Calculul erorilor în măsurători directe și indirecte
Măsurarea este înțeleasă ca o comparație a valorii măsurate cu o altă valoare, luată ca unitate de măsură. Măsurătorile sunt efectuate empiric folosind mijloace tehnice speciale.
Măsurătorile directe se numesc măsurători, al căror rezultat se obține direct din date experimentale (de exemplu, măsurarea lungimii cu o riglă, a timpului cu un cronometru, a temperaturii cu un termometru). Măsurătorile indirecte sunt măsurători în care valoarea dorită a unei mărimi se găsește pe baza unei relații cunoscute între această mărime și mărimile ale căror valori sunt obținute în procesul de măsurători directe (de exemplu, determinarea vitezei de-a lungul distanței parcurse). și ora https://pandia.ru/text/78/ 464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).
Orice măsurătoare, indiferent de cât de atent este efectuată, este însoțită în mod necesar de o eroare (eroare) - o abatere a rezultatului măsurătorii de la valoarea adevărată a mărimii măsurate.
Erorile sistematice sunt erori, a căror amploare este aceeași în toate măsurătorile efectuate prin aceeași metodă folosind aceleași instrumente de măsurare, în aceleași condiții. Apar erori sistematice:
Ca urmare a imperfecțiunii instrumentelor utilizate în măsurători (de exemplu, acul ampermetrului se poate abate de la diviziunea zero în absența curentului; grinda de echilibru poate avea brațe inegale etc.);
Ca urmare a dezvoltării insuficiente a teoriei metodei de măsurare, adică metoda de măsurare conține o sursă de erori (de exemplu, o eroare apare atunci când pierderea de căldură către mediu nu este luată în considerare în lucrările calorimetrice sau la cântărirea pe o analiză analitică). echilibrul se realizează fără a ține cont de forța de flotabilitate a aerului);
Ca urmare a faptului că modificarea condițiilor experimentului nu este luată în considerare (de exemplu, în timpul trecerii pe termen lung a curentului prin circuit, ca urmare a efectului termic al curentului, parametrii electrici a schimbării circuitului).
Erorile sistematice pot fi eliminate dacă se studiază caracteristicile instrumentelor, se dezvoltă mai pe deplin teoria experimentului și, pe baza acesteia, se fac corecții la rezultatele măsurătorilor.
Erorile aleatorii sunt erori a căror magnitudine este diferită chiar și pentru măsurători efectuate în același mod. Motivele lor stau atât în imperfecțiunea simțurilor noastre, cât și în multe alte circumstanțe care însoțesc măsurătorile și care nu pot fi luate în considerare în prealabil (erori aleatorii apar, de exemplu, dacă egalitatea câmpurilor de iluminare ale fotometrului este stabilită cu ochiul). ; dacă momentul de abatere maximă a pendulului matematic este determinat cu ochiul; la găsirea momentului rezonanței sonore cu ureche; la cântărirea la o balanță analitică, dacă vibrațiile podelei și pereților sunt transmise balanței etc.) .
Erorile aleatorii nu pot fi evitate. Apariția lor se manifestă prin faptul că la repetarea măsurătorilor aceleiași cantități cu aceeași grijă, se obțin rezultate numerice care diferă unele de altele. Prin urmare, dacă aceleași valori au fost obținute la repetarea măsurătorilor, atunci aceasta indică nu absența erorilor aleatorii, ci sensibilitatea insuficientă a metodei de măsurare.
Erorile aleatoare modifică rezultatul atât într-o direcție cât și în cealaltă direcție față de valoarea adevărată, prin urmare, pentru a reduce influența erorilor aleatoare asupra rezultatului măsurării, măsurătorile sunt de obicei repetate de mai multe ori, iar media aritmetică a tuturor rezultatelor măsurătorilor este Luat.
Rezultate incorecte cu bună știință - greșelile apar din cauza încălcării condițiilor de bază de măsurare, ca urmare a neatenției sau neglijenței experimentatorului. De exemplu, la iluminare slabă, în loc de „3”, scrieți „8”; datorită faptului că experimentatorul este distras, el poate rătăci atunci când numără numărul de balansări ale pendulului; din cauza neglijenței sau neatenției, el poate confunda masele sarcinilor atunci când se determină rigiditatea arcului etc. Un semn extern al unei rateuri este o diferență puternică de mărime față de rezultatele altor măsurători. Dacă se detectează o eroare, rezultatul măsurării trebuie eliminat imediat și măsurarea în sine trebuie repetată. Identificarea gafelor este ajutată și de o comparație a rezultatelor măsurătorilor obținute de diferiți experimentatori.
A măsura o mărime fizică înseamnă a găsi intervalul de încredere în care se află adevărata ei valoare https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >. .png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> cazuri, valoarea adevărată a valorii măsurate se încadrează în intervalul de încredere. valoarea este exprimată fie în fracții de unitate, fie în procente. Majoritatea măsurătorilor sunt limitate la un nivel de încredere de 0,9 sau 0,95 Uneori, când este necesar un grad extrem de ridicat de fiabilitate, se folosește un nivel de încredere de 0,999 Împreună cu nivelul de încredere, este adesea folosit un nivel de semnificație, care specifică probabilitatea ca valoarea adevărată să nu se încadreze în intervalul de încredere. Rezultatul măsurării este prezentat ca
unde https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> este eroarea absolută. Astfel, limitele intervalului, https://pandia.ru / text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> se află în acest interval.
Pentru a găsi și, efectuați o serie de măsurători individuale. Luați în considerare un exemplu specific..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height= " 23">.png" width="72" height="24">. Valorile pot fi repetate, precum valorile și https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png " width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. În consecință, nivelul de semnificație .
Valoarea medie a valorii măsurate
Dispozitivul de măsurare contribuie și el la eroarea de măsurare. Această eroare se datorează proiectării dispozitivului (frecare în axa dispozitivului indicator, rotunjire produsă de un dispozitiv indicator digital sau discret etc.). Prin natura sa, aceasta este o eroare sistematică, dar nu se cunoaște nici amploarea, nici semnul acesteia pentru acest instrument special. Eroarea instrumentală este evaluată în procesul de testare a unei serii mari de instrumente de același tip.
Gama normalizată de clase de precizie ale instrumentelor de măsurare include următoarele valori: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Clasa de precizie a dispozitivului este egală cu eroarea relativă a dispozitivului, exprimată ca procent, în raport cu întreaga gamă a scalei. Eroare de pașaport a dispozitivului
Orice măsurători se fac întotdeauna cu unele erori asociate cu acuratețea limitată a instrumentelor de măsurare, alegerea greșită și eroarea metodei de măsurare, fiziologia experimentatorului, caracteristicile obiectelor măsurate, modificările condițiilor de măsurare etc. Prin urmare, sarcina de măsurare include găsirea nu numai a cantității în sine, ci și a erorii de măsurare, adică intervalul în care se află cel mai probabil valoarea adevărată a mărimii măsurate. De exemplu, la măsurarea unui interval de timp t cu un cronometru cu o valoare a diviziunii de 0,2 s, putem spune că valoarea lui adevărată este în intervalul de la s la 
cu. Astfel, valoarea măsurată conține întotdeauna o eroare 
, Unde 
și X sunt, respectiv, valorile adevărate și măsurate ale mărimii studiate. Valoare 
numit eroare absolută măsurători (erori) și expresia 
care caracterizează precizia măsurării se numește eroare relativă.
Este destul de natural ca experimentatorul să se străduiască să facă fiecare măsurătoare cu cea mai mare precizie posibilă, dar o astfel de abordare nu este întotdeauna oportună. Cu cât dorim să măsurăm mai precis această sau acea cantitate, cu atât instrumentele pe care trebuie să le folosim sunt mai complexe, cu atât mai mult timp vor necesita aceste măsurători. Prin urmare, precizia rezultatului final ar trebui să corespundă scopului experimentului. Teoria erorilor oferă recomandări cu privire la modul în care trebuie efectuate măsurătorile și cum ar trebui procesate rezultatele, astfel încât marja de eroare să fie cât mai mică posibil.
Toate erorile care apar în timpul măsurătorilor sunt de obicei împărțite în trei tipuri - sistematice, aleatorii și greșeli sau erori grosolane.
Erori sistematice din cauza preciziei limitate a fabricării dispozitivelor (erori de instrumente), a deficiențelor metodei de măsurare alese, a inexactității formulei de calcul, a instalării necorespunzătoare a dispozitivului etc. Astfel, erorile sistematice sunt cauzate de factori care acționează în același mod atunci când aceleași măsurători sunt repetate de mai multe ori. Valoarea acestei erori se repetă sistematic sau se modifică conform unei anumite legi. Unele erori sistematice pot fi eliminate (în practică, acest lucru este întotdeauna ușor de realizat) prin schimbarea metodei de măsurare, introducerea de corecții la citirile instrumentului și luând în considerare influența constantă a factorilor externi.
Deși eroarea sistematică (instrumentală) în timpul măsurătorilor repetate dă o abatere a valorii măsurate de la valoarea adevărată într-o direcție, nu știm niciodată în ce direcție. Prin urmare, eroarea instrumentală se scrie cu semn dublu
Erori aleatorii sunt cauzate de un număr mare de cauze aleatorii (modificări de temperatură, presiune, tremurări ale clădirii etc.), al căror efect asupra fiecărei măsurători este diferit și nu poate fi luat în considerare în prealabil. Apar erori aleatorii și din cauza imperfecțiunii organelor de simț ale experimentatorului. Erorile aleatorii includ și erorile datorate proprietăților obiectului măsurat.
Este imposibil să se excludă erori aleatorii ale măsurătorilor individuale, dar este posibil să se reducă influența acestor erori asupra rezultatului final prin efectuarea de măsurători multiple. Dacă eroarea aleatorie se dovedește a fi semnificativ mai mică decât eroarea instrumentală (sistematică), atunci nu are rost să reducem în continuare eroarea aleatoare prin creșterea numărului de măsurători. Dacă eroarea aleatorie este mai mare decât eroarea instrumentală, atunci numărul de măsurători ar trebui mărit pentru a reduce valoarea erorii aleatoare și a o face mai mică sau un ordin de mărime cu eroarea instrumentală.
Greșeli sau gafe- acestea sunt citiri incorecte pe dispozitiv, înregistrare incorectă a citirii etc. De regulă, greșelile din motivele indicate sunt clar vizibile, deoarece citirile corespunzătoare acestora diferă brusc de alte citiri. Erorile trebuie eliminate prin măsurători de control. Astfel, lățimea intervalului în care se află adevăratele valori ale cantităților măsurate va fi determinată doar de erori aleatoare și sistematice.
2 . Estimarea erorii sistematice (instrumentale).
Pentru măsurători directe valoarea mărimii măsurate se citește direct pe scara instrumentului de măsură. Eroarea de citire poate ajunge la câteva zecimi de diviziune de scară. De obicei, în astfel de măsurători, mărimea erorii sistematice este considerată egală cu jumătate din diviziunea la scară a instrumentului de măsurare. De exemplu, la măsurarea cu un șubler cu o valoare a diviziunii de 0,05 mm, valoarea erorii de măsurare instrumentală este luată egală cu 0,025 mm.
Instrumentele digitale de măsură dau valoarea cantităților pe care le măsoară cu o eroare egală cu valoarea unei unități din ultima cifră de pe scara instrumentului. Deci, dacă un voltmetru digital arată o valoare de 20,45 mV, atunci eroarea absolută în măsurare este 
mV.
Erorile sistematice apar și atunci când se utilizează valori constante determinate din tabele. În astfel de cazuri, eroarea este considerată egală cu jumătate din ultima cifră semnificativă. De exemplu, dacă în tabel valoarea densității oțelului este dată de o valoare egală cu 7,9∙10 3 kg / m 3, atunci eroarea absolută în acest caz este egală cu 
kg/m3.
Unele caracteristici ale calculului erorilor instrumentale ale instrumentelor electrice de măsură vor fi discutate mai jos.
La determinarea erorii sistematice (instrumentale) a măsurătorilor indirecte valoare functionala 
se foloseste formula
, (1)
Unde 
- erori de instrument ale măsurătorilor directe ale mărimii 
, 
- derivate parţiale ale funcţiei faţă de variabilă .
De exemplu, vom obține o formulă pentru calcularea erorii sistematice la măsurarea volumului unui cilindru. Formula de calcul a volumului unui cilindru este
.
Derivate parțiale față de variabile d și h va fi egal
, 
.
Astfel, formula de determinare a erorii sistematice absolute la măsurarea volumului unui cilindru în conformitate cu (2. ..) are următoarea formă
,
Unde 
și 
erori instrumentale în măsurarea diametrului și înălțimii cilindrului
3. Estimarea aleatorie a erorilor.
Interval de încredere și probabilitate de încredere
Pentru marea majoritate a măsurătorilor simple, așa-numita lege normală a erorilor aleatoare este satisfăcută destul de bine ( legea Gauss), derivat din următoarele prevederi empirice.
erorile de măsurare pot lua o serie continuă de valori;
cu un număr mare de măsurători, erori de aceeași amploare, dar de semn diferit, apar la fel de des,
Cu cât eroarea aleatorie este mai mare, cu atât este mai puțin probabil să apară.
Graficul distribuției gaussiene normale este prezentat în Fig.1. Ecuația curbei are forma
, (2)
Unde 
- funcţia de distribuţie a erorilor aleatoare (erori), care caracterizează probabilitatea unei erori 
, σ este eroarea pătratică medie.
Valoarea σ nu este o variabilă aleatoare și caracterizează procesul de măsurare. Dacă condițiile de măsurare nu se schimbă, atunci σ rămâne constantă. Pătratul acestei mărimi se numește dispersia măsurătorilor. Cu cât dispersia este mai mică, cu atât răspândirea valorilor individuale este mai mică și precizia măsurării este mai mare.
Valoarea exactă a erorii pătratice medie σ, precum și valoarea adevărată a mărimii măsurate, sunt necunoscute. Există o așa-numită estimare statistică a acestui parametru, conform căreia eroarea pătratică medie este egală cu eroarea pătratică medie a mediei aritmetice 
. A cărui valoare este determinată de formula
, (3)
Unde 
- rezultat i-a dimensiune; 
- media aritmetică a valorilor obţinute; n
este numărul de măsurători.
Cu cât numărul de măsurători este mai mare, cu atât este mai mic și se apropie mai mult de σ. Dacă valoarea adevărată a valorii măsurate μ, valoarea medie aritmetică obținută ca rezultat al măsurătorilor și eroarea absolută aleatorie, atunci rezultatul măsurării va fi scris ca 
.
Interval valoric de la 
inainte de 
, în care se denumește adevărata valoare a mărimii măsurate μ interval de încredere. Deoarece este o variabilă aleatoare, valoarea adevărată se încadrează în intervalul de încredere cu o probabilitate α, care se numește probabilitatea de încredere, sau fiabilitate măsurători. Această valoare este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu umbrit. (vezi poza.)
Toate acestea sunt valabile pentru un număr suficient de mare de măsurători, când este aproape de σ. Pentru a găsi intervalul de încredere și nivelul de încredere pentru un număr mic de măsurători, de care ne ocupăm în timpul lucrului de laborator, folosim Distribuția de probabilitate a elevului. Aceasta este distribuția de probabilitate a variabilei aleatoare 
numit Coeficientul elevului, dă valoarea intervalului de încredere în fracții din eroarea pătratică medie a mediei aritmetice.
. (4)
Distribuția de probabilitate a acestei mărimi nu depinde de σ 2 , ci depinde în esență de numărul de experimente n. Cu o creștere a numărului de experimente n Distribuția lui Student tinde spre o distribuție gaussiană.
Funcția de distribuție este tabelată (Tabelul 1). Valoarea coeficientului Student se află la intersecția dreptei corespunzătoare numărului de măsurători n, iar coloana corespunzătoare nivelului de încredere α
Tabelul 1.
Folosind datele din tabel, puteți:
determina intervalul de încredere, având în vedere o anumită probabilitate;
alegeți un interval de încredere și determinați nivelul de încredere.
Pentru măsurători indirecte, eroarea pătratică medie a mediei aritmetice a funcției este calculată prin formula
. (5)
Intervalul de încredere și probabilitatea de încredere sunt determinate în același mod ca și în cazul măsurătorilor directe.
Estimarea erorii totale de măsurare. Înregistrarea rezultatului final.
Eroarea totală a rezultatului măsurării lui X va fi definită ca valoarea pătrată medie a erorilor sistematice și aleatorii
, (6)
Unde δx - eroare instrumentală, Δ X este o eroare aleatorie.
X poate fi o mărime măsurată direct sau indirect.
, α=…, Е=… (7)
Trebuie avut în vedere faptul că formulele teoriei erorilor în sine sunt valabile pentru un număr mare de măsurători. Prin urmare, valoarea aleatoriei și, în consecință, eroarea totală este determinată pentru un mic n cu o mare greseala. La calcularea Δ X cu numărul de măsurători 
se recomandă limitarea unei cifre semnificative dacă este mai mare de 3 și a două dacă prima cifră semnificativă este mai mică de 3. De exemplu, dacă Δ X= 0,042, apoi aruncați 2 și scrieți Δ X=0,04, iar dacă Δ X=0,123, atunci scriem Δ X=0,12.
Numărul de cifre al rezultatului și eroarea totală trebuie să fie aceleași. Prin urmare, media aritmetică a erorii ar trebui să fie aceeași. Prin urmare, media aritmetică este mai întâi calculată cu o cifră mai mult decât măsurarea, iar la înregistrarea rezultatului, valoarea acesteia este rafinată la numărul de cifre ale erorii totale.
4. Metodologia de calcul a erorilor de măsurare.
Erori de măsurători directe
La prelucrarea rezultatelor măsurătorilor directe, se recomandă adoptarea următoarei ordini de operații.
. (8)
.
.
Eroarea totală este determinată
Se estimează eroarea relativă a rezultatului măsurării
.
Rezultatul final este scris ca
, cu α=… E=…%.
5. Eroarea măsurătorilor indirecte
Când se evaluează valoarea adevărată a unei mărimi măsurate indirect, care este o funcție a altor mărimi independente 
, se pot folosi două metode.
Prima cale este folosit dacă valoarea y determinate în diferite condiţii experimentale. În acest caz, pentru fiecare dintre valori, 
, iar apoi se determină media aritmetică a tuturor valorilor y i
. (9)
Eroarea sistematică (instrumentală) se găsește pe baza erorilor instrumentale cunoscute ale tuturor măsurătorilor conform formulei. Eroarea aleatorie în acest caz este definită ca eroare de măsurare directă.
A doua cale se aplică dacă funcția y determinat de mai multe ori cu aceleaşi măsurători. În acest caz, valoarea este calculată din valorile medii. În practica noastră de laborator, a doua metodă de determinare a mărimii măsurate indirect este mai des folosită y. Eroarea sistematică (instrumentală), ca și în prima metodă, se găsește pe baza erorilor instrumentale cunoscute ale tuturor măsurătorilor conform formulei
Pentru a găsi eroarea aleatorie a unei măsurători indirecte, se calculează mai întâi erorile pătratice medii ale mediei aritmetice a măsurătorilor individuale. Apoi este găsită eroarea pătratică medie y. Stabilirea probabilității de încredere α, aflarea coeficientului Student , determinarea erorilor aleatoare și totale se efectuează în același mod ca și în cazul măsurătorilor directe. În mod similar, rezultatul tuturor calculelor este prezentat în formular
, cu α=… E=…%.
6. Un exemplu de proiectare a unei lucrări de laborator
Laboratorul #1
DETERMINAREA VOLUMULUI CILINDRU
Accesorii:șubler vernier cu o valoare a diviziunii de 0,05 mm, un micrometru cu o valoare a diviziunii de 0,01 mm, un corp cilindric.
Obiectiv: familiarizarea cu cele mai simple măsurători fizice, determinarea volumului unui cilindru, calcularea erorilor măsurătorilor directe și indirecte.
Comandă de lucru
Faceți cel puțin 5 măsurători ale diametrului cilindrului cu un șubler, iar înălțimea acestuia cu un micrometru.
Formula de calcul pentru calcularea volumului unui cilindru
unde d este diametrul cilindrului; h este înălțimea.
Rezultatele măsurătorilor
Masa 2.
Masura Nr. | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5%.
, E = 0,5%.
În cele mai multe cazuri, scopul final al muncii de laborator este de a calcula valoarea dorită folosind o formulă, care include cantități care sunt măsurate într-un mod direct. Astfel de măsurători sunt numite indirecte. Ca exemplu, dăm formula pentru densitatea unui corp cilindric solid
unde r este densitatea corpului, m- masa corpului, d- diametrul cilindrului, h- susul lui.
Dependența (A.5) în formă generală poate fi reprezentată după cum urmează:
Unde Y este o mărime măsurată indirect, în formula (A.5) este densitatea r; X 1 , X 2 ,... ,X n sunt mărimi măsurate direct, în formula (A.5) acestea sunt m, d, și h.
Rezultatul unei măsurători indirecte nu poate fi precis, deoarece rezultatele măsurătorilor directe ale cantităților X 1 , x2, ... ,X n conțin întotdeauna erori. Prin urmare, pentru măsurători indirecte, precum și pentru măsurători directe, este necesar să se estimeze intervalul de încredere (eroarea absolută) a valorii obținute. DYși eroare relativă e.
La calcularea erorilor în cazul măsurătorilor indirecte, este convenabil să urmați următoarea secvență de acțiuni:
1) obțineți valorile medii ale fiecărei mărimi măsurate direct á x1ñ, á x2ñ, …, á X nñ;
2) obțineți valoarea medie a mărimii măsurate indirect á Yñ prin substituirea în formula (A.6) a valorilor medii ale mărimilor măsurate direct;
3) să evalueze erorile absolute ale mărimilor măsurate direct DX 1 , DX 2 , ..., DXn, folosind formulele (A.2) și (A.3);
4) pe baza formei explicite a funcției (A.6), obțineți o formulă pentru calcularea erorii absolute a valorii măsurate indirect DYși calculează-l;
6) notați rezultatul măsurării, ținând cont de eroare.
Mai jos, fără derivație, este dată o formulă care permite obținerea formulelor de calcul al erorii absolute, dacă se cunoaște forma explicită a funcției (A.6):
unde ¶Y¤¶ x1 etc. - derivate parțiale ale lui Y față de toate mărimile măsurate direct X 1 , X 2 , …, X n (când se ia o derivată parțială, de exemplu X 1, apoi toate celelalte cantități X i sunt considerate constante în formulă), D X i– erori absolute ale mărimilor măsurate direct, calculate conform (A.3).
După ce au calculat DY, ei găsesc eroarea relativă.
Totuși, dacă funcția (A.6) este un monom, atunci este mult mai ușor să calculați mai întâi eroarea relativă, apoi cea absolută.
Într-adevăr, împărțirea ambelor părți ale egalității (A.7) la Y, primim
Dar din moment ce, putem scrie
Acum, cunoscând eroarea relativă, determinați absolutul.
Ca exemplu, obținem o formulă de calcul a erorii în densitatea unei substanțe, determinată de formula (A.5). Deoarece (A.5) este un monom, atunci, după cum sa menționat mai sus, este mai ușor să se calculeze mai întâi eroarea relativă de măsurare conform (A.8). În (A.8), sub rădăcină avem suma pătratelor derivatelor parțiale ale logaritm mărimea măsurată, deci mai întâi găsim logaritmul natural r:
ln r = ln 4 + ln m– ln p –2 ln d– ln h,
și apoi folosim formula (A.8) și obținem asta
După cum se poate observa, în (A.9) sunt utilizate valorile medii ale mărimilor măsurate direct și erorile absolute ale acestora, calculate prin metoda măsurătorilor directe conform (A.3). Eroarea introdusă de numărul p nu este luată în considerare, deoarece valoarea acestuia poate fi întotdeauna luată cu o precizie care depășește precizia de măsurare a tuturor celorlalte mărimi. Calculând e, găsim .
Dacă măsurătorile indirecte sunt independente (condițiile fiecărui experiment ulterior diferă de condițiile celui precedent), atunci valorile cantității Y calculat pentru fiecare experiment individual. După ce a produs n experiențe, obține n valorile Y eu. În plus, luând fiecare dintre valori Y eu(Unde i- numărul de experiență) pentru rezultatul măsurării directe, calculați á Yñ și D Y conform formulelor (A.1) și respectiv (A.2).
Rezultatul final al măsurătorilor directe și indirecte ar trebui să arate astfel:
Unde m- exponent, u- unitati de masura Y.
ERORI ALE MĂSURĂRILOR CANTITAȚILOR FIZICE ȘI
PRELUCRAREA REZULTATELOR MĂSURĂRILOR
prin măsurare numită găsirea empiric a valorilor mărimilor fizice cu ajutorul mijloacelor tehnice speciale. Măsurătorile sunt fie directe, fie indirecte. La direct măsurare, valoarea dorită a unei mărimi fizice se găsește direct cu ajutorul instrumentelor de măsură (de exemplu, măsurarea dimensiunilor corpurilor cu ajutorul unui șubler). Indirect numită măsurătoare în care valoarea dorită a unei mărimi fizice se găsește pe baza unei relații funcționale cunoscute între mărimea măsurată și mărimile supuse măsurătorilor directe. De exemplu, atunci când se determină volumul V al unui cilindru, se măsoară diametrul lui D și înălțimea H și apoi conform formulei p D 2 /4 calculează-i volumul.
Din cauza inexactității instrumentelor de măsurare și a dificultății de a lua în considerare toate efectele secundare în măsurători, apar inevitabil erori de măsurare. eroare sau greşeală măsurarea se referă la abaterea rezultatului măsurării de la valoarea adevărată a mărimii fizice măsurate. Eroarea de măsurare este de obicei necunoscută, la fel ca valoarea adevărată a mărimii măsurate. Prin urmare, sarcina prelucrării elementare a rezultatelor măsurătorilor este de a stabili intervalul în care este situată valoarea adevărată a mărimii fizice măsurate cu o probabilitate dată.
Clasificarea erorilor de măsurare
Erorile sunt împărțite în trei tipuri:
1) brut sau ratat,
2) sistematic,
3) aleatoriu.
erori grosolane- sunt măsurători eronate rezultate din citirea neatentă pe aparat, înregistrarea ilizibilă a citirilor. De exemplu, scrieți un rezultat de 26,5 în loc de 2,65; citirea pe o scară de 18 în loc de 13 etc. Dacă este detectată o eroare gravă, rezultatul acestei măsurători trebuie eliminat imediat și măsurarea în sine ar trebui repetată.
Erori sistematice- erori care rămân constante în timpul măsurătorilor repetate sau se modifică conform unei anumite legi. Aceste erori se pot datora alegerii greșite a metodei de măsurare, imperfecțiunii sau funcționării defectuoase a instrumentelor (de exemplu, măsurători folosind un instrument care are un offset zero). Pentru a elimina cât mai mult posibil erorile sistematice, trebuie întotdeauna să analizați cu atenție metoda de măsurare, să comparați instrumentele cu standardele. În viitor, vom presupune că toate erorile sistematice au fost eliminate, cu excepția celor cauzate de inexactitățile în fabricarea dispozitivelor și erorile de citire. Vom numi această eroare hardware.
Erori aleatorii - Acestea sunt erori, a căror cauză nu poate fi luată în considerare în prealabil. Erorile aleatorii depind de imperfecțiunea organelor noastre de simț, de acțiunea continuă a schimbării condițiilor externe (modificări de temperatură, presiune, umiditate, vibrații ale aerului etc.). Erorile aleatorii sunt inevitabile, sunt prezente inevitabil în toate măsurătorile, dar pot fi estimate folosind metodele teoriei probabilităților.
Prelucrarea rezultatelor măsurătorilor directe
Să se obțină, în urma măsurătorilor directe ale unei mărimi fizice, o serie de valori ale acesteia:
x 1 , x 2 , ... x n .
Cunoscând această serie de numere, trebuie să indicați valoarea cea mai apropiată de valoarea adevărată a valorii măsurate și să găsiți valoarea erorii aleatoare. Această problemă este rezolvată pe baza teoriei probabilităților, a cărei prezentare detaliată depășește domeniul de aplicare al cursului nostru.
Cea mai probabilă valoare a mărimii fizice măsurate (aproape de valoarea adevărată) este media aritmetică
. (1)
Aici x i este rezultatul celei de-a i-a măsurători; n este numărul de măsurători. Eroarea de măsurare aleatorie poate fi estimată prin eroarea absolută D x, care se calculează prin formula
,
(2)
unde t(a ,n) - Coeficientul Student, în funcție de numărul de măsurători n și de nivelul de încredere A . Valoarea încrederii A stabilite de experimentator.
Probabilitate eveniment aleatoriu este raportul dintre numărul de cazuri favorabile pentru acest eveniment și numărul total de cazuri la fel de probabile. Probabilitatea unui eveniment sigur este 1, iar unul imposibil este 0.
Valoarea coeficientului Studentului corespunzător unui anumit nivel de încredere A și un anumit număr de măsurători n, găsiți conform tabelului. unu.
tabelul 1
|
Număr măsurători n |
Probabilitatea de încredere A |
|||
|
0,95 |
0,98 |
|||
|
1,38 |
12,7 |
31,8 |
||
|
1,06 |
||||
|
0,98 |
||||
|
0,94 |
||||
|
0,92 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,88 |
||||
|
0,84 |
||||
Din Tabel. 1 se poate observa că valoarea coeficientului Student și eroarea de măsurare aleatorie sunt mai mici, cu atât n mai mare și cu atât mai mic. A . Practic alege A =0,95. Cu toate acestea, o simplă creștere a numărului de măsurători nu poate reduce eroarea totală la zero, deoarece orice dispozitiv de măsurare dă o eroare.
Să explicăm sensul termenilor eroare absolută D x și nivelul de încredere A folosind linia numerică. Fie valoarea medie a mărimii măsurate
Fig.1
Dacă măsurătorile aceleiași mărimi sunt repetate de aceleași instrumente în aceleași condiții, atunci valoarea adevărată a mărimii măsurate x ist se va încadra în același interval de încredere, dar lovitura nu va fi de încredere, dar cu o probabilitate A.
Calcularea mărimii erorii absolute D x prin formula (2), valoarea adevărată x a mărimii fizice măsurate poate fi scrisă ca x=
Pentru a evalua acuratețea măsurării unei mărimi fizice, calculați eroare relativă care se exprimă de obicei în procente
. (3)
Astfel, la procesarea rezultatelor măsurătorilor directe, este necesar să faceți următoarele:
1. Faceți măsurători de n ori.
2. Calculați media aritmetică folosind formula (1).
3. Stabiliți un nivel de încredere a (de obicei ia a = 0,95).
4. Conform Tabelului 1, găsiți coeficientul Student corespunzător nivelului de încredere dat A și numărul de dimensiuni n.
5. Calculați eroarea absolută folosind formula (2) și comparați-o cu cea instrumentală. Pentru calcule suplimentare, luați-o pe cea mai mare.
6. Folosind formula (3), calculați eroarea relativă e.
7. Notează rezultatul final
x=
Prelucrarea rezultatelor măsurătorilor indirecte
Fie ca mărimea fizică dorită y să fie asociată cu alte mărimi x 1 , x 2 , ... x k printr-o dependență funcțională
Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)
Printre valorile x 1 , x 2 , ... x k se numără valori obținute din măsurători directe și date tabelare. Este necesar să se determine absolutul D y și relativă e erori în valoarea lui y.
În cele mai multe cazuri, este mai ușor să calculați mai întâi eroarea relativă și apoi eroarea absolută. Din teoria probabilității, eroarea relativă de măsurare indirectă
.
(5)
Aici 
, unde este derivata parțială a funcției față de variabila x i, în calculul căreia toate valorile, cu excepția lui x i , sunt considerate constante; D x i este eroarea absolută a lui x i . Dacă x i se obține ca rezultat al măsurătorilor directe, atunci valoarea medie a acestuia
Să scriem rezultatul final:
y=
Aici
De obicei, erorile aleatoare și sistematice (instrumentale) sunt prezente în măsurătorile reale. Dacă eroarea aleatorie calculată a măsurătorilor directe este egală cu zero sau mai mică decât eroarea hardware de două sau mai multe ori, atunci atunci când se calculează eroarea măsurătorilor indirecte, trebuie luată în considerare eroarea hardware. Dacă aceste erori diferă de mai puțin de două ori, atunci eroarea absolută este calculată prin formulă
.
Luați în considerare un exemplu. Să fie necesar să se calculeze volumul cilindrului:
. (6)
Aici D este diametrul cilindrului, H este înălțimea acestuia, măsurată cu un șubler vernier cu o valoare a diviziunii de 0,1 mm. Ca urmare a măsurătorilor repetate, găsim valorile medii
,
(7)
unde D D și D H sunt erori absolute ale măsurătorilor directe ale diametrului și înălțimii. Valorile lor sunt calculate prin formula (2): D D=0,01 mm; D H=0,13 mm. Să comparăm erorile calculate cu cea hardware, egală cu valoarea diviziunii etrierului. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D nu este 0,01 mm, ci 0,1 mm.
valoarea p trebuie alese astfel încât eroarea relativă Dp/p în formula (7) ar putea fi neglijată. Din analiza valorilor măsurate și a erorilor absolute calculate D D și D H, se poate observa că eroarea de măsurare a înălțimii are cea mai mare contribuție la eroarea de măsurare a volumului relativ. Calcularea erorii de înălțime relativă dă e H =0,01. Prin urmare, valoarea p trebuie să luați 3.14. În acest caz Dp / p » 0,001 (Dp =3,142-3,14=0,002).
O cifră semnificativă rămâne în eroarea absolută.
Note.
1. Dacă măsurătorile sunt efectuate o singură dată sau rezultatele măsurătorilor multiple sunt aceleași, atunci eroarea absolută de măsurare trebuie luată ca eroare instrumentală, care pentru majoritatea instrumentelor utilizate este egală cu valoarea diviziunii instrumentului (pentru mai multe detalii despre eroarea instrumentală, vezi secțiunea „Instrumente de măsurare”).
2. Dacă sunt date date tabelare sau experimentale fără a specifica eroarea, atunci eroarea absolută a unor astfel de numere este considerată egală cu jumătate din ordinul ultimei cifre semnificative.
Acțiuni cu numere aproximative
Problema preciziei de calcul diferite este foarte importantă, deoarece supraestimarea preciziei de calcul duce la o cantitate mare de muncă inutilă. Elevii calculează adesea valoarea pe care o caută cu o precizie de cinci sau mai multe cifre semnificative. Trebuie înțeles că această precizie este excesivă. Nu are sens să se efectueze calcule dincolo de limita de precizie, care este oferită de acuratețea determinării cantităților măsurate direct. După procesarea măsurătorilor, adesea nu calculează erorile rezultatelor individuale și judecă eroarea valorii aproximative a cantității, indicând numărul de cifre semnificative corecte din acest număr.
Cifre semnificative Un număr aproximativ se numește toate cifrele cu excepția zero, precum și zero în două cazuri:
1) când se află între cifre semnificative (de exemplu, în numărul 1071 - patru cifre semnificative);
2) când se află la sfârșitul numărului și când se știe că unitatea cifrei corespunzătoare nu este disponibilă în numărul dat. Exemplu. Există trei cifre semnificative în numărul 5,20 și asta înseamnă că la măsurare am luat în considerare nu numai unități, ci și zecimi și sutimi, iar în numărul 5,2 - doar două cifre semnificative, ceea ce înseamnă că am luat în considerare doar numere întregi. și zecimi.
Calculele aproximative trebuie făcute în conformitate cu următoarele reguli.
1. La adunarea și scăderea ca urmare, păstrați atâtea zecimale câte există în numărul cu cel mai mic număr de zecimale. De exemplu: 0,8934+3,24+1,188=5,3214» 5.32. Suma ar trebui să fie rotunjită la sutimi, adică ia egal cu 5,32.
2. La înmulțirea și împărțirea ca urmare, se păstrează atâtea cifre semnificative cât are numărul aproximativ cu cele mai puține cifre semnificative. De exemplu, trebuie să înmulțiți 8,632„2,8”. 3,53. În schimb, expresiile ar trebui evaluate
8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.
La calcularea rezultatelor intermediare, acestea salvează cu o cifră mai mult decât recomandă regulile (așa-numita cifră de rezervă). În rezultatul final, cifra de rezervă este aruncată. Pentru a clarifica valoarea ultimei cifre semnificative a rezultatului, trebuie să calculați cifra din spatele acesteia. Dacă se dovedește a fi mai puțin de cinci, ar trebui pur și simplu aruncat, iar dacă cinci sau mai mult de cinci, atunci, după ce l-a aruncat, cifra anterioară ar trebui mărită cu unu. De obicei, o cifră semnificativă este lăsată în eroarea absolută, iar valoarea măsurată este rotunjită la cifra în care se află cifra semnificativă a erorii absolute.
3. Rezultatul calculării valorilor funcțiilor x n , , lg( X) un număr aproximativ X trebuie să conțină atâtea cifre semnificative câte sunt în număr X. De exemplu: 
.
Complot
Rezultatele obținute în timpul efectuării lucrărilor de laborator sunt adesea importante și trebuie prezentate într-o relație grafică. Pentru a construi un grafic este necesar, pe baza măsurătorilor efectuate, să se întocmească un tabel în care fiecărei valori a uneia dintre mărimi să corespundă unei anumite valori a celeilalte.
Graficele sunt realizate pe hârtie milimetrată. Când se construiește un grafic, valorile variabilei independente trebuie reprezentate pe abscisă, iar valorile funcției pe ordonată. În apropierea fiecărei axe, trebuie să scrieți denumirea valorii afișate și să indicați în ce unități este măsurată (Fig. 2).
Fig.2
Pentru construirea corectă a graficului, alegerea scării este importantă: curba ocupă întreaga foaie, iar dimensiunile graficului în lungime și înălțime sunt aproximativ aceleași. Scara ar trebui să fie simplă. Cel mai simplu mod este dacă unitatea valorii măsurate (0,1; 10; 100 etc.) corespunde la 1, 2 sau 5 cm. Trebuie avut în vedere că intersecția axelor de coordonate nu trebuie să coincidă cu valori zero ale valorilor care sunt reprezentate grafic (Fig. 2).
Fiecare valoare experimentală obținută este reprezentată pe grafic într-un mod destul de vizibil: un punct, o cruce etc.
Erorile sunt indicate pentru valorile măsurate sub formă de segmente cu lungimea unui interval de încredere, în centrul cărora se află punctele experimentale. Deoarece indicarea erorilor îngrămădește graficul, acest lucru se face numai atunci când sunt într-adevăr necesare informații despre erori: când se construiește o curbă din puncte experimentale, când se determină erori folosind un grafic, când se compară datele experimentale cu o curbă teoretică (Figura 2) . Adesea este suficient să specificați eroarea pentru unul sau mai multe puncte.
Este necesar să trasați o curbă netedă prin punctele experimentale. Adesea, punctele experimentale sunt conectate printr-o linie întreruptă simplă. Astfel, așa cum ar fi, se indică faptul că cantitățile depind una de cealaltă într-un mod neîntrerupt. Și asta este incredibil. Curba trebuie să fie netedă și poate trece nu prin punctele marcate, ci aproape de acestea, astfel încât aceste puncte să fie de ambele părți ale curbei la aceeași distanță de aceasta. Dacă orice punct iese puternic din grafic, atunci această măsurătoare ar trebui repetată. Prin urmare, este de dorit să construiți un grafic direct în timpul experimentului. Graficul poate servi apoi la controlul și îmbunătățirea observațiilor.
INSTRUMENTE DE MĂSURĂ ȘI CONTABILITATE PENTRU ERORILE LOR
Instrumentele de măsură sunt utilizate pentru măsurători directe ale mărimilor fizice. Orice instrument de măsură nu oferă valoarea adevărată a mărimii măsurate. Acest lucru se datorează, în primul rând, faptului că este imposibil să citiți cu exactitate valoarea măsurată pe scara instrumentului și, în al doilea rând, inexactității în fabricarea instrumentelor de măsurare. Pentru a lua în considerare primul factor, se introduce eroarea de citire Δx o, pentru al doilea - eroarea admisibilăΔ x d. Suma acestor erori formează eroarea instrumentală sau absolută a dispozitivuluiΔ X:
.
Eroarea permisă este normalizată de standardele de stat și este indicată în pașaportul sau descrierea dispozitivului.
Eroarea de citire este de obicei luată egală cu jumătate din diviziunea instrumentului, dar pentru unele instrumente (cronometru, barometru aneroid) - egală cu diviziunea instrumentului (deoarece poziția săgeții acestor instrumente se schimbă în salturi cu o diviziune) și chiar mai multe diviziuni ale scalei, dacă condițiile experimentului nu permit numărarea cu încredere până la o diviziune (de exemplu, cu un indicator gros sau cu iluminare slabă). Astfel, eroarea de numărare este stabilită de experimentator însuși, reflectând de fapt condițiile unui anumit experiment.
Dacă eroarea permisă este mult mai mică decât eroarea de citire, atunci aceasta poate fi ignorată. De obicei, eroarea absolută a instrumentului este considerată egală cu diviziunea la scară a instrumentului.
Riglele de măsurare au de obicei diviziuni milimetrice. Pentru măsurare, se recomandă folosirea riglelor din oțel sau de desen cu teșit. Eroarea permisă a unor astfel de rigle este de 0,1 mm și poate fi ignorată, deoarece este mult mai mică decât eroarea de citire egală cu ± 0,5 mm. Eroare permisă a riglelor din lemn și plastic± 1 mm.
Eroarea de măsurare admisă a unui micrometru depinde de limita superioară de măsurare și poate fi ± (3-4) µm (pentru micrometre cu domeniul de măsurare 0-25 mm). Jumătate din valoarea diviziunii este considerată eroare de citire. Astfel, eroarea absolută a micrometrului poate fi luată egală cu valoarea diviziunii, adică. 0,01 mm.
La cântărire, eroarea permisă a cântarelor tehnice depinde de sarcină și se ridică la 50 mg pentru o încărcătură de 20 până la 200 g și 25 mg pentru o încărcătură mai mică de 20 g.
Eroarea instrumentelor digitale este determinată de clasa de precizie.
Formulele de calcul a erorilor măsurătorilor indirecte se bazează pe reprezentările calculului diferenţial.
Fie dependența cantității Y din valoarea măsurată Z are o formă simplă: .
Aici și sunt constante ale căror valori sunt cunoscute. Dacă z este crescut sau micșorat cu un anumit număr, atunci se va schimba în:
Dacă - eroarea valorii măsurate Z, atunci, respectiv, va fi eroarea valorii calculate Y.
Obținem formula pentru eroarea absolută în cazul general al unei funcții a unei variabile. Fie graficul acestei funcții să aibă forma prezentată în Fig.1. Valoarea exactă a argumentului z 0 corespunde valorii exacte a funcției y 0 = f(z 0).
Valoarea măsurată a argumentului diferă de valoarea exactă a argumentului prin valoarea Δz din cauza erorilor de măsurare. Valoarea funcției va diferi de valoarea exactă prin Δy.
Din semnificația geometrică a derivatei ca tangente a pantei tangentei la curba într-un punct dat (Fig. 1), rezultă:
. (10)
Formula pentru eroarea relativă a măsurării indirecte în cazul unei funcții a unei variabile va fi: 
. (11)
Având în vedere că diferența funcției este , obținem
(12)
Dacă măsurarea indirectă este o funcție m variabile 
, atunci eroarea măsurătorilor indirecte va depinde de erorile măsurătorilor directe. Notăm eroarea parțială asociată cu eroarea de măsurare a argumentului . Constituie incrementul funcției cu increment, cu condiția ca toate celelalte argumente să fie neschimbate. Astfel, scriem eroarea absolută parțială conform (10) sub următoarea formă:
(13)
Astfel, pentru a afla eroarea parțială de măsurare indirectă , este necesar, conform (13), să se înmulțească derivata parțială cu eroarea de măsurare directă . Când se calculează derivata parțială a unei funcții în raport cu argumentele rămase, acestea sunt considerate constante.
Eroarea absolută rezultată a măsurării indirecte este determinată de formula, care include pătratele erorilor parțiale
masurare indirecta:
sau luând în considerare (13)
(14)
Eroarea relativă a măsurării indirecte este determinată de formula:
Sau ținând cont de (11) și (12)
. (15)
Folosind (14) și (15), se găsește una dintre erori, absolută sau relativă, în funcție de comoditatea calculelor. Deci, de exemplu, dacă formula de lucru are forma unui produs, raportul cantităților măsurate, este ușor să luați un logaritm și să utilizați formula (15) pentru a determina eroarea relativă a măsurării indirecte. Apoi calculați eroarea absolută folosind formula (16):
Pentru a ilustra procedura de mai sus pentru determinarea erorii măsurătorilor indirecte, să revenim la lucrarea de laborator virtual „Determinarea accelerației căderii libere folosind un pendul matematic”.
Formula de lucru (1) are forma raportului valorilor măsurate:
Prin urmare, începem cu definiția erorii relative. Pentru a face acest lucru, luăm logaritmul acestei expresii și apoi calculăm derivatele parțiale:
; ; 
.
Înlocuirea în formula (15) conduce la formula pentru eroarea relativă a măsurării indirecte:
(17)
După înlocuirea rezultatelor măsurătorilor directe
{ 
; 
) în (17) obținem:
(18)
Pentru a calcula eroarea absolută, folosim expresia (16) și valoarea (9) calculată anterior a accelerației gravitaționale. g:
Rezultatul calculării erorii absolute este rotunjit la o cifră semnificativă. Valoarea calculată a erorii absolute determină acuratețea înregistrării rezultatului final:
, α ≈ 1. (19)
În acest caz, probabilitatea de încredere este determinată de probabilitatea de încredere a celor din măsurătorile directe care au contribuit decisiv la eroarea măsurării indirecte. În acest caz, acestea sunt măsurători ale perioadei.
Astfel, cu o probabilitate apropiată de 1, valoarea g este între 8 și 12.
Pentru a obține o valoare mai precisă a accelerației de cădere liberă g este necesară îmbunătăţirea tehnicii de măsurare. În acest scop, este necesar să se reducă eroarea relativă, care, după cum rezultă din formula (18), este determinată în principal de eroarea de măsurare a timpului.
Pentru a face acest lucru, este necesar să se măsoare timpul nu a unei oscilații complete, ci, de exemplu, a 10 oscilații complete. Apoi, după cum urmează din (2), formula de eroare relativă va lua forma:
. (20)
Tabelul 4 prezintă rezultatele măsurării timpului pentru N = 10
Pentru cantitate L luați rezultatele măsurătorilor din tabelul 2. Înlocuind rezultatele măsurătorilor directe în formula (20), găsim eroarea relativă a măsurătorilor indirecte:
Folosind formula (2), calculăm valoarea mărimii măsurate indirect:
.
.
Rezultatul final se scrie astfel:
; ; .
Acest exemplu arată rolul formulei de eroare relativă în analiza direcțiilor posibile pentru îmbunătățirea tehnicii de măsurare.
