unde este suma diagonalelor minore de ordinul întâi ale matricei A

– suma diagonalelor minore de ordinul doi al matricei A

– suma diagonalelor minore de ordinul al treilea al matricei A

LăsaA= - ,b= , atunci XY de ordinul 3 are forma:

Condiție:

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)>

Două ecuații caracteristice ale lui Rössler.

Când rezolvați un sistem de ecuații diferențiale, există 2 puncte singulare P10(0,0,0) și P20==(c-ab,b-c/a,c/a-b), dacă faceți toate operațiile cu găsirea jacobianului și sumele elementelor diagonale, apoi se vor obține 2 ecuații Resslera:

3.3 Condiție pentru determinarea tipului de valori proprii ale unei ecuații caracteristice de ordinul trei.

Condiție:

Ф(a,b,c)=(9c-ab) 2 -(6b-2a 2)(6ac-2b 2)

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)=0 – două (trei) substanțe multiple. rădăcină

Ф(a,b,c)>0 – două rădăcini complexe conjugate

Rădăcinile ecuației caracteristice cu parametri: 0,38; 0,30; 4.82 (șa de focalizare instabilă).

Curbele integrale trebuie construite relativ la fiecare punct singular.

Toate „condițiile” sunt considerate + condiția (s-av)>0 și (s-av)<0 рассматирваием для Ро1=(0,0,0)

Dacă luăm în considerare ecuațiile cu parametrii 0,38..., atunci obținem o traiectorie interesantă, traiectoria este respinsă de la Po1(0,0,0) de-a lungul R2 (x1,x2) în spațiul de fază R3 și este atrasă de-a lungul unui curbă unidimensională, formând un punct fix de tip șa -focus. Punctul reprezentativ părăsește regiunea unui punct de echilibru instabil de tip Po1 în planul variabilelor (x1,x3), apoi revine din nou în acest punct.

Traiectoria homoclinică în spațiul de fază al sistemului.

Portretul de fază face posibilă reprezentarea unei caracteristici calitative a întregului set de mișcări libere (procese) pentru o regiune selectată a spațiului rădăcină NU.

dacă traiectoria părăsește originea coordonatelor, atunci, după ce a făcut o revoluție completă în jurul unuia dintre punctele stabile, se va întoarce înapoi la punctul inițial - apar două bucle homoclinice (Conceptul de traiectorie homoclinică înseamnă că pleacă și ajunge la aceeaşi poziţie de echilibru).

Traiectoria homoclinică– nu apare dacă parametrii nu satisfac o constrângere strictă.

Instabilitatea structurală a unei traiectorii homoclinice.

La valori mari ale parametrului, traiectoria suferă modificări semnificative. Shilnikov și Kaplan au arătat că la r foarte mare sistemul intră în modul de auto-oscilație, iar dacă parametrul este redus, se va observa o tranziție către haos printr-o succesiune de dublari ale perioadei de oscilație.

Traiectorii homoclinice- instabil structural.

Atractor ciudat

Atractor ciudat: o pozitie instabila de echilibru este principala caracteristica a comportamentului haotic. Traiectoriile sunt foarte sensibile la modificările condițiilor inițiale - această calitate este inerentă atractorilor ciudați.

Un atractor ciudat este un atractor care are două diferențe semnificative față de un atractor obișnuit: traiectoria unui astfel de atractor este neperiodic (nu se închide) și modul de funcționare este instabil (mici abateri de la mod cresc). Principalul criteriu pentru natura haotică a unui atractor este creșterea exponențială în timp a micilor perturbări. Consecința acestui lucru este „amestecarea” în sistem, neperiodicitatea în timp a oricăreia dintre coordonatele sistemului, un spectru de putere continuu și o funcție de autocorelare care scade în timp.

Dinamica atractorilor ciudați este adesea haotică: prezicerea unei traiectorii care cade într-un atractor este dificilă, deoarece o mică inexactitate a datelor inițiale poate duce după un timp la o discrepanță puternică între prognoză și traiectoria reală. Imprevizibilitatea traiectoriei în sistemele dinamice deterministe se numește haos dinamic, deosebindu-l de haosul stocastic care apare în sistemele dinamice stocastice. Acest fenomen se mai numește și efectul fluturelui, implicând posibilitatea de a transforma curenții slabi de aer turbulenți cauzați de baterea aripilor unui fluture într-un punct al planetei într-o tornadă puternică pe cealaltă parte, datorită intensificării multiple a acestora în atmosferă peste un timp. perioada de timp.

Este posibil să aveți atât un comportament stocastic, cât și un comportament regulat în același timp? Sau este întotdeauna fie obișnuit, fie stocastic?

Atât comportamentul regulat, cât și cel haotic al sistemelor disipative dinamice cu multe variabile (n>2) sunt posibile, nu numai separat (fie sau), ci și simultan.

Nu se poate spune că sistemul intră în haos după prima bifurcare (deoarece a intrat într-un loc și a venit în altul)

De ce a treia comandă? Este posibil ca în sistemele de ordinul doi să apară atractori ciudați? Și în sisteme mai mari decât ordinul trei?

Condițiile matematice mai precise pentru apariția haosului arată astfel:

Sistemul trebuie să aibă caracteristici neliniare, să fie stabil la nivel global, dar să aibă cel puțin un punct de echilibru instabil de tip oscilator, iar dimensiunea sistemului trebuie să fie de cel puțin 1,5 (adică, ordinea ecuației diferențiale este de cel puțin 3).

Sistemele liniare nu sunt niciodată haotice. Pentru ca un sistem dinamic să fie haotic, trebuie să fie neliniar. Conform teoremei Poincaré-Bendixson, un sistem dinamic continuu pe un plan nu poate fi haotic. Dintre sistemele continue, numai sistemele spațiale neplate au comportament haotic (este necesară prezența a cel puțin trei dimensiuni sau geometrie non-euclidiană). Cu toate acestea, un sistem dinamic discret la un anumit stadiu poate prezenta un comportament haotic chiar și în spațiul unidimensional sau bidimensional.

Curs 3. Sisteme integrabile și neintegrabile. Sisteme conservatoare

Sisteme integrate

1. Reductibilitate la mișcarea liberă (neperturbată) a sistemelor. Ce se întâmplă dacă există ireductibilitate?

Pentru sistemele integrabile, putem elimina interacțiunile și reducem problema la problema de mișcare liberă. Pentru mișcarea liberă, nu este dificil să găsiți expresii pentru coordonatele și vitezele sub forma unor funcții explicite ale timpului. Pentru sistemele neintegrabile, este necesar să se abandoneze descrierea în termeni de traiectorii și să plece la o descriere probabilistică (cu ireductibilitate).

Este posibil să descriem un sistem neintegrabil în termeni de traiectorii?

nu imposibil. Vorbim despre o descriere fundamental probabilistică, ireductibilă la o descriere în termeni de traiectorii individuale.

Poate un sistem definit printr-o ecuație deterministă să aibă dinamică stocastică?

D. s. opus sistemului probabilistic, ale căror ieșiri depind doar aleatoriu și nu unic de intrări.(în ds depinde în mod unic de intrări).Dar orice sistem, chiar dacă este determinist, va conține o anumită aleatorie.

Salutare tuturor!

Acest articol este dedicat caracteristicilor uimitoare din lumea haosului. Voi încerca să vorbesc despre cum să frânezi un lucru atât de ciudat și complex ca un proces haotic și să învăț cum să-ți creezi propriile generatoare de haos simple. Împreună cu tine vom trece de la teoria uscată la vizualizarea frumoasă a proceselor haotice din spațiu. În special, folosind exemplul unor atractori haotici bine-cunoscuți, voi arăta cum să creez sisteme dinamice și să le folosesc în probleme legate de circuitele integrate logice programabile (FPGA).

Introducere

Teoria haosului este o știință neobișnuită și tânără care descrie comportamentul sistemelor dinamice neliniare. În procesul de început, teoria haosului a dat pur și simplu știința modernă peste cap! Ea a entuziasmat mințile oamenilor de știință și ia forțat să se cufunde din ce în ce mai mult în studiul haosului și al proprietăților acestuia. Spre deosebire de zgomot, care este un proces aleatoriu, haosul este determinist. Adică, pentru haos există o lege a modificării cantităților incluse în ecuațiile de descriere a procesului haotic. S-ar părea că, cu această definiție, haosul nu este diferit de orice alte oscilații descrise ca o funcție. Dar asta nu este adevărat. Sistemele haotice sunt foarte sensibile la condițiile inițiale, iar cele mai mici modificări ale acestora pot duce la diferențe enorme. Aceste diferențe pot fi atât de puternice încât este imposibil să spunem dacă unul sau mai multe sisteme au fost studiate. Din surse populare din știință, această proprietate a haosului este cel mai bine descrisă printr-un proces numit „ Efect fluture„Mulți oameni au auzit despre asta și chiar au citit cărți și au vizionat filme care au folosit tehnica folosind efectul fluture. În esență, efectul fluture reflectă principala proprietate a haosului.

Omul de știință american Edward Lorenz, unul dintre pionierii în domeniul haosului, a spus odată:

Un fluture care bate din aripi în Iowa poate provoca o avalanșă de efecte care ar putea culmina în sezonul ploios din Indonezia.

Deci, să ne aruncăm în teoria haosului și să vedem ce mijloace improvizate pot genera haos.

Teorie

Înainte de a prezenta materialul principal, aș dori să dau câteva definiții care vor ajuta la înțelegerea și clarificarea unor puncte din articol.

Sistem dinamic– acesta este un anumit set de elemente pentru care se specifică o relație funcțională între coordonata timpului și poziția în spațiul fazelor fiecărui element al sistemului. Mai simplu spus, un sistem dinamic este un sistem a cărui stare în spațiu se schimbă în timp.
Multe procese fizice din natură sunt descrise de sisteme de ecuații, care sunt sisteme dinamice. De exemplu, acestea sunt procesele de ardere, fluxul de lichide și gaze, comportamentul câmpurilor magnetice și oscilațiilor electrice, reacții chimice, fenomene meteorologice, modificări ale populațiilor de plante și animale, turbulențe în curenții marini, mișcarea planetelor și chiar galaxiilor. După cum puteți vedea, multe fenomene fizice pot fi descrise într-o măsură sau alta ca un proces haotic.

Portret de fază este un plan de coordonate în care fiecare punct corespunde stării unui sistem dinamic la un anumit moment în timp. Cu alte cuvinte, acesta este un model spațial al sistemului (poate fi bidimensional, tridimensional și chiar cu patru dimensiuni sau mai mult).

Atractor– un anumit set al spațiului de fază al unui sistem dinamic, pentru care toate traiectoriile sunt atrase de acest set în timp. În termeni foarte simpli, aceasta este o anumită zonă în care se concentrează comportamentul sistemului în spațiu. Multe procese haotice sunt atractoare, deoarece sunt concentrate într-o anumită zonă a spațiului.

Implementarea

În acest articol aș dori să vorbesc despre cei patru atractori principali - Lorentz, Ressler, Rikitake și Nose-Hoover. Pe lângă descrierea teoretică, articolul reflectă aspecte ale creării sistemelor dinamice în mediu MATLAB Simulinkși integrarea lor în continuare în FPGA al companiei Xilinx folosind instrumentul Generator de sistem. De ce nu VHDL/Verilog? Este posibil să sintetizați atractori folosind limbaje RTL, dar pentru o mai bună vizualizare a tuturor proceselor, MATLAB este opțiunea ideală. Nu voi atinge problemele complexe asociate cu calcularea spectrului exponenților Lyapunov sau construirea secțiunilor Poincaré. Și cu atât mai mult, nu vor exista formule și concluzii matematice greoaie. Asadar, haideti sa începem.

Pentru a crea generatoare de haos avem nevoie de următorul software:

• MATLAB R2014 cu licență pentru Simulink și DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 cu licență System-Generator (DSP Edition).

Aceste programe sunt destul de grele, așa că aveți răbdare când le instalați. Este mai bine să începeți instalarea cu MATLAB și abia apoi să instalați software-ul Xilinx (cu o secvență diferită, unii dintre prietenii mei nu au reușit să integreze o aplicație în alta). La instalarea acestuia din urmă, apare o fereastră în care puteți conecta Simulink și System Generator. Nu este nimic complicat sau neobișnuit în instalare, așa că vom omite acest proces.

atractor Lorentz

atractor Lorentz este poate cel mai faimos sistem dinamic din teoria haosului. De câteva decenii încoace, a atras atenția multor cercetători pentru a descrie anumite procese fizice. Atractorul a fost menționat pentru prima dată în 1963 în lucrările lui E. Lorenz, care a fost implicat în modelarea fenomenelor atmosferice. Atractorul Lorentz este un sistem dinamic tridimensional de ecuații diferențiale autonome neliniare de ordinul întâi. Are o structură topologică complexă, este asimptotic stabil și Lyapunov stabil. Atractorul Lorentz este descris de următorul sistem de ecuații diferențiale:

În formulă, un punct peste un parametru înseamnă luarea unei derivate, care reflectă rata de modificare a unei mărimi în raport cu parametrul (semnificația fizică a derivatei).

Cu valorile parametrilor σ = 10, r= 28 și b= 8/3 acest sistem dinamic simplu a fost obţinut de E. Lorentz. Multă vreme nu a putut înțelege ce se întâmplă cu computerul său, până când și-a dat seama în sfârșit că sistemul prezintă proprietăți haotice! A fost obținut în timpul experimentelor pentru problema modelării convecției fluidelor. În plus, acest sistem dinamic descrie comportamentul următoarelor procese fizice:

• – modelul unui laser monomod,
• – convecție într-o buclă închisă și un strat plat,
• - rotația roții de apă,
• – oscilator armonic cu neliniaritate inerțială,
• – turbulența maselor de nori etc.

Următoarea figură arată sistemul atractor Lorentz în MATLAB:

Figura folosește un număr dintre următoarele simboluri:

• scadente: SUB0-3;
• multiplicatori prin constantă: SIGMA, B, R;
• multiplicatori: MULT0-1;
• integratori cu o celulă pentru specificarea condiției inițiale: INTEGRATOR X,Y,Z;
• Porturi OUT: DATE X,Y,Z pentru semnale XSIG, YSIG, ZSIG;

În plus, diagrama prezintă instrumente auxiliare de analiză, acestea sunt:

• salvarea rezultatelor calculelor într-un fișier: În spațiul de lucru X,Y,Z;
• construirea graficelor spațiale: Graficul XY, YZ, XZ;
• construirea graficelor temporale: Scopul XYZ;
• instrumente pentru estimarea resurselor de cristal ocupate și generarea codului HDL din model " Estimator de resurse" Și " Generator de sistem».

În interiorul fiecărui nod de operații matematice, este necesar să se indice adâncimea de biți a datelor intermediare și tipul acestora. Din păcate, nu este atât de ușor să lucrezi cu virgulă mobilă în FPGA și în majoritatea cazurilor toate operațiunile sunt efectuate într-un format în virgulă fixă. Setarea incorect a parametrilor poate duce la rezultate incorecte și poate provoca dezamăgire atunci când construiți sistemele dvs. Am experimentat cu cantități diferite, dar m-am stabilit pe următorul tip de date: un vector de 32 de biți de numere cu semn în format fix. 12 biți sunt alocați pentru partea întreagă, 20 de biți pentru partea fracțională.

Prin setarea valorii inițiale a sistemului în integratorii X, Y, Z în blocul de declanșare, de exemplu, {10, 0, 0} , am rulat modelul. Următoarele trei semnale pot fi observate în baza de timp:


Chiar dacă timpul de simulare merge la infinit, implementarea în timp nu se va repeta niciodată. Procesele haotice sunt neperiodice.

În spațiul tridimensional, atractorul Lorentz arată astfel:

Se poate observa că atractorul are două puncte de atracție în jurul cărora are loc întregul proces. Cu o ușoară modificare a condițiilor inițiale, procesul se va concentra și în jurul acestor puncte, dar traiectoriile sale vor diferi semnificativ față de versiunea anterioară.

atractor Rössler

Al doilea atractor în ceea ce privește numărul de mențiuni în articole și publicații științifice. Pentru atractor Rössler caracterizată prin prezența unui punct de limită pentru manifestarea proprietăților haotice sau periodice. Sub anumiți parametri ai unui sistem dinamic, oscilațiile încetează să mai fie periodice și apar oscilații haotice. Una dintre proprietățile remarcabile ale atractorului Rössler este structura fractală în planul de fază, adică fenomenul de auto-similaritate. Se poate observa că alți atractori, de regulă, au această proprietate.

Atractorul Rössler este observat în multe sisteme. De exemplu, este folosit pentru a descrie fluxurile de fluide și, de asemenea, pentru a descrie comportamentul diferitelor reacții chimice și procese moleculare. Sistemul Rössler este descris de următoarele ecuații diferențiale:

În mediul MATLAB, atractorul este construit după cum urmează:

Realizarea temporală a mărimilor spațiale:

Model tridimensional al atractorului Rössler:

Bam! Valorile s-au modificat ușor:

Atractor cu condiții inițiale ușor modificate (traiectorii sunt diferite!)

Atractor cu coeficienți diferiți în sistemul de ecuații (procesul haotic s-a transformat într-unul periodic!)

Comparați imaginile atractorilor tridimensionali pentru diferite condiții inițiale și coeficienți din sistemul de ecuații. Vedeți cum s-au schimbat dramatic traiectoriile de mișcare în primul caz? Dar într-un fel sau altul sunt concentrate în apropierea unei singure zone de atracție. În al doilea caz, atractorul a încetat să mai arate semne de haos, transformându-se într-o buclă periodică închisă (ciclu limită).

Atractorul Rikitake

Dinamo Rikitake– unul dintre binecunoscutele sisteme dinamice de ordinul trei cu comportament haotic. Este un model de dinam cu dublu disc și a fost propus pentru prima dată în probleme de inversare haotică a câmpului geomagnetic al Pământului. Omul de știință Rikitake a investigat un sistem dinam cu două discuri interconectate construite în așa fel încât curentul de la o bobină a discului să curgă în cealaltă și să excite al doilea disc și invers. La un moment dat, sistemul a început să funcționeze defectuos și să arate lucruri imprevizibile. Studiile active ale atractorului au făcut posibilă proiectarea dinamului Rikitake pe un model de conectare a vârtejurilor mari de câmpuri magnetice din miezul Pământului.

Dinamul lui Rikitake este descris de următorul sistem de ecuații:

Model de dinam Rikitake în MATLAB:

Implementare temporara:

Atractor (prima versiune):

Dinamo (a doua versiune)

S-ar putea să observați că dinamo-ul Rikitake este oarecum similar cu atractorul Lorentz, dar acestea sunt sisteme complet diferite și descriu procese fizice diferite!

Atractor Nose-Hoover

Un sistem dinamic tridimensional mai puțin faimos, dar nu mai puțin important este Termostat Nose-Hoover. Folosit în teoria moleculară ca sistem termostatic reversibil în timp. Din păcate, nu știu atât de multe despre acest atractor cât despre ceilalți, dar mi s-a părut interesant și l-am inclus în recenzie.

Termostatul Nose-Hoover este descris de următorul sistem de ecuații:

Modelul Nose-Hoover în MATLAB:

Implementare temporara:

1

Articolul este dedicat utilizării metodei de proiectare analitică a controlerelor agregate pentru dezvoltarea legilor de control pentru sisteme dinamice neliniare tipice cu dinamică haotică, care asigură stabilizarea stărilor de echilibru în astfel de sisteme. Articolul prezintă o soluție la una dintre problemele caracteristice controlului antihaotic și anume problema suprimării oscilațiilor aperiodice în astfel de sisteme. Au fost dezvoltate legi de control sinergetic pentru modelele haotice Lorentz și Ressler, care asigură stabilizarea variabilelor de fază în aceste modele. Introducerea feedback-ului sintetizat duce la apariția unei stări de echilibru în sisteme. S-a realizat modelarea computerizată a sistemelor dinamice închise sintetizate, ceea ce confirmă prevederile teoretice ale teoriei controlului sinergetic. Legile de control sintetizate pot fi utilizate în diverse aplicații tehnice pentru a îmbunătăți eficiența funcționării lor.

model Lorentz

Modelul Ressler

sistem dinamic

Control

sinergetice

Părere

autooscilații

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Prelegeri despre dinamica neliniară // Știri ale instituțiilor de învățământ superior. Dinamica neliniară aplicată. – 2010. – T. 18. – Nr. 3. – P. 186–191.

2. Kolesnikov A.A. Sinergice aplicate: fundamente ale sintezei sistemului. – Taganrog: Editura TTI SFU, 2007. – 384 p.

3. Kolesnikov A.A. Teoria managementului sinergic. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 p.

4. Malinetsky G.G. Haos. Structuri. Experiment de calcul: Introducere în dinamica neliniară. – M.: Editorial URSS, 2002. – 255 p.

5. Neymark Yu.I., Landa P.S. Oscilații stocastice și haotice. – M.: Nauka, 1987. – 424 p.

6. Teoria managementului aplicat modern. Partea a II-a: Abordarea sinergetică a teoriei controlului / ed. ed. A.A. Kolesnikova. – M.-Taganrog: Editura TRTU, 2000. – 558 p.

7. Lorenz E.N. Flux neperiodic determinist // J. Atmos. Sci. – 1963. – Nr. 20. – P. 130–133.

8. Rossler O.E. O ecuație pentru haos continuu // Phys. Lett. A. – 1976. – Vol. 57A, nr 5. – P. 397–398.

Astăzi, utilizarea termenului „haos” în cercetarea științifică este asociată cu necesitatea de a descrie sisteme care sunt caracterizate de dinamică complet aleatorie, la prima vedere, și, în același timp, de prezența unei ordini ascunse în ele.

Problema științifică destul de urgentă a controlului dinamicii haotice nu a fost rezolvată în prezent. Dintre numărul mare de aspecte disponibile ale soluției sale, studiul diferitelor metode și legi care suprimă oscilațiile neregulate în sistemele neliniare, care se caracterizează prin prezența dinamicii haotice, poate fi identificat ca fiind extrem de important.

Problema controlului sistemelor neliniare cu dinamică haotică este de mare importanță practică. Este demn de remarcat faptul că punctul aici este nu numai în lupta împotriva haosului, care deseori perturbă calitatea funcționării sistemelor complexe, ci și în ideea apariției așa-numitei „ordine din haos”, care este adecvată pentru o serie de procese tehnologice.

Problema suprimării oscilațiilor neregulate este una dintre cele mai caracteristice probleme ale controlului modelelor cu dinamică haotică și constă în formarea acțiunilor de control în așa fel încât să fie asigurată stabilizarea unui model inițial haotic în stare staționară stabilă. În cele ce urmează, se presupune că este posibilă influențarea dinamicii modelului cu ajutorul unei acțiuni externe de control, care este inclusă aditiv în partea dreaptă a uneia dintre ecuațiile sale diferențiale.

Scopul studiului. În această lucrare, am rezolvat problema construirii legilor de control scalare care asigură suprimarea oscilațiilor haotice în sistemele haotice tipice ale lui Lorenz și Rössler, în care oscilațiile neregulate ale modelelor originale sunt stabilizate într-o stare stabilă de echilibru. Probleme de tip similar apar atunci când este necesară eliminarea vibrațiilor nedorite ale structurilor, diferite zgomote etc. .

Materiale și metode de cercetare

Una dintre metodele de rezolvare eficientă a problemei complexe a controlului haosului și sintetizarea legilor obiective pentru controlul sistemelor neliniare cu dinamică haotică este metoda de proiectare analitică a controlerelor agregate (ACAR), propusă de profesorul A.A. Kolesnikov.

Construcția controlerelor scalare prin metoda proiectării analitice a controlerelor agregate se bazează pe introducerea unei secvențe de varietăți invariante de dimensiune geometrică descrescătoare și descompunerea dinamică ulterioară pas cu pas a sistemului dinamic original. În acest caz, punctul reprezentativ (IT) al sistemului, începând să se deplaseze dintr-o stare inițială arbitrară, se deplasează secvenţial de la o suprafață de atracție la alta până ajunge la suprafața de finisare de forma ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → . .. → ψm = 0. Varietățile „interne” sunt încorporate topologic în cele „externe”. Astfel, în sistemul sintetizat ia naștere un proces intern de autoguvernare. Ca urmare, are loc o formare în cascadă a unei secvențe de controale interne, care comprimă volumul de fază al sistemului în direcția de la regiunea externă a spațiului de fază la setul de regiuni interne imbricate una în cealaltă până când IT-ul atinge valoarea dorită. starea sistemului.

Să presupunem că în spațiul de stări al unui sistem închis există o varietate invariantă atrăgătoare de forma ψ(x) = 0, care este limita asimptotică a traiectoriilor de fază. În general, pot exista mai multe astfel de soiuri. De regulă, numărul de varietăți invariante coincide cu numărul de canale de control. Apoi punctul reprezentativ al sistemului începe să tindă spre intersecția varietăților invariante. O condiție necesară pentru ca punctul de reprezentare al sistemului închis „controler-obiect” să cadă pe varietatea invariantă ψ(x) = 0 este ca mișcarea sa să satisfacă o ecuație diferențială stabilă scrisă în raport cu macrovariabila agregată ψ(x). O astfel de ecuație în teoria controlului sinergetic se numește funcțională sau evolutivă. De obicei, un sistem de ecuații funcționale este specificat ca un sistem de ecuații diferențiale ordinare de ordinul întâi de forma

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Aici m este numărul de varietăți invariante date; Ts este parametrul de control, φ s (ψ s) este o funcție care trebuie să îndeplinească următorul set de condiții:

1) φ s (ψ s) trebuie să fie continuu, unic și diferențiabil pentru toate ψ-urile;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 pentru orice 0,

acestea. ele dispar numai pe varietăți φ s = 0, față de care sistemul de ecuații funcționale date este stabil asimptotic în ansamblu.

De regulă, metoda ACAR utilizează ecuații funcționale:

acestea. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Ecuațiile de acest tip, după cum se poate observa, sunt caracterizate de stabilitate asimptotică față de varietatea ψ s = 0 în condiția Ts > 0.

În această situație, problema sintetizării legilor controlului stabilizator al modelelor haotice în cazul general se formulează astfel. Este necesar să găsim funcția uS(x) ca un anumit set de feedback-uri care asigură transferul punctului reprezentativ al modelului haotic original din condiții inițiale arbitrare dintr-o regiune admisibilă la o stare dată (mult de stări), care corespunde la un mod stabil. În cel mai simplu caz, controlul intră într-o singură ecuație diferențială a sistemului original. Pot exista opțiuni atunci când aceeași acțiune de control este localizată în linii diferite ale sistemului sursă.

Un aspect distinctiv al formulării problemei sintezei sinergice a legilor de control este prezența unei cerințe suplimentare pentru deplasarea sistemului din starea inițială în starea finală, care constă în atracția asimptotică a traiectoriilor de fază ale sistemului. la o anumită varietate invariantă (intersecția unor varietăți) în spațiul de stări (SS) al sistemului.

Introducerea feedback-ului stabilizator în ecuațiile modelului original duce la o schimbare țintită a topologiei spațiului său de stare. Ca urmare a unei astfel de restructurări, atractorul haotic dispare și se formează un atractor obișnuit de tip „punct” care corespunde modului de comportament de echilibru dorit.

Rezultatele cercetării și discuții

Să luăm în considerare etapele procedurii implementate pentru sintetizarea unei legi de control stabilizator folosind metoda AKAR pentru un sistem Lorentz haotic.

Modelul Lorentz a fost derivat inițial din Navier-Stokes și ecuațiile de conductivitate termică pentru a investiga posibilitatea de a prezice condițiile meteorologice atunci când parametrii de control variază. Modelul descrie mișcarea rolelor convective într-un lichid cu un gradient de temperatură.

Modelul reprezintă următorul sistem de trei ecuații diferențiale obișnuite:

unde σ este numărul Prandtl; ρ - număr Rayleigh normalizat; parametrul b depinde de distanța reciprocă dintre planuri și perioada orizontală.

Orez. 1. Atractor haotic al sistemului Lorentz

În acest sistem, în anumite condiții, se formează oscilații haotice. În fig. Figura 1 arată traiectoria de fază a sistemului pentru valorile parametrilor σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 în modul haos determinist. Autooscilațiile stocastice au fost studiate pentru prima dată în acest sistem dinamic. Atractorul haotic al sistemului (1) este fundamental diferit de atractorii haotici ai majorității modelelor de dinamică neliniară. Structura sa corespunde pe deplin unui atractor ciudat și se caracterizează prin prezența doar a unui tip de mișcare de șa.

Să presupunem că acțiunea de control u1 este inclusă în prima ecuație a sistemului (1) sub formă de feedback intern:

Să introducem o varietate invariabilă a formei

unde μ este un parametru de control.

Dacă diferențiam funcția ψ1 (3) în funcție de timp și înlocuim derivata ei în ecuația funcțională

obținem legea de control dorită:

Legea de control (5) asigură transferul punctului reprezentativ al sistemului (2), închis prin feedback (5), către varietatea invariantă ψ1 = 0.

Dinamica mișcării punctului reprezentativ al modelului de-a lungul unei varietăți invariante date este descrisă folosind ecuațiile diferențiale ale modelului descompus, care se formează după înlocuirea expresiei din egalitatea ψ1 = 0 (3) în a doua și a treia ecuație. a sistemului (2):

(6)

Orez. 2. Portrete de fază ale sistemelor (2), (5) și (6)

Orez. Figura 2 ilustrează rezultatele simulării numerice a sistemului (2), (5) cu valori ale parametrilor de control σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, caracteristice existenței unui atractor Lorentz haotic și valorile parametrilor controlerului T1 = 0,1, μ = 4, care confirmă eficacitatea prevederilor teoretice ale metodei AKAR. Prima ecuație din sistemul descompus (6) este complet identică cu ecuația evolutivă de bază a sinergeticii cu o bifurcație de tip furcă.

Să construim o lege de control stabilizator folosind metoda ACAR pentru modelul Ressler. Modelul Rössler este un sistem dinamic neliniar de ecuații diferențiale de ordinul trei de forma:

unde a, b, c sunt parametri de control.

Sistemul (7) a fost propus de Ressler pentru a modela procesele de interacțiune a unui număr de substanțe chimice. Acest sistem este destul de des folosit în diferite studii științifice ale fenomenelor de diferite naturi datorită prezenței semnelor caracteristice ale apariției și existenței dinamicii haotice. Orez. Figura 3 demonstrează atractorul haotic al sistemului Rössler cu valorile parametrilor a = b = 0,2; c = 9.

Să presupunem că acțiunea de control este inclusă în a doua ecuație a sistemului original (7):

Tip de varietate invariantă

și ecuația funcțională (4) ne permit să obținem legea de control dorită:

(10)

Legea de control (10) garantează transferul punctului reprezentativ al sistemului controlat (8), care este închis prin feedback (10), către varietatea invariantă ψ2 = 0 (9).

Orez. 3. Atractor haotic al sistemului Rössler

Natura mișcării sistemului de-a lungul varietății invariante ψ2 = 0 este descrisă de modelul descompus:

(11)

unde ecuația de bifurcație de tip furcă este prezentă în primul rând.

Orez. 4. Portrete de fază ale sistemelor (8), (10) și (11)

Orez. Figura 4 ilustrează rezultatele obținute ale simulării numerice a sistemului în buclă închisă (8), (10) pentru valorile parametrilor de control al modelului a = b = 0,2; c = 9, care sunt caracteristice apariției unui atractor de tip haotic, precum și valorile parametrilor controlerului T2 = 0,1; μ = 25.

În ambele modele descompuse obținute (6), (11), ecuațiile situate în primul rând coincid cu ecuația evolutivă de bază a sinergeticii cu o bifurcație de tip furcă. În acest sens, putem afirma natura naturală a legilor sintetizate ale controlului stabilizator al sistemelor haotice originale și unitatea existentă și interconectarea internă a ecuațiilor evolutive universale ale teoriei neliniare a auto-organizării și sinergetice.

Natura naturală a legilor de control sintetizate se datorează, în primul rând, prezenței unui set de proprietăți tipice de bifurcare în sistemele închise.

În urma studiului, a fost sintetizat un set de conexiuni de feedback, la închiderea sistemelor haotice inițiale, are loc o schimbare a naturii comportamentului acestora și are loc transformarea unui atractor de tip haotic într-un atractor de tip „punctual”. Legile de control obținute u1 (5) și u2 (10) sunt garantate pentru a oferi stabilitate asimptotică în întreg spațiul fazelor în raport cu stările de echilibru dorite la valorile parametrului μ< 0 или μ >0 pentru modelele haotice inițiale corespunzătoare. Legile obținute u1 (5) și u2 (10) aparțin clasei legilor de control obiectiv care transformă sistemele Lorentz și Ressler, care au dinamică haotică, în ecuațiile evolutive de bază ale teoriei auto-organizării și sinergetice.

Legile de control sintetizate u1 (5) și u2 (10) sunt originale și universale. Ele pot fi utilizate în proiectarea sistemelor controlate în diverse scopuri, crescând semnificativ eficiența funcționării lor.

Link bibliografic

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov P.A. APLICAREA METODEI AKAR PENTRU REZOLVAREA PROBLEMEI DE STABILIZARE A STĂRILOR DE ECHILIBRI ALE SISTEMELOR NELINEARE TIPICE // Cercetare fundamentală. – 2016. – Nr. 5-2. – P. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (data acces: 15/01/2020). Vă aducem în atenție reviste apărute la editura „Academia de Științe ale Naturii”

Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă

atractor Rössler- atractor haotic, care este posedat de sistemul de ecuații diferențiale ale lui Rössler:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\backslash end(matrice)\backslash dreapta.$ ;

Unde $a,b,c$- constante pozitive. Cu valorile parametrilor $a\; =\; b\; =\; 0,2$Și $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$ Ecuațiile lui Rössler au un ciclu limită stabil. Pentru aceste valori ale parametrilor, perioada și forma ciclului limită sunt supuse unei secvențe de dublare a perioadei. Imediat după punct $c\; =\; 4,2$ apare fenomenul unui atractor haotic. Liniile bine definite ale ciclurilor limită estompează și umplu spațiul fazelor cu un set infinit numărabil de traiectorii care au proprietățile unui fractal.

Uneori, atractorii Rössler sunt construiti pentru un avion, adică cu $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Soluții durabile pentru $X\; y$ poate fi găsit prin calcularea vectorului propriu al matricei iacobiene a formei , pentru care $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Din aceasta se vede clar că atunci când , vectorii proprii sunt complecși și au componente reale pozitive, ceea ce face ca atractorul să fie instabil. Acum vom lua în considerare avionul $Z$ in acelasi interval $A$. Pa $X$ Mai puțin $c$, parametru $c$ va menţine traiectoria aproape de avion $X\; y$. De îndată ce $X$ Vor fi mai multe $c$, $z$-coordonata va incepe sa creasca, iar putin mai tarziu parametrul $-z$ va încetini creșterea $X$ V $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Puncte de echilibru

Pentru a găsi punctele de echilibru, cele trei ecuații Rössler sunt setate la zero și $xyz$-coordonatele fiecărui punct de echilibru se găsesc prin rezolvarea ecuaţiilor rezultate. În cele din urmă:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash right)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

După cum se arată în ecuațiile generale ale atractorului lui Rössler, unul dintre aceste puncte fixe se află în centrul atractorului, în timp ce celelalte se află relativ departe de centru.

Modificarea parametrilor a, b și c

Comportamentul atractorului Rössler depinde în mare măsură de valorile parametrilor constanți. Modificarea fiecărui parametru dă un anumit efect, în urma căruia sistemul poate converge către o orbită periodică, către un punct fix sau se poate grăbi la infinit. Numărul de perioade ale unui atractor Rössler este determinat de numărul de spire în jurul unui punct central, care apar înaintea unei serii de bucle.

Diagramele de bifurcație sunt un instrument standard pentru analizarea comportamentului sistemelor dinamice, care includ atractorul Rössler. Ele sunt create prin rezolvarea ecuațiilor de sistem în care două variabile sunt fixe și una este schimbată. La construirea unei astfel de diagrame, se obțin regiuni aproape complet „umbrite”; aceasta este regiunea haosului dinamic.

Modificarea parametrului a

Să o reparăm $b\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$ si ne vom schimba $A$.

Ca rezultat, experimental obținem următorul tabel:

• $a\backslash leq\; 0$: Converge către un punct stabil.
• $a\; =\; 0,1$: Se învârte cu o perioadă de 2.
• $a\; =\; 0,2$: Haos (parametrul standard al ecuațiilor Rössler) .
• $a\; =\; 0,3$: atractor haotic.
• $a\; =\; 0,35$: Similar cu precedentul, dar haosul este mai pronunțat.
• $a\; =\; 0,38$: Similar cu precedentul, dar haosul este și mai puternic.

Modificarea parametrului b

Să o reparăm $a\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$ iar acum vom schimba parametrul $b$. După cum se vede din figură, când $b$ Pe măsură ce atractorul tinde spre zero, este instabil. Când $b$ Vor fi mai multe $A$Și $c$, sistemul se va echilibra și va intra într-o stare staționară.

Modificarea parametrului c

Să o reparăm $a\; =\; b\; =\; 0,1$ si ne vom schimba $c$. Din diagrama de bifurcație este clar că pentru mici $c$ sistemul este periodic, dar pe măsură ce crește devine rapid haotic. Cifrele arată exact cum se schimbă haosul sistemului odată cu creșterea $c$. De exemplu, când $c$= 4 atractorul va avea o perioadă egală cu unu și va exista o singură linie pe diagramă, același lucru se va repeta atunci când $c$= 3 și așa mai departe; Pa $c$ nu va deveni mai mult de 12: ultimul comportament periodic este caracterizat tocmai de această valoare, apoi decurge haosul peste tot.

Oferim ilustrări ale comportamentului atractorului în intervalul specificat de valori $c$, care ilustrează comportamentul general al unor astfel de sisteme - tranziții frecvente de la periodicitate la haos dinamic.

Scrieți o recenzie despre articolul „Rössler Attractor”

Note

Legături

• Constructor

Literatură

• Voronov V.K., Podoplelov A.V. Fizica modernă: manual. M., KomKniga, 2005, 512 p., ISBN 5-484-00058-0, cap. 2 Fizica sistemelor deschise. p. 2.4 Atractor Rössler haotic.

Un fragment care caracterizează atractorul Rössler

„Lasă-mă să trec, îți spun”, a repetat prințul Andrei, strângându-și buzele.
- Si cine esti tu? – ofițerul s-a întors brusc spre el cu o furie beată. - Cine eşti tu? Tu ești (te-a subliniat în mod special) șeful, sau ce? Eu sunt șeful aici, nu tu. „Te întorci”, a repetat el, „te voi sparge într-o bucată de tort”.
Se pare că ofițerului i-a plăcut această expresie.
„L-ai bărbierit serios pe adjutant”, se auzi o voce din spate.
Prințul Andrei a văzut că ofițerul era în acel acces beat de furie fără motiv în care oamenii nu-și amintesc ce spun. A văzut că mijlocirea lui pentru soția doctorului în căruță era plină de ceea ce se temea cel mai mult în lume, ceea ce se numește ridicol [ridicol], dar instinctul lui spunea altceva. Înainte ca ofițerul să aibă timp să-și termine ultimele cuvinte, prințul Andrei, cu fața desfigurată de furie, se apropie de el și ridică biciul:
- Te rog lasă-mă să intru!
Ofițerul a făcut semn cu mâna și a plecat în grabă.
„Totul este de la ei, de la personal, totul este o mizerie”, a mormăit el. - Fa ce vrei.
Prințul Andrei în grabă, fără să ridice ochii, s-a depărtat de nevasta doctorului, care-l numea mântuitor și, amintindu-și cu dezgust cele mai mici detalii ale acestei scene umilitoare, a mers în galop mai departe spre sat unde, după cum i s-a spus, comandantul- sef a fost localizat.
Intrând în sat, s-a dat jos de pe cal și s-a dus la prima casă cu intenția de a se odihni măcar un minut, mâncând ceva și aducând la lămurit toate aceste gânduri jignitoare care îl chinuiau. „Aceasta este o mulțime de ticăloși, nu o armată”, gândi el, apropiindu-se de fereastra primei case, când o voce familiară l-a strigat pe nume.
S-a uitat înapoi. Chipul frumos al lui Nesvitsky ieșea pe o fereastră mică. Nesvitski, mestecând ceva cu gura lui suculentă și fluturând brațele, l-a chemat la el.
- Bolkonsky, Bolkonsky! Nu auzi, sau ce? „Du-te repede”, a strigat el.
Intrând în casă, prințul Andrei i-a văzut pe Nesvitsky și un alt adjutant mâncând ceva. S-au întors în grabă către Bolkonsky, întrebând dacă știe ceva nou. Pe chipurile lor, atât de cunoscute lui, prințul Andrei a citit o expresie de anxietate și îngrijorare. Această expresie era vizibilă mai ales pe chipul mereu râzând al lui Nesvitsky.
-Unde este comandantul-șef? – a întrebat Bolkonsky.
— Aici, în casa aceea, răspunse adjutantul.
- Ei bine, este adevărat că există pace și predare? – a întrebat Nesvitski.
- Te intreb. Nu știu nimic decât că am ajuns la tine cu forța.
- Dar noi, frate? Groază! „Îmi pare rău, frate, au râs de Mak, dar este și mai rău pentru noi”, a spus Nesvitsky. - Ei bine, stai jos și mănâncă ceva.
„Acum, prințe, nu vei găsi nicio căruță sau nimic, iar Petru al tău, Dumnezeu știe unde”, a spus un alt adjutant.
-Unde este apartamentul principal?
– Vom petrece noaptea în Tsnaim.
„Și am încărcat tot ce aveam nevoie pe doi cai”, a spus Nesvitsky, „și mi-au făcut haite excelente”. Măcar scăpați prin munții Boemii. E rău, frate. Chiar ești rău, de ce te înfioră așa? - a întrebat Nesvitsky, observând cum prințul Andrei se zvâcni, ca de la atingerea unui borcan de Leyden.
„Nimic”, a răspuns prințul Andrei.
În acel moment și-a amintit recenta lui ciocnire cu soția medicului și ofițerul Furshtat.
-Ce caută comandantul-șef aici? - el a intrebat.
„Nu înțeleg nimic”, a spus Nesvitsky.
„Tot ce înțeleg este că totul este dezgustător, dezgustător și dezgustător”, a spus prințul Andrei și s-a dus la casa în care stătea comandantul șef.
Trecând pe lângă trăsura lui Kutuzov, caii chinuiți ai alaiului și cazacii vorbind cu voce tare între ei, prințul Andrei a intrat pe intrare. Kutuzov însuși, după cum i s-a spus prințului Andrei, se afla în colibă ​​cu prințul Bagration și Weyrother. Weyrother a fost un general austriac care l-a înlocuit pe Schmit ucis. Pe intrarea, micul Kozlovsky stătea ghemuit în fața funcționarului. Funcționarul de pe o cadă răsturnată, ridicându-și manșetele uniformei, scrise în grabă. Fața lui Kozlovsky era epuizată - se pare că nici el nu dormise noaptea. S-a uitat la prințul Andrei și nici nu a dat din cap către el.
– Rândul al doilea... Ai scris-o? – continuă el, dictând grefierului, – Grenadier Kiev, Podolsk...
— Nu veți avea timp, onoratăre, răspunse grefierul cu lipsă de respect și furios, privind înapoi la Kozlovsky.
În acel moment, vocea nemulțumită a lui Kutuzov s-a auzit din spatele ușii, întreruptă de o altă voce, necunoscută. Prin sunetul acestor voci, prin neatenția cu care îl privea Kozlovsky, prin ireverenta funcționarului epuizat, prin faptul că funcționarul și Kozlovsky stăteau atât de aproape de comandantul șef pe podea lângă cadă. , și prin faptul că cazacii care țineau caii râdeau zgomotos sub fereastra casei - din toate acestea, prințul Andrei a simțit că ceva important și nefericit era pe cale să se întâmple.
Prințul Andrei s-a adresat urgent la Kozlovsky cu întrebări.
— Acum, prințe, spuse Kozlovsky. – Dispoziție la Bagration.
-Ce zici de capitulare?
- Nu există; au fost date ordine de luptă.
Prințul Andrei s-a îndreptat spre ușa din spatele căreia s-au auzit voci. Dar tocmai când voia să deschidă ușa, vocile din cameră au tăcut, ușa s-a deschis de la sine, iar Kutuzov, cu nasul acvilin pe fața lui plinuță, a apărut în prag.
Prințul Andrei stătea chiar vizavi de Kutuzov; dar din expresia singurului ochi văzător al comandantului-șef era clar că gândurile și îngrijorarea îl ocupau atât de mult, încât păreau să-i întunece vederea. S-a uitat direct la fața adjutantului său și nu l-a recunoscut.
- Ei bine, ai terminat? – se întoarse către Kozlovsky.
- Chiar în această secundă, Excelență.
Bagration, un bărbat scund, cu un tip oriental de chip ferm și nemișcat, un bărbat uscat, nu încă bătrân, îl urma pe comandantul șef.
„Am onoarea să apar”, a repetat prințul Andrei destul de tare, înmânând plicul.
- O, de la Viena? Amenda. După, după!
Kutuzov a ieșit cu Bagration pe verandă.
— Ei bine, prințe, la revedere, îi spuse el lui Bagration. - Hristos este cu tine. Te binecuvântez pentru această mare ispravă.
Fața lui Kutuzov s-a înmuiat brusc și lacrimi au apărut în ochi. L-a tras pe Bagration spre el cu mâna stângă, iar cu mâna dreaptă, pe care era un inel, se pare că l-a încrucișat cu un gest familiar și i-a oferit obrazul plinuț, în loc de care Bagration l-a sărutat pe gât.

În această carte am adoptat o abordare empirică a oscilațiilor haotice și am conturat o serie de fenomene fizice diferite în care dinamica haotică joacă un rol important. Desigur, nu toți cititorii au acces la un laborator sau o înclinație pentru experimentare, deși majoritatea pot folosi computere digitale. Având în vedere acest lucru, prezentăm în această anexă o serie de experimente numerice, fezabile fie pe un computer personal, fie pe un microcomputer, în speranța că vor ajuta cititorul să exploreze dinamica modelelor haosului de acum clasice.

B.1. ECUAȚIA LOGISTICĂ: DUBLĂ PERIOADA

Una dintre cele mai simple probleme cu care să începem introducerea unor noi dinamici trebuie să fie modelul de creștere a populației sau ecuația logistică.

Fenomenele asociate cu dublarea perioadei au fost observate de diverși cercetători (vezi, de exemplu, lucrarea lui May) și, bineînțeles, de Feigenbaum, care a descoperit celebrele legi ale similitudinii parametrilor (vezi capitolele 1 și 5). Un computer personal facilitează reproducerea a două experimente numerice.

În primul experiment avem un grafic al dependenței de în intervalul . Modul de dublare a perioadei este observat la valorile de mai jos Începând cu veți putea vedea o traiectorie cu o perioadă de 1. Pentru a vedea traiectorii mai lungi, marcați primele 30-50 de iterații cu puncte, iar iterațiile ulterioare cu un simbol diferit.

Desigur, prin trasarea dependenței de , veți putea observa modurile tranzitorii și staționare. Traiectorii haotice pot fi detectate la . În apropiere se poate detecta o traiectorie cu o perioadă de 3.

Următorul experiment numeric este legat de construcția unei diagrame de bifurcație. Pentru a face acest lucru, ar trebui să construiți un grafic al dependenței în general de parametrul de control. Selectați o condiție inițială (de exemplu, și faceți 100 de iterații de mapare. Apoi reprezentați grafic valorile obținute ca urmare a următoarelor 50 de iterații pe axa verticală și valoarea corespunzătoare pe axa orizontală (sau invers). pas de aproximativ 0,01 și treceți prin intervalul On În diagramă, la punctele de dublare a perioadei, ar trebui să obțineți bifurcații clasice de tip furcă. Puteți determina numărul Feigenbaum din datele unui experiment numeric?

May oferă, de asemenea, o listă de experimente numerice cu alte mapări unidimensionale, de exemplu cu maparea

El descrie această cartografiere ca un model de creștere a populației unei singure specii reglementate de o boală epidemică. Explorați zona. Punctul de acumulare a dublărilor perioadei și începutul haosului corespund cu . Lucrarea lui May conține și date despre alte experimente numerice.

B.2. ECUATII LORENTZ

Un experiment numeric remarcabil, fără îndoială demn de repetat, este cuprins în opera originală a lui Lorentz. Lorentz a simplificat ecuațiile derivate de Salzman pe baza ecuațiilor convecției termice într-un lichid (vezi capitolul 3). Prioritatea în descoperirea soluțiilor neperiodice ale ecuațiilor de convecție, așa cum a admis Lorenz, îi aparține lui Salzman. Pentru a studia mișcările haotice, Lorentz a ales valorile acum clasice ale parametrilor din ecuații

Datele prezentate în Fig. 1 și 2 din articolul lui Lorentz pot fi reproduse prin alegerea condițiilor inițiale și a pasului de timp și proiectând soluția fie pe un plan, fie pe un plan

Pentru a obține maparea unidimensională indusă de acest flux, Lorentz a luat în considerare maximele succesive ale variabilei z, pe care a desemnat-o Graficul de dependență, a arătat că în acest caz maparea este dată de o curbă asemănătoare cu forma acoperișului unei case. Lorentz a explorat apoi o versiune simplificată a acestei cartografii, numită „hărțirea tipului casei”, o versiune biliniară a ecuației logistice.

B.3. INTERMITABILITATE ȘI ECUAȚII LORENTZ

Un exemplu clar de intermitență poate fi văzut prin integrarea numerică a ecuațiilor Lorentz folosind un computer:

cu parametri conform metodei Runge-Kutta. Când obțineți o traiectorie periodică, dar când și mai multe „explozii” sau zgomot haotic vor apărea (vezi lucrarea lui Manneville și Pomo). Măsurând numărul mediu N de cicluri periodice între explozii (fază laminară), ar trebui să obțineți legea similarității

B.4. ATRACTOR OENON

O generalizare a mapării pătratice pe o linie pentru cazul bidimensional (pe un plan) a fost propusă de astronomul francez Hénon:

Harta Hénon se reduce la harta logistică studiată de May și Feigenbaum. Valorile lui a și b la care apare un atractor ciudat includ, în special, . Construiți un grafic al acestei mapări pe un plan, limitându-l la un dreptunghi. După ce ați primit un atractor, concentrați-vă atenția pe o zonă mică a acestuia și măriți această zonă folosind o transformare de similaritate. Urmați un număr semnificativ mai mare de iterații de cartografiere și încercați să dezvăluiți o structură fractală la scară mică. Dacă aveți suficientă răbdare sau aveți un computer rapid la îndemână, atunci efectuați o altă transformare de similaritate și repetați-o din nou pentru o zonă și mai mică a atractorului (vezi Fig. 1.20, 1.22).

Dacă aveți un program pentru calcularea exponenților Lyapunov, atunci este util să rețineți că valoarea exponentului Lyapunov este dată în literatură, iar dimensiunea fractală a atractorului din harta Henon este egală cu . Variând parametrii a și b, puteți încerca să determinați intervalul acelor valori la care există atractorul și să găsiți aria de dublare a perioadei în plan (a, b).

B.5. ECUAȚIA DUFFING: ATRACTOR UEDA

Acest model de circuit electric cu inductanță neliniară a fost discutat în capitolul. 3. Ecuațiile acestui model, scrise sub forma unui sistem de ecuații de ordinul întâi, au forma

Oscilațiile haotice din acest model au fost studiate în detaliu de Ueda. Utilizați un algoritm standard de integrare numerică, cum ar fi schema Runge-Kutta de ordinul al patrulea și luați în considerare cazul. Când ar trebui să obțineți o traiectorie periodică cu perioada 3. (Efectuați secțiunea Poincaré la ) În vecinătatea valorii, traiectoria cu perioada 3 ar trebui să intre în mișcare haotică după bifurcare.

La periodicitate se restabilește din nou cu un regim haotic tranzitoriu (vezi Fig. 3.13).

Comparați natura fractală a atractorului pe măsură ce amortizarea scade, presupunând și 0,05. Vă rugăm să rețineți că la , rămâne doar o mică parte din atractor, iar la , mișcarea devine periodică.

B.6. ECUAȚIA DUFFING CU DOUĂ GAURI POTENȚIALE: ATRACTOR HOLMES

Acest exemplu a fost discutat în cartea noastră. Mai multe experimente numerice merită repetate. În acest caz, ecuațiile adimensionale au forma

(Prin stabilirea și introducerea ecuației suplimentare z = w, acestea pot fi scrise ca un sistem autonom de ordinul trei.) Factorul 1/2 face ca frecvența naturală a oscilațiilor mici din fiecare puț de potențial să fie egală cu unitatea. Criteriul haosului pentru un coeficient de amortizare fix și variabile a fost considerat de noi în Cap. 5. Un domeniu de interes pentru cercetare este. În această regiune ar trebui să existe o trecere de la regimul periodic la cel haotic, ferestre periodice în regimul haotic și ieșirea din regimul haotic la . Există un alt domeniu interesant: în toate studiile, recomandăm insistent cititorului să folosească harta Poincaré. Atunci când utilizați un computer personal, procesarea informațiilor de mare viteză poate fi realizată prin trucuri speciale la crearea unui program (vezi Fig. 5.3).

Un alt experiment numeric interesant este fixarea parametrilor, de exemplu, setarea și variația fazei hărții Poincaré, adică trasarea punctelor cu variație de la 0 la Rețineți inversarea hărții la Este aceasta legată de simetria ecuației ? (A se vedea figura 4.8.)

B.7. HARTARE CUBICĂ (HOLMES)

Am ilustrat multe concepte ale teoriei oscilațiilor haotice folosind exemplul unui atractor într-un model cu două puțuri potențiale. Dinamica unui astfel de model este descrisă de o ecuație diferențială neliniară obișnuită de ordinul doi (vezi cap.

2 și 3), dar o formulă explicită pentru harta Poincaré a unui astfel de atractor este necunoscută. Holmes a propus o mapare cubică bidimensională care are unele proprietăți ale unui oscilator Duffing cu rigiditate negativă:

Un atractor haotic poate fi găsit lângă valorile parametrilor

B.8. AFIȘAREA O MINGE care sări (AFIȘARE STANDARD)

(Vezi articolul lui Holmes și cartea lui Lichtenberg și Lieberman.) După cum s-a menționat în cap. 3, harta Poincaré pentru o minge care sare pe o masă vibrantă poate fi scrisă cu precizie în termeni de viteza adimensională a mingii care lovește masa și faza de mișcare a mesei.

unde este pierderea de energie la impact.

Caz (haos conservator). Acest caz este studiat în cartea lui Lichtenberg și Lieberman ca model pentru accelerarea electronilor în câmpurile electromagnetice. După repetarea afișajului, trasați punctele rezultate pe plan. Pentru a calcula, utilizați expresia

într-o versiune îmbunătățită a BASIC. Pentru a obține o imagine bună, va trebui să variați condițiile inițiale. De exemplu, selectați și monitorizați câteva sute de iterații de mapare la v diferit de intervalul -

Veți găsi cazuri interesante când. Când se pot observa traiectorii închise cvasi-periodice în jurul punctelor fixe periodice ale cartografierii. La , regiunile de haos conservator ar trebui să apară în apropierea punctelor separatoarelor (vezi Fig. 5.21).

Caz. Acest caz corespunde unei mapări disipative, când se pierde energie la fiecare ciocnire între minge și masă. Începe cu . Rețineți că, deși primele iterații par haotice, ca în cazul 1, mișcarea devine periodică. Pentru a obține un haos asemănător fractalului, valorile K trebuie crescute la . Veți obține un atractor ciudat, care amintește și mai mult de un fractal, asumând .

B.9. AFIȘAREA CERCULUI PE DVS. SINCRONIZAREA NUMĂRULUI DE ROTIȚII ȘI A COBACI DE ZÂNE

Un punct care se deplasează de-a lungul suprafeței unui tor poate servi ca model matematic abstract al dinamicii a două oscilatoare cuplate. Amplitudinile de mișcare ale oscilatorilor servesc ca razele minore și majore ale torului și sunt adesea presupuse a fi fixe. Fazele oscilatoarelor corespund două unghiuri care specifică poziția punctului de-a lungul cercului mic (meridian) și a cercului mare (paralel) pe suprafața torusului. Secțiunea Poincaré de-a lungul cercurilor mici ale torusului generează o ecuație a diferenței unidimensionale numită harta cercului pe sine:

unde este o funcție periodică.

Fiecare iterație a acestei mapări corespunde traiectoriei unui oscilator de-a lungul cercului mare al torului. Un obiect de studiu popular este așa-numita mapare a cercului standard (normalizată la )

Posibilele mișcări observate cu această cartografiere sunt: ​​moduri periodice, cvasiperiodice și haotice. Pentru a vedea ciclurile periodice, trasați puncte pe un cerc cu coordonate dreptunghiulare

La parametrul 0 nu există nimic mai mult decât numărul de rotații - raportul a două frecvențe ale oscilatoarelor neînrudite.

Când afișajul poate fi periodic și când este un număr irațional. În acest caz, ei spun că oscilatoarele sunt sincronizate sau că s-a produs strângerea modului. Când se pot observa mișcări sincronizate sau periodice în regiuni de lățime finită de-a lungul axei O, care, desigur, conțin valori iraționale ale parametrului. De exemplu, când un ciclu cu perioada 2 poate fi găsit în interval și un ciclu cu perioada 3 poate fi găsit în interval. Pentru a găsi aceste intervale când, calculați numărul de rotații W în funcție de parametrul la 0 01. Calculăm numărul de rotații dacă renunțăm la operația de comparare și mergem la limită

În practică, pentru a obține numărul de rotații cu suficientă precizie, trebuie să luați N > 500. Prin trasarea W versus , veți vedea o serie de platouri corespunzătoare regiunilor de sincronizare. Pentru a vedea mai multe zone de sincronizare, ar trebui să selectați o zonă mică AP și să trasați W pentru un număr mare de puncte din această zonă mică.

Fiecare platou de sincronizare de pe graficul ) corespunde unui număr rațional - raportul dintre ciclurile unui oscilator și q cicluri ale altui oscilator. Relațiile sunt aranjate într-o secvență cunoscută ca un arbore Fary. Dacă sunt date două regiuni de sincronizare de mod pentru valorile parametrilor, atunci între ele în interval va exista cu siguranță o altă regiune de sincronizare cu numărul de rotații

Începând cu 0/1 at și 1/1 at, puteți construi întreaga secvență infinită de zone de sincronizare. Cele mai multe dintre ele sunt foarte înguste.

Rețineți că lățimea acestor regiuni tinde spre zero și devine mai mare la Sincronizarea regiunilor din plan () au forma unor proeminențe lungi și sunt uneori numite limbi Arnold.

B.10. ATRACTOR RÖSSLER: REACȚII CHIMICE, APROXIMARE UNIDIMENSIONALĂ A SISTEMELOR MULTI-DIMENSIONALE

Fiecare dintre principalele domenii ale fizicii clasice și-a creat propriul model de dinamică haotică: mecanica fluidelor - ecuațiile Lorentz, mecanica structurală - atractorul Duffing-Holmes cu două puțuri potențiale, inginerie electrică - atractorul Duffing-Ueda. Un alt model simplu a apărut în dinamica reacțiilor chimice care au loc într-un recipient cu agitare. A fost sugerat de Rubssler.