Teorema local de Moivre-Laplace. 0 e 1, então a probabilidade P t p disso, que o evento A ocorrerá m vezes em n tentativas independentes para um número n suficientemente grande, é aproximadamente igual a
- função gaussiana e
Quanto maior e mais precisa a fórmula aproximada (2.7), chamada pela fórmula local de Moivre-Laplace. Probabilidades aproximadas R TPU dados pela fórmula local (2.7) são usados na prática como os exatos para pru da ordem de duas ou mais dezenas, ou seja, em condição pru > 20.
Para simplificar os cálculos associados ao uso da fórmula (2.7), foi compilada uma tabela de valores da função /(x) (Tabela I, fornecida nos apêndices). Ao usar esta tabela, é necessário ter em mente as propriedades óbvias da função f(x) (2.8).
- 1. Função/(X) é par, ou seja /(-x) = /(x).
- 2. Função/(X) - diminuindo monotonicamente para valores positivos X, e em x -> co/(x) -» 0.
- (Na prática, podemos supor que mesmo para x > 4 /(x) « 0.)
[> Exemplo 2.5. Em algumas áreas, de cada 100 famílias, 80 têm geladeiras. Encontre a probabilidade de que em 400 famílias 300 tenham geladeiras.
Solução. A probabilidade de uma família ter uma geladeira é p = 80/100 = 0,8. Porque P= 100 é grande o suficiente (condição pru= = 100 0,8(1-0,8) = 64 > 20 satisfeito), então aplicamos a fórmula local de Moivre-Laplace.
Primeiro, definimos pela fórmula (2.9)
Então pela fórmula (2.7)
(o valor /(2,50) foi encontrado na Tabela I dos apêndices). O valor bastante pequeno da probabilidade /300.400 não deve ser questionado, pois além do evento
“exatamente 300 famílias em 400 têm geladeiras” 400 outros eventos são possíveis: “0 em 400”, “1 em 400”,..., “400 em 400” com probabilidades próprias. Juntos, esses eventos formam um grupo completo, o que significa que a soma de suas probabilidades é igual a um. ?
Vamos, nas condições do Exemplo 2.5, encontrar a probabilidade de que de 300 a 360 famílias (inclusive) tenham geladeiras. Neste caso, de acordo com o teorema da adição, a probabilidade do evento desejado
Em princípio, cada termo pode ser calculado usando a fórmula local de Moivre-Laplace, mas um grande número de termos torna o cálculo muito complicado. Nesses casos, o seguinte teorema é usado.
Teorema integral de Moivre - Laplace. Se a probabilidade p da ocorrência do evento A em cada tentativa for constante e diferente de 0 e 1, então a probabilidade de, que o número m da ocorrência do evento A em n tentativas independentes está entre a e b (inclusivo), para um número suficientemente grande n é aproximadamente igual a
- função(ou integral de probabilidades) Laplace",
(A prova do teorema é dada na Seção 6.5.)
A fórmula (2.10) é chamada Fórmula integral de Moivre-Laplace. O mais P, mais precisa a fórmula. Quando a condição pru > > 20 a fórmula integral (2.10), assim como a local, dá, via de regra, um erro no cálculo de probabilidades satisfatório para a prática.
A função Φ(dg) é tabulada (ver Tabela II dos apêndices). Para usar esta tabela, você precisa conhecer as propriedades da função Ф(х).
1. Função f(x) ímpar, Essa. F(-x) = -F(x).
?
Vamos mudar a variável? = -G. Então (k =
= -(12. Os limites de integração para a variável 2 serão 0 e X. Pegue
uma vez que o valor da integral definida não depende da designação da variável de integração. ?
2. A função Ф(х) é monotonicamente crescente, e para x ->+co f(.g) -> 1 (na prática, podemos supor que já em x > 4 φ(x)~ 1).
Como a derivada da integral em relação ao limite superior variável é igual ao integrando no valor do limite superior, r.s.
, e é sempre positivo, então Ф(х) aumenta monotonicamente
ao longo de toda a reta numérica.
Fazemos uma mudança de variável, então os limites de integração não mudam e
(uma vez que a integral de uma função par
Dado que 
(integral de Euler - Poisson), Nós temos
?
O Exemplo 2.6. Usando os dados do Exemplo 2.5, calcule a probabilidade de que de 300 a 360 (inclusive) famílias de 400 tenham geladeiras.
Solução. Aplicamos o teorema integral de Moivre - Laplace (pr= 64 > 20). Primeiro, definimos pelas fórmulas (2.12)
Agora, de acordo com a fórmula (2.10), levando em conta as propriedades de Ф(.т), obtemos
(conforme a Tabela II de apêndices?
Considere uma consequência do teorema integral de Moivre - Laplace. Consequência. Se a probabilidade p da ocorrência do evento A em cada tentativa for constante e diferente de 0 e I, então para um número suficientemente grande n de tentativas independentes, a probabilidade de que:
a) o número m de ocorrências do evento A difere do produto pr por não mais que e > 0 (em valor absoluto), Essa.
b) a frequência do evento t / n A está dentro de a a r ( Incluindo- respeitosamente, ou seja
dentro) a frequência do evento A difere de sua probabilidade p em não mais do que A > 0 (em valor absoluto), ou seja,
A) Desigualdade |/?7-7?/?| é equivalente a uma dupla desigualdade pr-e Portanto, pela fórmula integral (2.10)
- b) Desigualdade e é equivalente à desigualdade e em a = pa e b= /?r. Substituindo nas fórmulas (2.10), (2.12) as quantidades uma e b expressões obtidas, obtemos as fórmulas demonstráveis (2.14) e (2.15).
- c) Desigualdade mjn-p é equivalente à desigualdade t-pr Substituindo na fórmula (2.13) r = Ap, obtemos a fórmula (2.16) a ser provada. ?
[> Exemplo 2.7. Usando os dados do Exemplo 2.5, calcule a probabilidade de que 280 a 360 famílias em 400 tenham geladeiras.
Solução. Calcule a probabilidade Р 400 (280 t pr \u003d 320. Então, de acordo com a fórmula (2.13)
[> Exemplo 2.8. Segundo as estatísticas, em média, 87% dos recém-nascidos vivem até os 50 anos.
- 1. Encontre a probabilidade de que em 1000 recém-nascidos a proporção (frequência) daqueles que sobreviveram até os 50 anos de idade: a) esteja na faixa de 0,9 a 0,95; b) diferirá da probabilidade deste evento em não mais que 0,04 (mas em valor absoluto).
- 2. Em que número de recém-nascidos com confiabilidade de 0,95 a proporção dos que sobreviveram até os 50 anos estará dentro dos limites de 0,86 a 0,88?
Solução. 1a) Probabilidade R que um recém-nascido viverá até 50 anos é 0,87. Porque P= 1000 grande (condição prd=1000 0,87 0,13 = 113,1 > 20 satisfeito), então usamos o corolário do teorema integral de Moivre - Laplace. Primeiro, definimos pelas fórmulas (2.15)
Agora pela fórmula (2.14)
1, b) Pela fórmula (2.16)
Porque a desigualdade 
é equivalente à desigualdade
o resultado obtido significa que é praticamente certo que de 0,83 a 0,91 do número de recém-nascidos em 1000 viverão até 50 anos. ?
2. Por condição 
ou
De acordo com a fórmula (2.16)
em A = 0,01 
De acordo com a tabela II aplicações F(G) = 0,95 em G = 1,96, portanto,
Onde 
Essa. condição (*) pode ser garantida com um aumento significativo no número de recém-nascidos considerados até P = 4345. ?
- A prova do teorema é dada na Seção 6.5. O significado probabilístico das quantidades pr, prs( é estabelecido no parágrafo 4.1 (ver nota na p. 130).
- O significado probabilístico do valor pf/n é estabelecido no parágrafo 4.1.
a pressão diretamente sob a superfície convexa do líquido é maior que a pressão sob a superfície plana do líquido, e a pressão sob a superfície côncava do líquido é menor que a pressão sob a superfície plana.
Cálculo da pressão sob a superfície esférica de um líquido
É uma fina camada de água, que tem duas superfícies delimitadoras: interna e externa. Os raios de curvatura dessas superfícies podem ser considerados os mesmos, pois a espessura do filme é milhares de vezes menor que o raio da bolha. A água desta camada drena gradualmente, a camada fica mais fina e finalmente se rompe. Assim, as bolhas não flutuam na água por muito tempo: de frações de segundo a dez segundos. Deve-se notar que, à medida que o filme de água se torna mais fino, o tamanho da bolha praticamente não muda.
Vamos calcular o excesso de pressão em tal bolha. Por simplicidade, considere um hemisfério de camada única de raio r, localizado em uma superfície horizontal, também assumiremos que não há ar no exterior. O filme é mantido na superfície sombreada devido ao umedecimento (Fig. 2.3). Neste caso, ao longo do limite de contato com a superfície, uma força de tensão superficial igual a
onde é o coeficiente de tensão superficial do líquido,
O comprimento da interface filme-superfície é igual a .
Ou seja, temos:
.
Esta força que atua sobre o filme, e através dele sobre o ar, é direcionada perpendicularmente à superfície (veja a Fig. 2.3). Assim, a pressão do ar na superfície e, portanto, dentro da bolha pode ser calculada da seguinte forma:
Onde F é a força de tensão superficial igual a,
S - área de superfície: .
Substituindo o valor da força F e da área S na fórmula de cálculo da pressão, temos:
e finalmente.
No nosso exemplo com uma bolha de ar na superfície da água, o filme é duplo e, portanto, o excesso de pressão é .
A Figura 2.4 mostra exemplos de superfícies esféricas de camada única que podem se formar na superfície de um líquido. Acima do líquido está um gás que tem pressão.
Capilaridade (do latim capillaris - cabelo), efeito capilar - um fenômeno físico que consiste na capacidade dos líquidos de alterar o nível em tubos, canais estreitos de forma arbitrária, corpos porosos. A ascensão do líquido ocorre quando os canais são molhados com líquidos, por exemplo, água em tubos de vidro, areia, solo, etc. tubo de vidro.
Na base da capilaridade, baseia-se a atividade vital de animais e plantas, tecnologias químicas e fenômenos cotidianos (por exemplo, levantar querosene ao longo do pavio em uma lâmpada de querosene, enxugar as mãos com uma toalha). A capilaridade do solo é determinada pela taxa na qual a água sobe no solo e depende do tamanho das lacunas entre as partículas do solo.
Fórmula de Laplace
Considere um filme líquido fino cuja espessura pode ser desprezada. Em um esforço para minimizar sua energia livre, o filme cria uma diferença de pressão de diferentes lados. Isso explica a existência de bolhas de sabão: o filme é comprimido até que a pressão dentro da bolha ultrapasse a pressão atmosférica pelo valor da pressão adicional do filme. A pressão adicional em um ponto da superfície depende da curvatura média nesse ponto e é dada pela fórmula de Laplace:
Aqui R 1,2 são os raios das curvaturas principais em um ponto. Eles têm o mesmo sinal se os centros de curvatura correspondentes estiverem no mesmo lado do plano tangente no ponto, e têm um sinal diferente se estiverem no lado oposto. Por exemplo, para uma esfera, os centros de curvatura em qualquer ponto da superfície coincidem com o centro da esfera, então
Para o caso da superfície de um cilindro circular de raio R, temos
Sabe-se que a superfície do líquido perto das paredes do recipiente é curva. A superfície livre de um líquido curvada perto das paredes do vaso é chamada de menisco.(Fig. 145).
Considere um filme líquido fino cuja espessura pode ser desprezada. Em um esforço para minimizar sua energia livre, o filme cria uma diferença de pressão de diferentes lados. Devido à ação das forças de tensão superficial nas gotas de líquido e no interior das bolhas de sabão, pressão adicional(o filme é comprimido até que a pressão dentro da bolha não exceda a pressão atmosférica pelo valor da pressão adicional do filme).
 Arroz. 146. |
Considere a superfície de um líquido repousando em algum contorno plano (Fig. 146, uma). Se a superfície do líquido não for plana, sua tendência a se contrair e levará ao aparecimento de pressão, adicional à experimentada por um líquido com superfície plana. No caso de uma superfície convexa, essa pressão adicional é positiva (Fig. 146, b), no caso de uma superfície côncava - negativamente (Fig. 146, dentro). Neste último caso, a camada superficial, procurando se contrair, estica o líquido.
A magnitude da pressão adicional, obviamente, deve aumentar com o aumento do coeficiente de tensão superficial e da curvatura superficial.
 Arroz. 147. |
.
Essa força pressiona ambos os hemisférios um contra o outro ao longo da superfície e, portanto, causa pressão adicional: 
A curvatura de uma superfície esférica é a mesma em todos os lugares e é determinada pelo raio da esfera. Obviamente, quanto menor, maior a curvatura da superfície esférica.
O excesso de pressão dentro da bolha de sabão é o dobro, pois o filme tem duas superfícies:
A pressão adicional causa uma mudança no nível do líquido em tubos estreitos (capilares), pelo que às vezes é chamado pressão capilar.
A curvatura de uma superfície arbitrária é geralmente caracterizada pela chamada curvatura média, que pode ser diferente para diferentes pontos da superfície.
O valor dá a curvatura da esfera. Em geometria, está provado que a meia soma dos raios de curvatura recíprocos para qualquer par de seções normais mutuamente perpendiculares tem o mesmo valor:
. (1)
Este valor é a curvatura média da superfície em um determinado ponto. Nesta fórmula, os raios são grandezas algébricas. Se o centro de curvatura de uma seção normal está abaixo de uma dada superfície, o raio de curvatura correspondente é positivo; se o centro de curvatura estiver acima da superfície, o raio de curvatura é negativo (Fig. 148).
 Arroz. 148. |
Por exemplo, para uma esfera, os centros de curvatura em qualquer ponto da superfície coincidem com o centro da esfera e, portanto, . Para o caso da superfície de um cilindro circular de raio, temos: , e .
Pode-se provar que para uma superfície de qualquer forma a relação é verdadeira:
Substituindo a expressão (1) na fórmula (2), obtemos a fórmula para pressão adicional sob uma superfície arbitrária, chamada Fórmula de Laplace(Fig. 148):
. (3)
Os raios e na fórmula (3) são grandezas algébricas. Se o centro de curvatura de uma seção normal está abaixo de uma dada superfície, o raio de curvatura correspondente é positivo; se o centro de curvatura estiver acima da superfície, o raio de curvatura é negativo.
Exemplo. Se houver uma bolha de gás no líquido, a superfície da bolha, tentando encolher, exercerá pressão adicional sobre o gás .
Vamos encontrar o raio de uma bolha na água na qual a pressão adicional é 1 caixa eletrônico. .Coeficiente de tensão superficial da água em igual 
. Portanto, para o seguinte valor é obtido: .
Para suficientemente grande, a fórmula de Bernoulli fornece cálculos complicados. Portanto, nesses casos, o teorema de Laplace local é usado.
Teorema(teorema de Laplace local). Se a probabilidade p da ocorrência do evento A em cada tentativa for constante e diferente de 0 e 1, então a probabilidade 
o fato de que o evento A aparecerá exatamente k vezes em n tentativas independentes é aproximadamente igual ao valor da função:
,
.
Existem tabelas que contêm os valores da função 
, para valores positivos de x.
Observe que a função 
até.
Assim, a probabilidade de que o evento A apareça exatamente k vezes em n tentativas é aproximadamente igual a
, Onde 
.
Exemplo. 1500 sementes foram semeadas no campo experimental. Encontre a probabilidade de que as mudas produzam 1200 sementes se a probabilidade de uma semente germinar for 0,9.
Solução. 
Teorema da integral de Laplace
A probabilidade de que em n tentativas independentes o evento A ocorra pelo menos k1 vezes e no máximo k2 vezes é calculada pelo teorema da integral de Laplace.
Teorema(Teorema da integral de Laplace). Se a probabilidade p da ocorrência do evento a em cada tentativa for constante e diferente de 0 e 1, então a probabilidade de que o evento A em n tentativas apareça pelo menos k 1 vezes e no máximo k 2 vezes é aproximadamente igual ao valor de uma determinada integral:
.
Função 
é chamada de função integral de Laplace, é ímpar e seu valor é encontrado na tabela para valores positivos de x.
Exemplo. Em laboratório, a partir de um lote de sementes com taxa de germinação de 90%, foram semeadas 600 sementes, que brotaram, não menos que 520 e não mais que 570.
Solução.
Fórmula de Poisson
Sejam realizadas n tentativas independentes, a probabilidade de ocorrência do evento A em cada tentativa é constante e igual a p. Como já dissemos, a probabilidade de ocorrência do evento A em n tentativas independentes exatamente k vezes pode ser encontrada usando a fórmula de Bernoulli. Para n suficientemente grande, o teorema de Laplace local é usado. No entanto, esta fórmula é inadequada quando a probabilidade de um evento ocorrer em cada tentativa é pequena ou próxima de 1. E quando p=0 ou p=1, ela não é aplicável. Nesses casos, o teorema de Poisson é usado.
Teorema(teorema de Poisson). Se a probabilidade p da ocorrência do evento A em cada tentativa for constante e próxima de 0 ou 1, e o número de tentativas for suficientemente grande, então a probabilidade de que em n tentativas independentes o evento A ocorra exatamente k vezes é determinada pela Fórmula:
.
Exemplo. O manuscrito datilografado de 1.000 páginas contém 1.000 erros tipográficos. Encontre a probabilidade de que uma página selecionada aleatoriamente contenha pelo menos um erro de impressão.
Solução.
Perguntas por Auto teste
Formule a definição clássica da probabilidade de um evento.
Formular teoremas de adição e multiplicação de probabilidades.
Defina um grupo completo de eventos.
Escreva a fórmula para a probabilidade total.
Escreva a fórmula de Bayes.
Escreva a fórmula de Bernoulli.
Escreva a fórmula de Poisson.
Escreva a fórmula de Laplace local.
Escreva a fórmula integral de Laplace.
Tópico 13. Variável aleatória e suas características numéricas
Literatura: ,,,,,.
Um dos conceitos básicos da teoria das probabilidades é o conceito de variável aleatória. Por isso, é costume chamar uma variável que assume seus valores dependendo do caso. Existem dois tipos de variáveis aleatórias: discretas e contínuas. Variáveis aleatórias são geralmente denotadas por X,Y,Z.
Uma variável aleatória X é chamada de contínua (discreta) se ela pode assumir apenas um número finito ou contável de valores. Uma variável aleatória discreta X é definida se todos os seus valores possíveis x 1 , x 2 , x 3 ,…x n são dados (cujo número pode ser finito ou infinito) e as probabilidades correspondentes p 1 , p 2 , p 3,… pág.
A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta X geralmente é dada pela tabela:
A primeira linha contém os valores possíveis da variável aleatória X, e a segunda linha contém as probabilidades desses valores. A soma das probabilidades com que a variável aleatória X assume todos os seus valores é igual a um, ou seja
p 1 + p 2 + p 3 + ... + p n \u003d 1.
A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta X pode ser representada graficamente. Para fazer isso, os pontos M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) são construídos em um retângulo sistema de coordenadas e conectá-los com segmentos diretos. A figura resultante é chamada de polígono de distribuição da variável aleatória X.
Exemplo. O valor discreto X é dado pela seguinte lei de distribuição:
É necessário calcular: a) esperança matemática M(X), b) variância D(X), c) desvio padrão σ.
Solução . a) A expectativa matemática de M(X), uma variável aleatória discreta X é a soma dos produtos aos pares de todos os valores possíveis da variável aleatória e as probabilidades correspondentes desses valores possíveis. Se uma variável aleatória discreta X é dada usando a tabela (1), então a expectativa matemática M(X) é calculada pela fórmula
М(Х)=х 1 ∙р 1 +х 2 ∙р 2 +х 3 ∙р 3 +…+х n ∙p n . (2)
A expectativa matemática M(X) também é chamada de valor médio da variável aleatória X. Aplicando (2), obtemos:
М(Х)=48∙0,2+53∙0,4+57∙0,3 +61∙0,1=54.
b) Se M(X) é a expectativa de uma variável aleatória X, então a diferença X-M(X) é chamada desvio variável aleatória X do valor médio. Essa diferença caracteriza o espalhamento de uma variável aleatória.
dispersão(dispersão) de uma variável aleatória discreta X é a expectativa matemática (valor médio) do desvio quadrado de uma variável aleatória de sua expectativa matemática. Assim, por definição, temos:
D(X)=M2. (3)
Calculamos todos os valores possíveis do quadrado do desvio.
2 =(48-54) 2 =36
2 =(53-54) 2 =1
2 =(57-54) 2 =9
2 =(61-54) 2 =49
Para calcular a variância D(X), compomos a lei de distribuição do desvio quadrado e aplicamos a fórmula (2).
D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.
Deve-se notar que a seguinte propriedade é frequentemente usada para calcular a variância: a variância D(X) é igual à diferença entre a esperança matemática do quadrado da variável aleatória X e o quadrado de sua esperança matemática, ou seja,
D(X)-M(X2)-2. (quatro)
Para calcular a variância usando a fórmula (4), compomos a lei de distribuição da variável aleatória X 2:
Agora vamos encontrar a esperança matemática M(X 2).
М(Х 2)= (48) 2 ∙0,2+(53) 2 ∙0,4+(57) 2 ∙0,3 +(61) 2 ∙0,1=
460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.
Aplicando (4), temos:
D(X)=2931,2-(54) 2=2931,2-2916=15,2.
Como você pode ver, obtivemos o mesmo resultado.
c) A dimensão da variância é igual ao quadrado da dimensão da variável aleatória. Portanto, para caracterizar a dispersão de possíveis valores de uma variável aleatória em torno de seu valor médio, é mais conveniente considerar um valor que seja igual ao valor aritmético da raiz quadrada da variância, ou seja 
. Esse valor é chamado de desvio padrão da variável aleatória X e denotado por σ. Nesse caminho
σ= 
. (5)
Aplicando (5), temos: σ= 
.
Exemplo. A variável aleatória X é distribuída de acordo com a lei normal. Expectativa matemática М(Х)=5; variância D(X)=0,64. Encontre a probabilidade de que, como resultado do teste, X tome um valor no intervalo (4; 7).
Solução.Sabe-se que se uma variável aleatória X é dada por uma função diferencial f(x), então a probabilidade de X tomar um valor pertencente ao intervalo (α,β) é calculada pela fórmula
. (1)
Se o valor X é distribuído de acordo com a lei normal, então a função diferencial
,
Onde uma=M(X) e σ= 
. Neste caso, obtemos de (1)
. (2)
A fórmula (2) pode ser transformada usando a função de Laplace.
Vamos fazer uma substituição. Deixar 
. Então 
ou dx=σ∙
dt.
Consequentemente 
, onde t 1 e t 2 são os limites correspondentes para a variável t.
Reduzindo por σ, temos
Da substituição de entrada 
segue que 
e 
.
Nesse caminho,
(3)
De acordo com a condição do problema, temos: a=5; σ= 
=0,8; a=4; β=7. Substituindo esses dados em (3), temos:
=F(2,5)-F(-1,25)=
\u003d F (2,5) + F (1,25) \u003d 0,4938 + 0,3944 \u003d 0,8882.
Exemplo. Acredita-se que o desvio do comprimento das peças fabricadas do padrão é uma variável aleatória distribuída de acordo com a lei normal. Comprimento padrão (expectativa) a = 40 cm, desvio padrão σ = 0,4 cm Encontre a probabilidade de que o desvio do comprimento do padrão não seja maior que 0,6 cm em valor absoluto.
Solução.Se X for o comprimento da peça, então de acordo com a condição do problema, este valor deve estar no intervalo (a-δ, a + δ), onde a=40 e δ=0,6.
Colocando na fórmula (3) α= a-δ e β= a+δ, obtemos
. (4)
Substituindo os dados disponíveis em (4), obtemos:
Portanto, a probabilidade de que o comprimento das peças fabricadas esteja na faixa de 39,4 a 40,6 cm é de 0,8664.
Exemplo. O diâmetro das peças fabricadas pela fábrica é uma variável aleatória distribuída de acordo com a lei normal. Comprimento do Diâmetro Padrão a=2,5 cm, desvio padrão σ=0,01. Dentro de quais limites se pode garantir praticamente o comprimento do diâmetro dessa peça, se um evento com probabilidade de 0,9973 for considerado confiável?
Solução. Pela condição do problema, temos:
a=2,5; σ=0,01; .
Aplicando a fórmula (4), obtemos a igualdade:
ou 
.
De acordo com a tabela 2, descobrimos que a função de Laplace tem tal valor em x=3. Consequentemente, 
; onde σ=0,03.
Assim, pode-se garantir que o comprimento do diâmetro varie entre 2,47 e 2,53 cm.
Considere a superfície de um líquido repousando sobre algum contorno plano. Se a superfície do líquido não for plana, sua tendência a se contrair levará ao aparecimento de pressão, adicional à experimentada por um líquido com superfície plana. No caso de uma superfície convexa, essa pressão adicional é positiva; no caso de uma superfície côncava, é negativa. Neste último caso, a camada superficial, procurando se contrair, estica o líquido. Trabalho como professor do curso de gerenciamento de registros de RH Moscou.
A magnitude da pressão adicional, obviamente, deve aumentar com o aumento do coeficiente de tensão superficial α e da curvatura da superfície. Vamos calcular a pressão adicional para a superfície esférica do líquido. Para isso, cortamos uma gota de líquido esférica por um plano diametral em dois hemisférios (Fig. 5).
Seção transversal de uma gota de líquido esférica.
Devido à tensão superficial, ambos os hemisférios são atraídos um pelo outro com uma força igual a:
Essa força pressiona ambos os hemisférios um contra o outro ao longo da superfície S = πR2 e, portanto, causa pressão adicional:
∆p=F/S=(2πRα)/πR2=2α/R (4)
A curvatura de uma superfície esférica é a mesma em todos os lugares e é determinada pelo raio da esfera R. Obviamente, quanto menor R, maior a curvatura da superfície esférica. A curvatura de uma superfície arbitrária é geralmente caracterizada pela chamada curvatura média, que pode ser diferente para diferentes pontos da superfície.
A curvatura média é determinada através da curvatura das seções normais. A seção normal de uma superfície em algum ponto é a linha de interseção dessa superfície com um plano que passa pela normal à superfície no ponto considerado. Para uma esfera, qualquer seção normal é um círculo de raio R (R é o raio da esfera). O valor H=1/R dá a curvatura da esfera. No caso geral, diferentes seções traçadas através do mesmo ponto possuem diferentes curvaturas. Em geometria, está provado que a meia-soma dos raios de curvatura recíprocos
H=0,5(1/R1+1/R2) (5)
pois qualquer par de seções normais mutuamente perpendiculares tem o mesmo valor. Este valor é a curvatura média da superfície em um determinado ponto.
Os raios R1 e R2 na fórmula (5) são grandezas algébricas. Se o centro de curvatura de uma seção normal estiver abaixo da superfície dada, o raio de curvatura correspondente é positivo, se o centro de curvatura estiver acima da superfície, o raio de curvatura é negativo.
Para a esfera R1=R2=R, então de acordo com (5) H=1/R. Substituindo 1/R por H em (4), obtemos que
Laplace provou que a fórmula (6) é válida para uma superfície de qualquer forma, se por H entendemos a curvatura média da superfície neste ponto, sob a qual a pressão adicional é determinada. Substituindo a expressão (5) pela curvatura média em (6), obtemos a fórmula para a pressão adicional sob uma superfície arbitrária:
∆p=α(1/R1+1/R2) (7)
É a chamada fórmula de Laplace.
A pressão adicional (7) causa uma mudança no nível do líquido no capilar, o que às vezes é chamado de pressão capilar.
A existência do ângulo de contato leva à curvatura da superfície do líquido próximo às paredes do recipiente. Em um capilar ou em um espaço estreito entre duas paredes, toda a superfície é curvada. Se o líquido molhar as paredes, a superfície tem uma forma côncava, se não molhar é convexa (Fig. 4). Essas superfícies líquidas curvas são chamadas de meniscos.
Se o capilar estiver imerso com uma extremidade em um líquido derramado em um vaso largo, então sob a superfície curva no capilar a pressão será diferente da pressão ao longo da superfície plana no vaso largo pelo valor ∆p definido pela fórmula (7 ). Como resultado, quando o capilar é molhado, o nível de líquido nele será maior do que no vaso e, quando não molhado, será menor.
