\[(\Large(\text(Ângulos centrais e inscritos)))\]

Definições

Um ângulo central é um ângulo cujo vértice está no centro do círculo.

Um ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice está em um círculo.

A medida em grau de um arco de círculo é a medida em grau do ângulo central que o subentende.

Teorema

A medida do grau de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do grau do arco sobre o qual ele repousa.

Prova

Faremos a prova em duas etapas: primeiro, provaremos a validade da afirmação para o caso em que um dos lados do ângulo inscrito contém um diâmetro. Seja o ponto \(B\) o vértice do ângulo inscrito \(ABC\) e \(BC\) o diâmetro do círculo:

O triângulo \(AOB\) é isósceles, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) é externo, então \(\ângulo AOC = \ângulo OAB + \ângulo ABO = 2\ângulo ABC\), onde \(\ângulo ABC = 0,5\cdot\ângulo AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Agora considere um ângulo inscrito arbitrário \(ABC\) . Vamos desenhar o diâmetro do círculo \(BD\) a partir do vértice do ângulo inscrito. Há duas possibilidades:

1) o diâmetro corta o ângulo em dois ângulos \(\angle ABD, \angle CBD\) (para cada um dos quais o teorema é verdadeiro como provado acima, portanto também é verdadeiro para o ângulo original, que é a soma destes dois e, portanto, igual à metade da soma dos arcos sobre os quais repousam, ou seja, igual à metade do arco sobre o qual assentam). Arroz. 1.

2) o diâmetro não cortou o ângulo em dois ângulos, então temos mais dois novos ângulos inscritos \(\ângulo ABD, \ângulo CBD\), cujo lado contém o diâmetro, portanto, o teorema é verdadeiro para eles, então é também é verdadeiro para o ângulo original (que é igual à diferença desses dois ângulos, o que significa que é igual à meia diferença dos arcos sobre os quais repousam, ou seja, igual à metade do arco sobre o qual repousa) . Arroz. 2.

Consequências

1. Os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são iguais.

2. Um ângulo inscrito subentendido por um semicírculo é um ângulo reto.

3. Um ângulo inscrito é igual à metade do ângulo central subentendido pelo mesmo arco.

\[(\Large(\text(Tangente ao círculo)))\]

Definições

Existem três tipos de posições relativas de uma linha e de um círculo:

1) a linha reta \(a\) cruza o círculo em dois pontos. Tal linha é chamada de linha secante. Neste caso, a distância \(d\) do centro do círculo à reta é menor que o raio \(R\) do círculo (Fig. 3).

2) a linha reta \(b\) cruza o círculo em um ponto. Tal linha é chamada de tangente, e seu ponto comum \(B\) é chamado de ponto de tangência. Neste caso \(d=R\) (Fig. 4).

Teorema

1. Uma tangente a um círculo é perpendicular ao raio traçado até o ponto de tangência.

2. Se uma linha passa pela extremidade do raio de um círculo e é perpendicular a esse raio, então ela é tangente ao círculo.

Consequência

Os segmentos tangentes desenhados de um ponto a um círculo são iguais.

Prova

Vamos desenhar duas tangentes \(KA\) e \(KB\) ao círculo a partir do ponto \(K\):

Isso significa que \(OA\perp KA, OB\perp KB\) são como raios. Os triângulos retângulos \(\triangle KAO\) e \(\triangle KBO\) são iguais em perna e hipotenusa, portanto, \(KA=KB\) .

Consequência

O centro do círculo \(O\) está na bissetriz do ângulo \(AKB\) formado por duas tangentes traçadas a partir do mesmo ponto \(K\) .

\[(\Large(\text(Teoremas relacionados a ângulos)))\]

Teorema sobre o ângulo entre secantes

O ângulo entre duas secantes traçadas a partir do mesmo ponto é igual à meia diferença nas medidas de graus dos arcos maiores e menores que elas cortam.

Prova

Seja \(M\) o ponto a partir do qual são desenhadas duas secantes, conforme mostrado na figura:

Vamos mostrar isso \(\ângulo DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\ângulo DAB\) é o ângulo externo do triângulo \(MAD\), então \(\ângulo DAB = \ângulo DMB + \ângulo MDA\), onde \(\ângulo DMB = \ângulo DAB - \ângulo MDA\), mas os ângulos \(\angle DAB\) e \(\angle MDA\) estão inscritos, então \(\ângulo DMB = \ângulo DAB - \ângulo MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), que era o que precisava ser comprovado.

Teorema sobre o ângulo entre cordas que se cruzam

O ângulo entre duas cordas que se cruzam é ​​igual à metade da soma das medidas dos graus dos arcos que elas cortam: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Prova

\(\ângulo BMA = \ângulo CMD\) como vertical.

Do triângulo \(AMD\) : \(\ângulo AMD = 180^\circ - \ângulo BDA - \ângulo CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Mas \(\ângulo AMD = 180^\circ - \ângulo CMD\), do qual concluímos que \[\ângulo CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ sorria\para(CD)).\]

Teorema sobre o ângulo entre uma corda e uma tangente

O ângulo entre a tangente e a corda que passa pelo ponto de tangência é igual à metade da medida do grau do arco subtendido pela corda.

Prova

Deixe a linha reta \(a\) tocar o círculo no ponto \(A\), \(AB\) é a corda deste círculo, \(O\) é seu centro. Deixe a linha contendo \(OB\) cruzar \(a\) no ponto \(M\) . Vamos provar isso \(\ângulo BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Vamos denotar \(\angle OAB = \alpha\) . Como \(OA\) e \(OB\) são raios, então \(OA = OB\) e \(\ângulo OBA = \ângulo OAB = \alfa\). Por isso, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Como \(OA\) é o raio traçado até o ponto tangente, então \(OA\perp a\), ou seja, \(\angle OAM = 90^\circ\), portanto, \(\ângulo BAM = 90^\circ - \ângulo OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Teorema sobre arcos subtendidos por cordas iguais

Acordes iguais subentendem arcos iguais menores que semicírculos.

E vice-versa: arcos iguais são subtendidos por cordas iguais.

Prova

1) Seja \(AB=CD\) . Vamos provar que os semicírculos menores do arco .

Em três lados, portanto, \(\angle AOB=\angle COD\) . Mas porque \(\angle AOB, \angle COD\) - ângulos centrais suportados por arcos \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) consequentemente, então \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Se \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Que \(\triângulo AOB=\triângulo COD\) em dois lados \(AO=BO=CO=DO\) e o ângulo entre eles \(\angle AOB=\angle COD\) . Portanto, e \(AB=CD\) .

Teorema

Se o raio corta a corda ao meio, então é perpendicular a ela.

O inverso também é verdadeiro: se o raio é perpendicular à corda, então no ponto de intersecção ele a divide ao meio.

Prova

1) Seja \(AN=NB\) . Vamos provar que \(OQ\perp AB\) .

Considere \(\triangle AOB\) : é isósceles, porque \(OA=OB\) – raios do círculo. Porque \(ON\) é a mediana desenhada até a base, então também é a altura, portanto, \(ON\perp AB\) .

2) Seja \(OQ\perp AB\) . Vamos provar que \(AN=NB\) .

Da mesma forma, \(\triangle AOB\) é isósceles, \(ON\) é a altura, portanto, \(ON\) é a mediana. Portanto, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Teoremas relacionados aos comprimentos dos segmentos)))\]

Teorema sobre o produto de segmentos de acordes

Se duas cordas de um círculo se cruzam, então o produto dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra corda.

Prova

Deixe os acordes \(AB\) e \(CD\) se cruzarem no ponto \(E\) .

Considere os triângulos \(ADE\) e \(CBE\) . Nestes triângulos, os ângulos \(1\) e \(2\) são iguais, pois estão inscritos e repousam no mesmo arco \(BD\), e os ângulos \(3\) e \(4\) são iguais como verticais. Os triângulos \(ADE\) e \(CBE\) são semelhantes (com base no primeiro critério de similaridade de triângulos).

Então \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), do qual \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teorema da tangente e da secante

O quadrado de um segmento tangente é igual ao produto de uma secante pela sua parte externa.

Prova

Deixe a tangente passar pelo ponto \(M\) e toque o círculo no ponto \(A\) . Deixe a secante passar pelo ponto \(M\) e cruzar o círculo nos pontos \(B\) e \(C\) de modo que \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Considere os triângulos \(MBA\) e \(MCA\) : \(\angle M\) é comum, \(\ângulo BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). De acordo com o teorema sobre o ângulo entre uma tangente e uma secante, \(\ângulo BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \ângulo BCA\). Assim, os triângulos \(MBA\) e \(MCA\) são semelhantes em dois ângulos.

Da semelhança dos triângulos \(MBA\) e \(MCA\) temos: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), que é equivalente a \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Consequência

O produto de uma secante desenhada a partir do ponto \(O\) pela sua parte externa não depende da escolha da secante desenhada a partir do ponto \(O\) .

Na maioria das vezes, o processo de preparação para o Exame Estadual Unificado em matemática começa com uma repetição de definições básicas, fórmulas e teoremas, inclusive sobre o tema “Ângulos centrais e inscritos em um círculo”. Via de regra, esta seção da planimetria é estudada no ensino médio. Não é de surpreender que muitos alunos se deparem com a necessidade de revisar conceitos e teoremas básicos sobre o tema “Ângulo Central de um Círculo”. Tendo entendido o algoritmo para resolver tais problemas, os alunos poderão contar com o recebimento de notas competitivas com base nos resultados da aprovação no exame estadual unificado.

Como se preparar de maneira fácil e eficaz para passar no teste de certificação?

Ao estudar antes de passar no exame estadual unificado, muitos alunos do ensino médio se deparam com o problema de encontrar as informações necessárias sobre o tema “Ângulos centrais e inscritos em um círculo”. Nem sempre há um livro escolar à mão. E procurar fórmulas na Internet às vezes leva muito tempo.

Nosso portal educacional irá ajudá-lo a “aumentar” suas habilidades e melhorar seu conhecimento em uma seção tão difícil da geometria como a planimetria. “Shkolkovo” oferece aos alunos do ensino médio e seus professores uma nova forma de construir o processo de preparação para o exame estadual unificado. Todo o material básico é apresentado pelos nossos especialistas da forma mais acessível. Depois de ler as informações da seção “Fundamentação Teórica”, os alunos aprenderão quais propriedades possui o ângulo central de um círculo, como encontrar seu valor, etc.

Depois, para consolidar os conhecimentos adquiridos e as competências práticas, recomendamos a realização de exercícios adequados. Uma grande variedade de tarefas para encontrar o tamanho de um ângulo inscrito em um círculo e outros parâmetros é apresentada na seção “Catálogo”. Para cada exercício, nossos especialistas escreveram uma solução detalhada e indicaram a resposta correta. A lista de tarefas do site é constantemente complementada e atualizada.

Alunos do ensino médio podem se preparar para o Exame de Estado Unificado praticando exercícios, por exemplo, para encontrar a magnitude de um ângulo central e o comprimento de um arco de círculo, online, de qualquer região da Rússia.

Se necessário, a tarefa concluída pode ser salva na seção “Favoritos” para voltar a ela posteriormente e analisar novamente o princípio de sua solução.

CÍRCULO E CÍRCULO. CILINDRO.

§ 76. INSCRITOS E ALGUNS OUTROS ÂNGULOS.

1. Ângulo inscrito.

Um ângulo cujo vértice está em um círculo e cujos lados são cordas é chamado de ângulo inscrito.

O ângulo ABC é um ângulo inscrito. Apoia-se no arco AC, encerrado entre seus lados (Fig. 330).

Teorema. Um ângulo inscrito é medido pela metade do arco ao qual ele subtende.

Isto deve ser entendido desta forma: um ângulo inscrito contém tantos graus angulares, minutos e segundos quantos graus, minutos e segundos de arco contidos na metade do arco sobre o qual ele repousa.

Ao provar este teorema, três casos devem ser considerados.

Primeiro caso. O centro do círculo fica ao lado do ângulo inscrito (Fig. 331).

Deixar / ABC é um ângulo inscrito e o centro do círculo O está no lado BC. É necessário provar que é medido pela metade do arco AC.

Vamos conectar o ponto A ao centro do círculo. Obtemos um isósceles /\ AOB, em que
AO = OB, como os raios do mesmo círculo. Por isso, / UMA = / EM. / AOC é externo ao triângulo AOB, portanto / COA = / UM+ / B (§ 39, parágrafo 2), e como os ângulos A e B são iguais, então / B é 1/2 / COA.

Mas / AOC é medido pelo arco AC, portanto, / B é medido pela metade do arco AC.

Por exemplo, se o AC contiver 60° 18", então / B contém 30°9".

Segundo caso. O centro do círculo fica entre os lados do ângulo inscrito (Fig. 332).

Deixar / ABD - ângulo inscrito. O centro do círculo O está entre seus lados. É necessário provar que / ABD é medido pela metade do arco AD.

Para provar isso, vamos desenhar o diâmetro do sol. O ângulo ABD é dividido em dois ângulos: / 1 e / 2.

/ 1 é medido por meio arco AC, e / 2 é medido pela metade do arco CD, portanto todo o / ABD é medido por 1/2 AC + 1/2 CD, ou seja, metade do arco AD.
Por exemplo, se AD contém 124°, então / B contém 62°.

Terceiro caso. O centro do círculo fica fora do ângulo inscrito (Fig. 333).

Deixar / MAD - ângulo inscrito. O centro do círculo O está fora do canto. É necessário provar que / MAD é medido pela metade do arco MD.

Para provar isso, vamos desenhar o diâmetro AB. / LOUCO = / MAV- / DAB. Mas / O MAV é medido em 1/2 MV e / DAB é medido como 1/2 DB. Por isso, / MAD é medido
1/2 (MB - DB), ou seja, 1/2 MD.
Por exemplo, se MD contiver 48° 38"16", então / MAD contém 24° 19" 8".

Consequências. 1. Todos os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são iguais entre si, pois são medidos pela metade do mesmo arco (Figura 334, a).

2. Um ângulo inscrito subentendido por um diâmetro é um ângulo reto, pois subentende um semicírculo. Meio círculo contém 180 graus de arco, o que significa que o ângulo baseado no diâmetro contém 90 graus de arco (Fig. 334, b).

2. O ângulo formado por uma tangente e uma corda.

Teorema. O ângulo formado por uma tangente e uma corda é medido pela metade do arco encerrado entre seus lados.

Deixar / CAB é composto pela corda CA e pela tangente AB (Fig. 335). É necessário comprovar que é medido pela metade do SA. Vamos traçar uma linha reta CD passando pelo ponto C || AB. Inscrito / ACD é medido pela metade do arco AD, mas AD = CA, pois estão contidos entre a tangente e a corda paralela a ela. Por isso, / DCA é medido pela metade do arco de CA. Desde isso / CAB = / DCA, então é medido pela metade do arco CA.

Exercícios.

1. No desenho 336, encontre as tangentes ao círculo dos blocos.

2. Conforme desenho 337, prove que o ângulo ADC é medido pela metade da soma dos arcos AC e BC.

3. Usando o desenho 337, b, prove que o ângulo AMB é medido pela meia diferença dos arcos AB e CE.

4. Usando um triângulo de desenho, desenhe uma corda através do ponto A, que fica dentro do círculo, de modo que ela se divida ao meio no ponto A.

5. Usando um triângulo de desenho, divida o arco em 2, 4, 8... partes iguais.

6. Descreva um círculo que passa por dois pontos determinados com um determinado raio. Quantas soluções o problema tem?

7. Quantos círculos podem ser traçados através de um determinado ponto?

A planimetria é um ramo da geometria que estuda as propriedades das figuras planas. Isso inclui não apenas os conhecidos triângulos, quadrados e retângulos, mas também linhas retas e ângulos. Na planimetria, também existem conceitos como ângulos em um círculo: centrais e inscritos. Mas o que eles significam?

O que é um ângulo central?

Para entender o que é um ângulo central, você precisa definir um círculo. Um círculo é o conjunto de todos os pontos equidistantes de um determinado ponto (o centro do círculo).

É muito importante distingui-lo de um círculo. Você precisa lembrar que um círculo é uma linha fechada e um círculo é parte de um plano delimitado por ela. Um polígono ou um ângulo podem ser inscritos em um círculo.

Um ângulo central é um ângulo cujo vértice coincide com o centro do círculo e cujos lados interceptam o círculo em dois pontos. O arco que um ângulo limita por seus pontos de intersecção é chamado de arco sobre o qual repousa o ângulo dado.

Vejamos o exemplo nº 1.

Na figura, o ângulo AOB é central, porque o vértice do ângulo e o centro do círculo são um ponto O. Ele repousa no arco AB, que não contém o ponto C.

Como um ângulo inscrito difere de um ângulo central?

Porém, além dos ângulos centrais, também existem ângulos inscritos. Qual é a diferença deles? Assim como o ângulo central, o ângulo inscrito no círculo repousa sobre um determinado arco. Mas seu vértice não coincide com o centro do círculo, mas fica sobre ele.

Vejamos o seguinte exemplo.

O ângulo ACB é chamado de ângulo inscrito em um círculo com centro no ponto O. O ponto C pertence ao círculo, ou seja, está nele. O ângulo repousa no arco AB.

Para lidar com sucesso com problemas de geometria, não basta ser capaz de distinguir entre ângulos inscritos e ângulos centrais. Via de regra, para resolvê-los é preciso saber exatamente como encontrar o ângulo central de um círculo e saber calcular seu valor em graus.

Portanto, o ângulo central é igual à medida do grau do arco sobre o qual ele repousa.

Na figura, o ângulo AOB repousa sobre o arco AB igual a 66°. Isso significa que o ângulo AOB também é 66°.

Assim, os ângulos centrais subtendidos por arcos iguais são iguais.

Na figura, o arco DC é igual ao arco AB. Isso significa que o ângulo AOB é igual ao ângulo DOC.

Pode parecer que o ângulo inscrito no círculo seja igual ao ângulo central, que repousa no mesmo arco. No entanto, este é um erro grave. Na verdade, apenas olhando o desenho e comparando esses ângulos entre si, você pode perceber que suas medidas de graus terão valores diferentes. Então, qual é o ângulo inscrito em um círculo?

A medida do grau de um ângulo inscrito é igual à metade do arco sobre o qual ele repousa, ou à metade do ângulo central se eles repousam sobre o mesmo arco.

Vejamos um exemplo. O ângulo ASV repousa sobre um arco igual a 66°.

Isso significa ângulo ACB = 66°: 2 = 33°

Vamos considerar algumas consequências deste teorema.

• Os ângulos inscritos, se forem baseados no mesmo arco, corda ou arcos iguais, são iguais.
• Se ângulos inscritos repousam sobre uma corda, mas seus vértices estão em lados opostos dela, a soma das medidas de graus de tais ângulos é 180°, pois neste caso ambos os ângulos repousam sobre arcos cujas medidas de graus somam 360° (o círculo inteiro) , 360°: 2 = 180°
• Se um ângulo inscrito é baseado no diâmetro de um determinado círculo, sua medida de grau é 90°, pois o diâmetro subtende um arco igual a 180°, 180°: 2 = 90°
• Se os ângulos central e inscrito em um círculo repousam no mesmo arco ou corda, então o ângulo inscrito é igual à metade do central.

Onde podem ser encontrados problemas neste tópico? Seus tipos e soluções

Como o círculo e suas propriedades são uma das seções mais importantes da geometria, da planimetria em particular, os ângulos inscritos e centrais em um círculo são um tema amplamente estudado e detalhado no curso escolar. Os problemas dedicados às suas propriedades são encontrados no exame estadual principal (OGE) e no exame estadual unificado (USE). Via de regra, para resolver esses problemas você precisa encontrar os ângulos de um círculo em graus.

Ângulos baseados em um arco

Este tipo de problema é talvez um dos mais fáceis, pois para resolvê-lo é necessário conhecer apenas duas propriedades simples: se ambos os ângulos estão inscritos e baseados na mesma corda, são iguais, se um deles é central, então o correspondente ângulo inscrito é igual à metade dele. Porém, ao resolvê-los é preciso ter muito cuidado: às vezes é difícil perceber essa propriedade e os alunos chegam a um beco sem saída na hora de resolver problemas tão simples. Vejamos um exemplo.

Tarefa nº 1

Dado um círculo com centro no ponto O. O ângulo AOB é 54°. Encontre a medida em graus do ângulo ASV.

Esta tarefa é resolvida em uma ação. A única coisa que você precisa para encontrar a resposta rapidamente é perceber que o arco no qual ambos os ângulos repousam é comum. Tendo visto isso, você pode aplicar uma propriedade já familiar. O ângulo ACB é igual à metade do ângulo AOB. Significa,

1) AOB = 54°: 2 = 27°.

Resposta: 54°.

Ângulos subtendidos por diferentes arcos do mesmo círculo

Às vezes, as condições do problema não indicam diretamente o tamanho do arco sobre o qual repousa o ângulo desejado. Para calculá-lo, é necessário analisar a magnitude desses ângulos e compará-los com as propriedades conhecidas do círculo.

Problema 2

Em um círculo com centro no ponto O, o ângulo AOC é 120° e o ângulo AOB é 30°. Encontre o seu ângulo.

Para começar, vale dizer que é possível resolver esse problema utilizando as propriedades dos triângulos isósceles, mas isso exigirá um número maior de operações matemáticas. Portanto, forneceremos aqui uma análise da solução utilizando as propriedades dos ângulos centrais e inscritos em um círculo.

Portanto, o ângulo AOS repousa no arco AC e é central, o que significa que o arco AC é igual ao ângulo AOS.

Da mesma forma, o ângulo AOB repousa sobre o arco AB.

Sabendo isso e a medida do grau de todo o círculo (360°), você pode facilmente encontrar a magnitude do arco BC.

BC = 360° - AC - AB

AC = 360° - 120° - 30° = 210°

O vértice do ângulo CAB, ponto A, está no círculo. Isto significa que o ângulo CAB é um ângulo inscrito e é igual à metade do arco NE.

Ângulo CAB = 210°: 2 = 110°

Resposta: 110°

Problemas baseados na relação de arcos

Alguns problemas não contêm dados sobre valores de ângulos, portanto, eles precisam ser procurados com base apenas em teoremas conhecidos e propriedades do círculo.

Problema 1

Encontre o ângulo inscrito no círculo que subtende uma corda igual ao raio do círculo dado.

Se você desenhar mentalmente linhas conectando as extremidades do segmento ao centro do círculo, obterá um triângulo. Depois de examiná-lo, você pode ver que essas linhas são os raios do círculo, o que significa que todos os lados do triângulo são iguais. Sabe-se que todos os ângulos de um triângulo equilátero são iguais a 60°. Isso significa que o arco AB que contém o vértice do triângulo é igual a 60°. A partir daqui encontramos o arco AB sobre o qual repousa o ângulo desejado.

AB = 360° - 60° = 300°

Ângulo ABC = 300°: 2 = 150°

Resposta: 150°

Problema 2

Em um círculo com centro no ponto O, os arcos estão na proporção de 3:7. Encontre o menor ângulo inscrito.

Para resolver, vamos designar uma parte como X, então um arco é igual a 3X e o segundo, respectivamente, é 7X. Sabendo que a medida do grau de uma circunferência é 360°, vamos criar uma equação.

3X + 7X = 360°

De acordo com a condição, você precisa encontrar um ângulo menor. Obviamente, se a magnitude do ângulo for diretamente proporcional ao arco sobre o qual ele se apoia, então o ângulo desejado (menor) corresponde a um arco igual a 3X.

Isso significa que o ângulo menor é (36° * 3): 2 = 108°: 2 = 54°

Resposta: 54°

Em um círculo com centro no ponto O, o ângulo AOB é 60° e o comprimento do arco menor é 50. Calcule o comprimento do arco maior.

Para calcular o comprimento de um arco maior, você precisa criar uma proporção – como o arco menor se relaciona com o maior. Para fazer isso, calculamos a magnitude de ambos os arcos em graus. O arco menor é igual ao ângulo que repousa sobre ele. Sua medida de grau será 60°. O arco maior é igual à diferença entre a medida do grau do círculo (é igual a 360° independentemente de outros dados) e o arco menor.

O arco principal é 360° - 60° = 300°.

Como 300°: 60° = 5, o arco maior é 5 vezes maior que o menor.

Arco grande = 50 * 5 = 250

Então, é claro, existem outras abordagens para resolver problemas semelhantes, mas todas elas são de alguma forma baseadas nas propriedades de ângulos centrais e inscritos, triângulos e círculos. Para resolvê-los com sucesso, você precisa estudar cuidadosamente o desenho e compará-lo com os dados do problema, além de poder aplicar seus conhecimentos teóricos na prática.

Hoje veremos outro tipo de problema 6 - desta vez com um círculo. Muitos estudantes não gostam deles e os consideram difíceis. E completamente em vão, já que tais problemas são resolvidos elementar, se você conhece alguns teoremas. Ou eles não ousam se você não os conhece.

Antes de falar sobre as propriedades principais, deixe-me lembrá-lo da definição:

Um ângulo inscrito é aquele cujo vértice está no próprio círculo e cujos lados cortam uma corda neste círculo.

Um ângulo central é qualquer ângulo com seu vértice no centro do círculo. Seus lados também cruzam esse círculo e esculpem nele uma corda.

Assim, os conceitos de ângulos inscritos e centrais estão inextricavelmente ligados ao círculo e às cordas dentro dele. E agora a afirmação principal:

Teorema. O ângulo central é sempre o dobro do ângulo inscrito, baseado no mesmo arco.

Apesar da simplicidade da afirmação, há toda uma classe de problemas 6 que podem ser resolvidos com ela - e nada mais.

Tarefa. Encontre um ângulo agudo inscrito subtendido por uma corda igual ao raio do círculo.

Seja AB a corda em consideração, O o centro do círculo. Construção adicional: OA e OB são os raios do círculo. Nós temos:

Considere o triângulo ABO. Nele AB = OA = OB - todos os lados são iguais ao raio do círculo. Portanto, o triângulo ABO é equilátero e todos os ângulos nele são 60°.

Seja M o vértice do ângulo inscrito. Como os ângulos O e M repousam no mesmo arco AB, o ângulo inscrito M é 2 vezes menor que o ângulo central O. Nós temos:

M = O: 2 = 60: 2 = 30

Tarefa. O ângulo central é 36° maior que o ângulo inscrito subentendido pelo mesmo arco de círculo. Encontre o ângulo inscrito.

Vamos introduzir a seguinte notação:

1. AB é a corda do círculo;
2. O ponto O é o centro do círculo, então o ângulo AOB é o ângulo central;
3. O ponto C é o vértice do ângulo inscrito ACB.

Como estamos procurando o ângulo inscrito ACB, vamos denotá-lo ACB = x. Então o ângulo central AOB é x + 36. Por outro lado, o ângulo central é 2 vezes o ângulo inscrito. Nós temos:

AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2x;
x = 36.

Então encontramos o ângulo inscrito AOB - é igual a 36°.

Um círculo é um ângulo de 360°

Depois de ler o subtítulo, leitores experientes provavelmente dirão: “Ugh!” Na verdade, comparar um círculo com um ângulo não é totalmente correto. Para entender do que estamos falando, dê uma olhada no clássico círculo trigonométrico:

Para que serve esta imagem? Além disso, uma rotação completa representa um ângulo de 360 ​​graus. E se você dividir, digamos, em 20 partes iguais, então o tamanho de cada uma delas será 360: 20 = 18 graus. Isto é exatamente o que é necessário para resolver o problema B8.

Os pontos A, B e C estão no círculo e o dividem em três arcos, cujas medidas de graus estão na proporção 1: 3: 5. Encontre o ângulo maior do triângulo ABC.

Primeiro, vamos encontrar a medida do grau de cada arco. Seja o menor x. Na figura este arco é designado AB. Então os arcos restantes – BC e AC – podem ser expressos em termos de AB: arco BC = 3x; CA = 5x. No total, esses arcos dão 360 graus:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Agora considere um grande arco AC que não contém o ponto B. Este arco, como o ângulo central correspondente AOC, é 5x = 5 40 = 200 graus.

O ângulo ABC é o maior de todos os ângulos de um triângulo. É um ângulo inscrito subtendido pelo mesmo arco que o ângulo central AOC. Isso significa que o ângulo ABC é 2 vezes menor que AOC. Nós temos:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Esta será a medida em graus do ângulo maior no triângulo ABC.

Círculo circunscrito a um triângulo retângulo

Muitas pessoas esquecem esse teorema. Mas em vão, porque alguns problemas do B8 não podem ser resolvidos sem ele. Mais precisamente, estão resolvidos, mas com um volume de cálculos tal que prefere adormecer a chegar à resposta.

Teorema. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo está no ponto médio da hipotenusa.

O que se segue deste teorema?

1. O ponto médio da hipotenusa é equidistante de todos os vértices do triângulo. Esta é uma consequência direta do teorema;
2. A mediana traçada até a hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos isósceles. Isto é exatamente o que é necessário para resolver o problema B8.

No triângulo ABC desenhamos a mediana CD. O ângulo C é 90° e o ângulo B é 60°. Encontre o ângulo ACD.

Como o ângulo C mede 90°, o triângulo ABC é retângulo. Acontece que CD é a mediana desenhada em relação à hipotenusa. Isso significa que os triângulos ADC e BDC são isósceles.

Em particular, considere o triângulo ADC. Nele AD = CD. Mas num triângulo isósceles, os ângulos na base são iguais - veja “Problema B8: Segmentos de reta e ângulos em triângulos”. Portanto, o ângulo desejado ACD = A.

Então, resta descobrir a que é igual o ângulo A. Para fazer isso, voltemos novamente ao triângulo ABC original. Vamos denotar o ângulo A = x. Como a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180°, temos:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Claro, o último problema pode ser resolvido de forma diferente. Por exemplo, é fácil provar que o triângulo BCD não é apenas isósceles, mas equilátero. Portanto, o ângulo BCD é de 60 graus. Portanto, o ângulo ACD é 90 − 60 = 30 graus. Como você pode ver, você pode usar diferentes triângulos isósceles, mas a resposta será sempre a mesma.