X \u003d X cf X

Absoluto

erro

Relativo

erro

uma+ b

a+ b

a+ b

As grandezas físicas são caracterizadas pelo conceito de "precisão de erro". Há um ditado que diz que medindo pode-se chegar ao conhecimento. Assim será possível descobrir qual é a altura da casa ou o comprimento da rua, como muitas outras.

Introdução

Vamos entender o significado do conceito de "medir o valor". O processo de medição consiste em compará-lo com quantidades homogêneas, que são tomadas como uma unidade.

Litros são usados ​​para determinar o volume, gramas são usados ​​para calcular a massa. Para facilitar os cálculos, introduzimos o sistema SI de classificação internacional de unidades.

Para medir o comprimento do pântano em metros, massa - quilogramas, volume - litros cúbicos, tempo - segundos, velocidade - metros por segundo.

Ao calcular quantidades físicas, nem sempre é necessário usar o método tradicional, basta aplicar o cálculo por meio de uma fórmula. Por exemplo, para calcular indicadores como velocidade média, você precisa dividir a distância percorrida pelo tempo gasto na estrada. É assim que a velocidade média é calculada.

Usando unidades de medida dez, cem, mil vezes maiores que os indicadores das unidades de medida aceitas, eles são chamados de múltiplos.

O nome de cada prefixo corresponde ao seu número multiplicador:

1. Deca.
2. Hecto.
3. Quilo.
4. Mega.
5. Giga.
6. Tera.

Na ciência física, uma potência de 10 é usada para escrever esses fatores.Por exemplo, um milhão é denotado como 10 6 .

Em uma régua simples, o comprimento tem uma unidade de medida - um centímetro. É 100 vezes menor que um metro. Uma régua de 15 cm tem 0,15 m de comprimento.

Uma régua é o tipo mais simples de instrumento de medição para medir comprimento. Dispositivos mais complexos são representados por um termômetro - de modo que um higrômetro - para determinar a umidade, um amperímetro - para medir o nível de força com que uma corrente elétrica se propaga.

Quão precisas serão as medições?

Pegue uma régua e um lápis simples. Nossa tarefa é medir o comprimento deste papel de carta.

Primeiro você precisa determinar qual é o valor da divisão indicado na escala do dispositivo de medição. Nas duas divisões, que são os traços mais próximos da escala, os números são escritos, por exemplo, "1" e "2".

É necessário calcular quantas divisões estão incluídas no intervalo desses números. Se você contar corretamente, obtém "10". Subtraia do número que for maior o número que será menor e divida pelo número que compõe as divisões entre os algarismos:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Assim determinamos que o preço que determina a divisão da papelaria é o número 0,1 cm ou 1 mm. É claramente mostrado como o indicador de preço para divisão é determinado usando qualquer dispositivo de medição.

Ao medir um lápis com um comprimento ligeiramente inferior a 10 cm, usaremos o conhecimento adquirido. Na ausência de pequenas divisões na régua, a conclusão seria que o objeto tem um comprimento de 10 cm.Esse valor aproximado é chamado de erro de medição. Indica o nível de imprecisão que pode ser tolerado na medição.

Ao especificar os parâmetros de comprimento do lápis com um nível mais alto de precisão, um valor de divisão maior atinge uma maior precisão de medição, o que fornece um erro menor.

Neste caso, medições absolutamente precisas não podem ser feitas. E os indicadores não devem exceder o tamanho do preço da divisão.

Foi estabelecido que o tamanho do erro de medição é ½ do preço, que é indicado nas graduações do instrumento usado para determinar as dimensões.

Depois de medir o lápis em 9,7 cm, determinamos os indicadores de seu erro. Esta é uma lacuna de 9,65 - 9,85 cm.

A fórmula que mede esse erro é o cálculo:

A = a ± D (a)

A - na forma de uma quantidade para processos de medição;

a - o valor do resultado da medição;

D - a designação do erro absoluto.

Ao subtrair ou somar valores com erro, o resultado será igual à soma dos indicadores de erro, que é cada valor individual.

Introdução ao conceito

Se considerarmos dependendo da forma como se expressa, podemos distinguir as seguintes variedades:

• Absoluto.
• Relativo.
• Dado.

O erro absoluto de medição é indicado pela letra maiúscula "Delta". Este conceito é definido como a diferença entre os valores medidos e reais da grandeza física que está sendo medida.

A expressão do erro absoluto de medição são as unidades da quantidade que precisa ser medida.

Ao medir a massa, ela será expressa, por exemplo, em quilogramas. Este não é um padrão de precisão de medição.

Como calcular o erro de medições diretas?

Existem maneiras de representar erros de medição e calculá-los. Para fazer isso, é importante poder determinar a quantidade física com a precisão necessária, saber qual é o erro absoluto de medição, que ninguém jamais conseguirá encontrá-lo. Você só pode calcular seu valor de limite.

Mesmo que este termo seja usado condicionalmente, ele indica precisamente os dados de fronteira. Erros de medição absolutos e relativos são indicados pelas mesmas letras, a diferença está na grafia.

Ao medir o comprimento, o erro absoluto será medido nas unidades em que o comprimento é calculado. E o erro relativo é calculado sem dimensões, pois é a razão entre o erro absoluto e o resultado da medição. Este valor é frequentemente expresso como uma porcentagem ou frações.

Os erros de medição absolutos e relativos têm várias formas diferentes de cálculo, dependendo de quais grandezas físicas.

O conceito de medição direta

O erro absoluto e relativo das medições diretas dependem da classe de precisão do dispositivo e da capacidade de determinar o erro de pesagem.

Antes de falar sobre como o erro é calculado, é necessário esclarecer as definições. Uma medição direta é uma medição na qual o resultado é lido diretamente na escala do instrumento.

Quando utilizamos termômetro, régua, voltímetro ou amperímetro, sempre realizamos medições diretas, pois utilizamos um aparelho com balança diretamente.

Existem dois fatores que afetam o desempenho:

• Erro do instrumento.
• O erro do sistema de referência.

O limite de erro absoluto para medições diretas será igual à soma do erro que o aparelho apresenta e o erro que ocorre durante o processo de leitura.

D = D (pr.) + D (ausente)

Exemplo de termômetro médico

Os valores de precisão são indicados no próprio instrumento. Um erro de 0,1 graus Celsius é registrado em um termômetro médico. O erro de leitura é metade do valor da divisão.

D = C/2

Se o valor da divisão for 0,1 graus, para um termômetro médico, os cálculos podem ser feitos:

D \u003d 0,1 o C + 0,1 o C / 2 \u003d 0,15 o C

No verso da escala de outro termômetro há uma especificação técnica e é indicado que para as medições corretas é necessário mergulhar o termômetro com toda a parte traseira. não especificado. O único erro restante é o erro de contagem.

Se o valor da divisão da escala deste termômetro for 2 o C, então você pode medir a temperatura com uma precisão de 1 o C. Estes são os limites do erro de medição absoluto permitido e o cálculo do erro de medição absoluto.

Um sistema especial para calcular a precisão é usado em instrumentos de medição elétricos.

Precisão de instrumentos de medição elétrica

Para especificar a precisão de tais dispositivos, é usado um valor chamado classe de precisão. Para sua designação, é utilizada a letra "Gamma". Para determinar com precisão os erros de medição absolutos e relativos, você precisa conhecer a classe de precisão do dispositivo, indicada na escala.

Tomemos, por exemplo, um amperímetro. Sua escala indica a classe de precisão, que apresenta o número 0,5. É adequado para medições em corrente contínua e alternada, refere-se aos dispositivos do sistema eletromagnético.

Este é um dispositivo bastante preciso. Se você comparar com um voltímetro escolar, verá que ele tem uma classe de precisão de 4. Esse valor deve ser conhecido para cálculos posteriores.

Aplicação do conhecimento

Assim, D c \u003d c (max) X γ / 100

Esta fórmula será usada para exemplos específicos. Vamos usar um voltímetro e encontrar o erro na medição da tensão que a bateria dá.

Vamos conectar a bateria diretamente ao voltímetro, tendo verificado anteriormente se a seta está em zero. Quando o dispositivo foi conectado, a seta desviou em 4,2 divisões. Este estado pode ser descrito da seguinte forma:

1. Pode-se observar que o valor máximo de U para este item é 6.
2. Classe de precisão -(γ) = 4.
3. U(o) = 4,2 V.
4. C = 0,2 V

Usando esses dados de fórmula, os erros de medição absolutos e relativos são calculados da seguinte forma:

D U \u003d DU (ex.) + C / 2

D U (pr.) \u003d U (máx.) X γ / 100

D U (pr.) \u003d 6 V X 4/100 \u003d 0,24 V

Este é o erro do instrumento.

O cálculo do erro absoluto de medição neste caso será realizado da seguinte forma:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Usando a fórmula considerada, você pode descobrir facilmente como calcular o erro de medição absoluto.

Existe uma regra para erros de arredondamento. Permite encontrar a média entre o limite de erro absoluto e o relativo.

Aprendendo a determinar o erro de pesagem

Este é um exemplo de medições diretas. Em um lugar especial está pesando. Afinal, escalas de alavanca não têm escala. Vamos aprender como determinar o erro de tal processo. A precisão da medição de massa é afetada pela precisão dos pesos e pela perfeição das próprias balanças.

Usamos uma balança com um conjunto de pesos que devem ser colocados exatamente no lado direito da balança. Pegue uma régua para pesar.

Antes de iniciar o experimento, você precisa equilibrar a balança. Colocamos a régua na tigela esquerda.

A massa será igual à soma dos pesos instalados. Vamos determinar o erro de medição desta quantidade.

D m = D m (pesos) + D m (pesos)

O erro de medição de massa consiste em dois termos associados a balanças e pesos. Para conhecer cada um desses valores, nas fábricas de produção de balanças e pesos, os produtos são fornecidos com documentos especiais que permitem calcular a precisão.

Aplicação de tabelas

Vamos usar uma tabela padrão. O erro da balança depende de quanta massa é colocada na balança. Quanto maior, maior o erro, respectivamente.

Mesmo se você colocar um corpo muito leve, haverá um erro. Isso se deve ao processo de atrito que ocorre nos eixos.

A segunda tabela refere-se a um conjunto de pesos. Indica que cada um deles tem seu próprio erro de massa. O de 10 gramas tem um erro de 1 mg, assim como o de 20 gramas. Calculamos a soma dos erros de cada um desses pesos, retirados da tabela.

É conveniente escrever a massa e o erro de massa em duas linhas, localizadas uma abaixo da outra. Quanto menor o peso, mais precisa a medição.

Resultados

No decorrer do material considerado, foi estabelecido que é impossível determinar o erro absoluto. Você só pode definir seus indicadores de limite. Para isso, são utilizadas as fórmulas descritas acima nos cálculos. Este material é proposto para estudo na escola para alunos do 8º ao 9º ano. Com base no conhecimento adquirido, é possível resolver problemas para determinar os erros absolutos e relativos.

As medições de muitas quantidades que ocorrem na natureza não podem ser precisas. A medição fornece um número que expressa um valor com vários graus de precisão (medição de comprimento com precisão de 0,01 cm, cálculo do valor de uma função em um ponto com precisão de até, etc.), ou seja, aproximadamente, com algum erro. O erro pode ser definido antecipadamente ou, inversamente, precisa ser encontrado.

A teoria dos erros tem como objeto de estudo principalmente números aproximados. Ao calcular em vez de geralmente usam números aproximados: (se a precisão não for particularmente importante), (se a precisão for importante). Como realizar cálculos com números aproximados, determinar seus erros - esta é a teoria dos cálculos aproximados (teoria do erro).

No futuro, os números exatos serão indicados por letras maiúsculas e os números aproximados correspondentes serão indicados por letras minúsculas.

Erros que surgem em um ou outro estágio da solução do problema podem ser divididos em três tipos:

1) Erro de problema. Esse tipo de erro ocorre na construção de um modelo matemático do fenômeno. Nem sempre é possível levar em conta todos os fatores e o grau de sua influência no resultado final. Ou seja, o modelo matemático de um objeto não é sua imagem exata, sua descrição não é precisa. Tal erro é inevitável.

2) Erro de método. Este erro surge como resultado da substituição do modelo matemático original por um mais simplificado, por exemplo, em alguns problemas de análise de correlação, um modelo linear é aceitável. Tal erro é removível, pois nas etapas de cálculo pode ser reduzido a um valor arbitrariamente pequeno.

3) Erro computacional ("máquina"). Ocorre quando um computador executa operações aritméticas.

Definição 1.1. Seja o valor exato da quantidade (número), seja o valor aproximado da mesma quantidade (). Erro absoluto verdadeiro número aproximado é o módulo da diferença entre os valores exatos e aproximados:

. (1.1)

Seja, por exemplo, =1/3. Ao calcular no MK, eles deram o resultado da divisão de 1 por 3 como um número aproximado = 0,33. Então .

Porém, na realidade, na maioria dos casos, o valor exato da quantidade não é conhecido, o que significa que (1.1) não pode ser aplicado, ou seja, o verdadeiro erro absoluto não pode ser encontrado. Portanto, é introduzido outro valor que serve como alguma estimativa (limite superior para ).

Definição 1.2. Limite de erro absoluto número aproximado, representando um número exato desconhecido, é chamado de número possivelmente menor, que não excede o verdadeiro erro absoluto, ou seja . (1.2)

Para um número aproximado de quantidades que satisfaçam a desigualdade (1.2), existem infinitas, mas a mais valiosa delas será a menor de todas as encontradas. De (1.2), com base na definição do módulo, temos , ou abreviado como a igualdade

. (1.3)

A igualdade (1.3) determina os limites dentro dos quais um número exato desconhecido está localizado (dizem que um número aproximado expressa um número exato com um erro absoluto limitante). É fácil ver que quanto menor, mais precisamente esses limites são determinados.

Por exemplo, se as medições de um determinado valor deram o resultado cm, enquanto a precisão dessas medições não excedeu 1 cm, o comprimento verdadeiro (exato) cm.

Exemplo 1.1. Dado um número. Encontre o erro absoluto limitante do número pelo número .

Solução: Da igualdade (1,3) para o número ( =1,243; =0,0005) temos uma dupla desigualdade, ou seja,

Então o problema é colocado da seguinte forma: encontrar para o número o erro absoluto limitante que satisfaz a desigualdade . Levando em conta a condição (*), obtemos (em (*) subtraímos de cada parte da desigualdade)

Já que no nosso caso , então , onde = 0,0035.

Responda: =0,0035.

O erro absoluto limitante geralmente dá uma ideia ruim da precisão das medições ou cálculos. Por exemplo, =1 m ao medir o comprimento de um edifício indicará que eles não foram executados com precisão, e o mesmo erro =1 m ao medir a distância entre cidades fornece uma estimativa muito qualitativa. Portanto, outro valor é introduzido.

Definição 1.3. Erro relativo verdadeiro número, que é um valor aproximado do número exato, é a razão entre o verdadeiro erro absoluto do número para o módulo do próprio número:

. (1.4)

Por exemplo, se, respectivamente, os valores exatos e aproximados, então

No entanto, a fórmula (1.4) não é aplicável se o valor exato do número não for conhecido. Portanto, por analogia com o erro absoluto limitante, o erro relativo limitante é introduzido.

Definição 1.4. Limitando o erro relativo um número que é uma aproximação de um número exato desconhecido é chamado o menor número possível , que não é excedido pelo verdadeiro erro relativo , isso é

. (1.5)

Da desigualdade (1.2) temos ; daí, tendo em conta (1.5)

A fórmula (1.6) tem maior aplicabilidade prática em relação a (1.5), pois o valor exato não participa dela. Levando em conta (1.6) e (1.3), pode-se encontrar os limites que contêm o valor exato da incógnita.

É praticamente impossível determinar o verdadeiro valor de uma quantidade física de forma absolutamente exata, porque qualquer operação de medição está associada a uma série de erros ou, caso contrário, erros. As razões para os erros podem ser muito diferentes. Sua ocorrência pode ser devido a imprecisões na fabricação e ajuste do aparelho de medição, devido às características físicas do objeto em estudo (por exemplo, ao medir o diâmetro de um fio de espessura não homogênea, o resultado depende aleatoriamente da escolha do a área de medição), razões aleatórias, etc.

A tarefa do experimentador é reduzir sua influência no resultado e também indicar o quão próximo o resultado está do verdadeiro.

Existem conceitos de erro absoluto e relativo.

Debaixo erro absoluto medição entenderá a diferença entre o resultado da medição e o valor real da quantidade medida:

∆x i =x i -x e (2)

onde ∆x i é o erro absoluto da i-ésima medição, x i _ é o resultado da i-ésima medição, xi é o valor verdadeiro do valor medido.

O resultado de qualquer medição física é geralmente escrito como:

onde é o valor médio aritmético da grandeza medida mais próxima do valor verdadeiro (a validade de x e ≈ será mostrada abaixo), é o erro absoluto de medição.

A igualdade (3) deve ser entendida de tal forma que o verdadeiro valor do valor medido esteja no intervalo [ - , + ].

O erro absoluto é um valor dimensional, tem a mesma dimensão que o valor medido.

O erro absoluto não caracteriza totalmente a precisão das medidas realizadas. De fato, se medirmos com o mesmo erro absoluto de ± 1 mm segmentos de 1 m e 5 mm de comprimento, a precisão da medição será incomparável. Portanto, juntamente com o erro absoluto de medição, o erro relativo é calculado.

Erro relativo medições é a razão entre o erro absoluto e o próprio valor medido:

O erro relativo é uma quantidade adimensional. É expresso em porcentagem:

No exemplo acima, os erros relativos são 0,1% e 20%. Eles diferem marcadamente um do outro, embora os valores absolutos sejam os mesmos. O erro relativo fornece informações sobre a precisão

Erros de medição

De acordo com a natureza da manifestação e os motivos do aparecimento do erro, ele pode ser dividido condicionalmente nas seguintes classes: instrumental, sistemática, aleatória e erros (gross errors).

As falhas são devidas a um mau funcionamento do dispositivo, ou a uma violação da metodologia ou das condições experimentais, ou são de natureza subjetiva. Na prática, eles são definidos como resultados que diferem muito dos demais. Para eliminar sua aparência, é necessário observar a precisão e o rigor no trabalho com os dispositivos. Resultados contendo erros devem ser excluídos da consideração (descartados).

erros instrumentais. Se o dispositivo de medição puder ser reparado e ajustado, as medições poderão ser feitas nele com precisão limitada, determinada pelo tipo de dispositivo. Admite-se que o erro instrumental do instrumento ponteiro seja considerado igual à metade da menor divisão de sua escala. Em dispositivos com leitura digital, o erro do instrumento é igual ao valor de um dígito menor na escala do instrumento.

Erros sistemáticos são erros cuja magnitude e sinal são constantes para toda a série de medições realizadas pelo mesmo método e usando os mesmos instrumentos de medição.

Ao realizar medições, é importante não apenas levar em consideração os erros sistemáticos, mas também é necessário obter sua eliminação.

Erros sistemáticos são divididos condicionalmente em quatro grupos:

1) erros, cuja natureza é conhecida e sua magnitude pode ser determinada com bastante precisão. Tal erro é, por exemplo, uma mudança na massa medida no ar, que depende da temperatura, umidade, pressão do ar, etc.;

2) erros, cuja natureza é conhecida, mas a magnitude do erro em si é desconhecida. Tais erros incluem erros causados ​​pelo dispositivo de medição: mau funcionamento do próprio dispositivo, não conformidade da escala com o valor zero, a classe de precisão deste dispositivo;

3) erros, cuja existência pode não ser suspeita, mas sua magnitude muitas vezes pode ser significativa. Tais erros ocorrem mais frequentemente com medições complexas. Um exemplo simples de tal erro é a medição da densidade de alguma amostra contendo uma cavidade em seu interior;

4) erros devido às características do próprio objeto de medição. Por exemplo, ao medir a condutividade elétrica de um metal, um pedaço de fio é retirado deste último. Erros podem ocorrer se houver algum defeito no material - uma rachadura, espessamento do fio ou falta de homogeneidade que altere sua resistência.

Erros aleatórios são erros que mudam aleatoriamente em sinal e magnitude sob condições idênticas para medições repetidas da mesma quantidade.

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