A solução de problemas aplicados se reduz ao cálculo da integral, mas nem sempre é possível fazê-lo com precisão. Às vezes é necessário conhecer o valor de uma integral definida com algum grau de precisão, por exemplo, até um milésimo.
Existem tarefas em que seria necessário encontrar o valor aproximado de uma determinada integral com a precisão necessária, então a integração numérica é usada como o método de Simposn, trapézios, retângulos. Nem todos os casos nos permitem calculá-lo com certa precisão.
Este artigo considera a aplicação da fórmula de Newton-Leibniz. Isso é necessário para o cálculo exato da integral definida. Exemplos detalhados serão dados, a mudança de variável na integral definida será considerada e encontraremos os valores da integral definida ao integrar por partes.
Fórmula de Newton-Leibniz
Definição 1Quando a função y = y (x) é contínua a partir do segmento [ a ; b ], e F(x) é uma das primitivas da função deste segmento, então Fórmula de Newton-Leibniz considerado justo. Vamos escrever assim ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Esta fórmula é considerada a fórmula básica do cálculo integral.
Para provar esta fórmula, é necessário usar o conceito de integral com o limite superior da variável disponível.
Quando a função y = f (x) é contínua a partir do segmento [ a ; b ] , então o valor do argumento x ∈ a ; b , e a integral tem a forma ∫ a x f (t) d t e é considerada uma função do limite superior. É necessário aceitar que a notação da função terá a forma ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , é contínua, e a desigualdade da forma ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f(x) é válido para ele.
Fixamos que o incremento da função Φ (x) corresponde ao incremento do argumento ∆ x , é necessário usar a quinta propriedade principal de uma integral definida e obter
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x
onde valor c ∈ x ; x + ∆x.
Fixamos a igualdade na forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Por definição da derivada de uma função, é necessário passar ao limite como ∆ x → 0, então obtemos uma fórmula da forma localizada em [ a ; b ] Caso contrário, a expressão pode ser escrita
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , onde o valor de C é constante.
Vamos calcular F(a) usando a primeira propriedade da integral definida. Então obtemos isso
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , portanto C = F (a) . O resultado é aplicável ao calcular F (b) e obtemos:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , em outras palavras, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a). A igualdade prova a fórmula de Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
O incremento da função é tomado como F x a b = F (b) - F (a) . Com a ajuda da notação, a fórmula de Newton-Leibniz torna-se ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Para aplicar a fórmula, é necessário conhecer uma das primitivas y = F (x) do integrando y = f (x) do segmento [ a ; b ] , calcule o incremento da primitiva deste segmento. Considere alguns exemplos de cálculos usando a fórmula de Newton-Leibniz.
Exemplo 1
Calcule a integral definida ∫ 1 3 x 2 d x usando a fórmula de Newton-Leibniz.
Decisão
Considere que o integrando da forma y = x 2 é contínuo a partir do intervalo [ 1 ; 3 ] , então e é integrável neste segmento. De acordo com a tabela de integrais indefinidas, vemos que a função y \u003d x 2 tem um conjunto de primitivas para todos os valores reais de x, o que significa que x ∈ 1; 3 será escrito como F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . É necessário tomar a primitiva com C \u003d 0, então obtemos F (x) \u003d x 3 3.
Vamos usar a fórmula de Newton-Leibniz e obter que o cálculo da integral definida terá a forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .
Responda:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Exemplo 2
Calcule a integral definida ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x usando a fórmula de Newton-Leibniz.
Decisão
A função dada é contínua a partir do segmento [ - 1 ; 2 ], o que significa que é integrável nele. É necessário encontrar o valor da integral indefinida ∫ x e x 2 + 1 d x usando o método de soma sob o sinal diferencial, então obtemos ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.
Assim temos um conjunto de primitivas da função y = x · e x 2 + 1 , que são válidas para todo x , x ∈ - 1 ; 2.
É necessário tomar a primitiva em C = 0 e aplicar a fórmula de Newton-Leibniz. Então obtemos uma expressão da forma
∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Responda:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Exemplo 3
Calcule as integrais ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x e ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
Decisão
Segmento - 4; - 1 2 diz que a função sob o sinal de integral é contínua, o que significa que é integrável. A partir daqui encontramos o conjunto de primitivas da função y = 4 x 3 + 2 x 2 . Nós entendemos isso
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
É necessário tomar a antiderivada F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, então, aplicando a fórmula de Newton-Leibniz, obtemos a integral, que calculamos:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Fazemos a transição para o cálculo da segunda integral.
Do segmento [ - 1 ; 1 ] temos que o integrando é considerado ilimitado, pois lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , então segue que uma condição necessária para a integrabilidade do segmento. Então F (x) = 2 x 2 - 2 x não é uma antiderivada para y = 4 x 3 + 2 x 2 do intervalo [ - 1 ; 1 ] , pois o ponto O pertence ao segmento, mas não está incluído no domínio de definição. Isto significa que existe uma integral definida de Riemann e Newton-Leibniz para a função y = 4 x 3 + 2 x 2 do intervalo [ - 1 ; 1 ] .
Resposta: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, existe uma integral definida de Riemann e Newton-Leibniz para a função y = 4 x 3 + 2 x 2 do intervalo [ - 1 ; 1 ] .
Antes de usar a fórmula de Newton-Leibniz, você precisa saber exatamente sobre a existência de uma integral definida.
Mudança de variável em uma integral definida
Quando a função y = f (x) é definida e contínua a partir do segmento [ a ; b ] , então o conjunto existente [ a ; b ] é considerada a imagem da função x = g (z) definida no intervalo α ; β com a derivada contínua existente, onde g (α) = a e g β = b , portanto obtemos que ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .
Esta fórmula é usada quando é necessário calcular a integral ∫ a b f (x) d x , onde a integral indefinida tem a forma ∫ f (x) d x , calculamos usando o método de substituição.
Exemplo 4
Calcule uma integral definida da forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
Decisão
O integrando é considerado contínuo no intervalo de integração, o que significa que a integral definida existe. Vamos dar a notação que 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . O valor x \u003d 9 significa que z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, e para x \u003d 18 obtemos que z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, então g α \ u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Substituindo os valores obtidos na fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, obtemos que
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9dz
De acordo com a tabela de integrais indefinidas, temos que uma das primitivas da função 2 z 2 + 9 assume o valor 2 3 a r c t g z 3 . Então, aplicando a fórmula de Newton-Leibniz, obtemos que
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18
A descoberta pode ser feita sem usar a fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .
Se o método de substituição usa uma integral da forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x , então podemos chegar ao resultado ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .
A partir daqui, realizaremos cálculos usando a fórmula de Newton-Leibniz e calcularemos a integral definida. Nós entendemos isso
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18
Os resultados combinaram.
Resposta: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Integração por partes no cálculo de uma integral definida
Se no segmento [ a ; b ] as funções u (x) ev (x) são definidas e contínuas, então suas derivadas de primeira ordem v " (x) u (x) são integráveis, então a partir deste intervalo para a função integrável u " (x) v (x) a igualdade ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x é verdadeira.
A fórmula pode ser usada então, é necessário calcular a integral ∫ a b f (x) d x , e ∫ f (x) d x foi necessário encontrá-la usando integração por partes.
Exemplo 5
Calcule a integral definida ∫ - π 2 3 π 2 x · sen x 3 + π 6 d x .
Decisão
A função x sen x 3 + π 6 é integrável no segmento - π 2; 3 π 2 , logo é contínua.
Seja u (x) \u003d x, então d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sen x 3 + π 6 d x e d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x e v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Da fórmula ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x temos que
∫ - π 2 3 π 2 x sen x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sen x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sen π 2 + π 6 - sen - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
A solução do exemplo pode ser feita de outra forma.
Encontre o conjunto de primitivas da função x sen x 3 + π 6 usando integração por partes usando a fórmula de Newton-Leibniz:
∫ x sen x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sen x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sen x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sen x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sen - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Resposta: ∫ x sen x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
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"Eu também, binômio de Newton!»
de O Mestre e Margarita
“O triângulo de Pascal é tão simples que até uma criança de dez anos pode escrevê-lo. Ao mesmo tempo, esconde tesouros inesgotáveis e une vários aspectos da matemática que, à primeira vista, nada têm em comum entre si. Tais propriedades incomuns nos permitem considerar o triângulo de Pascal um dos esquemas mais elegantes de toda a matemática.
Martin Gardner.
Objetivo: generalizar as fórmulas de multiplicação abreviada, mostrar sua aplicação na resolução de problemas.
Tarefas:
1) estudar e sistematizar informações sobre o tema;
2) analisar exemplos de problemas para o uso do binômio de Newton e fórmulas de soma e diferença de graus.
Objetos de pesquisa: O binômio de Newton, fórmulas para a soma e diferença de graus.
Métodos de pesquisa:
Trabalhando com literatura educacional e de ciência popular, recursos da Internet.
Cálculos, comparação, análise, analogia.
Relevância. Uma pessoa muitas vezes tem que lidar com problemas nos quais é necessário contar o número de todas as maneiras possíveis de organizar alguns objetos ou o número de todas as maneiras possíveis de realizar alguma ação. Diferentes caminhos ou opções que uma pessoa tem que escolher somam uma grande variedade de combinações. E todo um ramo da matemática, chamado combinatória, está ocupado procurando respostas para as perguntas: quantas combinações existem neste ou naquele caso.
Representantes de muitas especialidades têm que lidar com quantidades combinatórias: cientista-químico, biólogo, designer, despachante, etc. O crescente interesse pela combinatória nos últimos anos se deve ao rápido desenvolvimento da cibernética e da tecnologia computacional.
Introdução
Quando querem enfatizar que o interlocutor exagera na complexidade das tarefas que enfrentou, dizem: “Também preciso do binômio de Newton!” Diga, aqui está o binômio de Newton, é difícil, mas que problemas você tem! Mesmo aquelas pessoas cujos interesses nada têm a ver com matemática já ouviram falar do binômio de Newton.
A palavra "binômio" significa um binômio, ou seja, a soma de dois termos. Do curso escolar, são conhecidas as chamadas fórmulas de multiplicação abreviadas:
( uma+b) 2 = um 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = um 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .
Uma generalização dessas fórmulas é uma fórmula chamada fórmula binomial de Newton. As fórmulas para fatorar a diferença dos quadrados, a soma e a diferença dos cubos também são usadas na escola. Eles têm uma generalização para outros graus? Sim, existem essas fórmulas, elas são frequentemente usadas na resolução de vários problemas: prova de divisibilidade, redução de frações, cálculos aproximados.
O estudo de fórmulas generalizantes desenvolve o pensamento matemático-dedutivo e as habilidades mentais gerais.
SEÇÃO 1. FÓRMULA BINOMIAL DE NEWTON
Combinações e suas propriedades
Seja X um conjunto formado por n elementos. Qualquer subconjunto Y do conjunto X contendo k elementos é chamado de combinação de k elementos de n e k ≤ n.
O número de combinações diferentes de k elementos de n é denotado C n k . Uma das fórmulas mais importantes da combinatória é a seguinte fórmula para o número C n k:
Pode ser escrito após abreviações óbvias da seguinte forma:
Em particular,
Isso é bastante consistente com o fato de que no conjunto X há apenas um subconjunto de 0 elementos - o subconjunto vazio.
Os números C n k têm várias propriedades notáveis.
A fórmula С n k = С n - k n é válida, (3)
O significado da fórmula (3) é que existe uma correspondência de um para um entre o conjunto de todos os subconjuntos de k membros de X e o conjunto de todos os subconjuntos de (n - k) membros de X: para estabelecer essa correspondência, basta que cada subconjunto de k membros de Y corresponda ao seu complemento no conjunto X.
A fórmula С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n é válida (4)
A soma do lado esquerdo expressa o número de todos os subconjuntos do conjunto X (C 0 n é o número de subconjuntos de 0 membros, C 1 n é o número de subconjuntos de um membro, etc.).
Para qualquer k, 1≤ k≤ n , a igualdade
C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)
Essa igualdade é fácil de obter usando a fórmula (1). De fato,
1.2. Derivação da fórmula binomial de Newton
Considere as potências do binômio um +b .
n = 0, (a +b ) 0 = 1
n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b
n = 2(um +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2
n = 3(um +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3
n = 4(um +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4
n=5(um +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5
Observe as seguintes regularidades:
O número de termos do polinômio resultante é um maior que o expoente do binômio;
O expoente do primeiro termo diminui de n para 0, o expoente do segundo termo aumenta de 0 para n;
Os graus de todos os monômios são iguais aos graus do binômio na condição;
Cada monômio é o produto da primeira e da segunda expressões em várias potências e um certo número - o coeficiente binomial;
Os coeficientes binomiais equidistantes do início e do fim da expansão são iguais.
Uma generalização dessas fórmulas é a seguinte fórmula, chamada fórmula binomial de Newton:
(uma + b ) n = C 0 n uma n b 0 + C 1 n uma n -1 b + C 2 n uma n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n uma 0 b n . (6)
Nesta fórmula n pode ser qualquer número natural.
Derivamos a fórmula (6). Antes de mais nada, vamos escrever:
(uma + b ) n = (uma + b )(uma + b ) ... (uma + b ), (7)
onde o número de colchetes a ser multiplicado é n. Da regra usual para multiplicar uma soma por uma soma, segue-se que a expressão (7) é igual à soma de todos os produtos possíveis, que podem ser compostos da seguinte forma: qualquer termo da primeira das somas a + b multiplicado por qualquer termo da segunda soma a+b, em qualquer termo da terceira soma, etc.
Do que foi dito, fica claro que o termo na expressão para (uma + b ) n corresponder (um para um) strings de comprimento n, compostas por letras a e b. Entre os termos haverá termos semelhantes; é óbvio que tais membros correspondem a strings contendo o mesmo número de letras uma. Mas o número de linhas contendo exatamente k vezes a letra uma, é igual a C n k . Portanto, a soma de todos os termos contendo a letra a com um fator exatamente k vezes é igual a С n k uma n - k b k . Como k pode assumir os valores 0, 1, 2, ..., n-1, n, a fórmula (6) segue do nosso raciocínio. Observe que (6) pode ser escrito mais curto: (8)
Embora a fórmula (6) seja chamada de nome de Newton, na realidade ela foi descoberta antes mesmo de Newton (por exemplo, Pascal a conhecia). O mérito de Newton está no fato de ter encontrado uma generalização desta fórmula para o caso de expoentes não inteiros. Foi I. Newton em 1664-1665. derivou uma fórmula que expressa o grau do binômio para expoentes fracionários e negativos arbitrários.
Os números C 0 n , C 1 n , ..., C n n , incluídos na fórmula (6), são geralmente chamados de coeficientes binomiais, que são definidos da seguinte forma:
A partir da fórmula (6) pode-se obter uma série de propriedades desses coeficientes. Por exemplo, supondo uma=1, b = 1, obtemos:
2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,
Essa. fórmula (4). Se colocarmos uma= 1, b = -1, então teremos:
0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n
ou С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .
Isso significa que a soma dos coeficientes dos termos pares da expansão é igual à soma dos coeficientes dos termos ímpares da expansão; cada um deles é igual a 2 n -1 .
Os coeficientes dos termos equidistantes das extremidades da expansão são iguais. Esta propriedade segue da relação: С n k = С n n - k
Um caso especial interessante
(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0
ou menor (x +1) n = ∑C n k x n - k .
1.3. Teorema polinomial
Teorema.
Prova.
Para obter um monômio depois de abrir os colchetes, você precisa escolher os colchetes de onde é retirado, os colchetes de onde é retirado etc. e os colchetes dos quais é retirado. O coeficiente desse monômio após a redução de termos semelhantes é igual ao número de maneiras pelas quais tal escolha pode ser feita. A primeira etapa da sequência de escolhas pode ser feita de várias maneiras, a segunda etapa - , a terceira - etc., a -ésima etapa - de várias maneiras. O coeficiente desejado é igual ao produto
SEÇÃO 2. Derivados de ordens superiores.
O conceito de derivados de ordens superiores.
Seja a função diferenciável em algum intervalo. Então sua derivada, em geral, depende de X, ou seja, é uma função de X. Portanto, com relação a ela, podemos novamente levantar a questão da existência de uma derivada.
Definição . A derivada da primeira derivada é chamada derivada de segunda ordem ou segunda derivada e é indicada pelo símbolo ou, ou seja,
Definição . A derivada da segunda derivada é chamada de derivada de terceira ordem ou terceira derivada e é denotada pelo símbolo ou.
Definição . derivadon ª ordem funções é chamada de primeira derivada da derivada (n -1)-ésima ordem desta função e é indicada pelo símbolo ou:
Definição . Derivadas de ordem maior que a primeira são chamadas derivados superiores.
Comente. Da mesma forma, pode-se obter a fórmula n-ésima derivada da função:
A segunda derivada de uma função definida parametricamente
Se uma função é dada parametricamente por equações, então para encontrar a derivada de segunda ordem, é necessário diferenciar a expressão para sua primeira derivada como uma função complexa de uma variável independente.
Desde então
e considerando que,
Nós entendemos, isso é.
Da mesma forma, podemos encontrar a terceira derivada.
Diferencial de soma, produto e quociente.
Como a diferencial é obtida da derivada multiplicando-a pela diferencial de uma variável independente, então, conhecendo as derivadas das funções elementares básicas, bem como as regras para encontrar derivadas, pode-se chegar a regras semelhantes para encontrar diferenciais.
1 0 . O diferencial de uma constante é zero.
2 0 . A diferencial da soma algébrica de um número finito de funções diferenciáveis é igual à soma algébrica das diferenciais dessas funções .
3 0 . A diferencial do produto de duas funções diferenciáveis é igual à soma dos produtos da primeira função e a diferencial da segunda e da segunda função e a diferencial da primeira .
Consequência. O fator constante pode ser retirado do sinal do diferencial.
2.3. Funções dadas parametricamente, sua diferenciação.
Definição . Uma função é dita parametricamente definida se ambas as variáveis X e y são definidos separadamente como funções de valor único da mesma variável auxiliar - o parâmetrot :
Ondet mudanças dentro.
Comente . Apresentamos as equações paramétricas de um círculo e uma elipse.
a) Círculo centrado na origem e raio r tem equações paramétricas:
b) Vamos escrever as equações paramétricas para a elipse:
Excluindo o parâmetro t A partir das equações paramétricas das retas consideradas, pode-se chegar às suas equações canônicas.
Teorema . Se a função y do argumento x é dado parametricamente pelas equações, onde e são diferenciáveis em relação at funções e depois.
2.4. Fórmula de Leibniz
Para encontrar a derivada nª ordem do produto de duas funções, a fórmula de Leibniz é de grande importância prática.
Deixe ser você e v- algumas funções de uma variável X tendo derivativos de qualquer ordem e y = UV. Expressar n-ª derivada através de derivadas de funções você e v .
Temos consistentemente
É fácil notar a analogia entre as expressões para a segunda e terceira derivadas e a expansão do binômio de Newton na segunda e terceira potências, respectivamente, mas no lugar dos expoentes há números que determinam a ordem da derivada, e as funções podem ser considerados como "derivadas de ordem zero". Dado isso, obtemos a fórmula de Leibniz:
Esta fórmula pode ser provada por indução matemática.
SEÇÃO 3. APLICAÇÃO DA FÓRMULA LEIBNIZ.
Para calcular a derivada de qualquer ordem a partir do produto de duas funções, ignorando a aplicação sequencial da fórmula para calcular a derivada do produto de duas funções, usamos Fórmula de Leibniz.
Usando esta fórmula, considere exemplos de cálculo da enésima derivada do produto de duas funções.
Exemplo 1
Encontre a segunda derivada de uma função
Por definição, a segunda derivada é a primeira derivada da primeira derivada, ou seja,
Portanto, primeiro encontramos a derivada de primeira ordem da função dada de acordo com regras de diferenciação e usando tabela de derivativos:
Agora encontramos a derivada da derivada de primeira ordem. Esta será a derivada de segunda ordem desejada:
Responda:
Exemplo 2
Encontre a derivada de ordem th de uma função
Decisão.
Encontraremos sequencialmente derivadas da primeira, segunda, terceira e assim por diante ordens da função dada para estabelecer um padrão que possa ser generalizado para a -ésima derivada.
Encontramos a derivada de primeira ordem como derivada do quociente:
Aqui a expressão é chamada de fatorial de um número. O fatorial de um número é igual ao produto dos números de um a, ou seja,
A segunda derivada é a primeira derivada da primeira derivada, ou seja,
Derivada de terceira ordem:
Quarta derivada:
Observe o padrão: no numerador há um fatorial de um número que é igual à ordem da derivada, e no denominador a expressão no grau é um a mais que a ordem da derivada, ou seja
Responda.
Exemplo 3
Encontre o valor da terceira derivada de uma função em um ponto.
Decisão.
De acordo com tabela de derivadas de ordem superior, temos:
Neste exemplo, ou seja, obtemos
Observe que um resultado semelhante também pode ser obtido encontrando-se sucessivamente as derivadas.
Em um determinado ponto, a terceira derivada é:
Responda:
Exemplo 4
Encontre a segunda derivada de uma função
Decisão. Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada:
Para encontrar a segunda derivada, diferenciamos a expressão para a primeira derivada novamente:
Responda:
Exemplo 5
Encontre se
Como a função dada é um produto de duas funções, seria aconselhável aplicar a fórmula de Leibniz para encontrar a derivada de quarta ordem:
Encontramos todas as derivadas e calculamos os coeficientes dos termos.
1) Calcule os coeficientes para os termos:
2) Encontre as derivadas da função:
3) Encontre as derivadas da função:
Responda:
Exemplo 6
A função y=x 2 cos3x é dada. Encontre a derivada de terceira ordem.
Seja u=cos3x , v=x 2 . Então, de acordo com a fórmula de Leibniz, encontramos:
As derivadas nesta expressão são:
(cos3x)′=−3sen3x,
(cos3x)′′=(−3sen3x)′=−9cos3x,
(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sen3x,
(x2)′=2x,
(x2)′′=2,
(x2)′′′=0.
Portanto, a terceira derivada da função dada é
1 ⋅ 27sen3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sen3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0
27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.
Exemplo 7
Encontrar derivada n -th função de ordem y = x 2 cosx.
Usamos a fórmula de Leibniz, definindou=cosx, v=x 2 . Então
Os demais termos da série são iguais a zero, pois(x2)(i)=0 para i>2.
Derivado n -th ordem função cosseno:
Portanto, a derivada da nossa função é
CONCLUSÃO
A escola estuda e usa as chamadas fórmulas de multiplicação abreviadas: quadrados e cubos da soma e diferença de duas expressões e fórmulas para fatorar a diferença de quadrados, a soma e a diferença de cubos de duas expressões. Uma generalização dessas fórmulas é uma fórmula chamada fórmula binomial de Newton e as fórmulas para fatorar a soma e a diferença de potências. Essas fórmulas são frequentemente usadas na resolução de vários problemas: prova de divisibilidade, redução de frações, cálculos aproximados. Propriedades interessantes do triângulo de Pascal, que estão intimamente relacionadas ao binômio de Newton, são consideradas.
O artigo sistematiza informações sobre o tema, dá exemplos de tarefas para o uso do binômio de Newton e fórmulas para soma e diferença de graus. O trabalho pode ser usado no trabalho de um círculo matemático, bem como para estudo independente por aqueles que gostam de matemática.
LISTA DE FONTES USADAS
1. Vilenkin N. Ya. Combinatória - ed. "A ciência". - M., 1969
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Álgebra e início da análise matemática. 10º ano: livro didático. para educação geral organizações níveis básico e avançado - M.: Educação, 2014. - 431 p.
3. Resolução de problemas de estatística, combinatória e teoria das probabilidades. 7-9 células / autor - compilador V.N. Studenetskaya. - ed. 2º, corrigido, - Volgogrado: Professor, 2009
4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Equações Algébricas de Graus Superiores / Guia Metodológico para Alunos do Departamento Preparatório Interuniversitário. - São Petersburgo, 2001.
5. Sharygin I.F. Curso opcional em matemática: Resolução de problemas. Livro didático para 10 células. Ensino Médio. - M.: Iluminismo, 1989.
6.Ciência e vida, binômio de Newton e triângulo de Pascal[Recurso eletrônico]. - Modo de acesso: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/
Derivados de ordens superiores
Nesta lição, aprenderemos como encontrar derivadas de ordem superior, bem como escrever a fórmula geral para a “nésima” derivada. Além disso, a fórmula de Leibniz para tal derivada será considerada e, por demanda popular, derivadas de ordem superior de função implícita. Sugiro que você faça imediatamente um mini-teste:
Aqui está a função: 
e aqui está sua primeira derivada:
Caso você tenha alguma dificuldade/mal-entendido sobre este exemplo, por favor, comece com dois artigos básicos do meu curso: Como encontrar a derivada? e Derivada de uma função complexa. Depois de dominar as derivadas elementares, recomendo que você leia a lição Os problemas mais simples com uma derivada, sobre o qual tratámos, nomeadamente segunda derivada.
Não é difícil adivinhar que a segunda derivada é a derivada da 1ª derivada:
Em princípio, a segunda derivada já é considerada uma derivada de ordem superior.
Da mesma forma: a terceira derivada é a derivada da segunda derivada:
A quarta derivada é a derivada da terceira derivada: 
Quinta derivada: 
, e é óbvio que todas as derivadas de ordens superiores também serão iguais a zero:
Além da numeração romana, as seguintes designações são frequentemente usadas na prática:
, enquanto a derivada da ordem “nésima” é denotada por . Nesse caso, o índice sobrescrito deve ser colocado entre colchetes.- distinguir a derivada do "y" no grau.
Às vezes, há uma entrada como esta: 
- terceira, quarta, quinta, ..., "nésima" derivadas, respectivamente.
Avante sem medo e dúvida:
Exemplo 1
Dada uma função. Encontrar .
Decisão: o que você pode dizer ... - para a frente para a quarta derivada :) 
Não é mais costume colocar quatro traços, então passamos para os índices numéricos:
Responda:
Ok, agora vamos pensar sobre esta questão: o que fazer se, de acordo com a condição, for necessário encontrar não a 4ª, mas, por exemplo, a 20ª derivada? Se para a derivada do 3-4-5 (máximo, 6-7) ordem, a solução é elaborada muito rapidamente, então vamos “chegar” às derivadas de ordens superiores, ah, como não em breve. Não escreva, na verdade, 20 linhas! Em tal situação, você precisa analisar várias derivadas encontradas, ver o padrão e elaborar uma fórmula para a “nésima” derivada. Assim, no Exemplo nº 1, é fácil entender que a cada diferenciação subsequente, um “triplo” adicional “saltará” antes do expoente, e em qualquer passo o grau do “triplo” é igual ao número de a derivada, portanto:
Onde é um número natural arbitrário.
E, de fato, se , então exatamente a 1ª derivada é obtida: 
, se - então 2º: etc. Assim, a vigésima derivada é determinada instantaneamente: - e nada de "folhas de quilômetro"!
Aquecimento por conta própria:
Exemplo 2
Encontre recursos. Escreva a derivada da ordem
Solução e resposta no final da lição.
Após um aquecimento revigorante, consideraremos exemplos mais complexos nos quais trabalharemos o algoritmo de solução acima. Para quem leu a lição Limite de sequência, será um pouco mais fácil:
Exemplo 3
Encontre para a função .
Decisão: para esclarecer a situação, encontramos vários derivados:
Não temos pressa em multiplicar os números resultantes! ;-) 
Talvez o suficiente. ... Eu até exagerei um pouco.
Na próxima etapa, é melhor escrever a fórmula para a "nésima" derivada (assim que a condição não exigir isso, você pode sobreviver com um rascunho). Para fazer isso, analisamos os resultados obtidos e identificamos os padrões com os quais cada próxima derivada é obtida.
Primeiro, eles assinam. A intercalação fornece "pisca-pisca", e como a 1ª derivada é positiva, o seguinte fator entrará na fórmula geral: 
. Uma opção equivalente serve, mas pessoalmente, como otimista, adoro o sinal de mais =)
Em segundo lugar, no numerador "ventos" fatorial, e “atrasa” o número da derivada em uma unidade:
E em terceiro lugar, a potência de “dois” cresce no numerador, que é igual ao número da derivada. O mesmo pode ser dito sobre o grau do denominador. Finalmente: 
Para fins de verificação, vamos substituir alguns valores \u200b\u200b"pt", por exemplo, e: 
Ótimo, agora cometer um erro é apenas um pecado:
Responda: 
Uma função mais simples para uma solução do tipo faça você mesmo:
Exemplo 4
Encontre recursos.
E um problema mais complicado:
Exemplo 5
Encontre recursos.
Vamos repetir o procedimento mais uma vez:
1) Primeiro encontramos várias derivadas. Três ou quatro geralmente são suficientes para capturar padrões.
2) Então eu recomendo fortemente compilar (pelo menos no rascunho)"nth" derivado - é garantido para proteger contra erros. Mas você pode fazer sem, ou seja, estime mentalmente e anote imediatamente, por exemplo, a vigésima ou oitava derivada. Além disso, algumas pessoas geralmente são capazes de resolver oralmente os problemas considerados. No entanto, deve-se lembrar que os métodos "rápidos" são complicados e é melhor jogar pelo seguro.
3) Na etapa final, verificamos a "nésima" derivada - pegamos um par de valores "en" (melhor que os vizinhos) e realizamos uma substituição. E ainda mais confiável é verificar todos os derivados encontrados anteriormente. Em seguida, substituímos o valor desejado, por exemplo, ou, e penteamos cuidadosamente o resultado.
Breve solução dos 4º e 5º exemplos no final da lição.
Em algumas tarefas, para evitar problemas, você precisa fazer um pouco de mágica na função:
Exemplo 6
Decisão: Eu não quero diferenciar a função proposta, pois ela se tornará uma fração “ruim”, o que tornará muito difícil encontrar derivadas subsequentes.
A este respeito, é aconselhável realizar transformações preliminares: usamos fórmula da diferença de quadrados e propriedade logarítmica 
:
Um assunto bem diferente:
E velhos amigos: 
Acho que tudo está sendo analisado. Observe que a 2ª fração é assinada, mas a 1ª não é. Construímos a derivada de ordem: 
O controle: 
Bem, por beleza, tiramos o fatorial dos colchetes:
Responda: 
Uma tarefa interessante para uma solução independente:
Exemplo 7
Escreva a fórmula da derivada de ordem para a função
E agora sobre a inabalável responsabilidade mútua, que até a máfia italiana invejará:
Exemplo 8
Dada uma função. Encontrar
A décima oitava derivada no ponto . Apenas.
Decisão: primeiro, obviamente, você precisa encontrar . Vai: 
Eles começaram do seno e chegaram ao seno. É claro que, com mais diferenciação, esse ciclo continuará até o infinito, e surge a seguinte pergunta: qual a melhor forma de “chegar” à décima oitava derivada?
O método “amador”: escrevemos rapidamente os números das derivadas subsequentes à direita na coluna: 
Por isso:
Mas funciona se a ordem da derivada não for muito grande. Se você precisa encontrar, digamos, a centésima derivada, então você deve usar a divisibilidade por 4. Cem é divisível por 4 sem deixar resto, e é fácil ver que tais números estão localizados na linha inferior, portanto: .
A propósito, a 18ª derivada também pode ser determinada a partir de considerações semelhantes:
A segunda linha contém números que são divisíveis por 4 com resto 2.
Outro método mais acadêmico é baseado em periodicidade seno e fórmulas de redução. Usamos a fórmula pronta "nth" derivada do seno 
, no qual o número desejado é simplesmente substituído. Por exemplo:
(fórmula de redução 
)
;
(fórmula de redução 
)
No nosso caso:
(1) Uma vez que o seno é uma função periódica com um período, então o argumento pode ser “desparafusado” sem dor 4 períodos (ou seja).
A derivada de ordem do produto de duas funções pode ser encontrada pela fórmula:
Em particular: 
Você não precisa se lembrar de nada especialmente, porque quanto mais fórmulas você conhece, menos você entende. Muito melhor saber O binômio de Newton, já que a fórmula de Leibniz é muito, muito parecida com a dele. Bem, aqueles sortudos que obtiverem a derivada da 7ª ordem ou superior (o que é muito improvável) será obrigado a fazê-lo. No entanto, quando chega a hora de combinatória- você ainda tem que =)
Vamos encontrar a terceira derivada da função . Usamos a fórmula de Leibniz:
Nesse caso: 
. Derivativos são fáceis de clicar verbalmente: 
Agora, cuidadosa e CUIDADOSAMENTE realizamos a substituição e simplificamos o resultado:
Responda:
Uma tarefa semelhante para uma solução independente:
Exemplo 11
Encontrar recursos
Se no exemplo anterior a solução "na testa" ainda competia com a fórmula de Leibniz, aqui já será realmente desagradável. E ainda mais desagradável - no caso de uma ordem superior da derivada:
Exemplo 12
Encontre a derivada da ordem especificada
Decisão: a primeira e essencial observação - decidir assim, provavelmente, não é necessário =) =)
Vamos escrever as funções e encontrar suas derivadas até a 5ª ordem inclusive. Presumo que as derivadas da coluna da direita tenham se tornado orais para você: 
Na coluna da esquerda, as derivadas “vivas” rapidamente “terminaram” e isso é muito bom - na fórmula de Leibniz, três termos serão zerados:
Vou me deter novamente no dilema que apareceu no artigo sobre derivadas complexas: para simplificar o resultado? Em princípio, você pode deixar assim - será ainda mais fácil para o professor verificar. Mas ele pode exigir para trazer a decisão à mente. Por outro lado, a simplificação por iniciativa própria está repleta de erros algébricos. No entanto, temos uma resposta obtida de forma "primal" =) (veja o link no início) e espero que esteja correto:
Ótimo, deu tudo certo.
Responda: 
Tarefa feliz para auto-resolver:
Exemplo 13
Para função:
a) encontrar por diferenciação direta;
b) encontrar pela fórmula de Leibniz;
c) calcular.
Não, eu não sou um sádico - o ponto "a" aqui é bem simples =)
Mas falando sério, a solução “direta” por diferenciação sucessiva também tem o “direito à vida” – em alguns casos sua complexidade é comparável à complexidade de aplicação da fórmula de Leibniz. Use como achar melhor - é improvável que isso seja motivo para não contar a tarefa.
Solução curta e resposta no final da lição.
Para levantar o parágrafo final, você precisa ser capaz de diferenciar funções implícitas:
Derivadas de ordem superior de funções definidas implicitamente
Muitos de nós passamos longas horas, dias e semanas de nossas vidas estudando círculos, parábola, hipérbole– e às vezes até parecia um verdadeiro castigo. Então vamos nos vingar e diferenciá-los adequadamente!
Vamos começar com a parábola da "escola" em seu posição canônica:
Exemplo 14
Uma equação é dada. Encontrar .
Decisão: o primeiro passo é familiar:
O fato de a função e sua derivada serem expressas implicitamente não altera a essência da questão, a segunda derivada é a derivada da 1ª derivada: 
No entanto, existem regras do jogo: as derivadas da 2ª ordem e de ordens superiores são geralmente expressas apenas através de "x" e "y". Portanto, substituímos na 2ª derivada resultante: 
A terceira derivada é a derivada da segunda derivada:
Da mesma forma, vamos substituir: 
Responda:
Hipérbole "Escola" em posição canônica- para trabalho independente:
Exemplo 15
Uma equação é dada. Encontrar .
Repito que a 2ª derivada e o resultado devem ser expressos apenas através de "x" / "y"!
Solução curta e resposta no final da lição.
Depois das brincadeiras das crianças, vejamos a pornografia alemã @ fia, vejamos mais exemplos adultos, com os quais aprendemos outra solução importante:
Exemplo 16
Elipse ele mesmo.
Decisão: encontre a 1ª derivada: 
E agora vamos parar e analisar o próximo momento: agora temos que diferenciar a fração, o que não é nada animador. Nesse caso, é claro, é simples, mas nos problemas da vida real existem apenas alguns desses presentes. Existe uma maneira de evitar encontrar a derivada complicada? Existir! Pegamos a equação e usamos a mesma técnica de encontrar a 1ª derivada - “penduramos” traços em ambas as partes: 
A segunda derivada deve ser expressa apenas por e , então agora (agora mesmo)é conveniente livrar-se da 1ª derivada. Para fazer isso, substituímos na equação resultante: 
Para evitar dificuldades técnicas desnecessárias, multiplicamos ambas as partes por: 
E somente na fase final elaboramos uma fração: 
Agora olhamos para a equação original e notamos que o resultado obtido pode ser simplificado:
Responda:
Como encontrar o valor da 2ª derivada em algum momento (que, é claro, pertence à elipse), por exemplo, no ponto 
? Muito fácil! Este motivo já foi encontrado na lição sobre equação normal: na expressão da 2ª derivada você precisa substituir 
:
É claro que, nos três casos, você pode obter funções explicitamente fornecidas e diferenciá-las, mas depois se preparar mentalmente para trabalhar com duas funções que contêm raízes. Na minha opinião, a solução é mais conveniente para realizar "implicitamente".
Exemplo final para auto-solução:
Exemplo 17
Localizar função implícita
A fórmula de Leibniz para calcular a n-ésima derivada do produto de duas funções é dada. Sua prova é dada de duas maneiras. Um exemplo de cálculo da derivada de ordem n é considerado.
ContenteVeja também: Derivada do produto de duas funções
Fórmula de Leibniz
Usando a fórmula de Leibniz, você pode calcular a enésima derivada do produto de duas funções. Se parece com isso:
(1)
,
Onde
são coeficientes binomiais.
Os coeficientes binomiais são os coeficientes da expansão do binômio em potências de e :
.
Além disso, o número é o número de combinações de n a k.
Prova da fórmula de Leibniz
Aplicável a fórmula da derivada do produto de duas funções :
(2)
.
Vamos reescrever a fórmula (2) da seguinte forma:
.
Ou seja, consideramos que uma função depende da variável x e a outra depende da variável y. Ao final do cálculo, assumimos . Então a fórmula anterior pode ser escrita como:
(3)
.
Como a derivada é igual à soma dos termos e cada termo é o produto de duas funções, para calcular as derivadas de ordens superiores, você pode aplicar consistentemente a regra (3).
Então para a derivada de ordem n temos:
.
Dado que e , obtemos a fórmula de Leibniz:
(1)
.
Prova por indução
Apresentamos a prova da fórmula de Leibniz pelo método de indução matemática.
Vamos reescrever a fórmula de Leibniz:
(4)
.
Para n = 1 temos:
.
Esta é a fórmula para a derivada do produto de duas funções. Ela é justa.
Suponhamos que a fórmula (4) seja válida para a derivada de ordem n. Vamos provar que é válido para a derivada n + 1 -ª ordem.
Diferenciar (4):
;
.
Então encontramos:
(5)
.
Substitua em (5) e leve em consideração que:
.
Isso mostra que a fórmula (4) tem a mesma forma para a derivada n + 1
-ª ordem.
Então, a fórmula (4) é válida para n = 1
. Da suposição de que é verdade para algum número n = m, segue-se que é verdade para n = m + 1
.
A fórmula de Leibniz foi comprovada.
Exemplo
Calcular a enésima derivada de uma função
.
Aplicamos a fórmula de Leibniz
(2)
.
No nosso caso
;
.
De tabela de derivativos temos:
.
Aplicar propriedades das funções trigonométricas :
.
Então
.
Isso mostra que a diferenciação da função seno leva ao seu deslocamento por . Então
.
Encontramos derivadas da função .
;
;
;
,
.
Como para , apenas os três primeiros termos da fórmula de Leibniz são diferentes de zero. Encontrar coeficientes binomiais.
;
.
Pela fórmula de Leibniz, temos:
.
