Equação de Schrödinger temporal e estacionária
A interpretação estatística das ondas de Broglie e a relação de incerteza de Heisenberg levaram à conclusão de que a equação do movimento na mecânica quântica, que descreve o movimento das micropartículas em vários campos de força, deveria ser uma equação a partir da qual as propriedades ondulatórias das partículas observadas experimentalmente Segue. A equação principal deve ser uma equação para a função de onda (x, y, z, t), pois é esta função, ou mais precisamente, o valor 2 , que determina a probabilidade da partícula estar no volume dV no instante t , ou seja na área com as coordenadas x e x+dx, y e y+dy, z e z+dz. Como a equação desejada deve levar em conta as propriedades ondulatórias das partículas, ela deve ser uma equação de onda, semelhante à equação que descreve as ondas eletromagnéticas.
Esta equação é postulada, e sua correção é confirmada pela concordância com a experiência dos resultados obtidos com sua ajuda.
Equação básica da mecânica quântica não relativística (1926)
4.1 Equação de tempo de Schrödinger:
A equação é válida para partículas não relativísticas<< ,
onde (\displaystyle \hbar =(h \over 2\pi )) é a massa da partícula; - unidade imaginária; 
é a função potencial da partícula no campo de força em que se move; 
é a função de onda desejada; ∆ é o operador de Laplace 
Condições impostas à função de onda:
A função de onda deve ser finita, de valor único e contínua.
As derivadas ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z , ∂Ψ/∂t devem ser contínuas.
A função 2 deve ser integrável (esta condição se reduz à condição de normalização para probabilidades).
4.2 Equação de Schrödinger estacionária
No caso de um campo de força estacionário (função U=U(x, y, z) não depende explicitamente do tempo e tem o significado de energia potencial. Neste caso, a solução da equação de Schrödinger pode ser representada como um produto de duas funções, uma das quais é função apenas de coordenadas, a outra é apenas função do tempo, e a dependência do tempo é expressa pelo fator 
).
Então a função de onda para estados estacionários (estados com valores de energia fixos) pode ser representada como:
Equação de Schrödinger estacionária:
obtido após a substituição da função de onda na equação de tempo de Schrödinger e transformações (∆ é o operador de Laplace, m- massa de partículas; - constante de Planck reduzida ( = h/2π); Eé a energia total da partícula, vocêé a energia potencial da partícula. Na física clássica, a quantidade (EU) seria igual à energia cinética da partícula. Na mecânica quântica, devido à relação de incerteza, o conceito de energia cinética não tem sentido. Aqui a energia potencial vocêé uma característica campo de força externo em que a partícula está se movendo. Este valor é bem definido. É também uma função das coordenadas, neste caso você =você(x,y,z)).
A ideia principal de Schrödinger é transferir a analogia matemática entre a óptica geométrica e a mecânica clássica para as propriedades ondulatórias da luz e das partículas.
Obtemos a equação de Schrödinger a partir da expressão para a função de onda de um elétron livre. Vamos reescrevê-lo de forma complexa.
Usando a relação da frequência com a energia e o número de onda com o momento, obtemos: 
.
No caso geral, é a energia total da partícula, , é a energia cinética e é a energia de interação.
Vamos encontrar a primeira derivada em relação a e a segunda em relação à coordenada da função Y: (1), (2).
Multiplicamos a equação (1) por , e a equação (2) por (assim, os fatores do lado direito terão a dimensão da energia):
, 
.
Adicionamos as equações resultantes:
.
Como , a última igualdade pode ser reescrita na forma 
.
Esta é a equação de Schrödinger. Foi obtido para uma coordenada. Se for reescrito para 3 coordenadas , então, introduzindo o operador de Laplace, teremos finalmente
.
A equação de Schrödinger não pode ser derivada diretamente das leis fundamentais da física clássica. A equação de Schrõdinger permite que você encontre a função de onda em um momento arbitrário no tempo. Para fazer isso, você precisa conhecer a função de onda em um ponto fixo no tempo, a massa da partícula e a energia de interação da partícula com o campo de força. A função de onda encontrada permite calcular a probabilidade de encontrar uma partícula em um ponto arbitrário do espaço em qualquer momento do tempo.
As principais propriedades que as funções de onda devem satisfazer são soluções da equação de Schrödinger:
1. A função de onda é linear, ou seja. se … são soluções da equação, então sua combinação linear é uma solução.
2. As primeiras derivadas parciais em relação às coordenadas são lineares
3. A função de onda e suas derivadas espaciais devem ser de valor único, finitas e contínuas.
4. Como tendemos a ∞, o valor da função de onda deve tender a zero.
Equação de Schrödinger para estados estacionários.
Se o campo de força no qual a partícula descrita se move é estacionário, seu potencial não depende explicitamente do tempo, e a função tem o significado de energia potencial e depende apenas das coordenadas. Neste caso, a função de onda pode ser representada como o produto de dois. Uma função depende apenas de , a outra depende apenas do tempo:
Substituímos a última expressão na equação de Schrödinger
Após a redução por um fator de tempo e algumas transformações elementares, obtemos: 
(*).
Esta é a equação de Schrödinger para estados estacionários. Inclui apenas a parte coordenada da função de onda - . Se o último for encontrado, então a função de onda total é encontrada multiplicando a parte coordenada pelo fator de tempo .
Como a probabilidade é determinada pelo quadrado da função de onda, e o quadrado do valor complexo é encontrado multiplicando pelo conjugado complexo, então a seguinte relação vale para funções de onda estacionárias:
Assim, para encontrar a função de onda para estados estacionários, é necessário resolver a equação (*) e conhecer a energia total .
Movimento livre de partículas.
Durante o movimento livre de uma partícula quântica, nenhuma força atua sobre ela e sua energia potencial pode ser igual a zero. Deixe a partícula se mover na direção , então (*) assume a forma: 
.
Uma solução particular para esta equação é uma função da forma 
, onde e são constantes. Se substituirmos a solução desejada na própria equação, obteremos a conexão entre a energia da partícula e a quantidade:
A função de onda completa, levando em consideração a dependência do tempo para uma partícula livre, tem a forma . É uma onda monocromática plana com frequência e número de onda. Desde , e , então .
EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER
E SEUS CASOS ESPECIAIS (continuação): a passagem de uma partícula através de uma BARREIRA DE POTENCIAL, oscilador Harmônico
Passagem de uma partícula através de uma barreira de potencial para o caso clássico, já consideramos na LIÇÃO 7 PARTE 1 (veja a Fig. 7.2). Consideremos agora uma micropartícula cuja energia total é menor que o nível você barreira potencial (Fig. 19.1). Na versão clássica, neste caso, a passagem de uma partícula pela barreira é impossível. No entanto, na física quântica, existe a possibilidade de a partícula passar. Além disso, ele não "saltará" sobre ele, mas, por assim dizer, "vazará", usando suas qualidades de onda. Portanto, o efeito também é chamado de "tunelamento". Para cada área I,II,III escrevemos a equação estacionária de Schrödinger (18.3).
Por EU e III: 
, (19.1, a)
por II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, onde a = const. Então 
e y" = . Substituindo y" em (19.1a) dá: A solução geral necessária para o domínio EU escrito como uma superposição
https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)
Neste caso, o ponto inicial de propagação da onda é deslocado por eu, uma NO 3 = 0 , pois na região III há apenas uma onda passageira.
Na área II(barreira) substituição y" em (19.1b) dá
https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.
A probabilidade de aprovação é caracterizada coeficiente de transmissão- a razão entre a intensidade da onda transmitida e a intensidade do incidente:
(0) = y2"(0), y2"( eu) = y3"( eu); (19.5)
dos quais os dois primeiros significam a "costura" de funções nos limites esquerdo e direito da barreira, e o terceiro e o quarto - a suavidade de tal transição. Substituindo as funções y1, y2 e y3 em (19.5), obtemos as equações
Vamos dividi-los em MAS 1 e denotar uma 2=A 2/UMA 1; b 1=B 1/UMA 1; uma 3=A 3/UMA 1; b 2=B 2/UMA 1.
. (19.6)
Multiplicamos a primeira equação (19.6) por euk e adicioná-lo ao segundo. vamos pegar 2 euk = a 2(q +euk)-b 2(q-euk) . (19.7)
O segundo par de equações (19.6) será considerado como um sistema de duas equações com incógnitas uma 2 e b 2.
Os determinantes deste sistema são:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" largura="319" altura="32">,
onde e- qL(q+euk) 2 » 0, porque qL >> 1.
Portanto https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63"> e encontrar o módulo do valor complexo uma 3, multiplique o numerador e o denominador da fração resultante por ( q +euk)2. Após transformações simples, obtemos
https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Geralmente EU~ 90% e todo o coeficiente antes de "e" é da ordem de um. Portanto, a probabilidade de uma partícula passar pela barreira é determinada pela seguinte relação:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" largura="91" altura="44">.
Isso significa que em E< U a partícula não ultrapassará a barreira, ou seja, não há efeito túnel na física clássica.
Este efeito é usado na prática de engenharia para criar diodos de túnel amplamente utilizados em dispositivos de engenharia de rádio (ver PARTE 3, LIÇÃO 3).
Além disso, foi possível iniciar uma reação de fusão termonuclear em condições terrestres, que ocorre no Sol em condições usuais para o Sol - a uma temperatura T ~ 109 K. Não existe tal temperatura na Terra, no entanto, devido ao efeito túnel, é possível iniciar a reação a uma temperatura T ~ 107 K, que ocorre durante a explosão de uma bomba atômica, que foi o dispositivo de ignição para a bomba de hidrogênio. Mais sobre isso na próxima parte do curso.
Oscilador harmônico.Clássico o oscilador harmônico também já foi considerado por nós (LECTURES 1,2 PART 3). Por exemplo, é um pêndulo de mola, cuja energia total E = mV 2/2 + kx 2/2. Teoricamente, essa energia pode assumir uma série contínua de valores, começando do zero.
Um oscilador harmônico quântico é uma micropartícula que oscila de acordo com a lei harmônica, que está em um estado ligado dentro de um átomo ou núcleo. Neste caso, a energia potencial permanece clássica, caracterizando uma força restauradora elástica semelhante kx. Considerando que a frequência cíclica 
obtemos para energia potencial https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)
Matematicamente, este problema é ainda mais difícil do que os anteriores. Portanto, limitamo-nos a afirmar qual será o resultado. Como no caso do poço unidimensional, obtemos discreto espectro de autofunções e autoenergias, e um autovalor de energia corresponderá a uma função de onda: Pt y n(não há degeneração de estados, como no caso de um poço tridimensional). A densidade de probabilidade |yn|2 também é uma função oscilante, mas a altura das "corcovas" é diferente. Já não é banal pecado2
, enquanto os polinômios de Hermite mais exóticos hn(x). A função de onda tem a forma
, Onde Comn- dependendo n constante. Espectro de autovalor de energia:
, (19.10)
onde é o número quântico n = 0, 1, 2, 3 ... . Assim, há também "energia zero" , acima do qual o espectro de energia forma uma "pilha", onde as prateleiras estão localizadas à mesma distância umas das outras (Fig. 19.2). A mesma figura mostra a densidade de probabilidade correspondente |yn|2 para cada nível de energia, bem como a energia potencial do campo externo (parábola pontilhada).
A existência de uma energia possível mínima diferente de zero de um oscilador tem um significado profundo. Isso significa que as oscilações das micropartículas não param Nunca, que por sua vez significa que a temperatura de zero absoluto é inatingível.
1., Física Bursiana: Um curso de palestras com suporte de computador: Proc. bolsa para estudantes. superior livro didático instituições: Em 2 volumes - M.: Editora VLADOS-PRESS, 2001.
Em princípio, nada de especial, eles podem ser encontrados em tabelas e até gráficos.
Para partículas do mundo quântico, aplicam-se outras leis além dos objetos da mecânica clássica. De acordo com a suposição de de Broglie, os micro-objetos têm propriedades tanto de partículas quanto de ondas - e, de fato, quando um feixe de elétrons se espalha em um buraco, observa-se a difração, característica das ondas.
Portanto, podemos falar não sobre o movimento das partículas quânticas, mas sobre a probabilidade de que a partícula esteja em um determinado ponto em um determinado momento.
O que descreve a equação de Schrödinger
A equação de Schrödinger destina-se a descrever as características do movimento de objetos quânticos nos campos de forças externas. Muitas vezes, uma partícula se move através de um campo de força que não depende do tempo. Para este caso, a equação estacionária de Schrödinger é escrita:
Na equação apresentada, m e E são, respectivamente, a energia da partícula no campo de força, e U é a energia desse campo. 
é o operador de Laplace. - Constante de Planck, igual a 6,626 10 -34 J s.
(também é chamada de amplitude de probabilidade, ou função psi) - esta é a função que permite descobrir onde no espaço é mais provável que nosso micro-objeto esteja. O significado físico não é a função em si, mas seu quadrado. A probabilidade de que a partícula esteja em um volume elementar é:
Portanto, é possível encontrar uma função em um volume finito com a probabilidade:
Como a função psi é uma probabilidade, ela não pode ser menor que zero nem superior a um. A probabilidade total de encontrar uma partícula em um volume infinito é a condição de normalização:
Para a função psi, o princípio da superposição funciona: se uma partícula ou sistema pode estar em vários estados quânticos, então um estado determinado por sua soma também é possível para ele:
A equação estacionária de Schrödinger tem muitas soluções, mas ao resolvê-la, deve-se levar em consideração as condições de contorno e selecionar apenas soluções adequadas - aquelas que têm um significado físico. Tais soluções existem apenas para valores individuais da energia da partícula E, que formam o espectro de energia discreto da partícula.
Exemplos de resolução de problemas
EXEMPLO 1
| Exercício | A função de onda descreve a distância entre o elétron e o núcleo de hidrogênio: r é a distância entre o elétron e o núcleo, a é o primeiro raio de Bohr. A que distância do núcleo é provável que o elétron esteja? |
| Decisão | 1) Expressando o volume em termos do raio do núcleo, encontramos a probabilidade de que o elétron esteja a uma certa distância do núcleo: 2) A probabilidade de que o elétron esteja dentro do "anel" elementar dr:
3) Para encontrar a distância mais provável, encontramos a partir da última expressão: Resolvendo esta equação, obtemos r = a - a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. |
| Responda | r = a – com maior probabilidade o núcleo está localizado à distância do primeiro raio de Bohr do núcleo. |
EXEMPLO 2
| Exercício | Encontre os níveis de energia de uma partícula em um poço de potencial infinitamente profundo. |
| Decisão | Deixe a partícula se mover ao longo do eixo x. Largura do poço - l. Contamos a energia do fundo do poço e a descrevemos com a função: Escrevemos a equação de Schrödinger estacionária unidimensional:
Considere as condições de contorno. Como acreditamos que a partícula não pode penetrar nas paredes, então fora do poço = 0. No limite do poço, a função psi também é igual a zero: no poço, a energia potencial é U=0. Então a equação de Schrödinger escrita para o poço será simplificada:
Na forma, este é o DE de um oscilador harmônico: |
O movimento de micropartículas em vários campos de força é descrito dentro da estrutura da mecânica quântica não relativística usando a equação de Schrödinger, da qual seguem as propriedades ondulatórias das partículas observadas experimentalmente. Esta equação, como todas as equações básicas da física, não é derivada, mas postulada. Sua exatidão é confirmada pela concordância entre os resultados do cálculo e o experimento. A equação de onda de Schrödinger tem a seguinte forma geral:
- (± 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)
onde ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s - constante de Planck;
m é a massa da partícula;
∆ - Operador de Laplace (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - função de onda desejada;
U (x, y, z, t) é a função potencial da partícula no campo de força onde ela se move;
i é a unidade imaginária.
Esta equação só tem solução nas condições impostas à função de onda:
- ψ (x, y, z, t) deve ser finito, de valor único e contínuo;
- as primeiras derivadas devem ser contínuas;
- função | ψ | 2 deve ser integrável, o que nos casos mais simples se reduz à condição de normalização para probabilidades.
∆ψ + (2m / ± 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
onde ψ = ψ (x, y, z) é apenas a função de onda das coordenadas;
E é o parâmetro da equação - a energia total da partícula.
Para esta equação, apenas as soluções que são expressas por funções regulares ψ (chamadas de autofunções) que ocorrem apenas para determinados valores do parâmetro E, chamadas de autovalor de energia, têm um significado físico real. Esses valores de E podem formar uma série contínua ou discreta, ou seja, espectro de energia contínuo e discreto.
Para qualquer micropartícula na presença da equação de Schrödinger do tipo (8.2), o problema da mecânica quântica é reduzido a resolver esta equação, ou seja, encontrando os valores das funções de onda ψ = ψ (x, y, z) correspondentes ao espectro de autoenergias E. Em seguida, a densidade de probabilidade | ψ | 2 , que determina em mecânica quântica a probabilidade de encontrar uma partícula em uma unidade de volume na vizinhança de um ponto com coordenadas (x, y, z).
Um dos casos mais simples de resolver a equação de Schrödinger é o problema do comportamento de uma partícula em um "potencial" retangular unidimensional com "paredes" infinitamente altas. Esse "poço" para uma partícula que se move apenas ao longo do eixo X é descrito por uma energia potencial da forma
onde l é a largura do "poço", e a energia é medida a partir de seu fundo (Fig. 8.1).
A equação de Schrödinger para estados estacionários no caso de um problema unidimensional pode ser escrita como:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ± 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
Devido ao fato de que as "paredes do poço" são infinitamente altas, a partícula não penetra além do "poço". Isso leva às condições de contorno:
ψ (0) = ψ (l) = 0
Dentro do "poço" (0 ≤ x ≤ l), a equação (8.4) se reduz a:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ± 2) ∙ E ∙ ψ = 0
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0
onde k 2 = (2m ∙ E) / ± 2
A solução da equação (8.7), levando em conta as condições de contorno (8.5), no caso mais simples tem a forma:
ψ (x) = A ∙ sen (kx)
onde k = (n ∙ π)/l
para valores inteiros de n.
Das expressões (8.8) e (8.10) segue que
E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ± 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)
Essa. a energia dos estados estacionários depende de um inteiro n (chamado número quântico) e tem certos valores discretos, chamados níveis de energia.
Conseqüentemente, uma micropartícula em um "poço potencial" com "paredes" infinitamente altas só pode estar em um certo nível de energia E n , ou seja, em estados quânticos discretos n.
Substituindo a expressão (8.10) em (8.9) encontramos as autofunções
ψ n (x) = A ∙ sen (nπ / l) ∙ x
A constante de integração A pode ser encontrada a partir da condição de normalização da mecânica quântica (probabilística)
que para este caso pode ser escrito como:
Daí, como resultado da integração, obtemos А = √ (2 / l) e então temos
ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sen (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)
Os gráficos da função ψ n (x) não têm significado físico, enquanto os gráficos da função | ψn | 2 mostram a distribuição da densidade de probabilidade de detectar uma partícula a diferentes distâncias das "paredes do poço" (Fig. 8.1). Apenas esses gráficos (assim como ψ n (x) - para comparação) são estudados neste trabalho e mostram claramente que as idéias sobre trajetórias de partículas na mecânica quântica são insustentáveis.
Da expressão (8.11) segue que o intervalo de energia entre dois níveis vizinhos é igual a
∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ± 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)
A partir disso, pode-se ver que para micropartículas (como um elétron) com grandes tamanhos de "poço" (l≈ 10 -1 m), os níveis de energia são tão espaçados que formam um espectro quase contínuo. Tal estado ocorre, por exemplo, para elétrons livres em um metal. Se as dimensões do "poço" são proporcionais às dimensões atômicas (l ≈ 10 -10 m), então um espectro de energia discreto (espectro de linha) é obtido. Esses tipos de espectros também podem ser estudados neste trabalho para várias micropartículas.
Outro caso do comportamento de micropartículas (assim como de microssistemas - pêndulos), que é frequentemente encontrado na prática (e considerado neste trabalho), é o problema de um oscilador harmônico linear em mecânica quântica.
Como se sabe, a energia potencial de um oscilador harmônico unidimensional com massa m é igual a
U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2
onde ω 0 é a frequência de oscilação natural do oscilador ω 0 = √ (k / m);
k - coeficiente de elasticidade do oscilador.
A dependência (8.17) tem a forma de uma parábola, ou seja, "potencial bem" neste caso é parabólico (Fig. 8.2).
O oscilador harmônico quântico é descrito pela equação de Schrödinger (8.2), que leva em conta a expressão (8.17) para a energia potencial. A solução desta equação é escrita como:
ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)
onde N n é um fator de normalização constante dependendo do inteiro n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) é um polinômio de grau n, cujos coeficientes são calculados usando uma fórmula recursiva para vários inteiros n.
Na teoria das equações diferenciais, pode-se provar que a equação de Schrödinger tem solução (8.18) apenas para os autovalores de energia:
E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0
onde n = 0, 1, 2, 3... é o número quântico.
Isso significa que a energia de um oscilador quântico pode assumir apenas valores discretos, ou seja, é quantizado. Para n = 0, E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2 ocorre, ou seja. energia de vibração zero, que é típica de sistemas quânticos e é uma consequência direta da relação de incerteza.
Como mostra a solução detalhada da equação de Schrödinger para o oscilador quântico, cada autovalor de energia em diferentes n tem sua própria função de onda, uma vez que o fator de normalização constante depende de n
e também H n (x) é um polinômio de Chebyshev-Hermite de grau n.
Além disso, os dois primeiros polinômios são iguais:
H0(x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α
Qualquer polinômio subsequente está relacionado a eles pela seguinte fórmula recursiva:
H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)
Autofunções do tipo (8.18) permitem encontrar para um oscilador quântico a densidade de probabilidade de encontrar uma micropartícula como | ψn (x) | 2 e explore seu comportamento em vários níveis de energia. A solução deste problema é difícil devido à necessidade de usar uma fórmula recursiva. Este problema pode ser resolvido com sucesso apenas com o uso de um computador, o que é feito no presente trabalho.
