B8. UTILIZARE

1. Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și o tangentă la acest grafic, desenat într-un punct cu abscisa x0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0. Raspuns: 2

2.

Răspuns: -5

3.

Pe intervalul (–9; 4).

Raspuns: 2

4.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0 Răspuns: 0,5

5. Aflați punctul de contact dintre dreapta y = 3x + 8 și graficul funcției y = x3+x2-5x-4. Indicați abscisa acestui punct în răspunsul dvs. Raspuns: -2

6.

Determinați numărul de valori întregi ale argumentului pentru care derivata funcției f(x) este negativă. Raspuns: 4

7.

Raspuns: 2

8.

Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f(x) este paralelă sau coincide cu dreapta y=5–x. Raspuns: 3

9.

Interval (-8; 3).

y direct = -20. Raspuns: 2

10.

Răspuns: -0,5

11

Raspunsul 1

12. Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0. Răspuns: 0,5

13. Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0. Răspuns: -0,25

14.

Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f(x) este paralelă sau coincide cu dreapta y = x+7. Raspuns: 4

15

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0. Raspuns: -2

16.

interval (-14;9).

Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) pe intervalul [-12;7]. Raspuns: 3

17

pe intervalul (-10; 8).

Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(x) pe intervalul [-9;7]. Răspuns: 4

18. Linia y = 5x-7 atinge graficul funcției y = 6x2 + bx-1 într-un punct cu o abscisă mai mică de 0. Aflați b. Răspuns: 17

19

Răspuns:-0,25

20

Răspuns: 6

21. Aflați tangenta la graficul funcției y=x2+6x-7, paralelă cu dreapta y=5x+11. În răspunsul dvs., indicați abscisa punctului de contact. Răspuns: -0,5

22.

Răspuns: 4

23. f „(x) pe intervalul (-16; 4).

Pe segmentul [-11; 0] găsiți numărul de puncte maxime ale funcției. Răspuns: 1

B8 Grafice ale funcțiilor, derivate ale funcțiilor. Cercetarea funcției . UTILIZARE

1. Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și o tangentă la acest grafic, desenat într-un punct cu abscisa x0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

2. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul (-6; 5).

În ce punct al segmentului [-5; -1] f(x) ia cea mai mică valoare?

3. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției y = f(x), definită

Pe intervalul (–9; 4).

Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f(x) este paralelă cu dreapta

y = 2x-17 sau la fel.

4. Figura prezintă graficul funcției y = f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0

5. Aflați punctul de contact dintre dreapta y = 3x + 8 și graficul funcției y = x3+x2-5x-4. Indicați abscisa acestui punct în răspunsul dvs.

6. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x), definită pe intervalul (-7; 5).

Determinați numărul de valori întregi ale argumentului pentru care derivata funcției f(x) este negativă.

7. Figura prezintă un grafic al funcției y \u003d f "(x), definită pe intervalul (-8; 8).

Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(x) aparținând segmentului [-4; 6].

8. Figura prezintă un grafic al funcției y \u003d f "(x), definită pe intervalul (-8; 4).

Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f(x) este paralelă sau coincide cu dreapta y=5–x.

9. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției y = f(x) definită pe

Interval (-8; 3).

Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul unei funcții este paralelă

y direct = -20.

10. Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

11 . Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f (x), definită pe intervalul (-9; 9).

Aflați numărul de puncte minime ale funcției $f(x)$ pe segmentul [-6;8]. 1

12. Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

13. Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

14. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f (x), definită pe intervalul (-6; 8).

Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f(x) este paralelă sau coincide cu dreapta y = x+7.

15 . Figura prezintă graficul funcției y = f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

16. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe

interval (-14;9).

Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) pe intervalul [-12;7].

17 . Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită

pe intervalul (-10; 8).

Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(x) pe intervalul [-9;7].

18. Linia y = 5x-7 atinge graficul funcției y = 6x2 + bx-1 într-un punct cu o abscisă mai mică de 0. Aflați b.

19 . Figura prezintă graficul derivatei funcției f(x) și tangentei la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

20 . Aflați numărul de puncte din intervalul (-1;12) în care derivata funcției y = f(x) prezentată pe grafic este egală cu 0.

21. Aflați tangenta la graficul funcției y=x2+6x-7, paralelă cu dreapta y=5x+11. În răspunsul dvs., indicați abscisa punctului de contact.

22. Figura prezintă graficul funcției y=f(x). Aflați numărul de puncte întregi din intervalul (-2;11) în care derivata funcției f(x) este pozitivă.

23. Figura prezintă graficul funcției y= f „(x) pe intervalul (-16; 4).

Pe segmentul [-11; 0] găsiți numărul de puncte maxime ale funcției.

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [–5; 6]. Aflați numărul de puncte ale graficului f (x), în fiecare din care tangenta trasată la graficul funcției coincide sau este paralelă cu axa x

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții diferențiabile y = f(x).

Aflați numărul de puncte din graficul funcției care aparțin segmentului [–7; 7], în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta dată de ecuația y = –3x.

Punctul material M începe să se miște din punctul A și se mișcă în linie dreaptă timp de 12 secunde. Graficul arată cum s-a schimbat distanța de la punctul A la punctul M în timp. Abscisa arată timpul t în secunde, ordonata arată distanța s în metri. Determinați de câte ori în timpul mișcării viteza punctului M a ajuns la zero (ignorați începutul și sfârșitul mișcării).

Figura prezintă secțiuni ale graficului funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x \u003d 0. Se știe că această tangentă este paralelă cu linia dreaptă care trece prin punctele lui. graficul cu abscisele x \u003d -2 și x \u003d 3. Folosind aceasta, găsiți valoarea derivatei f "(o).

Figura prezintă un grafic y = f'(x) - derivata funcției f(x), definită pe segmentul (−11; 2). Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y = f(x) este paralelă cu axa x sau coincide cu aceasta.

Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul măsurat în secunde de la începutul mișcării. În ce moment (în secunde) viteza ei a fost egală cu 2 m/s?

Punctul material se deplasează de-a lungul unei linii drepte de la poziția inițială la cea finală. Figura prezintă un grafic al mișcării sale. Timpul în secunde este trasat pe axa absciselor, distanța de la poziția inițială a punctului (în metri) este reprezentată pe axa ordonatelor. Aflați viteza medie a punctului. Dați răspunsul în metri pe secundă.

Funcția y \u003d f (x) este definită pe intervalul [-4; 4]. Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Găsiți numărul de puncte din graficul funcției y \u003d f (x), tangenta în care formează un unghi de 45 ° cu direcția pozitivă a axei Ox.

Funcția y \u003d f (x) este definită pe segmentul [-2; 4]. Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Găsiți abscisa punctului graficului funcției y \u003d f (x), în care ia cea mai mică valoare pe segmentul [-2; -0,001].

Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la acest grafic, desenată în punctul x0. Tangenta este dată de ecuația y = -2x + 15. Aflați valoarea derivatei funcției y = -(1/4)f(x) + 5 în punctul x0.

Pe graficul funcției diferențiabile sunt marcate șapte puncte y = f(x): x1,..,x7. Găsiți toate punctele marcate în care derivata funcției f(x) este mai mare decât zero. Introduceți numărul acestor puncte în răspunsul dvs.

Figura prezintă un grafic y \u003d f "(x) al derivatei funcției f (x), definită pe intervalul (-10; 2). Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f (x) este paralelă cu linia y \u003d -2x-11 sau se potrivește cu aceasta.

Figura prezintă un grafic al lui y \u003d f "(x) - derivata funcției f (x). Nouă puncte sunt marcate pe axa x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7 , x8, x9.
Câte dintre aceste puncte aparțin intervalelor funcției descrescătoare f(x)?

Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la acest grafic, desenată în punctul x0. Tangenta este dată de ecuația y = 1,5x + 3,5. Găsiți valoarea derivatei funcției y \u003d 2f (x) - 1 în punctul x0.

Figura prezintă un grafic y=F(x) al uneia dintre antiderivatele funcției f (x). Pe grafic sunt marcate șase puncte cu abscise x1, x2, ..., x6. În câte dintre aceste puncte funcția y=f(x) ia valori negative?

Figura arată programul mașinii de-a lungul traseului. Timpul este trasat pe axa absciselor (în ore), pe axa ordonatelor - distanța parcursă (în kilometri). Găsiți viteza medie a mașinii pe această rută. Dati raspunsul in km/h

Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, unde x este distanța de la punctul de referință (în metri), t este timpul de mișcare (în secunde). Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t=6 s

Figura prezintă un grafic al antiderivatei y \u003d F (x) a unei funcții y \u003d f (x), definită pe intervalul (-6; 7). Folosind figura, determinați numărul de zerouri ale funcției f(x) într-un interval dat.

Figura prezintă un grafic y = F(x) al uneia dintre antiderivatele unei funcții f(x) definite pe intervalul (-7; 5). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f(x) = 0 pe segmentul [- 5; 2].

Figura prezintă un grafic al unei funcții diferențiabile y=f(x). Nouă puncte sunt marcate pe axa x: x1, x2, ... x9. Găsiți toate punctele marcate în care derivata lui f(x) este negativă. Introduceți numărul acestor puncte în răspunsul dvs.

Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii x(t)=12t^3−3t^2+2t, unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul în secunde măsurat de la începutul mișcării. Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t=6 s.

Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la acest grafic desenată în punctul x0. Ecuația tangentei este prezentată în figură. aflați valoarea derivatei funcției y=4*f(x)-3 în punctul x0.

În problema B9, este dat un grafic al unei funcții sau derivate, din care se cere să se determine una dintre următoarele mărimi:

1. Valoarea derivatei la un punct x 0,
2. Puncte ridicate sau scăzute (puncte extreme),
3. Intervale de funcţii crescătoare şi descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, ceea ce simplifică foarte mult soluția. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii de analiză matematică, este destul de în puterea chiar și a celor mai slabi studenți, deoarece nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde aici.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție condiția problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori apar texte destul de voluminoase, dar sunt puține condiții importante care afectează cursul soluției.

Calculul valorii derivatului. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se dă un grafic al funcției f(x), tangent la acest grafic la un punct x 0 , și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

1. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - acesta este punctul cheie al soluției, iar orice greșeală aici duce la un răspuns greșit.
2. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
3. În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției la incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Încă o dată, observăm: punctele A și B trebuie căutate tocmai pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Tangenta va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte, altfel problema este formulată incorect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu, putem formula regula: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de contact este egală cu zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să calculați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calcularea punctelor mari și scăzute

Uneori, în locul unui grafic al unei funcții din problema B9, este dat un grafic al derivatei și este necesar să se găsească punctul maxim sau minim al funcției. În acest scenariu, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă în vecinătatea acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime pe graficul derivatei, este suficient să efectuați următorii pași:

1. Redesenați graficul derivatei, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele suplimentare interferează doar cu soluția. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și atât.
2. Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. În schimb, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
3. Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus, există un punct minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile - vom lăsa doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, rețineți semnele:

Evident, în punctul x = −3, semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Observați semnele derivatei pe graficul rezultat. Noi avem:

Evident, în punctul x = 5, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) care aparțin intervalului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic mărginită de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou graf, pe care marchem doar granițele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic, există un singur punct maxim x = 2. În el, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă s-a luat în considerare punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este formulată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu sunt direct implicate în rezolvarea problemei. Desigur, cu puncte întregi un astfel de truc nu va funcționa.

Găsirea intervalelor de creștere și scădere a unei funcții

Într-o astfel de problemă, precum punctele de maxim și minim, se propune să se găsească zone în care funcția în sine crește sau scade din graficul derivatei. În primul rând, să definim ce sunt crescător și descendent:

1. O funcție f(x) se numește crescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
2. O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Acestea. o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a functiei.

Formulăm condiții suficiente pentru creșterea și scăderea:

1. Pentru ca o funcție continuă f(x) să crească pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie pozitivă, i.e. f'(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f'(x) ≤ 0.

Acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și scădere, care este în multe privințe similară cu algoritmul pentru calcularea punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile redundante. Pe graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le lăsăm doar pe acestea.
2. Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Acolo unde f'(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f'(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema are restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe noua diagramă.
3. Acum că știm comportamentul funcției și al constrângerii, rămâne de calculat valoarea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−3; 7,5]. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(x). În răspunsul dvs., scrieți suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, redesenăm graficul și marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi marchem semnele derivatei. Noi avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−10; 4]. Aflați intervalele funcției crescătoare f(x). În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile redundante. Lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, care de data aceasta s-au dovedit a fi patru: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Observați semnele derivatei și obțineți următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. unde f'(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece este necesar să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, scriem valoarea l 2 = 5 ca răspuns.

Linia y=3x+2 este tangentă la graficul funcției y=-12x^2+bx-10. Găsiți b , având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mică decât zero.

Afișează soluția

Decizie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y=-12x^2+bx-10 prin care trece tangenta la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y"(x_0)=-24x_0+b=3. Pe de altă parte, punctul tangentei aparține atât graficului funcției, cât și tangentă, adică -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Obținem un sistem de ecuații \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cazuri)

Rezolvând acest sistem, obținem x_0^2=1, ceea ce înseamnă fie x_0=-1, fie x_0=1. După starea abscisei, punctele de atingere sunt mai mici decât zero, deci x_0=-1, apoi b=3+24x_0=-21.

Răspuns

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) (care este o linie întreruptă formată din trei segmente de linie dreaptă). Folosind figura, calculați F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele lui f(x).

Afișează soluția

Decizie

Conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x), este egală cu aria trapezului curbiliniu mărginit prin graficul funcției y=f(x), drepte y=0 , x=9 și x=5. Conform graficului, determinăm că trapezul curbiliniu specificat este un trapez cu bazele egale cu 4 și 3 și o înălțime de 3.

Suprafața sa este egală cu \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al lui y \u003d f "(x) - derivata funcției f (x), definită pe intervalul (-4; 10). Găsiți intervalele funcției descrescătoare f (x). În răspunsul dvs. , indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Afișează soluția

Decizie

După cum știți, funcția f (x) scade pe acele intervale, în fiecare punct al căruia derivata f „(x) este mai mică decât zero. Având în vedere că este necesar să găsim lungimea celui mai mare dintre ele, trei astfel de intervale. se disting în mod natural de figură: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Lungimea celui mai mare dintre ele - (5; 9) este egală cu 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al lui y \u003d f "(x) - derivata funcției f (x), definită pe intervalul (-8; 7). Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f (x) aparținând la intervalul [-6; -2].

Afișează soluția

Decizie

Graficul arată că derivata f „(x) a funcției f (x) își schimbă semnul din plus în minus (va fi maxim în astfel de puncte) la exact un punct (între -5 și -4) din intervalul [ -6; -2 Prin urmare, există exact un punct maxim pe intervalul [-6;-2].

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) definită pe intervalul (-2; 8). Determinați numărul de puncte în care derivata funcției f(x) este egală cu 0 .

Afișează soluția

Decizie

Dacă derivata într-un punct este egală cu zero, atunci tangenta la graficul funcției desenate în acest punct este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, găsim astfel de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa Ox. Pe această diagramă, astfel de puncte sunt puncte extreme (puncte maxime sau minime). După cum puteți vedea, există 5 puncte extreme.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Linia y=-3x+4 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=-x^2+5x-7. Găsiți abscisa punctului de contact.

Afișează soluția

Decizie

Panta dreptei către graficul funcției y=-x^2+5x-7 într-un punct arbitrar x_0 este y"(x_0). Dar y"=-2x+5, deci y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Angular coeficientul dreptei y=-3x+4 specificat în condiția este -3.Drecțiile paralele au aceiași coeficienți de pantă.De aceea, găsim o astfel de valoare x_0 care =-2x_0 +5=-3.

Se obține: x_0 = 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și punctele marcate -6, -1, 1, 4 pe axa x. În care dintre aceste puncte este valoarea derivatei cea mai mică? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.