Proprietatea 1 (conservarea dreptății). La mișcare, trei puncte situate pe o linie dreaptă trec în trei puncte situate pe o linie dreaptă, iar un punct situat între altele două trece într-un punct situat între imaginile celorlalte două puncte (se păstrează ordinea aranjamentului lor reciproc) .
Proprietatea 2. Imaginea unui segment în mișcare este un segment.
Proprietatea 3. Imaginea unei drepte în mișcare este o linie dreaptă, iar imaginea unei raze este o rază.
Proprietatea 4. La mișcare, imaginea unui triunghi este un triunghi egal, imaginea unui plan este un plan, iar planurile paralele sunt mapate pe planuri paralele, imaginea unui semiplan este semiplan.
Proprietatea 5. La mișcare, imaginea unui tetraedru este un tetraedru, imaginea spațiului este întregul spațiu, imaginea unui semi-spațiu este un semi-spațiu.
Proprietatea 6. La deplasare se păstrează unghiurile, adică. fiecare unghi este mapat la un unghi de același tip și aceeași mărime. Același lucru este valabil și pentru unghiurile diedrice.
Definiție. Un transfer paralel, sau, pe scurt, un transfer al unei figuri, este afișarea sa în care toate punctele sale sunt deplasate în aceeași direcție la distanțe egale, de exemplu. la translație, fiecare două puncte X și Y ale figurii sunt mapate la astfel de puncte X" și Y" încât XX" = YY".
Proprietatea principală de transfer:
Translația paralelă păstrează distanțele și direcțiile, de ex. X"Y" = XY.
De aici rezultă că un transfer paralel este o mișcare care păstrează direcția și invers, o mișcare care păstrează direcția este un transfer paralel.
De asemenea, din aceste afirmații rezultă că alcătuirea traducerilor paralele este o traducere paralelă.
Translația paralelă a figurii este specificată prin specificarea unei perechi de puncte corespunzătoare. De exemplu, dacă se indică până la ce punct A" merge punctul dat A, atunci această translație este dată de vectorul AA", și aceasta înseamnă că toate punctele sunt deplasate de același vector, adică. XX" = AA" pentru toate punctele X.
Simetria centrală a unei figuri în raport cu O este o astfel de reprezentare a acestei figuri care asociază cu fiecare dintre punctele sale un punct simetric în raport cu O.
Proprietatea principală: simetria centrală păstrează distanța și inversează direcția. Cu alte cuvinte, oricare două puncte X și Y ale figurii F corespund punctelor X" și Y" astfel încât X"Y" = -XY.
De aici rezultă că simetria centrală este o mișcare care schimbă direcția spre opus și invers, o mișcare care schimbă direcția spre opus este simetria centrală.
Simetria centrală a figurii este specificată prin specificarea unei perechi de puncte existente: dacă punctul A este mapat la A", atunci centrul de simetrie este punctul de mijloc al segmentului AA".
Maparea unei figuri, în care fiecare dintre punctele sale corespunde unui punct simetric cu acesta în raport cu un plan dat, se numește reflectarea figurii în acest plan (sau simetria oglinzii).
Se spune că punctele A și A” sunt simetrice față de un plan dacă segmentul AA” este perpendicular pe acest plan și este divizat de acesta. Orice punct al planului (este considerat simetric față de el însuși în raport cu acest plan.
Teorema 1. Reflexia într-un plan păstrează distanțele și, prin urmare, este o mișcare.
Teorema 2. O mișcare în care toate punctele unui anumit plan sunt fixe este o reflexie în acest plan sau o mapare identică.
Simetria oglinzii este specificată prin specificarea unei perechi de puncte corespunzătoare care nu se află în planul de simetrie: planul de simetrie trece prin mijlocul segmentului care leagă aceste puncte, perpendicular pe acesta.
O figură se numește figură de revoluție dacă există o astfel de linie dreaptă, orice rotație în jurul căreia combină figura cu ea însăși, cu alte cuvinte, o mapează pe ea însăși. O astfel de linie dreaptă se numește axa de rotație a figurii. Cele mai simple corpuri de revoluție: o minge, un cilindru circular drept, un con circular drept.
Un caz special de întoarcere în jurul unei linii drepte este o viraj cu 180 (. Când se întoarce în jurul unei linii a cu 180 (fiecare punct A merge într-un astfel de punct A „încât linia a este perpendiculară pe segmentul AA” și îl intersectează). în mijloc. Astfel de puncte A și A „spun că sunt simetrice față de axa a. Prin urmare, o rotație de 180 (despre o dreaptă se numește simetrie axială în spațiu.
rezumatul altor prezentări „Linia medie a trapezului”- Linia de mijloc a trapezului. A. MN este linia mediană a trapezului ABCD. Într-un triunghi, poți construi... linii de mijloc. Linia de mijloc a unui triunghi are proprietatea … MN = ? AB. Definiția liniei mediane a trapezului. Teorema pe linia mediană a unui trapez. D. Continuați propoziția: MN || AB.
„Ecuația elipsei”- Autori: Gololobova O. Clasa a IX-a Negrova O. Clasa a IX-a Dolgova K. Clasa a IX-a. Definiţia an elipse. Cum sunt proprietățile elipsei legate de proprietățile altor curbe „remarcabile”? 2. Am derivat ecuația canonică a elipsei. Progresul cercetării. Rezultatele cercetării: 4. Determinarea parametrilor principali ai elipsei: Scop: Studiul parametrilor principali ai elipsei. 3. A construit o elipsă.
„Teorema lui Thales”- Se crede că Thales a fost primul care a studiat mișcarea Soarelui în sfera cerească. Teorema lui Thales. O teoremă geometrică poartă numele lui Thales. Să trasăm o dreaptă EF prin punctul B2 paralel cu dreapta A1A3. Astronomie. Geometrie. Prin proprietatea unui paralelogram A1A2=FB2, A2A3=B2E. materialist milesian. Și din moment ce A1A2=A2A3, atunci FB2=B2E. Thales este cunoscut ca geometru.
„Probleme legate de cerc și cerc”- 2. Raspuns: S=25? cm2; C=10? vezi Rezolvarea problemelor. 1. Circumferința și aria unui cerc.
„Geometria poligoanelor regulate”- Despre orice poligon obișnuit, puteți descrie un cerc și numai unul. Obținem o formulă pentru calcularea unghiului an al unui n-gon regulat. Luați oricare trei vârfuri ale poligonului A1A2...An, de exemplu A1, A2, A3. Să demonstrăm acum unicitatea unui astfel de cerc. Centrul unui poligon regulat. Teorema asupra centrului unui poligon regulat. Unicitatea unui astfel de cerc rezultă din unicitatea cercului circumscris în jurul triunghiului.
„Geometria mișcării gradul 9”- Axial. Simetrie axială. Simetrie centrală și axială. Teorema. Tipuri de mișcări. Întoarce-te. Acoperire. Orice mișcare este o suprapunere. Simetrie axială Simetrie centrală Translație paralelă Rotație. Transfer paralel. Circulaţie. simetrie centrală. Conceptul de mișcare. Geometrie nota 9. Central. La deplasare, segmentul este afișat pe segment.
Cartografierea unui avion pe sine
Definiția 1
Cartografierea unui avion pe sine- aceasta este o astfel de corespondență cu fiecare punct al planului oricărui punct din același plan, în care fiecare punct al planului va fi asociat pentru orice punct.
Exemple de mapare a unui plan pe el însuși pot fi simetria axială (Fig. 1a) și simetria centrală (Fig. 1b).
Figura 1. a) simetria axială; b) simetria centrală
Conceptul de mișcare
Introducem acum definiția mișcării.
Definiția 2
Mișcarea unui plan este o astfel de mapare a planului pe el însuși, în care distanțele sunt păstrate (Fig. 2).
Figura 2. Exemplu de mișcare
Teoreme legate de conceptul de mișcare
Dovada.
Să ni se dea un segment $MN$. Fie mapat punctul $M$ la punctul $M_1$ al acestui plan pentru o mișcare dată a planului, iar punctul $N$ să fie mapat la punctul $N_1$ al acestui plan. Luați un punct arbitrar $P$ al segmentului $MN$. Să fie mapat la punctul $\ P_1$ al acestui plan (Fig. 3).
Figura 3. Maparea segmentului la segment în timpul deplasării
Deoarece punctul $P$ aparține segmentului $MN$, egalitatea
Deoarece, prin definiția mișcării, distanțele sunt conservate, atunci
Prin urmare
Prin urmare, punctul $P_1$ se află pe segmentul $M_1N_1$. Datorită arbitrarului alegerii punctului $P_1$, obținem că segmentul $MN$ va fi mapat pe segmentul $M_1N_1$ în timpul mișcării. Egalitatea acestor segmente rezultă imediat din definiția mișcării.
Teorema a fost demonstrată.
Teorema 2
Când se deplasează, triunghiul este mapat la un triunghi egal.
Dovada.
Să ni se dă un triunghi $ABC$. După teorema 1, segmentul $AB$ intră în segmentul $A_1B_1$, segmentul $AC$ intră în segmentul $A_1C_1$, segmentul $BC$ intră în segmentul $B_1C_1$ și $(AB=A) _1B_1$, $(AC =A)_1C_1$, $(BC=B)_1C_1$. Prin urmare, conform criteriului III al egalității triunghiurilor, triunghiul $ABC$ trece în triunghiul său egal $A_1B_1C_1$.
Teorema a fost demonstrată.
În mod similar, se poate dovedi că raza este mapată la rază, unghiul este mapat la unghiul său egal.
Pentru a formula următoarea teoremă, introducem mai întâi următoarea definiție.
Definiția 3
acoperire se numește o astfel de mișcare a planului, care are următoarele axiome:
- Dacă capetele a două segmente coincid în timpul mișcării, atunci segmentele în sine coincid.
- De la începutul oricărei raze, puteți amâna un segment egal cu segmentul dat și, în plus, doar unul.
- În orice semiplan din orice rază, se poate pune deoparte un unghi egal cu un unghi neexpandat dat și doar unul.
- Orice figură este egală cu ea însăși.
- Dacă figura 1 este egală cu figura 2, atunci figura 2 este egală cu figura 1.
- Dacă figura 1 este egală cu figura 2, iar figura 2 este egală cu figura 3, atunci figura 1 este egală cu figura 3.
Teorema 3
Orice mișcare este o suprapunere.
Dovada.
Se consideră mișcarea $g$ a triunghiului $ABC$. După teorema 2, când $g$ se mișcă, triunghiul $ABC$ trece în triunghiul său egal $A_1B_1C_1$. Prin definiția triunghiurilor egale, obținem că există o suprapunere $f$ care mapează punctele $A,B\ și\C$ la punctele $A_1,B_1\ și, respectiv,\C_1$. Să demonstrăm că $g$ coincide cu $f$.
Presupunem dimpotrivă că $g$ nu este același lucru cu $f$. Apoi există cel puțin un punct $M$, care, atunci când $g$ se mișcă, merge în punctul $M_1$, iar când $f$ este suprapus, merge în punctul $M_2$. Deoarece distanțele sunt păstrate pentru $f$ și $g$, avem
Adică, punctul $A_1$ este echidistant de punctele $M_1$ și $M_2$. În mod similar, obținem că punctele $B_1\ și\ C_1$ sunt echidistante de punctele $M_1$ și $M_2$. Prin urmare, punctele $A_1,B_1\ și\ C_1$ se află pe o dreaptă perpendiculară pe segmentul $M_1M_2$ și care trece prin centrul acestuia. Acest lucru nu este posibil deoarece punctele $A_1,B_1\ și\ C_1$ nu se află pe aceeași linie. Prin urmare, mișcarea lui $g$ coincide cu impunerea lui $f$.
Teorema a fost demonstrată.
Un exemplu de sarcină pe conceptul de mișcare
Exemplul 1
Demonstrați că atunci când vă deplasați, unghiul este mapat la unghiul său egal.
Dovada.
Să ni se dă un unghi $AOB$. Lasă punctele $A,\ O\ și\ B$ să fie mapate pe punctele $A_1,\O_1\ și\B_1$ pentru o mișcare dată. Prin teorema 2, obținem că triunghiul $AOB$ este mapat pe triunghiul $A_1O_1B_1$, iar aceste triunghiuri sunt egale între ele. Prin urmare, $\angle AOB=\angle A_1O_1B_1$.
