- se calculează determinantul matricei A;
- prin adunări algebrice se găsește matricea inversă A -1;
- se creează un șablon de soluție în Excel;
Instruire. Pentru a obține o soluție prin metoda matricei inverse, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, în noua casetă de dialog, completați matricea A și vectorul rezultat B .
Vezi și Rezolvarea ecuațiilor matriceale.Algoritm de rezolvare
- Se calculează determinantul matricei A. Dacă determinantul este zero, atunci sfârșitul soluției. Sistemul are un număr infinit de soluții.
- Când determinantul este diferit de zero, matricea inversă A -1 se găsește prin adunări algebrice.
- Vectorul de decizie X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) se obține prin înmulțirea matricei inverse cu vectorul rezultat B .
Adunări algebrice.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Examinare:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Tema 2. SISTEME DE ECUATII ALGEBRICE LINEARE.
Noțiuni de bază.
Definiția 1. sistem m ecuații liniare cu n necunoscut este un sistem de forma:
unde și sunt numere.
Definiția 2. Soluția sistemului (I) este un astfel de set de necunoscute, în care fiecare ecuație a acestui sistem se transformă într-o identitate.
Definiția 3. Sistemul (I) este numit comun dacă are cel puţin o soluţie şi incompatibil daca nu are solutii. Sistemul articular este numit anumit dacă are o soluție unică și incert in caz contrar.
Definiția 4. Tip ecuație
numit zero, și o ecuație a formei
numit incompatibil. Evident, un sistem de ecuații care conține o ecuație inconsistentă este inconsistent.
Definiția 5. Cele două sisteme de ecuații liniare se numesc echivalent dacă fiecare soluție a unui sistem este o soluție a altuia și, invers, fiecare soluție a celui de-al doilea sistem este o soluție a primului.
Notație matriceală pentru un sistem de ecuații liniare.
Luați în considerare sistemul (I) (vezi §1).
Denota:
Matricea coeficienților pentru necunoscute
Matrice - coloana de membri liberi
Matrice - coloana de necunoscute
.
Definiția 1. Matricea se numește matricea principală a sistemului(I), iar matricea este matricea augmentată a sistemului (I).
După definiția egalității matriceale, sistemul (I) corespunde egalității matriceale:
.
Partea dreaptă a acestei egalități prin definiția produsului matricelor ( vezi definiția 3 § 5 capitolul 1) poate fi factorizat:
, adică
Egalitate (2) numit notația matricială a sistemului (I).
Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda lui Cramer.
Lăsați sistemul (I) (vezi §1) m=n, adică numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, iar matricea principală a sistemului este nedegenerată, adică. . Atunci sistemul (I) din §1 are o soluție unică
unde ∆ = det A numit principal determinant de sistem(I), ∆ i se obţine din determinantul Δ prin înlocuire i-a coloană la coloana membrilor liberi ai sistemului (I).
Exemplu. Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer:
.
Prin formule (3)
.
Calculăm determinanții sistemului:
,
,
.
Pentru a obține determinantul, am înlocuit prima coloană din determinant cu o coloană de termeni liberi; înlocuind a 2-a coloană din determinant cu o coloană de membri liberi, obținem ; în mod similar, înlocuind a 3-a coloană din determinant cu o coloană de membri liberi, obținem . Soluție de sistem:
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind o matrice inversă.
Lăsați sistemul (I) (vezi §1) m=n iar matricea principală a sistemului este nedegenerată. Scriem sistemul (I) sub formă de matrice ( vezi §2):
deoarece matrice A este nedegenerată, atunci are o matrice inversă ( vezi Teorema 1 §6 din Capitolul 1). Înmulțiți ambele părți ale ecuației (2) la matrice, atunci
Prin definiţia matricei inverse . Din egalitate (3) noi avem
Rezolvați sistemul folosind matricea inversă
.
Denota
În exemplul (§ 3) am calculat determinantul, deci matricea A are o matrice inversă. Apoi in vigoare (4) , adică
. (5)
Găsiți matricea ( vezi §6 capitolul 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
metoda Gauss.
Să fie dat sistemul de ecuații liniare:
. (eu)
Este necesar să găsiți toate soluțiile sistemului (I) sau să vă asigurați că sistemul este inconsecvent.
Definiția 1.Să numim transformarea elementară a sistemului(I) oricare dintre cele trei acțiuni:
1) ștergerea ecuației zero;
2) adunarea la ambele părți ale ecuației a părților corespunzătoare ale celeilalte ecuații, înmulțite cu numărul l;
3) schimbarea termenilor în ecuațiile sistemului astfel încât necunoscutele cu aceleași numere în toate ecuațiile să ocupe aceleași locuri, i.e. dacă, de exemplu, în prima ecuație am schimbat termenii 2 și 3, atunci același lucru trebuie făcut în toate ecuațiile sistemului.
Metoda Gauss constă în faptul că sistemul (I) cu ajutorul transformărilor elementare se reduce la un sistem echivalent, a cărui soluție se găsește direct sau se stabilește insolubilitatea acestuia.
După cum este descris în §2, sistemul (I) este determinat în mod unic de matricea sa extinsă și orice transformare elementară a sistemului (I) corespunde unei transformări elementare a matricei extinse:
.
Transformarea 1) corespunde cu ștergerea rândului zero din matrice, transformarea 2) echivalează cu adăugarea la rândul corespunzător al matricei celuilalt rând înmulțit cu numărul l, transformarea 3) echivalează cu rearanjarea coloanelor din matrice.
Este lesne de observat că, dimpotrivă, fiecărei transformări elementare a matricei îi corespunde o transformare elementară a sistemului (I). Având în vedere cele spuse, în loc de operații cu sistemul (I), vom lucra cu matricea augmentată a acestui sistem.
În matrice, prima coloană este formată din coeficienți la x 1, coloana a 2-a - din coeficienții la x 2 etc. În cazul reamenajării coloanelor, trebuie avut în vedere că această condiție este încălcată. De exemplu, dacă schimbăm prima și a doua coloană, atunci acum în prima coloană vor fi coeficienți la x 2, iar în coloana a 2-a - coeficienți la x 1.
Vom rezolva sistemul (I) prin metoda Gauss.
1. Taiați toate rândurile cu zero din matrice, dacă există (adică, tăiați toate ecuațiile cu zero din sistemul (I).
2. Verificați dacă între rândurile matricei există un rând în care toate elementele cu excepția ultimului sunt egale cu zero (să numim un astfel de rând inconsecvent). Evident, o astfel de linie corespunde unei ecuații inconsistente în sistemul (I), prin urmare, sistemul (I) nu are soluții și aici se termină procesul.
3. Fie ca matricea să nu conțină rânduri inconsistente (sistemul (I) nu conține ecuații inconsistente). În cazul în care un a 11 =0, atunci găsim în primul rând un element (cu excepția ultimului) care este diferit de zero și rearanjam coloanele astfel încât să nu existe zero în rândul 1 pe locul 1. Presupunem acum că (adică schimbăm termenii corespunzători în ecuațiile sistemului (I)).
4. Înmulțiți primul rând cu și adăugați rezultatul la al 2-lea rând, apoi înmulțiți primul rând cu și adăugați rezultatul la al 3-lea rând etc. Evident, acest proces echivalează cu eliminarea necunoscutului x 1 din toate ecuațiile sistemului (I), cu excepția primei. În noua matrice, obținem zerouri în prima coloană de sub element un 11:
.
5. Taiați toate rândurile zero din matrice, dacă există, verificați dacă există un rând inconsecvent (dacă există, atunci sistemul este inconsecvent și soluția se termină acolo). Să verificăm dacă a 22 / =0, dacă da, atunci găsim un element în al 2-lea rând care este diferit de zero și rearanjam coloanele astfel încât . În continuare, înmulțim elementele celui de-al doilea rând cu 
și se adaugă cu elementele corespunzătoare din al 3-lea rând, apoi - elementele din al 2-lea rând pe și se adaugă cu elementele corespunzătoare din al 4-lea rând etc., până când obținem zerouri sub a 22 /
.
Acțiunile efectuate sunt echivalente cu eliminarea necunoscutului x 2 din toate ecuațiile sistemului (I), cu excepția primei și a doua. Deoarece numărul de rânduri este finit, prin urmare, după un număr finit de pași, vom obține că fie sistemul este inconsecvent, fie vom ajunge la o matrice de pași ( vezi definiția 2 §7 capitolul 1) :
,
Să notăm sistemul de ecuații corespunzător matricei. Acest sistem este echivalent cu sistemul (I)
.
Din ultima ecuație exprimăm ; substituim în ecuația anterioară, găsim etc., până când obținem .
Observație 1. Astfel, când rezolvăm sistemul (I) prin metoda Gauss, ajungem la unul din următoarele cazuri.
1. Sistemul (I) este inconsecvent.
2. Sistemul (I) are o soluție unică dacă numărul de rânduri din matrice este egal cu numărul de necunoscute ().
3. Sistemul (I) are un număr infinit de soluții dacă numărul de rânduri din matrice este mai mic decât numărul de necunoscute ().
Prin urmare, următoarea teoremă este valabilă.
Teorema. Sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent, fie are o soluție unică, fie există un set infinit de soluții.
Exemple. Rezolvați sistemul de ecuații prin metoda Gauss sau demonstrați inconsecvența acestuia:
b) 
;
a) Să rescriem sistemul dat sub forma:
.
Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului original pentru a simplifica calculele (în loc de fracții, vom opera numai cu numere întregi folosind o astfel de permutare).
Compunem o matrice extinsă:
.
Nu există linii nule; fără linii incompatibile, ; excludem prima necunoscută din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele din primul rând al matricei cu „-2” și le adăugăm la elementele corespunzătoare din al doilea rând, ceea ce este echivalent cu înmulțirea primei ecuații cu „-2” și adăugarea acesteia la a 2-a ecuație. Apoi înmulțim elementele din primul rând cu „-3” și le adăugăm la elementele corespunzătoare din al treilea rând, adică. înmulțiți a 2-a ecuație a sistemului dat cu „-3” și adăugați-o la a 3-a ecuație. obține
.
Matricea corespunde unui sistem de ecuaţii). - (vezi Definiția 3 § 7 din Capitolul 1).
Sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute numit un sistem al formei
Unde aijși b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n- necunoscut. În notarea coeficienţilor aij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j este numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.
Coeficienții pentru necunoscute se vor scrie sub forma unei matrice 
, pe care o vom numi matricea sistemului.
Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor b 1 ,…,b m numit membri liberi.
Agregat n numere c 1 ,…,c n numit decizie a acestui sistem, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.
Sarcina noastră va fi să găsim soluții pentru sistem. În acest caz, pot apărea trei situații:
Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci se numește incompatibil.
Luați în considerare modalități de a găsi soluții pentru sistem.
METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVARE A SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE
Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:
Luați în considerare matricea sistemului 
și coloane matrice de membri necunoscuți și liberi 
Să găsim produsul
acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris ca
sau mai scurt A∙X=B.
Aici matrice Ași B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Ea trebuie găsită, pentru că. elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.
Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei A: . În măsura în care A -1 A = Eși E∙X=X, apoi obținem soluția ecuației matriceale în forma X = A -1 B .
Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații este același cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, notația matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea A nu este pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.
Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații.
REGULA LUI CRAMER
Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:
Determinant de ordinul trei corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți la necunoscute,
numit determinant de sistem.
Mai compunem trei determinanti astfel: inlocuim succesiv 1, 2 si 3 coloane in determinantul D cu o coloana de termeni liberi
Apoi putem demonstra următorul rezultat.
Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului este Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și
Dovada. Deci, luați în considerare un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Înmulțiți prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație - pe A21și al 3-lea - pe A 31:
Să adăugăm aceste ecuații:
Luați în considerare fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în ceea ce privește elementele coloanei I
În mod similar, se poate demonstra că și .
În sfârșit, este ușor să vezi asta 
Astfel, obținem egalitatea: .
Prin urmare, .
Egalitățile și sunt derivate în mod similar, de unde urmează afirmația teoremei.
Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului este Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și invers. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are un set infinit de soluții, fie nu are soluții, adică. incompatibil.
Exemple. Rezolvați un sistem de ecuații
METODA GAUSS
Metodele considerate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gaussiană este mai universală și este potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea succesivă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului.
Să considerăm din nou un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:
.
Lăsăm prima ecuație neschimbată, iar din a 2-a și a 3-a excludem termenii care conțin x 1. Pentru a face acest lucru, împărțim a doua ecuație la A 21 și înmulțiți cu - A 11 și apoi se adună cu prima ecuație. În mod similar, împărțim a treia ecuație în A 31 și înmulțiți cu - A 11 și apoi adăugați-l la primul. Ca rezultat, sistemul original va lua forma:
Acum, din ultima ecuație, eliminăm termenul care conține x2. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație cu , înmulțiți cu și adăugați-o la a doua. Atunci vom avea un sistem de ecuații:
Prin urmare, din ultima ecuație este ușor de găsit x 3, apoi din a 2-a ecuație x2 si in sfarsit de la 1 - x 1.
Când se utilizează metoda Gaussiană, ecuațiile pot fi schimbate dacă este necesar.
Adesea, în loc să scrie un nou sistem de ecuații, ei se limitează la a scrie matricea extinsă a sistemului:
și apoi aduceți-o într-o formă triunghiulară sau diagonală folosind transformări elementare.
La transformări elementare matricele includ următoarele transformări:
- permutarea rândurilor sau coloanelor;
- înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;
- adăugând la o linie alte linii.
Exemple: Rezolvați sisteme de ecuații folosind metoda Gauss.
Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții.
Considera sistem de ecuații algebrice liniare(LENT) referitor la n necunoscut X 1 , X 2 , ..., X n :
Acest sistem într-o formă „pliată” poate fi scris după cum urmează:
S n i=1 A ij X j = b i , i=1,2, ..., n.
În conformitate cu regula înmulțirii matriceale, sistemul considerat de ecuații liniare poate fi scris în formă matriceală ax=b, Unde
,
,.
Matrice A, ale căror coloane sunt coeficienții pentru necunoscutele corespunzătoare, iar rândurile sunt coeficienții pentru necunoscutele din ecuația corespunzătoare se numește matricea sistemului. matricea coloanei b, ale cărei elemente sunt părțile corecte ale ecuațiilor sistemului, se numește matricea părții drepte sau pur și simplu partea dreaptă a sistemului. matricea coloanei X , ale cărui elemente sunt necunoscute necunoscute, se numește soluție de sistem.
Sistemul de ecuații algebrice liniare scris ca ax=b, este un ecuația matriceală.
Dacă matricea sistemului nedegenerat, atunci are o matrice inversă și apoi soluția sistemului ax=b este dat de formula:
x=A -1 b.
Exemplu Rezolvați sistemul 
metoda matricei.
Decizie găsiți matricea inversă pentru matricea coeficienților sistemului
Calculați determinantul prin extinderea pe primul rând:
În măsura în care Δ ≠ 0 , apoi A -1 exista.
Matricea inversă este găsită corect.
Să găsim o soluție la sistem 
Prin urmare, X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Examinare: 
7. Teorema Kronecker-Capelli privind compatibilitatea unui sistem de ecuații algebrice liniare.
Sistem de ecuații liniare se pare ca:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Aici sunt date a i j și b i (i = ; j = ), iar x j sunt numere reale necunoscute. Folosind conceptul de produs de matrici, putem rescrie sistemul (5.1) sub forma:
unde A = (a i j) este matricea formată din coeficienții necunoscutelor sistemului (5.1), care se numește matricea sistemului, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - vectori coloană compuși respectiv din x j necunoscuți și termeni liberi b i .
Colectare comandată n numerele reale (c 1 , c 2 ,..., c n) se numesc soluție de sistem(5.1) dacă în urma înlocuirii acestor numere în locul variabilelor corespunzătoare x 1 , x 2 ,..., x n fiecare ecuație a sistemului se transformă într-o identitate aritmetică; cu alte cuvinte, dacă există un vector C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T astfel încât AC B.
Sistemul (5.1) este numit comun, sau rezolvabil daca are cel putin o solutie. Sistemul este numit incompatibil, sau insolubil daca nu are solutii.
,
format prin atribuirea unei coloane de termeni liberi matricei A din dreapta, se numeste sistem de matrice extinsă.
Problema compatibilității sistemului (5.1) este rezolvată prin următoarea teoremă.
Teorema Kronecker-Capelli . Sistemul de ecuații liniare este consistent dacă și numai dacă rândurile matricelor A și A coincid, adică. r(A) = r(A) = r.
Pentru mulțimea M de soluții ale sistemului (5.1), există trei posibilități:
1) M = (în acest caz sistemul este inconsecvent);
2) M constă dintr-un element, adică sistemul are o soluție unică (în acest caz sistemul este numit anumit);
3) M este format din mai mult de un element (atunci sistemul este numit incert). În al treilea caz, sistemul (5.1) are un număr infinit de soluții.
Sistemul are o soluție unică numai dacă r(A) = n. În acest caz, numărul de ecuații nu este mai mic decât numărul de necunoscute (mn); dacă m>n, atunci m-n ecuații sunt consecințe ale restului. Daca 0 Pentru a rezolva un sistem arbitrar de ecuații liniare, trebuie să fii capabil să rezolvi sisteme în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, așa-numitele Sisteme de tip Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemele (5.3) se rezolvă în una din următoarele moduri: 1) prin metoda Gauss, sau prin metoda eliminării necunoscutelor; 2) după formulele lui Cramer; 3) prin metoda matricei. Exemplul 2.12. Investigați sistemul de ecuații și rezolvați-l dacă este compatibil: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Decizie. Scriem matricea extinsă a sistemului:
Să calculăm rangul matricei principale a sistemului. Este evident că, de exemplu, minorul de ordinul doi din colțul din stânga sus = 7 0; minorii de ordinul trei care îl conțin sunt egali cu zero: Prin urmare, rangul matricei principale a sistemului este 2, i.e. r(A) = 2. Pentru a calcula rangul matricei extinse A, se consideră minorul limită prin urmare, rangul matricei extinse este r(A) = 3. Deoarece r(A) r(A), sistemul este inconsecvent. (uneori această metodă este numită și metoda matricei sau metoda matricei inverse) necesită familiarizarea prealabilă cu un astfel de concept precum forma matriceală de scriere SLAE. Metoda matricei inverse este destinată rezolvării acelor sisteme de ecuații algebrice liniare pentru care determinantul matricei sistemului este diferit de zero. Desigur, acest lucru implică faptul că matricea sistemului este pătrată (conceptul de determinant există doar pentru matricele pătrate). Esența metodei matricei inverse poate fi exprimată în trei puncte: Orice SLAE poate fi scris sub formă de matrice ca $A\cdot X=B$, unde $A$ este matricea sistemului, $B$ este matricea termenilor liberi, $X$ este matricea necunoscutelor. Fie matricea $A^(-1)$ să existe. Înmulțiți ambele părți ale egalității $A\cdot X=B$ cu matricea $A^(-1)$ din stânga: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Deoarece $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ este matricea identității), atunci egalitatea scrisă mai sus devine: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Deoarece $E\cdot X=X$, atunci: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Exemplul #1 Rezolvați SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ folosind matricea inversă. $$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$ Să găsim matricea inversă față de matricea sistemului, adică. calculați $A^(-1)$. În exemplul #2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$ Acum să substituim toate cele trei matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) în ecuația $X=A^(-1)\cdot B$. Apoi efectuăm înmulțirea matriceală $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 și -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$ Deci avem $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\ dreapta)$. Din această egalitate avem: $x_1=-3$, $x_2=2$. Răspuns: $x_1=-3$, $x_2=2$. Exemplul #2 Rezolvați SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ prin metoda matricei inverse. Să notăm matricea sistemului $A$, matricea termenilor liberi $B$ și matricea necunoscutelor $X$. $$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$ Acum este timpul să găsim matricea inversă a matricei sistemului, adică. găsi $A^(-1)$. În exemplul #3 de pe pagina dedicată găsirii de matrici inverse, matricea inversă a fost deja găsită. Să folosim rezultatul final și să scriem $A^(-1)$: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 și 37\end(matrice)\dreapta). $$ Acum înlocuim toate cele trei matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) în egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$, după care efectuăm înmulțirea matricei din dreapta partea acestei egalităţi. $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$ Deci avem $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(matrice)\right)$. Din această egalitate avem: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
.
