obras de J. e I. Bernoulli, B. Taylor e outros desempenharam um papel importante nesta fase.

A próxima etapa no desenvolvimento do cálculo diferencial está associada aos trabalhos de L. Euler e J. Lagrange (século XVIII). Euler começou a apresentar o cálculo diferencial como uma disciplina analítica, independente da geometria e da mecânica. Ele novamente usou a derivada como o conceito básico do cálculo diferencial. Lagrange tentou construir o cálculo diferencial algebricamente, usando as expansões de funções em séries de potências; ele introduziu o termo "derivada" e as designações y' e f'(x). No início do século XIX, o problema de fundamentar o cálculo diferencial com base na teoria dos limites estava basicamente resolvido, principalmente graças ao trabalho de O. Cauchy, B. Bolzano e C. Gauss. Uma análise profunda dos conceitos originais do cálculo diferencial foi associada ao desenvolvimento da teoria dos conjuntos e da teoria das funções de variáveis reais no final do século XIX e início do século XX.

Lit.: História da matemática: em 3 volumes M., 1970-1972; Rybnikov K. A. História da matemática. 2ª edição. M., 1974; Nikolsky S. M. Curso de análise matemática. 6ª edição. M., 2001: Zorich V. A. Análise matemática: Na 2ª parte da 4ª ed. M., 2002; Kudryavtsev L.D. Um curso de análise matemática: em 3 volumes, 5ª ed. M., 2003-2006; Fikhtengol'ts G. M. O curso de cálculo diferencial e integral: em 3 volumes. 8ª ed. M., 2003-2006; Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis. 7ª edição. M., 2004. Parte 1. 5ª ed. M., 2004. Parte 2; Ilyin V.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl. X. Análise matemática. 3ª edição. M., 2004. Parte 1. 2ª ed. M., 2004. Parte 2; Ilyin V. A., Kurkina L. V. Matemática Superior. 2ª edição. M., 2005.

O aluno deve:

conhecer:

definição do limite de uma função em um ponto;

propriedades do limite de uma função em um ponto;

Fórmulas de limites notáveis;

determinação da continuidade de uma função em um ponto,

propriedades de funções contínuas;

definição da derivada, seu significado geométrico e físico; derivadas tabulares, regras de diferenciação;

uma regra para calcular a derivada de uma função complexa; definição da diferencial de uma função, suas propriedades; definição de derivativos e diferenciais de ordens superiores; determinação do extremo da função, função convexa, pontos de inflexão, assíntotas;

definição de integral indefinida, suas propriedades, integrais tabulares;

· fórmulas de integração por mudança de variável e por partes para a integral indefinida;

definição de uma integral definida, suas propriedades, a fórmula básica do cálculo integral - a fórmula de Newton-Leibniz;

· fórmulas de integração por meio de mudança de variável e por partes para uma integral definida;

· o significado geométrico da integral definida, a aplicação da integral definida.

ser capaz de:

Calcular limites de sequências e funções; divulgar incertezas;

· calcular derivadas de funções complexas, derivadas e diferenciais de ordens superiores;

encontrar extremos e pontos de inflexão de funções;

· realizar um estudo de funções com a ajuda de derivadas e construir seus gráficos.

Calcular integrais indefinidas e definidas pelo método de mudança de variável e por partes;

· integrar funções racionais, irracionais e algumas funções trigonométricas, aplicar substituição universal; aplique a integral definida para encontrar as áreas de figuras planas.

Limite de função. Propriedades de limite de função. Limites unilaterais. O limite da soma, produto e quociente de duas funções. Funções contínuas, suas propriedades. Continuidade de funções elementares e complexas. Limites notáveis.

Definição da derivada de uma função. Derivadas de funções elementares básicas. Diferenciabilidade de funções. Diferencial de função. Derivada de uma função complexa. Regras de diferenciação: derivada de soma, produto e quociente. Derivados e diferenciais de ordens superiores. Divulgação de incertezas. Funções crescentes e decrescentes, condições para aumentar e diminuir. Extrema de funções, condição necessária para a existência de um extremo. Encontrando extremos usando a primeira derivada. Funções convexas. Pontos de inflexão. Assíntotas. Estudo de funções completas.

Integral indefinida, suas propriedades. Tabela de integrais básicas. Método de mudança de variáveis. Integração por partes. Integração de funções racionais. Integração de algumas funções irracionais. Substituição universal.

Integral definida, suas propriedades. Fórmula básica do cálculo integral. Integração por mudança de variável e por partes em uma integral definida. Aplicações de uma integral definida.

OPÇÕES DE TAREFAS DE CONTROLE

para estudantes em tempo integral

Faculdade de Matemática

Parte 5

SÃO PETERSBURGO

Publicado de acordo com a decisão do Departamento de Análise Matemática e RIS da Universidade Pedagógica do Estado Russo. IA Herzen

O manual metodológico destina-se a estudantes em tempo integral de 1-3 cursos da Faculdade de Matemática da Universidade Pedagógica do Estado da Rússia. IA Herzen.

De acordo com o programa de análise matemática, o manual inclui 28 opções diferentes para testes individuais domiciliares sobre os tópicos "Cálculo diferencial de funções de várias variáveis", "Integrais múltiplas e suas aplicações". Antes das opções de trabalho de controle, são fornecidas algumas informações teóricas e analisados exemplos, cuja solução é acompanhada de instruções metodológicas para os mesmos.

O material do manual pode ser usado para treinamento prático, controle e trabalho de verificação nas faculdades de ciências naturais das instituições de ensino superior.

Professor Sênior O.S. Korsakov,

Ph.D., assistente K.G. Mezhevich

Revisor: chefe de departamento matemática. análise RGPU-los. IA Herzen,

Bokhan K.A., Egorova I.A., Laschenov K.V. Curso de análise matemática. M.: Iluminismo, 1972, v.1,2.

Vilenkin N.Ya. etc. Livro de problemas para o curso de análise matemática. - M.: Iluminismo, 1971. Partes 1,2.

Kuznetsov A.A. Coleção de trabalhos em matemática superior. Moscou: Escola Superior, 1983.

Kudryavtsev L.D. Curso de análise matemática. M.: Escola superior, 1988. T. 1.2.

Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D., Chekhlov V.I., Shabunin M.I. Coleção de problemas em análise matemática. Funções de várias variáveis. S.-Pb, 1994.

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Espaços métricos. Cálculo diferencial de funções de várias variáveis. Livro didático / LGPI im. IA Herzen.-L., 1985.

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Cálculo integral de funções de várias variáveis e equações diferenciais. Livro didático / LGPI im. IA Herzen.-L., 1986.

Fikhtengolts G.M. Fundamentos de análise matemática. - M.: Nauka, 1968. Vol. 1, 2.

Funções de várias variáveis

DOMÍNIO E GRÁFICO DA FUNÇÃO DE VARIÁVEIS MÚLTIPLAS

Deixe cada ponto
número correspondido
. Então eles dizem que no set D determinado função numérica de várias variáveis
.

Vários D chamado domínio de definição funções, ponto
-argumento funções.

Vamos considerar ainda a função de duas variáveis
. Observe que tudo o que foi dito abaixo pode ser estendido para a função n variáveis, onde n>2 .

O conjunto de todos os pontos
, para o qual a função
, dado analiticamente, faz sentido, é chamado de natural domínio de definição esta função.

Por exemplo, o escopo da função
é um círculo aberto de raio 2 centrado na origem, que é dado pela desigualdade
.

cronograma funções
, Onde
, é chamado de conjunto. Ele define alguma superfície no espaço
.

Por exemplo, o gráfico da função
,
, é um parabolóide.

Exemplo 1 Encontre o domínio da função
.

Função definidos nesses pontos do plano
, Onde
.

Esta desigualdade é equivalente à combinação de dois sistemas:

e
.

O primeiro sistema de desigualdades é satisfeito pelas coordenadas de todos os pontos localizados na parábola
ou acima dele, e deitado em um semiplano
. Este conjunto está sombreado na Figura 1. O segundo sistema é satisfeito pelas coordenadas dos pontos situados no conjunto sombreado na Figura 1. 2. Portanto, o domínio de definição desta função é a união dos conjuntos encontrados, ou seja, conjunto, que está sombreado na Fig. 3.

Arroz. 1 Fig. 2 Fig. 3

linha de nível funções
, é chamado de conjunto de pontos
, satisfazendo a equação
.

Os níveis (ou superfícies niveladas) funções n variáveis, se n>2.

Exemplo 2 Encontre as linhas de nível de função
.

Observe que a função é definida em todo o plano
.

Para construir linhas de nível, é necessário que qualquer
encontrar um conjunto de pontos em um plano, coordenadas x, y que satisfaz a equação
. Portanto, se
, então
, e se
, então
.

É óbvio que Com não pode ser negativo (neste caso dizemos que Com- nível de função em c<0 é o conjunto vazio).

Encontre a linha de nível em c=0:

Da mesma forma, as linhas de nível são encontradas para vários c>0.

Na fig. 4 mostra as linhas de nível para c=0, c=1 e c=2.

LIMITE DE FUNÇÃO

Definir (círculo aberto de raio
centrado em um ponto
) é chamado -vizinhança pontos
. Pela
denotaremos a vizinhança perfurada de um ponto
.

Ponto
chamado ponto limite conjuntos
, se a interseção de qualquer - vizinhança de um ponto
e muitos D contém pelo menos um ponto diferente de
, ou seja por

.

Observe que o ponto limite pode não pertencer ao conjunto D.

Deixe a função
definido no set D e ponto
- ponto limite D.

Número MAS chamado limite de função
no ponto
, se para qualquer bairro
pontos MAS (
) existe-vizinhança
pontos
tal que para qualquer ponto

valor da função
cai no bairro
.

Nesse caminho,

:

)

:

).

Exemplo 3 Vamos provar isso
.

Observe que esta função é definida em todo o plano, exceto para o ponto (0,0 ) .

Porque o
, então para qualquer
existe
(nomeadamente
) tal que para todos os pontos
, satisfazendo a condição
, a desigualdade
.

Função
chamado contínua em um ponto
, E se
.

A função é chamada contínuo no setD, se é contínua em todos os pontos do conjunto D.

Exemplo 4 1) Função
é contínua em (0,0) porque
(ver exemplo 3).

2) Função
no ponto (0,0) sofre uma descontinuidade, pois

DERIVADOS PRIVADOS. DIFERENCIAL DE FUNÇÃO

Deixe a função
definido em alguma vizinhança do ponto
. Se há limites
e
, então eles são chamados derivativos privados funções
no ponto
por variáveis x e y respectivamente e são indicados
e
(ou:
e
).

Para calcular a derivada parcial (ou ) usam fórmulas e regras conhecidas para diferenciar uma função de uma variável, considerando outra variável y (ou x) valor constante.

Exemplo 5 Vamos encontrar as derivadas parciais da função
.

Se você contar y= const, então - função de potência de x, é por isso
.

Se um x= const, então - função exponencial de y, e, portanto
.

Função
chamado diferenciável em um ponto
se houver números MAS e NO tal que o incremento

funções f no ponto
representar na forma

Onde
no
.

Parte principal do incremento total
, linear em relação a
e
, ou seja
, é chamado diferencial completo funções
no ponto
e denotado
.

Nesse caminho,

.

Por definição, o diferencial de uma variável independente é o seu incremento, ou seja,
,
.

A função é chamada diferenciável no conjuntoD, se for diferenciável em todos os pontos do conjunto D.

Teorema 1. Se a função
diferenciável em um ponto
e

é a sua diferencial neste ponto, então neste ponto existem derivadas parciais da função f, e além,

=MAS,
=NO.

O Teorema 1 permite calcular a diferencial da função f de acordo com a fórmula

+
.

De acordo com o Teorema 1, se uma função é diferenciável em um ponto, então existem derivadas parciais da função naquele ponto. O contrário não é verdade. Para que uma função seja diferenciável, são necessárias condições mais fortes do que a presença de derivadas parciais em um ponto.

Teorema 2. Se as derivadas parciais
e
funções f existe em alguma vizinhança do ponto
e contínuo em
, então a função f diferenciável em um ponto
.

Exemplo 6 Calcule as derivadas parciais e a diferencial da função
no ponto (1, 1/5).

,

,

,
;

DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO COMPLEXA

Teorema 3. Deixe as funções
e
são definidos em alguma vizinhança do ponto
, e a função
definida em alguma vizinhança do ponto.

Se a função f diferenciável em um ponto
, e no ponto
existem derivados
, então no ponto
existe uma derivada de uma função complexa
, e

,
.

Exemplo 7 Vamos encontrar as derivadas parciais de uma função complexa
, Onde,.

Exemplo 8 Vamos encontrar a derivada de uma função complexa
, Onde
,
. Neste exemplo, as funções x e y depende de uma variável t, função tão complexa
é uma função de uma variável.

Exemplo 9 Deixar f(você) é uma função diferenciável arbitrária. Vamos provar que a função
satisfaz a equação
. Vamos colocar
.

Consequentemente,

DERIVADOS E DIFERENCIAIS PARCIAIS

DE ORDENS SUPERIORES

Deixe a função
nas proximidades do ponto
tem uma derivada parcial .

Derivada parcial de uma função por variável x chamado derivativo parcial segunda ordem por variável x e denotado ou
.

Derivativo parcial por variável y chamado derivativo parcial segunda ordem por variáveis x e y e denotado ou
.

Derivadas parciais de segunda ordem são definidas de forma semelhante e (
e
) como derivadas parciais de funções .

Derivativos e chamado derivadas parciais mistas.

Teorema 4. Deixe a função
definido juntamente com suas derivadas parciais ,,
,
em alguma vizinhança do ponto

e
contínua neste ponto. Então os valores das derivadas mistas neste ponto são iguais, ou seja,

=

.

Derivadas parciais de derivadas de segunda ordem são chamadas de derivadas parciais de terceira ordem:
etc.

Derivada parcial (em relação a qualquer uma das variáveis independentes) da derivada parcial da ordem m-1 é chamada de derivada parcial da ordem m.

O Teorema 4 também é válido para derivadas mistas de terceira, quarta e ordens superiores. Por exemplo, se a função
é definido junto com suas derivadas parciais até a ordem 3 inclusive em alguma vizinhança do ponto
, e os derivados mistos
,
e
são contínuas neste ponto, então os valores das derivadas mistas neste ponto são:

=

=

.

diferencial de segunda ordem funções de duas variáveis é chamada de diferencial da diferencial de primeira ordem.

Se a função
é duas vezes continuamente diferenciável em alguma vizinhança do ponto
(ou seja, existem derivadas parciais contínuas da função f até a segunda ordem inclusive nas proximidades do ponto
), então

Exemplo 10 Vamos encontrar as derivadas de segunda ordem de uma função complexa duas vezes continuamente diferenciável
, Onde
,
.

,
.

=
,

da mesma forma calculamos

DERIVADA DIRECIONAL. GRADIENTE

Deixar eu - vetor unitário em
com coordenadas
.

Função derivada
em direção vetor eu no ponto
chamado .

A derivada direcional é indicada

.

Gradiente funções f no ponto
é um vetor cujas coordenadas são as derivadas parciais de uma função em um ponto:

graduar f
= (
,
) =
eu +
j.

É fácil mostrar que a derivada direcional eué igual ao produto escalar do vetor gradiente e o vetor eu:

=

+

=
,

onde  é o ângulo entre os vetores graduar f
e eu.

Segue-se da última fórmula que a derivada em relação à direção do vetor graduar f
tem o maior valor entre as derivadas em várias direções e é igual ao módulo do vetor gradiente.

Exemplo 11. Vamos encontrar a derivada da função
no ponto M(1, 0) na direção do vetor MN, Onde N (5, 3) .

Vetor MN tem coordenadas (4, 3),
. Então o vetor unitário eu tem coordenadas (4/5, 3/5). Calcular derivadas parciais em um ponto M:
,
. Então
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

Exemplo 12. Vamos encontrar a derivada da função
no ponto (2,3) na direção do vetor gradiente naquele ponto.

Vamos calcular as derivadas parciais:

,
.

A derivada na direção do vetor gradiente em um ponto é igual ao módulo do vetor graduar f. Consequentemente,

PLANO TANGENTE E NORMAL À SUPERFÍCIE

Para um diferenciável em um ponto
funções
a seguinte relação está correta:

Onde
,
(isto segue da definição de um diferencial de primeira ordem). Chances MAS e NO claramente definido:
=MAS,
=NO.

A equação

é a equação do plano que passa pelo ponto
. Este avião é chamado plano tangente para o gráfico da função
no ponto
.

Assim, o plano tangente ao gráfico da função
em um ponto é um plano tal que a diferença entre sua aplicação e o valor da função
neste ponto há uma quantidade que é infinitesimal em comparação com  no   0 .

Equação da normal ao gráfico de uma função
no ponto
tem a forma

Se a equação de uma superfície lisa é dada implicitamente
, então a equação do plano tangente no ponto
tem a forma

e a equação da normal neste ponto é:

Exemplo 13 Vamos escrever a equação do plano tangente e a normal à superfície
no ponto (-2, 1, 4).

,
. A equação do plano tangente tem a forma: ou
.

Equação normal: .

FUNÇÕES EXTREMA DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Ponto
chamado de ponto máximo local (mínimo local) funções
,
se existe uma vizinhança do ponto
, para todos os pontos cuja desigualdade

(
).

Os pontos de máximo local e mínimo local de uma função são chamados pontos extremos locais.

Por exemplo, o ponto (0,0) é o ponto mínimo da função
.

Teorema 5 (condição necessária para um extremo). Se a função
tem no ponto
extremo local e neste ponto existem derivadas parciais f, então

=0 e
=0.

Ponto
chamado ponto estacionário funções f, E se
=0 e
=0.

Teorema 6 (condição suficiente para um extremo). Deixe a função
é duas vezes continuamente diferenciável em alguma vizinhança do ponto estacionário
.

Denote  =

- (

) 2 . Então

1) se  > 0, então no ponto
função f tem um extremo local: máximo em

> 0 e mínimo em

< 0;

2) se  < 0, então no ponto
função f não tem extremo;

3) se  = 0, então no ponto
função f pode ou não ter um extremo local (neste caso, são necessários estudos adicionais).

Exemplo 14 Investigamos a função para um extremo

Observe que a função você é definido e diferenciável em todo o plano.
,
. Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo o sistema resultante, encontramos os pontos estacionários da função: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
, portanto, no ponto (1, 2) a função tem um mínimo, você(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, portanto, no ponto (-1, -2) a função tem um máximo, você(-1, -2) = 31.

MAIOR E MÍNIMO VALOR DA FUNÇÃO

Deixe a função
é contínua em um conjunto fechado limitado D.

Lembre-se que o conjunto
chamado limitado se tal bairro existe você (0,0) que
você (0,0); vários
chamado fechado se contiver todos os seus pontos limites.

Pelo teorema de Weierstrass, existem tais pontos
e
, o que
é o maior valor da função no conjunto D, uma
- seu menor valor no conjunto D.

Uma função que é diferenciável em uma região limitada e contínua em sua fronteira atinge seus valores máximos e mínimos tanto em pontos estacionários quanto em pontos de fronteira D.

Exemplo 15 Encontre os maiores e menores valores da função no conjunto D, delimitado por linhas retas
,
,
.

y(2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - estacionário

pontos de função você (veja o exemplo 14), mas (-2,-1),

(-1,-2) não pertencem D.

você (2, 1) = -23, você (1, 2) = -25.

D Vamos estudar o comportamento da função você no

x definir limite D.

Arroz. 5
. Esta é uma função de uma variável,

que assume o menor valor no ponto
, e o maior valor no ponto
:você (4,0) = -45, você (0,0)= 3;

2)
,
. Neste segmento
. Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um segmento, calculamos seus valores em pontos estacionários e nas extremidades do segmento:
;
, mas
, então calculamos você (0,0) = 3, você (0,
)= =
, você (0,4) = 7. O maior valor está no ponto (0,4) e o menor valor está no ponto (0,
);

3)
,
. Aqui

Calculamos os valores da função em pontos estacionários e nas extremidades do segmento: ;; você (0,4)= 7, você (3/2, 5/2) = -20, você (5/2,3/2)= -18, você (4,0)= -45. Nesta seção do limite, o valor da função no ponto (0,4) é o maior e o menor - no ponto (4,0).

Dos valores menores e maiores da função obtidos nos pontos 1)-3) em diferentes seções da fronteira e dos valores da função em pontos estacionários, escolhemos o maior e o menor. Valor mais alto: você (0,4)= 7, menor valor: você (4,0)= -45.

O novo cálculo como sistema foi criado em grande medida por Newton, que, no entanto, não publicou suas descobertas por muito tempo.

A data oficial de nascimento do cálculo diferencial pode ser considerada maio, quando Leibniz publicou o primeiro artigo "Um novo método de altos e baixos...". Este artigo, de forma concisa e inacessível, delineou os princípios de um novo método chamado cálculo diferencial.

Leibniz e seus alunos

Essas definições são explicadas geometricamente, com a Fig. incrementos infinitesimais são descritos como finitos. A consideração é baseada em dois requisitos (axiomas). Primeiro:

É necessário que duas quantidades, diferindo uma da outra apenas por uma quantidade infinitesimal, possam ser tomadas [ao simplificar expressões?] indiferentemente uma em vez da outra.

Daí resulta x + dx = x , Mais longe

dxy = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

A continuação de cada uma dessas linhas é chamada de tangente à curva. Explorando uma tangente através de um ponto M = (x,y) , L'Hopital atribui grande importância à quantidade

atingindo valores extremos nos pontos de inflexão da curva, enquanto a razão dy para dx nenhum significado especial é anexado.

Encontrar pontos extremos é digno de nota. Se com um aumento contínuo no diâmetro x ordenado y primeiro aumenta e depois diminui, então o diferencial dy inicialmente positivo em comparação com dx e depois negativo.

Mas qualquer quantidade continuamente crescente ou decrescente não pode passar de positiva a negativa sem passar pelo infinito ou zero... Segue-se que o diferencial de maior e menor magnitude deve ser igual a zero ou infinito.

Essa formulação provavelmente não é perfeita, se lembrarmos do primeiro requisito: digamos, y = x 2 , então em virtude do primeiro requisito

2xdx + dx 2 = 2xdx ;

em zero, o lado direito é zero, mas o lado esquerdo não. Aparentemente, deveria ter sido dito que dy pode ser transformado de acordo com o primeiro requisito para que no ponto máximo dy= 0. . Nos exemplos, tudo é evidente, e só na teoria dos pontos de inflexão Lopital escreve que dyé igual a zero no ponto máximo quando dividido por dx .

Além disso, apenas com a ajuda de diferenciais, as condições para um extremo são formuladas e um grande número de problemas complexos são considerados, principalmente relacionados à geometria diferencial no plano. No final do livro, no cap. 10, o que agora é chamado de regra de L'Hopital é declarado, embora não em sua forma usual. Seja o valor da ordenada y curva é expressa como uma fração, cujo numerador e denominador desaparecem em x = uma. Então o ponto da curva com x = uma tem uma ordenada y, igual à razão entre o diferencial do numerador e o diferencial do denominador, tomado em x = uma .

De acordo com a ideia de L'Hopital, o que ele escreveu foi a primeira parte da Análise, enquanto a segunda deveria conter cálculo integral, ou seja, uma forma de encontrar a conexão das variáveis pela conexão conhecida de seus diferenciais. Sua primeira exposição é dada por Johann Bernoulli em seu Aulas de matemática sobre o método integral. Aqui, um método é dado para obter a maioria das integrais elementares e métodos para resolver muitas equações diferenciais de primeira ordem são indicados.

Euler

As mudanças que ocorreram ao longo do próximo meio século estão refletidas no extenso tratado de Euler. A apresentação da análise abre a "Introdução", em dois volumes, que contém pesquisas sobre várias representações de funções elementares. O termo "função" aparece pela primeira vez apenas em Leibniz, mas foi Euler quem o apresentou aos primeiros papéis. A interpretação original do conceito de função era que uma função é uma expressão para uma contagem (alemão. Rechnungsausdrċck) ou expressão analítica.

A função de uma quantidade variável é uma expressão analítica composta de alguma forma dessa quantidade variável e números ou quantidades constantes.

Enfatizando que “a principal diferença entre as funções está na forma como são compostas por variáveis e constantes”, Euler enumera as ações “pelas quais as quantidades podem ser combinadas e misturadas entre si; essas ações são: adição e subtração, multiplicação e divisão, exponenciação e extração de raízes; a solução de equações [algébricas] também deve ser incluída aqui. Além dessas operações, chamadas algébricas, existem muitas outras, transcendentais, como exponenciais, logarítmicas e inúmeras outras, entregues pelo cálculo integral. Tal interpretação possibilitou lidar facilmente com funções multivaloradas e não exigiu uma explicação de qual campo a função é considerada: a expressão para a contagem é definida para os valores complexos das variáveis mesmo quando isso não é necessário para o problema em questão.

As operações em uma expressão eram permitidas apenas em um número finito, e o transcendente penetrava com a ajuda de um número infinitamente grande. Nas expressões, esse número é usado junto com os números naturais. Por exemplo, tal expressão para o expoente é considerada válida

em que apenas autores posteriores viram a transição para o limite. Várias transformações foram feitas com expressões analíticas, o que permitiu a Euler encontrar representações para funções elementares na forma de séries, produtos infinitos, etc. calcular o valor de uma função em um ponto para cada uma das fórmulas escritas.

Em contraste com L'Hopital, Euler considera as funções transcendentais em detalhes e, em particular, suas duas classes mais estudadas - exponenciais e trigonométricas. Ele descobre que todas as funções elementares podem ser expressas usando operações aritméticas e duas operações - tomando o logaritmo e o expoente.

O próprio curso da prova demonstra perfeitamente a técnica de usar o infinitamente grande. Tendo determinado o seno e o cosseno usando o círculo trigonométrico, Euler deduz o seguinte das fórmulas de adição:

Supondo e z = nx , Ele recebe

descartando valores infinitesimais de ordem superior. Usando esta e uma expressão semelhante, Euler também obtém sua famosa fórmula

Tendo indicado várias expressões para funções que agora são chamadas elementares, Euler passa a considerar as curvas no plano, desenhadas com um movimento livre da mão. Em sua opinião, não é possível encontrar uma única expressão analítica para cada uma dessas curvas (veja também a String Controversy). No século XIX, por sugestão de Casorati, essa afirmação foi considerada errônea: de acordo com o teorema de Weierstrass, qualquer curva contínua no sentido moderno pode ser descrita aproximadamente por polinômios. De fato, Euler dificilmente se convenceu disso, porque a passagem ao limite também deve ser reescrita usando o símbolo .

A apresentação de Euler do cálculo diferencial começa com a teoria das diferenças finitas, seguida no terceiro capítulo por uma explicação filosófica de que "uma quantidade infinitesimal é exatamente zero", o que acima de tudo não combinava com os contemporâneos de Euler. Então, diferenciais são formados a partir de diferenças finitas com um incremento infinitesimal, e a partir da fórmula de interpolação de Newton, a fórmula de Taylor. Este método remonta essencialmente ao trabalho de Taylor (1715). Nesse caso, Euler tem uma razão estável , que, no entanto, é considerada a razão de dois infinitesimais. Os últimos capítulos são dedicados ao cálculo aproximado usando séries.

No cálculo integral de três volumes, Euler interpreta e introduz o conceito de integral da seguinte forma:

A função cujo diferencial = Xdx, é chamado de integral e é denotado pelo sinal S colocado na frente.

Em geral, esta parte do tratado de Euler é dedicada ao problema mais geral de integrar equações diferenciais de um ponto de vista moderno. Ao fazer isso, Euler encontra uma série de integrais e equações diferenciais que levam a novas funções, por exemplo, funções Γ, funções elípticas, etc. Uma prova rigorosa de sua não elementaridade foi dada na década de 1830 por Jacobi para funções elípticas e por Liouville (cf. funções elementares).

Lagrange

O próximo grande trabalho, que desempenhou um papel significativo no desenvolvimento do conceito de análise, foi Teoria das funções analíticas Lagrange e uma extensa releitura da obra de Lagrange, feita por Lacroix de maneira um tanto eclética.

Desejando se livrar completamente do infinitesimal, Lagrange inverteu a conexão entre as derivadas e a série de Taylor. Por função analítica, Lagrange entendia uma função arbitrária investigada por métodos de análise. Ele definiu a função como f(x) , dando uma maneira gráfica de escrever a dependência - anteriormente, Euler gerenciava apenas com variáveis. Para aplicar os métodos de análise, segundo Lagrange, é necessário que a função se expanda em uma série

cujos coeficientes serão novas funções x. Resta nomear p derivada (coeficiente diferencial) e denote-a como f"(x). Assim, o conceito de derivada é introduzido na segunda página do tratado e sem o auxílio de infinitesimais. Resta notar que

então o coeficiente qé a derivada dupla da derivada f(x) , isso é

etc.

Essa abordagem para a interpretação do conceito de derivada é usada na álgebra moderna e serviu de base para a criação da teoria de funções analíticas de Weierstrass.

Lagrange operou em tais séries como formais e obteve uma série de teoremas notáveis. Em particular, pela primeira vez e com bastante rigor ele provou a solubilidade do problema inicial para equações diferenciais ordinárias em séries de potências formais.

A questão de estimar a precisão das aproximações entregues por somas parciais da série de Taylor foi colocada pela primeira vez por Lagrange: no final Teorias das funções analíticas ele derivou o que hoje é chamado de fórmula do resto de Lagrange de Taylor. No entanto, ao contrário dos autores modernos, Lagrange não viu necessidade de usar esse resultado para justificar a convergência da série de Taylor.

A questão de saber se as funções usadas na análise podem realmente ser expandidas em uma série de potências posteriormente tornou-se objeto de discussão. É claro que Lagrange sabia que em alguns pontos as funções elementares podem não se expandir em uma série de potências, mas nesses pontos elas não são diferenciáveis. Koshy em seu Análise algébrica deu como contra-exemplo a função

estendido por zero em zero. Esta função é suave em toda parte no eixo real e tem série de Maclaurin nula em zero, que, portanto, não converge para o valor f(x). Contra este exemplo, Poisson objetou que Lagrange definiu uma função como uma única expressão analítica, enquanto no exemplo de Cauchy a função é dada de forma diferente em zero e em . Foi apenas no final do século 19 que Pringsheim provou que existe uma função infinitamente diferenciável dada por uma única expressão para a qual a série de Maclaurin diverge. Um exemplo de tal função fornece a expressão

Desenvolvimento adicional

Bibliografia

Literatura educacional

Livros didáticos padrão

Por muitos anos, os seguintes livros didáticos foram populares na Rússia:

Kudryavtsev, L. D. , Curso de análise matemática (em três volumes).

T. 1. Cálculo diferencial e integral de funções de uma variável. T. 2. Linhas. Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis. V. 3. Análise harmônica. Elementos de análise funcional. Particular atenção no livro é dada à apresentação de métodos qualitativos e analíticos, que também reflete algumas aplicações geométricas de análise. Destina-se a estudantes de universidades e especialidades físicas e matemáticas, e engenharias e físicas de universidades técnicas, bem como estudantes de outras especialidades para uma formação matemática aprofundada.

Courant, R. (em dois volumes). A principal descoberta metodológica do curso: primeiro, as ideias principais são simplesmente enunciadas e, em seguida, são dadas provas rigorosas. Escrito por Courant quando era professor na Universidade de Göttingen na década de 1920 sob a influência das ideias de Klein, depois transferido para solo americano na década de 1930. A tradução russa de 1934 e sua reimpressão dá o texto de acordo com a edição alemã, a tradução da década de 1960 (a chamada 4ª edição) é uma compilação das versões alemã e americana do livro didático e, portanto, é muito verbosa.
Fikhtengolts, Grigory Mikhailovich. Curso de Cálculo Diferencial e Integral(em três volumes) // Mat. a análise no EqWorld é um tutorial muito bom, mas um pouco antiquado.

e livro de problemas

Demidovich, B.P., Coleção de problemas e exercícios de análise matemática// Mat. Análise no EqWorld

Existem várias publicações reivindicando o papel de Anti-Demidovich:

Lyashko I.I. e outros. Manual de referência para matemática superior. v. 1-5

A maioria das universidades tem suas próprias diretrizes para análise:

Universidade Estadual de Moscou, mekhmat:

Arkhipov G.I., Sadovnichiy V.A., Chubarikov V.N. Palestras sobre Matemática. análise.
Zorich V. A. Analise matemática. Parte I.M.: Nauka, 1981. 544 p.
Zorich V. A. Analise matemática. Parte II. M.: Nauka, 1984. 640 p.

Ilyin V.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl. X. Análise Matemática (em duas partes)

Universidade Estadual de Moscou, Faculdade de Física:

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Fundamentos de Cálculo (em duas partes) // http://lib.homelinux.org.
Butuzov V.F. e outros. Esteira. análise em questões e problemas // http://lib.homelinux.org.

MSTU. Bauman:

Matemática na Universidade Técnica Coleção de material didático em 21 volumes.

NSU, mekhmat:

Reshetnyak Yu. G. Curso de análise matemática. Parte I. Livro 1. Introdução à Análise Matemática. Cálculo diferencial de funções de uma variável. Novosibirsk: Editora do Instituto de Matemática, 1999. 454 p. ISBN 5-86134-066-8.
Reshetnyak Yu. G. Curso de análise matemática. Parte I. Livro 2. Cálculo integral de funções de uma variável. Cálculo diferencial de funções de várias variáveis. Novosibirsk: Editora do Instituto de Matemática, 1999. 512 p. ISBN 5-86134-067-6.
Reshetnyak Yu. G. Curso de análise matemática. Parte II. Livro 1. Fundamentos de análise suave em espaços multidimensionais. Teoria das linhas. Novosibirsk: Editora do Instituto de Matemática, 2000. 440 p. ISBN 5-86134-086-2.
Reshetnyak Yu. G. Curso de análise matemática. Parte II. Livro 2. Cálculo integral de funções de muitas variáveis. Cálculo integral em variedades. Formas diferenciais externas. Novosibirsk: Editora do Instituto de Matemática, 2001. 444 p. ISBN 5-86134-089-7.
Shvedov I. A. Curso compacto de análise matemática, Parte 1. Funções de uma variável, Parte 2. Cálculo diferencial de funções de várias variáveis.

Fiztekh, Moscou

Kudryavtsev L. D. Curso de análise matemática (em três volumes)

Livros didáticos avançados

Tutoriais:

Rudin W. Fundamentos de análise matemática. M., 1976 - um pequeno livro, escrito de forma muito clara e concisa.

Tarefas de maior complexidade:

G. Polia, G. Sege, Problemas e teoremas de análise. Parte 1, Parte 2, 1978
Pascal, E.(Nápoles). Esercizi, 1895; 2ª ed., 1909 // Arquivo da Internet

Livros de referência

obras clássicas

Lopital. Análise de infinitesimais // Math. Análise no EqWorld
Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlim, 1914.
Euler. Introdução à análise, cálculo diferencial, cálculo integral //Mat. análise no EqWorld (Volume 2 de Introdução à Análise salvo com erro)
Cauchy. Resumo das aulas de cálculo diferencial e integral //Mat. Análise no EqWorld
Tempestade. Curso de Análise. T.1,2 - Curso clássico da escola politécnica parisiense da década de 1830.
Tapete de curso Gursa E. análise. T. 1.1, 1.2 // Math. Análise no EqWorld

Livros de história

Kestner, Abraham Gottgelf. Geschichte der Mathematik. 4 volumes, Göttingen, 1796-1800
KANTOR, Moritz. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, - . bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. quatro
História da matemática, editado por A. P. Yushkevich (em três volumes):

Markushevich AI Ensaios sobre a história da teoria das funções analíticas. 1951
Vileitner G. História da matemática de Descartes até meados do século XIX. 1960
O primeiro livro russo no tapete. Análise: M. E. Vashchenko-Zakharchenko, Análise Algébrica ou Álgebra Superior. 1887