Neste artigo, tentaremos refletir as propriedades do trapézio da maneira mais completa possível. Em particular, falaremos sobre os sinais e propriedades gerais de um trapézio, bem como sobre as propriedades de um trapézio inscrito e de um círculo inscrito em um trapézio. Também abordaremos as propriedades de um trapézio isósceles e retangular.

Um exemplo de resolução de um problema usando as propriedades consideradas o ajudará a organizar as coisas em sua cabeça e a lembrar melhor do material.

Trapézio e tudo-tudo-tudo

Para começar, vamos relembrar brevemente o que é um trapézio e quais outros conceitos estão associados a ele.

Assim, um trapézio é uma figura quadrilátero, dois dos lados dos quais são paralelos entre si (estas são as bases). E dois não são paralelos - estes são os lados.

Em um trapézio, a altura pode ser omitida - perpendicular às bases. A linha do meio e as diagonais são desenhadas. E também de qualquer ângulo do trapézio é possível desenhar uma bissetriz.

Sobre as várias propriedades associadas a todos esses elementos e suas combinações, falaremos agora.

Propriedades das diagonais de um trapézio

Para ficar mais claro, durante a leitura, esboce o trapézio ACME em um pedaço de papel e desenhe diagonais nele.

1. Se você encontrar os pontos médios de cada uma das diagonais (vamos chamar esses pontos de X e T) e conectá-los, você obtém um segmento. Uma das propriedades das diagonais de um trapézio é que o segmento XT está na linha média. E seu comprimento pode ser obtido dividindo a diferença das bases por dois: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Diante de nós está o mesmo trapézio ACME. As diagonais se cruzam no ponto O. Consideremos os triângulos AOE e IOC formados pelos segmentos das diagonais juntamente com as bases do trapézio. Esses triângulos são semelhantes. O coeficiente de similaridade de k triângulos é expresso em termos da razão das bases do trapézio: k = AE/KM.
   A razão das áreas dos triângulos AOE e IOC é descrita pelo coeficiente k 2 .
3. Todo o mesmo trapézio, as mesmas diagonais que se cruzam no ponto O. Só que desta vez vamos considerar os triângulos que os segmentos diagonais formaram junto com os lados do trapézio. As áreas dos triângulos AKO e EMO são iguais - suas áreas são as mesmas.
4. Outra propriedade de um trapézio inclui a construção de diagonais. Então, se continuarmos os lados de AK e ME na direção da base menor, mais cedo ou mais tarde eles se cruzarão em algum ponto. Em seguida, desenhe uma linha reta passando pelos pontos médios das bases do trapézio. Ele intercepta as bases nos pontos X e T.
   Se agora estendermos a linha XT, ela unirá o ponto de interseção das diagonais do trapézio O, o ponto em que as extensões dos lados e os pontos médios das bases de X e T se cruzam.
5. Através do ponto de intersecção das diagonais, traçamos um segmento que ligará as bases do trapézio (T fica na base menor de KM, X - na maior AE). O ponto de intersecção das diagonais divide este segmento na seguinte razão: TO/OH = KM/AE.
6. E agora através do ponto de intersecção das diagonais desenhamos um segmento paralelo às bases do trapézio (a e b). O ponto de interseção irá dividi-lo em duas partes iguais. Você pode encontrar o comprimento de um segmento usando a fórmula 2ab/(a + b).

Propriedades da linha média de um trapézio

Desenhe a linha do meio no trapézio paralela às suas bases.

1. O comprimento da linha média de um trapézio pode ser calculado adicionando os comprimentos das bases e dividindo-os ao meio: m = (a + b)/2.
2. Se você desenhar qualquer segmento (altura, por exemplo) através de ambas as bases do trapézio, a linha do meio o dividirá em duas partes iguais.

Propriedade da bissetriz de um trapézio

Escolha qualquer ângulo do trapézio e desenhe uma bissetriz. Tomemos, por exemplo, o ângulo KAE do nosso trapézio ACME. Tendo concluído a construção por conta própria, você pode ver facilmente que a bissetriz corta da base (ou sua continuação em uma linha reta fora da própria figura) um segmento do mesmo comprimento que o lado.

Propriedades do ângulo trapezoidal

1. Independentemente dos dois pares de ângulos adjacentes ao lado que você escolher, a soma dos ângulos em um par é sempre 180 0: α + β = 180 0 e γ + δ = 180 0 .
2. Conecte os pontos médios das bases do trapézio com um segmento TX. Agora vamos olhar para os ângulos nas bases do trapézio. Se a soma dos ângulos de qualquer um deles for 90 0, o comprimento do segmento TX é fácil de calcular com base na diferença dos comprimentos das bases, divididas ao meio: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Se linhas paralelas forem traçadas pelos lados do ângulo de um trapézio, elas dividirão os lados do ângulo em segmentos proporcionais.

Propriedades de um trapézio isósceles (isósceles)

1. Em um trapézio isósceles, os ângulos em qualquer uma das bases são iguais.
2. Agora construa um trapézio novamente para tornar mais fácil imaginar do que se trata. Observe atentamente a base de AE ​​- o vértice da base oposta de M é projetado para um determinado ponto da linha que contém AE. A distância do vértice A ao ponto de projeção do vértice M e a linha média de um trapézio isósceles são iguais.
3. Algumas palavras sobre a propriedade das diagonais de um trapézio isósceles - seus comprimentos são iguais. E também os ângulos de inclinação dessas diagonais para a base do trapézio são os mesmos.
4. Apenas próximo a um trapézio isósceles pode ser descrito um círculo, pois a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero 180 0 é um pré-requisito para isso.
5. A propriedade de um trapézio isósceles segue do parágrafo anterior - se um círculo pode ser descrito perto de um trapézio, é isósceles.
6. Das características de um trapézio isósceles, segue a propriedade da altura de um trapézio: se suas diagonais se cruzam em um ângulo reto, o comprimento da altura é igual à metade da soma das bases: h = (a + b)/2.
7. Desenhe a linha TX novamente pelos pontos médios das bases do trapézio - em um trapézio isósceles é perpendicular às bases. E ao mesmo tempo, TX é o eixo de simetria de um trapézio isósceles.
8. Desta vez, abaixe para a base maior (vamos chamá-la de a) a altura do vértice oposto do trapézio. Você terá dois cortes. O comprimento de um pode ser encontrado se os comprimentos das bases forem somados e divididos ao meio: (a+b)/2. Obtemos o segundo quando subtraímos o menor da base maior e dividimos a diferença resultante por dois: (a - b)/2.

Propriedades de um trapézio inscrito em um círculo

Como já estamos falando de um trapézio inscrito em um círculo, vamos nos debruçar sobre esse assunto com mais detalhes. Em particular, onde é o centro do círculo em relação ao trapézio. Aqui também é recomendável não ter preguiça de pegar um lápis e desenhar o que será discutido abaixo. Assim você entenderá mais rápido e lembrará melhor.

1. A localização do centro do círculo é determinada pelo ângulo de inclinação da diagonal do trapézio ao seu lado. Por exemplo, uma diagonal pode emergir do topo de um trapézio em ângulos retos ao lado. Neste caso, a base maior intercepta o centro do círculo circunscrito exatamente no meio (R = ½AE).
2. A diagonal e o lado também podem se encontrar em um ângulo agudo - então o centro do círculo está dentro do trapézio.
3. O centro do círculo circunscrito pode estar fora do trapézio, além de sua grande base, se houver um ângulo obtuso entre a diagonal do trapézio e o lado lateral.
4. O ângulo formado pela diagonal e a grande base do trapézio ACME (ângulo inscrito) é metade do ângulo central que lhe corresponde: MAE = ½ MY.
5. Resumidamente sobre duas maneiras de encontrar o raio do círculo circunscrito. Método um: olhe atentamente para o seu desenho - o que você vê? Você notará facilmente que a diagonal divide o trapézio em dois triângulos. O raio pode ser encontrado pela razão entre o lado do triângulo e o seno do ângulo oposto, multiplicado por dois. Por exemplo, R \u003d AE / 2 * sinAME. Da mesma forma, a fórmula pode ser escrita para qualquer um dos lados de ambos os triângulos.
6. Método dois: encontramos o raio do círculo circunscrito através da área do triângulo formado pela diagonal, lado e base do trapézio: R \u003d AM * EU * AE / 4 * S AME.

Propriedades de um trapézio circunscrito a um círculo

Você pode inscrever um círculo em um trapézio se uma condição for atendida. Mais sobre isso abaixo. E, juntas, essa combinação de figuras tem várias propriedades interessantes.

1. Se um círculo está inscrito em um trapézio, o comprimento de sua linha média pode ser facilmente encontrado adicionando os comprimentos dos lados e dividindo a soma resultante pela metade: m = (c + d)/2.
2. Para um trapézio ACME, circunscrito a um círculo, a soma dos comprimentos das bases é igual à soma dos comprimentos dos lados: AK + ME = KM + AE.
3. A partir desta propriedade das bases de um trapézio, segue-se a afirmação inversa: um círculo pode ser inscrito nesse trapézio, cuja soma das bases é igual à soma dos lados.
4. O ponto tangente de um círculo de raio r inscrito em um trapézio divide o lado lateral em dois segmentos, vamos chamá-los de a e b. O raio de um círculo pode ser calculado pela fórmula: r = √ab.
5. E mais um imóvel. Para não ficar confuso, desenhe este exemplo você mesmo. Temos o bom e velho trapézio ACME, circunscrito em torno de um círculo. Nele são desenhadas diagonais, intersectando-se no ponto O. Os triângulos AOK e EOM formados pelos segmentos das diagonais e os lados são retangulares.
   As alturas desses triângulos, abaixadas para as hipotenusas (ou seja, os lados do trapézio), coincidem com os raios do círculo inscrito. E a altura do trapézio é igual ao diâmetro do círculo inscrito.

Propriedades de um trapézio retangular

Um trapézio é chamado de retangular, um dos cantos do qual está à direita. E suas propriedades derivam dessa circunstância.

1. Um trapézio retangular tem um dos lados perpendicular às bases.
2. A altura e o lado do trapézio adjacente ao ângulo reto são iguais. Isso permite calcular a área de um trapézio retangular (fórmula geral S = (a + b) * h/2) não apenas pela altura, mas também pelo lado adjacente ao ângulo reto.
3. Para um trapézio retangular, as propriedades gerais das diagonais do trapézio já descritas acima são relevantes.

Provas de algumas propriedades de um trapézio

Igualdade dos ângulos na base de um trapézio isósceles:

• Você provavelmente já adivinhou que aqui precisamos novamente do trapézio ACME - desenhe um trapézio isósceles. Desenhe uma linha MT do vértice M paralela ao lado de AK (MT || AK).

O quadrilátero resultante AKMT é um paralelogramo (AK || MT, KM || AT). Como ME = KA = MT, ∆ MTE é isósceles e MET = MTE.

AK || MT, portanto MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Onde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Agora, com base na propriedade de um trapézio isósceles (igualdade das diagonais), provamos que trapézio ACME é isósceles:

• Para começar, vamos desenhar uma linha reta МХ – МХ || KE. Obtemos um paralelogramo KMHE (base - MX || KE e KM || EX).

∆AMH é isósceles, pois AM = KE = MX e MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, portanto MAE = MXE.

Descobriu-se que os triângulos AKE e EMA são iguais entre si, porque AM \u003d KE e AE é o lado comum dos dois triângulos. E também MAE \u003d MXE. Podemos concluir que AK = ME e, portanto, segue-se que o trapézio AKME é isósceles.

Tarefa a repetir

As bases do trapézio ACME são 9 cm e 21 cm, o lado do KA, igual a 8 cm, forma um ângulo de 150 0 com uma base menor. Você precisa encontrar a área do trapézio.

Solução: Do ​​vértice K abaixamos a altura para a base maior do trapézio. E vamos começar a olhar para os ângulos do trapézio.

Os ângulos AEM e KAN são unilaterais. O que significa que somam 1800. Portanto, KAN = 30 0 (com base nas propriedades dos ângulos do trapézio).

Considere agora o ∆ANK retangular (acho que este ponto é óbvio para os leitores sem mais provas). A partir dele, encontramos a altura do trapézio KH - em um triângulo, é uma perna, que fica em frente ao ângulo de 30 0. Portanto, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

A área do trapézio é encontrada pela fórmula: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Posfácio

Se você estudou cuidadosamente e cuidadosamente este artigo, não teve preguiça de desenhar trapézios para todas as propriedades acima com um lápis nas mãos e analisá-las na prática, deve ter dominado bem o material.

Claro, há muita informação aqui, variada e às vezes até confusa: não é tão difícil confundir as propriedades do trapézio descrito com as propriedades do inscrito. Mas você mesmo viu que a diferença é enorme.

Agora você tem um resumo detalhado de todas as propriedades gerais de um trapézio. Bem como propriedades e características específicas de trapézios isósceles e retangulares. É muito conveniente usar para se preparar para testes e exames. Experimente você mesmo e compartilhe o link com seus amigos!

site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.

Sua privacidade é importante para nós. Por esse motivo, desenvolvemos uma Política de Privacidade que descreve como usamos e armazenamos suas informações. Por favor, leia nossa política de privacidade e deixe-nos saber se você tiver alguma dúvida.

Coleta e uso de informações pessoais

Informações pessoais referem-se a dados que podem ser usados ​​para identificar ou contatar uma pessoa específica.

Você pode ser solicitado a fornecer suas informações pessoais a qualquer momento quando entrar em contato conosco.

A seguir estão alguns exemplos dos tipos de informações pessoais que podemos coletar e como podemos usar essas informações.

Quais informações pessoais coletamos:

• Quando você envia uma inscrição no site, podemos coletar várias informações, incluindo seu nome, número de telefone, endereço de e-mail etc.

Como usamos suas informações pessoais:

• As informações pessoais que coletamos nos permitem entrar em contato com você e informá-lo sobre ofertas exclusivas, promoções e outros eventos e eventos futuros.
• De tempos em tempos, podemos usar suas informações pessoais para enviar avisos e comunicações importantes.
• Também podemos usar informações pessoais para fins internos, como realizar auditorias, análise de dados e várias pesquisas para melhorar os serviços que prestamos e fornecer recomendações sobre nossos serviços.
• Se você participar de um sorteio, concurso ou incentivo semelhante, poderemos usar as informações fornecidas para administrar tais programas.

Divulgação a terceiros

Não divulgamos informações recebidas de você a terceiros.

Exceções:

• Caso seja necessário - de acordo com a lei, ordem judicial, em processos judiciais e / ou com base em solicitações públicas ou solicitações de órgãos estatais no território da Federação Russa - divulgue suas informações pessoais. Também podemos divulgar informações sobre você se determinarmos que tal divulgação é necessária ou apropriada para fins de segurança, aplicação da lei ou outros fins de interesse público.
• No caso de uma reorganização, fusão ou venda, podemos transferir as informações pessoais que coletamos para o sucessor terceirizado relevante.

Proteção de informações pessoais

Tomamos precauções - incluindo administrativas, técnicas e físicas - para proteger suas informações pessoais contra perda, roubo e uso indevido, bem como de acesso, divulgação, alteração e destruição não autorizados.

Mantendo sua privacidade no nível da empresa

Para garantir que suas informações pessoais estejam seguras, comunicamos práticas de privacidade e segurança aos nossos funcionários e aplicamos rigorosamente as práticas de privacidade.

1. O segmento que liga os pontos médios das diagonais de um trapézio é igual à metade da diferença das bases
2. Os triângulos formados pelas bases do trapézio e os segmentos das diagonais até o ponto de sua interseção são semelhantes
3. Triângulos formados por segmentos das diagonais de um trapézio, cujos lados estão nos lados do trapézio - área igual (têm a mesma área)
4. Se estendermos os lados do trapézio em direção à base menor, eles se cruzarão em um ponto com a linha reta que liga os pontos médios das bases
5. O segmento que liga as bases do trapézio e que passa pelo ponto de intersecção das diagonais do trapézio é dividido por este ponto em uma proporção igual à razão dos comprimentos das bases do trapézio
6. Um segmento paralelo às bases do trapézio e traçado através do ponto de interseção das diagonais é dividido ao meio por este ponto, e seu comprimento é 2ab / (a ​​+ b), onde a e b são as bases do trapézio

Propriedades de um segmento que liga os pontos médios das diagonais de um trapézio

Conecte os pontos médios das diagonais do trapézio ABCD, como resultado, teremos um segmento LM.
Um segmento de linha que une os pontos médios das diagonais de um trapézio situa-se na linha média do trapézio.

Este segmento paralelo às bases do trapézio.

O comprimento do segmento que liga os pontos médios das diagonais de um trapézio é igual à meia diferença de suas bases.

LM = (AD - BC)/2
ou
LM = (a-b)/2

Propriedades dos triângulos formados pelas diagonais de um trapézio

Os triângulos que são formados pelas bases do trapézio e o ponto de interseção das diagonais do trapézio - são similares.
Os triângulos BOC e AOD são semelhantes. Como os ângulos BOC e AOD são verticais, eles são iguais.
Os ângulos OCB e OAD são internos transversalmente situados nas linhas paralelas AD e BC (as bases do trapézio são paralelas entre si) e na linha secante AC, portanto, são iguais.
Os ângulos OBC e ODA são iguais pelo mesmo motivo (cruzamento interno).

Como todos os três ângulos de um triângulo são iguais aos ângulos correspondentes de outro triângulo, esses triângulos são semelhantes.

O que se segue disso?

Para resolver problemas de geometria, a similaridade de triângulos é usada da seguinte forma. Se conhecermos os comprimentos dos dois elementos correspondentes de triângulos semelhantes, encontraremos o coeficiente de semelhança (dividimos um pelo outro). De onde os comprimentos de todos os outros elementos estão relacionados entre si exatamente pelo mesmo valor.

Propriedades dos triângulos que se encontram no lado lateral e nas diagonais de um trapézio

Considere dois triângulos sobre os lados do trapézio AB e CD. Estes são os triângulos AOB e COD. Apesar do fato de que os tamanhos dos lados individuais desses triângulos podem ser completamente diferentes, mas as áreas dos triângulos formados pelos lados e o ponto de intersecção das diagonais do trapézio são, ou seja, os triângulos são iguais.

Se os lados do trapézio forem estendidos em direção à base menor, então o ponto de interseção dos lados será coincidem com uma linha reta que passa pelos pontos médios das bases.

Assim, qualquer trapézio pode ser estendido a um triângulo. Em que:

• Os triângulos formados pelas bases de um trapézio com um vértice comum no ponto de intersecção dos lados estendidos são semelhantes
• A linha reta que liga os pontos médios das bases do trapézio é, ao mesmo tempo, a mediana do triângulo construído

Propriedades de um segmento ligando as bases de um trapézio

Se você desenhar um segmento cujas extremidades estão nas bases do trapézio, que se encontra no ponto de interseção das diagonais do trapézio (KN), a razão de seus segmentos constituintes do lado da base para o ponto de interseção do trapézio diagonais (KO / ON) será igual à razão das bases do trapézio(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

Esta propriedade decorre da semelhança dos triângulos correspondentes (ver acima).

Propriedades de um segmento paralelo às bases de um trapézio

Se você desenhar um segmento paralelo às bases do trapézio e passando pelo ponto de interseção das diagonais do trapézio, ele terá as seguintes propriedades:

• Distância predefinida (KM) bissecta o ponto de intersecção das diagonais do trapézio
• Comprimento do corte, passando pelo ponto de intersecção das diagonais do trapézio e paralelas às bases, é igual a KM = 2ab/(a + b)

Fórmulas para encontrar as diagonais de um trapézio

a, b- bases de um trapézio

cd- lados do trapézio

d1 d2- diagonais de um trapézio

α β - ângulos com maior base do trapézio

Fórmulas para encontrar as diagonais de um trapézio pelas bases, lados e ângulos na base

O primeiro grupo de fórmulas (1-3) reflete uma das principais propriedades das diagonais trapézios:

1. A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio é igual à soma dos quadrados dos lados mais duas vezes o produto de suas bases. Esta propriedade das diagonais de um trapézio pode ser provada como um teorema separado

2 . Esta fórmula é obtida transformando a fórmula anterior. O quadrado da segunda diagonal é lançado sobre o sinal de igual, após o que a raiz quadrada é extraída dos lados esquerdo e direito da expressão.

3 . Esta fórmula para encontrar o comprimento da diagonal de um trapézio é semelhante à anterior, com a diferença de que outra diagonal é deixada no lado esquerdo da expressão

O próximo grupo de fórmulas (4-5) é semelhante em significado e expressa uma relação semelhante.

O grupo de fórmulas (6-7) permite encontrar a diagonal de um trapézio se você conhece a base maior do trapézio, um lado e o ângulo na base.

Fórmulas para encontrar as diagonais de um trapézio em termos de altura

Observação. Nesta lição, é dada a solução de problemas em geometria sobre trapézios. Se você não encontrou uma solução para o problema de geometria do tipo que você está interessado - faça uma pergunta no fórum.

Tarefa.
As diagonais do trapézio ABCD (AD | | BC) se cruzam no ponto O. Encontre o comprimento da base BC do trapézio se a base AD = 24 cm, comprimento AO = 9 cm, comprimento OS = 6 cm.

Decisão.
A solução desta tarefa é absolutamente idêntica às anteriores em termos de ideologia.

Os triângulos AOD e BOC são semelhantes em três ângulos - AOD e BOC são verticais, e os demais ângulos são iguais aos pares, pois são formados pela interseção de uma linha e duas linhas paralelas.

Como os triângulos são semelhantes, todas as suas dimensões geométricas estão relacionadas entre si, pois as dimensões geométricas dos segmentos AO e OC são conhecidas por nós de acordo com a condição do problema. Ou seja

AO/OC=AD/BC
06/09 = 24/ A.C.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Responda: 16cm

Tarefa .
No trapézio ABCD sabe-se que AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Encontre a área do trapézio.

Decisão.
Para encontrar a altura de um trapézio a partir dos vértices da base menor B e C, abaixamos duas alturas na base maior. Como o trapézio é desigual, denotamos o comprimento AM = a, o comprimento KD = b ( não deve ser confundido com os símbolos na fórmula encontrar a área de um trapézio). Como as bases do trapézio são paralelas e omitimos duas alturas perpendiculares à base maior, então MBCK é um retângulo.

Meios
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Os triângulos DBM e ACK são retângulos, então seus ângulos retos são formados pelas alturas do trapézio. Vamos denotar a altura do trapézio como h. Então pelo teorema de Pitágoras

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
e
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Considere que a \u003d 16 - b, então na primeira equação
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Substitua o valor do quadrado da altura na segunda equação, obtida pelo Teorema de Pitágoras. Nós temos:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Assim, KD = 12
Onde
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Encontre a área de um trapézio usando sua altura e metade da soma das bases
, onde a b - as bases do trapézio, h - a altura do trapézio
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Responda: a área de um trapézio é 80 cm2.

Trapézioé um quadrilátero com dois lados paralelos, que são as bases, e dois lados não paralelos, que são os lados.

Existem também nomes como isósceles ou isósceles.

É um trapézio com ângulos retos no lado lateral.

Elementos do trapézio

a, b bases de um trapézio(a paralela a b),

m, n lados trapézio,

d 1 , d 2 — diagonais trapézio,

h- altura trapézio (um segmento que liga as bases e ao mesmo tempo perpendicular a elas),

MN- linha do meio(um segmento que liga os pontos médios dos lados).

Área do trapézio

1. Pela metade da soma das bases a, b e a altura h : S = \frac(a + b)(2)\cdot h
2. Pela linha média MN e altura h : S = MN\cdot h
3. Pelas diagonais d 1 , d 2 e o ângulo (\sin \varphi ) entre elas: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Propriedades do trapézio

Linha mediana do trapézio

linha do meio paralelo às bases, igual à sua meia soma, e divide cada segmento com extremidades localizadas em linhas retas que contêm as bases (por exemplo, a altura da figura) pela metade:

MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)

A soma dos ângulos de um trapézio

A soma dos ângulos de um trapézio, adjacente a cada lado, é igual a 180^(\circ):

\alfa + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Triângulos de mesma área de um trapézio

Tamanho igual, ou seja, tendo áreas iguais, são os segmentos das diagonais e os triângulos AOB e DOC formados pelos lados.

Semelhança de triângulos trapézios formados

triângulos semelhantes são AOD e COB, que são formados por suas bases e segmentos diagonais.

\triangle AOD \sim \triangle COB

coeficiente de similaridade k é encontrado pela fórmula:

k = \frac(AD)(BC)

Além disso, a razão das áreas desses triângulos é igual a k^(2) .

A razão entre os comprimentos de segmentos e bases

Cada segmento que liga as bases e passa pelo ponto de intersecção das diagonais do trapézio é dividido por este ponto em relação a:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

Isso também será verdade para a altura com as próprias diagonais.

Com uma forma como um trapézio, nos encontramos na vida com bastante frequência. Por exemplo, qualquer ponte feita de blocos de concreto é um excelente exemplo. Uma opção mais visual pode ser considerada a direção de cada veículo e assim por diante. As propriedades da figura eram conhecidas na Grécia antiga., que foi descrito com mais detalhes por Aristóteles em seu trabalho científico "Beginnings". E o conhecimento que foi desenvolvido há milhares de anos ainda é relevante hoje. Portanto, vamos conhecê-los com mais detalhes.

Em contato com

Conceitos Básicos

Figura 1. A forma clássica de um trapézio.

Um trapézio é essencialmente um quadrilátero, consistindo em dois segmentos que são paralelos e outros dois que não são paralelos. Falando sobre esta figura, é sempre necessário lembrar conceitos como: bases, altura e linha do meio. Dois segmentos de um quadrilátero que são chamados de bases entre si (segmentos AD e BC). A altura é chamada de segmento perpendicular a cada uma das bases (EH), ou seja, intersectam em um ângulo de 90° (como mostrado na Fig. 1).

Se somarmos todas as medidas de graus do interno, a soma dos ângulos do trapézio será igual a 2π (360 °), como qualquer quadrilátero. Um segmento cujas extremidades são os pontos médios das paredes laterais (IF) chamada de linha do meio. O comprimento deste segmento é a soma das bases BC e AD dividida por 2.

Existem três tipos de formas geométricas: retas, regulares e isósceles. Se pelo menos um ângulo nos vértices da base for reto (por exemplo, se ABD = 90 °), esse quadrilátero será chamado de trapézio reto. Se os segmentos laterais são iguais (AB e CD), então é chamado de isósceles (respectivamente, os ângulos nas bases são iguais).

Como encontrar a área

Por, encontrar a área de um quadrilátero ABCD usa a seguinte fórmula:

Figura 2. Resolvendo o problema de encontrar a área

Para um exemplo mais ilustrativo, vamos resolver um problema fácil. Por exemplo, sejam as bases superior e inferior iguais a 16 e 44 cm, respectivamente, e os lados 17 e 25 cm. Vamos construir um segmento perpendicular a partir do vértice D de modo que DE II BC (como mostrado na Figura 2). Daí obtemos que

Vamos DF - será. De ΔADE (que será equilátero), obtemos o seguinte:

Ou seja, em termos simples, primeiro encontramos a altura ΔADE, que também é a altura do trapézio. A partir daqui calculamos a área do quadrilátero ABCD, com o valor já conhecido da altura DF, usando a fórmula já conhecida.

Portanto, a área ABCD desejada é de 450 cm³. Ou seja, pode-se dizer com certeza que Para calcular a área de um trapézio, você precisa apenas da soma das bases e do comprimento da altura.

Importante! Ao resolver o problema, não é necessário encontrar o valor dos comprimentos separadamente; é bem possível se forem aplicados outros parâmetros da figura, que, com a devida prova, serão iguais à soma das bases.

Tipos de trapézio

Dependendo dos lados da figura, dos ângulos formados nas bases, existem três tipos de quadriláteros: retangulares, laterais e equiláteros.

Versátil

Existem duas formas: agudo e obtuso. ABCD é agudo apenas se os ângulos da base (AD) forem agudos e os comprimentos dos lados forem diferentes. Se o valor de um ângulo for o número Pi / 2 a mais (a medida do grau for superior a 90 °), obteremos um ângulo obtuso.

Se os lados são iguais em comprimento

Figura 3. Vista de um trapézio isósceles

Se os lados não paralelos são iguais em comprimento, então ABCD é chamado de isósceles (correto). Além disso, para tal quadrilátero, a medida em graus dos ângulos na base é a mesma, seu ângulo será sempre menor que o da direita. É por esta razão que o isósceles nunca é dividido em agudo e obtuso. Um quadrilátero desta forma tem suas próprias diferenças específicas, que incluem:

1. Os segmentos que ligam os vértices opostos são iguais.
2. Ângulos agudos com base maior são de 45° (exemplo ilustrativo na Figura 3).
3. Se você adicionar os graus de ângulos opostos, no total eles darão 180 °.
4. Em torno de qualquer trapézio regular pode ser construído.
5. Se você adicionar a medida em graus de ângulos opostos, então é igual a π.

Além disso, devido ao seu arranjo geométrico de pontos, existem Propriedades básicas de um trapézio isósceles:

Valor do ângulo na base 90°

A perpendicularidade do lado lateral da base é uma característica ampla do conceito de "trapézio retangular". Não pode haver dois lados com cantos na base, porque senão já será um retângulo. Em quadriláteros desse tipo, o segundo lado sempre formará um ângulo agudo com uma base grande e com um menor - obtuso. Neste caso, o lado perpendicular também será a altura.

Segmento entre o meio das paredes laterais

Se conectarmos os pontos médios dos lados e o segmento resultante for paralelo às bases e igual em comprimento à metade de sua soma, a linha reta formada será a linha do meio. O valor desta distância é calculado pela fórmula:

Para um exemplo mais ilustrativo, considere um problema usando a linha do meio.

Tarefa. A linha mediana do trapézio é de 7 cm, sabe-se que um dos lados é 4 cm maior que o outro (Fig. 4). Encontre os comprimentos das bases.

Figura 4. Resolvendo o problema de encontrar comprimentos de base

Decisão. Seja a base menor de DC igual a x cm, então a base maior será igual a (x + 4) cm, respectivamente. Daqui, usando a fórmula para a linha do meio do trapézio, obtemos:

Acontece que a base menor de DC é de 5 cm e a maior é de 9 cm.

Importante! O conceito da linha mediana é a chave para resolver muitos problemas em geometria. Com base em sua definição, muitas provas para outras figuras são construídas. Utilizando o conceito na prática, é possível uma solução mais racional e busca pelo valor requerido.

Determinação da altura e como encontrá-la

Como observado anteriormente, a altura é um segmento que intercepta as bases em um ângulo de 2Pi/4 e é a distância mais curta entre elas. Antes de encontrar a altura do trapézio,é necessário determinar quais valores de entrada são fornecidos. Para uma melhor compreensão, considere o problema. Encontre a altura do trapézio, desde que as bases sejam 8 e 28 cm, os lados sejam 12 e 16 cm, respectivamente.

Figura 5. Resolvendo o problema de encontrar a altura de um trapézio

Traçamos os segmentos DF e CH perpendiculares à base AD, segundo a definição, cada um deles será a altura de um determinado trapézio (Fig. 5). Neste caso, conhecendo o comprimento de cada parede lateral, usando o teorema de Pitágoras, encontramos qual é a altura nos triângulos AFD e BHC.

A soma dos segmentos AF e HB é igual à diferença das bases, ou seja:

Seja o comprimento de AF igual a x cm, então o comprimento do segmento HB = (20 - x) cm. Como foi estabelecido, DF=CH , portanto .

Então obtemos a seguinte equação:

Acontece que o segmento AF no triângulo AFD é de 7,2 cm, a partir daqui calculamos a altura do trapézio DF usando o mesmo teorema de Pitágoras:

Aqueles. a altura do trapézio ADCB será de 9,6 cm.Como você pode ver, o cálculo da altura é um processo mais mecânico, e é baseado nos cálculos dos lados e ângulos dos triângulos. Mas, em vários problemas de geometria, apenas graus de ângulos podem ser conhecidos, caso em que os cálculos serão feitos através da razão dos lados dos triângulos internos.

Importante! Em essência, um trapézio é muitas vezes considerado como dois triângulos, ou como uma combinação de um retângulo e um triângulo. Para resolver 90% de todos os problemas encontrados nos livros escolares, as propriedades e características dessas figuras. A maioria das fórmulas para este GMT são derivadas com base nos "mecanismos" para esses dois tipos de figuras.

Como calcular rapidamente o comprimento da base

Antes de encontrar a base do trapézio, você precisa determinar quais parâmetros já foram fornecidos e como usá-los racionalmente. Uma abordagem prática é extrair o comprimento da base desconhecida da fórmula da linha média. Para uma percepção mais clara da imagem, mostraremos como isso pode ser feito usando um exemplo de tarefa. Saiba que a linha do meio do trapézio mede 7 cm e uma das bases mede 10 cm. Encontre o comprimento da segunda base.

Solução: Sabendo que a linha do meio é igual à metade da soma das bases, pode-se argumentar que a soma delas é 14 cm.

(14cm=7cm×2). Da condição do problema, sabemos que um dos é igual a 10 cm, portanto, o lado menor do trapézio será igual a 4 cm (4 cm = 14 - 10).

Além disso, para uma solução mais confortável de problemas deste tipo, recomendamos que você aprenda bem tais fórmulas da área do trapézio como:

• linha média;
• quadrado;
• altura;
• diagonais.

Conhecendo a essência (precisamente a essência) desses cálculos, você pode descobrir facilmente o valor desejado.

Vídeo: trapézio e suas propriedades

Vídeo: características do trapézio

Conclusão

Dos exemplos de problemas considerados, podemos tirar uma simples conclusão de que o trapézio, em termos de problemas de cálculo, é uma das figuras mais simples da geometria. Para resolver problemas com sucesso, em primeiro lugar, não é necessário decidir quais informações são conhecidas sobre o objeto que está sendo descrito, em quais fórmulas elas podem ser aplicadas e decidir o que precisa ser encontrado. Ao executar este algoritmo simples, nenhuma tarefa usando esta figura geométrica será fácil.