Astăzi ne ocupăm de metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare. Puteți citi despre ce sunt aceste sisteme în articolul anterior dedicat rezolvării aceluiași SLAE prin metoda Cramer. Metoda Gauss nu necesită cunoștințe specifice, sunt necesare doar atenție și consecvență. În ciuda faptului că din punct de vedere al matematicii, pregătirea școlară este suficientă pentru aplicarea ei, stăpânirea acestei metode provoacă adesea dificultăți elevilor. În acest articol, vom încerca să le reducem la nimic!

metoda Gauss

M metoda Gauss este cea mai universală metodă de rezolvare a SLAE (cu excepția sistemelor foarte mari). Spre deosebire de cel discutat mai devreme, este potrivit nu numai pentru sistemele care au o soluție unică, ci și pentru sistemele care au un număr infinit de soluții. Există trei opțiuni aici.

1. Sistemul are o soluție unică (determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero);
2. Sistemul are un număr infinit de soluții;
3. Nu există soluții, sistemul este inconsecvent.

Deci, avem un sistem (lăsați-l să aibă o soluție) și îl vom rezolva folosind metoda Gaussiană. Cum functioneaza?

Metoda Gauss constă din două etape - directă și inversă.

Metoda Gauss directă

Mai întâi, scriem matricea augmentată a sistemului. Pentru a face acest lucru, adăugăm o coloană de membri liberi la matricea principală.

Întreaga esență a metodei gaussiene este de a aduce matricea dată într-o formă în trepte (sau, după cum se spune, triunghiulară) prin intermediul transformărilor elementare. În această formă, ar trebui să existe doar zerouri sub (sau deasupra) diagonalei principale a matricei.

Ce se poate face:

1. Puteți rearanja rândurile matricei;
2. Dacă există rânduri identice (sau proporționale) în matrice, puteți șterge toate, cu excepția unuia;
3. Puteți înmulți sau împărți un șir cu orice număr (cu excepția zero);
4. Liniile zero sunt eliminate;
5. Puteți adăuga un șir înmulțit cu un număr diferit de zero la un șir.

Metoda Gauss invers

După ce transformăm sistemul în acest fel, unul necunoscut xn devine cunoscut și este posibil să găsim toate necunoscutele rămase în ordine inversă, substituind x-urile deja cunoscute în ecuațiile sistemului, până la prima.

Când internetul este întotdeauna la îndemână, puteți rezolva sistemul de ecuații folosind metoda Gauss pe net . Tot ce trebuie să faceți este să introduceți cotele în calculatorul online. Dar trebuie să recunoști, este mult mai plăcut să realizezi că exemplul a fost rezolvat nu de un program de calculator, ci de propriul tău creier.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații folosind metoda Gauss

Și acum - un exemplu, pentru ca totul să devină clar și de înțeles. Să fie dat un sistem de ecuații liniare și este necesar să-l rezolvăm prin metoda Gauss:

Mai întâi, să scriem matricea augmentată:

Acum să aruncăm o privire asupra transformărilor. Amintiți-vă că trebuie să obținem o formă triunghiulară a matricei. Înmulțiți primul rând cu (3). Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Să adăugăm al 2-lea rând la primul și să obținem:

Apoi înmulțiți al treilea rând cu (-1). Să adăugăm a treia linie la a doua:

Înmulțiți primul rând cu (6). Înmulțiți al 2-lea rând cu (13). Să adăugăm a doua linie la prima:

Voila - sistemul este adus în forma corespunzătoare. Rămâne de găsit necunoscutele:

Sistemul din acest exemplu are o soluție unică. Vom lua în considerare soluția sistemelor cu un set infinit de soluții într-un articol separat. Poate că la început nu veți ști de unde să începeți cu transformările matriceale, dar după o practică adecvată veți pune mâna pe ea și veți face clic pe SLAE gaussian ca pe nuci. Și dacă dați brusc peste un SLAU, care se dovedește a fi o nucă prea dură de spart, contactați autorii noștri! puteți lăsând o cerere în Corespondență. Împreună vom rezolva orice problemă!

metoda Gauss excelent pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE). Are mai multe avantaje față de alte metode:

• în primul rând, nu este necesară investigarea prealabilă a sistemului de ecuații pentru compatibilitate;
• în al doilea rând, metoda Gaussiană poate fi folosită pentru a rezolva nu numai SLAE-uri în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute și matricea principală a sistemului este nedegenerată, ci și sisteme de ecuații în care numărul de ecuații nu nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau determinantul matricei principale este egal cu zero;
• în al treilea rând, metoda Gauss conduce la un rezultat cu un număr relativ mic de operații de calcul.

Scurtă recenzie a articolului.

În primul rând, dăm definițiile necesare și introducem unele notații.

În continuare, descriem algoritmul metodei Gauss pentru cel mai simplu caz, adică pentru sistemele de ecuații algebrice liniare, numărul de ecuații în care coincide cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero. La rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații este cel mai clar vizibilă esența metodei Gauss, care constă în eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute. Prin urmare, metoda Gaussiană este numită și metoda eliminării succesive a necunoscutelor. Să arătăm soluții detaliate ale mai multor exemple.

În concluzie, considerăm soluția gaussiană a sistemelor de ecuații algebrice liniare, a căror matrice principală este fie dreptunghiulară, fie degenerată. Soluția unor astfel de sisteme are câteva caracteristici, pe care le vom analiza în detaliu folosind exemple.

Navigare în pagină.

Definiții și notații de bază.

Considerăm un sistem de p ecuații liniare cu n necunoscute (p poate fi egal cu n):

Unde sunt variabile necunoscute, sunt numere (reale sau complexe), sunt membri liberi.

În cazul în care un , atunci sistemul de ecuații algebrice liniare se numește omogen, in caz contrar - eterogen.

Setul de valori ale variabilelor necunoscute, în care toate ecuațiile sistemului se transformă în identități, se numește Decizia SLAU.

Dacă există cel puțin o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare, atunci se numește comun, in caz contrar - incompatibil.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit. Dacă există mai multe soluții, atunci sistemul este apelat incert.

Se spune că sistemul este scris forma de coordonate dacă are forma
.

Acest sistem în formă matriceală records are forma , unde - matricea principală a SLAE, - matricea coloanei de variabile necunoscute, - matricea membrilor liberi.

Dacă adăugăm la matricea A ca (n + 1)-a coloană coloana matricei de termeni liberi, atunci obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, matricea mărită este desemnată cu litera T, iar coloana de membri liberi este separată printr-o linie verticală de restul coloanelor, adică

Matricea pătrată A se numește degenerat dacă determinantul său este zero. Dacă , atunci se numește matricea A nedegenerat.

Trebuie remarcat următorul punct.

Dacă se execută următoarele acțiuni cu un sistem de ecuații algebrice liniare

• schimbați două ecuații,
• înmulțiți ambele părți ale oricărei ecuații cu un număr real (sau complex) arbitrar și diferit de zero k,
• la ambele părți ale oricărei ecuații adăugați părțile corespunzătoare ale celeilalte ecuații, înmulțite cu un număr arbitrar k,

atunci obținem un sistem echivalent care are aceleași soluții (sau, ca și cel original, nu are soluții).

Pentru o matrice extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare, aceste acțiuni vor însemna efectuarea de transformări elementare cu rânduri:

• schimbând două șiruri
• înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând al matricei T cu un număr diferit de zero k ,
• adunând la elementele oricărui rând al matricei elementele corespunzătoare din alt rând, înmulțite cu un număr arbitrar k .

Acum putem trece la descrierea metodei Gauss.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute și matricea principală a sistemului este nedegenerată, prin metoda Gauss.

Ce am face la școală dacă ni s-ar da sarcina de a găsi o soluție la un sistem de ecuații .

Unii ar face asta.

Rețineți că, adăugând partea stângă a primei ecuații în partea stângă a celei de-a doua ecuații și partea dreaptă în partea dreaptă, puteți scăpa de variabilele necunoscute x 2 și x 3 și puteți găsi imediat x 1:

Înlocuim valoarea găsită x 1 \u003d 1 în prima și a treia ecuație a sistemului:

Dacă înmulțim ambele părți ale celei de-a treia ecuații a sistemului cu -1 și le adăugăm la părțile corespunzătoare ale primei ecuații, atunci scăpăm de variabila necunoscută x 3 și putem găsi x 2:

Înlocuim valoarea obținută x 2 \u003d 2 în a treia ecuație și găsim variabila necunoscută rămasă x 3:

Alții ar fi procedat altfel.

Să rezolvăm prima ecuație a sistemului în raport cu variabila necunoscută x 1 și să substituim expresia rezultată în a doua și a treia ecuație a sistemului pentru a exclude această variabilă din ele:

Acum să rezolvăm a doua ecuație a sistemului în raport cu x 2 și să înlocuim rezultatul din a treia ecuație pentru a exclude variabila necunoscută x 2 din aceasta:

Din a treia ecuație a sistemului se poate observa că x 3 =3. Din a doua ecuație găsim , iar din prima ecuație obținem .

Soluții familiare, nu?

Cel mai interesant lucru aici este că a doua metodă de soluție este în esență metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor, adică metoda Gauss. Când am exprimat variabile necunoscute (prima x 1 , următoarea x 2 ) și le-am substituit în restul ecuațiilor sistemului, le-am exclus astfel. Am efectuat excepția până în momentul în care ultima ecuație a lăsat o singură variabilă necunoscută. Procesul de eliminare secvenţială a necunoscutelor se numeşte metoda Gauss directă. După ce trecerea înainte este finalizată, avem posibilitatea de a calcula variabila necunoscută din ultima ecuație. Cu ajutorul ei, din penultima ecuație, găsim următoarea variabilă necunoscută și așa mai departe. Procesul de a găsi succesiv variabile necunoscute în timp ce trece de la ultima ecuație la prima este numit metoda Gauss inversă.

Trebuie remarcat faptul că atunci când exprimăm x 1 în termeni de x 2 și x 3 în prima ecuație și apoi substituim expresia rezultată în a doua și a treia ecuație, următoarele acțiuni conduc la același rezultat:

Într-adevăr, o astfel de procedură ne permite, de asemenea, să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului:

Nuanțe cu eliminarea variabilelor necunoscute prin metoda Gauss apar atunci când ecuațiile sistemului nu conțin unele variabile.

De exemplu, în SLAU în prima ecuație, nu există o variabilă necunoscută x 1 (cu alte cuvinte, coeficientul din fața acesteia este zero). Prin urmare, nu putem rezolva prima ecuație a sistemului în raport cu x 1 pentru a exclude această variabilă necunoscută din restul ecuațiilor. Calea de ieșire din această situație este schimbarea ecuațiilor sistemului. Deoarece luăm în considerare sisteme de ecuații liniare ale căror determinanți ai matricelor principale sunt diferiți de zero, există întotdeauna o ecuație în care variabila de care avem nevoie este prezentă și putem rearanja această ecuație la poziția de care avem nevoie. Pentru exemplul nostru, este suficient să schimbați prima și a doua ecuație a sistemului , atunci puteți rezolva prima ecuație pentru x 1 și o puteți exclude din restul ecuațiilor sistemului (deși x 1 este deja absent în a doua ecuație).

Sperăm că înțelegeți esențialul.

Să descriem Algoritmul metodei Gauss.

Să rezolvăm un sistem de n ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute de forma , iar determinantul matricei sale principale să fie diferit de zero.

Vom presupune că , deoarece putem întotdeauna realiza acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Excludem variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, adăugați prima ecuație înmulțită cu la a doua ecuație a sistemului, adăugați prima înmulțită cu la a treia ecuație și așa mai departe, adăugați prima înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un .

Am ajunge la același rezultat dacă am exprima x 1 în termeni de alte variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am înlocui expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, acționăm în mod similar, dar numai cu o parte a sistemului rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, adăugați a doua ecuație înmulțită cu la a treia ecuație a sistemului, adăugați a doua înmulțită cu la a patra ecuație și așa mai departe, adăugați a doua înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, trecem la eliminarea necunoscutului x 3, acționând în același timp cu partea din sistem marcată în figură

Deci continuăm cursul direct al metodei Gauss până când sistemul ia forma

Din acest moment, începem cursul invers al metodei Gauss: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.

Să analizăm algoritmul cu un exemplu.

Exemplu.

metoda gaussiana.

Decizie.

Coeficientul a 11 este diferit de zero, deci să trecem la cursul direct al metodei Gauss, adică la eliminarea variabilei necunoscute x 1 din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, la părțile din stânga și din dreapta celei de-a doua, a treia și a patra ecuație, adăugați părțile din stânga și din dreapta primei ecuații, înmulțite cu , respectiv, și :

Variabila necunoscută x 1 a fost eliminată, să trecem la excluderea x 2 . La părțile din stânga și dreapta ale celei de-a treia și a patra ecuații ale sistemului, adunăm părțile din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, înmulțite cu și :

Pentru a finaliza cursul înainte al metodei Gauss, trebuie să excludem variabila necunoscută x 3 din ultima ecuație a sistemului. Adaugă la stânga și la dreapta celei de-a patra ecuații, respectiv, laturile stânga și dreapta ale celei de-a treia ecuații, înmulțite cu :

Puteți începe cursul invers al metodei Gauss.

Din ultima ecuație avem ,
din a treia ecuație obținem,
din a doua
din prima.

Pentru a verifica, puteți înlocui valorile obținute ale variabilelor necunoscute în sistemul original de ecuații. Toate ecuațiile se transformă în identități, ceea ce înseamnă că soluția prin metoda Gauss a fost găsită corect.

Răspuns:

Și acum vom oferi soluția aceluiași exemplu prin metoda Gauss sub formă de matrice.

Exemplu.

Găsiți o soluție a sistemului de ecuații metoda gaussiana.

Decizie.

Matricea extinsă a sistemului are forma . Deasupra fiecărei coloane sunt scrise variabile necunoscute, care corespund elementelor matricei.

Cursul direct al metodei Gauss aici implică aducerea matricei extinse a sistemului într-o formă trapezoidală folosind transformări elementare. Acest proces este similar cu excluderea variabilelor necunoscute pe care am făcut-o cu sistemul sub formă de coordonate. Acum te vei convinge de asta.

Să transformăm matricea astfel încât toate elementele din prima coloană, începând de la a doua, să devină zero. Pentru a face acest lucru, la elementele din al doilea, al treilea și al patrulea rând, adăugați elementele corespunzătoare din primul rând înmulțite cu , și respectiv pe:

În continuare, transformăm matricea rezultată astfel încât în ​​a doua coloană, toate elementele, începând de la a treia, să devină zero. Aceasta ar corespunde excluderii variabilei necunoscute x 2 . Pentru a face acest lucru, adăugați la elementele din al treilea și al patrulea rând elementele corespunzătoare din primul rând al matricei, înmulțite cu și :

Rămâne să excludem variabila necunoscută x 3 din ultima ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la elementele ultimului rând al matricei rezultate, adăugăm elementele corespunzătoare din penultimul rând, înmulțite cu :

Trebuie remarcat faptul că această matrice corespunde sistemului de ecuații liniare

care a fost obţinut mai devreme după mutarea directă.

E timpul să te întorci. În forma matriceală a notației, cursul invers al metodei Gauss implică o astfel de transformare a matricei rezultate astfel încât matricea marcată în figură

a devenit diagonală, adică a luat forma

unde sunt niste numere.

Aceste transformări sunt similare cu cele ale metodei Gauss, dar sunt efectuate nu de la prima linie la ultima, ci de la ultima la prima.

Adăugați elementelor din al treilea, al doilea și primul rând elementele corespunzătoare din ultimul rând, înmulțite cu , iar si iar respectiv:

Acum să adăugăm elementelor din al doilea și din primul rând elementele corespunzătoare ale celui de-al treilea rând, înmulțite cu și, respectiv, cu:

La ultima etapă a mișcării inverse a metodei gaussiene, adăugăm elementele corespunzătoare din al doilea rând, înmulțite cu , la elementele primului rând:

Matricea rezultată corespunde sistemului de ecuații , din care găsim variabilele necunoscute.

Răspuns:

NOTĂ.

Când se utilizează metoda Gauss pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare, calculele aproximative ar trebui evitate, deoarece acest lucru poate duce la rezultate absolut incorecte. Vă recomandăm să nu rotunjiți zecimale. Este mai bine să treceți de la fracțiile zecimale la fracțiile obișnuite.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de trei ecuații prin metoda gaussiană .

Decizie.

Rețineți că în acest exemplu, variabilele necunoscute au o denumire diferită (nu x 1 , x 2 , x 3 , ci x, y, z ). Să trecem la fracțiile obișnuite:

Eliminați necunoscutul x din a doua și a treia ecuație a sistemului:

În sistemul rezultat, nu există o variabilă necunoscută y în a doua ecuație și y este prezent în a treia ecuație, prin urmare, schimbăm a doua și a treia ecuație:

În acest moment, cursul direct al metodei Gauss sa încheiat (nu trebuie să excludeți y din a treia ecuație, deoarece această variabilă necunoscută nu mai există).

Să ne întoarcem.

Din ultima ecuație găsim ,
din penultimul


din prima ecuație pe care o avem

Răspuns:

X=10, y=5, z=-20.

Soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute sau matricea principală a sistemului este degenerată, prin metoda Gauss.

Sistemele de ecuații a căror matrice principală este dreptunghiulară sau pătrată degenerată pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă un număr infinit de soluții.

Acum vom înțelege cum metoda Gauss ne permite să stabilim compatibilitatea sau inconsecvența unui sistem de ecuații liniare și, în cazul compatibilității acestuia, să determinăm toate soluțiile (sau o singură soluție).

În principiu, procesul de eliminare a variabilelor necunoscute în cazul unor astfel de SLAE rămâne același. Cu toate acestea, merită să ne oprim în detaliu asupra unor situații care pot apărea.

Să trecem la cel mai important pas.

Așadar, să presupunem că sistemul de ecuații algebrice liniare după finalizarea executării înainte a metodei Gauss ia forma și niciuna dintre ecuații nu sa redus la (în acest caz, am concluziona că sistemul este inconsecvent). Apare o întrebare logică: „Ce să faci în continuare”?

Scriem variabilele necunoscute care se află pe primul loc al tuturor ecuațiilor sistemului rezultat:

În exemplul nostru, acestea sunt x 1 , x 4 și x 5 . În părțile din stânga ecuațiilor sistemului, lăsăm doar acei termeni care conțin variabilele necunoscute scrise x 1, x 4 și x 5, transferăm termenii rămași în partea dreaptă a ecuațiilor cu semnul opus:

Să atribuim valori arbitrare variabilelor necunoscute care se află în partea dreaptă a ecuațiilor, unde - numere arbitrare:

După aceea, numerele se găsesc în părțile corecte ale tuturor ecuațiilor SLAE-ului nostru și putem trece la cursul invers al metodei Gauss.

Din ultima ecuație a sistemului pe care o avem, din penultima ecuație găsim, din prima ecuație obținem

Soluția sistemului de ecuații este setul de valori ale variabilelor necunoscute

Dând numere valori diferite, vom obține soluții diferite ale sistemului de ecuații. Adică, sistemul nostru de ecuații are infinite de soluții.

Răspuns:

Unde - numere arbitrare.

Pentru a consolida materialul, vom analiza în detaliu soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare metoda gaussiana.

Decizie.

Să excludem variabila necunoscută x din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, adăugați părțile din stânga și din dreapta primei ecuații, respectiv, la părțile din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, înmulțite cu , iar la părțile din stânga și din dreapta celei de-a treia ecuații, părțile din stânga și din dreapta ale ecuației. prima ecuație, înmulțită cu:

Acum excludem y din a treia ecuație a sistemului de ecuații rezultat:

SLAE rezultat este echivalent cu sistemul .

Lăsăm doar termenii care conțin variabilele necunoscute x și y în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm termenii cu variabila necunoscută z în partea dreaptă:

Continuăm să luăm în considerare sistemele de ecuații liniare. Această lecție este a treia pe această temă. Dacă aveți o idee vagă despre ce este un sistem de ecuații liniare în general, vă simțiți ca un ceainic, atunci vă recomand să începeți cu elementele de bază de pe Pagina următoare, este util să studiați lecția.

Metoda Gauss este ușoară! De ce? Celebrul matematician german Johann Carl Friedrich Gauss, în timpul vieții, a primit recunoașterea drept cel mai mare matematician al tuturor timpurilor, un geniu și chiar porecla de „Regele matematicii”. Și totul ingenios, după cum știți, este simplu! Apropo, nu doar frații, ci și genii intră în bani - portretul lui Gauss s-a etalat pe o bancnotă de 10 mărci germane (înainte de introducerea euro), iar Gauss încă le zâmbește misterios nemților din mărcile poștale obișnuite.

Metoda Gauss este simplă prin faptul că ESTE SUFICIENTĂ CUNOAȘTEREA UNUI ELEV DE CLASA A V-A pentru a o stăpâni. Trebuie să poată adăuga și înmulți! Nu întâmplător metoda eliminării succesive a necunoscutelor este adesea luată în considerare de profesorii de la opțiunile de matematică ale școlii. Este un paradox, dar metoda Gauss provoacă cele mai mari dificultăți studenților. Nimic surprinzător - totul este despre metodologie și voi încerca să povestesc într-o formă accesibilă despre algoritmul metodei.

În primul rând, sistematizăm puțin cunoștințele despre sistemele de ecuații liniare. Un sistem de ecuații liniare poate:

1) Aveți o soluție unică. 2) Au infinit de soluții. 3) Nu au soluții (fi incompatibil).

Metoda Gauss este cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea unei soluții orice sisteme de ecuații liniare. După cum ne amintim Regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent. O metodă de eliminare succesivă a necunoscutelor oricum conduce-ne la raspuns! În această lecție, vom lua în considerare din nou metoda Gauss pentru cazul nr. 1 (singura soluție a sistemului), un articol este rezervat situațiilor de la punctele nr. 2-3. Observ că algoritmul metodei în sine funcționează în același mod în toate cele trei cazuri.

Să revenim la cel mai simplu sistem din lecție Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?și rezolvați-l folosind metoda Gaussiană.

Primul pas este să scrii sistem de matrice extinsă: . După ce principiu se înregistrează coeficienții, cred că toată lumea poate vedea. Linia verticală din interiorul matricei nu are nicio semnificație matematică - este doar o bară pentru ușurință de proiectare.

Referinţă : Recomand să-ți amintești termeni algebră liniară. Matricea sistemului este o matrice compusă numai din coeficienți pentru necunoscute, în acest exemplu, matricea sistemului: . Matrice de sistem extinsă este aceeași matrice a sistemului plus o coloană de membri liberi, în acest caz: . Oricare dintre matrice poate fi numită pur și simplu o matrice pentru concizie.

După ce matricea extinsă a sistemului este scrisă, este necesar să se efectueze unele acțiuni cu aceasta, care sunt și numite transformări elementare.

Există următoarele transformări elementare:

1) Siruri de caractere matrici poate sa rearanja locuri. De exemplu, în matricea luată în considerare, puteți rearanja în siguranță primul și al doilea rând:

2) Dacă există (sau au apărut) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci urmează șterge din matrice, toate aceste rânduri cu excepția unuia. Luați în considerare, de exemplu, matricea . În această matrice, ultimele trei rânduri sunt proporționale, deci este suficient să lăsați doar unul dintre ele: .

3) Dacă în matrice a apărut un rând zero în timpul transformărilor, atunci urmează și acesta șterge. Nu voi desena, desigur, linia zero este linia în care doar zerouri.

4) Rândul matricei poate fi înmulțire (împărțire) pentru orice număr diferit de zero. Luați în considerare, de exemplu, matricea. Aici este recomandabil să împărțiți prima linie cu -3 și să înmulțiți a doua linie cu 2: . Această acțiune este foarte utilă, deoarece simplifică transformările ulterioare ale matricei.

5) Această transformare provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt nici nu este nimic complicat. La rândul matricei, puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero. Luați în considerare matricea noastră dintr-un exemplu practic: . În primul rând, voi descrie transformarea în detaliu. Înmulțiți primul rând cu -2: , și la a doua linie adăugăm prima linie înmulțită cu -2: . Acum prima linie poate fi împărțită „înapoi” cu -2: . După cum puteți vedea, linia care este ADAUGĂ LI – nu s-a schimbat. Mereu linia este schimbată, LA CARE SE ADAUGĂ UT.

În practică, desigur, ei nu pictează atât de detaliat, ci scriu mai scurt: Încă o dată: la a doua linie a adăugat primul rând înmulțit cu -2. Linia este de obicei înmulțită oral sau pe o ciornă, în timp ce cursul mental al calculelor este cam așa:

„Rescriu matricea și rescriu primul rând: »

Prima coloană mai întâi. Mai jos trebuie să obțin zero. Prin urmare, înmulțesc unitatea de mai sus cu -2: și adaug prima la a doua linie: 2 + (-2) = 0. Scriu rezultatul în a doua linie: »

„Acum a doua coloană. Peste -1 ori -2: . Adaug primul la a doua linie: 1 + 2 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Și a treia coloană. Peste -5 ori -2: . Adaug prima linie la a doua linie: -7 + 10 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

Vă rugăm să vă gândiți cu atenție la acest exemplu și să înțelegeți algoritmul de calcul secvenţial, dacă înțelegeți acest lucru, atunci metoda Gauss este practic „în buzunar”. Dar, desigur, încă lucrăm la această transformare.

Transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații

! ATENŢIE: manipulări considerate Nu pot folosi, dacă vi se oferă o sarcină în care matricele sunt date „de la sine”. De exemplu, cu „clasic” matriciîn niciun caz nu trebuie să rearanjați ceva în interiorul matricelor! Să revenim la sistemul nostru. E practic ruptă în bucăți.

Să scriem matricea augmentată a sistemului și, folosind transformări elementare, să o reducem la vedere în trepte:

(1) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Și din nou: de ce înmulțim primul rând cu -2? Pentru a obține zero în partea de jos, ceea ce înseamnă a scăpa de o variabilă din a doua linie.

(2) Împărțiți al doilea rând la 3.

Scopul transformărilor elementare – convertiți matricea în formă de pas: . În proiectarea sarcinii, ei desenează direct „scara” cu un creion simplu și, de asemenea, încercuiesc numerele care se află pe „trepte”. Termenul „vedere în trepte” în sine nu este în întregime teoretic; în literatura științifică și educațională, este adesea numit vedere trapezoidală sau vedere triunghiulară.

Ca urmare a unor transformări elementare, am obţinut echivalent sistemul original de ecuații:

Acum sistemul trebuie să fie „destors” în direcția opusă - de jos în sus, acest proces este numit metoda Gauss inversă.

În ecuația inferioară, avem deja rezultatul final: .

Luați în considerare prima ecuație a sistemului și înlocuiți valoarea deja cunoscută a lui „y” în ea:

Să luăm în considerare cea mai comună situație, când metoda Gaussiană este necesară pentru a rezolva un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Exemplul 1

Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss:

Să scriem matricea augmentată a sistemului:

Acum voi desena imediat rezultatul la care vom ajunge în cursul soluției: Și repet, scopul nostru este să aducem matricea într-o formă în trepte folosind transformări elementare. De unde să începeți să luați măsuri?

Mai întâi, uită-te la numărul din stânga sus: Ar trebui să fie aproape întotdeauna aici unitate. În general, -1 (și uneori și alte numere) se potrivește, dar cumva s-a întâmplat în mod tradițional ca o unitate să fie de obicei plasată acolo. Cum se organizează o unitate? Ne uităm la prima coloană - avem o unitate terminată! Transformarea unu: schimbați prima și a treia linie:

Acum prima linie va rămâne neschimbată până la sfârșitul soluției. Acum bine.

Unitatea din stânga sus este organizată. Acum trebuie să obțineți zerouri în aceste locuri:

Zerourile se obțin doar cu ajutorul unei transformări „dificile”. În primul rând, ne ocupăm de a doua linie (2, -1, 3, 13). Ce trebuie făcut pentru a obține zero în prima poziție? Nevoie la a doua linie se adaugă prima linie înmulțită cu -2. Mental sau pe ciornă, înmulțim prima linie cu -2: (-2, -4, 2, -18). Și efectuăm în mod constant (din nou mental sau pe o schiță) adăugare, la a doua linie adăugăm prima linie, deja înmulțită cu -2:

Rezultatul este scris pe a doua linie:

În mod similar, avem de-a face cu a treia linie (3, 2, -5, -1). Pentru a obține zero în prima poziție, aveți nevoie la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu -3. Mental sau pe ciornă, înmulțim prima linie cu -3: (-3, -6, 3, -27). Și la a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu -3:

Rezultatul este scris pe a treia linie:

În practică, aceste acțiuni sunt de obicei efectuate verbal și scrise într-un singur pas:

Nu este nevoie să numărați totul deodată și în același timp. Ordinea calculelor și „inserarea” rezultatelor consistentși de obicei așa: mai întâi rescriem prima linie și ne umflam în liniște - CONSECUT și ATENT:
Și am luat deja în considerare cursul mental al calculelor în sine de mai sus.

În acest exemplu, acest lucru este ușor de făcut, împărțim a doua linie la -5 (deoarece toate numerele de acolo sunt divizibile cu 5 fără rest). În același timp, împărțim a treia linie la -2, deoarece cu cât numărul este mai mic, cu atât soluția este mai simplă:

În etapa finală a transformărilor elementare, trebuie să se obțină încă un zero aici:

Pentru asta la a treia linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu -2:
Încercați să analizați singur această acțiune - înmulțiți mental a doua linie cu -2 și efectuați adunarea.

Ultima acțiune efectuată este coafura rezultatului, împărțiți a treia linie la 3.

Ca rezultat al transformărilor elementare, s-a obținut un sistem original echivalent de ecuații liniare: Rece.

Acum intră în joc cursul invers al metodei gaussiene. Ecuațiile se „desfășoară” de jos în sus.

În a treia ecuație, avem deja rezultatul final:

Să ne uităm la a doua ecuație: . Semnificația lui „z” este deja cunoscută, astfel:

Și în sfârșit, prima ecuație: . „Y” și „Z” sunt cunoscute, problema este mică:

Răspuns:

După cum s-a remarcat în mod repetat, pentru orice sistem de ecuații, este posibil și necesar să se verifice soluția găsită, din fericire, aceasta nu este dificilă și rapidă.

Exemplul 2

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, o mostră de finisare și un răspuns la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că dvs curs de acțiune poate să nu coincidă cu cursul meu de acțiune, și aceasta este o caracteristică a metodei Gauss. Dar răspunsurile trebuie să fie aceleași!

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Acolo ar trebui să avem o unitate. Problema este că nu sunt deloc nimeni în prima coloană, așa că nimic nu poate fi rezolvat prin rearanjarea rândurilor. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Am facut asta: (1) La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu -1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu -1 și am efectuat adăugarea primei și a doua rânduri, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus „minus unu”, care ni se potrivește perfect. Cine vrea să obțină +1 poate efectua un gest suplimentar: înmulțiți prima linie cu -1 (schimbați-i semnul).

(2) Primul rând înmulțit cu 5 a fost adăugat celui de-al doilea rând, primul rând înmulțit cu 3 a fost adăugat celui de-al treilea rând.

(3) Prima linie a fost înmulțită cu -1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel, la a doua „treaptă, am avut unitatea dorită.

(4) A doua linie înmulțită cu 2 a fost adăugată la a treia linie.

(5) Al treilea rând a fost împărțit la 3.

Un semn rău care indică o eroare de calcul (mai rar o greșeală de scriere) este un rezultat „reu”. Adică, dacă avem ceva ca mai jos și, în consecință, , apoi cu un grad mare de probabilitate se poate susține că s-a făcut o eroare în cursul transformărilor elementare.

Încărcăm mișcarea inversă, în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, iar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. Da, iată un cadou:

Răspuns: .

Exemplul 4

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, este ceva mai complicat. Este în regulă dacă cineva se încurcă. Soluție completă și eșantion de proiectare la sfârșitul lecției. Soluția ta poate diferi de a mea.

În ultima parte, luăm în considerare câteva caracteristici ale algoritmului Gauss. Prima caracteristică este că uneori unele variabile lipsesc din ecuațiile sistemului, de exemplu: Cum se scrie corect matricea augmentată a sistemului? Despre acest moment am vorbit deja în lecție. regula lui Cramer. Metoda matricei. În matricea extinsă a sistemului, punem zerouri în locul variabilelor lipsă: Apropo, acesta este un exemplu destul de ușor, deoarece există deja un zero în prima coloană și sunt mai puține transformări elementare de efectuat.

A doua caracteristică este aceasta. În toate exemplele luate în considerare, am plasat fie –1, fie +1 pe „pași”. Ar putea fi alte numere? În unele cazuri pot. Luați în considerare sistemul: .

Aici, în „treapta” din stânga sus avem un deuce. Dar observăm faptul că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2 fără rest - și alte două și șase. Iar zeul din stânga sus ni se va potrivi! La primul pas, trebuie să efectuați următoarele transformări: adăugați prima linie înmulțită cu -1 la a doua linie; la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu -3. Astfel, vom obține zerourile dorite în prima coloană.

Sau un alt exemplu ipotetic: . Aici, triplul de pe a doua „treaptă” ni se potrivește, deoarece 12 (locul în care trebuie să obținem zero) este divizibil cu 3 fără rest. Este necesar să se efectueze următoarea transformare: la a treia linie, se adaugă a doua linie, înmulțită cu -4, în urma căreia se va obține zeroul de care avem nevoie.

Metoda Gauss este universală, dar există o particularitate. Puteți învăța cu încredere cum să rezolvați sisteme prin alte metode (metoda lui Cramer, metoda matricei) literalmente de la prima dată - există un algoritm foarte rigid. Dar pentru a te simți încrezător în metoda Gauss, ar trebui să „ți umple mâna” și să rezolvi cel puțin 5-10 zece sisteme. Prin urmare, la început pot exista confuzii, erori în calcule și nu este nimic neobișnuit sau tragic în asta.

Vreme ploioasă de toamnă în afara ferestrei .... Prin urmare, pentru toată lumea, un exemplu mai complex pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de 4 ecuații liniare cu patru necunoscute folosind metoda Gauss.

O astfel de sarcină în practică nu este atât de rară. Cred că până și un ceainic care a studiat această pagină în detaliu înțelege algoritmul pentru rezolvarea unui astfel de sistem în mod intuitiv. Practic la fel - doar mai multă acțiune.

Cazurile în care sistemul nu are soluții (inconsecvente) sau are infinit de soluții sunt luate în considerare în lecție. Sisteme și sisteme incompatibile cu o soluție comună. Acolo puteți repara algoritmul considerat al metodei Gauss.

Iti doresc noroc!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Decizie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.
Transformări elementare efectuate: (1) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -1. Atenţie! Aici poate fi tentant să scădeți primul din a treia linie, nu recomand cu tărie să scădeți - riscul de eroare crește foarte mult. Doar ne pliăm! (2) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu -1). A doua și a treia linie au fost schimbate. Notă că pe „trepte” ne mulțumim nu numai cu unul, ci și cu -1, ceea ce este și mai convenabil. (3) La a treia linie, se adaugă a doua linie, înmulțită cu 5. (4) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu -1). A treia linie a fost împărțită la 14.

Mișcare inversă:

Răspuns : .

Exemplul 4: Decizie : Să scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Conversii efectuate: (1) A doua linie a fost adăugată la prima linie. Astfel, unitatea dorită este organizată în „treapta” din stânga sus. (2) Primul rând înmulțit cu 7 a fost adăugat celui de-al doilea rând, primul rând înmulțit cu 6 a fost adăugat celui de-al treilea rând.

Cu al doilea „pas” totul este mai rău , „candidații” pentru aceasta sunt numerele 17 și 23 și avem nevoie fie de unul, fie de -1. Transformările (3) și (4) vor avea ca scop obținerea unității dorite (3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -1. (4) A treia linie, înmulțită cu -3, a fost adăugată la a doua linie. Lucrul necesar la a doua treaptă este primit . (5) La al treilea rând se adaugă al doilea, înmulțit cu 6. (6) Al doilea rând a fost înmulțit cu -1, al treilea rând a fost împărțit cu -83.

Mișcare inversă:

Răspuns :

Exemplul 5: Decizie : Să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă treptat:

Conversii efectuate: (1) Prima și a doua linie au fost schimbate. (2) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -2. Prima linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu -3. (3) A doua linie înmulțită cu 4 a fost adăugată la a treia linie, a doua linie înmulțită cu -1 a fost adăugată la a patra linie. (4) Semnul celui de-al doilea rând a fost schimbat. A patra linie a fost împărțită la 3 și plasată în loc de a treia linie. (5) A treia linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu -5.

Mișcare inversă:

Răspuns :

Să fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare, care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor хi care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate).

Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:

1) Nu au soluții (fi incompatibil).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o soluție unică.

După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, care în fiecare caz conduce-ne la raspuns! Algoritmul metodei în toate cele trei cazuri funcționează în același mod. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoașterea determinanților, atunci aplicarea metodei Gauss necesită cunoașterea doar a operațiilor aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și elevilor de școală primară.

Transformări matrice extinse ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) cu troky matrici poate sa rearanja locuri.

2) dacă există (sau sunt) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci urmează șterge din matrice, toate aceste rânduri cu excepția unuia.

3) dacă în matrice a apărut un rând zero în timpul transformărilor, atunci urmează și acesta șterge.

4) rândul matricei poate înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.

5) la rândul matricei, puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.

În metoda Gauss, transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații.

Metoda Gauss constă din două etape:

1. „Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a sistemului de ecuații algebrice liniare într-o formă în trepte „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasarea de sus în jos) ). De exemplu, la acest tip:

Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:

1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul la x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienți pentru necunoscute, inclusiv termeni liberi) la coeficientul pentru necunoscut x 1, care se află în fiecare ecuație, și înmulțim cu K. După aceea, scădem prima din a doua ecuație ( coeficienţi pentru necunoscute şi termeni liberi). Obținem la x 1 din a doua ecuație coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație, deci până când toate ecuațiile, cu excepția primei, cu necunoscut x 1 nu vor avea coeficient 0.

2) Treceți la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul de la x 2 este egal cu M. Cu toate ecuațiile „subordonate”, procedăm așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 în toate ecuațiile vor fi zerouri.

3) Trecem la următoarea ecuație și așa mai departe până rămâne un ultim termen liber necunoscut și transformat.

1. „Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”). Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n \u003d B. În exemplul de mai sus, x 3 \u003d 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 - 4 \u003d 1, adică x 2 \u003d 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.

Exemplu.

Rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:

Să scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Acolo ar trebui să avem o unitate. Problema este că nu sunt deloc nimeni în prima coloană, așa că nimic nu poate fi rezolvat prin rearanjarea rândurilor. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Hai să o facem așa:
1 pas . La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu -1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu -1 și am efectuat adăugarea primei și a doua rânduri, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus „minus unu”, care ni se potrivește perfect. Cine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu -1 (schimbați-i semnul).

2 pas . Prima linie înmulțită cu 5 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 3 a fost adăugată la a treia linie.

3 pas . Prima linie a fost înmulțită cu -1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel, la a doua „treaptă, am avut unitatea dorită.

4 pas . La a treia linie, adăugați a doua linie, înmulțită cu 2.

5 pas . A treia linie este împărțită la 3.

Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 | 23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o greșeală în timpul elementului transformări.

Efectuăm o mișcare inversă, în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, iar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează „de jos în sus”. În acest exemplu, cadoul a rezultat:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, prin urmare x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Răspuns:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțim a doua ecuație cu 5 și a treia cu 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțiți a treia ecuație la 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Scădeți a doua ecuație din a treia ecuație, obținem matricea augmentată „în trepte”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, deoarece o eroare acumulată în procesul de calcule, obținem x 3 \u003d 0,96, sau aproximativ 1.

x 2 \u003d 3 și x 1 \u003d -1.

Rezolvând astfel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.

Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont de caracteristicile specifice ale coeficienților pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți neîntregi.

Iti doresc noroc! Ne vedem la ore! Tutore.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Încă de la începutul secolelor XVI-XVIII, matematicienii au început să studieze intens funcțiile, datorită cărora s-au schimbat atât de multe în viața noastră. Tehnologia informatică fără aceste cunoștințe pur și simplu nu ar exista. Pentru a rezolva probleme complexe, ecuații și funcții liniare, au fost create diverse concepte, teoreme și tehnici de rezolvare. Una dintre astfel de metode și tehnici universale și raționale de rezolvare a ecuațiilor liniare și a sistemelor lor a fost metoda Gauss. Matrici, rangul lor, determinant - totul poate fi calculat fără a utiliza operații complexe.

Ce este SLAU

În matematică, există conceptul de SLAE - un sistem de ecuații algebrice liniare. Ce reprezintă ea? Acesta este un set de m ecuații cu n necunoscute necesare, de obicei notate ca x, y, z sau x 1 , x 2 ... x n sau alte simboluri. A rezolva acest sistem prin metoda Gauss înseamnă a găsi toate necunoscutele necunoscute. Dacă un sistem are același număr de necunoscute și ecuații, atunci se numește sistem de ordin al n-lea.

Cele mai populare metode de rezolvare a SLAE

În instituțiile de învățământ din învățământul secundar sunt studiate diverse metode de rezolvare a unor astfel de sisteme. Cel mai adesea, acestea sunt ecuații simple formate din două necunoscute, așa că orice metodă existentă pentru a găsi răspunsul la acestea nu va dura mult timp. Poate fi ca o metodă de substituție, când o altă ecuație este derivată dintr-o ecuație și substituită în cea originală. Sau termen cu termen scădere și adunare. Dar metoda Gauss este considerată cea mai ușoară și universală. Face posibilă rezolvarea ecuațiilor cu orice număr de necunoscute. De ce această tehnică este considerată rațională? Totul este simplu. Metoda matricei este bună pentru că nu necesită de mai multe ori să rescrieți caractere inutile sub formă de necunoscute, este suficient să faceți operații aritmetice pe coeficienți - și veți obține un rezultat fiabil.

Unde sunt utilizate SLAE-urile în practică?

Soluția SLAE sunt punctele de intersecție a dreptelor de pe graficele funcțiilor. În era noastră de computere de înaltă tehnologie, oamenii care sunt implicați îndeaproape în dezvoltarea de jocuri și alte programe trebuie să știe cum să rezolve astfel de sisteme, ce reprezintă acestea și cum să verifice corectitudinea rezultatului rezultat. Cel mai adesea, programatorii dezvoltă calculatoare speciale de algebră liniară, care include un sistem de ecuații liniare. Metoda Gauss vă permite să calculați toate soluțiile existente. Sunt utilizate și alte formule și tehnici simplificate.

Criteriul de compatibilitate SLAE

Un astfel de sistem poate fi rezolvat doar dacă este compatibil. Pentru claritate, prezentăm SLAE sub forma Ax=b. Are o soluție dacă rang(A) este egal cu rang(A,b). În acest caz, (A,b) este o matrice de formă extinsă care poate fi obținută din matricea A prin rescrierea ei cu termeni liberi. Se pare că rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda Gauss este destul de ușoară.

Poate că o notație nu este complet clară, așa că este necesar să luăm în considerare totul cu un exemplu. Să presupunem că există un sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Este format din doar două ecuații în care există 2 necunoscute. Sistemul va avea o soluție numai dacă rangul matricei sale este egal cu rangul matricei augmentate. Ce este un rang? Acesta este numărul de linii independente ale sistemului. În cazul nostru, rangul matricei este 2. Matricea A va consta din coeficienții aflați în apropierea necunoscutelor, iar coeficienții din spatele semnului „=” se vor potrivi, de asemenea, în matricea extinsă.

De ce SLAE poate fi reprezentat sub formă de matrice

Pe baza criteriului de compatibilitate conform teoremei dovedite Kronecker-Capelli, sistemul de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice. Folosind metoda cascadei gaussiene, puteți rezolva matricea și puteți obține singurul răspuns de încredere pentru întregul sistem. Dacă rangul unei matrice obișnuite este egal cu rangul matricei sale extinse, dar mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de răspunsuri.

Transformări de matrice

Înainte de a trece la rezolvarea matricelor, este necesar să știm ce acțiuni pot fi efectuate asupra elementelor acestora. Există mai multe transformări elementare:

• Prin rescrierea sistemului într-o formă de matrice și efectuând soluția acestuia, este posibil să se înmulțească toate elementele seriei cu același coeficient.
• Pentru a converti o matrice în formă canonică, două rânduri paralele pot fi schimbate. Forma canonică implică faptul că toate elementele matricei care sunt situate de-a lungul diagonalei principale devin una, iar cele rămase devin zerouri.
• Elementele corespunzătoare ale rândurilor paralele ale matricei pot fi adăugate una la alta.

metoda Jordan-Gauss

Esența rezolvării sistemelor de ecuații liniare omogene și neomogene prin metoda Gauss este eliminarea treptat a necunoscutelor. Să presupunem că avem un sistem de două ecuații în care există două necunoscute. Pentru a le găsi, trebuie să verificați compatibilitatea sistemului. Ecuația lui Gauss este rezolvată foarte simplu. Este necesar să scrieți coeficienții aflați lângă fiecare necunoscută într-o formă de matrice. Pentru a rezolva sistemul, trebuie să scrieți matricea augmentată. Dacă una dintre ecuații conține un număr mai mic de necunoscute, atunci trebuie pus „0” în locul elementului lipsă. Toate metodele de transformare cunoscute sunt aplicate matricei: înmulțirea, împărțirea cu un număr, adăugarea elementelor corespunzătoare ale rândurilor între ele și altele. Se pare că în fiecare rând este necesar să lăsați o variabilă cu valoarea „1”, restul ar trebui redus la zero. Pentru o înțelegere mai precisă, este necesar să luăm în considerare metoda Gauss cu exemple.

Un exemplu simplu de rezolvare a unui sistem 2x2

Pentru început, să luăm un sistem simplu de ecuații algebrice, în care vor exista 2 necunoscute.

Să-l rescriem într-o matrice augmentată.

Pentru a rezolva acest sistem de ecuații liniare sunt necesare doar două operații. Trebuie să aducem matricea la forma canonică, astfel încât să existe unități de-a lungul diagonalei principale. Deci, transpunând din forma matricei înapoi în sistem, obținem ecuațiile: 1x+0y=b1 și 0x+1y=b2, unde b1 și b2 sunt răspunsurile obținute în procesul de rezolvare.

1. Primul pas în rezolvarea matricei augmentate va fi următorul: primul rând trebuie înmulțit cu -7 și, respectiv, elementele corespunzătoare adăugate celui de-al doilea rând, pentru a scăpa de o necunoscută din a doua ecuație.
2. Deoarece rezolvarea ecuațiilor prin metoda Gauss presupune aducerea matricei la forma canonică, atunci este necesar să se facă aceleași operații cu prima ecuație și să se elimine a doua variabilă. Pentru a face acest lucru, scădem a doua linie din prima și obținem răspunsul necesar - soluția SLAE. Sau, așa cum se arată în figură, înmulțim al doilea rând cu un factor de -1 și adăugăm elementele celui de-al doilea rând la primul rând. Asta e lafel.

După cum puteți vedea, sistemul nostru este rezolvat prin metoda Jordan-Gauss. O rescriem în forma cerută: x=-5, y=7.

Un exemplu de rezolvare a SLAE 3x3

Să presupunem că avem un sistem mai complex de ecuații liniare. Metoda Gauss face posibilă calcularea răspunsului chiar și pentru sistemul cel mai aparent confuz. Prin urmare, pentru a aprofunda metodologia de calcul, putem trece la un exemplu mai complex cu trei necunoscute.

Ca și în exemplul anterior, rescriem sistemul sub forma unei matrice extinse și începem să-l aducem la forma canonică.

Pentru a rezolva acest sistem, va trebui să efectuați mult mai multe acțiuni decât în ​​exemplul anterior.

1. Mai întâi trebuie să faceți în prima coloană un singur element și restul zerouri. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu -1 și adăugați a doua ecuație la ea. Este important să ne amintim că rescriem prima linie în forma sa originală, iar a doua - deja într-o formă modificată.
2. În continuare, eliminăm aceeași primă necunoscută din a treia ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele primului rând cu -2 și le adăugăm la al treilea rând. Acum, prima și a doua linie sunt rescrise în forma lor originală, iar a treia - deja cu modificări. După cum puteți vedea din rezultat, am primit primul la începutul diagonalei principale a matricei, iar restul sunt zerouri. Încă câteva acțiuni și sistemul de ecuații prin metoda Gauss va fi rezolvat în mod fiabil.
3. Acum trebuie să faceți operații pe alte elemente ale rândurilor. Al treilea și al patrulea pas pot fi combinați într-unul singur. Trebuie să împărțim a doua și a treia linie la -1 pentru a scăpa de cele negative de pe diagonală. Am adus deja a treia linie la forma necesară.
4. În continuare, canonizăm a doua linie. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele celui de-al treilea rând cu -3 și le adăugăm la a doua linie a matricei. Din rezultat se vede că a doua linie se reduce și la forma de care avem nevoie. Rămâne să mai faci câteva operații și să scoți coeficienții necunoscutelor din primul rând.
5. Pentru a face 0 din al doilea element al rândului, trebuie să înmulțiți al treilea rând cu -3 și să îl adăugați la primul rând.
6. Următorul pas decisiv este adăugarea elementelor necesare din al doilea rând la primul rând. Deci obținem forma canonică a matricei și, în consecință, răspunsul.

După cum puteți vedea, soluția ecuațiilor prin metoda Gauss este destul de simplă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații 4x4

Unele sisteme de ecuații mai complexe pot fi rezolvate prin metoda Gaussiană folosind programe de calculator. Este necesar să introduceți coeficienți pentru necunoscute în celulele goale existente, iar programul va calcula rezultatul necesar pas cu pas, descriind fiecare acțiune în detaliu.

Instrucțiunile pas cu pas pentru rezolvarea unui astfel de exemplu sunt descrise mai jos.

În primul pas, coeficienții liberi și numerele pentru necunoscute sunt introduse în celulele goale. Astfel, obținem aceeași matrice augmentată pe care o scriem manual.

Și toate operațiile aritmetice necesare sunt efectuate pentru a aduce matricea extinsă la forma canonică. Trebuie înțeles că răspunsul la un sistem de ecuații nu este întotdeauna numere întregi. Uneori, soluția poate fi din numere fracționale.

Verificarea corectitudinii solutiei

Metoda Jordan-Gauss prevede verificarea corectitudinii rezultatului. Pentru a afla dacă coeficienții sunt calculați corect, trebuie doar să înlocuiți rezultatul în sistemul original de ecuații. Partea stângă a ecuației trebuie să se potrivească cu partea dreaptă, care se află în spatele semnului egal. Dacă răspunsurile nu se potrivesc, atunci trebuie să recalculați sistemul sau să încercați să aplicați o altă metodă de rezolvare a SLAE cunoscută de dvs., cum ar fi înlocuirea sau scăderea și adunarea termen cu termen. La urma urmei, matematica este o știință care are un număr mare de metode diferite de rezolvare. Dar rețineți: rezultatul ar trebui să fie întotdeauna același, indiferent de metoda de soluție pe care ați folosit-o.

Metoda Gauss: cele mai frecvente erori în rezolvarea SLAE

În timpul rezolvării sistemelor liniare de ecuații, apar cel mai adesea erori, cum ar fi transferul incorect al coeficienților într-o formă de matrice. Există sisteme în care unele necunoscute lipsesc într-una dintre ecuații, apoi, transferând datele în matricea extinsă, acestea se pot pierde. Ca urmare, la rezolvarea acestui sistem, rezultatul poate să nu corespundă cu cel real.

O altă greșeală principală poate fi scrierea incorectă a rezultatului final. Trebuie să se înțeleagă clar că primul coeficient va corespunde primei necunoscute din sistem, al doilea - celui de-al doilea și așa mai departe.

Metoda Gauss descrie în detaliu soluția ecuațiilor liniare. Datorită lui, este ușor să efectuați operațiunile necesare și să găsiți rezultatul potrivit. În plus, acesta este un instrument universal pentru a găsi un răspuns de încredere la ecuații de orice complexitate. Poate de aceea este atât de des folosit în rezolvarea SLAE.