Introducem două definiții noi. În cazul în care un? tinde spre zero, luând doar valori pozitive, apoi limita raportului
(dacă există) se numește derivat din dreapta sau derivat de dreapta din funcția ѓ() în punctul? și dacă? tinde spre zero, luând doar valori negative, atunci limita aceluiași raport (dacă există) este derivată din stânga sau derivat din stânga. Derivatul din dreapta este notat cu un simbol, iar derivatul din stânga este notat cu un simbol.
Dacă derivata din dreapta și derivata din stânga sunt egale, atunci funcția are în mod evident o derivată la 0 în sensul obișnuit al cuvântului.
Cele mai simple exemple de funcții care au la un moment dat derivatele din dreapta și din stânga care nu coincid între ele ne oferă funcții ale căror grafice sunt linii întrerupte.
Într-adevăr, fie 1 , 2 , … , k, … , s un număr de puncte diferite de pe axă. Să construim o linie întreruptă astfel încât vârfurile sale să aibă abscise egale cu x 1 , 2 , … , k, … , s (Fig. 12). Funcția ѓ(), al cărei grafic este această polilinie *), nu are nicio derivată în punctele 1 , 2 , … , k, … , s .
*) În mod evident, fiecare linie perpendiculară pe axa x intersectează polilinia în cel mult un punct, iar polilinia este graficul unei funcții cu o singură valoare.
Pentru a demonstra acest lucru, considerăm un punct Q cu abscisă k. Graficul funcției din vecinătatea acestui punct are forma prezentată în Fig. 13.
Pentru orice dreaptă, secanta în unele dintre punctele sale și, în consecință, tangenta (ca poziție limită a acestei secante), coincid cu dreapta însăși; prin urmare, unghiul secantei și, în consecință, al tangentei la dreapta cu axa, este același cu unghiul dreptei în sine cu axa x.
Să notăm unghiul dreptei AQ cu axa prin b și unghiul dreptei QB cu axa prin c. Desenăm o secantă prin punctul Q și punctele M 1 și M 2 situate în stânga și în dreapta lui Q. Secanta din stânga coincide cu dreapta AQ, iar cea dreaptă - cu dreapta QB.
Este clar că dacă considerăm Q ca punct de contact, atunci secanta va avea două poziții limită sau, așa cum se spune uneori, curba în acest punct va avea tangenta dreapta, care coincide cu linia QB, și tangentă stângă, care coincide cu linia dreaptă AQ. Unghiul dintre axa si tangenta stanga este evident 6, iar unghiul dintre axa si tangenta dreapta este c. Deoarece b și c sunt diferite, atunci
Astfel, în punctul Q, dreapta noastră nu are o tangentă definită și, întrucât derivata este egală cu tangenta unghiului tangentei cu axa, derivata din stânga nu este egală cu derivata din dreapta și nu există în punctul Q.
Luați în considerare un alt exemplu de funcții cu derivate diferite la stânga și la dreapta. Fie necesar să se găsească derivata funcției
Funcția este definită în mod evident în intervalul -1??+1. Graficul său este prezentat în Fig. 14. Curba se termină în punctele M(-1, +1) și N(+1, +1), deoarece pentru ||>1 funcția nu este definită.
Găsim derivata în punctul x:
Presupunând x=0, găsim valoarea derivatei în punctul O(0, 0):
Pentru a găsi limita, înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu
Deoarece este considerată valoarea aritmetică (pozitivă) a rădăcinii pătrate, atunci 2 =?, dacă? x> 0, dar 2 = -?, dacă?<0.
Prin urmare, dacă? > 0, atunci
și dacă?<0, то
Vedem că derivata din stânga nu este egală cu derivata din dreapta și, prin urmare, funcția noastră nu are o derivată. Punctul (0, 0) este punctul de colț la care curba nu are tangentă definită.
Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vedeți abracadabra, ștergeți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cea mai utilă resursă pentru
Imaginează-ți un drum drept care trece printr-o zonă deluroasă. Adică merge în sus și în jos, dar nu se întoarce la dreapta sau la stânga. Dacă axa este îndreptată orizontal de-a lungul drumului și vertical, atunci linia drumului va fi foarte similară cu graficul unei funcții continue:
Axa este un anumit nivel de înălțime zero, în viață folosim nivelul mării.
Înaintând pe un astfel de drum, ne mișcăm și în sus sau în jos. Mai putem spune: atunci când argumentul se schimbă (deplasarea de-a lungul axei absciselor), valoarea funcției se modifică (deplasarea de-a lungul axei ordonatelor). Acum să ne gândim cum să determinăm „abruptul” drumului nostru? Care ar putea fi această valoare? Foarte simplu: cât de mult se va schimba înălțimea la deplasarea înainte pe o anumită distanță. Într-adevăr, pe diferite tronsoane de drum, înaintând (de-a lungul abscisei) cu un kilometru, vom urca sau coborî un număr diferit de metri față de nivelul mării (de-a lungul ordonatei).
Indică progresul înainte (a se citi „delta x”).
Litera greacă (delta) este folosită în mod obișnuit în matematică ca prefix care înseamnă „schimbare”. Adică - aceasta este o schimbare de amploare, - o schimbare; atunci ce este? Așa e, o schimbare de dimensiune.
Important: expresia este o singură entitate, o variabilă. Nu ar trebui să rupeți niciodată „delta” din „x” sau din orice altă literă! Adică, de exemplu, .
Deci, am mers înainte, pe orizontală, mai departe. Dacă comparăm linia drumului cu graficul unei funcții, atunci cum notăm creșterea? Desigur, . Adică, atunci când mergem înainte, ne ridicăm mai sus.
Este ușor de calculat valoarea: dacă la început eram la înălțime, iar după mișcare eram la înălțime, atunci. Dacă punctul final s-a dovedit a fi mai mic decât punctul de început, va fi negativ - asta înseamnă că nu urcăm, ci coborăm.
Înapoi la „abrupte”: aceasta este o valoare care indică cât de mult (abrupt) crește înălțimea atunci când se avansează pe unitate de distanță:
Să presupunem că pe o anumită porțiune de potecă, la înaintarea cu km, drumul urcă cu km. Atunci abruptul în acest loc este egal. Și dacă drumul, la înaintarea cu m, s-a scufundat cu km? Atunci panta este egală.
Acum luați în considerare vârful unui deal. Dacă luați începutul secțiunii la jumătate de kilometru până în vârf, iar sfârșitul - o jumătate de kilometru după ea, puteți vedea că înălțimea este aproape aceeași.
Adică, conform logicii noastre, se dovedește că panta aici este aproape egală cu zero, ceea ce în mod clar nu este adevărat. Multe se pot schimba la doar câteva mile distanță. Zonele mai mici trebuie luate în considerare pentru o estimare mai adecvată și mai precisă a abruptului. De exemplu, dacă măsurați modificarea înălțimii când vă deplasați cu un metru, rezultatul va fi mult mai precis. Dar chiar și această precizie poate să nu fie suficientă pentru noi - la urma urmei, dacă există un stâlp în mijlocul drumului, ne putem strecura pur și simplu prin el. Ce distanță ar trebui să alegem atunci? Centimetru? Milimetru? Mai puțin este mai bine!
În viața reală, măsurarea distanței la cel mai apropiat milimetru este mai mult decât suficientă. Dar matematicienii luptă întotdeauna spre perfecțiune. Prin urmare, conceptul a fost infinitezimal, adică valoarea modulo este mai mică decât orice număr pe care îl putem numi. De exemplu, spui: o trilionime! Cu cât mai puțin? Și împărțiți acest număr la - și va fi și mai puțin. Si asa mai departe. Dacă vrem să scriem că valoarea este infinit de mică, scriem astfel: (citim „x tinde spre zero”). Este foarte important de înțeles că acest număr nu este egal cu zero! Dar foarte aproape de ea. Aceasta înseamnă că poate fi împărțit în.
Conceptul opus infinitului mic este infinit de mare (). Probabil l-ați întâlnit deja când lucrați la inegalități: acest număr este mai mare ca modul decât orice număr la care vă puteți gândi. Dacă găsiți cel mai mare număr posibil, înmulțiți-l cu doi și obțineți și mai mult. Iar infinitul este chiar mai mult decât ceea ce se întâmplă. De fapt, infinit de mare și infinit de mici sunt inverse unul față de celălalt, adică la și invers: la.
Acum înapoi la drumul nostru. Panta calculată în mod ideal este panta calculată pentru un segment infinit de mic al traseului, adică:
Observ că, cu o deplasare infinit de mică, modificarea înălțimii va fi, de asemenea, infinit de mică. Dar permiteți-mi să vă reamintesc că infinit mic nu înseamnă egal cu zero. Dacă împărțiți numere infinitezimale între ele, puteți obține un număr complet obișnuit, de exemplu. Adică, o valoare mică poate fi exact de două ori mai mare decât alta.
De ce toate astea? Drumul, abruptul... Nu mergem într-un miting, dar învățăm matematică. Și în matematică totul este exact la fel, doar numit diferit.
Conceptul de derivat
Derivata unei funcții este raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la o creștere infinitezimală a argumentului.
Creştereîn matematică se numește schimbare. Cât de mult s-a schimbat argumentul () la deplasarea de-a lungul axei se numește increment de argumentși notat cu Cât de mult s-a schimbat funcția (înălțimea) la deplasarea înainte de-a lungul axei cu o distanță se numește creșterea funcției si este marcat.
Deci, derivata unei funcții este relația cu când. Derivata o notăm cu aceeași literă ca și funcția, doar cu o contur din dreapta sus: sau pur și simplu. Deci, să scriem formula derivată folosind aceste notații:
Ca și în analogia cu drumul, aici, când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă.
Dar derivata este egală cu zero? Desigur. De exemplu, dacă conducem pe un drum orizontal plat, abruptul este zero. Într-adevăr, înălțimea nu se schimbă deloc. Deci, cu derivata: derivata unei funcții constante (constante) este egală cu zero:
deoarece incrementul unei astfel de funcții este zero pentru oricare.
Să luăm exemplul din vârful dealului. S-a dovedit că este posibil să se aranjeze capetele segmentului pe laturile opuse ale vârfului astfel încât înălțimea la capete să fie aceeași, adică segmentul este paralel cu axa:
Dar segmentele mari sunt un semn de măsurare inexactă. Ne vom ridica segmentul paralel cu el însuși, apoi lungimea acestuia va scădea.
În final, când suntem infinit aproape de vârf, lungimea segmentului va deveni infinit de mică. Dar, în același timp, a rămas paralel cu axa, adică diferența de înălțime la capete este egală cu zero (nu tinde, dar este egală cu). Deci derivata
Acest lucru poate fi înțeles după cum urmează: când stăm în vârf, o mică deplasare la stânga sau la dreapta ne schimbă neglijabil înălțimea.
Există și o explicație pur algebrică: în stânga vârfului, funcția crește, iar în dreapta, scade. După cum am aflat deja mai devreme, atunci când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă. Dar se schimbă lin, fără sărituri (pentru că drumul nu își schimbă brusc panta nicăieri). Prin urmare, trebuie să existe între valori negative și pozitive. Va fi acolo unde funcția nici nu crește, nici nu scade - în punctul de vârf.
Același lucru este valabil și pentru vale (zona în care funcția scade în stânga și crește în dreapta):
Mai multe despre creșteri.
Deci schimbăm argumentul într-o valoare. Ne schimbăm de la ce valoare? Ce a devenit el (argumentul) acum? Putem alege orice punct, iar acum vom dansa din el.
Luați în considerare un punct cu o coordonată. Valoarea funcției din ea este egală. Apoi facem aceeași creștere: creștem coordonatele cu. Care este argumentul acum? Foarte usor: . Care este valoarea funcției acum? Unde merge argumentul, funcția merge acolo: . Cum rămâne cu creșterea funcției? Nimic nou: aceasta este încă suma cu care s-a schimbat funcția:
Exersați găsirea incrementelor:
- Găsiți incrementul funcției într-un punct cu un increment al argumentului egal cu.
- Același lucru pentru o funcție într-un punct.
Solutii:
În puncte diferite, cu același increment al argumentului, incrementul funcției va fi diferit. Aceasta înseamnă că derivata din fiecare punct are propria lui (am discutat despre asta chiar de la început - abruptul drumului în diferite puncte este diferit). Prin urmare, atunci când scriem o derivată, trebuie să indicăm în ce moment:
Funcția de putere.
O funcție de putere se numește o funcție în care argumentul este într-o oarecare măsură (logic, nu?).
Și - în orice măsură: .
Cel mai simplu caz este când exponentul este:
Să-i găsim derivata la un punct. Amintiți-vă definiția unei derivate:
Deci argumentul se schimbă de la la. Care este incrementul funcției?
Creșterea este. Dar funcția în orice punct este egală cu argumentul său. De aceea:
Derivata este:
Derivata lui este:
b) Acum considerăm funcția pătratică (): .
Acum să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că valoarea creșterii poate fi neglijată, deoarece este infinit de mică și, prin urmare, nesemnificativă pe fundalul unui alt termen:
Deci, avem o altă regulă:
c) Continuăm seria logică: .
Această expresie poate fi simplificată în diferite moduri: deschideți prima paranteză folosind formula pentru înmulțirea prescurtată a cubului sumei sau descompuneți întreaga expresie în factori folosind formula pentru diferența de cuburi. Încercați să o faceți singur în oricare dintre modurile sugerate.
Deci, am primit următoarele:
Și din nou, amintiți-vă asta. Aceasta înseamnă că putem neglija toți termenii care conțin:
Primim: .
d) Reguli similare pot fi obținute pentru puteri mari:
e) Rezultă că această regulă poate fi generalizată pentru o funcție de putere cu un exponent arbitrar, nici măcar un număr întreg:
| (2) |
Puteți formula regula cu cuvintele: „gradul este prezentat ca coeficient, apoi scade cu”.
Vom demonstra această regulă mai târziu (aproape la sfârșit). Acum să ne uităm la câteva exemple. Aflați derivata funcțiilor:
- (în două moduri: prin formula și folosind definiția derivatei - prin numărarea incrementului funcției);
funcții trigonometrice.
Aici vom folosi un fapt din matematica superioară:
Când expresia.
Dovada o vei invata in primul an de institut (si pentru a ajunge acolo trebuie sa treci bine examenul). Acum o voi arăta doar grafic:
Vedem că atunci când funcția nu există - punctul de pe grafic este perforat. Dar cu cât este mai aproape de valoare, cu atât funcția este mai aproape de aceasta.
În plus, puteți verifica această regulă cu un calculator. Da, da, nu te sfii, ia un calculator, încă nu suntem la examen.
Deci să încercăm: ;
Nu uitați să comutați calculatorul în modul Radians!
etc. Vedem că cu cât este mai mic, cu atât valoarea raportului este mai aproape de.
a) Luați în considerare o funcție. Ca de obicei, găsim creșterea acestuia:
Să transformăm diferența de sinusuri într-un produs. Pentru a face acest lucru, folosim formula (amintiți-vă de subiectul „”):.
Acum derivata:
Să facem o înlocuire: . Apoi, pentru infinit de mic, este și infinit de mic: . Expresia pentru ia forma:
Și acum ne amintim asta cu expresia. Și, de asemenea, ce se întâmplă dacă o valoare infinit de mică poate fi neglijată în sumă (adică la).
Deci obținem următoarea regulă: derivata sinusului este egală cu cosinusul:
Acestea sunt derivate de bază („tabel”). Iată-le într-o singură listă:
Mai târziu le vom adăuga câteva, dar acestea sunt cele mai importante, deoarece sunt folosite cel mai des.
Practică:
- Aflați derivata unei funcții într-un punct;
- Aflați derivata funcției.
Solutii:
Exponent și logaritm natural.
Există o astfel de funcție în matematică, a cărei derivată pentru oricare este egală cu valoarea funcției în sine pentru aceeași. Se numește „exponent” și este o funcție exponențială
Baza acestei funcții - o constantă - este o fracție zecimală infinită, adică un număr irațional (cum ar fi). Se numește „numărul Euler”, motiv pentru care este notat cu o literă.
Deci regula este:
Este foarte ușor de reținut.
Ei bine, nu vom merge departe, vom lua în considerare imediat funcția inversă. Care este inversul funcției exponențiale? Logaritm:
În cazul nostru, baza este un număr:
Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu o bază) se numește unul „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.
Cu ce este egal? Desigur, .
Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:
Exemple:
- Aflați derivata funcției.
- Care este derivata functiei?
Raspunsuri: Exponentul și logaritmul natural sunt funcții care sunt unic simple în ceea ce privește derivata. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.
Reguli de diferențiere
Ce reguli? Un alt termen nou, din nou?!...
Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.
Numai și totul. Care este un alt cuvânt pentru acest proces? Nu proizvodnovanie... Diferenţialul de matematică se numeşte însăşi incrementul funcţiei la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.
Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. Vom avea nevoie și de formule pentru incrementele lor:
Sunt 5 reguli în total.
Constanta este scoasă din semnul derivatei.
Dacă - un număr constant (constant), atunci.
Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .
Să demonstrăm. Lasă, sau mai ușor.
Exemple.
Găsiți derivate ale funcțiilor:
- la punct;
- la punct;
- la punct;
- la punct.
Solutii:
Derivat al unui produs
Totul este similar aici: introducem o nouă funcție și găsim incrementul acesteia:
Derivat:
Exemple:
- Găsiți derivate ale funcțiilor și;
- Aflați derivata unei funcții într-un punct.
Solutii:
Derivată a funcției exponențiale
Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponentul (ai uitat încă ce este?).
Deci unde este un număr.
Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:
Pentru a face acest lucru, folosim o regulă simplă: . Apoi:
Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.
S-a întâmplat?
Iată, verifică-te:
Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata exponentului: așa cum a fost, rămâne, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.
Exemple:
Găsiți derivate ale funcțiilor:
Raspunsuri:
Derivată a unei funcții logaritmice
Aici este similar: știți deja derivata logaritmului natural:
Prin urmare, pentru a găsi un arbitrar din logaritm cu o bază diferită, de exemplu:
Trebuie să aducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:
Abia acum în loc de vom scrie:
Numitorul s-a dovedit a fi doar o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivatul este foarte simplu:
Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examen, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.
Derivată a unei funcții complexe.
Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arc tangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă logaritmul ți se pare dificil, citește subiectul „Logaritmi” și totul va funcționa), dar în materie de matematică, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.
Imaginați-vă un transportor mic: doi oameni stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Se dovedește un astfel de obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii opuși în ordine inversă.
Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătra numărul rezultat. Așadar, ne dau un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o altă a doua acțiune cu ceea ce s-a întâmplat ca urmare a primei.
S-ar putea foarte bine să facem aceleași acțiuni în ordine inversă: mai întâi pătrați și apoi caut cosinusul numărului rezultat:. Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.
Cu alte cuvinte, O funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .
Pentru primul exemplu, .
Al doilea exemplu: (la fel). .
Ultima acțiune pe care o facem va fi numită funcția „externă”., și acțiunea efectuată prima - respectiv funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).
Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:
Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, în funcție
schimbăm variabile și obținem o funcție.
Ei bine, acum ne vom extrage ciocolata - căutați derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. Pentru exemplul original, arată astfel:
Alt exemplu:
Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:
Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:
Totul pare a fi simplu, nu?
Să verificăm cu exemple:
DERIVAT. SCURT DESPRE PRINCIPALA
Derivată de funcție- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului cu o creștere infinitezimală a argumentului:
Derivate de bază:
Reguli de diferențiere:
Constanta este scoasă din semnul derivatei:
Derivată a sumei:
Produs derivat:
Derivată a coeficientului:
Derivata unei functii complexe:
Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:
- Definim funcția „internă”, găsim derivata ei.
- Definim funcția „externă”, găsim derivata ei.
- Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
La examen nu vi se va cere teorie.
Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.
Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.
Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.
Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble
Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
In concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.
„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați!
Este absolut imposibil să rezolvi probleme fizice sau exemple în matematică fără cunoștințe despre derivată și metode de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?
Sensul geometric și fizic al derivatului
Să existe o funcție f(x) , dat într-un anumit interval (a,b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența valorilor sale x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. Modificarea sau creșterea unei funcții este diferența dintre valorile funcției în două puncte. Definiție derivată:
Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.
Altfel se poate scrie asa:
Ce rost are să găsești o astfel de limită? Dar care:
derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.
Semnificația fizică a derivatului: derivata în timp a traseului este egală cu viteza mișcării rectilinie.
Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale privată. x=f(t) si timpul t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:
Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:
Prima regulă: scoateți constanta
Constanta poate fi scoasă din semnul derivatei. Mai mult, trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați ca regulă - dacă puteți simplifica expresia, asigurați-vă că simplificați .
Exemplu. Să calculăm derivata:
Regula a doua: derivata sumei functiilor
Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.
Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.
Aflați derivata unei funcții:
Regula trei: derivata produsului de funcții
Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:
Exemplu: găsiți derivata unei funcții:
Soluţie: 
Aici este important de spus despre calculul derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.
În exemplul de mai sus, întâlnim expresia:
În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, luăm în considerare mai întâi derivata funcției externe față de argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar însuși față de variabila independentă.
Regula a patra: derivata coeficientului a două funcții
Formula pentru determinarea derivatei unui cât de două funcții:
Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.
Cu orice întrebare pe acest subiect și alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil control și să vă ocupați de sarcini, chiar dacă nu v-ați mai ocupat niciodată de calculul derivatelor.
Când o persoană a făcut primii pași independenți în studiul analizei matematice și începe să pună întrebări incomode, nu mai este atât de ușor să scapi de expresia că „calcul diferențial a fost găsit în varză”. Prin urmare, este timpul să fii hotărât și să rezolvi misterul nașterii lui tabele de derivate și reguli de diferențiere. A început în articol despre sensul derivatului, pe care îl recomand cu căldură pentru studiu, pentru că acolo tocmai am luat în considerare conceptul de derivat și am început să facem clic pe sarcini pe subiect. Aceeași lecție are o orientare practică pronunțată, în plus,
exemplele considerate mai jos, în principiu, pot fi stăpânite pur formal (de exemplu, când nu există timp/dorință de a pătrunde în esența derivatului). De asemenea, este foarte de dorit (dar din nou nu este necesar) să puteți găsi derivate folosind metoda „obișnuită” - cel puțin la nivelul a două clase de bază: Cum se găsește derivata și derivata unei funcții complexe.
Dar fără ceva, care acum este cu siguranță indispensabil, este fără limitele funcției. Trebuie să ÎNȚELEGI ce este o limită și să le poți rezolva, cel puțin la un nivel intermediar. Și totul pentru că derivatul
funcția într-un punct este definită prin formula:
Vă reamintesc denumirile și termenii: ei cheamă increment de argument;
– creșterea funcției;
- acestea sunt simboluri SINGUR („delta” nu poate fi „smuls” din „X” sau „Y”).
Evident, este o variabilă „dinamică”, este o constantă și rezultatul calculării limitei 
- număr (uneori - „plus” sau „minus” infinit).
Ca un punct, puteți lua în considerare ORICE valoare care îi aparține domenii o funcție care are o derivată.
Notă: clauza „în care există derivatul” - în general semnificative.! Deci, de exemplu, punctul, deși intră în domeniul funcției, dar derivata
nu exista acolo. Prin urmare formula
nu se aplică în acest moment
iar o formulare scurtă fără rezervă ar fi incorectă. Fapte similare sunt valabile și pentru alte funcții cu „rupturi” în grafic, în special pentru arcsinus și arccosinus.
Astfel, după înlocuirea , obținem a doua formulă de lucru:
Acordați atenție unei circumstanțe insidioase care poate deruta ceainicul: în această limită, „x”, fiind el însuși o variabilă independentă, joacă rolul unui extra, iar „dinamica” este din nou stabilită prin increment. Rezultatul calculului limitei
este funcția derivată.
Pe baza celor de mai sus, formulăm condițiile a două probleme tipice:
- Găsi derivată la un punct folosind definiția unei derivate.
- Găsi funcţie derivată folosind definiția unei derivate. Această versiune, conform observațiilor mele, apare mult mai des și i se va acorda atenția principală.
Diferența fundamentală dintre sarcini este că în primul caz este necesar să se găsească numărul (optional infinit), iar în al doilea
functie . În plus, derivatul poate să nu existe deloc.
Cum ?
Faceți un raport și calculați limita.
Unde a făcut tabel de derivate și reguli de diferențiere ? Cu o singură limită
Pare magie, dar
realitate - delectare și fără fraudă. La lecție Ce este un derivat? Am început să iau în considerare exemple specifice, în care, folosind definiția, am găsit derivatele unei funcții liniare și pătratice. În scopul încălzirii cognitive, vom continua să deranjăm tabel de derivate, perfecționând algoritmul și soluțiile tehnice:
De fapt, se cere să se dovedească un caz special al derivatei unei funcții de putere, care apare de obicei în tabel: .
Soluția este formalizată tehnic în două moduri. Să începem cu prima abordare, deja familiară: scara începe cu o scândură, iar funcția derivată începe cu o derivată într-un punct.
Luați în considerare un punct (concret) care îi aparține domenii o funcție care are o derivată. Setați incrementul în acest moment (desigur, nu dincolo o / o - z) și compuneți incrementul corespunzător al funcției:
Să calculăm limita:
Incertitudinea 0:0 este eliminată printr-o tehnică standard considerată încă din secolul I î.Hr. multiplica
numărător și numitor pe expresie adjunctă 
:
Tehnica de rezolvare a unei astfel de limite este discutată în detaliu în lecția introductivă. despre limitele funcţiilor.
Deoarece ORICE punct al intervalului poate fi ales ca
Apoi, prin înlocuire, obținem:
Încă o dată, să ne bucurăm de logaritmi:
Găsiți derivata funcției folosind definiția derivatei
Soluție: Să luăm în considerare o abordare diferită pentru realizarea aceleiași sarcini. Este exact la fel, dar mai rațional din punct de vedere al designului. Ideea este să scapi de
indice și folosiți o literă în loc de o literă.
Luați în considerare un punct arbitrar care îi aparține domenii funcția (interval) și setați incrementul în ea. Și aici, apropo, ca în majoritatea cazurilor, puteți face fără rezerve, deoarece funcția logaritmică este diferențiabilă în orice punct din domeniul definiției.
Apoi, incrementul corespunzător funcției este:
Să găsim derivata:
Simplitatea designului este echilibrată de confuzie, ceea ce poate
apar la începători (și nu numai). La urma urmei, suntem obișnuiți cu faptul că litera „X” se schimbă în limită! Dar aici totul este diferit: - o statuie antică și - un vizitator viu, care se plimbă vioi pe coridorul muzeului. Adică, „x” este „ca o constantă”.
Voi comenta eliminarea incertitudinii pas cu pas:
(1)
Folosind proprietatea logaritmului
.
(2) Împărțiți numărătorul la numitor în paranteze.
(3) La numitor înmulțim artificial și împărțim cu „x”, astfel încât
profita de minunat 
, în timp ce ca infinitezimal execută.
Răspuns: Prin definiția derivatului:
Sau pe scurt:
Îmi propun să construim independent încă două formule tabelare:
Găsiți derivată prin definiție
În acest caz, incrementul compilat este imediat convenabil pentru a se reduce la un numitor comun. Un eșantion aproximativ al temei la sfârșitul lecției (prima metodă).
Găsiți derivată prin definiție
Și aici totul trebuie redus la o limită remarcabilă. Soluția este încadrată în a doua modalitate.
În mod similar, o serie de altele derivate tabulare. O listă completă poate fi găsită într-un manual școlar sau, de exemplu, volumul I din Fichtenholtz. Nu văd prea mult rost să rescriem din cărți și dovezi ale regulilor de diferențiere - sunt, de asemenea, generate
formulă .
Să trecem la sarcinile din viața reală: Exemplul 5
Aflați derivata unei funcții 
, folosind definiția derivatei
Soluție: folosiți primul stil. Să luăm în considerare un punct care îi aparține și să setăm incrementul argumentului în el. Apoi, incrementul corespunzător funcției este:
Poate că unii cititori nu au înțeles încă pe deplin principiul după care ar trebui făcută o creștere. Luăm un punct (număr) și găsim valoarea funcției din el: 
, adică în funcție
în loc de „x” ar trebui înlocuit. Acum luăm
Creșterea funcției compuse este benefic să simplificăm imediat. Pentru ce? Facilitați și scurtați soluția limitei ulterioare.
Folosim formule, deschidem paranteze și reducem tot ce poate fi redus:
Curcanul este eviscerat, nicio problemă cu friptura:
În cele din urmă: 
Deoarece orice număr real poate fi ales ca calitate, facem înlocuirea și obținem 
.
Răspuns : 
prin definitie.
În scopul verificării, găsim derivata folosind regulile
diferențieri și tabele:
Este întotdeauna util și plăcut să cunoști în prealabil răspunsul corect, așa că este mai bine să diferențiezi mental sau pe o schiță funcția propusă într-un mod „rapid” chiar la începutul soluției.
Găsiți derivata unei funcții după definiția derivatei
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Rezultatul se află la suprafață:
Înapoi la stilul #2: Exemplul 7
Să aflăm imediat ce ar trebui să se întâmple. De regula de diferențiere a unei funcții complexe:
Decizie: luați în considerare un punct arbitrar care îi aparține, setați incrementul argumentului în el și faceți incrementul
Să găsim derivata:
(1) Folosim formula trigonometrică
(2) Sub sinus deschidem paranteze, sub cosinus dam termeni similari.
(3) Sub sinus reducem termenii, sub cosinus impartim numaratorul la numitor termen cu termen.
(4) Din cauza ciudățeniei sinusului, scoatem „minus”. Sub cosinus
indica faptul că termenul .
(5) Înmulțim artificial numitorul de utilizat prima limită minunată. Astfel, incertitudinea este eliminată, pieptănăm rezultatul.
Răspuns: prin definiție După cum puteți vedea, principala dificultate a problemei luate în considerare se bazează pe
complexitatea limitei în sine + o ușoară originalitate a ambalajului. În practică, ambele metode de proiectare sunt întâlnite, așa că descriu ambele abordări cât mai detaliat posibil. Ele sunt echivalente, dar totuși, în impresia mea subiectivă, este mai convenabil pentru manechini să rămână la prima opțiune cu „X zero”.
Folosind definiția, găsiți derivata funcției
Aceasta este o sarcină pentru o decizie independentă. Eșantionul este formatat în același spirit ca exemplul anterior.
Să analizăm o versiune mai rară a problemei:
Găsiți derivata unei funcții într-un punct folosind definiția unei derivate.
În primul rând, care ar trebui să fie rezultatul final? Număr Calculați răspunsul în modul standard:
Decizie: din punct de vedere al clarității, această sarcină este mult mai simplă, deoarece în formulă în loc de
considerată o valoare specifică.
Setăm un increment la punct și compunem incrementul corespunzător al funcției:
Calculați derivata într-un punct:
Folosim o formulă foarte rară pentru diferența de tangente 
iar pentru a enemea oară reducem soluţia la prima
limită uimitoare:
Răspuns: prin definiția derivatei la un punct.
Sarcina nu este atât de dificil de rezolvat și „în termeni generali” - este suficient să înlocuiți unghia sau pur și simplu, în funcție de metoda de proiectare. În acest caz, desigur, nu obțineți un număr, ci o funcție derivată.
Exemplul 10 Folosind definiția, găsiți derivata unei funcții 
la punct
Acesta este un exemplu de do-it-yourself.
Sarcina finală bonus este destinată în primul rând studenților cu un studiu aprofundat al analizei matematice, dar nici nu va răni pe toți ceilalți:
Funcția va fi diferențiabilă 
la punctul?
Soluție: Este evident că o funcție dată pe bucăți este continuă într-un punct, dar va fi diferențiabilă acolo?
Algoritmul de soluție, și nu numai pentru funcțiile pe bucăți, este următorul:
1) Aflați derivata din stânga într-un punct dat: .
2) Aflați derivata din dreapta în punctul dat: .
3) Dacă derivatele unilaterale sunt finite și coincid:
, atunci funcția este diferențiabilă în punctul și
geometric, există o tangentă comună aici (vezi partea teoretică a lecției Definiţia şi sensul derivate).
Dacă se primesc două valori diferite: 
(dintre care unul poate fi infinit), atunci funcția nu este diferențiabilă într-un punct.
Dacă ambele derivate unilaterale sunt egale cu infinitul
(chiar dacă au semne diferite), atunci funcția nu are
este diferențiabilă într-un punct, dar există o derivată infinită și o tangentă verticală comună la grafic (vezi Exemplul 5 din lecțieEcuația normală) .
Conceptul de derivat
Lasă funcția f(X) este definită pe un anumit interval X. Să dăm valoarea argumentului la punct X 0 X increment aleatoriu Δ X astfel încât punctul x0 + Δ X a aparținut și X. Apoi corespunzătoare creșterea funcției f(x) va fi Δ la = f(x0 + Δ X) - f(x0).
Definiția 1.Derivata functiei f(x) la punct x0 se numește limita raportului dintre incrementul funcției în acest punct și incrementul argumentului la Δ X 0 (dacă există această limită).
Pentru a desemna derivata unei funcții, se folosesc simbolurile tu (x0) sau f‘(x0):
Dacă la un moment dat x0 limita (4.1) este infinită:
apoi spun că la punctul x0 funcţie f(X) Are derivat infinit.
Dacă funcţia f(X) are o derivată în fiecare punct al mulțimii X, apoi derivatul f"(x) este, de asemenea, o funcție a argumentului X, determinat pe X.
Pentru a clarifica semnificația geometrică a derivatei, avem nevoie de definiția unei tangente la graficul unei funcții într-un punct dat.
Definiția 2.Tangentă la graficul funcției y = f(X) la punct M MN, cand punct N tinde spre un punct M de-a lungul curbei f(X).
Lasă punctul M pe curbă f(X) se potrivește cu valoarea argumentului x0, și punctul N- valoarea argumentului x0 + Δ X(Fig. 4.1). Din definiţia unei tangente rezultă că pentru existenţa ei într-un punct x0 este necesar să existe o limită, care să fie egală cu unghiul de înclinare al tangentei la axă Bou. Dintr-un triunghi MNA urmează că
Dacă derivata funcţiei f(X) la punct x0 există, atunci, conform (4.1), obţinem
De aici rezultă concluzia evidentă că derivat f‘(x0) egală cu panta (tangenta unghiului de înclinare la direcția pozitivă a axei Ox) tangentă la graficul funcției y = f(X) în punctul M(x0, f(x0)). În acest caz, panta tangentei este determinată din formula (4.2):
Sensul fizic al derivatului
Să presupunem că funcția l = f(t) descrie legea de mișcare a unui punct material într-o linie dreaptă ca dependență de cale l din timp t. Apoi diferența Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - este distanța parcursă în intervalul de timp Δ t, și raportul Δ l/Δ t- viteza medie în timp Δ t. Apoi limita 
defineste punct viteza instantanee atunci t ca derivată a căii în raport cu timpul.
Într-un anumit sens, derivata funcției la = f(x) poate fi interpretat și ca rata de modificare a funcției: cu cât valoarea este mai mare f‘(X), cu cât unghiul de înclinare al tangentei la curbă este mai mare, cu atât graficul este mai abrupt f(X) și funcția crește mai repede.
Derivate din dreapta și din stânga
Prin analogie cu conceptele de limite unilaterale ale unei funcții, sunt introduse conceptele de derivate din dreapta și stânga ale unei funcții într-un punct.
Definiția 3.Dreapta stanga) funcţie derivată la = f(x) la punct x0 se numește limita dreaptă (stânga) a relației (4.1) ca Δ X 0 dacă această limită există.
Următorul simbolism este folosit pentru a desemna derivate unilaterale:
Dacă funcţia f(X) are la punct x0 derivată, atunci are derivate din stânga și din dreapta în acel punct care sunt aceleași.
Să dăm un exemplu de funcție care are derivate unilaterale într-un punct care nu sunt egale între ele. aceasta f(X) = |X|. Într-adevăr, la punctul x = 0 avem f' +(0) = 1, f'-(0) = -1 (Fig. 4.2) și f' +(0) ≠f’ —(0), adică funcția nu are derivată la X = 0.
Operația de găsire a derivatei unei funcții se numește diferenţiere; se numește o funcție care are o derivată într-un punct diferentiabil.
Legătura dintre diferențiabilitatea și continuitatea unei funcții într-un punct se stabilește prin următoarea teoremă.
TEOREMA 1 . Dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct x 0 , atunci este și continuă în acel punct.
Reversul nu este adevărat: funcția f(X) care este continuă într-un punct poate să nu aibă o derivată în acel punct. Un astfel de exemplu este funcția la = |X|; este continuu la punct X= 0, dar nu are nicio derivată în acest moment.
Astfel, cerința ca o funcție să fie diferențiabilă este mai puternică decât cerința de continuitate, deoarece a doua decurge automat din prima.
Ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct dat
După cum sa menționat în secțiunea 3.9, ecuația unei drepte care trece printr-un punct M(x0, la 0) cu panta k are forma
Lasă funcția la = f(X). Apoi, de la derivatul său la un moment dat M(x0, la 0) este panta tangentei la graficul acestei funcții în punctul M, atunci rezultă că ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f(X) în acest moment are forma
⇐ Anterior19202122232425262728Următorul ⇒
y este o funcție y = y(x)
C = constantă, derivata (y’) a constantei este 0
y = C => y' = 0
exemplu: y = 5, y' = 0
Dacă y este o funcție de tipul y = x n , formula derivatei este:
y = x n => y' = nx n-1
exemplu: y = x 3 y’ = 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y' = -3x -4
Din formula de mai sus, putem spune că pentru derivata y’ a funcției y = x = x 1 că:
dacă y = x atunci y’=1
y \u003d f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) ...=>
y' = f' 1 (x) + f' 2 (x) + f' 3 (x) ...
Această formulă reprezintă derivata unei funcții care este suma funcțiilor.
Exemplu: Dacă avem două funcții f(x) = x 2 + x + 1 și g(x) = x 5 + 7 și y = f(x) + g(x) atunci y' = f"(x) + g"(x) => y' = (x 2 + x + 1)' + (x 5 + 7)' = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1
Dacă o funcție este un produs al două funcții, formula derivată arată astfel:
y = f(x).g(x) => y’ = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)
Dacă f(x) = C(C este constantă) și y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g"(x) = 0 + C.g"(x) = C.g"(x)
y = Cf(x) => y’ = C.f"(x)
Formule de calcul a derivatei
| y= | y' = |
|
y = ln x => y' = 1 / x
y = e x => y' = e x
y = sin x => y' = cos x
y = cos x => y' = -sin x
y = tg x => y' = 1 / cos 2 x
y = ctg x => y' = - 1 / sin 2 x
| y = arcsin x | => | y' = |
| y = arccos x | => | y' = |
RĂSPUNS: avem două funcții h(x) = x 10 și g(x) = 4,15 + cos x
funcția f(x) este h(x) împărțită la g(x).
Calcul diferenţial al funcţiilor
h "(x) \u003d 10x 9 g" (x) \u003d 0 - sin x \u003d -sin x
Mai multe despre derivate pe paginile forumului matematic
Forum despre derivate
Ce este un derivat
Conceptul de derivat
Derivata este cel mai important concept al analizei matematice. Caracterizează schimbarea funcției argumentului X la un moment dat. Mai mult decât atât, derivata în sine este o funcție a argumentului X
Funcția derivată la un punct se numește limita (dacă există și este finită) a raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, cu condiția ca acesta din urmă să tinde spre zero.
Cele mai comune sunt următoarele notație derivată :
Exemplul 1 A profita definiția derivatului, găsiți derivata funcției
Soluţie. Din definiția derivatei rezultă următoarea schemă pentru calculul acesteia.
Să dăm argumentului un increment (delta) și să găsim incrementul funcției:
Să găsim raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:
Să calculăm limita acestui raport cu condiția ca incrementul argumentului să tinde spre zero, adică derivata necesară în condiția problemei:
Sensul fizic al derivatului
La conceptul de derivat a condus studiul lui Galileo Galilei asupra legii căderii libere a corpurilor și, într-un sens mai larg, problema vitezei instantanee a mișcării rectilinie neuniforme a unui punct.
Cu toate acestea, mișcarea unui corp în cădere liberă este în mod clar inegală. Viteză v căderea este în continuă creștere. Iar viteza medie nu mai este suficientă pentru a caracteriza viteza de deplasare pe diferite secțiuni ale traseului. Această caracteristică este mai precisă, cu atât intervalul de timp este mai scurt.
Derivată de funcție
Prin urmare, se introduce următorul concept: viteza instantanee a mișcării rectilinie (sau viteza la un moment dat de timp t) se numește limita medie de viteză la:
(cu condiția ca această limită să existe și să fie finită).
Deci, se dovedește că viteza instantanee este limita raportului de creștere a funcției s(t) la incrementul de argument t la Aceasta este derivata, care în termeni generali se scrie astfel:.
.
Soluția problemei desemnate este sensul fizic al derivatului . Deci derivata funcției y=f(X) la punct X se apelează limita (dacă există și este finită) a incrementului funcției la incrementul argumentului, cu condiția ca acesta din urmă să tinde spre zero.
Exemplul 2 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Din definiția derivatei rezultă următoarea schemă pentru calculul acesteia.
Pasul 1. Să incrementăm argumentul și să găsim
Pasul 2. Găsiți incrementul funcției:
Pasul 3. Găsiți raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:
Pasul 4. Calculați limita acestui raport la , adică derivata:
Nu ai timp să aprofundezi în soluție? Poți comanda un loc de muncă!
Sensul geometric al derivatului
Daca exista
apoi o linie dreaptă cu pantă
trecerea prin punct se numește poziție limită a secantei DOMNUL la (sau la).
Tangenta la graficul unei functii intr-un punct M numită poziție limită a secantei DOMNUL pentru , sau, care este același pentru .
Din definiție rezultă că pentru existența unei tangente este suficient să existe o limită
,
în plus, limita este egală cu unghiul de înclinare al tangentei la axă.
Acum să dăm o definiție precisă a unei tangente.
Tangentă la graficul unei funcții într-un punct se numește dreptă care trece prin punct și având o pantă, adică. linie dreaptă a cărei ecuație
Din această definiţie rezultă că derivată de funcție egală cu panta tangentei la graficul acestei funcţii în punctul cu abscisa X. Acesta este sensul geometric al derivatei:
unde este unghiul de înclinare al tangentei la axa absciselor, i.e. panta tangentei.
Exemplul 3 Aflați derivata funcției și valoarea acestei derivate la .
Soluţie. Să folosim schema prezentată în exemplul 1.
Expresia sub semnul limită nu este definită la (incertitudinea formei 0/0), așa că o transformăm scăpând de iraționalitatea din numărător și apoi reducând fracția:
Să găsim valoarea derivatei la:
Începutul paginii
Faceți un test despre Derivată, diferențială și aplicarea acestora
Întregul bloc „Derivată”
Această introducere vă va permite să:
- să înțeleagă esența sarcinilor simple cu o derivată;
- rezolva cu succes aceste sarcini foarte simple;
— pregătiți-vă pentru lecții mai serioase despre derivată.
În primul rând, o surpriză plăcută.
Definiția strictă a derivatei se bazează pe teoria limitelor, iar treaba este destul de complicată. Este supărător. Dar aplicarea practică a derivatului, de regulă, nu necesită cunoștințe atât de extinse și profunde!
Pentru a finaliza cu succes majoritatea sarcinilor de la școală și universitate, este suficient să știi doar cativa termeni- să înțeleagă sarcina și doar câteva reguli- pentru a o rezolva. Si asta e. Asta ma face fericit.
Să ne cunoaștem?)
Termeni și denumiri.
Există multe operații matematice în matematica elementară. Adunare, scădere, înmulțire, exponențiere, logaritm etc. Dacă la aceste operații se adaugă încă o operație, matematica elementară devine mai mare. Această nouă operațiune se numește diferenţiere. Definiția și semnificația acestei operațiuni vor fi discutate în lecții separate.
Aici este important să înțelegem că diferențierea este doar o operație matematică asupra unei funcții. Luăm orice funcție și, după anumite reguli, o transformăm. Rezultatul este o nouă funcție. Această nouă funcție se numește: derivat.
Diferenţiere— acțiune asupra unei funcții.
Derivat este rezultatul acestei acțiuni.
La fel ca, de exemplu, sumă este rezultatul adunării. Sau privat este rezultatul diviziunii.
Cunoscând termenii, puteți înțelege cel puțin sarcinile.) Formularea este următoarea: găsiți derivata unei funcții; ia derivata; diferențierea funcției; calcula derivata etc. E tot la fel. Desigur, există sarcini mai complexe, în care găsirea derivatei (diferențierea) va fi doar unul dintre pașii în rezolvarea sarcinii.
Derivata este notată printr-o liniuță în dreapta sus, deasupra funcției. Ca aceasta: tu sau f"(x) sau Sf) si asa mai departe.
citit y stroke, ef stroke din x, es stroke din te, bine ai inteles...)
Un prim poate desemna, de asemenea, derivata unei anumite funcții, de exemplu: (2x+3)’, (X 3 )’ , (sinx)' etc.
Adesea, derivata este notată folosind diferențiale, dar nu vom lua în considerare o astfel de notație în această lecție.
Să presupunem că am învățat să înțelegem sarcinile. Nu a mai rămas nimic - să înveți cum să le rezolvi.) Permiteți-mi să vă reamintesc din nou: găsirea derivatei este transformarea unei funcţii după anumite reguli. Aceste reguli sunt surprinzător de puține.
Pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să știi doar trei lucruri. Trei piloni pe care se sprijină toată diferențierea. Iată cele trei balene:
1. Tabel de derivate (formule de diferențiere).
2. Reguli de diferențiere.
3. Derivata unei functii complexe.
Să începem în ordine. În această lecție, vom lua în considerare tabelul derivatelor.
Tabel de derivate.
Lumea are un număr infinit de funcții. Printre acest set există funcții care sunt cele mai importante pentru aplicarea practică. Aceste funcții se află în toate legile naturii. Din aceste funcții, ca și din cărămizi, puteți construi toate celelalte. Această clasă de funcții este numită functii elementare. Aceste funcții sunt studiate la școală - liniară, pătratică, hiperbolă etc.
Diferențierea funcțiilor „de la zero”, adică. pe baza definiției derivatei și a teoriei limitelor - un lucru destul de consumator de timp. Și matematicienii sunt oameni, da, da!) Așa că și-au simplificat viața (și pe noi). Ei au calculat derivate ale funcțiilor elementare înaintea noastră. Rezultatul este un tabel de derivate, unde totul este gata.)
Iată, această farfurie pentru cele mai populare funcții. În stânga este funcția elementară, în dreapta este derivata ei.
Vă recomand să acordați atenție celui de-al treilea grup de funcții din acest tabel de derivate. Derivata unei funcții de putere este una dintre cele mai comune formule, dacă nu cea mai comună! Indicația este clară?) Da, este de dorit să cunoașteți pe de rost tabelul derivatelor. Apropo, acest lucru nu este atât de dificil pe cât ar părea. Încercați să rezolvați mai multe exemple, tabelul în sine va fi amintit!)
Găsirea valorii tabelare a derivatei, după cum înțelegeți, nu este cea mai dificilă sarcină. Prin urmare, foarte des în astfel de sarcini există cipuri suplimentare. Fie în formularea sarcinii, fie în funcția originală, care nu pare să fie în tabel...
Să ne uităm la câteva exemple:
1. Aflați derivata funcției y = x 3
Nu există o astfel de funcție în tabel. Dar există o derivată generală a funcției de putere (al treilea grup). În cazul nostru, n=3. Deci înlocuim triplul în loc de n și notăm cu atenție rezultatul:
(X 3) ' = 3 x 3-1 = 3x 2
Cam despre asta e.
Răspuns: y' = 3x 2
2. Aflați valoarea derivatei funcției y = sinx în punctul x = 0.
Această sarcină înseamnă că trebuie mai întâi să găsiți derivata sinusului și apoi să înlocuiți valoarea x = 0 la acest derivat. E in ordinea asta!În caz contrar, se întâmplă să înlocuiască imediat zero în funcția originală... Ni se cere să găsim nu valoarea funcției inițiale, ci valoarea derivatul său. Permiteți-mi să vă reamintesc că derivata este deja o funcție nouă.
Pe placă găsim sinusul și derivata corespunzătoare:
y' = (sinx)' = cosx
Înlocuiește zero în derivată:
y"(0) = cos 0 = 1
Acesta va fi răspunsul.
3. Diferențiați funcția:
Ce inspiră?) Nu există nici măcar aproape o asemenea funcție în tabelul derivatelor.
Permiteți-mi să vă reamintesc că a diferenția o funcție înseamnă pur și simplu a găsi derivata acestei funcții. Dacă uitați de trigonometria elementară, găsirea derivatei funcției noastre este destul de supărătoare.
Derivate, definiții și concepte de bază.
Masa nu ajuta...
Dar dacă vedem că funcția noastră este cosinusul unui unghi dublu, atunci totul devine imediat mai bine!
Da Da! Amintiți-vă că transformarea funcției originale înainte de diferențiere destul de acceptabil! Și se întâmplă să facă viața mult mai ușoară. Conform formulei pentru cosinusul unui unghi dublu:
Acestea. funcția noastră complicată nu este altceva decât y = cox. Și aceasta este o funcție de tabel. Primim imediat:
Răspuns: y' = -sin x.
Exemplu pentru absolvenți avansați și studenți:
4. Găsiți derivata unei funcții:
Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor, desigur. Dar dacă vă amintiți matematica elementară, acțiunile cu puteri... Atunci este foarte posibil să simplificați această funcție. Ca aceasta:
Și x la puterea unei zecimi este deja o funcție tabelară! Al treilea grup, n=1/10. Direct după formula și scrieți:
Asta e tot. Acesta va fi răspunsul.
Sper că odată cu prima balenă a diferențierii - tabelul derivatelor - totul este clar. Rămâne să ne ocupăm de cele două balene rămase. În lecția următoare, vom învăța regulile de diferențiere.
Pagina următoare: Cum să găsesc derivatul? Reguli de diferențiere. >>>>
Subiect. Derivat. Semnificația geometrică și mecanică a derivatei
Dacă această limită există, atunci se spune că funcția este diferențiabilă într-un punct. Se notează derivata unei funcții (formula 2).
- Sensul geometric al derivatului. Luați în considerare graficul funcției. Din figura 1 se poate observa că pentru oricare două puncte A și B ale graficului funcției se poate scrie formula 3). În ea - unghiul de înclinare al secantei AB.
Astfel, raportul diferențelor este egal cu panta secantei. Dacă fixăm punctul A și deplasăm punctul B spre el, atunci acesta scade la infinit și se apropie de 0, iar secanta AB se apropie de tangentei AC. Prin urmare, limita relației de diferență este egală cu panta tangentei în punctul A. De aici urmează concluzia.
Derivata unei funcții într-un punct este panta tangentei la graficul acelei funcții în acel punct. Acesta este sensul geometric al derivatului.
- Ecuația tangentei . Să derivăm ecuația tangentei la graficul funcției din punct. In cazul general, ecuatia unei drepte cu panta are forma: . Pentru a găsi b, folosim faptul că tangenta trece prin punctul A: . Asta implică: . Înlocuind această expresie cu b, obținem ecuația tangentei (formula 4).
