Formule pentru calcularea vitezei unui punct, accelerației, razei de curbură a unei traiectorii, tangentei, normale și binormale din coordonatele date în funcție de timp. Un exemplu de rezolvare a unei probleme în care, folosind ecuații de mișcare date, este necesar să se determine viteza și accelerația unui punct. Se determină și raza de curbură a traiectoriei, tangentă, normală și binormală.

Conţinut

Introducere

Concluziile formulelor de mai jos și prezentarea teoriei sunt date pe pagina „Cinematica unui punct material”. Aici vom aplica principalele rezultate ale acestei teorii la metoda coordonatelor de specificare a mișcării unui punct material.

Să avem un sistem de coordonate dreptunghiular fix cu un centru într-un punct fix. În acest caz, poziția punctului M este determinată în mod unic de coordonatele sale (x, y, z). Metoda coordonatelor de specificare a mișcării unui punct- aceasta este o metodă în care este specificată dependența coordonatelor de timp. Adică, sunt specificate trei funcții de timp (pentru mișcarea tridimensională):

Determinarea mărimilor cinematice

Cunoscând dependența coordonatelor de timp, determinăm automat vectorul rază a punctului material M folosind formula:
,
unde sunt vectori unitari (orturi) în direcția axelor x, y, z.

Diferențiând în funcție de timp, găsim proiecțiile vitezei și accelerației pe axele de coordonate:
;
;
Module de viteză și accelerație:
;
.

.

Accelerația tangențială (tangențială) este proiecția accelerației totale pe direcția vitezei:
.
Vector de accelerație tangențial (tangențial):

Accelerație normală:
.
; .
Vector unitar în direcția normalei principale a traiectoriei:
.

Raza de curbură a traiectoriei:
.
Centrul de curbură al traiectoriei:
.

.

Exemplu de rezolvare a problemei

Determinarea vitezei și accelerației unui punct folosind ecuațiile date ale mișcării sale

Folosind ecuațiile date ale mișcării unui punct, stabiliți tipul traiectoriei acestuia și, pentru un moment, găsiți poziția punctului pe traiectorie, viteza acestuia, accelerația totală, tangențială și normală, precum și raza lui curbura traiectoriei.

Ecuațiile mișcării unui punct:
, cm;
, cm.

Soluţie

Determinarea tipului de traiectorie

Excludem timpul din ecuațiile mișcării. Pentru a face acest lucru, le rescriem sub forma:
; .
Să aplicăm formula:
.
;
;
;
.

Deci, avem ecuația traiectoriei:
.
Aceasta este ecuația unei parabole cu un vârf într-un punct și o axă de simetrie.

Deoarece
, Acea
; sau
.
În mod similar, obținem o constrângere pentru coordonată:
;
;

Astfel, traiectoria mișcării punctului este arcul unei parabole
,
situat la
Și .

Construim o parabolă din puncte.

0	6
3	5,625
6	4,5
9	2,625
12	0

Determinăm poziția punctului în momentul de timp.
;
.

Determinarea vitezei unui punct

Diferențiând coordonatele și în funcție de timp, găsim componentele vitezei.
.
Pentru diferențiere, este convenabil să aplicați formula de trigonometrie:
. Apoi
;
.

Calculăm valorile componentelor vitezei în momentul de timp:
;
.
Modulul de viteză:
.

Determinarea accelerației unui punct

Diferențiând componentele vitezei și ale timpului, găsim componentele accelerației punctului.
;
.

Calculăm valorile componentelor de accelerație în momentul de timp:
;
.
Modul de accelerare:
.

Accelerația tangențială este proiecția accelerației totale pe direcția vitezei:
.
Deoarece, vectorul de accelerație tangențială este direcționat opus vitezei.

Accelerație normală:
.
Vectorul și este îndreptat spre centrul de curbură al traiectoriei.

Raza de curbură a traiectoriei:
.

Traiectoria unui punct este arcul unei parabole
; .
Viteza punctului: .
Accelerație punctuală: ; ; .
Raza de curbură a traiectoriei: .

Determinarea altor cantități

La rezolvarea problemei am constatat:
modul de vector și viteză:
; ;
vector și modul de accelerație totală:
; ;
accelerație tangențială și normală:
; ;
raza de curbură a traiectoriei: .

Să determinăm cantitățile rămase.

Vector unitar în direcția tangentă la cale:
.
Vector de accelerație tangențială:

.
Vector de accelerație normală:

.
Vector unitar în direcția normalei principale:
.
Coordonatele centrului de curbură al traiectoriei:

.

Să introducem a treia axă a sistemului de coordonate perpendicular pe axele și. Într-un sistem tridimensional
; .
Vector unitar în direcția binormală:


.

Mișcarea unui punct în spațiu poate fi considerată dată dacă se cunosc legile schimbării celor trei coordonate carteziene ale sale x, y, z în funcție de timp. Cu toate acestea, în unele cazuri de mișcare spațială a punctelor materiale (de exemplu, în zonele limitate de suprafețe de diferite forme), utilizarea ecuațiilor de mișcare în coordonate carteziene este incomod, deoarece acestea devin prea greoaie. În astfel de cazuri, puteți alege alți trei parametri scalari independenți $q_1,(\q)_2,\\q_3$, numiți coordonate curbilinii sau generalizate, care, de asemenea, determină în mod unic poziția punctului în spațiu.

Viteza punctului M, la specificarea mișcării sale în coordonate curbilinie, va fi determinată sub forma unei sume vectoriale a componentelor vitezei paralele cu axele de coordonate:

\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\ +v_(q_3)\overline(e_3)\]

Proiecțiile vectorului viteză pe axele de coordonate corespunzătoare sunt egale cu: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline (1,3)$

Aici $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ este un parametru numit coeficientul i-lea Lame și egal cu valoarea modulului derivată parțială a vectorului rază a unui punct de-a lungul coordonatei curbilinii i-a calculată la un punct dat M. Fiecare dintre vectorii $\overline(e_i)$ are o direcție corespunzătoare direcției de mișcare a punctului final al vectorul rază $r_i$ ca i-a coordonate generalizate. Modulul de viteză într-un sistem de coordonate curbiliniu ortogonal poate fi calculat din dependența:

În formulele de mai sus, valorile derivatelor și coeficienții Lamé sunt calculate pentru poziția curentă a punctului M în spațiu.

Coordonatele unui punct dintr-un sistem de coordonate sferice sunt parametrii scalari r, $(\mathbf \varphi ),\ (\mathbf \theta )$, măsurați așa cum se arată în Fig. 1.

Figura 1. Vectorul viteză într-un sistem de coordonate sferice

Sistemul de ecuații ale mișcării unui punct are în acest caz forma:

\[\left\( \begin(array)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(array) \right.\]

În fig. Figura 1 prezintă vectorul rază r desenat de la origine, unghiurile $(\mathbf \varphi )$ și $(\mathbf \theta )$, precum și liniile și axele de coordonate ale sistemului luat în considerare într-un punct arbitrar M al traiectorie. Se poate observa că liniile de coordonate $((\mathbf \varphi ))$ și $((\mathbf \theta ))$ se află pe suprafața unei sfere cu raza r. Acest sistem de coordonate curbiliniu este, de asemenea, ortogonal. Coordonatele carteziene pot fi exprimate în termeni de coordonate sferice astfel:

Apoi coeficienții Lame: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; proiectii ale vitezei punctului pe axa sistemului de coordonate sferice $v_r=\dot(r\ \ );$ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $ și mărimea vectorului viteză

Accelerația unui punct într-un sistem de coordonate sferice

\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \theta ),\]

proiecții ale accelerației unui punct pe axa unui sistem de coordonate sferice

\ \

Modulul de accelerare $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$

Problema 1

Punctul se deplasează de-a lungul liniei de intersecție a sferei și a cilindrului conform ecuațiilor: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $ \theta $ --- coordonate sferice). Aflați modulul și proiecțiile vitezei punctului de pe axa sistemului de coordonate sferice.

Să găsim proiecțiile vectorului viteză pe axele de coordonate sferice:

Modulul de viteză $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt )(2)+1)$

Problema 2

Folosind condiția problemei 1, determinați modulul de accelerație al punctului.

Să găsim proiecțiile vectorului de accelerație pe axele de coordonate sferice:

\ \ \

Modulul de accelerare $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$

sarcini de mișcare

Să folosim ecuația (4) și să luăm derivata ei în raport cu timpul

În (8) pentru vectorii unitari există proiecții ale vectorului viteză pe axele de coordonate

Proiecțiile vitezei pe axele de coordonate sunt definite ca derivate primare ale coordonatelor corespunzătoare.

Cunoscând proiecțiile, puteți găsi mărimea vectorului și direcția acestuia

, (10)

Determinarea vitezei prin metoda naturală

sarcini de mișcare

Să fie date traiectoria unui punct material și legea de modificare a coordonatei curbilinii. Să presupunem, la t 1 punct avut
si coordonata s 1 și la t 2 – coordonată s 2. Pe parcursul
coordonatele au fost incrementate
, apoi viteza medie a punctului

.

Pentru a găsi viteza la un moment dat, să mergem la limită

,

. (12)

Vectorul viteză al unui punct în modul natural de specificare a mișcării este definit ca prima derivată temporală a coordonatei curbilinii.

Accelerație punctuală

Sub accelerația unui punct materialînțelegeți o mărime vectorială care caracterizează viteza de schimbare a vectorului viteză a unui punct în mărime și direcție în timp.

Accelerația unui punct folosind metoda vectorială de specificare a mișcării

Luați în considerare un punct în două momente în timp t 1 (
) Și t 2 (
), Apoi
- increment de timp,
- creşterea vitezei.

Vector
se află întotdeauna în planul mișcării și este îndreptată spre concavitatea traiectoriei.

P od accelerația medie a unui punct pe parcursul  t intelege amploarea

. (13)

Pentru a găsi accelerația la un moment dat, să mergem la limită

,

. (14)

Accelerația unui punct la un moment dat este definită ca a doua derivată în raport cu timpul a vectorului rază a punctului sau prima derivată a vectorului viteză în raport cu timpul.

Vectorul accelerație este situat în planul de contact și este îndreptat spre concavitatea traiectoriei.

Accelerația unui punct cu metoda coordonatelor de specificare a mișcării

Să folosim ecuația pentru legătura dintre metodele vectoriale și de coordonate de specificare a mișcării

Și să luăm derivata a doua din ea

,

. (15)

În ecuația (15) pentru vectorii unitari există proiecții ale vectorului de accelerație pe axele de coordonate

. (16)

Proiecțiile de accelerație pe axele de coordonate sunt definite ca primele derivate în raport cu timpul din proiecțiile vitezei sau ca derivatele secunde ale coordonatelor corespunzătoare în raport cu timpul.

Mărimea și direcția vectorului de accelerație pot fi găsite folosind următoarele expresii

, (17)

,
,
. (18)

Accelerația unui punct folosind metoda naturală de specificare a mișcării

P
Lăsați punctul să se miște pe o cale curbă. Să luăm în considerare cele două poziții ale sale la momente de timp t (s, M, v) Și t 1 (s 1, M 1, v 1).

În acest caz, accelerația este determinată prin proiecțiile sale pe axele sistemului natural de coordonate care se deplasează împreună cu punctul M. Axele sunt direcționate astfel:

M  - tangentă, îndreptată de-a lungul tangentei la traiectorie, spre referința de distanță pozitivă,

M n– normală principală, îndreptată de-a lungul normalului aflat în planul de contact și îndreptată spre concavitatea traiectoriei,

M b– binormal, perpendicular pe planul M  nși formează un triplu din dreapta cu primele axe.

Deoarece vectorul accelerație se află în planul de atingere, atunci A b = 0. Să găsim proiecțiile accelerației pe alte axe.

. (19)

Să proiectăm (19) pe axele de coordonate

, (20)

. (21)

Să desenăm prin punctul M 1 axe paralele cu axele din punctul M și să găsim proiecțiile vitezei:

Unde  - așa-numitul unghi de adiacență.

Înlocuiește (22) în (20)

.

La  t 0  0, cos 1 atunci

. (23)

Accelerația tangențială a unui punct este determinată de prima derivată de timp a vitezei sau de a doua derivată de timp a coordonatei curbilinie.

Accelerația tangențială caracterizează modificarea mărimii vectorului viteză.

Să înlocuim (22) în (21)

.

Înmulțiți numărătorul și numitorul cu s pentru a obține limite cunoscute

Unde
(prima limită minunată),

,
,

, Unde  - raza de curbură a traiectoriei.

Înlocuind limitele calculate în (24), obținem

. (25)

Accelerația normală a unui punct este determinată de raportul dintre pătratul vitezei și raza de curbură a traiectoriei la un punct dat.

Accelerația normală caracterizează schimbarea vectorului viteză în direcție și este întotdeauna îndreptată spre concavitatea traiectoriei.

În final, obținem proiecțiile accelerației punctului material pe axa sistemului natural de coordonate și mărimea vectorului

, (26)

. (27)