Veja o que é "CONDITIONAL EXTREME" em outros dicionários:

Extremo relativo, extremo da função f (x1,..., xn + m) de n + m variáveis, assumindo que essas variáveis ​​estão sujeitas a m mais equações de acoplamento (condições): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (ver Extremo).… …

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Livros

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Definição1: Diz-se que uma função tem um máximo local em um ponto se existe uma vizinhança do ponto tal que para qualquer ponto M com coordenadas (x, y) a desigualdade é satisfeita: . Neste caso, ou seja, o incremento da função< 0.

Definição2: Diz-se que uma função tem um mínimo local em um ponto se existe uma vizinhança do ponto tal que para qualquer ponto M com coordenadas (x, y) a desigualdade é satisfeita: . Neste caso, ou seja, o incremento da função > 0.

Definição 3: Os pontos de mínimo e máximo locais são chamados pontos extremos.

Extremos Condicionais

Ao procurar extremos de uma função de muitas variáveis, muitas vezes surgem problemas relacionados aos chamados extremo condicional. Este conceito pode ser explicado pelo exemplo de uma função de duas variáveis.

Seja uma função e uma linha eu na superfície 0xy. A tarefa é alinhar eu encontrar tal ponto P(x, y), em que o valor da função é o maior ou o menor comparado aos valores desta função nos pontos da linha eu localizado próximo ao ponto P. Tais pontos P chamado pontos extremos condicionais funções de linha eu. Ao contrário do ponto extremo usual, o valor da função no ponto extremo condicional é comparado com os valores da função não em todos os pontos de algumas de suas vizinhanças, mas apenas naqueles que se encontram na linha eu.

É bastante claro que o ponto do extremo usual (dizem também extremo incondicional) também é um ponto extremo condicional para qualquer linha que passe por este ponto. A recíproca, é claro, não é verdadeira: um ponto extremo condicional pode não ser um ponto extremo convencional. Deixe-me explicar isso com um exemplo simples. O gráfico da função é o hemisfério superior (Apêndice 3 (Fig. 3)).

Esta função tem um máximo na origem; corresponde ao topo M hemisférios. Se a linha eu existe uma linha que passa pelos pontos MAS e NO(sua equação x+y-1=0), então é geometricamente claro que para os pontos desta linha o valor máximo da função é alcançado no ponto situado no meio entre os pontos MAS e NO. Este é o ponto do extremo condicional (máximo) da função na linha dada; ele corresponde ao ponto M 1 no hemisfério, e pode ser visto pela figura que não pode haver nenhum extremo ordinário aqui.

Observe que na parte final do problema de encontrar os maiores e menores valores de uma função em uma região fechada, temos que encontrar os valores extremos da função na fronteira dessa região, ou seja, em alguma linha, e assim resolver o problema para um extremo condicional.

Passemos agora à busca prática dos pontos do extremo condicional da função Z= f(x, y) desde que as variáveis ​​x e y estejam relacionadas pela equação (x, y) = 0. Esta relação será chamada de equação de restrição. Se da equação de conexão y puder ser expresso explicitamente em termos de x: y \u003d (x), obtemos uma função de uma variável Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Tendo encontrado o valor de x no qual essa função atinge um extremo e, em seguida, determinando os valores correspondentes de y a partir da equação de conexão, obteremos os pontos desejados do extremo condicional.

Assim, no exemplo acima, da equação de comunicação x+y-1=0 temos y=1-x. Daqui

É fácil verificar que z atinge seu máximo em x = 0,5; mas então da equação de conexão y = 0,5, e obtemos exatamente o ponto P, encontrado a partir de considerações geométricas.

O problema do extremo condicional é resolvido de forma muito simples mesmo quando a equação de restrição pode ser representada por equações paramétricas x=x(t), y=y(t). Substituindo as expressões para x e y nessa função, chegamos novamente ao problema de encontrar o extremo de uma função de uma variável.

Se a equação de restrição tiver uma forma mais complexa e não pudermos expressar explicitamente uma variável em termos de outra, nem substituí-la por equações paramétricas, então o problema de encontrar um extremo condicional se torna mais difícil. Continuaremos assumindo que na expressão da função z= f(x, y) a variável (x, y) = 0. A derivada total da função z= f(x, y) é igual a:

Onde é a derivada y`, encontrada pela regra de diferenciação da função implícita. Nos pontos do extremo condicional, a derivada total encontrada deve ser igual a zero; isso dá uma equação relacionando x e y. Como eles também devem satisfazer a equação de restrição, obtemos um sistema de duas equações com duas incógnitas

Vamos transformar este sistema em um muito mais conveniente escrevendo a primeira equação como uma proporção e introduzindo uma nova incógnita auxiliar:

(um sinal de menos é colocado na frente por conveniência). É fácil passar dessas igualdades para o seguinte sistema:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

que, juntamente com a equação de restrição (x, y) = 0, forma um sistema de três equações com incógnitas x, y e.

Essas equações (*) são mais fáceis de lembrar usando a seguinte regra: para encontrar pontos que podem ser pontos do extremo condicional da função

Z= f(x, y) com a equação de restrição (x, y) = 0, você precisa formar uma função auxiliar

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Onde é alguma constante, e faça equações para encontrar os pontos extremos desta função.

O sistema de equações especificado fornece, via de regra, apenas as condições necessárias, ou seja, nem todo par de valores x e y que satisfaça esse sistema é necessariamente um ponto extremo condicional. Não darei condições suficientes para pontos extremos condicionais; muitas vezes o conteúdo específico do próprio problema sugere qual é o ponto encontrado. A técnica descrita para resolver problemas para um extremo condicional é chamada de método dos multiplicadores de Lagrange.

Extremo condicional.

Extrema de uma função de várias variáveis

Método dos mínimos quadrados.

Extremo local da FNP

Deixe a função e= f(P), RÎDÌR n e deixe o ponto Р 0 ( uma 1 , uma 2 , ..., um p) –interno ponto do conjunto D.

Definição 9.4.

1) O ponto P 0 é chamado ponto máximo funções e= f(P) se existe uma vizinhança deste ponto U(P 0) Ì D tal que para qualquer ponto P( X 1 , X 2 , ..., xn)н U(P 0) , Р¹Р 0 , a condição f(P) £ f(P0). Significado f(P 0) funções no ponto máximo são chamadas função máxima e denotado f(P 0) = máx. f(P).

2) O ponto P 0 é chamado ponto mínimo funções e= f(P) se existe uma vizinhança deste ponto U(P 0)Ì D tal que para qualquer ponto P( X 1 , X 2 , ..., xn)нU(P 0), Р¹Р 0 , a condição f(P)³ f(P0). Significado f(P 0) funções no ponto mínimo são chamadas função mínima e denotado f(P 0) = min f(P).

Os pontos de mínimo e máximo de uma função são chamados pontos extremos, os valores da função nos pontos extremos são chamados função extrema.

Como segue da definição, as desigualdades f(P) £ f(P0), f(P)³ f(P 0) deve ser realizado apenas em uma determinada vizinhança do ponto P 0 , e não em todo o domínio da função, o que significa que a função pode ter vários extremos do mesmo tipo (vários mínimos, vários máximos). Portanto, os extremos definidos acima são chamados local extremos (locais).

Teorema 9.1. (condição necessária para o extremo do FNP)

Se a função e= f(X 1 , X 2 , ..., xn) tem um extremo no ponto P 0 , então suas derivadas parciais de primeira ordem neste ponto são iguais a zero ou não existem.

Prova. Seja no ponto Р 0 ( uma 1 , uma 2 , ..., um p) função e= f(P) tem um extremo, como um máximo. Vamos corrigir os argumentos X 2 , ..., xn, colocando X 2 =uma 2 ,..., xn = um p. Então e= f(P) = f 1 ((X 1 , uma 2 , ..., um p) é uma função de uma variável X 1 . Uma vez que esta função tem X 1 = uma 1 extremo (máximo), então f 1 ¢=0 ou não existe quando X 1 =uma 1 (uma condição necessária para a existência de um extremo de uma função de uma variável). Mas , então ou não existe no ponto P 0 - o ponto de extremo. Da mesma forma, podemos considerar derivadas parciais em relação a outras variáveis. CHTD.

Os pontos do domínio de uma função em que as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero ou não existem são chamados Pontos críticos esta função.

Como segue do Teorema 9.1, os pontos extremos da FNP devem ser buscados entre os pontos críticos da função. Mas, quanto a uma função de uma variável, nem todo ponto crítico é um ponto extremo.

Teorema 9.2. (condição suficiente para o extremo do FNP)

Seja Р 0 um ponto crítico da função e= f(P) e é a diferencial de segunda ordem desta função. Então

e se d 2 você(P 0) > 0 para , então Р 0 é um ponto mínimo funções e= f(P);

b) se d 2 você(P0)< 0 при , то Р 0 – точка máximo funções e= f(P);

c) se d 2 você(P 0) não é definido por sinal, então P 0 não é um ponto extremo;

Consideramos este teorema sem demonstração.

Note que o teorema não considera o caso quando d 2 você(P 0) = 0 ou não existe. Isso significa que a questão da presença de um extremo no ponto P 0 sob tais condições permanece em aberto - estudos adicionais são necessários, por exemplo, o estudo do incremento da função neste ponto.

Em cursos de matemática mais detalhados, prova-se que, em particular, para a função z = f(x,y) de duas variáveis ​​cujo diferencial de segunda ordem é uma soma da forma

o estudo da presença de um extremo no ponto crítico Р 0 pode ser simplificado.

Denote , , . Componha o determinante

.

Acontece:

d 2 z> 0 no ponto P 0 , ou seja. P 0 - ponto mínimo, se UMA(P 0) > 0 e D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если UMA(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

se D(P 0)< 0, то d 2 z nas proximidades do ponto Р 0 muda de sinal e não há extremo no ponto Р 0;

se D(Р 0) = 0, então estudos adicionais da função na vizinhança do ponto crítico Р 0 também são necessários.

Assim, para a função z = f(x,y) duas variáveis, temos o seguinte algoritmo (vamos chamá-lo de "algoritmo D") para encontrar o extremo:

1) Encontre o domínio da definição D( f) funções.

2) Encontre pontos críticos, ou seja, pontos de D( f) para os quais e são iguais a zero ou não existem.

3) Em cada ponto crítico Р 0 verifique as condições suficientes para o extremo. Para fazer isso, encontre , onde , , e calcule D(Р 0) e MAS(P 0). Então:

se D(Р 0) >0, então existe um extremo no ponto Р 0, além disso, se MAS(P 0) > 0 - então este é um mínimo, e se MAS(P 0)< 0 – максимум;

se D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Se D(Р 0) = 0, são necessários estudos adicionais.

4) Calcule o valor da função nos pontos extremos encontrados.

Exemplo 1.

Encontrar o extremo de uma função z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Decisão. O domínio desta função é todo o plano de coordenadas. Vamos encontrar os pontos críticos.

, , Þ Þ 0 (0,0) , .

Vamos verificar o cumprimento de condições extremas suficientes. Vamos encontrar

6X, = -3, = 48no e = 288hu – 9.

Então D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - existe um extremo no ponto Р 1, e como MAS(P 1) = 3 >0, então este extremo é mínimo. Então min z=z(P1) = .

Exemplo 2

Encontrar o extremo de uma função .

Solução: D( f) = R2. Pontos críticos: ; não existe em no= 0, então P 0 (0,0) é o ponto crítico desta função.

2, = 0, = , = , mas D(Р 0) não está definido, então é impossível estudar seu sinal.

Pela mesma razão, é impossível aplicar o Teorema 9.2 diretamente − d 2 z não existe neste momento.

Considere o incremento da função f(x, y) no ponto Р 0 . Se D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, então P 0 é o ponto mínimo, se D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

temos no nosso caso

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Em D x= 0,1 e D y= -0,008 obtemos D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 e D y= 0,001D f= 0,01 + 0,1 > 0, ou seja nas proximidades do ponto Р 0 nem a condição D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) e, portanto, P 0 não é um ponto de máximo), nem a condição D f>0 (ou seja, f(x, y) > f(0, 0) e então Р 0 não é um ponto mínimo). Assim, por definição de um extremo, esta função não tem extremos.

Extremo condicional.

O extremo considerado da função é chamado incondicional, já que nenhuma restrição (condição) é imposta aos argumentos da função.

Definição 9.2. Função extrema e = f(X 1 , X 2 , ... , xn), encontrado sob a condição de que seus argumentos X 1 , X 2 , ... , xn satisfazer as equações j 1 ( X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, …, j t(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, onde P ( X 1 , X 2 , ... , xn) О D( f), é chamado extremo condicional .

Equações j k(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0 , k = 1, 2,..., m, são chamados equações de conexão.

Considere as funções z = f(x,y) de duas variáveis. Se houver apenas uma equação de restrição, ou seja, , então encontrar um extremo condicional significa que o extremo é procurado não em todo o domínio da função, mas em alguma curva situada em D( f) (ou seja, nem os pontos mais altos ou mais baixos da superfície são pesquisados z = f(x,y), e os pontos mais altos ou mais baixos entre os pontos de intersecção desta superfície com o cilindro , Fig. 5).

Extremo condicional da função z = f(x,y) de duas variáveis ​​pode ser encontrado da seguinte maneira ( método de eliminação). A partir da equação, expresse uma das variáveis ​​em função da outra (por exemplo, escreva ) e, substituindo esse valor da variável na função , escreva a última em função de uma variável (no caso considerado ). Encontre o extremo da função resultante de uma variável.