LUCRARE DE CURS

pe tema:

„Aplicarea practică a proprietăților curbelor remarcabile”

Introducere

Relevanța subiectului este de a demonstra aplicarea cunoștințelor matematice în activitățile umane practice. Cursul de geometrie analitică nu include luarea în considerare a proprietăților minunatelor curbe care sunt utilizate pe scară largă în viață.

Ipoteză : Utilizarea acestui material extinde orizonturile elevilor asupra curbelor și proprietăților acestora și arată aplicarea lor practică în viața umană.

Scopul acestei lucrări : Colectați material pentru a le folosi în timpul studiului independent al curbelor minunate.

Sarcini : Pentru a ajuta studentul. Folosind un minim de timp, aduce beneficii maxime.

Semnificația practică a lucrării: Consider că munca mea va fi utilă elevilor pentru a înțelege materialul într-un mod accesibil și clar. Va arăta aplicarea practică a proprietăților curbelor remarcabile, va învăța cum să construiți curbe.

Alegerea unei teme

Odată cu nivelul actual de dezvoltare a gândirii tehnice, este nevoie de cunoștințe despre curbe remarcabile. Ele nu sunt atât de rare în natură; au aplicații practice în viața umană. Cunoașterea proprietăților lor remarcabile este folosită în diferite mecanisme folosite de oameni în viață.

Am ales acest subiect pentru că mi se pare interesant și semnificativ, dezvoltând interesul cognitiv pentru geometria analitică, deschizând aplicarea practică a geometriei în viață. Utilizarea acestui material în cursurile de geometrie lărgește orizonturile studenților asupra curbelor studiate în program. În diferite secțiuni ale matematicii și în diferite etape de studiu, întâlnim curbe de ordinul trei și al doilea. Dar nicăieri nu se spune despre proprietățile remarcabile ale acestor curbe, cu atât mai puțin despre aplicarea lor practică. Consider că este foarte important ca elevii să cunoască proprietățile minunate ale acestor curbe, care sunt utilizate pe scară largă în viață. Studiind și chiar familiarizându-se cu aceste proprietăți, studenții văd aplicații cu adevărat practice ale geometriei.

Pentru a face acest lucru, m-am familiarizat cu materiale despre curbe minunate și proprietățile lor din diverse manuale și enciclopedii de matematică.

1. Din istoria dezvoltării doctrinei liniilor

Conceptul de linie a apărut în conștiința umană în timpurile preistorice. Traiectoria unei pietre aruncate, contururile florilor și frunzelor plantelor, linia întortocheată a malului unui râu și alte fenomene naturale au atras atenția oamenilor de mult timp. Observate de multe ori, acestea au servit drept bază pentru stabilirea treptată a conceptului de linie. Dar a fost nevoie de o perioadă semnificativă de timp pentru ca strămoșii noștri să înceapă să compare formele liniilor curbe între ele. Primele desene pe pereții peșterilor, ornamentele primitive pe ustensilele de uz casnic arată că oamenii au putut nu numai să distingă o linie dreaptă de o curbă, ci și să distingă curbele individuale. Monumentele din cele mai vechi timpuri indică faptul că toate popoarele, la o anumită etapă a dezvoltării lor, aveau conceptele de linie dreaptă și cercul lor. Pentru a construi aceste linii, s-au folosit instrumente simple.

Cu toate acestea, abia odată cu apariția teoriilor matematice a început să se dezvolte studiul liniilor. Oamenii de știință greci au creat teoria liniilor de ordinul doi. Aceste linii au fost considerate ca o secțiune a unui con de către un plan, drept urmare în antichitate au fost numite secțiuni conice. Secțiunile conice au fost luate în considerare pentru prima dată de Menaechmus, care a trăit în secolul al IV-lea î.Hr. Prima prezentare sistematică a teoriei acestor linii a fost dată de Apollonius din Perga (secolele III-II î.Hr.) în lucrarea sa „Secțiuni conice”, care aproape în întregime a ajuns la noi. În căutarea unor soluții la diverse probleme, oamenii de știință greci au luat în considerare și câteva linii transcendentale.

În perioada medievală, realizările importante ale oamenilor de știință greci au fost uitate. Știința matematică s-a îndreptat din nou către studiul curbelor abia în secolul al VII-lea. Pentru studiul liniilor, de o importanță capitală a fost descoperirea metodei coordonatelor de către Descartes și Fermat, care a contribuit la apariția calculului infinitezimal. Metoda coordonatelor, combinată cu analiza infinitezimale, a făcut posibilă trecerea la studiul liniilor într-un mod general. Diverse probleme de mecanică, astronomie, geodezie, optică, care au apărut în secolele VII-VIII, au condus la descoperirea multor linii noi și la studiul proprietăților lor mecanice geometrice. Cei mai mari matematicieni ai epocii - Descartes, Huygens, Leibniz și frații Bernoulli - au tratat aceste probleme cu mare entuziasm.

Următorul pas important în studiul liniilor a fost făcut de Newton, care a început să dezvolte teoria curbelor de ordinul trei. Ulterior, au fost stabilite următoarele sarcini: studierea curbelor de ordinul al patrulea și superior, crearea unei teorii generale a curbelor algebrice pe plan, începerea studiului sistematic al suprafețelor algebrice, începând cu suprafețele de ordinul doi. La rezolvarea ultimei probleme, o mare contribuție a avut celebrul matematician VIII Leonard Euler, academician al Academiei de Științe din Sankt Petersburg. El a descris primul manual de geometrie analitică, care a conturat teoria liniilor și suprafețelor de ordinul doi.

. Linii remarcabile de ordinul trei

Toate liniile drepte și curbele de ordinul doi (cercuri, elipse, parabole, hiperbole) sunt cazuri speciale de curbe de ordinul trei.

În general, ecuația unei linii curbe de ordinul trei poate fi scrisă după cum urmează: x 3 +a 1 y 3 +3a 2 x 2 y+3a 3 xy 2 +3a 4 x 2 +3a 5 y 2 +3a 6 xy+3a 7 x+3a 8 y+a 9 =0.

Se presupune că coeficienții nu dispar simultan (altfel rezultatul ar fi o ecuație de gradul doi).Dacă toate liniile de ordinul doi care nu se descompun sunt epuizate de un cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă, atunci mulțimea de linii de ordinul al treilea este mai bogat - conține. Peste 70 de tipuri din aceste linii. Doar câteva dintre ele, remarcabile prin proprietăți și aplicații, sunt discutate aici.

Foaie carteziană

. Caracteristicile formularului. Foaie carteziană este o curbă de ordinul 3 a cărei ecuație într-un sistem dreptunghiular are forma

Uneori este convenabil să folosiți ecuații carteziene parametrice, care pot fi obținute prin setare y= tx, adăugând egalitatea (1) la această egalitate și rezolvând sistemul rezultat cu privire la XȘi y, ca urmare vom avea:

de unde rezultă că foaia carteziană este o curbă raţională.

Rețineți, de asemenea, că ecuația polară a foii carteziane are forma

(3)

Coordonatele XȘi la introduceți ecuația carteziană simetric, ceea ce înseamnă că curba este simetrică față de bisectoarea y=x. Studiul obișnuit al punctelor singulare duce la concluzia că originea este punctul nodal al foii carteziene. Ecuațiile tangentelor la o curbă algebrică în punctul său singular care coincide cu originea coordonatelor pot fi obținute, după cum se știe, prin echivalarea la zero a grupului de termeni de cel mai mic grad din ecuația acestei curbe. În cazul nostru avem Z ahu = 0, de unde obținem x = 0 și y = 0 - ecuațiile necesare pentru tangentele din punctul nodal. Aceste tangente coincid cu axele de coordonate și, prin urmare, la origine curba se intersectează în unghi drept. Este ușor de observat că la primul unghi de coordonate curba face o buclă care se intersectează cu linia dreaptă y = X la punct

Punctele acestei bucle în care tangentele sunt paralele cu axele de coordonate au coordonate

Și (vezi fig. 1)

Pentru a face o concluzie finală despre forma curbei, trebuie să găsim și asimptota.Înlocuind y în ecuația curbei, echivalăm cu zero în ecuația rezultată coeficienții a doi termeni cu puteri mai mari. X. Primim

și b = - a. Astfel, frunza carteziană are asimptota

y = - x - a; prin urmare, în unghiurile de coordonate 2 și 4, ramurile foii carteziane merg la infinit.

Orez. 1

O curbă rotită cu 135 de grade este adesea luată în considerare. Ecuațiile ei arată așa. Într-un sistem dreptunghiular: , Unde

Parametric:

Derivarea ecuațiilor unei curbe rotite:

Sistemul de coordonate XOY este convertit în sistemul de coordonate UOV, care se obține prin rotirea axelor OX și OY în sensul acelor de ceasornic cu un unghi și reorientarea axei OX în direcția opusă:

Exprimarea vechilor coordonate XY în termenii noilor UV arată astfel:

După înlocuirea expresiilor coordonatelor vechi cu cele noi, ecuația carteziană se transformă în următoarea formă: .

Introducem parametrul, ultima ecuație va fi rescrisă după cum urmează:

Sau .

Înlocuim variabilele u și v cu x și y obișnuite și obținem ecuația carteziană în noul sistem de coordonate:

Înlocuindu-l pe cel precedent în ecuație, obținem ecuația foii carteziane în sistemul de coordonate polare:

Rezolvând această expresie pentru ρ, obținem:

.

2. Proprietăți. Conform teoremei lui Maclaurin, dacă sunt trasate tangente la această curbă în trei puncte ale unei curbe algebrice de ordinul al 3-lea situate pe aceeași dreaptă, atunci punctele lor de intersecție cu curba se vor afla și ele pe o linie dreaptă. În raport cu foaia carteziană, această teoremă este demonstrată simplu. În acest scop, derivăm o condiție preliminară pentru prezența a trei puncte ale foii carteziane corespunzătoare valorilor t 1 , t 2 Și t 3 parametru, pe o linie dreaptă. Dacă ecuația unei drepte are forma y= kx+ b, atunci valorile parametrilor corespunzătoare punctelor de intersecție ale acestei linii cu curba trebuie să satisfacă sistemul

Acest sistem duce la ecuație

ale căror rădăcini vor fi valorile dorite t 1 , t 2 Și t 3 parametru, ceea ce înseamnă că

Această egalitate este condiția prezenței a trei puncte M 1 (t 1) , M 2 (t 2 ), M 3 (t 3) Foaie carteziană pe o singură linie dreaptă.

Având în vedere această condiție, vom arăta validitatea teoremei lui Maclaurin pentru o foaie carteziană. Într-adevăr, tangenta în punct M 1 (t 1 ) poate fi considerată drept o dreaptă care intersectează foaia carteziană în două puncte care coincid unul cu celălalt, pentru care t 2 = t 1 , iar în al treilea punct, pentru care valoarea parametrului corespunzătoare este notată cu T 1 . Condiția (4) va lua forma t 1 2 T 1 = - 1. Pentru tangente în puncte M 2Și M 3 obţinem relaţii similare t 2 2 T 2 = -1 şi t 3 2 T 3 = -1 . Înmulțind aceste trei egalități, avem

(t 1 t 2 t 3 ) 2 T 1 T 2 T 3 = -1 . de unde, pe baza (4), concluzionăm că T 1 T 2 T 3 = -1, acestea. puncte N 1 (T 1 ), N 2 (T 2) și N 3 (T 3) se află pe aceeași linie dreaptă.

Determinând aria limitată de bucla foii carteziene, obținem:

. Metoda de construcție. Să observăm mai întâi că, dacă axa de simetrie a foii carteziene este luată ca axa absciselor, atunci ecuația sa va lua forma

(5)

Să fie acum un cerc cu raza r și centru în punct

si drept x= -h. Să luăm un punct arbitrar Q al acestui cerc și să tragem o linie dreaptă QA si direct QN, perpendicular pe axa absciselor (fig. 2). Din punctul de intersecție R Drept QA cu o linie dreaptă x= - h conducem un direct R.O. până când se intersectează în punct Q 1 cu o linie dreaptă QN. Deci, punct Q un punct va fi atribuit cercului Î 1. Locul punctelor Q 1 este o foaie carteziană.

Pentru a demonstra acest lucru, rețineți că coordonatele punctului Q poate fi scris sub forma

unghiul format de raza unui cerc trasat la un punct Q, cu direcția pozitivă a axei x. În conformitate cu aceasta, ecuația dreptei QA poate fi scris ca

Presupunând în această ecuație x= -h, găsiți ordonata

puncte R. Rezultă că ecuația dreptei RQ 1 va fi scris în formular

(6)

În același timp, ecuația dreptei Q 1 N se pare ca

(7)

Excluderea parametrului din ecuațiile (6) și (7) w, găsim ecuația locului punctelor Q 1 sub forma

Comparând-o cu ecuația (5), concluzionăm că locul găsit al punctelor este o frunză carteziană.

Transformarea punctelor unui cerc în puncte ale unei foi carteziane, realizată în timpul construcției sale în acest fel, se numește Transformarea Maclaurin.

4. Context istoric. Pentru prima dată în istoria matematicii, o curbă, numită mai târziu frunză carteziană, a fost definită într-o scrisoare a lui Descartes către Fermat în 1638 ca o curbă pentru care suma volumelor de cuburi construite pe abscisa și ordonata fiecăruia. punctul este egal cu volumul unui paralelipiped construit pe abscisă, ordonată și o constantă . Forma curbei este stabilită mai întâi de Roberval, care găsește punctul nodal al curbei, dar în reprezentarea sa curba constă doar dintr-o buclă. Repetând această buclă în patru cadrane, el obține o figură care îi amintește de o floare cu patru petale. Numele poetic al curbei „petale de iasomie”, însă, nu a prins. Forma completă a curbei cu prezența unei asimptote a fost determinată mai târziu (1692) de Huygens și I. Bernoulli. Denumirea „foaia carteziană” a fost ferm stabilită abia de la începutul secolului al XVIII-lea.

Diocle cissoid

1. Caracteristicile formularului. Printre multele căi de educaţie cisoide - curba, descoperita de antici in cautarea unei solutii la celebra problema a dublarii cubului, ne vom concentra mai intai pe cea mai simpla. Să luăm un cerc (numit producator) cu diametrul OA=2a şi tangentă AB Pentru ea. Prin punctul O desenăm o rază OB și trasăm un segment pe ea OM=VS. Punctul M astfel construit aparține cisoidului. Întorcând fasciculul 0V la un anumit unghi si dupa terminarea constructiei indicate vom gasi al doilea punct al cisoidului etc. (Fig. 3).

Dacă punctul O este luat ca pol, atunci de unde obținem ecuația polară a cisoidului

Folosind formulele pentru trecerea de la coordonatele polare la coordonatele carteziene, găsim ecuația cisoidului în sistemul dreptunghiular:

(2)

Ecuațiile parametrice ale cisoidului pot fi obținute presupunând x=ty, apoi, pe baza ecuației (2), ajungem la sistem

Orez. 3

Ecuația (2) arată că cisoida este o curbă algebrică de ordinul al 3-lea, iar din ecuațiile (3) rezultă că este o curbă rațională.

Cisoidul este simetric față de axa x și are ramuri nesfârșite; tangentă la cercul generator, adică Drept x = 2a servește ca asimptotă pentru aceasta; originea este un punct cuspid de primul fel.

2. Proprietăți. Din punct de vedere cinematic, cisoidul poate fi obținut ca traiectorie a mijlocului M picior Soare triunghi ABC, deplasându-se în planul desenului astfel încât vârful acestuia ÎN alunecă de-a lungul axei ordonatelor, iar celălalt picior AC trece întotdeauna printr-un punct fix E pe axa absciselor. (Fig. 4)

Într-adevăr, având desemnat mijlocul segmentului OE prin D, observăm că din moment ce BC=EO,ê TOATE=ê VEO, Unde /_ VEO = /_ SVE, prin urmare ê NBE - isoscel, iar din moment ce ED=EO/2=BC/2=VM, apoi segmentul DM paralel cu segmentul FI. Să, mai departe, punct LA există un punct de intersecție cu continuarea segmentului DM linie dreaptă care trece printr-un punct ÎN paralel cu axa x. Să descriem un cerc cu un centru la origine și o rază egală cu OD , și trageți o tangentă la ea în al doilea punct de intersecție cu dreapta EO. Va trece evident prin punct LA. Marcarea punctului de intersecție al dreptei DMK cu un cerc prin F, rețineți că triunghiurile DOFȘi MVK sunt egali unul cu altul. Din egalitatea lor rezultă că DF= MK, prin urmare DM= FK. Ultima egalitate arată că locul punctelor M va fi un cisoid.

Alte moduri de a forma un cissoid se bazează pe relațiile sale cu o parabolă. Să arătăm mai întâi asta Cisoidul este subera unei parabole în raport cu vârful acesteia.

Ecuația acestei parabole. Ecuația unei tangente într-un punct arbitrar M(x, h ) această parabolă poate fi scrisă sub forma ecuația unei perpendiculare coborâte de la origine la această tangentă vor fi coordonatele punctului N intersecția sa cu tangenta va fi determinată de formule

(4)

Eliminând parametrul h din aceste egalități, obținem ecuația

Exprimarea cisoidului.

Mai rețineți că coordonatele unui punct simetric față de origine față de tangenta la parabolă la 2 = 2 px, se va obține dacă părțile din dreapta ale formulei (4) sunt dublate și, prin urmare, determinate de formulele

Excluzând parametrul h din aceste egalități, obținem din nou un cissoid cu ecuația Rezultă că cisoidul este locul punctelor simetrice vârfului parabolei în raport cu tangentele sale.

De remarcat că locul punctelor simetrice cu originea în raport cu tangenta la parabolă poate fi considerat ca traiectoria vârfului altei parabole, identică cu aceasta, care se rostogolește de-a lungul acestei parabole. Astfel, apare o nouă metodă de formare cinematică a unui cisoid ca traiectoria vârfului unei parabole, care se rostogolește de-a lungul unei alte parabole asemănătoare fără alunecare.

Strofoid

Strofoid (din greacă stróphos - panglică răsucită și éidos - vedere)

Să existe o dreaptă fixă ​​AB și un punct C în afara ei la o distanță CO = A; o linie dreaptă care intersectează AB într-un punct variabil N se rotește în jurul lui C. Dacă din punctul N trasăm segmentele NM = NM" = NO pe ambele părți ale dreptei AB, atunci locul punctelor M și M" pentru toate pozițiile lui raza rotativă CN este strofoidul. Ecuația în coordonate dreptunghiulare: ; în coordonate polare: r = - a cos 2j/cosj. Strophoida a fost studiat pentru prima dată de E. Torricelli (1645), numele a fost introdus la mijlocul secolului al XIX-lea. Orez. 6

Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi ( uneori curba lui Agnesi) este o curbă plată, locul punctelor M pentru care relația este satisfăcută, unde OA este diametrul cercului, BC este semicordul acestui cerc perpendicular pe OA. Versière Agnesi și-a primit numele în onoarea matematicianului italian Maria Gaetana Agnesi, care a studiat această curbă.

Ecuații

O = (0,0), A = (0, a)

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular:

Coordonatele punctului M situat pe versieră sunt x = BM, y = OB. OA = a și prin definiție construim proporția

De aici

Pe de altă parte, BC poate fi găsit din ecuația unui cerc:

Știm y = OB, deci exprimăm:

Echivalăm ambele expresii pentru BC:

Îl pătram, îl traducem și îl punem între paranteze:

Exprimăm y (y=0 nu este potrivit prin definiție):

, unde este unghiul dintre OA și OC.

Proprietăți:

1. Verzière - curba de ordinul trei.

Diametrul OA este singura axă de simetrie a curbei.

Curba are un maxim - A (0; a) și două puncte de inflexiune -

În vecinătatea vârfului A, verziera se apropie de un cerc cu diametrul OA. În punctul A există un contact și curba coincide cu cercul. Acest lucru este arătat de valoarea razei de curbură în punctul A: .

Aria de sub grafic S = πa2. Se calculează prin integrarea ecuației peste tot.

Volumul corpului de rotație al versierei în jurul asimptotei sale (axa OX).

Anhé Zee Maria Gaetana(Agnesi Maria Gaetana), n. 16.05.1718, Milano - d. 01/09/1799, ibid. Matematician italian, profesor la Universitatea din Bologna (din 1750). Lucrarea lui Agnesi „Fundații de analiză pentru uzul tineretului italian” („Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana”, v. 1-2, Mil., 1748) conține o prezentare a geometriei analitice, în special, consideră o a treia- curba de ordine numită „curl Agnesi” (sau verzier), a cărei ecuație este y=a 3 / (x 2 +a 2).

Pentru a construi această linie, trebuie să desenați un cerc cu raza a cu centrul în punctul (0, a). Apoi sunt trase linii drepte de la origine și sunt marcate două puncte. Punctul A (x1, y1) este punctul de intersecție al dreptei și cercului, punctul B (x2,2a) este punctul de intersecție al dreptei și tangentei orizontale superioare la cerc. Apoi, punctul curbei (x2, y1) este reprezentat grafic.

Matematicianul englez John Colson s-a angajat să traducă „Principia of Analysis” din italiană. Totuși, pentru el, un european din secolul al XVIII-lea, nu a fost ușor de perceput că autorul cărții era o femeie și că pentru ea, pentru autor, o curbă putea fi asociată cu o coafură. Drept urmare, în literatura de limba engleză, curba a fost numită vrăjitoarea lui Agnesi. - ceva din domeniul zborului la Muntele Chel...

3. Rânduri remarcabile de ordinul al patrulea și superior

Linie (curba) de ordinul al patrulea numită dreptă definită de o ecuație algebrică de gradul al patrulea în raport cu coordonatele dreptunghiulare carteziene. Liniile (curbele) din ordinea a cincea, a șasea și a altor ordine sunt determinate în mod similar.

Setul de linii (curbe) de ordinul al patrulea nu mai conține zeci, ci mii de linii de un anumit tip. Și mai diverse sunt seturile de linii de ordinul al cincilea și al șaselea. Aici luăm în considerare anumite tipuri de linii de ordinul al patrulea și superior, care au proprietăți interesante și aplicații practice.

Lemniscatele lui Bernoulli

Să ne întoarcem la curba descrisă de punctul M pe plan în așa fel încât produsul p al distanțelor acestui punct la două puncte specifice F 1 și F 2 ale aceluiași plan să rămână neschimbat. O astfel de curbă se numește lemniscate (lemniscate în greacă înseamnă „panglică”). Dacă lungimea segmentului F 1 F 2 este c, atunci distanțele de la mijlocul O al segmentului F 1 F 2 la F1 și F2 sunt egale cu c/2 și produsul acestor distanțe este egal cu c 2 /4 . Să cerem mai întâi ca valoarea p a produsului neschimbat să fie egală cu exact c 2/4; Apoi

punctul O se va așeza pe lemniscate, iar lemniscata în sine va arăta ca o „cifră opt culcată” (Fig. 8). Dacă continuăm segmentul F 1 F 2 în ambele direcții până când se intersectează cu lemniscata, obținem două puncte A 1 și A 2. Să exprimăm distanța dintre A 1 A 2 = x prin distanța cunoscută c:

Focarele lemniscatei sunt F1 (− c; 0) și F2 (c; 0). Să luăm un punct arbitrar M (x; y). Produsul distanțelor de la focare la punctul M este

Și prin definiție este egal cu c2:

Punem la patrat ambele laturi ale egalitatii:

Extindeți parantezele din partea stângă:

Deschideți parantezele și pliați un nou pătrat de sumă:

Scoatem factorul comun și îl transferăm:

În acest caz, a este raza cercului care descrie lemniscata. Efectuând transformări simple, putem obține o ecuație explicită:

Îndreptăm și deschidem parantezele:

Să-l aducem în minte

Aceasta este o ecuație pătratică pentru y." Rezolvând-o, obținem

Luând rădăcina și eliminând opțiunea cu un al doilea termen negativ, obținem:

unde opțiunea pozitivă definește jumătatea superioară a lemniscatei, cea negativă – cea inferioară.

Dacă valoarea produsului constant p nu este egală cu c 2/4, atunci lemniscata își va schimba aspectul. Și când p este mai mic decât c 2 /4, lemniscata este formată din două ovale, fiecare dintre ele conținând punctele F 1 și, respectiv, F 2 (Fig. 9).

Acea. Prin stabilirea unor condiţii diferite pentru p şi c 2 /4 vom obţine lemniscate de diferite tipuri (Fig. 10).

Orez. 10

Să luăm acum orice număr de puncte din avion. F 1, F 2,…, F n și faceți să se miște punctul M astfel încât pentru acesta produsul distanțelor până la fiecare dintre punctele luate să rămână neschimbat. Vom obține o Curbă, a cărei formă va depinde de modul în care punctele F 1, F 2,..., F n sunt situate unul față de celălalt și care este valoarea produsului constant. Această curbă se numește lemniscat cu n focare.

Mai sus am considerat lemniscate cu două focare. Luând un număr diferit de focare, aranjandu-le în moduri diferite și atribuind una sau alta valoare produsului distanțelor, se pot obține lemniscate de cele mai bizare forme. Vom trage punctul creionului dintr-un anumit punct A, fără a-l ridica de pe hârtie, pentru ca în cele din urmă să revină la punctul de plecare A. Apoi va descrie o anumită curbă; cerem doar ca această curbă să nu se intersecteze nicăieri

tu. Evident, în acest fel se pot obține curbe care au, de exemplu, conturul unui cap de om sau al unei păsări (Fig. 11). Se pare că, având o astfel de curbă arbitrară, putem alege numărul n și locația focarelor astfel:

F 1, F 2,…, F n

și atribuiți o astfel de valoare pentru produsul constant al distanțelor

MF 1 MF 2 … MF n = p

că lemniscata corespunzătoare prin ochi nu va diferi de această curbă. Cu alte cuvinte, posibilele abateri ale punctului M, care descrie lemniscata, de la curba desenată nu vor depăși lățimea unei lovituri de creion (creionul poate fi ascuțit în prealabil, așa cum se dorește, astfel încât cursa să fie foarte îngustă). Acest fapt remarcabil, care vorbește despre extraordinara diversitate și bogăție a formelor lemniscate cu multe trucuri, este dovedit destul de strict, dar foarte dificil, cu ajutorul matematicii superioare.

melcul lui Pascal

Locul geometric al punctelor M și M" situat pe liniile drepte ale grinzii (al cărui centru O se află pe un cerc cu raza R) la distanța a de ambele părți ale punctului P de intersecție a dreptelor cu cerc; adică PM = PM" = A. ecuație în coordonate dreptunghiulare: ( x 2 + y 2 - 2Rx)2 - a 2(x 2 + y 2) = 0, în coordonate polare: r = 2 R cos j + A. La a = 2R bucla se contractă până la un punct, în acest caz cohleea lui Pascal se transformă într-un cardioid. Numele este numit după omul de știință francez B. Pascal (1588-1651), care l-a studiat pentru prima dată.

Curbe cicloidale

Să ne imaginăm că o anumită curbă se rostogolește fără să alunece de-a lungul unei alte curbe; orice punct asociat invariabil cu prima curbă va descrie o nouă curbă. Așa că vă puteți imagina o elipsă care se rostogolește pe o altă elipsă și să examinați linia de-a lungul căreia se va mișca centrul ei sau să determinați traiectoria focarului unei parabole care se rostogolește în linie dreaptă etc.

Printre curbele formate prin această metodă se numără curbele care sunt traiectorii unui punct conectat invariabil printr-un cerc care se rostogolește fără să alunece pe alt cerc. Liniile rezultate sunt numite cicloidal.

Când se formează curbele cicloidale, punctul de desen este situat la o anumită distanță de centrul cercului generator (în mișcare). Într-un caz particular, este situat pe circumferința cercului generator. În această condiție, curbele rezultate sunt împărțite în epicicloizi și hipocicloizi, în funcție de faptul că cercul generator este situat în exteriorul sau în interiorul cercului staționar.

Curbele algebrice includ curbe binecunoscute precum cardioid și astroid; să luăm în considerare aceste curbe.

Cardioid

1. Ecuația. Un cardioid poate fi definit ca traiectoria unui punct situat pe circumferința unui cerc cu raza r, care se rostogolește de-a lungul circumferinței unui cerc staționar cu aceeași rază. Va reprezenta astfel un epicicloid cu modulul m egal cu 1.

Această împrejurare ne permite să notăm imediat ecuațiile parametrice ale cardioidului, înlocuind modulul m cu unul din ecuațiile parametrice date anterior ale epicicloidului. Vom avea:

(1)

Pentru a obține ecuația polară a cardioidului, este convenabil să luați punctul A drept pol (Fig. 13) și să direcționați axa polară de-a lungul axei absciselor. Întrucât patrulaterul AOO 1 M va fi un trapez isoscel, unghiul polar j al punctului M va fi egal cu unghiul de rotație al cercului generator, adică. parametrul t. Ținând cont de această împrejurare, să înlocuim y în a doua ecuație a sistemului (1) cu r sin t. Reducand egalitatea astfel obtinuta prin sin t se obtine ecuatia polara a cardioidului

După forma acestei ecuaţii

putem concluziona că cardioidul este unul dintre melcii lui Pascal. Prin urmare, poate fi definit ca o conchoid a unui cerc.

Din această ecuație rezultă că cardioidul este o curbă algebrică de ordinul 4.

2. Proprietăți. În primul rând, deoarece cardioidul este un epicicloid cu m=1, îi pot fi transferate toate proprietățile epicicloizilor pe care le-am considerat în paragraful anterior.

Acestea sunt proprietățile și caracteristicile.

Tangenta într-un punct arbitrar al cardioidului trece prin punctul cercului cercului generator, diametral opus punctului de contact al cercurilor, iar normalul - prin punctul de contact al acestora.

Unghiul m făcut de tangenta la cardioid cu vectorul rază al punctului tangent este egal cu jumătate din unghiul format de acest vector rază cu axa polară. Într-adevăr

Din această relație rezultă direct că unghiul făcut de tangenta la cardioid cu axa absciselor este egal (ca unghiul exterior al triunghiului AMN Fig. 14). Folosind formula, putem demonstra că tangentele la cardioid trasate la capetele coardei care trece prin pol sunt reciproc perpendiculare.

Într-adevăr, din moment ce

Orez. 14

Să remarcăm, de asemenea, că locul geometric al punctelor de intersecție ale acestor tangente este un cerc.Într-adevăr, ecuația primei tangente bazată pe ecuațiile (1) ale cardioidului va avea forma

Și a doua tangentă.Eliminând parametrul din aceste ecuații, obținem ecuația cercului indicat.

Raza de curbură într-un punct arbitrar al cardioidului este determinată de formula

De asemenea, se poate demonstra că raza de curbură este egală cu 2/3 din normala polară N într-un punct dat.

Într-adevăr, de unde, pe baza (4), obținem Această relație poate fi folosită pentru a construi centrul de curbură al cardioidului.

Evolutia unui cardioid, dupa proprietatea generala a evolutelor epicicloide, va fi si un cardioid asemanator celui dat, cu un coeficient de asemanare egal cu 1/3, si rotit fata de cel dat cu un unghi de 180°.

Lungimea arcului cardioid de la punctul A la un punct arbitrar M este determinată de formula

Dacă lungimea arcului se măsoară din punctul A 1, diametral opus punctului A, atunci formula pentru determinarea lungimii arcului poate fi scrisă sub forma

(6)

Ecuația naturală a cardioidului se obține dacă parametrul este eliminat din egalitățile (4) și (6). Va arata ca

(7)

Aria limitată de cardioid este determinată de formulă

și, după cum se poate vedea, este egală cu aria de șase ori a cercului generator.

Lungimea întregului cardioid este determinată de formulă

și, după cum se poate observa, este egal cu opt diametre ale cercului generator. Volumul corpului obținut prin rotirea cardioidului în jurul axei sale este egal cu

Suprafața corpului obținută prin rotirea cardioidului în jurul axei sale este egală cu

Am văzut că cardioidul este legat organic de cercul. Ea este un conchoid al cercului și un epicicloid. Are o relație diferită cu cercul - cardioidul este o suberă a cercului relativ la un punct aparținând acestui cerc.

Într-adevăr, fie OM o perpendiculară căzută pe o tangentă la un cerc cu raza egală cu 2r desenată în punctul N.

Deoarece OM = OB + BM, sau r == 2r cos j + 2r, atunci locul geometric al punctelor M va fi un cardioid cu ecuația r = 2r (1 + cos j)

Să remarcăm în concluzie că cardioidul aparține și familiei spiralelor sinusoidale, iar proprietățile sale individuale repetă proprietățile generale ale acestor curbe. Din aceste proprietăți rezultă, în special, că inversarea unui cardioid în raport cu punctul cuspid dă o parabolă.

Astroid

1. Proprietăți. Un astroid este un caz special al unui hipocicloid, și anume un hipocicloid cu un modul m egal cu 1/4. Reprezintă, așadar, traiectoria unui punct situat pe circumferința unui cerc cu raza r, care se rostogolește pe interiorul altui cerc, staționar, a cărui rază R este de patru ori mai mare.

Ecuațiile parametrice pentru astroid pot fi obținute presupunând hipocicloidul în ecuații, m=1/4. Acestea sunt ecuațiile:

unde t, ca mai înainte, este unghiul de rotație al cercului generator (Fig. 16)

Excluzând parametrul t din ecuațiile (1), obținem:

Din ecuația (2) rezultă că astroidul este o curbă algebrică de ordinul al 6-lea.

Ecuațiile parametrice (1) ale astroidului pot fi reduse la forma

(3)

Excluzând parametrul t din aceste ecuații, obținem forma des folosită a ecuației astroide

(4)

Presupunând în relațiile generale derivate anterior pentru curbele cicloidale modulul

m = -1/4, obținem relațiile corespunzătoare pentru astroid:

) raza de curbură într-un punct arbitrar de pe astroid este determinată de formula

(5)

) lungimea arcului astroid de la punctul A la un punct arbitrar M(t) este determinată de formula

lungimea unei ramuri este egală cu și lungimea întregii curbe este 6R;

) pentru a obține ecuația naturală a astroidului, observăm mai întâi că dacă originea lungimii arcului este luată nu în punctul A, pentru care t = 0, ci până în punctul pentru care t = p, atunci lungimea arcului este determinat de formula

excluzând parametrul t din ecuațiile (5) și (6), obținem ecuația naturală a astroidului

) evolutia unui astroid este si un astroid asemanator celui dat, cu un coeficient de asemanare egal cu 2, rotit fata de cel dat printr-un unghi p/4 (Fig. 16)

) aria limitată de întregul astroid este egală cu volumul corpului obţinut din rotaţia astroidului, egal cu 32/105p R 3

suprafaţa corpului formată prin rotaţia astroidului este egală cu

Să ne întoarcem acum la o analiză a unor proprietăți particulare ale astroidului.

Astroidul este învelișul unui segment de lungime constantă, capete. care este alunecat de-a lungul a două drepte reciproc perpendiculare.

Luăm aceste drepte drept axe de coordonate și, notând unghiul de înclinare al segmentului de alunecare ND=R prin a (Fig. 4), vom avea ecuația dreptei ND sub forma

Diferențiând această ecuație față de parametrul a, obținem:

În practică, mișcarea segmentului ND poate fi realizată folosind așa-numitele cercuri cardanice. Unul dintre aceste cercuri cu raza R este staționar, iar celălalt, cu raza r, jumătate la fel de mare, se rostogolește de-a lungul părții interioare a cercului staționar. Oricare două puncte diametral opuse N și D ale unui cerc rulant se vor mișca de-a lungul a două diametre reciproc perpendiculare Ox și Oy ale unui cerc staționar. Este clar că învelișul cu diametrul cercului de rulare va fi astroidul.

Orez. 17

Orez. 18

Metoda considerată de formare a astroidului poate fi interpretată și după cum urmează. Dreptunghiul ODCN, ale cărui două laturi se află pe două linii reciproc perpendiculare, este deformat astfel încât diagonala sa păstrează o lungime egală cu R, învelișul diagonalei va fi un astroid. Deoarece în acest caz perpendiculara căzută de la vârful C la diagonala DN servește ca normală la plic, astroidul este locul geometric al bazelor perpendicularelor căzute de la vârful C al dreptunghiului la diagonala acestuia.

Când aceste ecuații exprimă astroidul drept considerat anterior.

. Câteva linii transcendentale

Transcendental sunt drepte ale căror ecuații în coordonate carteziene dreptunghiulare nu sunt algebrice. Cele mai simple exemple de linii transcendentale sunt graficele funcțiilor, y=, y= și alte funcții trigonometrice. Să ne uităm la alte linii transcendentale.

spirala lui Arhimede

Să ne imaginăm o mână de secunde infinit de lungă de-a lungul căreia, pornind de la centrul cadranului, un mic bug rulează neobosit cu o viteză constantă v cm/s. Într-un minut bug-ul va fi la o distanță de 60v cm de centru, în două minute - 120v etc. În general, la t secunde după începerea alergării, distanța bug-ului față de centru va fi egală cu vt cm. În acest timp, săgeata se va întoarce printr-un unghi care conține 6 t° (la urma urmei, într-o secundă, reuseste sa se roteasca printr-un unghi de 360°: 60 = 6°). Prin urmare, poziția bug-ului pe planul cadranului după orice număr t secunde după începerea mișcării se găsește astfel. Este necesar să lăsați deoparte un unghi a care conține 6t° din poziția inițială a săgeții în direcția de rotație a acesteia și să măsurați distanța r = vt cm de la centru de-a lungul noii poziții a săgeții. Aici vom depăși bug (Fig. 21).

Orez. 21.

În mod evident, relația dintre unghiul de rotație a săgeții (în grade) și distanța parcursă r (în centimetri) va fi următoarea:

Cu alte cuvinte, r este direct proporțional cu a, cu coeficientul de proporționalitate k = v/6.

Să atașăm un borcan mic, dar inepuizabil, de vopsea neagră alergătorului nostru și să presupunem că vopseaua, curgând printr-o gaură minusculă, lasă un semn pe hârtie de la bug-ul purtat împreună cu săgeata. Apoi curba studiată pentru prima dată de Arhimede (287 - 212 î.Hr.) va apărea treptat pe hârtie. Se numește spirala lui Arhimede în onoarea lui. Trebuie doar spus că Arhimede nu vorbea nici despre o mână a doua (la vremea aceea nu existau ceasuri cu arc: au fost inventate abia în secolul al XVII-lea) și nici despre o bubă. Le-am inclus aici pentru claritate.

Orez. 22 Fig. 23.

Spirala lui Arhimede constă dintr-un număr infinit de spire. Începe din centrul cadranului și se îndepărtează din ce în ce mai mult de acesta pe măsură ce numărul de rotații crește. În fig. 22 prezintă prima tură și o parte a celei de-a doua.

Probabil ați auzit că folosind o busolă și o riglă, este imposibil să împărțiți un unghi luat la întâmplare în trei părți egale (în cazuri speciale, când unghiul conține, de exemplu, 180°, 135° sau 90°, această problemă se rezolva usor). Dar dacă utilizați o spirală arhimediană atent desenată, atunci orice unghi poate fi împărțit în orice număr de părți egale.

Să împărțim, de exemplu, unghiul AOB în trei părți egale (Fig. 23). Dacă presupunem că săgeata s-a întors exact în acest unghi, atunci bug-ul va fi localizat în punctul N din partea unghiului. Dar când unghiul de rotație era de trei ori mai mic, atunci bug-ul era de trei ori mai aproape de centrul O. Pentru a găsi această poziție, mai întâi împărțiți segmentul ON în trei părți egale. Acest lucru se poate face folosind o busolă și o riglă. Obținem un segment ON 1, a cărui lungime este de trei ori mai mică decât ON. Pentru a readuce bug-ul în spirală, trebuie să faceți o crestătură pe această curbă cu raza ON 1 (din nou busola!). Obținem punctul M. Unghiul AOM va fi de trei ori mai mic decât unghiul AON.

Cicloid

Să aplicăm o riglă pe marginea de jos a tablei și să rulăm un cerc sau un cerc (carton sau lemn) de-a lungul acestuia, apăsând-o pe riglă și pe tablă. Dacă atașați o bucată de cretă la un cerc sau la un cerc (în punctul de contact cu rigla), creta va desena o curbă (Fig. 24), numită cicloid (care înseamnă „circular” în greacă). O revoluție a cercului corespunde unui „arc” al cicloidului MM"M""N", dacă cercul se rostogolește mai departe, atunci se vor obține din ce în ce mai multe arcade ale aceluiași cicloid.

Orez. 24.

Pentru a construi pe hârtie aproximativ un arc al unui cicloid, descris prin rularea unui cerc cu un diametru egal, de exemplu, cu trei centimetri, să-l trasăm pe un segment drept egal cu 3x3,14 = 9,42 cm.

Obținem un segment a cărui lungime este egală cu lungimea marginii cercului, adică. lungimea unui cerc cu diametrul de trei centimetri. Să împărțim în continuare acest segment într-un anumit număr de părți egale, de exemplu 6, și pentru fiecare punct de divizare ne vom reprezenta cercul în poziția sa când se sprijină pe acest punct anume (Fig. 24), numerotând aceste poziții cu numere. :

Oh, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Pentru a trece de la o poziție la alta, cercul trebuie să se rotească cu o șesime dintr-o revoluție completă (deoarece distanța dintre punctele de diviziune adiacente este egală cu o șesime din cerc). Prin urmare, dacă în poziția 0 creta se află în punctul M 0, atunci în poziția 1 se va afla în punctul M 1 - pe o șesime din cerc de la punctul de contact, în poziția 2 - în punctul M 2 - două șesime de la punctul de contact. punctul de contact etc. .d. Pentru a obține punctele M 1, M 2, M 3 etc., trebuie doar să faceți crestături ale cercului corespunzător, începând de la punctul de contact, cu o rază egală cu

Orez. 25.

5 cm, iar în poziţia 1 este nevoie de o crestătură, în poziţia 2 - două crestături făcute una după alta, în poziţia 3 - trei crestături etc. Acum, pentru a desena un cicloid, tot ce rămâne este să conectați punctele

M 0, M 1, M 2, M 3, M 4, M 5, M 6

curbă netedă (cu ochiul).

Cea mai scurtă curbă de coborâre

Printre multele proprietăți remarcabile ale cicloidului, remarcăm una, din cauza căreia și-a câștigat un nume tare, sofisticat: „brachistochrone”. Acest nume este format din două cuvinte grecești care înseamnă „cel mai scurt” și „timp”.

Luați în considerare următoarea întrebare: ce formă trebuie acordată unui canal metalic bine lustruit care conectează două puncte date A și B (Fig. 26.), astfel încât bila de metal lustruit să se rostogolească de-a lungul acestui canal de la punctul A la punctul B în cel mai scurt timp posibil timp? La prima vedere, se pare că trebuie să vă opriți la un șanț drept, deoarece numai de-a lungul ei mingea va parcurge calea cea mai scurtă de la A la B. Cu toate acestea, nu vorbim despre calea cea mai scurtă, ci despre cel mai scurt timp; timpul depinde nu numai de lungimea traseului, ci și de viteza cu care rulează mingea. Dacă jgheabul este îndoit în jos, atunci partea sa, pornind de la punctul A, va coborî mai abrupt decât în ​​cazul unei jgheaburi drepte, iar mingea, căzând de-a lungul ei, va dobândi o viteză mai mare decât într-o secțiune de aceeași lungime. a unui jgheab drept. Dar dacă faceți partea inițială foarte abruptă și relativ lungă, atunci partea adiacentă punctului B va fi foarte plată și, de asemenea, relativ lungă; Mingea va trece rapid de prima parte, a doua foarte încet și mingea poate întârzia să ajungă la punctul B. Deci, jgheabul, aparent, trebuie să aibă o formă concavă, dar îndoirea nu ar trebui să fie prea semnificativă.

Orez. 26.

Orez. 27.

Fizicianul și astronomul italian Galileo (1564-1642) a considerat că șanțul de cel mai scurt timp ar trebui să fie îndoit de-a lungul unui arc circular. Dar matematicienii elvețieni frații Bernoulli, în urmă cu aproximativ trei sute de ani, au demonstrat cu calcule precise că nu este așa și că șanțul ar trebui să fie îndoit de-a lungul arcului unui cicloid (răsturnat în jos, Fig. 27.). De atunci, cicloidul a câștigat porecla brachistochrone, iar dovezile lui Bernoulli au servit drept începutul unei noi ramuri a matematicii - calculul variațiilor. Acesta din urmă este angajat în găsirea tipului de curbe pentru care una sau alta cantitate de interes pentru noi atinge valoarea minimă (și, în unele cazuri, cea mai mare).

Spirala logaritmică

Această curbă ar putea fi numită după Descartes, deoarece a fost menționată pentru prima dată într-una dintre scrisorile sale (1638). Cu toate acestea, un studiu detaliat al proprietăților sale a fost efectuat doar o jumătate de secol mai târziu de Jacob Bernoulli. Aceste proprietăți au făcut o impresie puternică asupra matematicienilor timpului său. Placa de piatră ridicată pe mormântul acestui celebru matematician înfățișează întorsăturile unei spirale logaritmice.

O spirală arhimediană este descrisă de un punct care se deplasează de-a lungul unei raze („săgeată infinită”) astfel încât distanța de la începutul razei crește proporțional cu unghiul de rotație a acesteia: r = ka. Se va obține o spirală logaritmică dacă vom cere ca nu distanța în sine, ci logaritmul acesteia să crească direct proporțional cu unghiul de rotație. De obicei, ecuația unei spirale logaritmice este scrisă folosind numărul e ca bază a sistemului de logaritmi (secțiunea 25). Acest logaritm al numărului r se numește logaritm natural și se notează cu r. Deci, ecuația spirală logaritmică este scrisă ca ln r = ka

Desigur, unghiul de rotație a mai poate fi măsurat în grade. Dar matematicienii preferă să o măsoare în radiani, adică. luați ca măsură a unghiului raportul dintre lungimea arcului de cerc dintre laturile unghiului central și raza acestui cerc. Apoi, o întoarcere a săgeții printr-un unghi drept va fi măsurată cu numărul l 1,57, o întoarcere cu valoarea unghiului desfășurat va fi măsurată cu numărul l 3,14 și o întoarcere completă, măsurată în grade cu numărul 360, se va măsura în radiani cu numărul 2 l 6,28.

Orez. 28.

Dintre numeroasele proprietăți ale unei spirale logaritmice, notăm una: orice rază care iese de la început intersectează orice rotire a spiralei la același unghi. Mărimea acestui unghi depinde doar de numărul k din ecuația spirală. În acest caz, unghiul dintre rază și spirală este înțeles ca unghiul dintre această rază și tangenta la spirala trasată în punctul de intersecție (Fig. 28).

Concluzie

Când se iau în considerare curbele de ordinul al treilea și al patrulea

ne-am familiarizat cu niște curbe cu adevărat remarcabile care locuiesc în minunata lume a geometriei analitice, care se găsesc în viața noastră mult mai des decât pare. Am examinat aplicarea lor practică în viața umană, semnificația proprietăților lor remarcabile în diferite mecanisme folosite de oameni în viață. În această lucrare, am colectat material cu accent pe construcția practică a curbelor.

Astfel, scopul stabilit a fost atins și sarcinile identificate conform scopului au fost rezolvate.

Literatură

spirală transcendentală de ordine a liniilor

1. Markushevici A.I. Curbe minunate. - M.: Krasnoproletarskaya, 1951. -23 p.; 1978., - 48 p. cu ilustrare.

Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri până la începutul secolului al XIX-lea / Ed. A.P. Iuşkevici. - M.: Nauka, 1970, vol. 1. - 352 p.; 1970, vol. 2. - 300 p.; 1972, vol. 3 - 496 p.

Nikiforovsky V.A., Freiman L.S. Nașterea unei noi matematici. - M.: Nauka, 1976. - 198 p.

Savelov A.A. Curbe plate. - M.: Fizmatgiz, 1960 - 294 p.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică. - M.: Nauka, 1971. - 232 p.

Tyshkevich R.I., Fedenko A.S. Algebră liniară și geometrie analitică. - Ed. a II-a. - Minsk: Vysh. Scoala, 1976.544 p.

Traiectoria răspunsului punctului B - astroid s t)

Curbele cicloidale includ nu numai cicloidul, epi- și hipocicloidul, ci și trohoidul, cardioidul și astroidul, descrise mai jos.

Coordonatele X, y satisfac în acest caz ecuația astroid (Fig. 91)

Excepția dă (astroid)

Când p = r = (m = 3) hipocicloidul se numește astroid (Fig. 64), iar ecuațiile iau forma x = R os i y = R sin "i sau x -y = R.

Când p = r = - (t = 3) hipocicloidul se numește astroid (Fig. 64), iar ecuațiile iau forma

În fig. 72 segmentul AB = I este fixat pentru a lega AB = I la un unghi 0 = 180°. Prin urmare, astroidul desenat de punctul Bi este rotit în raport cu astroidul desenat de punctul B cu un unghi t6,

Să examinăm problema trasării tangentelor la această curbă folosind mecanismul luat în considerare. În conformitate cu regula formulată mai sus, tangenta la astroid va tăia un segment pe linia manivelă OA egal cu numitorul fracției din partea dreaptă a expresiei (160). În raport cu mecanismul prezentat în Fig. 72, dimensiunea segmentului tăiat este determinată de formula (172)

În practică, pentru construcția de astroizi în condiții de producție, fiecare linie dreaptă în care se deplasează

În fig. 72 am arătat un mecanism care asigură capetele S și Si ale legăturii 10 cu mișcare de-a lungul a două astroide, rotite unul față de celălalt cu 45°.

Curba descrisă de ecuațiile (57) și (58) va fi o curbă de tip astroid. Axele de simetrie ale acestei curbe se formează cu axele Ax

Să arătăm, așa cum sa făcut în , exteriorul astroidului pe semiplanul Re5>0

Luând a = p = 1, construim conturul în care astroidul a fost deformat (Fig. 24).

Glisoare / și 2 glisează în ghidajele fixe p și q, ale căror axe sunt reciproc perpendiculare. Procesele a și 6 glisoare 1 până la 2 alunecă în glisorul în formă de cruce 3, ale căror axe sunt de asemenea reciproc perpendiculare. Legătura 4 intră într-o pereche de rotație C cu glisorul 3 și alunecă într-un glisor în formă de cruce 5, care alunecă de-a lungul axei verigii 6, care este inclus în perechile de rotație L și B cu glisoarele I și 2. Când glisoarele I la 2 se deplasează de-a lungul ghidajelor și punctul K descrie un arc astroid, a cărui ecuație = unde 1 - AB. Linia dreaptă se îndoaie

Hipocicloidul are n - -1 puncte cuspid, fiecare dintre acestea, din punct de vedere al concentrării tensiunilor, echivalent cu capătul fisurii (Fig. PZO prezintă un astroid cu n = 3). Defectele de acest tip pot determina rezistența fragilității

Aflați ecuația tangentei la astroid.

În fig. 72 prezintă un mecanism cu zece legături conceput pentru a reproduce astroizii. Astroidul este un hipocicloid obișnuit cu modul m = și este o curbă algebrică de ordinul al șaselea. Nume astroid

Astfel, tangenta la unul dintre astroidele prezentate în desen va trece prin punctele C și 5, iar tangenta la celălalt - prin punctele C și S. Dar punctele B și B sunt capetele bielei B B ale lambda. -grup în formă în linia dreaptă Harte. Prin urmare, capătul B va aluneca întotdeauna de-a lungul legăturii DDj, iar capătul B - de-a lungul perpendicularei restabilite la DDj din punctul C. Rezultă că astroidul desenat de punctul B este anvelopa tuturor pozițiilor legăturii DD. Cele de mai sus pot fi extinse și la astroidele reproduse de punctul B sau de orice punct din cerc circumscris lui A de raza I.

După cum se știe, floarea unui astroid, dacă centrul de simetrie al acestuia din urmă este ales ca pol, este un trandafir cu patru petale. Astfel, este suficient să lungim segmentele ABi = AB din Fig. 72 (sau în Fig. 73) la dimensiunea AB = ABi = L, pentru a obține cu aceasta

KUL ISIO-RY MECANISM IMPORTANT VYATKIN PENTRU REPRODUCEREA ASTROIDĂ

Pentru a încheia cu lucrarea direct legată de teoria aripii, remarcăm lucrarea lui G.N. Babaeva On Flettner rotors (Notă științifică. Universitatea de Stat din Saratov, Facultatea de Pedagogie. T. VH. Numărul 11, 1929), în care autorul aplică metoda obișnuită de studiere a aripilor în cazul a două rotoare Flettner. Apropo, autorul a arătat că șirul momentelor în acest caz este un astroid. Cu privire la

De ce este lumea noastră frumoasă? Pentru că formele și culorile naturii vii urmează în mare măsură legile generale ale armoniei, relevate printr-o analiză matematică strictă. Când studiem natura, găsim în ea din ce în ce mai multe trăsături estetice, care, de regulă, sunt dezvăluite nu imediat, ci după o analiză matematică detaliată.

O persoană distinge obiectele din jurul său după forma lor. Interesul pentru forma unui obiect poate fi dictat de o necesitate vitală sau poate fi cauzat de frumusețea formei. Forma, a cărei construcție se bazează pe o combinație de simetrie și raportul de aur, contribuie la cea mai bună percepție vizuală și la apariția unui sentiment de frumusețe și armonie.

Întregul constă întotdeauna din părți, părți de diferite dimensiuni sunt într-o anumită relație între ele și cu întregul. Principiul raportului de aur este cea mai înaltă manifestare a perfecțiunii structurale și funcționale a întregului și a părților sale în artă, știință, tehnologie și natură.

Când folosim legile geometriei naturale într-o situație nouă, pentru a studia cursuri la discipline legate de construcții geometrice, regândim legile geometrice studiate și dezvoltăm intuiția geometrică.

În procesul de realizare a sarcinilor creative de diverse conținuturi, ne-am familiarizat cu posibile domenii de aplicare a cunoștințelor geometrice (artişti, arhitecţi, designeri etc.).

Mijloacele grafice de afișare a informațiilor sunt folosite în toate sferele societății. Au o imagine completă, se caracterizează prin simbolism, compactitate și relativă ușurință de citire. Aceste calități ale imaginilor grafice determină utilizarea lor extinsă. În viitorul apropiat, mai mult de jumătate din informațiile prezentate vor fi prezentate grafic. Dezvoltarea fundamentelor teoretice ale geometriei descriptive, graficii de inginerie și alte științe conexe a extins metodele de obținere a imaginilor grafice. Alături de metodele manuale de generare a imaginilor grafice și de întocmire a documentației de proiectare, metodele computerizate sunt din ce în ce mai utilizate. Utilizarea noilor tehnologii informaționale asigură crearea, editarea, stocarea și replicarea imaginilor grafice folosind diverse instrumente software.

I. Informaţii de bază despre curbele algebrice

1. Astroid

Un astroid (din limba greacă >-stea) este o curbă descrisă de un punct pe un cerc în mișcare care atinge din interior un cerc fix de patru ori mai mare decât raza și se rostogolește de-a lungul acestuia fără alunecare. Aria limitată de astroid este o optime din aria cercului fix, iar lungimea totală a astroidului este egală cu de șase ori raza acestui cerc.

Ecuația astroidului în coordonate dreptunghiulare carteziene:

x + y = R.

Graficul astroid a fost construit în > următorul mod:

:: S-a construit un grafic al funcției pentru y > 0 (raza R = 5);

:: A construit un grafic al funcției.

2. Cardioid

Cardioid (din grecescul >-heart și eidos-view) este o curbă plată descrisă de un punct fix pe un cerc, care din exterior atinge un cerc fix de aceeași rază și se rostogolește de-a lungul lui fără alunecare. Curba și-a primit numele datorită asemănării sale cu o inimă.

Construcția graficelor cardioide a fost realizată și în >.

3. Nefroid

Nefroidul (din grecescul hephros-rinichi, eidos-specie) este o curbă care este descrisă de un punct fix al unui cerc care se rostogolește în exterior de-a lungul unui cerc de două ori mai mare. Proprietățile nefroidului au fost studiate pentru prima dată în secolul al XVII-lea de către nobilul sas E. V. Tschirnhaus. Nefroidul este format din doi cardioizi.

4. Melcul lui Pascal.

Melcul lui Pascal este o curbă algebrică plană. Numit după Etienne Pascal (tatăl lui Blaise Pascal), care a examinat-o pentru prima dată. Ecuație în coordonate polare. Când l = 2a, se obține un cardioid.

II. Aplicarea modelării matematice.

1. Istoricul creării graficelor cu șiruri

Thread graphics (sau isothread) este o imagine grafică realizată într-un mod special cu fire pe carton sau altă bază solidă. Grafica cu fire sunt uneori numite izografice sau broderii pe carton.

Termenul > (grafică cu fir sau izothread) este folosit în Rusia, în țările de limbă engleză este folosită sintagma - broderie pe hârtie, în țările vorbitoare de germană - termenul.

Grafica cu fire, ca tip de artă decorativă și aplicată, a apărut pentru prima dată în Anglia în secolul al XVII-lea. Țesătorii englezi au venit cu un mod special de a țese firele. Au bătut cuie în scânduri și au tras fire pe ele într-o anumită secvență. Rezultatul au fost produse din dantelă ajurata care au fost folosite pentru a decora casa. (A apărut o versiune că aceste lucrări erau un fel de schițe pentru modele pe țesătură). Consumabilele moderne fac posibilă obținerea unor produse foarte impresionante.

Alături de tehnica originală a graficii firului, există o altă direcție de proiectare a firului - broderia pe carton (izothread) folosind aceleași tehnici (tehnica de umplere a colțurilor și cercurilor).

Interesul pentru grafica cu filament a apărut și apoi a dispărut. Unul dintre vârfurile de popularitate a fost la sfârșitul secolului al XIX-lea. Au fost publicate cărți despre acul, care descriau o metodă neobișnuită de broderie pe hârtie, simplă și ușoară, accesibilă copiilor. Lucrarea a folosit cartonașe perforate (șabloane gata făcute) și tehnica umplerii colțului, ochiuri >, > (pentru brodarea curbelor). Folosind un minim de fonduri, oricine (și cel mai important copii) ar putea face suveniruri fanteziste pentru sărbători.

Acum această artă este practicată în multe țări din întreaga lume.

La noi, există o cantitate mică de informații despre isothread, în principal cu scop informațional: publicații individuale în reviste > În 1995, a fost publicată o carte a profesorului de la Minsk G. A. Branitsky > și o carte de M. I. Nagibina > cu un mic capitol despre isothread. .

După ce am analizat informațiile disponibile, am reușit să aflăm că multe cărți sunt publicate despre acest tip de ac, sub formă de instrucțiuni pas cu pas și albume de idei, în care peste tot se folosește doar metoda reproductivă de lucru.

Avantajul isothread-ului este că se face rapid și poți veni cu multe modele interesante. Acest tip de creativitate dezvoltă imaginația, ochiul, abilitățile motorii fine ale degetelor, abilitățile artistice și gustul estetic. Folosind tehnica grafică a firului, puteți realiza nu numai panouri decorative, ci și felicitări, coperți de suveniruri și semne de carte.

Isothread (grafica firului sau designul firului) poate avea mai multe direcții:

1) metoda de reproducere: lucrul conform unui șablon, instrucțiuni pas cu pas, distribuție de modele gata făcute și truse de broderie

2) căutare parțială (proiect): învățarea calculului pe carton (adică crearea propriilor capodopere), căutarea propriilor tehnici și combinații, „jucarea” cu fundalul, firele - cu materialul de execuție

3) combinate - când totul începe cu „ABC”, lucrăm cu diagrame gata făcute, dar schimbăm tipul de material (culoarea) și ajungem la „capodopera”.

2. Tehnici de bază ale graficii cu șiruri

Grafica cu fir sunt cunoscute și sub alte denumiri: izothread (adică imagine cu fir), broderie grafică. Pentru a stăpâni tehnica, este suficient să știi cum sunt umplute un unghi, un cerc și un arc.

Tehnica 1. Umplerea colțului.

Desenați un unghi pe spatele cartonului și împărțiți fiecare parte într-un număr egal de părți. Strapungem punctele cu un ac sau o punte subtire, infilim acul si umplem conform diagramei.

Tehnica 2. Umplerea cercului.

Să desenăm un cerc cu o busolă. Să-l împărțim în 12 părți egale și să-l umplem conform diagramei.

Tehnica 3. Umplerea arcului.

Să desenăm un arc, să-l împărțim în părți egale și să facem perforații în punctele de diviziune. Înfilați acul și umpleți conform diagramei

III. Muncă de cercetare.

Construcții în program >.

Problema 1. Împărțirea unui segment în n părți egale.

Rezolvarea 1. Împărțirea în părți 2, 4, 8, 16 etc. a fost realizată în > prin construirea punctelor medii ale segmentului.

Soluția 2. Am efectuat și împărțirea unui segment într-un număr arbitrar de părți folosind teorema lui Thales.

Sarcina 2. Împărțirea unui cerc în 6, 12, 24 de părți.

Soluția 1. Căutăm diferite moduri de a împărți un cerc în părți. În program > am desenat un cerc, am plasat punctele în ordine aleatorie, am măsurat unghiurile rezultate, apoi > am mutat punctele de-a lungul cercului până când s-a obținut valoarea dorită. A fost o muncă monotonă și neinteresantă. Eroarea primei împărțiri în 12 părți a fost de + 0,15 cm în lungimea coardelor. Am început să analizăm situația și să căutăm modalități optime de a rezolva problemele. Ca rezultat, am găsit mai multe soluții pentru împărțirea unui cerc în 6, 12, 24 de părți.

Soluția 2. Marcați 6 puncte pe cerc, măsurați toate unghiurile, aliniați punctele astfel încât fiecare unghi să fie egal cu 60 [o]. Apoi, folosind programul, am desenat bisectoarele fiecărui unghi. Rezultatul a fost o împărțire în 12 părți. Și pentru a împărți în 24 de părți, am desenat din nou bisectoarele unghiurilor rezultate. Eroarea acestei construcții s-a dovedit a fi de +0,01 grade.

Soluția 3. Folosind programul, am construit 3 cercuri de aceeași rază (folosind copiere), le-am combinat așa cum se arată în figură. Marcați punctele de intersecție ale cercurilor. Am măsurat unghiurile rezultate, s-au dovedit a fi egale cu 60 [o]. Apoi, am construit bisectoare unghiulare pentru împărțirea în 12 și 24 de părți. Eroarea unei astfel de soluții este zero.

Problema 3. Împărțirea unui cerc în 9, 18, 36 de părți.

După ce am găsit modalitatea optimă de a rezolva problema anterioară, am început, în mod similar, să căutăm modalități de a împărți un cerc în 9, 18 și 36 de părți. Împărțirea în 18 și 36 de părți poate fi efectuată numai după construirea a 9 puncte, folosind construcția bisectoarelor.

Soluţie. 360 [o] : 9 = 40 [o]. Am > împărțit semicercul în 4 arce de aproximativ 40 [o] și un arc de 20 [o]. Folosind programul, am efectuat toate măsurătorile de unghi necesare prin deplasarea punctelor. Apoi, am selectat punctele construite și, folosind comanda >, am reflectat punctele la 180 de grade față de centrul cercului pe al doilea semicerc. Eroarea acestei construcții a fost de + 0,04 grade.

Problema 4. Construirea curbelor algebrice

Astroid

Soluția 1. Astroidul este construit pe planul de coordonate folosind următorul algoritm:

:: Este necesar să se conecteze punctele axei ordonatelor cu punctele axei absciselor astfel încât suma numerelor de diviziune să dea 10 (de exemplu: 1 și 9, 2 și 8, 3 și 7 etc.).

:: Conectați punctele în aceeași succesiune în sferturile rămase ale planului de coordonate.

Soluția 2. Desenați un cerc, construiți diametre perpendiculare și împărțiți fiecare rază într-un număr par de părți. Am conectat punctele cu segmente conform algoritmului anterior.

Soluția 3. După ce am stăpânit tehnica optimă de împărțire a unui cerc în 6 părți, am construit un astroid de 6 stele.

Soluția 4. Construcția unui astroid de 8 stele a fost realizată prin construirea bisectoarelor unghiurilor drepte.

Cardioid

Soluţie. Pentru a construi un cardioid, baza va fi un cerc. Cardioidul a fost construit după următorul plan:

:: a desenat un cerc și l-a împărțit în 36 de părți (10 grade fiecare);

:: numerotate punctele exterioare de la 1 la 36 în sens invers acelor de ceasornic;

:: punctele interne sunt numerotate conform diagramei 1;

:: puncte conectate cu aceleași numere interne și externe;

:: plicul va fi cardioidul.

Schema 1 Schema 2

IV. Creativitatea noastră.

După ce am stăpânit tehnicile de bază ale designului și modelării în >, am încercat să ne realizăm ca designeri și artiști. Am dezvoltat și pus în practică următoarele lucrări:

Concluzie, concluzii

>”, a notat Aristotel acum 2500 de ani. Contemporanul nostru Sukhomlinsky credea că >. Și matematica este o materie minunată pentru surpriză.

După ce am studiat în profunzime materialul disponibil, ne-am familiarizat cu o nouă metodă de construire a curbelor - broderia matematică, folosind tehnici familiare pentru construirea figurilor geometrice (construirea unui unghi, împărțirea unui segment în părți egale, conectarea punctelor într-o anumită secvență, împărțirea unui unghi). cerc în părți egale în program >). Am găsit o asemănare uimitoare între broderia matematică și un tip cunoscut de multă vreme de artă decorativă și aplicată - izothread.

Există multe fotografii cu broderie izothread pe Internet și literatură de specialitate, dar nu există diagrame atașate acestora. Am ajuns la concluzia că broderia matematică este un proces creativ. Cunoscând elementele de bază ale modelării matematice, care sunt expuse în lucrarea noastră, folosind gândirea creativă, logica și răbdarea, puteți realiza artă individuală > aplicată.

Broderia matematică ne-a interesat nu numai pe noi, ci și pe mulți elevi de școală (atât fete, cât și băieți). Credem că tehnologiile informaționale moderne vor face posibilă combinarea matematicii cu arta.

Curba sau linia este un concept geometric care este definit diferit în diferite secțiuni.

CURBA (linie), o urmă lăsată de un punct sau corp în mișcare. De obicei, o curbă este reprezentată doar ca o linie curbă netedă, ca o parabolă sau un cerc. Dar conceptul matematic al unei curbe acoperă atât o linie dreaptă, cât și figuri formate din segmente drepte, de exemplu, un triunghi sau un pătrat.

Curbele pot fi împărțite în plan și spațial. O curbă plană, cum ar fi o parabolă sau o linie dreaptă, este formată prin intersecția a două plane sau a unui plan și a unui corp și, prin urmare, se află în întregime într-un singur plan. O curbă spațială, de exemplu, o spirală în formă de arc elicoidal, nu poate fi obținută ca intersecție a unei suprafețe sau a unui corp cu un plan și nu se află în același plan. Curbele pot fi, de asemenea, împărțite în închise și deschise. O curbă închisă, cum ar fi un pătrat sau un cerc, nu are capete, adică punctul de mișcare care generează o astfel de curbă își repetă periodic traseul.

O curbă este un loc, sau o mulțime, de puncte care satisfac o anumită condiție sau ecuație matematică.

De exemplu, un cerc este locul punctelor dintr-un plan care sunt echidistante de un punct dat. Curbele definite prin ecuații algebrice sunt numite curbe algebrice.

De exemplu, ecuația unei drepte y = mx + b, unde m este panta și b este segmentul interceptat pe axa y, este algebrică.

Curbele ale căror ecuații conțin funcții transcendentale, cum ar fi logaritmii sau funcțiile trigonometrice, sunt numite curbe transcendentale.

De exemplu, y = log x și y = tan x sunt ecuații ale curbelor transcendentale.

Forma unei curbe algebrice poate fi determinată de gradul ecuației sale, care coincide cu cel mai înalt grad al termenilor ecuației.

Dacă ecuația este de gradul I, de exemplu Ax + By + C = 0, atunci curba are forma unei linii drepte.

Dacă ecuația de gradul doi este, de exemplu,

Ax 2 + By + C = 0 sau Ax 2 + By 2 + C = 0, atunci curba este pătratică, adică. reprezintă una dintre secțiunile conice; Aceste curbe includ parabole, hiperbole, elipse și cercuri.

Să enumerăm formele generale de ecuații ale secțiunilor conice:

x 2 + y 2 = r 2 - cerc,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - elipsă,

y = ax 2 - parabolă,

x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - hiperbola.

Curbele corespunzătoare ecuațiilor a treia, a patra, a cincea, a șasea etc. grade, se numesc curbe ale a treia, a patra, a cincea, a șasea etc. Ordin. În general, cu cât gradul ecuației este mai mare, cu atât curba deschisă va avea mai multe curburi.

Multe curbe complexe au primit denumiri speciale.

O cicloidă este o curbă plană descrisă de un punct fix pe un cerc care se rostogolește de-a lungul unei linii drepte numită generatorul cicloidului; un cicloid este format dintr-o serie de arce repetate.

Un epicicloid este o curbă plană descrisă de un punct fix pe un cerc care se rostogolește pe un alt cerc fix în afara acestuia.

Un hipocicloid este o curbă plană descrisă de un punct fix pe un cerc care se rostogolește din interior de-a lungul unui cerc fix.

O spirală este o curbă plată care se desfășoară, rând cu rând, dintr-un punct fix (sau se înfășoară în jurul lui).

Matematicienii au studiat proprietățile curbelor din cele mai vechi timpuri, iar numele multor curbe neobișnuite sunt asociate cu numele celor care le-au studiat pentru prima dată. Acestea sunt, de exemplu, spirala lui Arhimede, bucla Agnesi, cisoida lui Diocles, cocoida Nicomede și lemniscata Bernoulli.

În cadrul geometriei elementare, conceptul de curbă nu primește o formulare clară și este uneori definit ca „lungime fără lățime” sau ca „limita unei figuri”. În esență, în geometria elementară, studiul curbelor se rezumă la a lua în considerare exemple (, , , si etc.). Lipsită de metode generale, geometria elementară a pătruns destul de adânc în studiul proprietăților curbelor specifice (, nisteSi deasemenea), folosind tehnici speciale în fiecare caz.

Cel mai adesea, o curbă este definită ca o mapare continuă de la un segment la:

În același timp, curbele pot fi diferite, chiar dacă suntse potrivesc. Astfel de curbe se numesccurbe parametrizatesau daca[ A , b ] = , moduri.

Uneori, curba este determinată până la , adică până la relația de echivalență minimă astfel încât curbele parametrice

sunt echivalente dacă există o continuă (uneori nedescrescătoare) h din segmentul [ A 1 ,b 1 ] pe segment [ A 2 ,b 2], astfel încât

Cele definite prin această relație se numesc pur și simplu curbe.

Definiții analitice

La cursurile de geometrie analitică se dovedește că printre liniile scrise în coordonate dreptunghiulare carteziene (sau chiar afine generale) printr-o ecuație generală de gradul doi

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(unde cel puțin unul dintre coeficienții A, B, C este diferit de zero) se găsesc doar următoarele opt tipuri de linii:

a) elipsa;

b) hiperbola;

c) parabola (curbe nedegenerate de ordinul doi);

d) o pereche de drepte care se intersectează;

e) o pereche de drepte paralele;

f) o pereche de linii coincidente (o linie dreaptă);

g) un punct (linii degenerate de ordinul doi);

h) o „linie” care nu conține deloc puncte.

Dimpotrivă, orice linie din fiecare dintre cele opt tipuri indicate este scrisă în coordonate dreptunghiulare carteziene printr-o ecuație de ordinul doi. (În cursurile de geometrie analitică se vorbește de obicei despre nouă (nu opt) tipuri de secțiuni conice, deoarece fac distincție între o „elipsă imaginară” și o „pereche de linii paralele imaginare” - din punct de vedere geometric, aceste „linii” sunt aceleași, deoarece ambele fac nu conțin un singur punct, dar analitic sunt scrise prin ecuații diferite.) Prin urmare, secțiunile conice (degenerate și nedegenerate) pot fi definite și ca linii de ordinul doi.

ÎNo curbă pe un plan este definită ca un set de puncte ale căror coordonate satisfac ecuațiaF ( X , y ) = 0 . În același timp, pentru funcțieF se impun restricţii care garantează că această ecuaţie are un număr infinit de soluţii divergente şi

acest set de soluții nu umple „bucata de avion”.

Curbe algebrice

O clasă importantă de curbe sunt cele pentru care funcțiaF ( X , y ) Existădin două variabile. În acest caz, curba definită de ecuațieF ( X , y ) = 0 , numit.

Curbele algebrice definite printr-o ecuație de gradul I sunt .

O ecuație de gradul 2, având un număr infinit de soluții, determină , adică degenerată și nedegenerată.

Exemple de curbe definite prin ecuații de gradul 3: , .

Exemple de curbe de gradul 4: și.

Exemplu de curbă de gradul 6: .

Exemplu de curbă definită printr-o ecuație de grad par: (multifocal).

Curbele algebrice definite prin ecuații de grade superioare sunt considerate în. În același timp, teoria lor devine mai armonioasă dacă luarea în considerare este efectuată. În acest caz, curba algebrică este determinată de o ecuație de formă

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

Unde F- un polinom de trei variabile care sunt puncte.

Tipuri de curbe

O curbă plană este o curbă în care toate punctele se află în același plan.

(linie simplă sau arc Iordan, de asemenea contur) - un set de puncte ale unui plan sau spațiu care sunt în corespondență unu-la-unu și reciproc continuă cu segmentele de linie.

Calea este un segment în .

curbe analitice care nu sunt algebrice. Mai exact, curbe care pot fi definite prin linia de nivel a unei funcții analitice (sau, în cazul multidimensional, a unui sistem de funcții).

Undă sinusoidală,

Cicloid,

spirala lui Arhimede,

Tractor,

linie de lanț,

Spirala hiperbolica etc.

1. Metode de definire a curbelor:

analitic – curba este dată de o ecuație matematică;

grafic – curba este specificată vizual pe un purtător de informații grafice;

tabulară – curba este specificată de coordonatele unei serii secvențiale de puncte.

parametrică (cel mai comun mod de a specifica ecuația unei curbe):

Unde - funcții netede ale parametrilort, și

(X") 2 + (y") 2 + (z") 2 > 0 (condiția de regularitate).

Este adesea convenabil să folosiți o reprezentare invariantă și compactă a ecuației unei curbe folosind:

unde în partea stângă sunt puncte ale curbei, iar partea dreaptă determină dependența acesteia de un parametru t. Expandând această intrare în coordonate, obținem formula (1).

1. Cicloid.

Istoria studiului cicloidului este asociată cu numele unor astfel de mari oameni de știință, filozofi, matematicieni și fizicieni precum Aristotel, Ptolemeu, Galileo, Huygens, Torricelli și alții.

Cicloid(dinκυκλοειδής - rotund) -, care poate fi definită ca traiectoria unui punct situat la limita unui cerc care se rostogolește fără alunecare în linie dreaptă. Acest cerc se numește generare.

Una dintre cele mai vechi metode de formare a curbelor este metoda cinematică, în care curba se obține ca traiectorie a unui punct. O curbă care se obține ca traiectorie a unui punct fixat pe un cerc, care se rostogolește fără alunecare de-a lungul unei linii drepte, de-a lungul unui cerc sau a unei alte curbe, se numește cicloidal, care tradus din greacă înseamnă circular, amintind de un cerc.

Să luăm mai întâi în considerare cazul când cercul se rostogolește de-a lungul unei linii drepte. Curba descrisă de un punct fixat pe un cerc care se rostogolește fără alunecare în linie dreaptă se numește cicloidă.

Lăsați un cerc cu raza R să se rotească de-a lungul unei linii drepte a. C este un punct fixat pe un cerc, la momentul iniţial de timp situat în poziţia A (Fig. 1). Să trasăm pe linia a un segment AB egal cu lungimea cercului, adică. AB = 2 π R. Împărțiți acest segment în 8 părți egale prin punctele A1, A2, ..., A8 = B.

Este clar că atunci când cercul, rostogolindu-se de-a lungul liniei drepte a, face o revoluție, adică. se rotește cu 360, apoi va lua poziția (8), iar punctul C se va muta din poziția A în poziția B.

Dacă cercul face o jumătate de revoluție completă, adică. se întoarce la 180, apoi va ocupa poziția (4), iar punctul C se va muta în cea mai înaltă poziție C4.

Dacă cercul se rotește printr-un unghi de 45, cercul se va muta în poziția (1), iar punctul C se va muta în poziția C1.

Figura 1 prezintă și alte puncte ale cicloidului corespunzătoare unghiurilor de rotație rămase ale cercului, multipli de 45.

Conectând punctele construite cu o curbă netedă, obținem o secțiune a cicloidă corespunzătoare unei revoluții complete a cercului. La urmatoarele revolutii se vor obtine aceleasi sectiuni, i.e. Cicloidul va consta dintr-o secțiune care se repetă periodic numită arcul cicloidului.

Să fim atenți la poziția tangentei la cicloidă (Fig. 2). Dacă un biciclist merge pe un drum umed, atunci picăturile care ies de pe roată vor zbura tangențial la cicloid și, în absența scuturilor, pot stropi spatele biciclistului.

Prima persoană care a studiat cicloidul a fost Galileo Galilei (1564 – 1642). El a venit și cu numele lui.

Proprietățile cicloidului:

Cicloidul are o serie de proprietăți remarcabile. Să menționăm câteva dintre ele.

Proprietatea 1. (Munte de gheață.) În 1696, I. Bernoulli a pus problema găsirii curbei celei mai abrupte coborâre sau, cu alte cuvinte, problema a ceea ce ar trebui să fie forma unui tobogan de gheață pentru a se rostogoli în jos pentru a face călătoria. de la punctul de plecare A la punctul final B în cel mai scurt timp (Fig. 3, a). Curba dorită a fost numită „brahistocron”, adică. cea mai scurtă curbă de timp.

Este clar că cea mai scurtă cale de la punctul A la punctul B este segmentul AB. Cu toate acestea, cu o astfel de mișcare rectilinie, viteza se câștigă lent și timpul petrecut la coborâre se dovedește a fi mare (Fig. 3, b).

Cu cât coborârea este mai abruptă, cu atât viteza crește mai repede. Cu toate acestea, cu o coborâre abruptă, traseul de-a lungul curbei se prelungește și, prin urmare, crește timpul necesar pentru a o finaliza.

Printre matematicienii care au rezolvat această problemă s-au numărat: G. Leibniz, I. Newton, G. L'Hopital şi J. Bernoulli. Au demonstrat că curba dorită este o cicloidă inversată (Fig. 3, a). Metodele dezvoltate de acești oameni de știință în rezolvarea problemei brahistocronei au pus bazele unei noi direcții în matematică - calculul variațiilor.

Proprietatea 2. (Ceas cu pendul.) Un ceas cu pendul obișnuit nu poate funcționa cu precizie, deoarece perioada de oscilație a pendulului depinde de amplitudinea acestuia: cu cât amplitudinea este mai mare, cu atât perioada este mai mare. Omul de știință olandez Christiaan Huygens (1629 – 1695) s-a întrebat ce curbă ar trebui să urmeze o minge de pe șira unui pendul pentru ca perioada oscilațiilor sale să nu depindă de amplitudine. Rețineți că într-un pendul obișnuit, curba de-a lungul căreia se mișcă mingea este un cerc (Fig. 4).

Curba pe care o căutam s-a dovedit a fi o cicloidă inversată. Dacă, de exemplu, se face un șanț în formă de cicloid inversat și o minge este lansată de-a lungul ei, atunci perioada de mișcare a mingii sub influența gravitației nu va depinde de poziția inițială și de amplitudinea acesteia (Fig. 5). ). Pentru această proprietate, cicloidul este numit și „tautocron” - o curbă de timpi egali.

Huygens a realizat două scânduri de lemn cu margini în formă de cicloid, limitând mișcarea firului în stânga și în dreapta (Fig. 6). În acest caz, mingea în sine se va deplasa de-a lungul unui cicloid inversat și, astfel, perioada oscilațiilor sale nu va depinde de amplitudine.

Din această proprietate a cicloidului, în special, rezultă că indiferent din ce loc pe toboganul de gheață în formă de cicloid inversat începem coborârea, vom petrece același timp până la punctul final.

Ecuația cicloidă

1. Este convenabil să scrieți ecuația cicloidă în termeni de α - unghiul de rotație al cercului, exprimat în radiani, rețineți că α este și ea egală cu drumul parcurs de cercul generator în linie dreaptă.

x=rα– r păcat α

y=r – r cos α

2. Să luăm axa de coordonate orizontală drept linie dreaptă de-a lungul căreia se rotește cercul generator al razei r.

Cicloida este descrisă prin ecuații parametrice

X = rt – r păcat t,

y = r – r cos t.

Ecuația în:

Cicloida poate fi obținută prin rezolvarea ecuației diferențiale:

Din povestea cicloidului

Primul om de știință care a acordat atenție cicloiduluiV, dar cercetări serioase asupra acestei curbe au început abia în.

Prima persoană care a studiat cicloidul a fost Galileo Galilei (1564-1642), celebrul astronom, fizician și educator italian. El a venit, de asemenea, cu numele „cicloid”, care înseamnă „reminiscență a unui cerc”. Galileo însuși nu a scris nimic despre cicloidă, dar munca sa în această direcție este menționată de studenții și adepții lui Galileo: Viviani, Toricelli și alții. Toricelli, un fizician celebru și inventator al barometrului, a dedicat mult timp matematicii. În timpul Renașterii nu existau oameni de știință îngusti de specialitate. Un om talentat a studiat filozofia, fizica și matematica și peste tot a primit rezultate interesante și a făcut descoperiri majore. Puțin mai târziu decât italienii, francezii au preluat cicloidul, numind-o „ruletă” sau „trochoid”. În 1634, Roberval - inventatorul celebrului sistem de cântare - a calculat aria delimitată de arcul unui cicloid și baza acestuia. Un studiu substanțial al cicloidă a fost efectuat de un contemporan cu Galileo. Printre , adică curbe a căror ecuație nu poate fi scrisă sub forma de X , y, cicloidul este primul dintre cei studiati.

A scris despre cicloidă:

Ruleta este o linie atât de comună încât după linia dreaptă și cerc nu există o linie mai des întâlnită; este atât de des conturat în fața ochilor tuturor, încât trebuie să fii surprins că anticii nu l-au luat în considerare... căci nu este altceva decât o cale descrisă în aer de cuiul unei roți.

Noua curbă a câștigat rapid popularitate și a fost supusă unei analize aprofundate, care a inclus, , Newton,, frații Bernoulli și alți lumini ai științei din secolele XVII-XVIII. Pe cicloidă, metodele care au apărut în acei ani au fost perfecționate activ. Faptul că studiul analitic al cicloidei s-a dovedit a fi la fel de reușit ca și analiza curbelor algebrice a făcut o mare impresie și a devenit un argument important în favoarea „drepturilor egale” ale curbelor algebrice și transcendentale. Epicicloid

Unele tipuri de cicloizi

Epicicloid - traiectoria punctului A, situat pe un cerc cu diametrul D, care se rostogoleste fara alunecare de-a lungul unui cerc de ghidare de raza R (contact exterior).

Construcția epicicloidului se realizează în următoarea secvență:

Din centrul 0 se traseaza un arc auxiliar cu raza egala cu 000=R+r;

Din punctele 01, 02, ...012, ca și din centre, se trasează cercuri cu raza r până se intersectează cu arce auxiliare în punctele A1, A2, ... A12, care aparțin epicicloidului.

Hipocicloid

Hipocicloidul este traiectoria punctului A situat pe un cerc cu diametrul D, care se rostogolește fără alunecare de-a lungul unui cerc de ghidare cu raza R (tangență internă).

Construcția unui hipocicloid se realizează în următoarea secvență:

Cercul generator de raza r și cercul de direcție cu raza R sunt desenate astfel încât să se atingă în punctul A;

Cercul generator se împarte în 12 părți egale, se obțin punctele 1, 2, ... 12;

Din centrul 0 se traseaza un arc auxiliar cu raza egala cu 000=R-r;

Unghiul central a este determinat de formula a =360r/R.

Împarte arcul cercului de ghidare, limitat de unghiul a, în 12 părți egale, obținându-se punctele 11, 21, ...121;

Din centrul 0 se trasează drepte prin punctele 11, 21, ...121 până când se intersectează cu arcul auxiliar în punctele 01, 02, ...012;

Din centrul 0 se trasează arce auxiliare prin punctele de împărțire 1, 2, ... 12 ale cercului generator;

Din punctele 01, 02, ...012, ca din centre, se trasează cercuri cu raza r până se intersectează cu arce auxiliare în punctele A1, A2, ... A12, care aparțin hipocicloidului.

1. Cardioid.

Cardioid ( καρδία - inima, Cardioidul este un caz special. Termenul de „cardioid” a fost introdus de Castillon în 1741.

Dacă luăm ca pol un cerc și un punct de pe el, vom obține un cardioid numai dacă trasăm segmente egale cu diametrul cercului. Pentru alte dimensiuni ale segmentelor depuse, concoidele vor fi cardioide alungite sau scurtate. Acești cardioizi alungiți și scurtați se numesc altfel cohleea lui Pascal.

Cardioid are diverse aplicații în tehnologie. Formele cardioide sunt folosite pentru a face excentrice și came pentru mașini. Este folosit uneori la desenarea roților. În plus, este folosit în tehnologia optică.

Proprietățile unui cardioid

cardioid -B M pe un cerc în mișcare va descrie o traiectorie închisă. Această curbă plată se numește cardioid.

2) Cardioid poate fi obținut în alt mod. Marcați un punct pe cerc DESPREși să desenăm o grindă din ea. Dacă de la punct A intersecția acestei raze cu un cerc, trasați un segment A.M, lungime egală cu diametrul cercului, iar raza se rotește în jurul punctului DESPRE, apoi punct M se va deplasa de-a lungul cardioidului.

3) Un cardioid poate fi reprezentat și ca o curbă tangentă la toate cercurile având centre pe un cerc dat și care trec prin punctul său fix. Când sunt construite mai multe cercuri, cardioidul pare să fie construit ca de la sine.

4) Există, de asemenea, un mod la fel de elegant și neașteptat de a vedea cardioidul. În figură puteți vedea o sursă de lumină punctuală pe un cerc. După ce razele de lumină sunt reflectate pentru prima dată din cerc, ele călătoresc tangente la cardioid. Imaginează-ți acum că cercul este marginile unei cupe; un bec strălucitor este reflectat într-un punct. Cafeaua neagră este turnată în ceașcă, permițându-vă să vedeți razele strălucitoare reflectate. Ca urmare, cardioidul este evidențiat de razele de lumină.

1. Astroid.

Astroid (din grecescul astron - stea și eidos - vedere), o curbă plată descrisă de un punct pe un cerc care atinge din interior un cerc fix de patru ori mai mare decât raza și se rostogolește de-a lungul acestuia fără să alunece. Aparține hipocicloizilor. Astroid este o curbă algebrică de ordinul al 6-lea.

Astroid.

Lungimea întregului astroid este egală cu șase raze ale cercului fix, iar aria limitată de acesta este trei optimi din cercul fix.

Segmentul tangent la astroid, cuprins între două raze reciproc perpendiculare ale cercului fix desenat la vârfurile astroidului, este egal cu raza cercului fix, indiferent de modul în care a fost ales punctul.

Proprietățile astroidului

Sunt patrukaspa .

Lungimea arcului de la punctul 0 la plic

familii de segmente de lungime constantă, ale căror capete sunt situate pe două linii reciproc perpendiculare.

Astroid este de ordinul 6.

Ecuații astroide

Ecuația în coordonate dreptunghiulare carteziene:| x | 2 / 3 + | y | 2/3 = R2/3ecuație parametrică:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Metoda de construire a unui astroid

Desenăm două linii drepte reciproc perpendiculare și desenăm o serie de segmente de lungimeR , ale căror capete se află pe aceste linii. Figura prezintă 12 astfel de segmente (inclusiv segmente ale liniilor drepte reciproc perpendiculare). Cu cât desenăm mai multe segmente, cu atât vom obține curba mai precisă. Să construim acum anvelopa tuturor acestor segmente. Acest plic va fi astroidul.

1. Concluzie

Lucrarea oferă exemple de probleme cu diferite tipuri de curbe, definite prin ecuații diferite sau care satisfac anumite condiții matematice. În special, curbele cicloidale, metode de definire a acestora, diferite metode de construcție, proprietăți ale acestor curbe.

Proprietățile curbelor cicloidale sunt foarte des folosite în mecanica angrenajelor, ceea ce crește semnificativ rezistența pieselor din mecanisme.