Estereometria desenvolvido a partir de observações e soluções para questões que surgiram no processo da atividade prática humana. Sem dúvida, mesmo o homem primitivo, tendo mudado de uma vida nômade para uma vida sedentária, tendo se dedicado à agricultura, tentou estimar, pelo menos em termos mais grosseiros, o tamanho da colheita que ele havia colhido pelas massas de pão empilhadas em pilhas, choques ou pilhas. O construtor mesmo dos edifícios primitivos mais antigos tinha que de alguma forma levar em conta o material que tinha à sua disposição e ser capaz de calcular quanto material seria necessário para construir um determinado edifício. A lapidação de pedras entre os antigos egípcios e caldeus exigia familiaridade com as propriedades métricas de pelo menos os corpos geométricos mais simples: um cubo, um paralelepípedo, um prisma, um cilindro, etc. As necessidades da agricultura, navegação, orientação no tempo empurraram as pessoas para as observações astronômicas, e estas para o estudo das propriedades da esfera e suas partes e, consequentemente, das leis da posição relativa dos planos e linhas no espaço.

Durante o florescimento econômico e cultural da Grécia antiga e suas colônias, a geometria atingiu um alto desenvolvimento teórico. Dos geômetras proeminentes da Grécia, Anaxágoras, Demócrito, Hipócrates (século V aC) estavam interessados ​​em estereometria. Hipócrates está entre os primeiros a resolver o famoso problema da antiguidade - o problema de Delhi de duplicar o cubo. Na escola de Platão, os problemas da estereometria avançaram consideravelmente. Um dos representantes da escola de Platão, Teetetus, considerou o octaedro e o de vinte lados e pela primeira vez apresentou uma teoria de algumas propriedades de cinco poliedros regulares. Menechme, aluno de Platão, foi o primeiro a apresentar alguma teoria das seções cônicas. O maior mérito de Euclides é que ele coletou, processou e colocou em um sistema coerente o material que chegou até ele. Dos 13 livros de seus "Inícios" de estereometria, os livros XI-XIII são atribuídos. As informações sobre estereometria coletadas por Euclides foram complementadas, aprofundadas e ampliadas pelo maior matemático da antiguidade Arquimedes. Ele deu treze sólidos semi-regulares, cada um dos quais é limitado por polígonos regulares, mas não do mesmo tipo, e calculou os volumes dos sólidos de revolução. Graças ao trabalho de Arquimedes, a estereometria atingiu seu ponto culminante e a geometria elementar em seu sentido moderno foi finalmente estabelecida.

Após a queda da Grécia, há uma longa estagnação no desenvolvimento da matemática e da estereometria em particular, que durou mil anos. Muito tem sido feito por Kepler para o desenvolvimento da estereometria nos tempos modernos. Em sua "New Stereometry" - "estereometria de barris" - ele usou pela primeira vez uma quantidade infinitesimal em geometria. A descoberta do cálculo integral por Newton e Leibniz finalmente resolveu o problema da quadratura e da cubatura.

Cilindro- um corpo que consiste em dois círculos que não estão no mesmo plano e são combinados por translação paralela, e todos os segmentos que ligam os pontos correspondentes desses círculos.

r é o raio do cilindro;
d é o diâmetro do cilindro;
l é a geratriz do cilindro;
h é a altura do cilindro.

Observação: em um cilindro circular reto, o comprimento da geratriz é igual ao comprimento da altura.

Volume de um cilindro circular calculado pela fórmula:

V = π r 2 h, Onde

π – valor constante (≈3,1415);
r é o raio da base do cilindro;
h é a altura do cilindro.

Cuboé um poliedro regular, cada face do qual é um quadrado. Todas as arestas de um cubo são iguais.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - cubo;

A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1- vértices do cubo;

a - o comprimento da aresta do cubo.

Volume do cubo calculado pela fórmula:

V cubo \u003d um 3, onde

a é o comprimento da aresta do cubo.

Tetraedroé um poliedro regular cujas faces são quatro triângulos.

ABCD - tetraedro;

A, B, C, D - vértices do tetraedro;

AD, BD, CD, AB, BC, AC - arestas do tetraedro;

ABD, BCD, ACD - faces de um tetraedro.

Volume de um tetraedro calculado pela fórmula:

umaé o comprimento de qualquer aresta do tetraedro.

Diretrizes

Para concluir com êxito as tarefas nesta categoria, você deve:

conhecer as definições de corpos geométricos e suas propriedades;

ser capaz de realizar ações com formas geométricas, coordenadas e vetores;

ser capaz de resolver problemas estereométricos para encontrar quantidades geométricas (comprimentos, ângulos, áreas, volumes);

conhecer as fórmulas para calcular as áreas e volumes de corpos geométricos.

Tsim Não. 8 Volume do cilindro Opção 1.

1. Encontre o volume de um cilindro com 3 cm de altura e 6 cm de diâmetro da base a) 27π cm 3; b) 9πcm3; c) 36πcm3; d) 18πcm3; e) 54π cm 3.

2. O volume do cilindro é 27π. Encontre o diâmetro da base do cilindro se sua área total de superfície for duas vezes a área de superfície lateral.

a) 3; b) não pode ser determinado às 6; e) 2; e) 9.

3. A diagonal da seção axial do cilindro faz um ângulo de 60˚ com o plano da base do cilindro. Encontre o volume do cilindro se a área da seção axial for 16√3 cm2.

a) 16π ​​cm 3; b) 16√3 cm3; c) 32π√3 cm3; d) 8π√3 cm3; e) 16π√3 cm3.

4. Uma esfera de raio 1 cm está inscrita em um cilindro Encontre o volume do cilindro.

a) 4πcm3; b) 2πcm3; c) 8πcm3; d) πcm3; d) não pode ser determinado.

5. O volume do cilindro é 120. Encontre a altura do cilindro com uma precisão de 0,01 se o raio da base for 3 vezes maior que ele.

a) 1,62; b) 1,63; c) 1,61; d) 1,6; e) 1,60.

6. A área da seção axial do cilindro é de 21 cm 2, a área da base é de 18π cm 2. Encontre o volume do cilindro.

a) 9π cm3; b) 31,5π√2 cm3; c) 21πcm3; d) 63πcm3; e) 31,5π√3 cm3.

7. Escolha a afirmação correta.

a) O volume de um cilindro é metade do produto da área da base pela altura.

b) O volume do cilindro é calculado pela fórmula V = πS/2, onde S é a área da seção axial do cilindro;

c) o volume de um cilindro equilátero é V = 2πR 3 , onde R é o raio da base do cilindro;

d) o volume do cilindro é calculado pela fórmula V = Mh/2, onde M é a área da superfície lateral do cilindro e h é sua altura;

8. Uma seção paralela ao eixo do cilindro corta um arco de 120˚ da circunferência da base. O raio da base do cilindro é R, o ângulo entre a diagonal da seção e o eixo do cilindro é de 30°. Encontre o volume do cilindro a) 3πR 2 ; b) πR 3 √3; c) 3πR3; d) πR3; e) 3πR 3 √3.

9. Dois planos são desenhados através da geratriz do cilindro. O ângulo entre eles é de 120˚. As áreas das seções resultantes são 1. O raio da base do cilindro é 1. Encontre o volume do cilindro. a) π√3/3; b) 2π; c) π/2; d) pi; d) não pode ser determinado.

10. Um fio de alumínio com diâmetro de 2 mm tem massa de 3,4 kg. Encontre o comprimento do fio com aproximação de 1 cm se a densidade do alumínio for 2,6 g/cm3.

a) 41646; b) 43590; c) 41656; d) 41635; e) 41625.

Tsim Não. 8 Volume do cilindro Opção 2.

1. Encontre o volume de um cilindro com 6 cm de altura e 3 cm de diâmetro da base a) 13,5π cm 3; b) 9πcm3; c) 27πcm3; d) 18πcm3; e) 54π cm 3.

2. O volume do cilindro é 32π. Encontre a altura do cilindro se sua área total de superfície for três vezes a área de superfície lateral.

a) 3; b) não pode ser determinado em 4; d) 8; D 2.

3. A diagonal da seção axial do cilindro faz um ângulo de 60˚ com o plano da base do cilindro. Encontre a área da seção axial se o volume do cilindro for 16 π √3 cm 2.

a) 16 cm2; b) 16√3 cm2; c) 32√3 cm2; d) 8√3 cm2; e) 16π√3 cm2.

4. Uma esfera de raio 1 cm é descrita perto do cilindro. Encontre o volume do cilindro.

a) 4π√2 cm3; b) 0,5π√2 cm3; c) não pode ser determinado d) πcm3; e) π√2 cm 3.

5. O volume do cilindro é 120. Encontre a altura do cilindro com uma precisão de 0,01 se o raio da base for 3 vezes menor que ele.

a) 2,3; b) 2,33; c) 2,35; d) 2.335; e) 2,34.

6. A área da seção axial do cilindro é de 30 cm 2, a área da base é de 9π ​​cm 2. Encontre o volume do cilindro.

a) 45πcm3; b) 22,5πcm3; c) 23πcm3; d) 9π cm3; e) 30π cm 3.

7. Escolha a afirmação errada.

a) O volume de um cilindro é o produto da área da base pela altura.

b) O volume do cilindro é calculado pela fórmula V = 1/2πrS, onde S é a área da seção axial do cilindro, e r é o raio do cilindro;

c) o volume de um cilindro equilátero é calculado pela fórmula V = 1/4πh 3, onde h é a altura do cilindro;

d) o volume do cilindro é calculado pela fórmula V = 1/2Mr, onde M é a área da superfície lateral do cilindro, e r é seu raio;

e) o volume de um cilindro equilátero é calculado pela fórmula V = πh 3 /2, onde h é a altura do cilindro.

8. Uma seção paralela ao eixo do cilindro corta um arco de 120 0 da circunferência da base. Esta seção é removida do eixo do cilindro por uma distância igual a a. A diagonal da seção é 4a. Encontre o volume do cilindro. a) 8pa2; b) 4pa3; c) 2πa3; d) 16pa3; e) 8πa 3 .

9. Dois planos são desenhados através da geratriz do cilindro. O ângulo entre eles é de 120˚. As áreas das seções resultantes são 1. A altura do cilindro é 1. Encontre o volume do cilindro. a) π/4; b) π/2; c) π; d) π/3; d) não pode ser determinado.

10. Um fio de alumínio com um diâmetro de 2 mm tem uma massa de 3,4 m. Encontre a massa do fio com uma precisão de 1 g se a densidade do alumínio for 2,6 g/cm 3.

a) 278; b) 277; c) 29; d) 27; e) 28.

Tipo de trabalho: 8
Tema: Cilindro

Doença

Em um recipiente cilíndrico, o nível do líquido atinge 20 cm. A que altura estará o nível do líquido se for despejado em um segundo recipiente cilíndrico, cujo diâmetro é o dobro do diâmetro do primeiro? Expresse sua resposta em centímetros.

Mostrar solução

Decisão

Seja R o raio da base do primeiro vaso, então 2 R é o raio da base do segundo vaso. Por condição, o volume de líquido V no primeiro e no segundo recipiente é o mesmo. Denote por H - o nível ao qual o líquido subiu no segundo recipiente. Então

V=\pi R^2 \cdot 20, e V=\pi(2R)^2H = 4\pi R^2H. Daqui \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20=4H H=5

Responda

Tipo de trabalho: 8
Tema: Cilindro

Doença

2000 cm3 de água foram despejados em um recipiente cilíndrico. O nível do líquido acabou sendo de 15 cm. A peça foi completamente imersa em água. Ao mesmo tempo, o nível do líquido no recipiente aumentou 9 cm Qual é o volume da peça? Expresse sua resposta em cm3.

Mostrar solução

Decisão

Seja R o raio da base do cilindro e h o nível da água despejada no vaso. Então o volume de água derramada é igual ao volume de um cilindro com raio da base R e altura h. V água \u003d S principal. · h = \pi R^2\cdot h. De acordo com a condição, a igualdade 2000=\pi R^2\cdot15 é cumprida. Daqui, \pi R^2=\frac(2000)(15)=\frac(400)(3).

Seja H o nível da água no recipiente após o item ser imerso nele. Então o volume total de água e a parte é igual ao volume de um cilindro com raio da base R e altura H. Pela condição H=h+9=15+9=24. Então V água + detalhes = \pi R^2\cdot H=\frac(400)(3)\cdot24=3200. Portanto, V partes = V água + partes − V água = 3200-2000=1200.

Responda

Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 8
Tema: Cilindro

Doença

Encontre a altura de um cilindro se o raio da base for 8 e a área da superfície lateral for 96\pi.

Mostrar solução

Decisão

S=2\pi rh,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac(96\pi)(16\pi)=6.

Responda

Fonte: "Matemática. Preparação para o exame-2016. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 8
Tema: Cilindro

Doença

500 metros cúbicos foram despejados em um recipiente cilíndrico. ver água. Determine o volume da peça completamente submersa em água se, após a imersão, o nível do líquido aumentou 1,2 vezes. Expresse sua resposta em cubo. cm.

Mostrar solução

Decisão

Seja V 1 o volume inicial de líquido no cilindro. Depois que a peça foi imersa, o volume de líquido aumentou 1,2 vezes, o que significa que o volume final de líquido é V 2 = 1,2 V 1. O volume da peça é igual à diferença entre os volumes antes e depois da imersão, o que significa V = V_2-V_1=1.2\cdot 500-500=100 cubo cm.

Responda

Quando um líquido transborda, seu volume inicial não muda, ou seja: V 1 \u003d V 2, o que significa que a igualdade é verdadeira: \pi\left(\frac(d_1)(2)\right)^2h_1=\pi\left(\frac(3d_1)(2)\right)^2h_2

Substitua os valores da condição, simplifique a expressão e encontre a altura desejada do líquido do segundo recipiente h 2:

\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2

\frac(63)(4)=\frac(9)(4)h_2

h_2=\frac(63)(9)=7