Sistemas pelos quadrados de suas distâncias ao eixo:

• eu- peso eu-ésimo ponto,
• eu- distância de eu-ésimo ponto para o eixo.

Axial momento de inércia corpo J aé uma medida da inércia de um corpo em movimento de rotação em torno de um eixo, assim como a massa de um corpo é uma medida de sua inércia em movimento de translação.

Se o corpo é homogêneo, isto é, sua densidade é a mesma em todos os lugares, então

Teorema de Huygens-Steiner

Momento de inércia de um corpo sólido em relação a qualquer eixo depende não apenas da massa, forma e tamanho do corpo, mas também da posição do corpo em relação a esse eixo. De acordo com o teorema de Steiner (teorema de Huygens-Steiner), momento de inércia corpo J em relação a um eixo arbitrário é igual à soma momento de inércia este corpo Jc em relação ao eixo que passa pelo centro de massa do corpo paralelo ao eixo considerado, e o produto da massa do corpo m por distância quadrada d entre eixos:

onde é a massa total do corpo.

Por exemplo, o momento de inércia de uma barra em relação a um eixo que passa por sua extremidade é:

Momentos de inércia axiais de alguns corpos

Momentos de inércia corpos homogêneos da forma mais simples em relação a alguns eixos de rotação

Corpo	Descrição	Posição do eixo uma	Momento de inércia J a
	Ponto de massa material m	Na distância r de um ponto, fixo
	Cilindro oco de paredes finas ou anel de raio r e as massas m	Eixo do cilindro
	Cilindro sólido ou raio do disco r e as massas m	Eixo do cilindro
	Cilindro de massa oco de parede espessa m com raio externo r2 e raio interno r1	Eixo do cilindro
	Comprimento do cilindro sólido eu, raio r e as massas m
	Comprimento do cilindro de parede fina oca (anel) eu, raio r e as massas m	O eixo é perpendicular ao cilindro e passa pelo seu centro de massa
	Comprimento da haste fina reta eu e as massas m	O eixo é perpendicular à haste e passa pelo seu centro de massa
	Comprimento da haste fina reta eu e as massas m	O eixo é perpendicular à haste e passa por sua extremidade
	Esfera de parede fina de raio r e as massas m	O eixo passa pelo centro da esfera
	raio da bola r e as massas m	O eixo passa pelo centro da bola
	Raio do cone r e as massas m	eixo do cone
	Triângulo isósceles com altura h, base uma e peso m	O eixo é perpendicular ao plano do triângulo e passa pelo vértice
	Triângulo reto com lado uma e peso m	O eixo é perpendicular ao plano do triângulo e passa pelo centro de massa
	Quadrado com lateral uma e peso m	O eixo é perpendicular ao plano do quadrado e passa pelo centro de massa

Derivação de fórmulas

Cilindro de parede fina (anel, aro)

Derivação da fórmula

O momento de inércia de um corpo é igual à soma dos momentos de inércia de suas partes constituintes. Dividindo um cilindro de paredes finas em elementos de massa dm e momentos de inércia DJ eu. Então

Como todos os elementos de um cilindro de paredes finas estão à mesma distância do eixo de rotação, a fórmula (1) é convertida na forma

Cilindro de parede grossa (anel, aro)

Derivação da fórmula

Seja um anel homogêneo com raio externo R, raio interno R 1, grosso h e densidade ρ. Vamos quebrá-lo em anéis finos com espessura dr. Massa e momento de inércia de um anel fino de raio r vai ser

Encontramos o momento de inércia de um anel grosso como uma integral

Como o volume e a massa do anel são iguais

obtemos a fórmula final para o momento de inércia do anel

Disco homogêneo (cilindro sólido)

Derivação da fórmula

Considerando o cilindro (disco) como um anel com raio interno zero ( R 1 = 0), obtemos a fórmula para o momento de inércia do cilindro (disco):

cone sólido

Derivação da fórmula

Divida o cone em discos finos de espessura dh, perpendicular ao eixo do cone. O raio desse disco é

Onde Ré o raio da base do cone, Hé a altura do cone, hé a distância do topo do cone ao disco. A massa e o momento de inércia de tal disco serão

Integrando, obtemos

Bola uniforme sólida

Derivação da fórmula

Divida a bola em discos finos dh, perpendicular ao eixo de rotação. O raio de tal disco localizado a uma altura h do centro da esfera, encontramos pela fórmula

A massa e o momento de inércia de tal disco serão

Encontramos o momento de inércia da esfera integrando:

esfera de paredes finas

Derivação da fórmula

Para a derivação, usamos a fórmula do momento de inércia de uma bola homogênea de raio R:

Vamos calcular o quanto o momento de inércia da bola mudará se, a uma densidade constante ρ, seu raio aumentar em um valor infinitesimal dR.

Haste fina (o eixo passa pelo centro)

Derivação da fórmula

Divida a haste em pequenos fragmentos de comprimento dr. A massa e o momento de inércia de tal fragmento são

Integrando, obtemos

Haste fina (o eixo passa pela extremidade)

Derivação da fórmula

Ao mover o eixo de rotação do meio da haste para a extremidade, o centro de gravidade da haste se move em relação ao eixo por uma distância eu/2. De acordo com o teorema de Steiner, o novo momento de inércia será igual a

Momentos de inércia adimensionais de planetas e seus satélites

De grande importância para os estudos da estrutura interna dos planetas e seus satélites são seus momentos de inércia adimensionais. Momento de inércia adimensional de um corpo de raio r e as massas mé igual à razão entre o seu momento de inércia em relação ao eixo de rotação e o momento de inércia de um ponto material da mesma massa em relação a um eixo de rotação fixo localizado a uma distância r(igual a senhor 2). Este valor reflete a distribuição de massa em profundidade. Um dos métodos para medi-lo em planetas e satélites é determinar o desvio Doppler do sinal de rádio transmitido pelo AMS voando em torno de um determinado planeta ou satélite. Para uma esfera de paredes finas, o momento de inércia adimensional é igual a 2/3 (~0,67), para uma bola homogênea - 0,4 e, em geral, quanto menor, maior a massa do corpo concentrada em seu centro. Por exemplo, a Lua tem um momento de inércia adimensional próximo a 0,4 (igual a 0,391), então supõe-se que ela seja relativamente homogênea, sua densidade muda pouco com a profundidade. O momento de inércia adimensional da Terra é menor que o de uma bola homogênea (igual a 0,335), o que é um argumento a favor da existência de um núcleo denso.

momento centrífugo de inércia

Os momentos de inércia centrífugos de um corpo em relação aos eixos de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares são as seguintes grandezas:

Onde x, y e z- coordenadas de um pequeno elemento do corpo com volume dV, densidade ρ e peso dm.

O eixo OX é chamado eixo principal de inércia do corpo se os momentos centrífugos de inércia Jxy e Jxz são simultaneamente zero. Três eixos principais de inércia podem ser desenhados através de cada ponto do corpo. Esses eixos são mutuamente perpendiculares entre si. Momentos de inércia do corpo em relação aos três eixos principais de inércia desenhados em um ponto arbitrário O corpos são chamados principais momentos de inércia do corpo.

Os principais eixos de inércia que passam pelo centro de massa do corpo são chamados principais eixos centrais de inércia do corpo, e os momentos de inércia em torno desses eixos são seus principais momentos centrais de inércia. O eixo de simetria de um corpo homogêneo é sempre um de seus principais eixos centrais de inércia.

Momento geométrico de inércia

Momento de inércia geométrico - característica geométrica da seção da vista

onde é a distância do eixo central a qualquer área elementar relativa ao eixo neutro.

O momento geométrico de inércia não está relacionado ao movimento do material, apenas reflete o grau de rigidez da seção. Ele é usado para calcular o raio de giração, deflexão de vigas, seleção de seção de vigas, colunas, etc.

A unidade de medida do SI é m 4 . Em cálculos de construção, literatura e sortimentos de metal laminado, em particular, é indicado em cm 4.

A partir dele, o módulo de seção é expresso:

.

Momentos geométricos de inércia de algumas figuras
Altura e largura do retângulo:
Seção de caixa retangular com altura e largura ao longo dos contornos externos e , e ao longo do interno e respectivamente
Diâmetro do círculo

Momento central de inércia

Momento central de inércia(ou o momento de inércia em relação ao ponto O) é a quantidade

O momento de inércia central pode ser expresso em termos dos principais momentos de inércia axiais ou centrífugos: .

Tensor de inércia e elipsóide de inércia

O momento de inércia do corpo em torno de um eixo arbitrário passando pelo centro de massa e tendo uma direção dada por um vetor unitário pode ser representado como uma forma quadrática (bilinear):

(1),

onde é o tensor de inércia. A matriz do tensor de inércia é simétrica, tem dimensões e consiste em componentes de momento centrífugo:

,
.

Ao escolher um sistema de coordenadas apropriado, a matriz do tensor de inércia pode ser reduzida a uma forma diagonal. Para fazer isso, você precisa resolver o problema de autovalor para a matriz tensorial:
,
Onde -

Muitas vezes ouvimos expressões: “é inerte”, “movimento por inércia”, “momento de inércia”. Em sentido figurado, a palavra "inércia" pode ser interpretada como falta de iniciativa e ação. Estamos interessados ​​no significado direto.

O que é inércia

Por definição inércia na física, é a capacidade dos corpos de manter um estado de repouso ou movimento na ausência de forças externas.

Se tudo está claro com o próprio conceito de inércia em um nível intuitivo, então momento de inércia- uma pergunta separada. Concordo, é difícil imaginar na mente o que é. Neste artigo, você aprenderá como resolver problemas básicos sobre o tema "Momento de inércia".

Determinando o momento de inércia

Sabe-se do currículo escolar que massa é uma medida da inércia de um corpo. Se empurrarmos dois carrinhos de massas diferentes, será mais difícil parar o mais pesado. Ou seja, quanto maior a massa, maior a influência externa necessária para alterar o movimento do corpo. Considerado refere-se ao movimento de translação, quando o carrinho do exemplo se move em linha reta.

Por analogia com a massa e o movimento de translação, o momento de inércia é uma medida da inércia de um corpo durante o movimento de rotação em torno de um eixo.

Momento de inércia- uma quantidade física escalar, uma medida da inércia de um corpo durante a rotação em torno de um eixo. Indicada por letra J e no sistema SI medido em quilogramas multiplicado por um metro quadrado.

Como calcular o momento de inércia? Existe uma fórmula geral pela qual o momento de inércia de qualquer corpo é calculado em física. Se o corpo for quebrado em pedaços infinitamente pequenos de massa dm , então o momento de inércia será igual à soma dos produtos dessas massas elementares e ao quadrado da distância ao eixo de rotação.

Esta é a fórmula geral para o momento de inércia na física. Para um ponto de massa material m , girando em torno de um eixo a uma distância r a partir dele, esta fórmula toma a forma:

Teorema de Steiner

De que depende o momento de inércia? Da massa, a posição do eixo de rotação, a forma e o tamanho do corpo.

O teorema de Huygens-Steiner é um teorema muito importante que é frequentemente usado na resolução de problemas.

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O teorema de Huygens-Steiner afirma:

O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo arbitrário é igual à soma do momento de inércia do corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa paralelo a um eixo arbitrário e o produto da massa do corpo pelo quadrado do distância entre os eixos.

Para aqueles que não querem integrar constantemente ao resolver problemas de encontrar o momento de inércia, aqui está uma figura que mostra os momentos de inércia de alguns corpos homogêneos que são frequentemente encontrados em problemas:

Um exemplo de solução do problema de encontrar o momento de inércia

Vamos considerar dois exemplos. A primeira tarefa é encontrar o momento de inércia. A segunda tarefa é usar o teorema de Huygens-Steiner.

Problema 1. Encontre o momento de inércia de um disco homogêneo de massa me raio R. O eixo de rotação passa pelo centro do disco.

Decisão:

Vamos dividir o disco em anéis infinitamente finos, cujo raio varia de 0 antes R e considere um desses anéis. Seja seu raio r, e a massa dm. Então o momento de inércia do anel:

A massa do anel pode ser representada como:

Aqui dzé a altura do anel. Substitua a massa na fórmula do momento de inércia e integre:

O resultado foi uma fórmula para o momento de inércia de um disco ou cilindro fino absoluto.

Problema 2. Seja novamente um disco de massa me raio R. Agora precisamos encontrar o momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo meio de um de seus raios.

Decisão:

O momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é conhecido do problema anterior. Aplicamos o teorema de Steiner e encontramos:

A propósito, em nosso blog você pode encontrar outros materiais úteis sobre física e.

Esperamos que você encontre algo útil no artigo. Se houver dificuldades no processo de cálculo do tensor de inércia, não se esqueça do atendimento ao aluno. Nossos especialistas aconselharão sobre qualquer problema e ajudarão a resolver o problema em questão de minutos.

O momento de inércia é uma medida da inércia de um corpo em torno de um eixo durante o movimento de rotação (real ou imaginário) em torno desse eixo3. O momento de inércia é quantitativamente igual à soma dos momentos de inércia das partículas do corpo - os produtos das massas das partículas e os quadrados de suas distâncias do eixo de rotação: J=Smr 2

Quando as partículas do corpo são mais distante do eixo de rotação, então a aceleração angular do corpo sob o mesmo momento de força menor; se partículas mais próximo do eixo, então a aceleração angular é maior. Isso significa que, se você aproximar o corpo (como um todo ou suas partes) do eixo, é mais fácil causar aceleração angular, é mais fácil acelerar o corpo em rotação e é mais fácil pará-lo. Isso é usado ao se mover ao redor do eixo.

Tendo encontrado empiricamente o momento de inércia do corpo, é possível calcular o raio de giração, cujo valor reflete a distribuição das partículas no corpo em relação a um determinado eixo.

O raio de giração é uma medida comparativa da inércia de um determinado corpo em relação aos seus diferentes eixos. É medido pela raiz quadrada da razão do momento de inércia em torno de um determinado eixo

ao peso corporal: R=ÖJ/m

A determinação quantitativa dos momentos de inércia em biomecânica nem sempre é suficientemente precisa. Mas para entender os fundamentos físicos dos movimentos humanos, essa característica deve ser levada em conta.

CARACTERÍSTICAS DE POTÊNCIA

Força

A força é uma medida da ação mecânica de um corpo sobre outro. Numericamente, é determinado pelo produto da massa do corpo e sua aceleração causada pela aplicação desta força:F=ma;

Assim, a medição da força, como a medição da massa, é baseada na 2ª lei de Newton. Uma vez que esta lei revela dependências no movimento de translação, então a força como um vetor é determinada apenas no caso de um tipo de movimento tão simples em termos de massa e aceleração,

Fontes de força. Já foi apontado que a aceleração depende do referencial. Portanto, a força determinada pela aceleração também depende do referencial. Em um referencial inercial, a fonte de força para um determinado corpo é sempre outro corpo material. Assim que dois objetos materiais interagem, então, nessas condições, a 3ª lei de Newton3 se manifesta.

Se outro corpo age sobre um corpo, então altera o movimento do primeiro. Mas o primeiro corpo nessa interação também muda o movimento do outro. Ambas as forças são aplicadas a objetos diferentes, cada um exibindo um efeito correspondente. Eles não podem ser substituídos por uma resultante, pois são aplicados a objetos diferentes. É por isso que eles não se equilibram.

Em um referencial não inercial, além das interações de dois corpos, também são consideradas forças especiais de inércia (“fictícias”), para as quais a 3ª lei de Newton não é aplicável.

Medição de força . Aplica-se estático medição de força, ou seja, medição com força de equilíbrio(quando a aceleração é zero), e dinâmico - de acordo com a aceleração conferida ao corpo pela sua aplicação.

No ação estática força no corpo (M) há dois corpos (A e B); existem três objetos materiais no total (Fig. 23, uma). Forças F a e f em, anexado ao corpo M, iguais em magnitude e opostos em direção, eles são mutuamente equilibrados. Sua resultante é zero. A aceleração causada por eles também é zero. A velocidade não muda (permanece constante - movimento uniforme ou imobilidade relativa).

Força fa, agindo estaticamente pode ser medido pela força de equilíbrio c.

Considere três casos de manifestação da ação estática da força, quando todos os corpos estão imóveis -

a) uma ginasta pendurada na trave; força de apoio equilibra a gravidade do corpo (G);

b) um corpo equilibrado se move perpendicularmente à força equilibrada da gravidade - a patinadora desliza no gelo; força de apoio equilibra a gravidade do corpo (G); este último não afeta diretamente a velocidade de deslizamento;

c) um corpo equilibrado se move por inércia na direção da força equilibrada; o esquiador desliza a uma velocidade constante pela encosta; forças de resistência (fricção do ar e do esqui na neve - P) equilibrar o componente de rolamento da gravidade (G). Nos três casos, independentemente do estado de repouso ou da direção do movimento do corpo, a força equilibrada não altera o movimento; velocidades na direção de sua ação são constantes.

Deve-se enfatizar que em todos os casos a ação estática da força causa deformação corpo.

No ação dinâmica força no corpo M existe uma força desequilibrada. Em problemas de mecânica teórica, apenas esta força motriz é frequentemente considerada como uma medida da ação de apenas um corpo motriz.

A força motriz é a força que coincide com a direção do movimento (passagem ) ou forma um ângulo agudo com ele e ao mesmo tempo pode fazer um trabalho positivo (para aumentar a energia do corpo).

No entanto, em condições reais de movimento humano, há sempre um meio (ar ou água), suporte e outros corpos externos (projéteis, equipamentos, parceiros, adversários, etc.) operam. Todos eles podem ter um efeito inibitório. Além disso, nenhum movimento real sem a participação forças de frenagem isso simplesmente não acontece.

A força de frenagem é direcionada oposta à direção do movimento (em sentido contrário) ou forma um ângulo obtuso com ela. Ela pode fazer um trabalho negativo(para reduzir a energia do corpo).

Parte da força motriz, igual em magnitude à força de frenagem, equilibra esta última - isso é força de equilíbrio (Fip).

O excesso da força motriz sobre a força de frenagem é a força de aceleração (Fusca)- provoca aceleração do corpo com massa m de acordo com a 2ª lei de Newton (Fy=ma).

Consequentemente, a velocidade não permanece constante, mas muda, ou seja, ocorre a aceleração. Esta é a ação dinâmica da força. F.

Força Foda-se, agindo dinamicamente, pode ser medido pela massa do corpo e sua aceleração.

Classificação das forças. As forças que são estudadas na análise dos movimentos humanos, dependendo das características gerais, são divididas em grupos. De acordo com o método de interação dos corpos, todas as forças são divididas em d is t a n t n e, surgindo à distância sem contato direto de corpos, e contato, que surgem apenas quando os corpos entram em contato.

Forças distantes em mecânica incluem as forças de gravitação universal, das quais as forças de gravidade terrestre são estudadas em biomecânica, manifestadas em gravidade . As forças de contato incluem forças elásticas e forças de atrito .

De acordo com a influência no movimento, as forças são distinguidas a k t i v n e(ou dado) e reações de ligação. Lembramos que conexões são restrições ao movimento de um objeto realizado por outros corpos. A força com que a conexão se opõe ao movimento é a reação da conexão. Não é conhecido de antemão e depende da ação de outras forças sobre o corpo e do movimento do próprio corpo.

As reações de acoplamento em si não causam movimento, apenas neutralizam as forças ativas ou as equilibram. Se as reações de conexão não equilibram as forças ativas, então o movimento começa sob a ação das últimas.

De acordo com a fonte de ocorrência relativa ao sistema (por exemplo, o corpo humano), as forças são distinguidas em e s h n i e, causada pela ação de corpos externos ao sistema, e interno, causados ​​por interações dentro do sistema. Essa divisão é necessária ao determinar as possibilidades de ação de certas forças. Uma e a mesma força deve ser considerada externa ou interna, dependendo do objeto em relação ao qual a consideramos.

Por meio de aplicação forças na mecânica dividido por focado aplicado ao corpo em um ponto, e distribuído. Estes últimos são divididos em superfície e massa.

Pela natureza da força, existem constantes e variáveis. NO Um exemplo de força constante é a força da gravidade (em um determinado ponto da Terra). A mesma força pode variar dependendo de várias condições. Na prática, no movimento de uma pessoa, forças constantes quase nunca são encontradas. Todas as forças são variáveis. Eles mudam dependendo do tempo (um músculo muda a força de tração ao longo do tempo), distância (em diferentes pontos da Terra, até a "força constante" da gravidade é diferente), velocidade (a resistência do ambiente depende da velocidade relativa de o corpo e o ambiente).

Como a interação do corpo humano com o ambiente externo, causada pelos movimentos das partes do corpo, é especialmente importante na biomecânica, as forças externas e internas relativas ao sistema (corpo humano) serão consideradas em detalhes. A interação de objetos físicos é a principal razão para a mudança nos movimentos. Por isso, a medida de interação - força - recebe atenção especial na biomecânica.

Momento de poder

Um momento de força é uma medida da ação mecânica capaz de girar um corpo (uma medida da ação de rotação de uma força). É determinado numericamente pelo produto do módulo de força e seu ombro (a distância do centro do momento1 até a linha de ação da força):

O momento da força tem um sinal de mais se a força transmitir rotação no sentido anti-horário e um sinal de menos se estiver na direção oposta.

A capacidade rotacional de uma força se manifesta na criação, mudança ou término do movimento rotacional.

Momento de força polar(momento de uma força em relação a um ponto) pode ser definido para qualquer força em torno desse ponto (O) (o centro do momento). Se a distância da linha de ação da força ao ponto escolhido é zero, então o momento da força é zero. Portanto, uma força assim colocada não tem poder rotacional em torno desse centro. Área retangular (Fd) numericamente igual ao módulo do momento da força.

Quando vários momentos de força são aplicados a um corpo, eles podem ser reduzidos a um momento - o momento principal.

Para determinar o vetor do momento da força1, você precisa saber: a) módulo de momento(o produto do módulo de força em seu ombro); b) plano de rotação(passa pela linha de ação da força e pelo centro do momento) e c) sentido de rotação neste aviões.

Momento de força axial(momento de força em relação ao eixo) pode ser definido para qualquer força, exceto coincidindo com o eixo, paralelo a ele ou cruzando-o. Em outras palavras, a força e o eixo não devem estar no mesmo plano.

Aplicar medição estática um momento de força se é equilibrado por um momento de outra força situada no mesmo plano, igual em valor absoluto e oposta em direção, em relação ao mesmo centro do momento (por exemplo, quando uma alavanca está em equilíbrio). Os momentos de gravidade das ligações em relação às suas articulações proximais são chamados momentos estáticos de links.

Aplicar medição dinâmica momento da força, se o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação e sua aceleração angular são conhecidos. Assim como as forças, os momentos das forças em relação ao centro podem ser condução e travagem, e, portanto, equilibrando, acelerando e desacelerando. O momento da força pode ser desviante- desvia o plano de rotação no espaço.

Em todas as acelerações, surgem forças de inércia: em acelerações normais - forças de inércia centrífugas, em acelerações tangenciais (positivas ou negativas) - forças de inércia tangenciais. A força centrífuga de inércia é direcionada ao longo do raio de rotação e não tem momento em relação ao centro de rotação. A força tangencial de inércia é aplicada a um elo sólido no centro de suas oscilações. Assim, há momento de inércia sobre o eixo de rotação.

Ação de força

MOMENTO DE INÉRCIA I do corpo em relação a um ponto, eixo ou plano é a soma dos produtos da massa dos pontos do corpo m i , pelos quadrados de suas distâncias r i ao ponto, eixo ou plano:

O momento de inércia de um corpo em torno de um eixo é uma medida da inércia de um corpo em rotação em torno desse eixo.

O momento de inércia de um corpo também pode ser expresso em termos da massa M do corpo e seu raio de giração r:

MOMENTOS DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AOS EIXOS, PLANOS E A ORIGEM DAS COORDENADAS CARTESIS.

Momento de inércia em relação à origem (momento de inércia polar):

RELAÇÃO ENTRE MOMENTOS DE INÉRCIA AXIAL, PLANO E POLAR:

Os valores dos momentos de inércia axiais de alguns corpos geométricos são dados na Tabela. 1.

Tabela 1. Momento de inércia de alguns corpos

figura ou corpo
	Com c→0, uma placa retangular é obtida

MUDANDO OS MOMENTOS DE INÉRCIA QUANDO O EIXO É MUDADO

Momento de inércia I u 1 em torno do eixo u 1 paralelo ao eixo u dado (Fig. 1):

onde I u é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo u; l (l 1) - distância do eixo u (do eixo u 1) ao eixo u paralelo a eles, passando pelo centro de massa do corpo; a é a distância entre os eixos u e u 1 .

Imagem 1.

Se o eixo u é central (l = 0), então

isto é, para qualquer grupo de eixos paralelos, o momento de inércia em relação ao eixo central é o menor.

Momento de inércia I u em relação ao eixo u, fazendo ângulos α, β, γ com os eixos das coordenadas cartesianas x, y, z (Fig. 2):

Figura 2.

Os eixos x, y, z são os principais, se

O momento de inércia em torno do eixo u, que faz ângulos α, β, γ com os eixos principais de inércia x, y, z:

MUDANÇA NOS MOMENTOS CENTRÍFUGOS DE INÉRCIA DURANTE A TRANSFERÊNCIA DE EIXO PARALELO:

onde é o momento de inércia centrífugo em relação aos eixos centrais x c, y c, paralelos aos eixos x, y; M - peso corporal; x s, y s - coordenadas do centro de massa no sistema de eixos x, y.

MUDANÇA DO MOMENTO DE INÉRCIA CENTRÍFUGA DURANTE A ROTAÇÃO DO EIXO x, y EM TORNO DO EIXO z PELO ÂNGULO α À POSIÇÃO x 1 y 1(Fig. 3):

Figura 3

DETERMINAÇÃO DA POSIÇÃO DOS EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA. O eixo de simetria material do corpo é o principal eixo de inércia do corpo.

Se o plano xOz é o plano de simetria material do corpo, então qualquer um dos eixos y é o eixo principal de inércia do corpo.

Se a posição de um dos eixos principais z ch é conhecida, então a posição dos outros dois eixos x ch e y ch é determinada pela rotação dos eixos x e y em torno do eixo z ch por um ângulo φ (Fig. 3):

ELIPSOIDE E PARALELEPIPEADO DE INÉRCIA. Um elipsóide de inércia é um elipsóide cujos eixos de simetria coincidem com os eixos centrais principais do corpo x main, y main, z main, e os semieixos a x, a y e z são iguais, respectivamente:

onde r уО z , r x Oz , r xOy são os raios de inércia do corpo em relação aos principais planos de inércia.

Um paralelepípedo de inércia é um paralelepípedo descrito em torno de um elipsóide de inércia e com eixos de simetria comuns a ele (Fig. 4).

Figura 4

REDUÇÃO (TROCA PARA SIMPLIFICAR O CÁLCULO) DE UM CORPO RÍGIDO COM MASSAS PONTAS. Ao calcular os momentos de inércia axial, planar, centrífugo e polar, um corpo de massa M pode ser reduzido por oito massas concentradas M/8 localizadas nos vértices do paralelepípedo de inércia. Os momentos de inércia em relação a quaisquer eixos, planos, pólos são calculados pelas coordenadas dos vértices do paralelepípedo de inércia x i , y i , z i (i=1, 2, ..., 8) de acordo com as fórmulas:

DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE MOMENTOS DE INÉRCIA

1. Determinação dos momentos de inércia de corpos de revolução usando a equação diferencial de rotação - veja as fórmulas ("Movimento de rotação de um corpo rígido").

O corpo em estudo é fixado no eixo horizontal x, coincidindo com seu eixo de simetria, e é girado em torno dele com a ajuda de uma carga P presa a um fio flexível enrolado ao redor do corpo em estudo (Fig. 5), enquanto o corpo em estudo é é medido o tempo t de descida da carga até uma altura h. Para eliminar a influência do atrito nos pontos de fixação do corpo no eixo x, o experimento é realizado várias vezes em diferentes valores do peso da carga P.

Figura 5

Em dois experimentos com cargas P 1 e P 2

2. Determinação experimental dos momentos de inércia dos corpos através do estudo das oscilações de um pêndulo físico (ver 2.8.3) .

O corpo em estudo é fixado no eixo horizontal x (não central) e é medido o período de pequenas oscilações em torno deste eixo T. O momento de inércia em torno do eixo x é determinado pela fórmula

onde P - peso corporal; l 0 - distância do eixo de rotação ao centro de massa C do corpo.

O momento de inércia de um corpo (sistema) em relação a um dado eixo Oz (ou momento de inércia axial) é um valor escalar diferente da soma dos produtos das massas de todos os pontos do corpo (sistema) e o quadrados de suas distâncias a partir deste eixo:

Segue-se da definição que o momento de inércia de um corpo (ou sistema) em relação a qualquer eixo é uma quantidade positiva e não igual a zero.

Mais tarde será mostrado que o momento de inércia axial desempenha o mesmo papel durante o movimento de rotação do corpo que a massa durante o movimento de translação, ou seja, que o momento de inércia axial é uma medida da inércia do corpo durante o movimento de rotação.

De acordo com a fórmula (2), o momento de inércia de um corpo é igual à soma dos momentos de inércia de todas as suas partes em torno do mesmo eixo. Para um ponto material localizado a uma distância h do eixo, . A unidade de medida do momento de inércia no SI será 1 kg (no sistema MKGSS -).

Para calcular os momentos de inércia axiais, as distâncias dos pontos aos eixos podem ser expressas em termos das coordenadas desses pontos (por exemplo, será o quadrado da distância ao eixo Ox, etc.).

Então os momentos de inércia em relação aos eixos serão determinados pelas fórmulas:

Muitas vezes, no decorrer dos cálculos, é usado o conceito de raio de giração. O raio de giração de um corpo em relação a um eixo é uma grandeza linear determinada pela igualdade

onde M é a massa do corpo. Segue-se da definição que o raio de inércia é geometricamente igual à distância do eixo do ponto em que a massa de todo o corpo deve ser concentrada, de modo que o momento de inércia desse ponto é igual ao momento de inércia. de todo o corpo.

Conhecendo o raio de inércia, é possível encontrar o momento de inércia do corpo usando a fórmula (4) e vice-versa.

As fórmulas (2) e (3) são válidas tanto para um corpo rígido quanto para qualquer sistema de pontos materiais. No caso de um corpo sólido, dividindo-o em partes elementares, verificamos que no limite a soma em igualdade (2) se transforma em integral. Como resultado, dado que onde é a densidade e V é o volume, temos

A integral aqui se estende a todo o volume V do corpo, e a densidade e a distância h dependem das coordenadas dos pontos do corpo. Da mesma forma, as fórmulas (3) para corpos sólidos terão a forma

As fórmulas (5) e (5) são convenientes para o cálculo dos momentos de inércia de corpos homogêneos de forma regular. Nesse caso, a densidade será constante e sairá abaixo do sinal de integral.

Vamos encontrar os momentos de inércia de alguns corpos homogêneos.

1. Uma haste fina e homogênea de comprimento l e massa M. Calculemos seu momento de inércia em relação ao eixo perpendicular à haste e passando por sua extremidade A (Fig. 275). Vamos direcionar o eixo de coordenadas ao longo de AB Então, para qualquer segmento elementar de comprimento d, o valor é , e a massa é , onde é a massa de uma unidade de comprimento da barra. Como resultado, a fórmula (5) fornece

Substituindo aqui seu valor, finalmente encontramos

2. Um anel fino redondo homogêneo com raio R e massa M. Vamos encontrar seu momento de inércia em torno do eixo perpendicular ao plano do anel e passando pelo seu centro C (Fig. 276).

Como todos os pontos do anel estão a uma distância do eixo, a fórmula (2) dá

Portanto, para o anel

Obviamente, o mesmo resultado será obtido para o momento de inércia de uma casca cilíndrica fina com massa M e raio R em torno de seu eixo.

3. Placa redonda homogênea ou cilindro com raio R e massa M. Calculemos o momento de inércia da placa redonda em torno do eixo perpendicular à placa e passando pelo seu centro (ver Fig. 276). Para fazer isso, selecionamos um anel elementar com raio e largura (Fig. 277, a). A área deste anel é , e a massa é onde está a massa por unidade de área da placa. Então, de acordo com a fórmula (7), para o anel elementar selecionado e para toda a placa