Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcții matematice care sunt inversul funcțiilor trigonometrice.
Funcția y=arcsin(x)
Arcsinusul unui număr α este un număr α din intervalul [-π/2;π/2] al cărui sinus este egal cu α.
Graficul unei funcții
Funcția у= sin(x) pe intervalul [-π/2;π/2], este strict crescătoare și continuă; prin urmare, are o funcție inversă, strict crescătoare și continuă.
Funcția inversă pentru funcția y= sin(x), unde x ∈[-π/2;π/2], se numește arcsinus și se notează y=arcsin(x), unde x∈[-1;1; ].
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arcsinusului este segmentul [-1;1], iar mulțimea de valori este segmentul [-π/2;π/2].
Rețineți că graficul funcției y=arcsin(x), unde x ∈[-1;1], este simetric cu graficul funcției y= sin(x), unde x∈[-π/2;π /2], în raport cu bisectoarea unghiurilor de coordonate primul și al treilea sfert.
Domeniul de funcții y=arcsin(x).
Exemplul nr. 1.
Găsiți arcsin(1/2)?
Deoarece intervalul de valori al funcției arcsin(x) aparține intervalului [-π/2;π/2], atunci este potrivită doar valoarea π/6. Prin urmare, arcsin(1/2) =π/ 6.
Răspuns: π/6
Exemplul nr. 2.
Găsiți arcsin(-(√3)/2)?
Deoarece intervalul de valori arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], atunci numai valoarea -π/3 este potrivită. Prin urmare, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.
Funcția y=arccos(x)
Arccosinusul unui număr α este un număr α din intervalul al cărui cosinus este egal cu α.
Graficul unei funcții
Funcția y= cos(x) pe segment este strict descrescătoare și continuă; prin urmare, are o funcție inversă, strict descrescătoare și continuă.
Se numește funcția inversă pentru funcția y= cosx, unde x ∈ arc cosinusși se notează cu y=arccos(x),unde x ∈[-1;1].
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arcului cosinus este segmentul [-1;1], iar setul de valori este segmentul.
Rețineți că graficul funcției y=arccos(x), unde x ∈[-1;1] este simetric cu graficul funcției y= cos(x), unde x ∈, în raport cu bisectoarea unghiurile de coordonate ale primului și al treilea sferturi.
Domeniul de funcții y=arccos(x).
Exemplul nr. 3.
Găsiți arccos(1/2)?
Deoarece intervalul de valori este arccos(x) x∈, atunci este potrivită doar valoarea π/3. Prin urmare, arccos(1/2) =π/3.
Exemplul nr. 4.
Găsiți arccos(-(√2)/2)?
Deoarece intervalul de valori al funcției arccos(x) aparține intervalului, atunci este potrivită doar valoarea 3π/4. Prin urmare, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.
Răspuns: 3π/4
Funcția y=arctg(x)
Arctangenta unui număr α este un număr α din intervalul [-π/2;π/2] a cărui tangentă este egală cu α.
Graficul unei funcții 
Funcția tangentă este continuă și strict crescătoare pe interval (-π/2;π/2); prin urmare, are o funcție inversă care este continuă și strict crescătoare.
Funcția inversă pentru funcția y= tan(x), unde x∈(-π/2;π/2); se numește arctangentă și se notează cu y=arctg(x), unde x∈R.
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arctangentei este intervalul (-∞;+∞), iar setul de valori este intervalul
(-π/2;π/2).
Rețineți că graficul funcției y=arctg(x), unde x∈R, este simetric față de graficul funcției y= tanx, unde x ∈ (-π/2;π/2), relativ la bisectoarea unghiurilor de coordonate ale primului și al treilea sferturi.
Domeniul funcției y=arctg(x).
Exemplul nr. 5?
Găsiți arctan((√3)/3).
Deoarece intervalul de valori arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), atunci este potrivită doar valoarea π/6. Prin urmare, arctg((√3)/3) =π/6.
Exemplul nr. 6.
Găsiți arctg(-1)?
Deoarece intervalul de valori arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), atunci este potrivită doar valoarea -π/4. Prin urmare, arctg(-1) = - π/4.
Funcția y=arcctg(x)
Cotangenta arcului unui număr α este un număr α din intervalul (0;π) a cărui cotangentă este egală cu α.
Graficul unei funcții
Pe intervalul (0;π), funcția cotangentă scade strict; în plus, este continuă în fiecare punct al acestui interval; prin urmare, pe intervalul (0;π), această funcție are o funcție inversă, care este strict descrescătoare și continuă.
Funcția inversă pentru funcția y=ctg(x), unde x ∈(0;π), se numește arccotangent și se notează y=arcctg(x), unde x∈R.
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definiție al cotangentei arcului va fi R, iar setul de valori va fi intervalul (0;π). Graficul funcției y=arcctg(x ), unde x∈R este simetric față de graficul funcției y=ctg(x) x∈(0 ;π), în raport cu bisectoarea unghiurilor de coordonate ale primului și al treilea sfert.
Domeniul de funcții y=arcctg(x).
Exemplul nr. 7.
Găsiți arcctg((√3)/3)?
Deoarece intervalul de valori arcctg(x) x ∈(0;π), atunci este potrivită doar valoarea π/3. Prin urmare, arccos((√3)/3) =π/3.
Exemplul nr. 8.
Găsiți arcctg(-(√3)/3)?
Deoarece intervalul de valori este arcctg(x) x∈(0;π), atunci este potrivită doar valoarea 2π/3. Prin urmare, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.
Editori: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Definiție și notare
Arcsin (y = arcsin x) este funcția inversă a sinusului (x = siny -1 ≤ x ≤ 1și setul de valori -π /2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Arcsinul este uneori notat după cum urmează:
.
Graficul funcției arcsinus
Graficul funcției y = arcsin x
Graficul arcsinus este obținut din graficul sinus dacă axele absciselor și ordonatelor sunt schimbate. Pentru a elimina ambiguitatea, intervalul de valori este limitat la intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește valoarea principală a arcsinusului.
Arccosine, arccos
Definiție și notare
Arccosinus (y = arccos x) este funcția inversă a cosinusului (x = ca si). Are un domeniu de aplicare -1 ≤ x ≤ 1și multe sensuri 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Arccosinul este uneori notat după cum urmează:
.
Graficul funcției arc cosinus
Graficul funcției y = arccos x
Graficul arc-cosinus este obținut din graficul cosinus dacă axele absciselor și ordonatelor sunt schimbate. Pentru a elimina ambiguitatea, intervalul de valori este limitat la intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește valoarea principală a arcului cosinus.
Paritate
Funcția arcsinus este impară:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Funcția arc cosinus nu este pară sau impară:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Proprietăți - extreme, creștere, scădere
Funcțiile arcsinus și arccosinus sunt continue în domeniul lor de definiție (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale arcsinusului și arccosinului sunt prezentate în tabel.
| y= arcsin x | y= arccos x | |
| Domeniul de aplicare și continuitatea | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Gama de valori | ||
| Urcând, coborând | crește monoton | scade monoton |
| Înalte | ||
| Minime | ||
| Zerouri, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0 | y= 0 | y = π/ 2 |
Tabel de arcsinus și arccosinus
Acest tabel prezintă valorile arcsinusurilor și arccosinusului, în grade și radiani, pentru anumite valori ale argumentului.
| X | arcsin x | arccos x | ||
| grindină | bucuros. | grindină | bucuros. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formule
Vezi si: Derivarea formulelor pentru funcții trigonometrice inverseFormule de sumă și diferență
la sau
la şi
la şi
la sau
la şi
la şi
la
la
la
la
Expresii prin logaritmi, numere complexe
Vezi si: Formule derivateExpresii prin funcții hiperbolice
Derivate
;
.
Vezi Derivarea derivaților arcsinus și arccosinus > > >
Derivate de ordin superior:
,
unde este un polinom de grad . Acesta este determinat de formulele:
;
;
.
Vezi Derivarea derivatelor de ordin superior ale arcsinusului și arccosinului > > >
Integrale
Facem substituția x = sint. Integram pe parti, tinand cont ca -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Să exprimăm arc cosinus prin arc sinus:
.
Extinderea seriei
Când |x|< 1
are loc următoarea descompunere:
;
.
Funcții inverse
Inversurile arcsinusului și arccosinusului sunt sinus și cosinus, respectiv.
Următoarele formule sunt valabile în întregul domeniu de definiție:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Următoarele formule sunt valabile numai pentru setul de valori arcsinus și arccosinus:
arcsin(sin x) = x la
arccos(cos x) = x la .
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
Funcții trigonometrice inverse- acestea sunt arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent.
Mai întâi să dăm câteva definiții.
Arcsin Sau, putem spune că acesta este un unghi aparținând unui segment al cărui sinus este egal cu numărul a.
arc cosinus numărul a se numește un număr astfel încât
Arctangent numărul a se numește un număr astfel încât
Arccotangent numărul a se numește un număr astfel încât
Să vorbim în detaliu despre aceste patru funcții noi pentru noi - cele trigonometrice inverse.
Ține minte, ne-am întâlnit deja.
De exemplu, rădăcina pătrată aritmetică a lui a este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a.
Logaritmul unui număr b la baza a este un număr c astfel încât
în care
Înțelegem de ce matematicienii au fost nevoiți să „inventeze” noi funcții. De exemplu, soluțiile unei ecuații sunt și Nu le-am putea scrie fără simbolul special aritmetic rădăcină pătrată.
Conceptul de logaritm s-a dovedit a fi necesar pentru a scrie soluții, de exemplu, la această ecuație: soluția acestei ecuații este un număr irațional. Acesta este un exponent al puterii la care trebuie ridicat 2 pentru a obține 7.
La fel este și cu ecuațiile trigonometrice. De exemplu, vrem să rezolvăm ecuația
Este clar că soluțiile sale corespund punctelor din cercul trigonometric a căror ordonată este egală cu Și este clar că aceasta nu este valoarea tabelară a sinusului. Cum să notez soluțiile?
Aici nu ne putem lipsi de o nouă funcție, desemnând unghiul al cărui sinus este egal cu un număr dat a. Da, toată lumea a ghicit deja. Acesta este arcsinus.
Unghiul aparținând segmentului al cărui sinus este egal cu este arcsinusul unei pătrimi. Și aceasta înseamnă că seria de soluții ale ecuației noastre corespunzătoare punctului drept de pe cercul trigonometric este
Și a doua serie de soluții la ecuația noastră este
Aflați mai multe despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice -.
Rămâne de aflat - de ce definiția arcsinusului indică faptul că acesta este un unghi aparținând segmentului?
Faptul este că există infinit de unghiuri al căror sinus este egal cu, de exemplu, . Trebuie să alegem una dintre ele. O alegem pe cea care se află pe segment .
Aruncă o privire la cercul trigonometric. Veți vedea că pe segment fiecărui unghi îi corespunde o anumită valoare a sinusului, și doar una. Și invers, orice valoare a sinusului din segment corespunde unei singure valori a unghiului de pe segment. Aceasta înseamnă că pe un segment puteți defini o funcție luând valori de la până la
Să repetăm definiția din nou:
Arcsinusul unui număr este numărul , astfel încât
Denumire: Zona de definiție arcsinus este un segment, intervalul de valori este un segment.
Vă puteți aminti expresia „arcsines trăiesc pe dreapta”. Doar nu uitați că nu este doar în dreapta, ci și pe segment.
Suntem gata să graficăm funcția
Ca de obicei, trasăm valorile x pe axa orizontală și valorile y pe axa verticală.
Deoarece, prin urmare, x se află în intervalul de la -1 la 1.
Aceasta înseamnă că domeniul de definire al funcției y = arcsin x este segmentul
Am spus că y aparține segmentului . Aceasta înseamnă că intervalul de valori al funcției y = arcsin x este segmentul.
Rețineți că graficul funcției y=arcsinx se încadrează în întregime în zona delimitată de linii și
Ca întotdeauna când trasați un grafic al unei funcții necunoscute, să începem cu un tabel.
Prin definiție, arcsinusul lui zero este un număr din segmentul al cărui sinus este egal cu zero. Ce este acest numar? - Este clar că acesta este zero.
În mod similar, arcsinusul lui unu este un număr din segmentul al cărui sinus este egal cu unu. Evident asta
Continuăm: - acesta este un număr din segmentul al cărui sinus este egal cu . Da
| 0 | |||||
| 0 |
Construirea unui grafic al unei funcții
Proprietățile funcției
1. Domeniul de aplicare a definiției
2. Gama de valori
3., adică această funcție este impară. Graficul său este simetric față de origine.
4. Funcția crește monoton. Valoarea sa minimă, egală cu - , este atinsă la , iar valoarea sa cea mai mare, egală cu , la
5. Ce reprezintă graficele funcţiilor şi ? Nu crezi că sunt „făcute după același model” - la fel ca ramura dreaptă a unei funcții și graficul unei funcții, sau ca graficele funcțiilor exponențiale și logaritmice?
Imaginați-vă că tăiem un mic fragment de la la la dintr-o undă sinusoidală obișnuită, apoi îl întoarcem pe verticală - și vom obține un grafic arcsinus.
Ce pentru o funcție pe acest interval sunt valorile argumentului, apoi pentru arcsinus vor fi valorile funcției. Așa ar trebui să fie! La urma urmei, sinus și arcsinus sunt funcții reciproc inverse. Alte exemple de perechi de funcții reciproc inverse sunt la și , precum și funcțiile exponențiale și logaritmice.
Amintiți-vă că graficele funcțiilor reciproc inverse sunt simetrice față de dreapta
În mod similar, definim funcția.Avem nevoie doar de un segment pe care fiecare valoare a unghiului să corespundă cu propria sa valoare a cosinusului, iar cunoscând cosinusul, putem găsi în mod unic unghiul. Ni se va potrivi un segment
Arccosinusul unui număr este numărul , astfel încât
Este ușor de reținut: „cosinusurile arcului trăiesc de sus” și nu doar de sus, ci pe segment
Denumire: Zona de definire a arcului cosinus este un segment, intervalul de valori este un segment.
Evident, s-a ales segmentul pentru că pe el se ia fiecare valoare de cosinus o singură dată. Cu alte cuvinte, fiecare valoare a cosinusului, de la -1 la 1, corespunde unei singure valori de unghi din interval
Arccosinusul nu este nici o funcție pară, nici impară. Dar putem folosi următoarea relație evidentă:
Să diagramăm funcția
Avem nevoie de o secțiune a funcției în care este monotonă, adică ia fiecare valoare exact o dată.
Să alegem un segment. Pe acest segment funcția scade monoton, adică corespondența dintre mulțimi este unu-la-unu. Fiecare valoare x are o valoare y corespunzătoare. Pe acest segment există o funcție inversă cosinusului, adică funcția y = arccosx.
Să completăm tabelul folosind definiția arccosinusului.
Arccosinusul unui număr x aparținând intervalului va fi un număr y aparținând intervalului astfel încât
Aceasta înseamnă, deoarece ;
Deoarece ;
Deoarece ,
Deoarece ,
| 0 | |||||
| 0 |
Iată graficul arccosinus:
Proprietățile funcției
1. Domeniul de aplicare a definiției
2. Gama de valori
Această funcție are o formă generală - nu este nici par, nici impar.
4. Funcția este strict în scădere. Funcția y = arccosx ia cea mai mare valoare, egală cu , la , iar cea mai mică valoare, egală cu zero, ia la
5. Funcțiile și sunt reciproc inverse.
Următoarele sunt arctangente și arccotangente.
Arctangenta unui număr este numărul , astfel încât
Denumire: . Aria de definire a arctangentei este intervalul.Aria valorilor este intervalul.
De ce sunt excluse capetele intervalului - puncte - în definiția arctangentei? Desigur, pentru că tangenta în aceste puncte nu este definită. Nu există un număr a egal cu tangenta niciunuia dintre aceste unghiuri.
Să construim un grafic al arctangentei. Conform definiției, arctangenta unui număr x este un număr y aparținând intervalului astfel încât
Cum să construiți un grafic este deja clar. Deoarece arctangenta este funcția inversă a tangentei, procedăm după cum urmează:
Selectăm o secțiune a graficului funcției în care corespondența dintre x și y este unu-la-unu. Acesta este intervalul C. În această secțiune, funcția ia valori de la până la
Atunci funcția inversă, adică funcția, are un domeniu de definiție care va fi întreaga linie numerică, de la până la, iar intervalul de valori va fi intervalul
Mijloace,
Mijloace,
Mijloace,
Dar ce se întâmplă cu valori infinit de mari ale lui x? Cu alte cuvinte, cum se comportă această funcție când x tinde spre plus infinit?
Ne putem pune întrebarea: pentru ce număr din interval tinde valoarea tangentei spre infinit? - Evident asta
Aceasta înseamnă că pentru valori infinit de mari ale lui x, graficul arctangent se apropie de asimptota orizontală
În mod similar, dacă x se apropie de minus infinit, graficul arctangent se apropie de asimptota orizontală
Figura prezintă un grafic al funcției
Proprietățile funcției
1. Domeniul de aplicare a definiției
2. Gama de valori
3. Funcția este impară.
4. Funcția este strict în creștere.
6. Funcționează și sunt reciproc inverse - desigur, când funcția este considerată pe interval
În mod similar, definim funcția tangentă inversă și trasăm graficul acesteia.
Arccotangente a unui număr este numărul , astfel încât
Graficul funcției:
Proprietățile funcției
1. Domeniul de aplicare a definiției
2. Gama de valori
3. Funcția este de formă generală, adică nici pară, nici impară.
4. Funcția este strict în scădere.
5. Asimptote directe și - orizontale ale acestei funcții.
6. Funcțiile și sunt reciproc inverse dacă sunt luate în considerare pe interval
Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, funcțiile lor inverse nu sunt unice. Deci, ecuația y = sin x, pentru un dat, are infinit de rădăcini. Într-adevăr, datorită periodicității sinusului, dacă x este o astfel de rădăcină, atunci așa este x + 2πn(unde n este un număr întreg) va fi, de asemenea, rădăcina ecuației. Prin urmare, funcțiile trigonometrice inverse sunt multivalorice. Pentru a facilita lucrul cu ei, este introdus conceptul semnificațiilor lor principale. Luați în considerare, de exemplu, sinus: y = sin x. Dacă limităm argumentul x la intervalul , atunci pe el funcția y = sin x crește monoton. Prin urmare, are o funcție inversă unică, care se numește arcsinus: x = arcsin y.
Dacă nu se specifică altfel, prin funcții trigonometrice inverse înțelegem valorile lor principale, care sunt determinate de următoarele definiții.
Arcsin ( y= arcsin x) este funcția inversă a sinusului ( x = siny
Arccosinus ( y= arccos x) este funcția inversă a cosinusului ( x = ca si), având un domeniu de definiție și un set de valori.
Arctangent ( y= arctan x) este funcția inversă a tangentei ( x = tg y), având un domeniu de definiție și un set de valori.
arccotangent ( y= arcctg x) este funcția inversă a cotangentei ( x = ctg y), având un domeniu de definiție și un set de valori.
Grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse
Graficele funcțiilor trigonometrice inverse se obțin din graficele funcțiilor trigonometrice prin reflexie în oglindă față de dreapta y = x. Vezi secțiunile Sinus, cosinus, Tangent, cotangent.
y= arcsin x
y= arccos x
y= arctan x
y= arcctg x
Formule de bază
Aici ar trebui să acordați o atenție deosebită intervalelor pentru care formulele sunt valabile.
arcsin(sin x) = x la
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x la
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = x la
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x la
ctg(arcctg x) = x
Formule care raportează funcții trigonometrice inverse
Vezi si: Derivarea formulelor pentru funcții trigonometrice inverseFormule de sumă și diferență
la sau
la şi
la şi
la sau
la şi
la şi
la
la
la
la
la
la
la
la
la
la
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
Funcția cosinus invers
Gama de valori ale funcției y=cos x (vezi Fig. 2) este un segment. Pe segment funcția este continuă și monoton descrescătoare.
Orez. 2
Aceasta înseamnă că funcția inversă funcției y=cos x este definită pe segment. Această funcție inversă se numește arc cosinus și se notează y=arccos x.
Definiție
Arccosinusul unui număr a, dacă |a|1, este unghiul al cărui cosinus aparține segmentului; se notează cu arccos a.
Astfel, arccos a este un unghi care îndeplinește următoarele două condiții: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.
De exemplu, arccos, deoarece cos și; arccos, din moment ce cos si.
Funcția y = arccos x (Fig. 3) este definită pe un segment, intervalul său de valori este segmentul. Pe segment, funcția y=arccos x este continuă și scade monoton de la p la 0 (deoarece y=cos x este o funcție continuă și monoton descrescătoare pe segment); la capetele segmentului atinge valorile sale extreme: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. De observat ca arccos 0 = . Graficul funcției y = arccos x (vezi Fig. 3) este simetric cu graficul funcției y = cos x raportat la dreapta y=x.
Orez. 3
Să arătăm că egalitatea arccos(-x) = p-arccos x este valabilă.
De fapt, prin definiție 0? arccos x? R. Înmulțind cu (-1) toate părțile ultimei inegalități duble, obținem - p? arccos x? 0. Adăugând p la toate părțile ultimei inegalități, aflăm că 0? p-arccos x? R.
Astfel, valorile unghiurilor arccos(-x) și p - arccos x aparțin aceluiași segment. Deoarece cosinusul scade monoton pe un segment, nu pot exista două unghiuri diferite pe acesta care să aibă cosinusuri egale. Să găsim cosinusurile unghiurilor arccos(-x) și p-arccos x. Prin definiție, cos (arccos x) = - x, după formulele de reducere și prin definiție avem: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Deci, cosinusurile unghiurilor sunt egale, ceea ce înseamnă că unghiurile în sine sunt egale.
Funcția sinus invers
Să considerăm funcția y=sin x (Fig. 6), care pe segmentul [-р/2;р/2] este crescător, continuă și ia valori din segmentul [-1; 1]. Aceasta înseamnă că pe segmentul [- p/2; p/2] este definită funcția inversă a funcției y=sin x.
Orez. 6
Această funcție inversă se numește arcsinus și se notează y=arcsin x. Să introducem definiția arcsinusului unui număr.
Arcsinusul unui număr este un unghi (sau arc) al cărui sinus este egal cu numărul a și care aparține segmentului [-р/2; p/2]; se notează cu arcsin a.
Astfel, arcsin a este un unghi care satisface următoarele condiții: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin huh? r/2. De exemplu, din moment ce sin și [- p/2; p/2]; arcsin, deoarece sin = u [- p/2; p/2].
Funcția y=arcsin x (Fig. 7) este definită pe segmentul [- 1; 1], intervalul valorilor sale este segmentul [-р/2;р/2]. Pe segmentul [- 1; 1] funcția y=arcsin x este continuă și crește monoton de la -p/2 la p/2 (asta rezultă din faptul că funcția y=sin x pe segmentul [-p/2; p/2] este continuă si creste monoton). Se ia cea mai mare valoare la x = 1: arcsin 1 = p/2, iar cea mai mică la x = -1: arcsin (-1) = -p/2. La x = 0 funcția este zero: arcsin 0 = 0.
Să arătăm că funcția y = arcsin x este impară, adică. arcsin(-x) = - arcsin x pentru orice x [ - 1; 1].
Într-adevăr, prin definiție, dacă |x| ?1, avem: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Astfel, unghiurile arcsin(-x) și - arcsin x aparțin aceluiași segment [ - p/2; p/2].
Să găsim sinusurile acestora unghiuri: sin (arcsin(-x)) = - x (prin definiție); întrucât funcția y=sin x este impară, atunci sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Deci, sinusurile unghiurilor aparținând aceluiași interval [-р/2; p/2], sunt egale, ceea ce înseamnă că unghiurile în sine sunt egale, adică arcsin (-x)= - arcsin x. Aceasta înseamnă că funcția y=arcsin x este impară. Graficul funcției y=arcsin x este simetric față de origine.
Să arătăm că arcsin (sin x) = x pentru orice x [-р/2; p/2].
Într-adevăr, prin definiție -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, iar prin condiția -p/2? X? r/2. Aceasta înseamnă că unghiurile x și arcsin (sin x) aparțin aceluiași interval de monotonitate al funcției y=sin x. Dacă sinusurile unor astfel de unghiuri sunt egale, atunci unghiurile în sine sunt egale. Să găsim sinusurile acestor unghiuri: pentru unghiul x avem sin x, pentru unghiul arcsin (sin x) avem sin (arcsin(sin x)) = sin x. Am constatat că sinusurile unghiurilor sunt egale, prin urmare, unghiurile sunt egale, adică. arcsin(sin x) = x. .
Orez. 7
Orez. 8
Graficul funcției arcsin (sin|x|) se obține prin transformările uzuale asociate cu modulul din graficul y=arcsin (sin x) (prezentat prin linia întreruptă în Fig. 8). Graficul dorit y=arcsin (sin |x-/4|) se obține din acesta prin deplasarea cu /4 la dreapta de-a lungul axei x (prezentat ca o linie continuă în Fig. 8)
Funcția inversă a tangentei
Funcția y=tg x pe interval ia toate valorile numerice: E (tg x)=. În acest interval este continuă și crește monoton. Aceasta înseamnă că pe interval este definită o funcție inversă funcției y = tan x. Această funcție inversă se numește arctangentă și se notează y = arctan x.
Arctangenta lui a este un unghi dintr-un interval a cărui tangentă este egală cu a. Astfel, arctg a este un unghi care îndeplinește următoarele condiții: tg (arctg a) = a și 0? arctg a ? R.
Deci, orice număr x corespunde întotdeauna unei singure valori a funcției y = arctan x (Fig. 9).
Este evident că D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Funcția y = arctan x crește deoarece funcția y = tan x crește pe interval. Nu este greu de demonstrat că arctg(-x) = - arctgx, adică. acea arctangentă este o funcție ciudată.
Orez. 9
Graficul funcției y = arctan x este simetric cu graficul funcției y = tan x față de dreapta y = x, graficul y = arctan x trece prin originea coordonatelor (deoarece arctan 0 = 0) și este simetric în raport cu originea (cum ar fi graficul unei funcții impare).
Se poate dovedi că arctan (tan x) = x dacă x.
Funcția inversă cotangentă
Funcția y = ctg x pe un interval ia toate valorile numerice din interval. Intervalul valorilor sale coincide cu setul tuturor numerelor reale. În interval, funcția y = cot x este continuă și crește monoton. Aceasta înseamnă că pe acest interval este definită o funcție care este inversă funcției y = cot x. Funcția inversă a cotangentei se numește arccotangent și se notează y = arcctg x.
Cotangenta arcului lui a este un unghi aparținând unui interval a cărui cotangentă este egală cu a.
Astfel, аrcctg a este un unghi care îndeplinește următoarele condiții: ctg (arcctg a)=a și 0? arcctg a ? R.
Din definiția funcției inverse și definiția arctangentei rezultă că D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Cotangenta arcului este o funcție descrescătoare deoarece funcția y = ctg x scade în interval.
Graficul funcției y = arcctg x nu intersectează axa Ox, deoarece y > 0 R. Pentru x = 0 y = arcctg 0 =.
Graficul funcției y = arcctg x este prezentat în Figura 11.
Orez. 11
Rețineți că pentru toate valorile reale ale lui x identitatea este adevărată: arcctg(-x) = p-arcctg x.
