Aula e apresentação sobre o tema: "Função y=cos(x). Definição e gráfico de uma função"

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O que vamos estudar:
1. Definição.
2. Gráfico da função.
3. Propriedades da função Y=cos(X).
4. Exemplos.

Definição da função cosseno y=cos(x)

Pessoal, já conhecemos a função Y=sin(X).

Vamos lembrar uma das fórmulas fantasmas: sin(X + π/2) = cos(X).

Graças a esta fórmula, podemos afirmar que as funções sin(X + π/2) e cos(X) são idênticas e seus gráficos de funções são os mesmos.

O gráfico da função sen(X + π/2) é obtido a partir do gráfico da função sen(X) deslocando paralelamente π/2 unidades para a esquerda. Este será o gráfico da função Y=cos(X).

O gráfico da função Y=cos(X) também é chamado de senóide.

propriedades da função cos(x)

Vamos escrever as propriedades da nossa função:
• O domínio de definição é o conjunto dos números reais.
• A função é par. Vamos relembrar a definição de uma função par. Uma função é chamada mesmo que a igualdade y(-x)=y(x) seja válida. Como lembramos das fórmulas fantasmas: cos(-x)=-cos(x), a definição é cumprida, então o cosseno é uma função par.
• A função Y=cos(X) diminui no intervalo e aumenta no intervalo [π; 2π]. Podemos verificar isso no gráfico da nossa função.
• A função Y=cos(X) é limitada por baixo e por cima. Essa propriedade vem do fato de que
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• O menor valor da função é -1 (para x = π + 2πk). O maior valor da função é 1 (para x = 2πk).
• A função Y=cos(X) é uma função contínua. Vamos olhar para o gráfico e ter certeza de que nossa função não tem lacunas, o que significa continuidade.
• O intervalo de valores é o segmento [- 1; 1]. Isso também é claramente visível no gráfico.
• A função Y=cos(X) é uma função periódica. Vamos olhar o gráfico novamente e ver que a função assume os mesmos valores em alguns intervalos.

Exemplos com a função cos(x)

1. Resolva a equação cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Solução: Vamos construir 2 gráficos da função: y=cos(x) ey=(x - 2π) 2 + 1 (veja a figura).


y \u003d (x - 2π) 2 + 1 é uma parábola deslocada para a direita em 2π e para cima em 1. Nossos gráficos se cruzam em um ponto A (2π; 1), esta é a resposta: x \u003d 2π.

2. Plote a função Y=cos(X) para x ≤ 0 e Y=sin(X) para x ≥ 0

Solução: Para construir o gráfico necessário, vamos plotar dois gráficos da função peça por peça. Primeira fatia: y=cos(x) para x ≤ 0. Segunda fatia: y=sin(x)
para x ≥ 0. Vamos representar ambas as "peças" em um gráfico.

3. Encontre o maior e o menor valor da função Y=cos(X) no segmento [π; 7π/4]

Solução: Vamos construir um gráfico da função e considerar nosso segmento [π; 7π/4]. O gráfico mostra que os maiores e menores valores são alcançados nas extremidades do segmento: nos pontos π e 7π/4, respectivamente.
Resposta: cos(π) = -1 é o menor valor, cos(7π/4) = o maior valor.

4. Plote a função y=cos(π/3 - x) + 1

Solução: cos(-x)= cos(x), então o gráfico desejado será obtido movendo o gráfico da função y=cos(x) π/3 unidades para a direita e 1 unidade para cima.

Tarefas para solução independente

1) Resolva a equação: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Resolva a equação: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Plote a função y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Plote a função y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Encontre o maior e o menor valor da função y=cos(x) no segmento .
6) Encontre o maior e o menor valor da função y=cos(x) no intervalo [- π/6; 5π/4].

Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.

Tópico da lição: “Função y=cosx”

Lição 1

Objetivos da lição: apresentar aos alunos as propriedades de uma função

Lições objetivas.

Educacional - a formação de representações funcionais em material visual, a formação da capacidade de traçar gráficos da função y \u003d cosx, de formar as habilidades de leitura livre de gráficos, a capacidade de refletir as propriedades da função no gráfico.

Durante as aulas

№	Estágio da lição	Apresentação de slides	Tempo
1	Organizando o tempo. Saudações
2	Anúncio do tema e propósito da lição
3	Atualização de conhecimentos básicos Fazendo exercícios orais.	Levantamento frontal
4	Apresentação do novo material A tarefa de plotar y \u003d cosx em um segmento Discussão das propriedades da função y = cosx em um segmento A tarefa de construir um esboço do gráfico da função y \u003d cosx Discussão das propriedades da função y = cosx	Inserindo propriedades em uma tabela
5	Resolvendo problemas de acordo com o livro didático nº 708, nº 709	A decisão é acompanhada pelo slide número 4
6	A tarefa de traçar um gráfico de uma função com um deslocamento ao longo do eixo das ordenadas e ao longo do eixo das abcissas. Discussão da propriedade da função
7	Trabalho independente no livro	№710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3)
	Resumindo. Resultados da lição. Classificação.
9	Trabalho de casa	§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Construa gráficos de funções y \u003d cosx on e descreva as propriedades dessa função. Extra #717 (1)

O objetivo da lição: familiarizar os alunos com as propriedades da função y \u003d cosx, aprendendo a traçar o gráfico da função y \u003d cosx, lendo este gráfico, usando as propriedades e o gráfico da função ao resolver equações e desigualdades .

2. O anúncio do tema e objetivo da aula é acompanhado pelo slide número 2

3. Atualização do conhecimento básico

Fazendo exercícios orais.

1. Repita a definição das funções trigonométricas e os sinais dos valores dessas funções.
2. Chame a atenção dos alunos para o fato de que, para qualquer número real, você pode indicar o ponto correspondente no círculo unitário e, portanto, sua abcissa e ordenada, ou seja, cosseno e seno do número x: y \u003d cosx e y \u003d sinx, cujo domínio de definição são todos os números reais.

Em seguida, os alunos respondem às questões:

1. Em quais valores de x a função y=cosx assume um valor igual a 0? 1? -1?
2. A função y=cosx pode ter um valor maior que 1, menor que -1?
3. Em quais valores de x a função y=cosx assume o maior (menor) valor?
4. Qual é o conjunto de valores da função y=cosx?

As respostas a estas e às seguintes perguntas são acompanhadas por uma ilustração em um círculo unitário.

Tendo repetido os sinais dos valores das funções trigonométricas em cada quarto do plano coordenado, os alunos são solicitados a mostrar vários pontos do círculo unitário correspondentes a números cujo cosseno é um número positivo (negativo). Então responda às perguntas:

1) Qual é o sinal da função y \u003d cosx, se x \u003d, x \u003d,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Indique vários valores de x, nos quais os valores da função y \u003d cosx são positivos, negativos.

3) É possível nomear todos os valores​​de um número cujo cosseno é positivo, negativo?

4) É possível nomear todos os valores do argumento x para os quais os valores da função y = cosx são positivos ou negativos?

5) Função par ou ímpar y = cosx.

6) Qual é o período dessa função?

4. Apresentação de novo material.

Generalização e concretização do conhecimento obtido anteriormente: o estudo do domínio de definição, o conjunto de valores, paridade, periodicidade permite construir um gráfico primeiro no segmento, depois no segmento e depois na reta numérica inteira. A explicação é acompanhada pelo slide #3.

Em seguida, os alunos aprendem a desenhar um esboço do gráfico da função y \u003d cosx nos pontos (0; 1), (; 0),

(:-1), (;0), (;1) e generalize as propriedades da função escrevendo-as em uma tabela.

Verificamos com a ajuda do slide número 4.

(Nesta fase, são emitidas notas de apoio (Anexo 1))

5. Consolidação de conhecimentos primários.

Com a ajuda de um esboço do gráfico da função y \u003d cosx, os alunos respondem às perguntas nº 708, usando a tabela de propriedades da função y \u003d cosx, eles respondem às perguntas nº 709

6. A tarefa de traçar um gráfico de função com um deslocamento ao longo do eixo das ordenadas e ao longo do eixo das abcissas.

1. Slide número 5, 6

Durante a conversa, as propriedades dessas funções são discutidas.

7. Trabalho independente no livro didático

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Divida este segmento em dois segmentos para que a função y \u003d cosx aumente em um deles e diminua no outro:

Diminui; - aumenta

Diminui; - aumenta

Usando a propriedade crescente ou decrescente da função y \u003d cosx, compare os números:

No segmento, a função y \u003d cosx diminui; , Consequentemente, .

No segmento, a função y \u003d cosx aumenta;

<, следовательно, cos < cos

Encontre todas as raízes da equação pertencentes ao segmento:

1) cosx \u003d x \u003d ± +2 n, n Z

Responda: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Resumindo.

Classificação.

Na lição, aprendemos como representar graficamente a função y = cosx, ler as propriedades desse gráfico, construir um esboço do gráfico, resolver problemas relacionados ao uso do gráfico e as propriedades da função y = cosx.

9. Lição de casa.

§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Construa gráficos de funções y \u003d cosx on e descreva as propriedades dessa função.

Adicionalmente No. 717(1).

Tópico: “Função y=cosx”

Lição 2

Objetivos da lição: Repita as regras para construir um gráfico de uma função y \u003d cosx, aprenda a aplicar técnicas de transformação de gráficos, leia este gráfico, use as propriedades e o gráfico de uma função ao resolver equações e desigualdades.

Lições objetivas.

Educacional - a formação de representações funcionais em material visual, a formação da capacidade de traçar gráficos da função y \u003d cosx com várias transformações, para formar as habilidades de leitura livre de gráficos, a capacidade de refletir as propriedades de uma função em um gráfico.

Desenvolvimento - a formação da capacidade de analisar, generalizar o conhecimento adquirido. Formação do pensamento lógico.

Educacional - ativar o interesse em adquirir novos conhecimentos, educando uma cultura gráfica, formando precisão e exatidão ao fazer desenhos.

Equipamento: projetor multimídia, tela, sistema operacional Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Durante as aulas

№	Estágio da lição	Apresentação de slides	Tempo
1	Organizando o tempo. Saudações		1
2	Anúncio do tema e propósito da lição		2
3	Verificando a lição de casa	№717(1), Slide №7	5
4	Apresentação do novo material A tarefa de traçar um gráfico apertando e esticando para o eixo OX Discussão das propriedades da função y =k cosx para k>1 e 0 A tarefa de traçar um gráfico apertando e esticando para ori OU Discussão das propriedades da função y = cos(k x) para k>1 e 0	Slide №8, 9	12
5	Consolidação de conhecimentos primários. Resolvendo problemas no livro didático №713(1;3), №715(1) №716(1)	Livro nº 717 (2) na página 208. Ao resolver o nº 715 (1), nº 716 (1), use o gráfico construído da função y \u003d cos2x. Slide nº 10	5
6	A tarefa é traçar um gráfico de uma função que é simétrica em relação ao eixo x. 1. Momento organizacional. Saudações. 2. O anúncio do tema e objetivo da aula é acompanhado pelo slide número 2. 3. Verificando a lição de casa 4. Apresentação de novo material 1. A tarefa de traçar um gráfico apertando e esticando para o eixo OX. Discussão das propriedades da função y =k cosx para k>1 e 0 slide número 8 2. A tarefa de traçar um gráfico apertando e esticando para o eixo y. Discussão das propriedades da função y = cos(kx) para k>1 e 0 slide número 9 5. Consolidação do conhecimento primário Resolução de problemas de acordo com o livro didático nº 713 (1; 3), nº 715 (1) nº 716 (1) A tarefa nº 715 (1) nº 716 (1) é verificada usando o slide nº 10 6. A tarefa de traçar um gráfico de uma função simétrica em torno do eixo x Discussão da propriedade da função . Slide número 11 (use o esquema de referência (Apêndice 1)) 7. Trabalho independente Solução de problemas de teste . (Metade dos alunos resolvem provas em XL (Anexo 2), em computadores, a segunda metade em apostilas (Anexo 3). Em seguida, os alunos trocam de lugar.) 8. Os resultados da lição. Como resultado do estudo do tópico, os alunos aprenderam a representar graficamente a função y \u003d cosx, ler as propriedades da função, construir gráficos da função usando várias transformações, ler as propriedades dos gráficos com transformações, resolver problemas simples usando gráficos e propriedades da função y \u003d cosx. Classificação. 9. Lição de casa. §40 #717(3), #713(4), #715(4), #716(2). Adicionalmente nº 719(2) (Verifique o slide nº 13) No início da próxima lição, você pode convidar os alunos a trabalhar na construção de gráficos em folhetos prontos (

Nesta lição, consideraremos em detalhes a função y \u003d cos x, suas principais propriedades e gráfico. No início da lição, daremos a definição da função trigonométrica y \u003d custo no círculo de coordenadas e consideraremos o gráfico da função no círculo e na linha. Vamos mostrar a periodicidade dessa função no gráfico e considerar as principais propriedades da função. No final da lição, resolveremos alguns problemas simples usando o gráfico da função e suas propriedades.

Tópico: Funções trigonométricas

Lição: Função y=custo, suas principais propriedades e gráfico

Uma função é uma lei segundo a qual cada valor de um argumento independente recebe um valor único da função.

Vamos lembrar definição de função Deixar t- qualquer número real. Corresponde a um único ponto M no círculo numérico. No ponto M há apenas uma abscissa. Chama-se cosseno do número. t. Cada valor de argumento t corresponde a apenas um valor da função (Fig. 1).

O ângulo central é numericamente igual ao tamanho do arco em radianos, ou seja, number Portanto, o argumento pode ser um número real ou um ângulo em radianos.

Se pudermos determinar para cada valor, podemos representar graficamente a função

Você pode obter o gráfico da função de outra maneira. De acordo com as fórmulas de redução então o gráfico de cosseno é uma senóide deslocada ao longo do eixo x para a esquerda (Fig. 2).

Propriedades da função

1) Domínio de definição:

2) Faixa de valores:

3) A função é par:

4) O menor período positivo:

5) Coordenadas dos pontos de intersecção com o eixo das abcissas:

6) Coordenadas do ponto de intersecção com o eixo y:

7) Intervalos em que a função assume valores positivos:

8) Intervalos em que a função assume valores negativos:

9) Intervalos crescentes:

10) Intervalos decrescentes:

11) Pontos baixos:

12) Função mínima: .

13) Pontos altos:

14) Características máximas:

Consideramos as principais propriedades e o gráfico da função, que serão usados ​​na resolução de problemas.

Bibliografia

1. Álgebra e início da análise, nota 10 (em duas partes). Livro didático para instituições educacionais (nível de perfil), ed. A. G. Mordkovitch. -M.: Mnemosine, 2009.

2. Álgebra e início da análise, nota 10 (em duas partes). Livro de tarefas para instituições educacionais (nível de perfil), ed. A. G. Mordkovitch. -M.: Mnemosine, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Álgebra e análise matemática para a 10ª série (livro didático para alunos de escolas e turmas com estudo aprofundado de matemática). - M.: Educação, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Um estudo aprofundado de álgebra e análise matemática.-M.: Educação, 1997.

5. Coleção de problemas em matemática para candidatos a universidades técnicas (sob a direção de M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraic trainer.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tarefas em Álgebra e os Princípios da Análise (um manual para alunos das séries 10-11 de instituições de ensino geral).-M .: Educação, 2003.

8. Karp A.P. Coleção de problemas em álgebra e os primórdios da análise: livro didático. subsídio para 10-11 células. com um profundo estudar math.-M.: Educação, 2006.

Trabalho de casa

Álgebra e os Princípios da Análise, 10ª série (em duas partes). Livro de tarefas para instituições educacionais (nível de perfil), ed. A. G. Mordkovitch. -M.: Mnemosine, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Recursos adicionais da web

3. Portal educacional para preparação para exames ().

As principais funções trigonométricas são as funções y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Vamos considerar cada um deles separadamente.

Y = sen(x)

Gráfico da função y=sen(x).

Propriedades básicas:

3. A função é ímpar.

Y = cos(x)

Gráfico da função y=cos(x).

Propriedades básicas:

1. A área de definição é todo o eixo numérico.

2. A função é limitada. O conjunto de valores é o segmento [-1;1].

3. A função é par.

4. A função é periódica com o menor período positivo igual a 2*π.

Y = tan(x)

Gráfico da função y=tg(x).

Propriedades básicas:

1. O domínio de definição é todo o eixo numérico, com exceção dos pontos da forma x=π/2 + π*k, onde k é um número inteiro.

3. A função é ímpar.

Y = ctg(x)

Gráfico da função y=ctg(x).

Propriedades básicas:

1. O domínio de definição é todo o eixo numérico, exceto para pontos da forma x=π*k, onde k é um inteiro.

2. A função é ilimitada. O valor definido é a linha numérica inteira.

3. A função é ímpar.

4. A função é periódica com o menor período positivo igual a π.

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