$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Diz-se que $f$ tem máximo local no ponto $x_(0) \in E$ se existe uma vizinhança $U$ do ponto $x_(0)$ tal que para todo $x \in U$ a desigualdade $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.
O máximo local é chamado rigoroso , se a vizinhança $U$ pode ser escolhida de tal forma que para todo $x \in U$ diferente de $x_(0)$ existe $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.
Definição
Seja $f$ uma função real em um conjunto aberto $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Diz-se que $f$ tem mínimo local no ponto $x_(0) \in E$ se existe uma vizinhança $U$ do ponto $x_(0)$ tal que para todo $x \in U$ a desigualdade $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.
Um mínimo local é estrito se a vizinhança $U$ puder ser escolhida de modo que para todo $x \in U$ diferente de $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\direito)$.
Um extremo local combina os conceitos de mínimo local e máximo local.
Teorema (condição necessária para o extremo de uma função diferenciável)
Seja $f$ uma função real em um conjunto aberto $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Se no ponto $x_(0) \in E$ a função $f$ tiver um extremo local também neste ponto, então $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Igualdade a zero diferencial é equivalente ao fato de que todos são iguais a zero, ou seja, $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
No caso unidimensional, isso é . Denote $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, onde $h$ é um vetor arbitrário. A função $\phi$ é definida para valores de módulo suficientemente pequenos de $t$. Além disso, em relação a , é diferenciável, e $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Seja $f$ com um máximo local em x $0$. Assim, a função $\phi$ em $t = 0$ tem um máximo local e, pelo teorema de Fermat, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Então, temos que $df \left(x_(0)\right) = 0$, ou seja, função $f$ no ponto $x_(0)$ é igual a zero em qualquer vetor $h$.
Definição
Os pontos em que o diferencial é igual a zero, ou seja, aquelas em que todas as derivadas parciais são iguais a zero são chamadas estacionárias. Pontos críticos funções $f$ são aqueles pontos em que $f$ não é diferenciável, ou é igual a zero. Se o ponto é estacionário, então ainda não se segue que a função tenha um extremo neste ponto.
Exemplo 1
Seja $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Então $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, então $\left(0,0\right)$ é um ponto estacionário, mas a função não tem extremo neste ponto. De fato, $f \left(0,0\right) = 0$, mas é fácil ver que em qualquer vizinhança do ponto $\left(0,0\right)$ a função assume valores positivos e negativos.
Exemplo 2
A função $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ tem a origem das coordenadas como um ponto estacionário, mas é claro que não há extremo neste ponto.
Teorema (condição suficiente para um extremo).
Seja uma função $f$ duas vezes continuamente diferenciável em um conjunto aberto $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Seja $x_(0) \in E$ um ponto estacionário e $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Então
- se $Q_(x_(0))$ for , então a função $f$ no ponto $x_(0)$ tem um extremo local, ou seja, o mínimo se a forma for positiva-definida e o máximo se a forma for negativo-definido;
- se a forma quadrática $Q_(x_(0))$ for indefinida, então a função $f$ no ponto $x_(0)$ não tem extremo.
Vamos usar a expansão de acordo com a fórmula de Taylor (12.7 p. 292) . Levando em conta que as derivadas parciais de primeira ordem no ponto $x_(0)$ são iguais a zero, obtemos $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i)\ parcial x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ onde $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, e $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ para $h \rightarrow 0$, então o lado direito é positivo para qualquer vetor $h$ de comprimento suficientemente pequeno.
Assim, chegamos à conclusão que em alguma vizinhança do ponto $x_(0)$ a desigualdade $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ é satisfeita se apenas $ x \neq x_ (0)$ (colocamos $x=x_(0)+h$\right). Isto significa que no ponto $x_(0)$ a função tem um mínimo local estrito, e assim a primeira parte do nosso teorema está provada.
Suponha agora que $Q_(x_(0))$ é uma forma indefinida. Então existem vetores $h_(1)$, $h_(2)$ tais que $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Então temos $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Para $t>0$ suficientemente pequeno, o lado direito é positivo. Isso significa que em qualquer vizinhança do ponto $x_(0)$ a função $f$ assume valores $f \left(x\right)$ maiores que $f \left(x_(0)\right)$.
Da mesma forma, obtemos que em qualquer vizinhança do ponto $x_(0)$ a função $f$ assume valores menores que $f \left(x_(0)\right)$. Isso, junto com a anterior, significa que a função $f$ não possui um extremo no ponto $x_(0)$.
Consideremos um caso particular deste teorema para uma função $f \left(x,y\right)$ de duas variáveis definidas em alguma vizinhança do ponto $\left(x_(0),y_(0)\right) $ e tendo derivadas parciais contínuas de primeira e segunda ordens. Seja $\left(x_(0),y_(0)\right)$ um ponto estacionário e $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Então o teorema anterior assume a seguinte forma.
Teorema
Seja $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Então:
- se $\Delta>0$, então a função $f$ tem um extremo local no ponto $\left(x_(0),y_(0)\right)$, ou seja, um mínimo se $a_(11)> 0$ e máximo se $a_(11)<0$;
- se $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
Exemplos de resolução de problemas
Algoritmo para encontrar o extremo de uma função de muitas variáveis:
- Encontramos pontos estacionários;
- Encontramos a diferencial de 2ª ordem em todos os pontos estacionários
- Usando a condição suficiente para o extremo de uma função de várias variáveis, consideramos a diferencial de segunda ordem em cada ponto estacionário
- Investigue a função até o extremo $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
SoluçãoEncontre as derivadas parciais de 1ª ordem: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Componha e resolva o sistema: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Da 2ª equação, expressamos $x=4 \cdot y^(2)$ — substituindo na 1ª equação: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Como resultado, 2 pontos estacionários são obtidos:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
Vamos verificar o cumprimento da condição extrema suficiente:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) Para o ponto $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Para o ponto $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, então existe um extremo no ponto $M_(2)$, e como $A_(2)>0 $, então este é o mínimo.
Resposta: O ponto $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ é o ponto mínimo da função $f$. - Investigue a função para o extremo $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
SoluçãoEncontre pontos estacionários: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Componha e resolva o sistema: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(casos) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ é um ponto estacionário.
Vamos verificar o cumprimento da condição extrema suficiente: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Resposta: não há extremos.
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Número de pontos: 1Investigue a função $f$ para extremos: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
Corretamente
Não corretamente
A mudança de uma função em um determinado ponto e é definida como o limite do incremento da função para o incremento do argumento, que tende a zero. Para encontrá-lo, use a tabela de derivadas. Por exemplo, a derivada da função y = x3 será igual a y’ = x2.
Iguale esta derivada a zero (neste caso x2=0).
Encontre o valor da variável dada. Esses serão os valores para os quais essa derivada será igual a 0. Para fazer isso, substitua números arbitrários na expressão em vez de x, nos quais toda a expressão se tornará zero. Por exemplo:
2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1
Aplique os valores obtidos na linha de coordenadas e calcule o sinal da derivada para cada um dos obtidos. Os pontos são marcados na linha de coordenadas, que são tomadas como origem. Para calcular o valor nos intervalos, substitua valores arbitrários que correspondam aos critérios. Por exemplo, para a função anterior até o intervalo -1, você pode escolher o valor -2. Para -1 a 1, você pode escolher 0, e para valores maiores que 1, escolha 2. Substitua esses números na derivada e descubra o sinal da derivada. Neste caso, a derivada com x = -2 será igual a -0,24, ou seja negativo e haverá um sinal de menos neste intervalo. Se x=0, então o valor será igual a 2, e um sinal é colocado neste intervalo. Se x=1, então a derivada também será igual a -0,24 e um menos é colocado.
Se, ao passar por um ponto na linha de coordenadas, a derivada muda seu sinal de menos para mais, então este é um ponto de mínimo, e se de mais para menos, então este é um ponto de máximo.
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Conselho útil
Para encontrar a derivada, existem serviços online que calculam os valores necessários e exibem o resultado. Nesses sites, você pode encontrar um derivado de até 5 pedidos.
Fontes:
- Um dos serviços para cálculo de derivativos
- ponto máximo da função
Os pontos máximos da função junto com os pontos mínimos são chamados de pontos extremos. Nesses pontos, a função muda seu comportamento. Os extremos são determinados em intervalos numéricos limitados e são sempre locais.
Instrução
O processo de encontrar extremos locais é chamado de função e é realizado analisando a primeira e a segunda derivadas da função. Antes de iniciar a exploração, certifique-se de que o intervalo especificado de valores de argumento pertence aos valores permitidos. Por exemplo, para a função F=1/x, o valor do argumento x=0 é inválido. Ou para a função Y=tg(x), o argumento não pode ter o valor x=90°.
Certifique-se de que a função Y seja diferenciável em todo o intervalo fornecido. Encontre a primeira derivada Y". É óbvio que antes de atingir o ponto de máximo local, a função aumenta, e ao passar pelo máximo, a função torna-se decrescente. A primeira derivada em seu significado físico caracteriza a taxa de variação da função. Enquanto a função está aumentando, a taxa desse processo é um valor positivo. Ao passar por um máximo local, a função começa a diminuir e a taxa do processo de mudança da função se torna negativa. A transição da taxa de mudança da função até zero ocorre no ponto de máximo local.
Diz-se que a função tem um ponto interno 
áreas D
máximo local(mínimo) se existe tal vizinhança do ponto 
, para cada ponto 
que satisfaz a desigualdade
Se a função tem no ponto 
máximo local ou mínimo local, então dizemos que tem neste ponto extremo local(ou apenas extremo).
Teorema
(uma condição necessária para a existência de um extremo). Se a função diferenciável atinge um extremo no ponto 
, então cada derivada parcial de primeira ordem da função 
desaparece neste momento.
Os pontos em que todas as derivadas parciais de primeira ordem desaparecem são chamados pontos estacionários da função
. As coordenadas desses pontos podem ser encontradas resolvendo o sistema de 
equações
.
A condição necessária para a existência de um extremo no caso de uma função diferenciável pode ser brevemente formulada da seguinte forma:
Há casos em que em alguns pontos algumas derivadas parciais têm valores infinitos ou não existem (enquanto as demais são iguais a zero). Tais pontos são chamados pontos críticos da função. Esses pontos também devem ser considerados "suspeitos" para um extremo, assim como para os estacionários.
No caso de uma função de duas variáveis, a condição necessária para um extremo, ou seja, a igualdade a zero das derivadas parciais (diferenciais) no ponto extremo, tem uma interpretação geométrica: plano tangente à superfície 
no ponto extremo deve ser paralelo ao plano 
.
20. Condições suficientes para a existência de um extremo
O preenchimento da condição necessária para a existência de um extremo em algum ponto não garante a existência de um extremo ali. Como exemplo, podemos tomar a função diferenciável em todos os lugares 
. Tanto suas derivadas parciais quanto a própria função desaparecem no ponto 
. No entanto, em qualquer vizinhança deste ponto, existem ambos positivos (grandes 
) e negativo (menor 
) valores desta função. Portanto, neste ponto, por definição, não há extremo. Portanto, é necessário conhecer condições suficientes sob as quais um ponto suspeito de um extremo é um ponto extremo da função em estudo.
Considere o caso de uma função de duas variáveis. Vamos supor que a função 
é definida, contínua e tem derivadas parciais contínuas até e incluindo a segunda ordem em uma vizinhança de algum ponto 
, que é o ponto estacionário da função 
, ou seja, satisfaz as condições
,
.
Vamos introduzir a notação:
Teorema
(condições suficientes para a existência de um extremo). Deixe a função 
satisfaz as condições acima, a saber: diferenciável em alguma vizinhança do ponto estacionário 
e é duas vezes diferenciável no próprio ponto 
. Então se
Se 
então a função 
no ponto 
atinge
máximo local no 
e
mínimo local no 
.
Em geral, para uma função 
condição suficiente para a existência em um ponto 
localmínimo(máximo) é positivo(negativo) a definitude do segundo diferencial.
Em outras palavras, a afirmação a seguir é verdadeira.
Teorema
.
Se no ponto 
para função 
para qualquer diferente de zero ao mesmo tempo 
, então neste ponto a função tem mínimo(semelhante máximo, E se 
).
Exemplo 18.Encontrar pontos extremos locais de uma função 
Solução. Encontre as derivadas parciais da função e iguale-as a zero:
Resolvendo este sistema, encontramos dois possíveis pontos extremos:
Vamos encontrar derivadas parciais de segunda ordem para esta função:
No primeiro ponto estacionário , portanto, e 
Portanto, mais pesquisas são necessárias para este ponto. Valor da função 
neste ponto é zero: 
Mais longe,
no 
uma
no 
Portanto, em qualquer vizinhança do ponto 
função 
assume valores tão grandes 
, e menor 
, e portanto no ponto 
função 
, por definição, não tem extremo local.
No segundo ponto estacionário 
portanto, pois, desde 
então no ponto 
a função tem um máximo local.
PONTOS MÁXIMO E MÍNIMO
pontos em que leva os maiores ou menores valores no domínio de definição; esses pontos são chamados também pontos de máximo absoluto ou mínimo absoluto. Se f é definido em uma topologia espaço X, então o ponto x 0 chamado ponto de máximo local (mínimo local), se tal ponto existir x 0, que para a restrição da função em consideração a esta vizinhança, o ponto x 0é o ponto de máximo (mínimo) absoluto. Distinguir pontos de máximo estrito e não estrito (mini m u m a) (absolutos e locais). Por exemplo, um ponto chamado ponto de um máximo local não estrito (estrito) da função f, se existir tal vizinhança do ponto x 0, que vale para todos (respectivamente, f(x)
Para funções definidas em domínios de dimensão finita, em termos de cálculo diferencial, existem condições e critérios para que um determinado ponto seja um ponto de máximo (mínimo) local. Seja a função f definida em uma certa vizinhança da caixa x 0 do eixo real. Se um x 0 - ponto de máximo local não estrito (mínimo) e neste ponto existe f"( x0),
então é igual a zero.
Se uma dada função f é diferenciável em uma vizinhança de um ponto x0, exceto, talvez, para este próprio ponto, no qual é contínuo, e a derivada f" em cada lado do ponto x0 preserva um sinal constante neste bairro, então para x0 foi um ponto de máximo local estrito (mínimo local), é necessário e suficiente que a derivada mude o sinal de mais para menos, ou seja, que f "(x)> 0 em x<.x0 e f"(x)<0 при x>x0(respectivamente de menos para mais: f"(X) <0
em x<x0 e f"(x)>0 quando x> x 0).
No entanto, nem para toda função diferenciável em uma vizinhança de um ponto x0, pode-se falar de uma mudança no sinal da derivada neste ponto. . "
Se a função f tem no ponto x 0 t derivados, além disso, a fim de x 0é um ponto de máximo local estrito, é necessário e suficiente que τ seja par e que f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.
Seja a função f( x 1 ..., x p] é definido em uma vizinhança n-dimensional de um ponto e é diferenciável neste ponto. Se x (0) é um ponto de máximo (mínimo) local não estrito, então a função f neste ponto é igual a zero. Esta condição é equivalente à igualdade a zero neste ponto de todas as derivadas parciais de 1ª ordem da função f. Se uma função tem 2ª derivadas parciais contínuas em x(0) , todas as suas 1ª derivadas desaparecem em x(0) e a diferencial de 2ª ordem em x(0) é uma forma quadrática negativa (positiva), então x(0) é uma ponto de máximo local estrito (mínimo). As condições são conhecidas para as funções diferenciáveis M. e M. T., quando certas restrições são impostas às mudanças nos argumentos: as equações de restrição são satisfeitas. Condições necessárias e suficientes para o máximo (mínimo) de uma função real, que possui uma estrutura mais complexa, são estudadas em ramos especiais da matemática: por exemplo, em análise convexa, programação matemática(Veja também Maximização e minimização de função).
As funções M. e m.t. definidas em variedades são estudadas em cálculo de variações em geral, e M. e m.t. para funções definidas em espaços funcionais, ou seja, para funcionais, em cálculo variacional. Existem também vários métodos de determinação numérica aproximada de M. e m.t.
Aceso.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3ª ed., Parte 1, M., 1971; KudryavtsevL. L.D. Kudryavtsev.
Enciclopédia matemática. - M.: Enciclopédia Soviética. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
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Para uma função f(x) de muitas variáveis, o ponto x é um vetor, f'(x) é o vetor das primeiras derivadas (gradiente) da função f(x), f ′ ′(x) é uma matriz simétrica de segundas derivadas parciais (matriz de Hesse − Hessiana) funções f(x).
Para uma função de várias variáveis, as condições de otimalidade são formuladas como segue.
Uma condição necessária para a otimização local. Seja f(x) diferenciável no ponto x * R n . Se x * é um ponto extremo local, então f'(x *) = 0.
Como antes, os pontos que são soluções de um sistema de equações são chamados de estacionários. A natureza do ponto estacionário x * está relacionada com a definibilidade de sinal da matriz hessiana f′ ′(x).
A definição de sinal da matriz A depende dos sinais da forma quadrática Q(α)=< α A, α >para todo α∈R n não nulo.
Aqui e mais adiante
Uma matriz A é definida positivamente (não negativamente) se Q(α)>0 (Q(α)≥0) para todo α∈R n não nulo; negativamente (não positivamente) definido se Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 para algum α∈R n e Q(α) diferente de zero<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Uma condição suficiente para a otimização local. Seja f(x) duas vezes diferenciável no ponto x * R n , e f'(x *)=0 , ou seja. x * − ponto estacionário. Então, se a matriz f (x *) é positiva (negativa) definida, então x * é um ponto local de mínimo (máximo); se a matriz f′′(x *) é indefinida, então x * é um ponto de sela.
Se a matriz f′′(x *) é não-negativa (não-positivamente) definida, então, para determinar a natureza do ponto estacionário x *, é necessário o estudo de derivadas de ordem superior.
Para verificar a definibilidade de sinal de uma matriz, como regra, o critério de Sylvester é usado. De acordo com este critério, uma matriz simétrica A é definida positiva se e somente se todos os seus menores angulares são positivos. Neste caso, o menor angular da matriz A é o determinante da matriz construída a partir dos elementos da matriz A, situando-se na intersecção de linhas e colunas com os mesmos (e os primeiros) números. Para verificar a matriz simétrica A quanto à definitude negativa, deve-se verificar a matriz (−A) quanto à definitude positiva.
Assim, o algoritmo para determinar os pontos de extremos locais de uma função de muitas variáveis é o seguinte.
1. Encontre f′(x).
2. O sistema é resolvido 
Como resultado, os pontos estacionários x i são calculados.
3. Encontre f′′(x), defina i=1.
4. Encontre f′′(x i)
5. Calculam-se os menores angulares da matriz f′′(x i). Se nem todos os menores angulares são diferentes de zero, então, para determinar a natureza do ponto estacionário x i, é necessário o estudo de derivadas de ordem superior. Neste caso, a transição para o item 8 é realizada.
Caso contrário, vá para a etapa 6.
6. Analisam-se os sinais dos menores angulares f′′(x i). Se f′′(x i) é definida positiva, então x i é um ponto de mínimo local. Neste caso, a transição para o item 8 é realizada.
Caso contrário, vá para o item 7.
7. Calculam-se os menores angulares da matriz -f′′(x i) e analisam-se os seus sinais.
Se -f′′(x i) − é definido positivo, então f′′(x i) é definido negativo e xi é um ponto de máximo local.
Caso contrário, f′′(x i) é indefinida e x i é um ponto de sela.
8. A condição para determinar a natureza de todos os pontos estacionários i=N é verificada.
Se for satisfeito, os cálculos são concluídos.
Se a condição não for atendida, então i=i+1 é assumido e a transição para a etapa 4 é realizada.
Exemplo 1. Determine os pontos de extremos locais da função f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 
Como todos os cantos menores são diferentes de zero, o caractere de x 2 é determinado por f′′(x).
Como a matriz f′′(x 2) é definida positiva, x 2 é um ponto de mínimo local.
Resposta: a função f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 tem um mínimo local no ponto x = (5/3; 8/3).
