Orice măsurători se fac întotdeauna cu unele erori asociate cu acuratețea limitată a instrumentelor de măsurare, alegerea greșită și eroarea metodei de măsurare, fiziologia experimentatorului, caracteristicile obiectelor măsurate, modificările condițiilor de măsurare etc. Prin urmare, sarcina de măsurare include găsirea nu numai a cantității în sine, ci și a erorii de măsurare, adică intervalul în care se află cel mai probabil valoarea adevărată a mărimii măsurate. De exemplu, la măsurarea unui interval de timp t cu un cronometru cu o valoare a diviziunii de 0,2 s, putem spune că valoarea lui adevărată este în intervalul de la s la 
cu. Astfel, valoarea măsurată conține întotdeauna o eroare 
, Unde 
și X sunt, respectiv, valorile adevărate și măsurate ale mărimii studiate. Valoare 
numit eroare absolută măsurători (erori) și expresia 
care caracterizează precizia măsurării se numește eroare relativă.
Este destul de natural ca experimentatorul să se străduiască să facă fiecare măsurătoare cu cea mai mare precizie posibilă, dar o astfel de abordare nu este întotdeauna oportună. Cu cât dorim să măsurăm mai precis această sau acea cantitate, cu atât instrumentele pe care trebuie să le folosim sunt mai complexe, cu atât mai mult timp vor necesita aceste măsurători. Prin urmare, precizia rezultatului final ar trebui să corespundă scopului experimentului. Teoria erorilor oferă recomandări cu privire la modul în care trebuie efectuate măsurătorile și cum ar trebui procesate rezultatele, astfel încât marja de eroare să fie cât mai mică posibil.
Toate erorile care apar în timpul măsurătorilor sunt de obicei împărțite în trei tipuri - sistematice, aleatorii și greșeli sau erori grosolane.
Erori sistematice din cauza preciziei limitate a fabricării dispozitivelor (erori de instrumente), a deficiențelor metodei de măsurare alese, a inexactității formulei de calcul, a instalării necorespunzătoare a dispozitivului etc. Astfel, erorile sistematice sunt cauzate de factori care acționează în același mod atunci când aceleași măsurători sunt repetate de mai multe ori. Valoarea acestei erori se repetă sistematic sau se modifică conform unei anumite legi. Unele erori sistematice pot fi eliminate (în practică, acest lucru este întotdeauna ușor de realizat) prin schimbarea metodei de măsurare, introducerea de corecții la citirile instrumentului și luând în considerare influența constantă a factorilor externi.
Deși eroarea sistematică (instrumentală) în timpul măsurătorilor repetate dă o abatere a valorii măsurate de la valoarea adevărată într-o direcție, nu știm niciodată în ce direcție. Prin urmare, eroarea instrumentală se scrie cu semn dublu
Erori aleatorii sunt cauzate de un număr mare de cauze aleatorii (modificări de temperatură, presiune, tremurări ale clădirii etc.), al căror efect asupra fiecărei măsurători este diferit și nu poate fi luat în considerare în prealabil. Apar erori aleatorii și din cauza imperfecțiunii organelor de simț ale experimentatorului. Erorile aleatorii includ și erorile datorate proprietăților obiectului măsurat.
Este imposibil să se excludă erori aleatorii ale măsurătorilor individuale, dar este posibil să se reducă influența acestor erori asupra rezultatului final prin efectuarea de măsurători multiple. Dacă eroarea aleatorie se dovedește a fi semnificativ mai mică decât eroarea instrumentală (sistematică), atunci nu are rost să reducem în continuare eroarea aleatoare prin creșterea numărului de măsurători. Dacă eroarea aleatorie este mai mare decât eroarea instrumentală, atunci numărul de măsurători ar trebui mărit pentru a reduce valoarea erorii aleatoare și a o face mai mică sau un ordin de mărime cu eroarea instrumentală.
Greșeli sau gafe- acestea sunt citiri incorecte pe dispozitiv, înregistrare incorectă a citirii etc. De regulă, greșelile din motivele indicate sunt clar vizibile, deoarece citirile corespunzătoare acestora diferă brusc de alte citiri. Erorile trebuie eliminate prin măsurători de control. Astfel, lățimea intervalului în care se află adevăratele valori ale cantităților măsurate va fi determinată doar de erori aleatoare și sistematice.
2 . Estimarea erorii sistematice (instrumentale).
Pentru măsurători directe valoarea mărimii măsurate se citește direct pe scara instrumentului de măsură. Eroarea de citire poate ajunge la câteva zecimi de diviziune de scară. De obicei, în astfel de măsurători, mărimea erorii sistematice este considerată egală cu jumătate din diviziunea la scară a instrumentului de măsurare. De exemplu, atunci când se măsoară cu un șubler cu o valoare a diviziunii de 0,05 mm, valoarea erorii de măsurare instrumentală este luată egală cu 0,025 mm.
Instrumentele digitale de măsură dau valoarea cantităților pe care le măsoară cu o eroare egală cu valoarea unei unități din ultima cifră de pe scara instrumentului. Deci, dacă un voltmetru digital arată o valoare de 20,45 mV, atunci eroarea absolută în măsurare este 
mV.
Erorile sistematice apar și atunci când se utilizează valori constante determinate din tabele. În astfel de cazuri, eroarea este considerată egală cu jumătate din ultima cifră semnificativă. De exemplu, dacă în tabel valoarea densității oțelului este dată de o valoare egală cu 7,9∙10 3 kg / m 3, atunci eroarea absolută în acest caz este egală cu 
kg/m3.
Unele caracteristici ale calculului erorilor instrumentale ale instrumentelor electrice de măsură vor fi discutate mai jos.
La determinarea erorii sistematice (instrumentale) a măsurătorilor indirecte valoare functionala 
se foloseste formula
, (1)
Unde 
- erori de instrument ale măsurătorilor directe ale mărimii 
, 
- derivate parţiale ale funcţiei faţă de variabilă .
De exemplu, vom obține o formulă pentru calcularea erorii sistematice la măsurarea volumului unui cilindru. Formula de calcul a volumului unui cilindru este
.
Derivate parțiale față de variabile d și h va fi egal
, 
.
Astfel, formula de determinare a erorii sistematice absolute la măsurarea volumului unui cilindru în conformitate cu (2. ..) are următoarea formă
,
Unde 
și 
erori instrumentale în măsurarea diametrului și înălțimii cilindrului
3. Estimarea aleatorie a erorilor.
Interval de încredere și probabilitate de încredere
Pentru marea majoritate a măsurătorilor simple, așa-numita lege normală a erorilor aleatoare este satisfăcută destul de bine ( legea Gauss), derivat din următoarele prevederi empirice.
erorile de măsurare pot lua o serie continuă de valori;
cu un număr mare de măsurători, erori de aceeași amploare, dar de semn diferit, apar la fel de des,
Cu cât eroarea aleatorie este mai mare, cu atât este mai puțin probabil să apară.
Graficul distribuției gaussiene normale este prezentat în Fig.1. Ecuația curbei are forma
, (2)
Unde 
- funcţia de distribuţie a erorilor aleatoare (erori), care caracterizează probabilitatea unei erori 
, σ este eroarea pătratică medie.
Valoarea σ nu este o variabilă aleatoare și caracterizează procesul de măsurare. Dacă condițiile de măsurare nu se schimbă, atunci σ rămâne constantă. Pătratul acestei mărimi se numește dispersia măsurătorilor. Cu cât dispersia este mai mică, cu atât răspândirea valorilor individuale este mai mică și precizia măsurării este mai mare.
Valoarea exactă a erorii pătratice medie σ, precum și valoarea adevărată a mărimii măsurate, sunt necunoscute. Există o așa-numită estimare statistică a acestui parametru, conform căreia eroarea pătratică medie este egală cu eroarea pătratică medie a mediei aritmetice 
. A cărui valoare este determinată de formula
, (3)
Unde 
- rezultat i-a dimensiune; 
- media aritmetică a valorilor obţinute; n
este numărul de măsurători.
Cu cât numărul de măsurători este mai mare, cu atât este mai mic și se apropie mai mult de σ. Dacă valoarea adevărată a valorii măsurate μ, valoarea medie aritmetică a acesteia obținută ca rezultat al măsurătorilor și eroarea absolută aleatorie, atunci rezultatul măsurării va fi scris ca 
.
Interval valoric de la 
inainte de 
, în care se denumește adevărata valoare a mărimii măsurate μ interval de încredere. Deoarece este o variabilă aleatoare, valoarea adevărată se încadrează în intervalul de încredere cu o probabilitate α, care se numește probabilitatea de încredere, sau fiabilitate măsurători. Această valoare este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu umbrit. (vezi poza.)
Toate acestea sunt valabile pentru un număr suficient de mare de măsurători, când este aproape de σ. Pentru a găsi intervalul de încredere și nivelul de încredere pentru un număr mic de măsurători, de care ne ocupăm în timpul lucrului de laborator, folosim Distribuția de probabilitate a elevului. Aceasta este distribuția de probabilitate a variabilei aleatoare 
numit Coeficientul elevului, dă valoarea intervalului de încredere în fracții din eroarea pătratică medie a mediei aritmetice.
. (4)
Distribuția de probabilitate a acestei mărimi nu depinde de σ 2 , ci depinde în esență de numărul de experimente n. Cu o creștere a numărului de experimente n Distribuția lui Student tinde spre o distribuție gaussiană.
Funcția de distribuție este tabelată (Tabelul 1). Valoarea coeficientului Student se află la intersecția dreptei corespunzătoare numărului de măsurători n, iar coloana corespunzătoare nivelului de încredere α
Tabelul 1.
Folosind datele din tabel, puteți:
determina intervalul de încredere, având în vedere o anumită probabilitate;
alegeți un interval de încredere și determinați nivelul de încredere.
Pentru măsurători indirecte, eroarea pătratică medie a mediei aritmetice a funcției este calculată prin formula
. (5)
Intervalul de încredere și probabilitatea de încredere sunt determinate în același mod ca și în cazul măsurătorilor directe.
Estimarea erorii totale de măsurare. Înregistrarea rezultatului final.
Eroarea totală a rezultatului măsurării lui X va fi definită ca valoarea pătrată medie a erorilor sistematice și aleatorii
, (6)
Unde δx - eroare instrumentală, Δ X este o eroare aleatorie.
X poate fi o mărime măsurată direct sau indirect.
, α=…, Е=… (7)
Trebuie avut în vedere faptul că formulele teoriei erorilor în sine sunt valabile pentru un număr mare de măsurători. Prin urmare, valoarea aleatoriei și, în consecință, eroarea totală este determinată pentru un mic n cu o mare greseala. La calcularea Δ X cu numărul de măsurători 
se recomandă să se limiteze la o cifră semnificativă dacă este mai mare de 3 și la două dacă prima cifră semnificativă este mai mică de 3. De exemplu, dacă Δ X= 0,042, apoi aruncați 2 și scrieți Δ X=0,04, iar dacă Δ X=0,123, atunci scriem Δ X=0,12.
Numărul de cifre al rezultatului și eroarea totală trebuie să fie aceleași. Prin urmare, media aritmetică a erorii ar trebui să fie aceeași. Prin urmare, media aritmetică este mai întâi calculată cu o cifră mai mult decât măsurarea, iar la înregistrarea rezultatului, valoarea acesteia este rafinată la numărul de cifre ale erorii totale.
4. Metodologia de calcul a erorilor de măsurare.
Erori de măsurători directe
La prelucrarea rezultatelor măsurătorilor directe se recomandă adoptarea următoarei ordini de operații.
. (8)
.
.
Eroarea totală este determinată
Se estimează eroarea relativă a rezultatului măsurării
.
Rezultatul final este scris ca
, cu α=… E=…%.
5. Eroarea măsurătorilor indirecte
Când se evaluează valoarea adevărată a unei mărimi măsurate indirect, care este o funcție a altor mărimi independente 
, se pot folosi două metode.
Prima cale este folosit dacă valoarea y determinate în diferite condiţii experimentale. În acest caz, pentru fiecare dintre valori, 
, iar apoi se determină media aritmetică a tuturor valorilor y i
. (9)
Eroarea sistematică (instrumentală) se găsește pe baza erorilor instrumentale cunoscute ale tuturor măsurătorilor conform formulei. Eroarea aleatorie în acest caz este definită ca eroare de măsurare directă.
A doua cale se aplică dacă funcția y determinat de mai multe ori cu aceleaşi măsurători. În acest caz, valoarea este calculată din valorile medii. În practica noastră de laborator, a doua metodă de determinare a mărimii măsurate indirect este mai des folosită y. Eroarea sistematică (instrumentală), ca și în prima metodă, se găsește pe baza erorilor instrumentale cunoscute ale tuturor măsurătorilor conform formulei
Pentru a găsi eroarea aleatorie a unei măsurători indirecte, se calculează mai întâi erorile pătratice medii ale mediei aritmetice a măsurătorilor individuale. Apoi este găsită eroarea pătratică medie y. Stabilirea probabilității de încredere α, aflarea coeficientului Student , determinarea erorilor aleatoare și totale se efectuează în același mod ca și în cazul măsurătorilor directe. În mod similar, rezultatul tuturor calculelor este prezentat în formular
, cu α=… E=…%.
6. Un exemplu de proiectare a unei lucrări de laborator
Laboratorul #1
DETERMINAREA VOLUMULUI CILINDRU
Accesorii:șubler vernier cu o valoare a diviziunii de 0,05 mm, un micrometru cu o valoare a diviziunii de 0,01 mm, un corp cilindric.
Obiectiv: familiarizarea cu cele mai simple măsurători fizice, determinarea volumului unui cilindru, calcularea erorilor măsurătorilor directe și indirecte.
Comandă de lucru
Faceți cel puțin 5 măsurători ale diametrului cilindrului cu un șubler, iar înălțimea acestuia cu un micrometru.
Formula de calcul pentru calcularea volumului unui cilindru
unde d este diametrul cilindrului; h este înălțimea.
Rezultatele măsurătorilor
Masa 2.
Masura Nr. | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5%.
, E = 0,5%.
Dacă mărimea fizică dorită nu poate fi măsurată direct de dispozitiv, ci este exprimată prin mărimile măsurate prin intermediul unei formule, atunci astfel de măsurători se numesc indirect.
Ca și în cazul măsurătorilor directe, puteți calcula eroarea medie absolută (media aritmetică) sau eroarea pătratică medie a măsurătorilor indirecte.
Regulile generale pentru calcularea erorilor pentru ambele cazuri sunt derivate folosind calculul diferenţial.
Fie mărimea fizică j( X, y,z,...) este o funcție a unui număr de argumente independente x, y, z,..., dintre care fiecare poate fi determinat experimental. Cantitățile sunt determinate prin măsurători directe și se evaluează erorile lor medii absolute sau erorile pătratice medii.
Eroarea medie absolută a măsurătorilor indirecte ale mărimii fizice j se calculează prin formula
unde sunt derivatele parțiale ale lui φ în raport cu x, y, z calculat pentru valorile medii ale argumentelor corespunzătoare.
Deoarece formula utilizează valorile absolute ale tuturor termenilor sumei, expresia pentru estimează eroarea maximă în măsurarea funcției pentru erorile maxime date ale variabilelor independente.
Eroarea pătratică medie a măsurătorilor indirecte ale mărimii fizice j
Eroarea maximă relativă a măsurătorilor indirecte ale mărimii fizice j
unde, etc.
În mod similar, putem scrie eroarea pătrată medie relativă a măsurătorilor indirecte j
Dacă formula reprezintă o expresie convenabilă pentru luarea de logaritmi (adică un produs, o fracție, o putere), atunci este mai convenabil să calculați mai întâi eroarea relativă. Pentru a face acest lucru (în cazul erorii medii absolute), ar trebui făcute următoarele.
1. Luați logaritmul expresiei pentru măsurarea indirectă a unei mărimi fizice.
2. Diferențiază-l.
3. Combinați toți termenii cu aceeași diferență și scoateți-l din paranteze.
4. Luați expresia în fața diferitelor diferențiale modulo.
5. Înlocuiți oficial pictogramele diferențialelor cu pictogramele erorii absolute D.
Apoi, cunoscând e, se poate calcula eroarea absolută Dj prin formula
Exemplul 1 Derivarea unei formule pentru calcularea erorii relative maxime a măsurătorilor indirecte ale volumului unui cilindru.
Expresie pentru măsurarea indirectă a unei mărimi fizice (formula inițială)
Valoarea diametrului D si inaltimea cilindrului h măsurată direct de instrumente cu erori directe de măsurare, respectiv D D si D h.
Luăm logaritmul formulei originale și obținem
Diferențiază ecuația rezultată
Înlocuind pictogramele diferențialelor cu pictogramele erorii absolute D, obținem în final o formulă de calcul a erorii relative maxime a măsurătorilor indirecte ale volumului cilindrului.
Acum este necesar să luăm în considerare întrebarea cum să găsiți eroarea mărimii fizice U, care este determinată de măsurători indirecte. Vedere generală a ecuației de măsurare
Y=f(X 1 , X 2 , … , X n), (1.4)
Unde X j- diverse marimi fizice care sunt obtinute de experimentator prin masuratori directe, sau constante fizice cunoscute cu o precizie data. Într-o formulă, ele sunt argumente de funcție.
În practica de măsurare, două metode pentru calcularea erorii măsurătorilor indirecte sunt utilizate pe scară largă. Ambele metode dau aproape același rezultat.
Metoda 1. Se găsește mai întâi D absolut, apoi relativ d erori. Această metodă este recomandată pentru ecuațiile de măsurare care conțin sume și diferențe de argumente.
Formula generală de calcul al erorii absolute în măsurătorile indirecte ale unei mărimi fizice Y pentru o viziune arbitrară f funcția arată astfel:
unde derivatele parțiale ale funcțiilor Y=f(X 1 , X 2 , … , X n) prin argumentare X j,
Eroarea totală a măsurătorilor directe ale mărimii X j.
Pentru a găsi eroarea relativă, trebuie mai întâi să găsiți valoarea medie a cantității Y. Pentru a face acest lucru, este necesar să înlocuiți valorile medii aritmetice ale mărimilor în ecuația de măsurare (1.4) Xj.
Adică valoarea medie a valorii Y este egal cu: . Acum este ușor de găsit eroarea relativă: .
Exemplu: găsiți eroarea în măsurarea volumului V cilindru. Înălţime h si diametrul D ale cilindrului sunt considerate a fi determinate prin măsurători directe și lasă numărul de măsurători n= 10.
Formula pentru calcularea volumului unui cilindru, adică ecuația de măsurare este:
Lasă la P= 0,68;
La P= 0,68.
Apoi, înlocuind valorile medii în formula (1.5), găsim:
Eroare DVîn acest exemplu depinde, după cum se poate observa, în principal de eroarea de măsurare a diametrului.
Volumul mediu este: , eroare relativă dV este egal cu:
Sau d V = 19%.
V=(47±9) mm 3 , d V = 19%, P= 0,68.
Metoda 2. Această metodă de determinare a erorii măsurătorilor indirecte diferă de prima metodă prin dificultăți matematice mai puține, deci este mai des folosită.
Mai întâi, găsiți eroarea relativă d, și numai atunci absolut D. Această metodă este deosebit de convenabilă dacă ecuația de măsurare conține numai produse și rapoarte ale argumentelor.
Procedura poate fi luată în considerare folosind același exemplu specific - determinarea erorii în măsurarea volumului unui cilindru
Vom păstra toate valorile numerice ale cantităților incluse în formulă la fel ca în calculele pentru calea 1.
Lasa mm, ; la P= 0,68;
; la P=0,68.
Eroare de rotunjire a numărului p(vezi fig. 1.1)
Folosind calea 2 ar trebui să acționeze astfel:
1) luăm logaritmul ecuației de măsurare (luăm logaritmul natural)
găsiți diferențele părților din stânga și din dreapta, luând în considerare variabile independente,
2) înlocuiți diferența fiecărei valori cu eroarea absolută a aceleiași valori, iar semnele „minus”, dacă sunt înaintea erorilor, cu „plus”:
3) s-ar părea că cu ajutorul acestei formule este deja posibil să se dea o estimare pentru eroarea relativă, dar nu este așa. Este necesar să se estimeze eroarea în așa fel încât probabilitatea de încredere a acestei estimări să coincidă cu probabilitățile de încredere de estimare a erorilor acelor termeni care se află în partea dreaptă a formulei. Pentru a face acest lucru, pentru ca această condiție să fie îndeplinită, trebuie să pătrați toți termenii ultimei formule și apoi să extrageți rădăcina pătrată din ambele părți ale ecuației:
Sau în altă notație, eroarea relativă a volumului este:
mai mult, probabilitatea acestei estimări a erorii de volum va coincide cu probabilitatea de estimare a erorilor termenilor incluși în expresia radicală:
După efectuarea calculelor, ne vom asigura că rezultatul coincide cu estimarea de metoda 1:
Acum, cunoscând eroarea relativă, găsim absolutul:
D V=0,19 47=9,4 mm 3 , P=0,68.
Rezultatul final după rotunjire:
V\u003d (47 ± 9) mm 3, dV = 19%, P=0,68.
întrebări de testare
1. Care este sarcina măsurătorilor fizice?
2. Ce tipuri de măsurători se disting?
3. Cum sunt clasificate erorile de măsurare?
4. Ce sunt erorile absolute și relative?
5. Ce sunt erorile, erorile sistematice și aleatorii?
6. Cum se evaluează eroarea sistematică?
7. Care este media aritmetică a valorii măsurate?
8. Cum se estimează magnitudinea erorii aleatoare, cum este legată de abaterea standard?
9. Care este probabilitatea de a afla valoarea adevărată a valorii măsurate în intervalul de la X cf - s inainte de X cf + s?
10. Dacă, ca estimare pentru o eroare aleatorie, alegem valoarea 2s sau 3s, atunci cu ce probabilitate se va încadra valoarea adevărată în intervalele determinate de aceste estimări?
11. Cum să rezumați erorile și când ar trebui făcut?
12. Cum se rotunjesc eroarea absolută și valoarea medie a rezultatului măsurării?
13. Ce metode există pentru estimarea erorilor în măsurători indirecte? Cum să procedezi cu asta?
14. Ce ar trebui înregistrat ca rezultat al măsurării? Ce valori să indicați?
Prelegerea #8
Prelucrarea rezultatelor măsurătorilor
Măsurători directe simple și multiple.
1. Măsurători simple directe .
În cazul general, sarcina de estimare a erorii rezultatului obținut este de obicei efectuată pe baza informațiilor despre limita erorii principale a instrumentului de măsurare (conform documentației de reglementare și tehnică pentru instrumentele de măsurare utilizate) și valorile cunoscute ale erorilor suplimentare din influența cantităților de influență. Valoarea maximă a erorii totale a rezultatului măsurării (fără a lua în considerare semnul) poate fi găsită prin însumarea componentelor în valoare absolută:
O estimare mai realistă a erorii poate fi obținută prin adăugarea statistică a componentelor erorii:
unde este limita celei de-a i-a componente neexcluse a erorii sistematice; k- coeficient determinat de probabilitatea de încredere acceptată (la P = 0,95, coeficient k=1,11); m este numărul de componente neexcluse.
Rezultatul măsurării este înregistrat conform primei forme de înregistrare a rezultatelor:
unde este rezultatul unei singure măsurări; - eroarea totală a rezultatului măsurătorii; Р - probabilitatea de încredere (la Р = 0,95 poate să nu fie specificat).
Când se măsoară în condiții normale, putem presupune
2. Dirijați măsurători multiple.
Este posibil să se evalueze cu precizie valoarea reală a mărimii măsurate numai prin măsurătorile sale multiple și prin prelucrarea corespunzătoare a rezultatelor acestora. Prelucrarea corectă a rezultatelor obținute de observații înseamnă obținerea celei mai precise estimări a valorii efective a mărimii măsurate și a intervalului de încredere în care se află valoarea reală a acesteia.
În procesul de procesare a rezultatelor observațiilor, este necesar să se rezolve în mod consecvent următoarele sarcini principale:
Determinați estimări punctuale și integrale ale legii de distribuție a rezultatelor măsurătorilor prin formulele:
Unde D(x) este o estimare punctuală a varianței;
Eliminați „ratele” (după unul dintre criterii);
Eliminați erorile sistematice de măsurare;
Determinați limitele de încredere ale soldului neexclus al componentei sistematice, ale componentei aleatoare și eroarea totală a rezultatului măsurării;
Înregistrați rezultatul măsurării.
Estimarea erorii măsurătorilor indirecte. Principii de bază și etape ale calculelor. GOST-uri pentru procesarea rezultatelor.
Erori de măsurători indirecte
Estimarea erorilor care decurg din măsurători indirecte se bazează pe următoarele ipoteze:
1. Erorile relative ale valorilor obținute prin măsurători directe și implicate în calculul valorii dorite trebuie să fie mici în comparație cu unitatea (în practică, nu trebuie să depășească 10%).
2. Pentru erorile tuturor cantităților implicate în calcul, se acceptă aceeași probabilitate de încredere. Eroarea valorii dorite va avea, de asemenea, aceeași probabilitate de încredere.
3. Valoarea cea mai probabilă a valorii dorite se obține dacă pentru calcularea acesteia se utilizează cele mai probabile valori ale valorilor inițiale, adică mediile lor aritmetice.
Eroare în cazul unei valori inițiale.
Eroare absolută. Lăsați valoarea dorită y, măsurată indirect, depinde doar de o singură cantitate A obtinut prin masurare directa. Limitele intervalului în care se află valoarea cu o probabilitate dată A, sunt determinate de media aritmetică și de eroarea absolută totală A cantități A. Aceasta înseamnă că valoarea A poate fi în interiorul unui interval cu limite ± A.
Cu măsurare indirectă pentru cantitate y(A) astfel de limite vor fi determinate de valoarea sa cea mai probabilă =y() și eroare y, adică valorile y se află în interiorul intervalului cu limite ± y. Limita superioară pentru y(cu creștere monotonă) va exista o valoare corespunzătoare limitei superioare A, adică valoarea + y= y( + A). Astfel, eroarea absolută y cantități y are forma unui increment de funcție y(a) cauzată de creșterea argumentului său A prin suma A eroarea sa absolută. Prin urmare, putem folosi regulile calculului diferenţial, conform cărora, pentru valori mici A creştere y poate fi exprimat aproximativ ca
Aici este derivata cu privire la A funcții y(a) la A = .
Astfel, eroarea absolută a rezultatului final poate fi calculată folosind formula (1), iar probabilitatea de încredere corespunde probabilității de încredere că A.
Eroare relativă. Pentru a afla eroarea relativă a unei valori y, împărțiți (1) la y si tine cont de asta
este derivata cu privire la A logaritmul natural y. Rezultatul va fi
Dacă substituim în această expresie A= și y= , atunci valoarea sa va fi eroarea relativă a cantității y.
Pentru a procesa rezultatele măsurătorilor, se utilizează GOST 8.207-76 „GSI. Măsurători directe cu observații multiple. Metode de prelucrare a rezultatelor observațiilor.
8.3. Rezultatul măsurării și estimarea abaterii sale standard:
1. Metodele de detectare a erorilor grave trebuie specificate în procedura de măsurare. Dacă rezultatele observațiilor pot fi considerate ca aparținând unei distribuții normale, erorile grosolane sunt excluse.
2. Rezultatul măsurării este luat ca medie aritmetică a rezultatelor observației, în care au fost introduse anterior corecții pentru a elimina erorile sistematice.
3. Deviație standard S rezultatul observației este evaluat conform NTD.
4. Abaterea standard a rezultatului măsurării este estimată prin formulă
,
Unde x i - i-a-lea rezultat al observației;
Rezultatul măsurării (media aritmetică a rezultatelor observației corectate);
n- numarul rezultatelor observatiei;
Estimarea abaterii standard a rezultatului măsurării.
8.4. Limitele de încredere ale erorii aleatoare a rezultatului măsurării:
1. Limitele de încredere pentru eroarea aleatorie a rezultatului măsurării în conformitate cu prezentul standard internațional sunt stabilite pentru rezultatele observațiilor aparținând unei distribuții normale. Dacă această condiție nu este îndeplinită, metodele pentru calcularea limitelor de încredere ale unei erori aleatorii ar trebui specificate în procedura de efectuare a măsurătorilor specifice.
1.1. Cu numărul rezultatelor observației n>50 pentru a verifica dacă aparțin distribuției normale conform NTD, unul dintre criterii este de preferat: χ 2 Pearson sau ω 2 Mises - Smirnov.
La procesarea rezultatelor măsurătorilor indirecte ale unei mărimi fizice care este legată funcțional de mărimile fizice A, B și C, care sunt măsurate în mod direct, se determină mai întâi eroarea relativă a măsurării indirecte e = DX / X pr folosind formulele dat în tabel (fără dovezi).
Eroarea absolută este determinată de formula DX \u003d X pr * e,
unde e este exprimat ca zecimală, nu ca procent.
Rezultatul final se înregistrează în același mod ca și în cazul măsurătorilor directe.
| Tipul funcției | Formulă |
| X=A+B+C | |
| X=A-B | |
| X=A*B*C | |
| X=A n | |
| X=A/B | |
| X= |
(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm util) Cum se fac măsurători http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220
Exemplu: Să calculăm eroarea în măsurarea coeficientului de frecare cu ajutorul unui dinamometru. Experiența este că bara este trasă uniform de-a lungul unei suprafețe orizontale și se măsoară forța aplicată: este egală cu forța frecării de alunecare.
Folosind un dinamometru, cântărim o bară cu sarcini: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N
μ=0,33. Eroarea instrumentală a dinamometrului (găsește din tabel) este Δ și \u003d 0,05N, eroare de citire (jumătate din diviziunea scalei)
Δ o \u003d 0,05N. Eroarea absolută în măsurarea greutății și a forței de frecare este de 0,1 N.
Eroare relativă de măsurare (linia a cincea din tabel)
Prin urmare, eroarea absolută de măsurare indirectă a lui μ este 0,22*0,33=0,074
Răspuns:
A măsura o mărime fizică înseamnă a o compara cu o altă mărime omogenă luată ca unitate de măsură. Măsurarea se poate face folosind:
1. măsuri, care sunt mostre ale unei unități de măsură (metru, greutate, vas de litru etc.),
2. instrumente de măsură (ampermetru, manometru etc.),
3. instalatii de masura, care se inteleg ca ansamblu de masuri, instrumente de masura si elemente auxiliare.
Măsurătorile sunt fie directe, fie indirecte. În măsurători directe mărimea fizică se măsoară direct. Măsurătorile directe sunt, de exemplu, măsurarea lungimii cu o riglă, a timpului cu un cronometru, a intensității curentului cu un ampermetru.
În măsurători indirecte ele măsoară direct nu mărimea a cărei valoare trebuie cunoscută, ci alte mărimi cu care mărimea dorită este asociată cu o anumită dependență matematică. De exemplu, densitatea unui corp este determinată prin măsurarea masei și volumului acestuia, iar rezistența este determinată prin măsurarea curentului și tensiunii.
Din cauza imperfecțiunii măsurilor și instrumentelor de măsură, precum și a organelor noastre de simț, măsurătorile nu pot fi efectuate cu acuratețe, adică. orice măsurătoare dă doar un rezultat aproximativ. În plus, natura măsurăndului în sine este adesea motivul abaterii rezultatelor măsurătorii. De exemplu, temperatura măsurată de un termometru sau termocuplu într-un anumit punct al cuptorului fluctuează din cauza convecției și conductivității termice în anumite limite. Măsura pentru evaluarea acurateței rezultatului măsurării este eroare de măsurare (eroare de măsurare).
Pentru a evalua acuratețea, este indicată fie eroarea absolută, fie eroarea relativă de măsurare. Eroare absolută exprimată în unităţi ale mărimii măsurate. De exemplu, segmentul de drum parcurs de corp, , este măsurat cu o eroare absolută . Eroarea relativă de măsurare este raportul dintre eroarea absolută și valoarea mărimii măsurate. În exemplul dat, eroarea relativă este . Cu cât eroarea de măsurare este mai mică, cu atât este mai mare acuratețea acesteia.
În funcție de sursele de proveniență, erorile de măsurare sunt împărțite în sistematice, aleatorii și brute.
1. Erori sistematice- erori de măsurare, a căror valoare rămâne constantă în timpul măsurătorilor repetate efectuate prin aceeași metodă, folosind aceleași instrumente de măsură. Motivele erorilor sistematice sunt:
defecțiuni, inexactități ale instrumentelor de măsură
ilegalitatea, inexactitatea tehnicii de măsurare utilizate
Un exemplu de erori sistematice poate fi măsurarea temperaturii cu un termometru cu punctul zero deplasat, măsurarea curentului cu un ampermetru calibrat incorect, cântărirea unui corp pe o balanță folosind greutăți fără a lua în considerare forța de flotabilitate a lui Arhimede.
Pentru a elimina sau reduce erorile sistematice, este necesar să se verifice cu atenție instrumentele de măsură, să se măsoare aceleași cantități prin metode diferite și să se introducă corecții atunci când erorile sunt cunoscute (corecții pentru forța de flotabilitate, corecții pentru citirile termometrului).
2. Greșeli grave (ratări)- un exces semnificativ al erorii așteptate în condițiile de măsurare date. Greșelile apar ca urmare a înregistrării incorecte a citirilor instrumentului, citirilor incorecte pe instrument, din cauza erorilor de calcul în timpul măsurătorilor indirecte. Sursa ratelor este neatenția experimentatorului. Modul de eliminare a acestor erori este acuratețea experimentatorului, excluderea rescrierii protocoalelor de măsurare.
3. Erori aleatorii- erori, a căror valoare se modifică aleatoriu în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași valori prin aceeași metodă folosind aceleași instrumente. Sursa erorilor aleatorii este reproductibilitatea necontrolată a condițiilor de măsurare. De exemplu, în timpul măsurării, temperatura, umiditatea, presiunea atmosferică, tensiunea în rețeaua electrică și starea simțurilor experimentatorului se pot schimba într-un mod necontrolat. Este imposibil să excludeți erorile aleatorii. Cu măsurători multiple, erorile aleatoare se supun legilor statistice, iar influența lor poate fi luată în considerare.
